Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations
We consider a nonautonomous system of ordinary differential equations. It is supposed that this system has a periodic solution. We establish the lower bound for the period of this solution.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2090 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508017159569408 |
|---|---|
| author | Ignat'ev, A. O. Игнатьев, А. О. Игнатьев, А. О. |
| author_facet | Ignat'ev, A. O. Игнатьев, А. О. Игнатьев, А. О. |
| author_sort | Ignat'ev, A. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:14Z |
| description | We consider a nonautonomous system of ordinary differential equations. It is supposed that this system has a periodic solution. We establish the lower bound for the period of this solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.9
А. О. Игнатьев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ГРАНИЦЫ ПЕРИОДОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
We consider a nonautonomous system of ordinary differential equations. It is supposed that this system has a periodic
solution. We establish the lower bound for the period of this solution.
Розглядається неавтономна система звичайних диференцiальних рiвнянь. Припускається, що ця система має перiо-
дичний розв’язок. Метою цiєї статтi є встановлення оцiнки знизу значення перiоду цього розв’язку.
1. Введение. Периодические решения являются важным классом решений обыкновенных
дифференциальных уравнений, так как многие процессы, описываемые обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями, являются периодическими. Их изучению посвящено большое
количество работ. В свое время А. Пуанкаре придавал важное значение периодическим реше-
ниям, представляемым замкнутыми орбитами. По его мнению, они должны были стать опорой
в изучении всех других, непериодических, движений. В определенном смысле периодические
решения являются единственным типом решений, который можно целиком наблюдать в про-
цессе их эволюции, так как вся эволюция периодического решения определяется знанием этого
решения на конечном промежутке времени. Периодические решения представляют собой про-
стейший тип колебательных решений.
Наряду с задачами о существовании периодических решений и методами их нахождения ряд
работ посвящен оценке значений периодов таких решений. Впервые нижняя граница значений
периодов периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений вида
x′ = F (x), x ∈ Rn, (1)
была получена J. A. Yorke [1]. В этой статье было показано, что если правые части системы (1)
удовлетворяют условию Липшица с константой Липшица L, то период T любого нетривиаль-
ного периодического решения (т. е. решения, не являющегося положением равновесия) связан
с константой Липшица соотношением T ≥ 2π/L.
Более сложная система
x′(t) = F (x(t), x(t− 1)) (2)
была рассмотрена в работе [2]. В ней предполагалось, что F : Rn×Rn → Rn и существуют та-
кие a, b > 0, что для всех x1, x2, y1, y2 ∈ Rn выполняется неравенство |F (x1, x2)−F (y1, y2)| <
< a|x1 − y1| + b|x2 − y2|. Показано, что в этом случае период T любого нетривиального
периодического решения системы (2) удовлетворяет неравенству T ≥ 2π
a+ b
.
G. Vidossich [3] обобщил приведенный выше результат на класс функциональных условий,
более общих, чем условие Липшица.
c© А. О. ИГНАТЬЕВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1569
1570 А. О. ИГНАТЬЕВ
T. Y. Li [4], применив метод из работы [3], оценил снизу период периодического ре-
шения системы с запаздыванием x′(t) = F (xt), когда функционал F удовлетворяет оценке
|F (ϕ)− F (ψ)| ≤ L‖ϕ− ψ‖∞ при ϕ,ψ ∈ C.
В работах [5, 6] рассмотрено автономное дифференциальное уравнение вида x′ = f(x) в
банаховом пространстве. Предполагается, что функция f удовлетворяет условию Липшица с
константой L: ‖f(x)−f(y)‖ ≤ L‖x−y‖. В случае, когда T является периодом периодического
решения этого уравнения, в статье [5] получена оценка T ≥ 4,5/L. В работе [6] эта оценка
улучшена: T ≥ 6/L.
Для периодических решений уравнения x(2k) = F (x) (x(2k) — производная x порядка 2k)
J. Mawhin и W. Walter [7] доказали неравенство T ≥ (2π)/L1/2k. A. A. Zevin и M. A. Pinsky [8]
рассмотрели систему дифференциальных уравнений x(2k) = F (x(τ(t))), имеющую периодиче-
ское решение. Была установлена нижняя граница для величины периода T .
В настоящей статье с помощью метода J. A. Yorke [1] получена точная оценка для значений
периодов периодических решений систем неавтономных дифференциальных уравнений.
2. Оценка периодов периодических решений неавтономных систем. Рассмотрим си-
стему обыкновенных дифференциальных уравнений
x′(t) = X(t, x). (3)
Здесь t ∈ R+ = [0,∞) — время, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, X : R+ × Ω∗ → Rn, где Ω∗ —
некоторая область из Rn, которая может совпадать с Rn, x′(t) =
dx
dt
. Функция X(t, x) =
= (X1(t, x), . . . , Xn(t, x)) предполагается непрерывно дифференцируемой. Предположим, что
система (3) имеет периодическое решение x(t) с периодом T > 0, лежащее во множестве Ω,
где Ω ⊂ Ω∗. Обозначим a(t, x) = (a1(t, x), . . . , an(t, x)), где
ai(t, x) =
∂Xi
∂t
+
n∑
j=1
∂Xi
∂xj
Xj(t, x), i = 1, . . . , n.
Пусть существует
λ = sup
t∈R+
x∈Ω
‖a(t, x)‖
‖X(t, x)‖
. (4)
Здесь и в дальнейшем ‖·‖ обозначает евклидову норму вектора. Выясним связь между числами
T и λ.
Вначале сформулируем вспомогательный результат, который был получен в [9] для случая
n = 3 и в [10] для произвольного n.
Лемма. Пусть u : R+ → Rn — непрерывно дифференцируемая периодическая функция с
периодом T такая, что ‖u(t)‖ ≡ 1. Тогда
T∫
0
‖u′(t)‖dt ≥ 2π. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ГРАНИЦЫ ПЕРИОДОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ . . . 1571
Теорема. Предположим, что x(t) — периодическое решение системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (3) такое, что ‖X(t, x(t))‖ ≥ δ > 0. Пусть λ — число, вычисляемое
согласно (4). Тогда
T ≥ 2π
λ
. (6)
Доказательство. Пусть x(t) — нетривиальное (т. е. не являющееся положением равнове-
сия) периодическое решение системы (3) с периодом T , т. е. x(t) ≡ x(t+ T ) при t ∈ R+. Обо-
значим y(t) = X(t, x(t)) = (y1(t), . . . , yn(t)), z(t) = ‖y(t)‖ и u(t) =
y(t)
z(t)
= (u1(t), . . . , un(t)).
Очевидно, что u(t) представляет собой единичный вектор, касательный к периодическому ре-
шению x(t) системы (3). Заметим, что z(t) ≥ δ > 0 для любого t. Учитывая, что ‖u(t)‖2 ≡ 1,
получаем
d
dt
(‖u(t)‖)2 ≡ 0. (7)
С другой стороны,
d
dt
(‖u(t)‖)2 =
d
dt
[u2
1(t) + . . .+ u2
n(t)] = 2[u1(t)u′1(t) + . . .+ un(t)u′n(t)]. (8)
Сравнивая (7) и (8), получаем
u1(t)u′1(t) + . . .+ un(t)u′n(t) ≡ 0. (9)
Дифференцируя функцию y(t) = u(t)z(t) по t, находим
y′(t) = u′(t)z(t) + u(t)z′(t) = (u′1(t)z(t) + u1(t)z′(t), . . . , u′n(t)z(t) + un(t)z′(t)),
откуда
‖y′(t)‖2 = [u′1(t)z(t) + u1(t)z′(t)]2 + . . .+ [u′n(t)z(t) + un(t)z′(t)]2 =
= z2(t)[u′21 (t) + . . .+ u′2n (t)] + z′2(t)[u2
1(t) + . . .+ u2
n(t)]+
+2z(t)z′(t)[u1(t)u′1(t) + . . .+ un(t)u′n(t)].
Учитывая тождество (9), имеем
‖y′(t)‖ ≥ z(t)‖u′(t)‖. (10)
Оценим ‖y′(t)‖. Наряду с моментом времени t рассмотрим также момент времени t + ∆t,
где ∆t — приращение. Найдем приращение функции yi:
yi(t+ ∆t)− yi(t) = Xi(t+ ∆t, x(t+ ∆t))−Xi(t, x(t)) = ai(t, x(t))∆t+ o(∆t),
откуда, переходя к пределу при ∆t→ 0, получаем y′i(t) = ai(t, x(t)), ‖y′(t)‖ = ‖a(t, x(t))‖. Из
(4) имеем ‖y′(t)‖ ≤ λ‖X(t, x(t))‖ = λ‖y(t)‖. Из (10) следует
‖u′(t)‖ ≤ ‖y
′(t)‖
z(t)
≤ λ‖y(t)‖
z(t)
= λ. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1572 А. О. ИГНАТЬЕВ
Из (5) и (11) следует, что
2π ≤
T∫
0
‖u′(t)‖dt ≤
T∫
0
λdt = λT,
откуда получаем неравенство T ≥ 2π/λ, завершающее доказательство теоремы.
Замечание 1. Соотношение (6) является точным (т. е. оно не может быть улучшено).
Для доказательства справедливости этого замечания достаточно указать систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений вида (3), имеющую периодическое решение с периодом
T такое, что T = 2π/λ. Покажем, что в качестве такой системы может быть выбрана система
x′1 = −λx2, x′2 = λx1, λ > 0. (12)
Находим
‖X‖ =
√
λ2x2
2 + λ2x2
2 = λ
√
x2
1 + x2
2, a1 = −λ2x1, a2 = −λ2x2,
‖a‖ = λ2
√
x2
1 + x2
2, sup
t∈R+
x∈R2\0
‖a‖
‖X‖
=
λ2
√
x2
1 + x2
2
λ
√
x2
1 + x2
2
= λ.
Число
T =
2π
λ
(13)
является периодом любого ненулевого решения системы (12), т. е. для системы (12) выполняется
равенство (13).
Замечание 2. Пусть T — значение величины периода периодического решения системы (3).
Необходимым условием того, чтобы выполнялось равенство (13), является условие ‖y(t)‖ =
= const.
Для доказательства этого заметим, что неравенство (10) переходит в равенство ‖y′(t)‖ =
= z(t)‖u′(t)‖ только в случае z′(t) = 0.
1. Yorke J. A. Periods of periodic solutions and the Lipschitz constant // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 22. –
P. 509 – 512.
2. Lasota A., Yorke J. A. Bounds for periodic solutions of differential equations in Banach spaces // J. Different. Equat. –
1971. – 10. – P. 83 – 91.
3. Vidossich G. On the structure of periodic solutions of differential equations // J. Different. Equat. – 1976. – 21,
№ 2. – P. 263 – 278.
4. Li T. Y. Bounds for the periods of periodic solutions of differential delay equations // J. Math. Anal. and Appl. –
1975. – 49, № 1. – P. 124 – 129.
5. Busenberg S. N., Martelli M. Bounds for the period of periodic orbits of dynamical systems // J. Different. Equat. –
1987. – 67, № 3. – P. 359 – 371.
6. Busenberg S. N., Fisher D. C., Martelli M. Better bounds for periodic solutions of differential equations in Banach
spaces // Proc. Amer. Math. Soc. – 1986. – 98, № 2. – P. 376 – 378.
7. Mawhin J., Walter W. A general symmetry principle and some implications // J. Math. Anal. and Appl. – 1994. –
186, № 3. – P. 778 – 798.
8. Zevin A. A., Pinsky M. A. Minimal periods of periodic solutions of some Lipschitzian differential equations // Appl.
Math. Lett. – 2009. – 22, № 10. – P. 1562 – 1566.
9. Fenchel W. Über krümmung and windung geschlossener raumkurven // Math. Ann. – 1929. – 101. – P. 238 – 252.
10. Borsuk K. Sur la courbure totale des courbes fermées // Ann. pol. math. – 1947. – 20. – P. 251 – 265.
Получено 15.09.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2090 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:31Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/25/e7965d3d44d4098c3a11bddeaf77c225.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20902019-12-05T09:50:14Z Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations Границы периодов периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений Ignat'ev, A. O. Игнатьев, А. О. Игнатьев, А. О. We consider a nonautonomous system of ordinary differential equations. It is supposed that this system has a periodic solution. We establish the lower bound for the period of this solution. Розглядається неавтономна система звичайних диференціальних рівнянь. Припускається, що ця система має періодичний розв'язок. Метою цієї статті є встановлення оцінки знизу значення періоду цього розв'язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2090 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 11 (2015); 1569-1573 Український математичний журнал; Том 67 № 11 (2015); 1569-1573 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2090/1195 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2090/1196 Copyright (c) 2015 Ignat'ev A. O. |
| spellingShingle | Ignat'ev, A. O. Игнатьев, А. О. Игнатьев, А. О. Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations |
| title | Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations |
| title_alt | Границы периодов периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full | Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations |
| title_fullStr | Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations |
| title_full_unstemmed | Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations |
| title_short | Bounds for the Periods of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations |
| title_sort | bounds for the periods of periodic solutions of ordinary differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2090 |
| work_keys_str_mv | AT ignat039evao boundsfortheperiodsofperiodicsolutionsofordinarydifferentialequations AT ignatʹevao boundsfortheperiodsofperiodicsolutionsofordinarydifferentialequations AT ignatʹevao boundsfortheperiodsofperiodicsolutionsofordinarydifferentialequations AT ignat039evao granicyperiodovperiodičeskihrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT ignatʹevao granicyperiodovperiodičeskihrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT ignatʹevao granicyperiodovperiodičeskihrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij |