Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness
We establish the exact-order estimates of Kolmogorov widths and entropy numbers for analogs of the Nikol’skii–Besov classes with logarithmic smoothness.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2092 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508019574439936 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:14Z |
| description | We establish the exact-order estimates of Kolmogorov widths and entropy numbers for analogs of the Nikol’skii–Besov classes with logarithmic smoothness. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Стасюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ
НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ГЛАДКОСТЬЮ*
We establish the exact-order estimates of Kolmogorov widths and entropy numbers for the analogs of the Nikol’skii – Besov
classes with logarithmic smoothness.
Знайдено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел для аналогiв класiв Нi-
кольського – Бєсова з логарифмiчною гладкiстю.
Пусть Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, — пространство Лебега 2π-периодических функций f(x), x ∈ [0, 2π], со
стандартной нормой || · ||q. Для r > 0, 1 < p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ обозначим
B0,r
p,θ := {f ∈ Lp : ||f ||
B0,r
p,θ
≤ 1}, (1)
где
||f ||
B0,r
p,θ
:=
( ∞∑
s=0
((s+ 1)r||δs(f)||p)θ
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (2)
||f ||
B0,r
p,∞
:= sup
s≥0
||δs(f)||p
(s+ 1)−r
, θ =∞, (3)
а δs(f) :=
∑
[2s−1]≤|k|<2s
f̂(k)eikx, f̂(k) := (2π)−1
∫ 2π
0
f(x)e−ikxdx. Классы B0,r
p,θ мы называем
аналогами классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью. В случае θ = ∞
вместо B0,r
p,∞ иногда будем писать H0,r
p , т. е. будем полагать B0,r
p,∞ ≡ H0,r
p .
Заметим, что для классов LGr, которые можно отождествить с классамиH0,r
∞ , в [1] установ-
лены точные по порядку оценки поперечников по Колмогорову и энтропийных чисел. Классы,
определяемые с помощью (1) – (3), изучались также в работах [2, 3], с точки зрения установле-
ния порядковых оценок некоторых аппроксимативных характеристик этих классов, а в работе
[4], с точки зрения вложения в некоторые пространства гладких функций.
Приведем определение исследуемых в данной работе аппроксимативных характеристик.
Пусть K — компакт в банаховом пространстве X с единичным шаром BX . Величины
dm(K, X) := inf
{vj}mj=1⊂X
sup
f∈K
inf
cj
∥∥∥∥f − m∑
j=1
cjvj
∥∥∥∥
X
, (4)
εm(K, X) := inf
{
ε: ∃{uj}nj=1 ⊂ X,n ≤ 2m−1,K ⊂
n⋃
j=1
{uj + εBX}
}
, m = 1, 2, . . . , (5)
* Выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (проект
№ GP/F32/0100) и FP7-People-2011-IRSES (проект № 295164 (EUMLS: EU-Ukrainian Mathematicians for Life
Sciences)).
c© С. А. СТАСЮК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1579
1580 С. А. СТАСЮК
называются соответственно m-м поперечником по Колмогорову и m-м энтропийным числом
множества K в пространстве X. С результатами исследования величин (4) и (5) можно ознако-
миться, например, в [5 – 8], где приведена обширная библиография.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема A [1]. Для r > 1 справедливы соотношения
dm(LGr, Lq) � εm(LGr, Lq) �
(log2m)−r+1, если q =∞,
(log2m)−r+1/2, если 1 ≤ q <∞.
(6)
Теорема 1. Пусть 1 ≤ θ <∞, r > 1− 1
θ
, тогда
dm(B0,r
∞,θ, L∞) � εm(B0,r
∞,θ, L∞) � (log2m)−r+1− 1
θ . (7)
Теорема 2. Пусть 1 ≤ q <∞, r > 1
2
− 1
θ
, тогда для max{q; 2} ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ θ <∞ или
max{q; 2} ≤ p <∞, θ =∞ имеют место порядковые равенства
dm(B0,r
p,θ , Lq) � εm(B0,r
p,θ , Lq) � (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (8)
Сравнивая приведенные выше теоремы, видим, что теоремы 1 и 2 дополняют результат
теоремы A в том смысле, что помимо введения и рассмотрения дополнительных параметров p
и θ также удалось расширить область изменения параметра r.
Заметим, что условия r >
(
1
2
− 1
θ
)
+
:= max
{
0;
1
2
− 1
θ
}
и r > 1 − 1
θ
обеспечивают
вложение B0,r
p,θ ⊂ Lq при 1 ≤ q < ∞, q ≤ p, 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ и q = p = ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞
соответственно. Этот факт следует из доказательства оценок сверху в теоремах 1 и 2 с помощью
применения неравенства Гельдера и соотношения (см., например, [6] (введение, § 3), [7] (гл. § I,
§ 1.1)) ∥∥∥∥∥∥
( ∞∑
s=0
|δs(f)|2
)1/2
∥∥∥∥∥∥
p
�
( ∞∑
s=0
||δs(f)||2p
)1/2
, 2 ≤ p <∞, (9)
для f ∈ Lp. Соотношение (9) является следствием теоремы Литтлвуда – Пэли.
Основные пункты доказательства теорем 1 и 2 включают оценки сверху для dm(B0,r
p,θ , Lq),
оценки снизу для εm(B0,r
p,θ , Lq) с последующим применением леммы, вытекающей из одного
неравенства Карла (см., например, [1]).
Лемма A. Пусть A — компакт в сепарабельном банаховом пространстве X. Предполо-
жим, что для пары чисел (a, b), где либо a > 0, b ∈ R, либо a = 0, b < 0, выполнены
соотношения
dm(A,X)� m−a(log2m)b,
εm(A,X)� m−a(log2m)b.
Тогда
dm(A,X) � εm(A,X) � m−a(log2m)b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 1581
Доказательство теорем 1 и 2. Нижеприведенная схема рассуждений аналогична приме-
няемой в [1] при доказательстве теоремы A.
Установим сначала оценки сверху для dm(B0,r
p,θ , Lq). С этой целью рассмотрим при m = 2n
приближение функций f ∈ B0,r
p,θ суммами Фурье S2n(f) =
∑n
s=0
δs(f).
При p = q = ∞, 1 < θ < ∞, r > 1 − 1
θ
вследствие применения неравенства Гельдера
получаем
||f − S2n(f)||∞ =
∥∥∥∥∥∑
s>n
δs(f)
∥∥∥∥∥
∞
≤
∑
s>n
(s+ 1)−r||δs(f)||∞(s+ 1)r ≤
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−rθ
′
) 1
θ′
(∑
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||∞)θ
)1/θ
� n−r+1− 1
θ ||f ||
B0,r
∞,θ
≤
≤ n−r+1− 1
θ � (log2m)−r+1− 1
θ . (10)
Если же p = q =∞, θ = 1, r > 0, то
||f − S2n(f)||∞ ≤
∑
s>n
(s+ 1)−r||δs(f)||∞(s+ 1)r <
< n−r
∑
s>n
(s+ 1)r||δs(f)||∞ ≤ n−r||f ||B0,r
∞,1
≤ n−r � (log2m)−r. (11)
Пусть теперь 2 ≤ q <∞, 2 < θ <∞, r > 1
2
− 1
θ
. Применяя следствие теоремы Литтлвуда –
Пэли (9) и неравенство Гельдера, имеем
||f − S2n(f)||q �
(∑
s>n
||δs(f)||2q
)1/2
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−2r(||δs(f)||p (s+ 1)r)2
)1/2
≤
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−
2rθ
θ−2
) 1
2
− 1
θ
(∑
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||p)θ
)1/θ
�
� n−r+
1
2
− 1
θ ||f ||
B0,r
p,θ
≤ n−r+
1
2
− 1
θ � (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (12)
Если же q ≥ 2, θ = 2, r > 0, то
||f − S2n(f)||q �
(∑
s>n
(s+ 1)−2r(||δs(f)||p (s+ 1)r)2
)1/2
<
< n−r
(∑
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||p)2
)1/2
≤ n−r||f ||
B0,r
p,2
� (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (13)
В случае же 2 ≤ q <∞, θ =∞, r > 1
2
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1582 С. А. СТАСЮК
||f − S2n(f)||q �
(∑
s>n
(s+ 1)−2r(||δs(f)||p (s+ 1)r)2
)1/2
≤
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−2r
)1/2
sup
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||p)�
� n−r+
1
2 ||f ||
H0,r
p
� n−r+
1
2 � (log2m)−r+
1
2 . (14)
При 1 ≤ q < 2 ≤ θ ≤ ∞, r > 1
2
− 1
θ
, учитывая || · ||q ≤ || · ||2 и (12) – (14), имеем
dm(B0,r
p,θ , Lq) ≤ dm(B0,r
p,θ , L2)� (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (15)
Таким образом, оценки сверху в (7), (8) для dm(B0,r
p,θ , Lq), вследствие (10) – (15), уста-
новлены.
Докажем теперь оценки снизу в (7) и (8) для εm(B0,r
p,θ , Lq).
Базовыми при доказательстве этих оценок являются следующие утверждения из [1].
Предварительно для любого множества Λ ⊂ Z через T (Λ) обозначим множество тригоно-
метрических полиномов вида
t(x) =
∑
k∈Λ
cke
ikx
и для случая, когда множество Λ ⊂ Z симметрично относительно начала координат (Λ = −Λ),
положим
Tr(Λ) =
{
t(x) =
∑
k∈Λ
cke
ikx : ck = c−k, k ∈ Λ
}
(для Λ = −Λ иногда будем использовать обозначение Tr(Λ
⋂
Z+) вместо Tr(Λ)).
Теорема B [1]. Для любого полинома вида
f =
2l∑
k=l+1
pk(x) cos 4kx,
где pk ∈ Tr({−2l, . . . , 2l}), k = l + 1, . . . , 2l, l = 1, 2, . . . , выполняется неравенство
||f ||∞ ≥ c
2l∑
k=l+1
||pk||1, c > 0.
Лемма B [1]. Существует такая абсолютная постоянная c0 > 0, что в каждом про-
странстве Tr({N, . . . , N +m}) можно найти 2m функций t1, . . . , t2
m
, для которых
1) ||ti||∞ ≤ 1 для каждого i;
2) ||ti1 − ti2 ||1 ≥ c0, i1 6= i2, i1, i2 ∈ {1, . . . , 2m}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 1583
Лемма C [1]. Пусть заданы натуральные числа m, µ, µ < m, и „параллелепипед” Π ⊂
⊂ Zm,
Π =
m⊗
j=1
{1, . . . ,Mj},
причем для некоторых Q ∈ N, M ∈ N, Q ≤M,
Q ≤Mj ≤M, j = 1, . . . ,m.
Тогда найдется множество Ω ⊂ Π из не менеее чем
[
M−µ(Qm−1)/
(
m
µ
)]
различных точек,
имеющее следующее свойство: если x = xj ∈ Ω, y = yj ∈ Ω, x 6= y, то
#{j : xj 6= yj} ≥ µ.
Поскольку правая часть (8) от q не зависит, а || · ||q ≥ || · ||1, 1 ≤ q < ∞, и имеет мес-
то вложение B0,r
∞,θ ⊂ B0,r
p,θ , 1 < p ≤ ∞, то доказательство оценок снизу для εm(B0,r
p,θ , Lq),
1 ≤ q < ∞, сводится к рассмотрению случая q = 1, p = ∞. При θ = ∞, исходя из таких же
соображений, считаем, учитывая (6), что нижняя оценка в (8) для εm(B0,r
p,∞, Lq) уже доказана.
Для каждого числа l построим специальный набор функций Fl ⊂ B0,r
∞,θ, на котором будет
реализована нижняя оценка для ε2l(B
0,r
∞,θ, L1). Зафиксируем число l и для каждого j = l +
+ 1, . . . , 2l, согласно лемме B, в которой положим N = 2j , m = 2l, определим набор {tij}2
2l
i=1 ⊂
⊂ Tr({2j , . . . , 2j + 2l}) со свойствами:
а) ||tij ||∞ ≤ 1;
б) ||ti1j − t
i2
j ||1 ≥ c0 для любых j, i1 6= i2.
В результате получим l таких наборов. Далее рассмотрим в качестве „параллелепипеда” Π
из леммы C „куб”
l⊗
j=1
{1, . . . ,M}, положив M = 22l , m = l, µ = [l/3]
(
тогда
[
M−µ(Mm −
−1)/
(
m
µ
)]
≥ 2l2
l−1
)
, и по соответствующему множеству Ω из леммы C определим множество
функций
F0
l :=
fI =
2l∑
j=l+1
t
ij
j : ij ∈ {1, . . . , 22l}, I := (il+1, . . . , i2l) ⊂ Ω
.
Заметим, что 2l2
l−1 ≤ cardF0
l ≤ 2l2
l
.
Для произвольной функции f ∈ F0
l , учитывая, что ||δs(f)||∞ ≤ 1 при s = l + 1, . . . , 2l и
δs(f) = 0 при s ∈ Z+\{l + 1, . . . , 2l} (см. свойство а)), имеем
||f ||
B0,r
∞,θ
=
(
2l∑
s=l+1
((s+ 1)r||δs(f)||∞)θ
)1/θ
≤
(
2l∑
s=l+1
(s+ 1)rθ
)1/θ
� lr+
1
θ .
Положим Fl := C1l
−r− 1
θF0
l . Тогда, очевидно, при некотором C1 > 0 имеет место вложение
Fl ⊂ B0,r
∞,θ при любом l ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1584 С. А. СТАСЮК
Далее, в [1] показано, что
||f − g||1 � l1/2 ∀f, g ∈ F0
l , f 6= g, (16)
а значит, с учетом εl2l−1(F0
l , L1) � l1/2 и ε2l(B
0,r
∞,θ, L1) � ε2l(Fl, L1) � l−r+
1
2
− 1
θ , завершаем
доказательство оценки снизу для εm(B0,r
p,θ , Lq) в случае 1 ≤ q <∞.
Перейдем к случаю q = ∞. Доказательство в этом случае фактически совпадает с доказа-
тельством для случая 1 ≤ q < ∞, а точнее, для q = 1. Отметим только отличия. Вместо Fl
рассмотрим подмножество H = {hI , I ∈ Ω} (Ω — множество точек (наборов) I, построенное в
лемме C), где hI =
∑2l
k=l+1
tik cos 4kx, а tik — удовлетворяющий требованиям леммы B (при
N = 0, m = 2l) набор тригонометрических полиномов порядка 2l с числом элементов 22l .
Применяя теперь теорему B (вместо (16)), для h ∈ H, g ∈ H, h 6= g, имеем ||h− g||∞ ≥ cl,
поэтому ε2l(B
0,r
∞,θ, L∞)� l−r+1− 1
θ (вследствие включения C2l
−r− 1
θH ⊂ B0,r
∞,θ, C2 > 0).
Таким образом, оценки сверху для dm(B0,r
p,θ , Lq) и такие же по порядку оценки снизу для
εm(B0,r
p,θ , Lq) получены. Отсюда, с учетом леммы A, заключаем, что теоремы 1 и 2 доказаны.
Отметим, что в [3] при 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞, q < ∞, 1 ≤ θ ≤ 2, r > 0 установлена оценка
dm(B0,r
p,θ , Lq) � (log2m)−r, которая дополняет теорему 2, например, по значениям параметра θ.
В заключение выражаю благодарность В. С. Романюку за обсуждение результатов работы
и полезные замечания при ее оформлении.
1. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих
переменных // Теория функций. Сер. физ.-мат. наук. – 2007. – 25. – С. 58 – 79.
2. Seeger A., Trebels W. Low regularity classes and entropy numbers // Arch. Math. – 2009. – 92, № 2. – P. 147 – 157.
3. Стасюк С. А. Аппроксимативные характеристики аналогов классов Бесова с логарифмической гладкостью //
Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 4. – С. 493 – 499.
4. Cobos F., Domı́nquez Ó. On Besov spaces of logarithmic smoothness and Lipschitz spaces // J. Math. Anal. and
Appl. – 2015. – 425, № 1. – P. 71 – 84.
5. Пич А. Операторные идеалы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 536 с.
6. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions // Comput. Math. and Anal. Ser. – Commack, New York: Nova
Sci. Publ., Inc., 1993. – 419 p.
7. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
8. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов периодических функций многих переменных
// Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. –
С. 196 – 213.
Получено 10.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2092 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:33Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a0/e9abe832a2a535e1369d6550c8bb7ba0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20922019-12-05T09:50:14Z Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. We establish the exact-order estimates of Kolmogorov widths and entropy numbers for analogs of the Nikol’skii–Besov classes with logarithmic smoothness. Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників та ентропійних чисел для аналогів класів Hiкольського - Бєсова з логарифмічною гладкістю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2092 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 11 (2015); 1579-1584 Український математичний журнал; Том 67 № 11 (2015); 1579-1584 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2092/1199 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2092/1200 Copyright (c) 2015 Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title | Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_alt | Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_full | Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_fullStr | Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_short | Kolmogorov Widths for Analogs of the Nikol’skii–Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_sort | kolmogorov widths for analogs of the nikol’skii–besov classes with logarithmic smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2092 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa kolmogorovwidthsforanalogsofthenikolskiibesovclasseswithlogarithmicsmoothness AT stasûksa kolmogorovwidthsforanalogsofthenikolskiibesovclasseswithlogarithmicsmoothness AT stasyuksa kolmogorovskiepoperečnikianalogovklassovnikolʹskogobesovaslogarifmičeskojgladkostʹû AT stasûksa kolmogorovskiepoperečnikianalogovklassovnikolʹskogobesovaslogarifmičeskojgladkostʹû |