On a class of sublinear operators with a generalized shift
We establish strong and weak Hardy – Littlewood – Sobolev inequalities for the subadditive operators majorized by operators from a certain class of integral convolutions of the Riesz-potential type with almost monotone kernels generated both by operators of ordinary shift and by operators of general...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/209 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860506990983249920 |
|---|---|
| author | Abdullayev, S. K. Mammadov, E. A. Абдуллаев, С. К. Маммадов, Э. А. Абдуллаєв, С. К. Маммадов, Е. А. |
| author_facet | Abdullayev, S. K. Mammadov, E. A. Абдуллаев, С. К. Маммадов, Э. А. Абдуллаєв, С. К. Маммадов, Е. А. |
| author_sort | Abdullayev, S. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-02-06T12:00:09Z |
| description | We establish strong and weak Hardy – Littlewood – Sobolev inequalities for the subadditive operators majorized by operators from a certain class of integral convolutions of the Riesz-potential type with almost monotone kernels generated both by operators of ordinary shift and by operators of generalized shift associated with the differential Laplace – Bessel operator. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.12
С. К. Абдуллаев, Э. А. Маммадов (Бакин. гос. ун-т, Азербайджан)
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ
We establish strong and weak Hardy – Littlewood – Sobolev inequalities for the subadditive operators majorized by operators
from a certain class of integral convolutions of the Riesz-potential type with almost monotone kernels generated both by
operators of ordinary shift and by operators of generalized shift associated with the differential Laplace – Bessel operator.
Дослiджується задача встановлення сильних i слабких нерiвностей типу нерiвностей Гардi – Лiттлвуда – Соболєва
для субадитивних операторiв, що мажоруються операторами з певного класу iнтегральних згорток типу потен-
цiалiв Рiсса, з майже монотонними ядрами, породженими операторами як звичайного, так i узагальненого зсуву,
асоцiйованого з диференцiальним оператором Лапласа – Бесселя.
Введение. Изучение уравнений в частных производных, содержащих дифференциальный опе-
ратор Лапласа – Бесселя \Delta Bm+k,k
, с использованием многомерного преобразования Фурье –
Бесселя было начато в работах И. А. Киприянова (см. [1]). Для дальнейших исследований
им были введены весовые пространства Lp,v. Конструкция фундаментальных решений B-
эллиптических уравнений была дана в работах И. А. Киприянова и Л. А. Иванова [2], где
доказано, что решением уравнения \Delta Bm+k,k
u(x) = f(x) является интегральный оператор типа
цилиндрического потенциала
u(x) \equiv I2B(f)(x) =
\int
R+
m+k,k
| y| 2 - n - | \gamma k,m+k| T yf(x)y\gamma k,m+kdy,
называемого обобщенным потенциалом Рисса, который содержит преобразование T y, в одно-
мерном случае введенный Б. М. Левитаном [3] и называемый оператором обобщенного или
бесселева сдвига.
И. А. Киприяновым и М. И. Ключанцевым [4] задача получения априорных оценок, по
существу, сведена к оценкам этих обобщенных потенциалов Рисса и их соответствующих
производных.
Отметим, что оценка интегралов типа потенциала (т. е. обобщающие одномерные неравен-
ства Харди – Литтлвуда) является одним из основных элементов метода интегральных пред-
ставлений, разработанного впервые С. Л. Соболевым (см. [5]).
Неравенства типа Харди – Литтлвуда – Соболева для B-потенциала Рисса I\alpha B, \alpha > 0, в
шкале пространств Lp,v получены в работе А. Д. Гаджиева и И. А. Алиева [6]. В направ-
лении установления оценок типа Харди – Литтлвуда – Соболева для интегральных операторов
B-гармонического анализа в различных метриках особое место занимают работы В. С. Гулиева
и его учеников (см. [7 – 10]).
Впервые в работах С. К. Абдуллаева и З. А. Дамировой [11], С. К. Абдуллаева и Б. К. Агар-
заева [12] эти оценки распространены на случай потенциалов Рисса с нестепенными ядрами в
случаях обычного и обобщенного сдвига T y соответственно.
c\bigcirc С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1 3
4 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
В настоящей статье для субаддитивных операторов, мажорирующихся операторами опреде-
ленного класса интегральных сверток типа потенциалов Рисса, с почти монотонными ядрами,
порожденными оператором обобщенного сдвига T y, доказаны теоремы типа теоремы Харди –
Литтлвуда – Соболева.
Как известно, обобщенные потенциалы Рисса – Бесселя (даже обычные потенциалы Рисса,
см. [13]) с нестепенными ядрами не действуют, вообще говоря, в шкале Lp,v пространств.
Некоторые обозначения и основная теорема. Пусть Rn — евклидово пространство раз-
мерности n, m > 0, k \geq 1 — целые числа, p \geq 1, R+
m+k,k =
\bigl\{
(x1, . . . , xm+k) \in Rm+k :
xm+i > 0, i = 1, . . . , k
\bigr\}
,
TS
\bigl(
u(x)
\bigr)
= cv
\pi \int
0
. . .
\pi \int
0
u
\bigl(
x\prime - s\prime , (xm+1, sm+1)\alpha 1 , . . . , (xm+k, sm+k)\alpha k
\bigr)
\times
\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}vm+1 - 1 \alpha 1 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
vm+k - 1 \alpha kd\alpha 1 . . . d\alpha k
— оператор обобщенного сдвига, порожденный оператором Лапласа – Бесселя:
\Delta Bm+k,k
(x) =
m\sum
j=1
\partial 2
\partial x2j
+
m+k\sum
j=m+1
\Biggl(
\partial 2
\partial x2j
+
\gamma j
xj
\partial
\partial xj
\Biggr)
,
x \in R+
m+k,k, \gamma m+1 > 0, . . . , \gamma m+k > 0,
x = (x\prime , xm+1, . . . , xm+k), s = (s\prime , sm+1, . . . , sm+k), x\prime , s\prime \in Rm,
(xm+i, sm+i)\alpha i =
\sqrt{}
x2m+i - 2xm+ism+i \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i + s2m+i,
| \gamma | =
k\sum
i=1
\gamma m+i, a = m+ k + | \gamma | ,
Cv — нормирующий множитель, L\Phi
v
\Bigl(
R+
m+k,k
\Bigr)
— пространство Орлича [14], определенное N -
функцией \Phi ,
\| f\| L\Phi
v (R
+
m+k,k)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \lambda > 0 :
\int
R+
m+k,k
\Phi (| f(x)| /\lambda ) d\mu (y) \leq 1
\right\} ,
d\mu (y) = y\gamma k,m+kdy = y
\gamma m+1
m+1 . . . y
\gamma m+k
m+k dy1 . . . dym+k.
Если \Phi (t) = | t| p, t > 0 и 1 \leq p < +\infty , то L\Phi
v
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
— пространство
Lp,\gamma
\Bigl(
R+
m+k,k
\Bigr)
=
\left[ f : \| f\| Lp,\gamma (R
+
m+k,k)
=
\left( \int
R+
m+k,k
| f(y)| pd\mu (y)
\right)
1/p
< +\infty
\right] .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 5
Пусть \Omega p,\alpha
\bigl( \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) , p \geq 1, \alpha > 0, — совокупность функций \omega : (0,+\infty ) \rightarrow (0,+\infty ) таких,
что \omega (t) возрастает (почти возрастает), t -
\alpha
p
+\varepsilon
\omega (t) убывает (почти убывает) при малых \varepsilon > 0
и сходится интеграл
\int
0
\omega (t)t - 1dt1.
Очевидно, \Omega p,\alpha \subset \Omega 1,\alpha , \widetilde \Omega p,\alpha \subset \widetilde \Omega 1,\alpha , и если \omega \in \widetilde \Omega p,\alpha , то \omega (2t) \leq C\omega (t).
Определение. Скажем, что субаддитивный оператор A принадлежит классу K\gamma
\bigl(
p, \~\Omega p,\alpha
\bigr)
,
если:
1) Af(x) существует почти для всех x \in R+
m+k,k, если f принадлежит Lp,\gamma
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
;
2) существуют \omega \in \~\Omega p,\alpha и C > 0 такие, что
\bigm| \bigm| Af(x)\bigm| \bigm| \leq C
\int
R+
m+k,k
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| - (m+k+| \gamma | )d\mu (y).
Пусть \omega \in \~\Omega p,\alpha , \alpha = m+ k + | \gamma | . Тогда:
1. Обобщенный потенциал Рисса
I\omega B(f)(x) =
\int
R+
m+k,k
T yf(x)\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| - (m+k+| \upsilon | )d\mu (y)
принадлежат классу K\gamma
\bigl(
p, \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) . Это непосредственно следует из определения K\gamma
\bigl(
p, \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) .
2. Обобщенный потенциал Бесселя
(J\omega Bf)(x) =
\int
R+
m+k,k
T yf(x)G\omega \gamma (y)d\mu (y), G\omega \gamma (x) = c\omega \gamma
+\infty \int
0
\omega (\delta 1/2)
\delta (m+k+| \gamma | )/2 e
- \delta
4\pi
- | x| 2\pi
\delta
d\delta
\delta
,
где c\omega \gamma — нормирующий множитель такой, что \| G\omega \gamma \| 1,\gamma = 1, также принадлежит классу
K\gamma
\bigl(
p, \~\Omega p,\alpha
\bigr)
.
Ядро G\omega \gamma (x) представим в виде G\omega \gamma (x) = G1(x) +G2(x), где
G1(x) =
\left\{ G
\omega
\gamma (x), | x| < 1,
0, | x| \geq 1,
и G2(x) =
\left\{ 0, | x| < 1,
G\omega \gamma (x), | x| \geq 1.
Тогда
J\omega Bf = G1 \ast f +G2 \ast f.
Докажем справедливость следующих асимптотических равенств:
G\omega 1 (x) = C1
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| m+r+| \gamma | + o
\Biggl(
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| m+r+| \gamma |
\Biggr)
(1)
при | x| \rightarrow 0, \omega \in \widetilde \Omega 1,\alpha , \alpha = m+ k + | \gamma | , и
1Положительная функция g(t) почти убывает (почти возрастает) на множестве X \subset (0;+\infty ), если существует
постоянная c\uparrow g > 0 (c\downarrow g > 0) такая, что t1 < t2, g(t2) \leq c\uparrow gg(t1)
\bigl(
g(t1) \leq c\downarrow gg(t2)
\bigr)
для любых t1, t2 \in X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
6 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
G\omega 2 (x) = O
\bigl(
e - | x| /2\bigr) при | x| \rightarrow +\infty . (2)
Пусть | x| \leq 1. Рассмотрим
G\omega \gamma (x) = c\omega \gamma
\left( | x| 2\int
0
+
2| x| 2\int
| x| 2
+
+\infty \int
2| x| 2
\right) \omega
\bigl(
\delta 1/2
\bigr)
\delta \alpha /2
e -
\delta
4\pi
- | x| 2\pi
\delta
d\delta
\delta
= c\omega \gamma (i1 + i2 + i3).
Поскольку e - \delta /4\pi = 1 + o(1), \delta \rightarrow 0, вследствие \omega (\delta )
\biggl(
производя замену переменных
| x| 2
\delta
= t
\biggr)
имеем
i1 \leq C\omega
\bigl(
| x|
\bigr) | x| 2\int
0
1
\delta \alpha /2
e -
| x| 2\pi
\delta
d\delta
\delta
= C\omega
\bigl(
| x|
\bigr) +\infty \int
1
t\beta /2
| x| \alpha
e - t\pi
dt
t
\sim C
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
.
Аналогично, используя условие \omega \in \~\Omega 1,\gamma , получаем
i3 \leq C
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha - \varepsilon
+\infty \int
2| x| 2
e -
\delta
4\pi
1
\delta \varepsilon
d\delta
\delta
\sim
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
.
Далее
i2 \leq C
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha - \varepsilon
2| x| 2\int
| x| 2
e -
\delta
4\pi
1
\delta \varepsilon
d\delta
\delta
\sim
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
2| x| 2\int
| x| 2
d\delta
\delta
\sim
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
и
i2 \geq C\omega
\bigl(
| x|
\bigr) 2| x| 2\int
| x| 2
e -
\delta
4\pi
1
\delta \alpha /2
d\delta
\delta
\sim
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
2| x| 2\int
| x| 2
d\delta
\delta
\sim
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
,
т. е. i2 \sim
\omega
\bigl(
| x|
\bigr)
| x| \alpha
. Тем самым доказано равенство (1).
С учетом того, что функция A(\delta ) = e -
\delta
4\pi
- | x| 2\pi
\delta \delta > 0 и наибольшее значение принимает в
точке \delta = 2\pi x, имеем
e -
\delta
4\pi
- | x| 2\pi
\delta \leq e
- 2\pi | x|
4\pi
- | x| 2\pi
2\pi | x| = e -
| x|
2
- | x|
2 = e - | x| .
С другой стороны, если | x| \geq 1, то
e -
| x| 2\pi
\delta e -
\delta
4\pi \leq e -
\pi
\delta e -
\delta
4\pi .
Объединяя два последних неравенства при | x| \geq 1, получаем
e -
| x| 2\pi
\delta e -
\delta
4\pi \leq e -
| x|
2 e -
\pi
2\delta e -
\delta
8\pi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 7\Bigl(
(a \leq b \wedge a \leq c) \Rightarrow a2 \leq bc\leftrightarrow a \leq
\surd
bc
\Bigr)
.
Тогда
G\omega \gamma (x) \leq c\omega \gamma e
- | x| /2
+\infty \int
0
\omega
\bigl(
\delta 1/2
\bigr)
\delta (m+k+| \gamma | )/2 e
- \pi
2\delta e -
\delta
8\pi
d\delta
\delta
\leq Ce - | x| /2,
что доказывает равенство (2).
Таким образом, мы доказали, что J\omega B принадлежит K\gamma
\bigl(
p, \~\Omega p,\alpha
\bigr)
.
Теперь введем обобщенную B-дробно-максимальную функцию
M\omega
\gamma f(x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r>0
\omega
\Bigl( \bigm| \bigm| B(0, r)
\bigm| \bigm| 1/\alpha
\gamma
\Bigr)
\bigm| \bigm| B\bigl( 0, r\bigr) \bigm| \bigm|
\gamma
\int
B(0,r)
T y | f(x)| d\mu (y).
Покажем, что если \omega \in \widetilde \Omega p,\alpha , то M\omega
\gamma принадлежит K\gamma
\bigl(
p, \~\Omega p,\alpha
\bigr)
.
Легко убедиться, что
\bigm| \bigm| B(0, r)
\bigm| \bigm|
\gamma
=
\int
B(0,r)
d\mu (y) = C
r\int
0
tm+k - 1t| \gamma m+k,k| dt = Cr\alpha ,
т. е.
\bigm| \bigm| B(0, r)
\bigm| \bigm|
\gamma
= Cr\alpha .
С учетом этого оценим сверху M\omega
\gamma f(x). Для произвольного r > 0 получаем\bigl(
I\omega B| f |
\bigr)
(x) =
\int
R+
m+k,k
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| - \alpha d\mu (y) \geq
\geq
\int
B(0,r)
T y
\Bigl( \bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| \Bigr) \omega \bigl( | y| \bigr) | y| - \alpha d\mu (y) \geq C\omega (r)r - \alpha
\int
B(0,r)
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
d\mu (y) \geq
\geq C\omega
\Bigl( \bigm| \bigm| B(0, r)
\bigm| \bigm| 1/\alpha
\gamma
\Bigr) \bigm| \bigm| B(0, r)
\bigm| \bigm| - 1
\gamma
\int
B(0,r)
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
d\mu (y).
Отсюда следует неравенство \bigl(
I\omega B| f |
\bigr)
(x) \geq CM\omega
\gamma f(x).
Таким образом, M\omega
\gamma f(x) принадлежит K\gamma
\bigl(
p, \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) , если \omega \in \widetilde \Omega p,\alpha .
Отметим, что если \omega (t) = ts, 0 \leq s < \alpha = m+k+ | \gamma | , то I\omega B — потенциал Рисса порядка s,
J\omega B — потенциал Бесселя порядка s, а M\omega
\gamma f(x) — B-дробно-максимальная функция M s
\gamma f(x),
введенная в [9].
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть 1 \leq p < +\infty и A \in K\gamma
\bigl(
p, \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) , \alpha = m+ k + | \gamma k,n| . Тогда существует
N -функция \Phi такая, что
C - 1\Phi - 1
\biggl(
1
ra
\biggr)
\leq 1
r
a
p
r\int
0
\omega (t)
t
dt \leq C\Phi - 1
\biggl(
1
ra
\biggr)
, r > 0, (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
8 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
где \Phi - 1 — обратная к функции \Phi , \omega — функция из определения класса K\gamma
\bigl(
p, \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) , C —
постоянная, не зависящая от r, и
a) если p > 1, то существует C > 0 такое, что \| Af\| L\Phi
v (R
+
m+k,k)
\leq C\| f\| Lp,\gamma для любого
f \in Lp,v
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
;
b) если p = 1, то существует C > 0 такое, что
\int
\{ x : | Af(x)| >2\beta \}
d\mu (x) \leq
\Biggl\{
\Phi
\Biggl[ \biggl(
c
\beta
\| f\| L1
\gamma
\biggr) - 1
\Biggr] \Biggr\} - 1
для любых f \in L1,v(R
+
m+k,k) и \beta > 0.
Мы приводим доказательство этой теоремы, в котором рассматриваются свертки с нали-
чием обобщенного сдвига по k переменным. Но совершенно аналогичными рассуждениями
доказывается, что эти результаты имеют место и в случае обычного сдвига по всем перемен-
ным, если положить k = 0 и внести соответствующие изменения в обозначения и определения
(см. [12]). Поэтому считаем, что эта теорема справедлива и в случае k = 0.
Отметим, что для дальнейших исследований, в частности при рассмотрении теорем Собо-
лева, в общем случае необходимо рассматривать и этот случай.
Доказательство основной теоремы. В этом пункте мы дадим понятие пространства Ор-
лича. Функция \Phi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) называется N -функцией, если она имеет вид
\Phi (r) =
r\int
0
a(t)dt,
где a : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) — непрерывная слева, неубывающая функция такая, что a(0) = 0 и
a(t) \rightarrow \infty при t\rightarrow \infty .
Положим b(r) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
s : a(s) > \varepsilon
\bigr\}
, тогда \psi (r) =
\int r
0
b(t)dt также является N -функцией и
(\varphi ,\psi ) называется взаимно дополняющей одна другую парой.
Пусть (X,\mu ) — пространство с мерой. Для N -функции \Phi положим
L\Phi (x) =
\left\{ f :
\int
X
\Phi
\bigl(
\varepsilon | f(x)
\bigm| \bigm| \bigr) d\mu (x) <\infty для всех \varepsilon > 0
\right\} ,
\| f\| \Phi = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \lambda > 0 :
\int
X
\Phi
\Biggl( \bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm|
\lambda
\Biggr)
d\mu (x) \leq 1
\right\} .
Пусть (\varphi ,\psi ) — пара взаимно дополняющих N -функций. Отметим, что\int \bigm| \bigm| f(x)g(x)\bigm| \bigm| d\mu (x) \leq 2\| f\| \phi \| g\| \psi и r \leq \phi - 1(r)\psi - 1(r), r \geq 0.
Здесь \varphi - 1u \psi - 1 — обратные функции к \phi и \psi соответственно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 9
Теперь приведем вспомогательные леммы, используемые при доказательстве основной тео-
ремы.
Лемма 1. Пусть 1 \leq p < +\infty и \omega \in \Omega p,\alpha , \alpha = m + k + | \gamma k,n| . Тогда существует
N -функция \Phi такая, что
\Phi - 1
\biggl(
1
ra
\biggr)
\sim 1
r
a
p
r\int
0
\omega (t)
t
dt, r > 0. (4)
Доказательство. Пусть \varepsilon > 0 из определения \omega \in \Omega p,\alpha и \alpha 1 = \alpha - \varepsilon . Тогда \omega (t)t - \alpha 1
убывает. Положим
h(r) =
r\int
0
\omega (t)t - 1dt, r > 0.
Очевидно, функция h(r) возрастает, дифференцируема и
h\prime (r) = \omega (r)r - 1, r > 0. (5)
Докажем, что h(r)r - \alpha 1 убывает.
Действительно, учитывая, что
h(r) =
r\int
0
\omega (t)t - \alpha 1t\alpha 1 - 1dt \geq \omega (r)r - \alpha 1
r\int
0
t\alpha 1 - 1dt = \omega (r)/\alpha 1,
из (5) получаем
d
dr
\biggl(
h(r)
r\alpha 1
\biggr)
=
h\prime (r)r\alpha 1 - \alpha 1r
\alpha 1 - 1h(r)
r2\alpha 1
\leq \omega (r)r - 1+\alpha 1 - \alpha 1r
\alpha 1 - 1\omega (r)\alpha - 1
1
r2\alpha 1
= 0.
Положим
\Phi - 1
\biggl(
1
r\alpha
\biggr)
=
\infty \int
r
h(t)
t\alpha /p+1
dt. (6)
\biggl(
Пусть x =
1
r\alpha
, тогда r =
1
x1/\alpha
и \Phi - 1(x) =
\int \infty
x - 1/\alpha
h(t)
t\alpha /p+1
dt. Это показывает, что \Phi - 1(x) —
непрерывная и возрастающая функция и поэтому имеет обратную функцию.
\biggr)
Пусть u =
\int \infty
r
h(t)
t\alpha /p+1
dt и v =
1
r\alpha
, тогда v = \Phi (u).
Отметим, что
dv
du
убывает по r, так как
dv
du
=
dv
dr
\bigg/
du
dr
=
- \alpha r - \alpha - 1
- h(r)r - (\alpha /p) - 1
=
\alpha
h(r)r\alpha (1 - 1/p)
.
Отсюда с учетом неравенства
du
dr
= - h(r)
r\alpha +\beta +1
< 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
10 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
получаем
d2v
du2
=
d
du
\biggl(
dv
du
\biggr)
=
\biggl[
d
dr
\biggl(
dv
du
\biggr) \biggr] \bigg/
du
dr
> 0,
т. е. \Phi \prime \prime (u) > 0. Это доказывает, что \Phi (u) является N -функцией.
Для завершения доказательства леммы следует показать справедливость соотношения
\infty \int
r
h(t)
t\alpha /p+1
dt \sim h(r)
r\alpha /p
=
1
r\alpha /p
r\int
0
\omega (t)
t
dt. (7)
С учетом возрастания h(t) и убывания h(r)r - \alpha 1 получаем
\infty \int
r
h(t)
t\alpha /p+1
dt \geq h(r)
r\int
0
1
t\alpha /p+1
dt \geq C
h(r)
t\alpha /p
,
\infty \int
r
h(t)
t\alpha /p+1
dt =
\infty \int
r
h(t)t - \alpha 1
t\alpha /p+1 - \alpha 1
dt \leq h(r)r - \alpha 1
r\int
0
1
t\alpha /p+1 - \alpha 1
dt \leq C
h(r)
t\alpha /p
.
Учитывая (7) в (6), получаем (4), и тем самым лемма доказана.
Лемма 2. Пусть p \geq 1, \alpha > 0 и \omega \in \widetilde \Omega p,\alpha , тогда существует функция \widetilde \omega \in \Omega p,\alpha такая,
что \widetilde \omega (t) \sim \omega (t), т. е. существует такое c > 0, что c - 1\omega (t) \leq \widetilde \omega (t) \leq c\omega (t), t > 0.
Доказательство. Пусть \varepsilon > 0 из определения \omega \in \widetilde \Omega p,\alpha . Положим
\omega 0(\delta ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\delta \leq \xi <+\infty
\omega (\xi ) и \widetilde \omega (\delta ) = \delta
\alpha
p
- \varepsilon
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta
\omega 0(t)t
- \alpha
p
+\varepsilon
, \delta > 0.
Очевидно, \omega 0(\delta ) возрастает, \widetilde \omega (\delta )\delta - (\alpha
p
- \varepsilon ) убывает, \widetilde \omega (\delta ) \leq \omega 0(\delta ) \leq \omega (\delta ) и
\widetilde \omega (\delta ) = \delta
\alpha
p
- \varepsilon
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon \geq \delta
\alpha
p
- \varepsilon \bigl(
c\downarrow \omega
\bigr) - 1\omega 0(\delta )
\delta
\alpha
p
- \varepsilon =
\bigl(
c\downarrow \omega
\bigr) - 1
\omega 0(\delta ) \geq
\bigl(
c\downarrow \omega
\bigr) - 1\bigl(
c\uparrow \omega
\bigr) - 1
\omega (\delta ).
Этим доказано, что \widetilde \omega (t) \sim \omega (t).
Докажем, что \widetilde \omega (t) возрастает. Пусть 0 < \delta 1 < \delta 2, тогда
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 1
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon .
В случае \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}0<t<\delta 1
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon имеем
\widetilde \omega (\delta 1) = \delta
\alpha
p
- \varepsilon
1 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 1
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon = \delta
\alpha
p
- \varepsilon
1 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon \leq \delta
\alpha
p
- \varepsilon
2 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon \leq \widetilde \omega (\delta 2),
откуда \widetilde \omega (\delta 1) \leq \widetilde \omega (\delta 2).
Если \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}0<t<\delta 1
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon > \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon , то
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 1
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon , \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\delta 1<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon
\biggr\}
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\delta 1<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 11
Поскольку
\widetilde \omega (\delta 2) = \delta
\alpha
p
- \varepsilon
2 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon = \delta
\alpha
p
- \varepsilon
2 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\delta 1<t<\delta 2
\omega 0(t)
t
\alpha
p
- \varepsilon \geq \delta
\alpha
p
- \varepsilon
2 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\delta 1<t<\delta 2
1
t
\alpha
p
- \varepsilon \omega 0(\delta 1) \geq
\geq \delta
\alpha
p
- \varepsilon
2
1
\delta
\alpha
p
- \varepsilon
2
\omega 0(\delta 1) = \omega 0(\delta 1) \geq \widetilde \omega (\delta 1),
то получаем \widetilde \omega (\delta 2) \geq \widetilde \omega (\delta 1).
Таким образом, доказано, что \widetilde \omega (\delta ) возрастает.
Введем B-максимальную функцию (см. [9])
(M\nu f)(x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r>0
1
\mu
\bigl(
B\nu (0, r)
\bigr) \int
B\nu (0,r)
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
d\mu (y),
B\nu (0, r) =
\bigl\{
y \in (Rm)\nu : | y| < r
\bigr\}
, \mu
\bigl(
B\nu (0, r)
\bigr)
=
\int
B\nu (0,r)
d\mu (y).
Очевидно, что почти для всех x \in R+
m+k,k
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
\leq (M\nu f)(x) (M)
и, кроме того, \left( \int
R+
m+k,k
\Bigl(
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr) \Bigr) p
d\mu (y)
\right)
1
p
\leq \| f\| p,\nu .
В дальнейшем неоднократно будем использовать следующие свойства оператора T y :
1) T y1 = 1;
2) T y(Cf) = CT y(f), C \in \BbbR ;
3) если | f | \leq | g| , то T y
\bigl(
| f |
\bigr)
\leq T y
\bigl(
| g|
\bigr)
;
4)
\bigl(
| T (f)|
\bigr) p \leq T
\bigl(
| f |
\bigr) p
.
Перейдем к доказательству основной теоремы.
Пусть p \geq 1, f \in Lp,v
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
, A \in K\gamma
\bigl(
p, \widetilde \Omega p,\alpha \bigr) , \alpha = m + k +
\bigm| \bigm| \gamma k,n\bigm| \bigm| и r > 0. Тогда из
лемм 1 и 2 следует существование N -функции \Phi , удовлетворяющей неравенствам (3).
Для почти всех x \in R+
m+k,k выполняется неравенство\bigm| \bigm| A(f)(x)\bigm| \bigm| \leq C
\bigl(
i1(x, r) + i2(x, r)
\bigr)
,
где
i1(x, r) =
\int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| <r\}
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr) \omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma k,n|
d\mu (y),
i2(x, r) =
\int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| \geq r\}
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr) \omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma k,n|
d\mu (y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
12 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
Учитывая неравенство
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+
\bigm| \bigm| \gamma k,n\bigm| \bigm| d\mu (y) \leq \omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k
dy и простейшие свойства 1 – 4 оператора
сдвига T y, а затем переходя к сферическим координатам, получаем
i1(x, r) \leq c
\int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| <r\}
(M\upsilon f)(x)
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma k,n|
d\mu (y) \leq
\leq c(M\upsilon f)(x)
\int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| <r\}
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k
dy \leq c(M\upsilon f)(x)
r\int
0
\omega (t)
t
dt.
Таким образом,
i1(x, r) \leq c(M\nu f)(x)
r\int
0
\omega (t)
t
dt. (8)
Пусть p > 1. Применяя обобщенное неравенство Гельдера, находим
i2(x, r) =
\int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| \geq r\}
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr) \omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+
\bigm| \bigm| \gamma k,n\bigm| \bigm| d\mu (y) \leq
\leq
\left( \int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| \geq r\}
(T y(| f(x)| ))pd\mu (y)
\right)
1
p
\times
\times
\left( \int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| \geq r\}
\left( \omega (y)
| y| m+k+
\bigm| \bigm| \gamma k,n\bigm| \bigm|
\right) p\prime
d\mu (y)
\right)
1
p\prime
= \| f\| p,\nu A, (9)
где
A =
\left( \int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| \geq r\}
\Biggl(
\omega (y)
| y| m+k+| \gamma k,n|
\Biggr) p\prime
d\mu (y)
\right)
1
p\prime
.
Полагая rj = 2jr, j = 0, 1, 2, . . . , и учитывая, что \omega \in \widetilde \Omega p,(m+k+| \gamma k,n| ), имеем
A =
\left( \infty \sum
j=0
\int
\{ y\in R+
m+k,k : rj\leq | y| \leq 2rj\}
\Biggl(
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma k,n|
\Biggr) p\prime
d\mu (y)
\right)
1
p\prime
\leq
\leq c\downarrow \omega
\infty \sum
i=0
\left( \omega (rj)
r
m+k+| \gamma k,n|
j
\right) \mu 1
p\prime
\bigl(
B\nu (0, 2rj)
\bigr)
\leq c\downarrow \omega C
\infty \sum
i=0
\left( \omega (rj)
r
m+k+| \gamma k,n|
j
\right) rm+k+| \gamma k,n|
p\prime
j =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 13
= c\downarrow \omega C
\infty \sum
j=0
\omega (rj)
r
m+k+| \gamma k,n|
p
j
\leq c\uparrow \omega c
\downarrow
\omega C
\infty \sum
j=0
2rj\int
rj
\omega (t)
t
m+k+| \gamma k,n|
p
dt
t
=
= c\uparrow \omega c
\downarrow
\omega C
\infty \int
r
\omega (t)
t
m+k+| \gamma k,n|
p
dt
t
= c\uparrow \omega c
\downarrow
\omega C
+\infty \int
r
\omega (t)
t
m+k+| \gamma k,n|
p
- \varepsilon
dt
t1+\varepsilon
\leq
\leq c\uparrow \omega c
\downarrow
\omega C
\omega (r)
r
m+k+| \gamma k,n|
p
\leq c\uparrow \omega c
\downarrow
\omega C
1
r
m+k+| \gamma k,n|
p
r\int
0
\omega (t)
t
dt. (10)
Учитывая (10), из (9) получаем
\bigm| \bigm| i2(x, r)\bigm| \bigm| \leq C2,p\| f\| p,\nu
1
r
m+k+| \gamma k,n|
p
r\int
0
\omega (t)
t
dt. (11)
Пусть p = 1, тогда
i2(x, r) =
\int
\{ y\in R+
m+k,k : | y| \geq r\}
T y(| f(x)| )
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma k,n|
d\mu (y) =
=
\infty \sum
i=0
\int
\{ y\in R+
m+k,k : rj\leq | y| \leq 2rj\}
T y(| f(x)| )
\omega
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma k,n|
d\mu (y) \leq
\leq C
\infty \sum
j=0
\int
\{ y\in R+
m+k,k : rj\leq | y| \leq 2rj\}
T y
\bigl(
| f(x)|
\bigr)
d\mu (y)
\omega (rj)
r
m+k+| \gamma k,n|
j
\leq
\leq C
\infty \sum
j=0
\omega (rj)
r
m+k+| \gamma k,n|
j
\int
R+
m+k,k
T y(| f(x)| )d\mu (y) \leq C\| f\| L1,\gamma
\infty \sum
j=0
\omega (rj)
r
m+k+| \gamma k,n|
j
\leq
\leq C\| f\| L1,\gamma
1
rm+k+| \gamma k,n|
r\int
0
\omega (t)
t
dt.
Итак, неравенство (11) выполняется и в случае p = 1.
Объединяя оценки
\bigm| \bigm| i1(x, r)\bigm| \bigm| и
\bigm| \bigm| i2(x, r)\bigm| \bigm| , убеждаемся, что для почти всех x \in R+
m+k,k и
r > 0, p \geq 1 имеет место неравенство\bigm| \bigm| (I\omega Bf)(x)\bigm| \bigm| \leq C
\bigl(
| i1(x, r)| +
\bigm| \bigm| i2(x, r)\bigm| \bigm| \bigr) \leq
\leq C
\Biggl(
(M\nu f)(x) + \| f\| p,\nu
1
r
m+k+2| \nu |
p
\Biggr) r\int
0
\omega (t)
t
dt. (12)
Теперь докажем пункт а) теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
14 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
Как известно [8], при p > 1 \bigm\| \bigm\| (M\nu f)(x)
\bigm\| \bigm\|
p,\nu
\leq Cp\| f\| p,\nu .
Выберем
r = \sigma
- p
m+k+| \gamma k,n| и \sigma = (M\nu f)(x)/
\bigl(
Cp\| f\| p,\nu
\bigr)
.
Тогда
(M\nu f)(x) + \| f\| p,\nu r -
m+k+| \gamma k,n|
p =
\biggl(
1 +
1
Cp
\biggr)
(M\nu f)(x),
кроме того, в силу условия (3)
r\int
0
\omega (t)
t
dt \leq cr
m+k+| \gamma k,n|
p \Phi - 1
\Bigl(
r - (m+k+| \gamma k,n| )
\Bigr)
=
= c
\Bigl[
\sigma
p
m+k+| \gamma k,n|
\Bigr] m+k+| \gamma k,n|
p
\Phi - 1
\Bigl(
\sigma
p
m+k+| \gamma k,n| ( - m+k+| \gamma k,n| )
\Bigr)
= C
1
\sigma
\Phi - 1(\sigma p).
С учетом изложенного из (12) получаем
\bigm| \bigm| (I\omega Bf)\bigm| \bigm| \leq c
\bigl(
1 + C - 1
p
\bigr)
(M\gamma f)(x)
\Phi - 1(Gp)
G
=
= CCp(1 + C - 1
p )\| f\| p,\gamma \Phi - 1
\biggl[ \biggl(
(M\nu f)(x)
Cp\| f\| p,\gamma
\biggr) p\biggr]
.
Наконец, полагая \widetilde c = CCp(1 + C - 1
p ), отсюда имеем
(I\omega Bf)(x)\widetilde c\| f\| p,\nu \leq \Phi - 1
\biggl[ \biggl(
(M\nu f)(x)
Cp\| f\| p,\gamma
\biggr) p\biggr]
или же \Phi
\biggl(
(I\omega Bf) (x)\widetilde c\| f\| p,\nu
\biggr)
\leq
\biggl(
(M\nu f)(x)
Cp\| f\| p,\gamma
\biggr) p
.
Тогда \int
R+
m+k,k
\Phi
\biggl(
(I\omega Bf)(x)\widetilde c\| f\| p,\nu
\biggr)
d\mu (x) \leq
\int
R+
m+k,k
\biggl(
(M\nu f)(x)
Cp\| f\| p,\gamma
\biggr) p
d\mu (x) \leq
\leq
\biggl(
1
Cp\| f\| p,\gamma
\biggr) p \int
R+
m+k,k
\bigl(
(M\nu f)(x)
\bigr) p
d\mu (x) \leq
\biggl(
1
Cp\| f\| p,\gamma
\biggr) p \bigl(
Cp\| f\| p,\gamma
\bigr) p
= 1,
т. е.
\int
R+
m+k,k
\Phi
\biggl(
(I\omega Bf)(x)\widetilde c\| f\| p,\nu
\biggr)
d\mu (x) \leq 1.
Отсюда с учетом нормы \bigm\| \bigm\| (I\omega Bf)(x)\bigm\| \bigm\| L\Phi
\nu
\leq \widetilde c \| f\| p,\nu .
Пункт а) теоремы доказан.
Теперь докажем пункт b). Очевидно,\bigm| \bigm| \{ x : | I\omega f(x)
\bigm| \bigm| > 2\beta \}
\bigm| \bigm|
\nu
\leq
\bigm| \bigm| \{ x : i1(x, r) > \beta \}
\bigm| \bigm|
\nu
+
\bigm| \bigm| \{ x : i2(x, r) > \beta \}
\bigm| \bigm|
\nu
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 15
В силу (8)
A =
\bigm| \bigm| \{ x : i1(x, r) > \beta \}
\bigm| \bigm|
\nu
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left\{ x : (M\nu f)(x) \geq \beta c1/
r\int
0
\omega (t)
t
dt
\right\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Известно [7], что \bigm| \bigm| \{ x : (M\nu f)(x) \geq \alpha \}
\bigm| \bigm|
\nu
\leq c0
1
\alpha
\| f\| L1,\nu .
Полагая в последнем неравенстве
\alpha = \beta c1
\Bigg/ r\int
0
\omega (t)
t
dt,
получаем
A \leq C0C1
\left( r\int
0
\omega (t)
t
dt
\right) 1
\beta
\| f\| L1,\nu .
Теперь выберем r. Пусть C3 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ C0C1, C2,1\} и
C3r
- m+k+2| \nu |
r\int
0
\omega (t)
t
dt\| f\| L1,\nu = \beta .
Тогда в силу (11)
\bigm| \bigm| i2(x, r)\bigm| \bigm| \leq \beta , следовательно,
\bigm| \bigm| \{ x : i2(x, r) > \beta \}
\bigm| \bigm| = 0.
Если положить K =
\bigm| \bigm| \{ x : I\omega f(x) > 2\beta \}
\bigm| \bigm|
\nu
, то получим
K \leq C3\beta
- 1
\left( r\int
0
\omega (t)
t
dt
\right) \| f\| L1,\nu .
Теперь покажем, что функция
F (r) = r - (m+k+| \gamma k,n| )
r\int
0
\omega (t)
t
dt
убывает в (0,\infty ).
Действительно,
F \prime (r) = -
\bigl(
m+ k + | \gamma k,n|
\bigr)
r - (m+k+| \gamma k,n| ) - 1
r\int
0
\omega (t)
t
dt+ r - (m+k+| \gamma k,n| )\omega (r)
r
=
= r - (m+k+| \gamma k,n| +1)
\left( \omega (r) - \bigl( m+ k + | \gamma k,n|
\bigr) r\int
0
\omega (t)
t
dt
\right) .
Пусть \varepsilon > 0 такое, что
\omega (t)
tm+k+| \gamma k,n| - \varepsilon
убывает, тогда имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
16 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
\bigl(
n+ k + | \gamma k,n|
\bigr) r\int
0
\omega (t)
t
dt =
=
\bigl(
n+ k + | \gamma k,n|
\bigr) r\int
0
\omega (t)
tm+k+| \gamma k,n| - \varepsilon
tm+k+| \gamma k,n| - \varepsilon
t
dt \geq
\geq
\bigl(
m+ k + | \gamma k,n|
\bigr) \omega (r)
rm+k+| \gamma k,n| - \varepsilon
rm+k+| \gamma k,n| - \varepsilon 1
m+ k + | \gamma k,n| - \varepsilon
\geq \omega (r).
Таким образом, получаем, что F \prime (r) < 0, откуда и следует убывание F (r). Итак, для
каждого a уравнение F (r) = c0
\beta
\| f\| L1,\nu
\equiv a имеет единственное решение r = F - 1(a). Следо-
вательно,
K \leq
\left( r\int
0
\omega (t)
t
dt
\right) \| f\| L1,\nu C3
\beta
=
= rm+k+| \gamma k,n|
\left( 1
rm+k+| \gamma k,n|
r\int
0
\omega (t)
t
dt
\right) \| f\| L1,\nu C3
\beta
= rm+k+| \gamma k,n| .
Обозначим
1
rm+k+| \gamma k,n|
r\int
0
\omega (t)
t
dt =
\beta
\| f\| L1,\nu
C3 = a,
тогда
\Phi - 1
\biggl(
1
rm+k+| \gamma k,n|
\biggr)
= c3F (r) = c3a и rm+k+| \gamma k,n| =
\bigl[
\Phi (c3a)
\bigr] - 1
.
Теорема доказана.
Приведем пример, свидетельствующий о точности основной теоремы. Возьмeм функцию
\omega 0(r) =
\left\{
k1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
r
\biggr) - \beta 1
, 0 < r < r1,
1, r1 \leq r \leq r2,
k2r
s(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)\beta 2 , r2 < r,
где s \in (0, 1) и \beta i > 1, k1 =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
r1
\biggr) \beta 1
, k2 =
\bigl(
rs2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r2)
\beta 2
\bigr) - 1
.
Величины r1 и r2 выбираем так, чтобы \omega 0 возрастала, а \omega 0(r)r
\alpha /p
\bigl(
\alpha = m + k + | \gamma k,m|
\bigr)
убывала. Тогда в силу леммы 1 функция
h(r) =
r\int
0
\omega (t)t - 1dt, r > 0,
возрастает, дифференцируема, а h(r)r - \alpha 1 убывает.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 17
Легко проверить, что
h(r) = C
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
r
\biggr) - \beta 1+1
, 0 < r \leq r1.
Пусть 0 < \delta < p и x \in R+
m+k,k. Положим
f0(x) =
\left\{ | x| \alpha /p
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
| x|
\biggr) \delta /p
, | x| < r1,
0, | x| \geq r1.
Тогда f0 принадлежит Lp,\gamma
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
. В силу леммы 1 существуют N -функции \Phi , \Phi 1 такие,
что
C - 1\Phi - 1
\biggl(
1
ra
\biggr)
\leq 1
r
a
p
r\int
0
\omega 0(t)
t
dt \leq C\Phi - 1
\biggl(
1
ra
\biggr)
, r > 0,
C - 1
1 \Phi - 1
1
\biggl(
1
ra
\biggr)
\leq \omega 0(r)
r
a
p
\leq C1\Phi
- 1
1
\biggl(
1
ra
\biggr)
, r > 0.
Тогда в силу основной теоремы I\omega 0
B (f0) принадлежит L\Phi
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
. Теперь докажем, что I\omega 0
B (f0)
не принадлежит L\Phi 1
\bigl(
R+
m+k,k
\bigr)
.
Отметим, что если x, y \in R+
m+k,k, | x| \leq r1/2 и | y| \leq | x| /2, то имеем
1
2
| x| \leq | x - y| \leq 2| x| и
\biggl(
1
2
| x|
\biggr) 2
\leq | x - y| 2+ \leq 2| x| 2,
(xm+i, ym+i)
2
\alpha i
= x2m+i - 2xm+iym+i \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i + y2m+i =
= (xm+i - ym+i)
2 + 2xm+iym+i(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i).
Если учесть, что xm+i \geq 0, ym+i \geq 0 и ym+i \leq | y| \leq | x| /2, то
0 \leq xm+iym+i \leq | x| 2/2.
Учитывая изложенное, получаем\bigm| \bigm| (x\prime - y\prime , (xm+1, ym+1)\alpha 1 , . . . , (xm+k, ym+k)\alpha k
)
\bigm| \bigm| 2 =
= (x\prime - y\prime )2 +
k\sum
i=1
(xm+i, ym+i)
2
\alpha i
=
=
\bigl(
x\prime - y\prime
\bigr) 2
+
k\sum
i=1
\bigl[
(xm+i - ym+i)
2 + 2xm+iym+i(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i)
\bigr]
=
= | x - y| 2 +
k\sum
i=1
\bigl[
2xm+iym+i(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i)
\bigr]
\sim | x| 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
18 С. К. АБДУЛЛАЕВ, Э. А. МАММАДОВ
Тогда
TS
\bigl(
f0(x)
\bigr)
= cv
\pi \int
0
. . .
\pi \int
0
f0
\bigl(
x\prime - y\prime , (xm+1, ym+1)\alpha 1 , . . . , (xm+k, ym+k)\alpha k
\bigr)
\times
\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}vm+1 - 1 \alpha 1 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
vm+k - 1 \alpha kd\alpha 1 . . . d\alpha k \sim
\sim cvf0(x)
\pi \int
0
. . .
\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}vm+1 - 1 \alpha 1 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
vm+k - 1 \alpha kd\alpha 1 . . . d\alpha k \sim f0(x).
Наконец, имеем
I\omega 0
B (f0)(x) \geq
\int
| y| \leq | x| /2
T yf(x)
\omega 0
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma | d\mu (y) \geq cf0(x)
| x| /2\int
0
\omega 0
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma | d\mu (y) =
= cf0(x)
| x| /2\int
0
\omega 0
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma | y
\gamma 1
m+1 . . . y
\gamma k
m+kdy1 . . . dym+k.
Теперь, переходя к полярным координатам с центром в точке x, получаем
I\omega 0
B (f0)(x) \geq cf0(x)
| x| /2\int
0
\omega 0
\bigl(
| y|
\bigr)
| y| m+k+| \gamma | y
\gamma 1
m+1 . . . y
\gamma k
m+kdy1 . . . dym+k =
= cf0(x)
| x| /2\int
0
k1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1/r
\bigr) - \alpha
rm+k+| \gamma | rm+k - 1r| \gamma | dr =
= cf0(x)
| x| /2\int
0
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1/r
\bigr) - \alpha
r
dr \geq cf0(x)
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1/| x|
\bigr) - \alpha +1
=
= c| x| \alpha /p
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
| x|
\biggr) \delta /p \bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1/| x|
\bigr) - \alpha +1
= c
\omega 0
\bigl(
| x|
\bigr)
| x|
m+k+| \gamma |
p
.
В последнем переходе учтено, что 0 < \delta < p и
1
| x|
>
1
r1
.
Таким образом, если | x| \leq r1/2, то
I\omega 0
B (f0)(x) \geq C\Phi - 1
1
\biggl(
1
| x| m+k+| \gamma |
\biggr)
.
Тогда для любого \lambda > 0 найдется \lambda \prime > 0 такое, что
\Phi
\biggl(
I\omega 0
B (f0)(x)
\lambda
\biggr)
\geq 1
\lambda \prime
1
| x| m+k+| \gamma | , | x| \leq r1/2,
и поэтому I\omega 0
B (f0) не принадлежит L\Phi 1(R+
m+k).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СУБАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ 19
Литература
1. И. А. Киприянов, Сингулярные эллиптические краевые задачи, Наука, Москва (1997).
2. И. А. Киприянов, Л. А. Иванов, Получение фундаментальных решений для однородных уравнений с особен-
ностями по нескольким переменным, Тр. сем. С. Л. Соболева, № 1, 55 – 77 (1983).
3. Б. М. Левитан, Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье, Успехи мат. наук, 6, № 2, 102 – 143
(1951).
4. И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев, Оценки поверхностного потенциала, порожденного оператором обоб-
щенного сдвига, Докл. АН СССР, 188, № 5, 997 – 1000 (1969).
5. С. Л. Соболев, Об одной теореме функционального анализа, Мат. сб., 4, № 3, 471 – 497 (1938).
6. А. Д. Гаджиев, И. А. Алиев, О классах операторов типа потенциала, порожденного обобщенным сдвигом,
Докл. расш. зас. сем. Ин-та прикл. математики им. И. Н. Векуа, 5, № 2, 30 – 32 (1990).
7. В. С. Гулиев, Теорема Соболева для B -потенциалов Рисса, Докл. РАН, 358, № 4, 450 – 451 (1998).
8. В. С. Гулиев, Теорема Соболева для анизотропного потенциала Рисса – Бесселя в пространствах Морри –
Бесселя, Докл. РАН, 367, № 2, 155 – 156 (1999).
9. V. S. Guliyev, N. N. Garakhanova, Y. Zeren, Pointwise and integral estimates for B -Riesz potentials in terms of
B -maximal and B -fractional maximal functions, Siberian Math. J., 49, № 6, 1008 – 1022 (2008).
10. V. S. Guliev, Some properties of the anisotropic Riesz – Bessel potential, Anal. Math., 26, № 2, 99 – 118 (2000).
11. С. К. Абдуллаев, З. А. Дамирова, Науч. и пед. изв. ун-та „Одлар Юрду”, Сер. физ., техн., мат. и естеств. наук.,
№ 13 (2005).
12. С. К. Абдуллаев, Б. К. Агарзаев, Неравенство Харди – Литтльвуда – Соболева для обобщенных потенциалов
Рисса, Мат. науч. конф. посвящ. 50-летию каф. вычислит. математики Бакин. гос. ун-та (Баку, 15 – 16 ноября
2012), 85 – 90 (2012).
13. E. Nakai, H. Sumitomo, On generalized Riesz potentials and spaces of some smooth functions, Sci. Math. Jpn., 54,
№ 3, 463 – 472 (2001).
14. М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, Москва (1958).
Получено 04.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-209 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:02:12Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6a/46b2fb271c24685720dbd8738436e66a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-2092020-02-06T12:00:09Z On a class of sublinear operators with a generalized shift Об одном классе субаддитивных операторов с обобщенным сдвигом Про один клас субадитивних операторів з узагальненим зсувом Abdullayev, S. K. Mammadov, E. A. Абдуллаев, С. К. Маммадов, Э. А. Абдуллаєв, С. К. Маммадов, Е. А. нерiвностей типу нерiвностей Гардi – Лiттлвуда – Соболєва Hardy – Littlewood – Sobolev inequalities We establish strong and weak Hardy – Littlewood – Sobolev inequalities for the subadditive operators majorized by operators from a certain class of integral convolutions of the Riesz-potential type with almost monotone kernels generated both by operators of ordinary shift and by operators of generalized shift associated with the differential Laplace – Bessel operator. Дослiджується задача встановлення сильних i слабких нерiвностей типу нерiвностей Гардi – Лiттлвуда – Соболєва для субадитивних операторiв, що мажоруються операторами з певного класу iнтегральних згорток типу потенцiалiв Рiсса, з майже монотонними ядрами, породженими операторами як звичайного, так i узагальненого зсуву, асоцiйованого з диференцiальним оператором Лапласа – Бесселя. Дослiджується задача встановлення сильних i слабких нерiвностей типу нерiвностей Гардi – Лiттлвуда – Соболєва для субадитивних операторiв, що мажоруються операторами з певного класу iнтегральних згорток типу потенцiалiв Рiсса, з майже монотонними ядрами, породженими операторами як звичайного, так i узагальненого зсуву, асоцiйованого з диференцiальним оператором Лапласа – Бесселя. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-01-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/209 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 1 (2020); 3-19 Український математичний журнал; Том 72 № 1 (2020); 3-19 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/209/1543 |
| spellingShingle | Abdullayev, S. K. Mammadov, E. A. Абдуллаев, С. К. Маммадов, Э. А. Абдуллаєв, С. К. Маммадов, Е. А. On a class of sublinear operators with a generalized shift |
| title | On a class of sublinear operators with a generalized shift |
| title_alt | Об одном классе субаддитивных операторов с обобщенным сдвигом Про один клас субадитивних операторів з узагальненим зсувом |
| title_full | On a class of sublinear operators with a generalized shift |
| title_fullStr | On a class of sublinear operators with a generalized shift |
| title_full_unstemmed | On a class of sublinear operators with a generalized shift |
| title_short | On a class of sublinear operators with a generalized shift |
| title_sort | on a class of sublinear operators with a generalized shift |
| topic_facet | нерiвностей типу нерiвностей Гардi – Лiттлвуда – Соболєва Hardy – Littlewood – Sobolev inequalities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/209 |
| work_keys_str_mv | AT abdullayevsk onaclassofsublinearoperatorswithageneralizedshift AT mammadovea onaclassofsublinearoperatorswithageneralizedshift AT abdullaevsk onaclassofsublinearoperatorswithageneralizedshift AT mammadovéa onaclassofsublinearoperatorswithageneralizedshift AT abdullaêvsk onaclassofsublinearoperatorswithageneralizedshift AT mammadovea onaclassofsublinearoperatorswithageneralizedshift AT abdullayevsk obodnomklassesubadditivnyhoperatorovsobobŝennymsdvigom AT mammadovea obodnomklassesubadditivnyhoperatorovsobobŝennymsdvigom AT abdullaevsk obodnomklassesubadditivnyhoperatorovsobobŝennymsdvigom AT mammadovéa obodnomklassesubadditivnyhoperatorovsobobŝennymsdvigom AT abdullaêvsk obodnomklassesubadditivnyhoperatorovsobobŝennymsdvigom AT mammadovea obodnomklassesubadditivnyhoperatorovsobobŝennymsdvigom AT abdullayevsk proodinklassubaditivnihoperatorívzuzagalʹnenimzsuvom AT mammadovea proodinklassubaditivnihoperatorívzuzagalʹnenimzsuvom AT abdullaevsk proodinklassubaditivnihoperatorívzuzagalʹnenimzsuvom AT mammadovéa proodinklassubaditivnihoperatorívzuzagalʹnenimzsuvom AT abdullaêvsk proodinklassubaditivnihoperatorívzuzagalʹnenimzsuvom AT mammadovea proodinklassubaditivnihoperatorívzuzagalʹnenimzsuvom |