Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions
We study the Cauchy problem for the Korteweg–de-Vries equation in the class of functions approaching a finite- zone periodic solution of the KdV equation as $x → −∞$ and 0 as $x → +∞$. We prove the existence of infinitely many “regularized” integrals of motion for the solutions $u(x, t)$ of the Cauc...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2093 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508019375210496 |
|---|---|
| author | Andreev, K. N. Khruslov, E. Ya. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. |
| author_facet | Andreev, K. N. Khruslov, E. Ya. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. |
| author_sort | Andreev, K. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:29Z |
| description | We study the Cauchy problem for the Korteweg–de-Vries equation in the class of functions approaching a finite- zone periodic solution of the KdV equation as $x → −∞$ and 0 as $x → +∞$. We prove the existence of infinitely many
“regularized” integrals of motion for the solutions $u(x, t)$ of the Cauchy problem, with explicit dependence on time. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.94
К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов (Физ.-техн. ин-т низ. температур НАН Украины, Харьков)
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА В КЛАССЕ НЕУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ
We study the Cauchy problem for the Korteweg–de-Vries equation in the class of functions approaching a finite- zone
periodic solution of the KdV equation as x → −∞ and 0 as x → +∞. We prove the existence of infinitely many
“regularized” integrals of motion for the solutions u(x, t) of the Cauchy problem, with explicit dependence on time.
В роботi вивчається розв’язок задачi Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза у класi функцiй, що прямують до
скiченнозонного перiодичного розв’язку цього рiвняння при x → −∞ i до 0 при x → +∞. Доведено iснування
нескiнченного числа „регуляризованих” iнтегралiв руху для розв’язку u(x, t) задачi Кошi, до яких явно входить час.
1. Введение. Хорошо известно, что решение задачи Коши для уравнения Кортевега – де Фриза
(КдФ):
∂u
∂t
− 6u
∂u
∂x
+
∂3u
∂x3
= 0, u|t=0 = u0(x), −∞ < x < +∞
u(x)→ 0, |x| → ∞,
(1.1)
имеет такое свойство: для него существует счетная серия интегралов движения, которая пред-
ставима в виде
In[u] =
+∞∫
−∞
Pn(u, ux, . . .)dx, (1.2)
т. е. эти интегралы не зависят от времени. Здесь Pn(u, ux, . . .) — полином по u и пространствен-
ным производным от u. Первые три полинома имеют вид P1(u) = u, P2(u) = u2, P3(u, ux) =
= u3 +
1
2
u2x. Впервые этот факт был отмечен в работах [1, 3], где указана общая процедура их
построения. Другой подход к определению Pn(u, ux, ...) был развит Лаксом [4]. Захаров В. Е.,
Фадеев Л. Д. в работе [5] построили теорию уравнения КдФ, как вполне интегрируемой га-
мильтоновой системы. Они получили вид интегралов движения, выраженных через данные
рассеяния. Была введена симплектическая структура на соответствующем многообразии и по-
казано, что эти интегралы находятся в инволюции. Третий из них играет роль гамильтониана
H[u] для уравнения КдФ, представимого в виде
ut =
d
dx
δH[u]
δu
, (1.3)
где символ
δ
δu
обозначает производную Фреше.
Отметим, что в работе [5] рассматривались убывающие при x → ±∞ решения. В данной
работе рассматриваются решения уравнения КдФ в классе неубывающих функций, а именно,
c© К. Н. АНДРЕЕВ, Е. Я. ХРУСЛОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1587
1588 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
решения u, стремящиеся к 0 при x → +∞ и к периодическому фону при x → −∞. В таком
случае интегралы движения вида (1.2) расходятся. В работе построены „регуляризованные”
интегралы движения, в которые явно входит время. Тем не менее уравнение КдФ представля-
ется в гамильтоновом виде (1.3). Таким образом, в указанном классе неубывающих решений
уравнение КдФ можно рассматривать как неавтономную гамильтонову динамическую систему.
Опишем кратко структуру статьи. Метод обратной задачи решения задачи Коши для урав-
нения КдФ использует представление Лакса Lt = [A,L], где L — оператор Шредингера, а A —
дифференциальный оператор третьего порядка. Поэтому во втором пункте приведены необхо-
димые сведения из теории рассеяния для уравнения Шредингера и выведены асимптотические
формулы для его решений. В третьем пункте установлена эволюция по времени данных рассе-
яния для оператора Шредингера, потенциал для которого является решением задачи Коши. Все
это используется в четвертом пункте, где приведены „регуляризованные” интегралы движения
для задачи Коши в классе решений, стремящихся к периодическому фону при x → −∞ и к 0
при x→ +∞. Эти интегралы явно зависят от времени. В пятом пункте рассмотрены решения,
стремящиеся к постоянному фону при x→ −∞, и найдены интегралы движения, не зависящие
явно от времени.
2. Необходимые сведения из теории рассеяния. Введем определения и обозначения,
используемые в дальнейшем. Рассмотрим дифференциальное уравнение Хилла
−y′′ + q0(x)y = λy, −∞ < x < +∞, (2.1)
с вещественным периодическим потенциалом q0(x):
q0(x+ a) = q0(x).
Без ограничения общности будем считать, что a = 1. Пусть θ(x, λ), φ(x, λ) — фундаментальная
система решений уравнения (2.1), определенная начальными условиями
θ(0, λ) = φ′(0, λ) = 1, θ′(0, λ) = φ(0, λ) = 0.
Следуя [6], обозначим φ = φ(1, λ), φ′ = φ′(1, λ), θ = θ(1, λ), θ′ = θ′(1, λ). Решения
ψ̃1,2(x, λ) = θ(x, λ) +m1,2(λ)φ(x, λ) (2.2)
называются решениями Вейля. Здесь m1,2(λ) =
φ′ − θ
2φ
±
√
F 2(λ)− 1
φ
— функции Вейля, а
F (λ) =
φ′ + θ
2
— дискриминант Хилла. Множество
σ = {λ : Imλ = 0, |F (λ)| ≤ 1}
называется спектром оператора L0 = −
d2
dx2
+q0(x) в пространстве L2(−∞,+∞). Для решений
Вейля имеют место следующие представления [6, с. 348] :
ψ̃1,2(x, λ) = exp (∓iρ(λ)x)χ12(x),
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1589
ρ(λ) = i ln
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)
= arcsin
(
i
√
F 2(λ)− 1
)
,
χ12(x) — периодические функции с периодом 1.
Предположим, что потенциал q0(x) имеет производные до порядка n − 2 включительно, где
n > 2 — любое фиксированное число. Уравнение Хилла (2.1) имеет линейно независимые
решения ỹ(x,±
√
λ) представимые в виде [7, c. 60] (Л.1.4.2)
ỹ(x,±
√
λ) = exp
±i√λx+
x∫
0
σ̃(ξ,±
√
λ)dξ
, (2.3)
где
σ̃(x,±
√
λ) =
n−1∑
j=1
σ̃j(x)
(±2i
√
λ)j
+
σ̃n(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n
, (2.4)
n — любое фиксированное натуральное число. При этом функции σ̃j(x), 1 ≤ j ≤ n − 1,
определяются рекуррентными соотношениями
σ̃1(x) = q0(x),
σ̃j+1(x) = −σ̃′j(x)−
j−1∑
l=1
σ̃j−l(x)σ̃l(x),
(2.5)
и при |λ| → +∞ имеет место асимптотическое равенство
σ̃n(x,±
√
λ) = o(1) (2.6)
равномерно по x : |x| < N, где N = const, при Imλ ≥ 0.
Рассмотрим теперь уравнение Шредингера на всей оси :
−y′′ + q(x)y = λy, −∞ < x < +∞, (2.7)
с вещественным потенциалом q(x), удовлетворяющим условиям
0∫
−∞
(1 + x2)|q(j)(x)− q(j)0 (x)|dx < +∞,
+∞∫
0
(1 + x2)|q(j)(x)|dx < +∞, j = 0, n, (2.8)
где q0(x) — вещественный периодический конечнозонный потенциал для уравнения Хилла (2.1)
(см., например, [11, 12]). Известно, что уравнение (2.7) имеет линейно независимые решения
вида [7, с. 162]
φ1,2(x, λ) = e±i
√
λx +
+∞∫
x
K+(x, y)e±i
√
λydy, λ > 0, (2.9)
где ядро K+(x, y) не зависит от спектрального параметра, и для него справедлива оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1590 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
|K+(x, y)| ≤ 1
2
l
(
x+ y
2
)
exp
(
l1(x)− l1
(
x+ y
2
))
,
l(x) =
+∞∫
x
|q(y)|dy, l1(x) =
+∞∫
x
|l(y)|dy.
Кроме того, K+(x, x) =
1
2
∫ +∞
x
|q(y)|dy. В работе [9] доказано, что при λ ∈ Intσ существует
фундаментальная система ψ1,2(x, λ) решений уравнения (2.7) вида
ψ1,2(x, λ) = ψ̃1,2(x, λ) +
x∫
−∞
K−(x, y)ψ̃1,2(y, λ)dy, (2.10)
где ψ̃1,2(x, λ) имеет вид (2.2), и для ядра K−(x, y) справедлива оценка
|K−(x, y)| ≤ C(x)
x+y
2∫
−∞
|q(ξ)− q0(ξ)|dξ. (2.11)
Здесь C(x) — непрерывная положительная монотонно убывающая функция при x → −∞.
Функции φ1,2(x, λ) составляют фундаментальную систему решений уравнения (2.7) при λ > 0,
а функции ψ1,2(x, λ) — при λ ∈ Intσ, поэтому они связаны равенствами
ψ1(x, λ) = c11(λ)φ1(x, λ) + c12(λ)φ2(x, λ), λ > 0,
φ1(x, λ) = c22(λ)ψ1(x, λ) + c21(λ)ψ2(x, λ), λ ∈ Intσ.
(2.12)
Введем еще одну пару линейно независимых решений y(x,±λ) для уравнения Шредингера с
потенциалом удовлетворяющим условиям (2.8). Это будет выполнено в лемме 2, доказатель-
ство которой существенно использует методы развитые в [8]. Сначала, получим необходимую
уточненную асимптотическую формулу для функции Вейля m1(λ) при |λ| → +∞.
Лемма 2.1. При |λ| → ∞, Imλ ≥ 0 имеет место асимптотическая формула
m1(λ) = −i
√
λ+ σ̃(0,−
√
λ) +O(|λ−n/2|), (2.13)
где n — любое фиксированное натуральное число, а функция σ̃(0,−
√
λ) определяется по фор-
муле (2.4).
Доказательство. Как показано в [6], функция m1(λ) удовлетворяет уравнению
m2(λ) +
θ(λ)− φ′(λ)
φ(λ)
m(λ)− θ′(λ)
φ(λ)
= 0. (2.14)
В силу (2.4) и (2.5) в рассматриваемом случае периодического конечнозонного потенциала
q0(x) при любом натуральном n и |λ| → +∞ справедливо равенство
σ̃(1,−
√
λ) = σ̃(0,−
√
λ) + o(|λ|−n/2). (2.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1591
Подставляя функцию ν(λ) = −i
√
λ + σ̃(0,−
√
λ) в левую часть уравнения (2.14) и учитывая
соотношения (2.14), (2.15), убеждаемся, что ν(λ) является решением уравнения
ν2(λ) +
θ(λ)− φ′(λ)
φ(λ)
ν(λ)− θ′(λ)
φ(λ)
= O(|λ|−n/2+1). (2.16)
Вычтем из уравнения (2.14) с подстановкой m(λ) = m1(λ) уравнение (2.16) :
(m1(λ)− ν(λ))(m1(λ) + ν(λ) +
θ(λ)− φ′(λ)
φ(λ)
) = O(|λ|−n/2+1).
Устремим |λ| к ∞ и воспользуемся асимптотиками из [6] :
m1(λ) = −i
√
λ+O(1),
ν(λ) = −i
√
λ+O
(
1√
λ
)
,
∣∣∣∣θ(λ)− φ′(λ)φ(λ)
∣∣∣∣ = O(1).
Тогда получим
m1(λ)− ν(λ) = O(|λ|−n/2).
Следовательно, справедлива следующая уточненная асимптотическая формула для функции
Вейля:
m1(λ) = −i
√
λ+ σ̃(0,−
√
λ) +O(|λ−n/2|).
Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.2. Уравнение Шредингера (2.7) с вещественным потенциалом q(x), удовлетво-
ряющим условиям (2.8), при достаточно больших λ ∈ Intσ имеет два линейно независимых
решения y(x,±
√
λ), представимые в виде
y(x,±
√
λ) = exp
±i√λx+
x∫
0
σ̃(ξ,±
√
λ)dξ
1 +
n∑
j=1
wj(x)
(±2i
√
λ)j
+
wn+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
,
(2.17)
где функции σ̃(x,±
√
λ) определяются формулами (2.4), (2.5), а функции wj(x) связаны рекур-
рентными соотношениями
w′1(x) = q(x)− q0(x),
w′j(x) = σj(x)− σ̃j(x) +
j−1∑
l=1
wl(x)(σj−l(x)− σ̃j−l(x)), j = 2, n, (2.18)
wn+1(x,±
√
λ) exp
±i√λx+
x∫
0
σ̃(ξ,±
√
λ)dξ
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1592 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
= ±2i
√
λ
∫ x
−∞
gn+1(y, λ)
ψ1(x, λ)ψ2(y, λ)− ψ1(y, λ)ψ2(x, λ)
m2(λ)−m1(λ)
dy,
в которых функции σj(x) определяются из рекуррентных соотношений (2.5) при σ1(x) = q(x)
и функции wj(x)→ 0 при x→ −∞, причем gn+1(y, λ) ∈ L1(−∞, 0].
Доказательство. 1. Решения уравнения Хилла (2.1) ỹ(x,±
√
λ) при достаточно больших
λ ∈ Intσ и ψ̃1,2(x, λ) вида (2.2) и (2.3) соответственно образуют фундаментальные системы.
Следовательно, одно из решений можно выразить в виде линейной комбинации других:
ỹ(x,−
√
λ) = A(λ)ψ̃1(x, λ) +B(λ)ψ̃2(x, λ). (2.19)
Подставkzz в это равенство, а также в соответствующее равенство для производной ỹ(x,−
√
λ)
значение x = 0 и учитывая лемму 2.1, получаем асимптотические равенства для коэффициентов
A(λ) и B(λ) при λ→ +∞:
A(λ) = 1 +O(|λ|−n/2), B(λ) = O(|λ|−n/2), (2.20)
где n — любое фиксированное натуральное число.
2. Дифференцируя равенство (2.19) по x и учитывая (2.4), (2.5), имеем
ỹ(x,−
√
λ)(−i
√
λ+ σ̃(x,−
√
λ)) = A(λ)(−iρ(λ))ψ̃1(x, λ) +B(λ)(iρ(λ))ψ̃2(x, λ)+
+A(λ)e−iρ(λ)xχ′1(x, λ) +B(λ)eiρ(λ)xχ′2(x, λ).
Поскольку равенства χ′1(x, λ) = χ′2(x, λ) = O
(
1
|
√
λ|
)
и ρ(λ) =
√
λ + O(1) выполняются
равномерно по x, то справедлива следующая оценка:
|ỹ(x,−
√
λ)σ̃(0,−
√
λ)| ≤ const√
λ
+ o
(
1√
λ
)
. (2.21)
3. Подставляя правую часть решения (2.3) в уравнение Хилла, убеждаемся, что функции
σ̃(x,±
√
λ) удовлетворяют уравнениям
σ̃′(x,±
√
λ)± 2i
√
λσ̃(x,±
√
λ) + σ̃2(x,±
√
λ) = q0(x). (2.22)
Теперь подставим правую часть формулы (2.17) в уравнение (2.7). Тогда, учитывая (2.22), имеем
−
n∑
j=1
w′′j (x)
(±2i
√
λ)j
−
w′′n+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
− 2(±i
√
λ+ σ̃(x,±
√
λ))×
×
n∑
j=1
w′j(x)
(±2i
√
λ)j
+
w′n+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
+
+(q(x)− q0(x))
1 +
n∑
j=1
wj(x)
(±2i
√
λ)j
+
wn+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1593
Раскрывая скобки, сдвигая индексацию суммирования, а затем приравнивая к нулю коэффици-
енты при степенях (±2i
√
λ)−j , j = 0, n− 1, получаем рекуррентные соотношения
1
(±2i
√
λ)0
: w′1(x) = q(x)− q0(x),
1
(±2i
√
λ)1
: − w′′1(x)− w′2(x) + (q(x)− q0(x))wj(x) = 0, (2.23)
j = 2, n− 1 : − w′′j (x)w′j+1(x)− 2
j−1∑
l=1
w′l(x)σ̃j−l(x) + (q(x)− q0(x))wj(x) = 0,
− w′′n(x)
(±2i
√
λ)n
−
w′′n+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
− 2(±i
√
λ+ σ̃(x,±
√
λ))
w′n+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
− 2w′n(x)σ̃(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n
+
+(q(x)− q0(x))
wn(x)
(±2i
√
λ)n
+ (q(x)− q0(x))
wn+1(x,±
√
λ)
(±2i
√
λ)n+1
+
+
P (w′1(x), . . . , w
′
n(x), σ̃1(x), . . . , σ̃n(x), λ)
(±2i
√
λ)n
= 0. (2.24)
Умножив равенство (2.24) на ỹ(x,±
√
λ), получим дифференциальное уравнение для функции
vn+1(x,±
√
λ) ≡ wn+1(x,±
√
λ)ỹ(x,±
√
λ) :
−v′′n+1(x,±
√
λ) + q(x)vn+1(x,±
√
λ)− λvn+1(x,±
√
λ) = ±2i
√
λgn+1(x,±
√
λ), (2.25)
в котором функции gn+1(x,±
√
λ) содержат оставшиеся слагаемые равенства (2.24). Учитывая,
что (1 + |x|)P ∈ L1(−∞, 0], и (2.21), имеем gn+1(x,±
√
λ) ∈ L1(−∞, 0]. Следовательно, вводя
функцию Грина
G(x, y, λ) =
ψ2(x, λ)ψ1(y, λ)− ψ2(y, λ)ψ1(x, λ)
m2(λ)−m1(λ)
и учитывая, что gn+1(x,±
√
λ) ∈ L1(−∞, 0], получаем решение дифференциального уравне-
ния (2.25) в виде
vn+1(x,±
√
λ) = ±2i
√
λ
x∫
−∞
ψ2(x, λ)ψ1(y, λ)− ψ2(y, λ)ψ1(x, λ)
m2(λ)−m1(λ)
gn+1(y,±
√
λ)dy,
стремящееся к 0 при x→ −∞.
4. Равенство (2.18) докажем индукцией по j. При j = 1 равенство очевидным образом
справедливо. Пусть равенство (2.18) справедливо при n = 1, j. Вычисляя w′j+1(x), с помощью
рекуррентных соотношений (2.23), получаем
w′j+1(x) = −w′′j (x)− 2
j−1∑
l=1
w′l(x)σ̃j−l(x) + (q(x)− q0(x))wj(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1594 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
Подставляя w′j(x), а также используя рекуррентные соотношения (2.5), имеем
w′j+1(x) = σj+1(x)− σ̃j+1(x) +
j∑
l=1
wl(x)(σj+1−l(x)− σ̃j+1−l(x)). (2.26)
Таким образом, лемма 2.2 доказана.
Лемма 2.3. Для коэффициента c11(λ) в соотношении (2.12) справедливо следующее асимп-
тотическое равенство при |λ| → +∞ :
2i
√
λc11(λ) = (σ̃(0,−
√
λ)− σ(0,−
√
λ))×
×
1 +
n∑
j=1
wj(0)
(−2i
√
λ)j
+
wn+1(0,−
√
λ)
(−2i
√
λ)n+1
−
n∑
j=1
w′j(0)
(−2i
√
λ)j
−
w′n+1(0,−
√
λ)
(−2i
√
λ)n+1
×
× exp
− +∞∫
0
σ(ξ,−
√
λ)dξ
(1 +O(|
√
λ|−n/2)), (2.27)
где n — любое фиксированное натуральное число.
Доказательство. Рассмотрим вронскиан W (ψ1, φ2), где W (f, g) = fg′ − f ′g. Учитывая
первое из равенств (2.12) и то, что вронскиан не зависит от x, при x = 0 получаем
c11(λ) =
W (ψ1(x, λ), φ2(x, λ))|x=0
2i
√
λ
. (2.28)
Поскольку согласно лемме 2.2 ψ1(x, λ) = Ã(λ)y(x,−
√
λ)+B̃(λ)y(x,
√
λ) и limx→−∞ |y(x,
√
λ)−
−ỹ(x,
√
λ)| = limx→−∞ |y(x,−
√
λ)−ỹ(x,−
√
λ)| = 0, то коэффициенты Ã(λ) и B̃(λ) совпадают
с коэффициентами ˜̃A(λ) и ˜̃B(λ) в разложении ψ̃1(x, λ) =
˜̃A(λ)ỹ(x,−
√
λ) + ˜̃B(λ)ỹ(x,
√
λ), т. е.
для этих коэффициентов при любом фиксированном натуральном n справедливы такие же, как
и в (2.20) асимптотические равенства при |λ| → ∞,
˜̃A(λ) = 1 +O(|λ|−n/2), ˜̃B(λ) = O(|λ|−n/2). (2.29)
Опираясь на задачу, приведенную в [7, с. 184], несложно показать, что решения φ1,2(x, λ)
уравнения (2.7) представимы в виде
φ1,2(x, λ) = exp
±i√λx− +∞∫
x
σ(ξ,±
√
λ)dξ
, (2.30)
где σ(x,±
√
λ) определяются по формулам (2.4), (2.5), в которых σ1(x) = q(x), а
σn(x,±
√
λ) =
+∞∫
0
σn+1(x+ ξ)e±2i
√
λξdξ +
1
±2i
√
λ
+∞∫
0
K̃n(x, ξ)e
±2i
√
λξdξ +O
(
1
λ
)
.
Здесь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1595
+∞∫
0
(|σn+1(x+ ξ)|+ |K̃n+1(x, ξ)|)dξ <∞.
Подставляя (2.29) и (2.30) в (2.28), приходим к асимптотическому равенству (2.27) для коэф-
фициента c11(λ).
Лемма 2.3 доказана.
3. Задача Коши для уравнения КдФ. Рассмотрим задачу Коши для уравнения КдФ :
∂u
∂t
− 6u
∂u
∂x
+
∂3u
∂x3
= 0, u|t=0 = u0(x), (3.1)
с вещественной начальной функцией u0(x), удовлетворяющей условиям
lim
x→−∞
|u0(x)− v0(x)| = lim
x→+∞
u0(x) = 0, (3.2)
где v0(x) — периодический вещественный конечнозонный потенциал с периодом a = 1 для
уравнения Хилла. Пусть v(x, t) — периодическое решение уравнения КдФ с начальной функ-
цией v(x, 0) = v0(x) (существование v(x, t) доказано в [7]). В [10] доказано, что при соответ-
ствующем выборе начальной функции u0(x) задача (3.1), (3.2) имеет решения Шварцовского
типа V, обладающие свойствами
max
|t|≤T
0∫
−∞
(1 + |x|m)
∣∣∣∣∂ju(x, t)∂xj
− ∂jv(x, t)
∂xj
∣∣∣∣ dx < +∞,
max
|t|≤T
+∞∫
0
(1 + xm)
∣∣∣∣∂ju(x, t)∂xj
∣∣∣∣ dx < +∞, j,m = 0, 1, 2, . . . ,
при всех неотрицательных значениях T.
Лемма 3.1. Если в уравнении Шредингера вида (2.7) потенциал u(x, t) является решением
задачи Коши (3.1), (3.2), принадлежащим классу V, то закон изменения во времени c12(λ, t)
задается формулой
c12(λ, t) = c12(λ, 0) exp
−4i(√λ)3t+ t∫
0
(
−2 (v(0, τ) + 2λ)m1(λ, τ) +
∂v(0, τ)
∂x
)
dτ
.
(3.3)
Доказательство. Пусть потенциалы u(x, t) — семейства уравнений (2.7) являются реше-
ниями уравнения КдФ, принадлежащими классу V. Оператор M =
∂
∂t
− 2(u(x, t) + 2λ)
∂
∂x
+
+
∂u(x, t)
∂x
преобразует дифференцируемые по t решения уравнения Шредингера типа (2.7)
в решения этого же уравнения [7, с. 287]. 1. Рассмотрим решения ψ1,2(x, λ, t) вида (2.2) и
покажем, что
M [ψ1,2(x, λ, t)] =
[
−2(v(0, t) + 2λ)m1,2(λ, t) +
∂v(0, t)
∂x
]
ψ1,2(x, λ, t). (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1596 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
Для определенности рассмотрим M1[ψ1(x, λ, t)]. В силу леммы [7, с. 287] при λ ∈ Intσ имеем
M [ψ1] = A(λ, t)ψ1(x, λ, t) +B(λ, t)ψ2(x, λ, t).
Полагая в последнем соотношении x = −n и устремив n → +∞, n к N, из равенства (2.10)
вследствие периодичности функций v(x, t),
∂v(x, t)
∂x
, получаем асимптотическое равенство
∂ψ̃1(−n, λ, t)
∂t
− 2(v(0, t) + 2λ)
∂ψ̃1(−n, λ, t)
∂x
+
∂v(0, t)
∂x
ψ̃1(−n, λ, t) =
= A(λ, t)ψ̃1(−n, λ, t) +B(λ, t)ψ̃2(−n, λ, t). (3.5)
Согласно [6, с. 348] имеем
ψ̃1,2(−n, λ, t) =
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)±n
,
∂
∂x
ψ̃1,2(−n, λ, t) =
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)±n
m1,2(λ, t).
Поскольку функция
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)n
не зависит от t, то соотношение (3.5) принимает
вид
−2(v(0, t) + 2λ)m1(λ, t)
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)n
+
∂v(0, t)
∂x
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)n
=
= A(λ, t)
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)n
+B(λ, t)
(
F (λ) +
√
F 2(λ)− 1
)−n
.
Отсюда, учитывая, что F (λ) +
√
F 2(λ)− 1 6= ±1, при λ ∈ Intσ находим
A(λ, t) = −2(v(0, t) + 2λ)m1(λ, t) +
∂v(0, t)
∂x
, B(λ, t) = 0,
и, следовательно, (3.4) доказано.
2. Учитывая, что c12(λ, t) 6= 0, записываем первое равенство (2.12) в виде
ψ1(x, λ, t)
c12(λ, t)
=
c11(λ, t)
c12(λ, t)
φ1(x, λ) + φ2(x, λ, t), λ > 0. (3.6)
Применяя оператор M к левой и правой частям этого равенства, и учитывая соотношения (3.4)
и M [φ1,2(x, λ, t)] = ∓4i(
√
λ)3φ1,2(x, λ, t) [7, c. 297], находим
M
[
ψ1(x, λ, t)
c12(λ, t)
]
=
ψ1(x, λ, t)
c12(λ, t)
(
c12(λ, t)
∂
∂t
1
c12(λ, t)
+
+
(
−2(v(0, t) + 2λ)m1(λ, t) +
∂v(0, x)
∂x
))
, (3.7)
M
[
c11(λ, t)
c12(λ, t)
φ1(x, λ, t) + φ2(x, λ, t)
]
=
c11(λ, t)
c12(λ, t)
φ1(x, λ, t)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1597(
c12(λ, t)
c11(λ, t)
∂
∂t
(
c11(λ, t)
c12(λ, t)
)
− 4i(
√
λ)3
)
+ 4i(
√
λ)3φ2(x, λ, t).
Вследствие линейной независимости функций φ1(x, λ, t) и φ2(x, λ, t), сравнивая соотноше-
ния (3.7) с (3.6), приходим к дифференциальному уравнению для коэффициента c12(λ, t) :
c12(λ, t)
∂
∂t
1
c12(λ, t)
= 2(v(0, t) + 2λ)m1(λ, t)−
∂v(0, t)
∂x
+ 4i(
√
λ)3.
Интегрируя это уравнение, получаем формулу (3.3).
Лемма 3.1 доказана.
4. Регуляризованные интегралы движения. Покажем, что существует бесконечная серия
интегралов движения для решения u(x, t) задачи Коши (3.1), (3.2). Положим
Q(x,−
√
λ, t) ≡ d
dx
ln
1 +
n∑
j=1
wj(x, t)
(±2i
√
λ)j
+
wn+1(x,±
√
λ, t)
(±2i
√
λ)n+1
,
где wj(x, t) определяются в виде (2.18). Тогда решения y(x,−
√
λ, t) и φ2(x,
√
λ, t), определен-
ные в лемме 2.2 и соотношении (2.30), принимаем вид
y(x,−
√
λ, t) = exp
−i√λx+
x∫
0
σ̃(ξ,−
√
λ, t)dξ +
x∫
−∞
Q(ξ,−
√
λ, t)dξ
, (4.1)
φ2(x, λ, t) = exp
−i√λx− +∞∫
x
σ(ξ,−
√
λ, t)dξ
. (4.2)
Функции σ(x,−
√
λ, t), σ̃(x,−
√
λ, t) при |λ| → +∞ разлагаются в асимптотические ряды
σ̃(x,−
√
λ, t) =
∞∑
j=1
σ̃j(x, t)
(−2i
√
λ)j
, σ(x,−
√
λ, t) =
∞∑
j=1
σj(x, t)
(−2i
√
λ)j
.
где σ̃j(x, t) и σj(x, t) удовлетворяют соотношениям вида (2.4), (2.5) при σ̃1(x, t) = v(x, t) и
σ1(x, t) = u(x, t). Подставляя (4.1) в уравнение Шредингера, получаем, что функция Q(x,
−
√
λ, t) удовлетворяет уравнению
Q′(x,−
√
λ, t)− 2i
√
λQ(x,−
√
λ, t) + 2σ̃(x,−
√
λ, t)Q(x,−
√
λ, t)+
+Q2(x,−
√
λ, t) = u(x, t)− v(x, t).
Отсюда следует, что функция Q(x,−
√
λ, t) при |λ| → +∞ разлагается в асимптотический ряд
Q(x,−
√
λ, t) =
∞∑
j=1
Qj(x, t)
(−2i
√
λ)j
,
в котором коэффициенты представляются в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1598 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
Q1(x, t) = u(x, t)− v(x, t),
Qj+1(x, t) = −Q′j(x, t)− 2
j−1∑
l=1
σ̃l(x, t)Qj−l(x, t)−
j−1∑
l=1
Qj−l(x, t)Ql(x, t).
(4.3)
Рассмотрим первое равенство вида (2.12) :
ψ1(x, λ, t) = c11(λ, t)φ1(x, λ, t) + c12φ2(x, λ, t), λ > 0. (4.4)
Из формул вида (2.19) и (2.20) получаем асимптотическую формулу
ψ1(x, λ, t) = y(x,−
√
λ, t)(1 +O(|λ|−n/2)),
где n — любое фиксированное натуральное число. Из соотношений (2.18) и (2.27), в случае
когда u(x, t) ∈ V, получаем, что при |λ| → ∞ функция c11(λ, t) стремится к нулю быстрее
любой степени
1√
λ
. Тогда из (4.4) получаем асимптотическое равенство
y(x,−
√
λ, t) = c12(λ, t)φ2(x, λ, t) +O(|λ|−n/2).
Выразим в этом равенстве c12(λ, t) через c12(λ, 0) согласно лемме 3.1. Учитывая вид решений
(4.1), (4.2) и асимптотическую формулу в лемме 2.1, имеем
exp
−i√λx+
+∞∑
j=1
x∫
0
σ̃j(ξ, t)dξ
(−2i
√
λ)j
+
+∞∑
j=1
x∫
−∞
Qj(ξ, t)
(−2i
√
λ)j
dξ
=
= c12(λ, 0) exp
+∞∑
j=1
t∫
0
−2v(0, τ)σ̃j(0, τ) + σ̃j+2(0, τ)
(−2i
√
λ)j
dτ −
+∞∑
j=1
∞∫
x
σj(ξ, t)
(−2i
√
λ)j
dξ − i
√
λx
.
Полагая в этом равенстве x = 0 и разлагая ln c12(λ, 0) в ряд по степеням −2i
√
λ, получаем
exp
+∞∑
j=1
0∫
−∞
Qj(ξ, t)
(−2i
√
λ)j
dξ +
+∞∫
0
σj(ξ, t)
(−2i
√
λ)j
dξ +
+
t∫
0
2v(0, τ)σ̃j(0, τ)− σ̃j+2(0, τ)
(−2i
√
λ)j
dτ
= exp
+∞∑
j=1
cj
(−2i
√
λ)j
.
Сравнивая левую и правую части этого равенства при одинаковых степенях −2i
√
λ имеем
Ij [u, t] =
0∫
−∞
Qj(ξ, t)dξ +
+∞∫
0
σj(ξ, t)dξ+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1599
+
t∫
0
(2v(0, τ)σ̃j(0, τ)− σ̃j+2(0, τ))dτ = cj , j = 1, 2, . . . . (4.5)
Таким образом,
dIj [u, t]
dt
= 0, т. е. Ij [u, t] — интегралы движения, хотя они явно зависят от
времени. Исходя из рекуррентных соотношений вида (2.5) и (4.3), нетрудно убедиться, что
подынтегральные выражения Ij [u, t] при четных j являются полными производными. Запишем
интегралы движения Ij [u, t], j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, в явном виде
I1[u, t] =
0∫
−∞
(u(ξ, t)− v(ξ, t)) dξ +
∞∫
0
u(ξ, t)dξ +
t∫
0
(
3v2(0, τ)− vξξ(0, τ)
)
dτ,
I2[u, t] = v(0, 0),
I3[u, t] =
0∫
−∞
(
−u2(ξ, t) + v2(ξ, t) + uξξ(ξ, t)− vξξ(ξ, t)
)
dξ +
∞∫
0
(
−u2(ξ, t) + uξξ(ξ, t)
)
dξ+
+
t∫
0
(
−4v3(0, τ) + 8v(0, τ)vξξ(0, τ) + 5v2ξ (0, τ)− v(4)(0, τ)
)
dτ,
I4[u, t] = −2v2(0, 0) + vxx(0, 0),
I5[u, t] =
0∫
−∞
(
2u3(ξ, t)− 2v3(ξ, t) + u2ξ(ξ, t)− v2ξ (ξ, t) + u(4)(ξ, t)− v(4)(ξ, t)
)
dξ+
+
∞∫
0
(
2u3(ξ, t) + u2ξ(ξ, t) + u(4)(ξ, t)
)
dξ+
+
t∫
0
(
9v4(0, τ)− 42v2(0, τ)vξξ(0, τ)− 60v(0, τ)v2ξ (0, τ) + 12v(0, τ)v(4)(0, τ)−
+ 28vξ(0, τ)v
(3)(0, τ) + 19v2ξξ(0, τ)− v(6)(0, τ)
)
dτ,
I6[u, t] =
16
3
v3(0, 0)− 8vvxx(0, 0)− 5v2x(0, 0) + v(4)(0, 0).
Нетрудно убедиться, что уравнение КдФ представимо в виде
du
dt
=
d
dx
δI5[u, t]
δu
,
где символ
δ
δu
обозначает производную Фреше.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1600 К. Н. Андреев, Е. Я. Хруслов
5. Регуляризованные интегралы движения для постоянного фона. Рассмотрим случай,
когда решения задачи Коши стремятся к постоянному фону при x → −∞, т. е. v(x, t) =
= c = const. Тогда, учитывая (4.5) и рекуррентные соотношения (2.5), нетрудно убедиться,
что нечетные интегралы движения зависят от времени явно по линейному закону. Первые семь
интегралов имеют вид
I1[u, t] =
0∫
−∞
(u(ξ, t)− c) dξ +
∞∫
0
u(ξ, t)dξ + 3c2t, I2[u, t] = c,
I3[u, t] =
0∫
−∞
(
−u2(ξ, t) + c2
)
dξ +
∞∫
0
(
−u2(ξ, t)
)
dξ − 4c3t, I4[u, t] = −2c2,
I5[u, t] =
0∫
−∞
(
2u3(ξ, t) + u2ξ(ξ, t)− 2c3
)
dξ +
∞∫
0
(
2u3(ξ, t) + u2ξ(ξ, t)
)
dξ + 9c4t,
I6[u, t] =
16
3
c3,
I7[u, t] =
0∫
−∞
(
−5u4(ξ, t)− 10u(ξ, t)(u′ξ(ξ, t))
2 − (u′′ξξ(x, t))
2 + 5c4
)
dξ+
+
∞∫
0
(
−5u4(ξ, t)− 10u(ξ, t)(u′ξ(ξ, t))
2 − (u′′ξξ(x, t))
2
)
dξ − 24c5t.
Учитывая это, легко построить последовательность интегралов, не зависящую явно от времени.
Запишем три первых из них:
J1[u] = I3[u, t] +
4
3
cI1[u, t] =
0∫
−∞
(
−u2(ξ, t) + 4
3
cu(ξ, t)− 1
3
c2
)
dξ+
+
∞∫
0
(
−u2(ξ, t) + 4
3
cu(ξ, t)
)
dξ,
J2[u] = I5[u, t]− 3c2I1[u, t] =
0∫
−∞
(
2u3(ξ, t)− 3c2u(ξ, t) + u2ξ(ξ, t) + c3
)
dξ+
+
∞∫
0
(
2u3(ξ, t)− 3c2u(ξ, t) + u2ξ(ξ, t)
)
dξ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА. . . 1601
J3[u] = I7[u, t] + 8c3I1[u, t] =
=
0∫
−∞
(
−5u4(ξ, t)− 10u(ξ, t)u2ξ(ξ, t) + 8c3u(ξ, t)− u2ξξ(ξ, t)− 3c4
)
dξ+
+
∞∫
0
(
−5u4(ξ, t)− 10u(ξ, t)u2ξ(ξ, t) + 8c3u(ξ, t)− u2ξξ(ξ, t)
)
dξ.
Легко проверить, что решение задачи Коши может быть представлено в гамильтоновой форме
du
dt
=
d
dx
δJ2[u]
δu
.
В дальнейшем интегралы движения Jj [u], j = 1, 2, 3, . . . , будут выражены через данные рас-
сеяния и построена симплектическая структура.
1. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg – de Vries equation //
Phys. Rev. Lett. – 1967. – 19. – P. 1095 – 1097.
2. Miura R. M., Gardner C. S., Kruskal M. D. Kortewed – de Vries equation and generelizations, II. Extistence of
conversation laws and constants motion // J. Math. Phys. – 1968. – 9, № 8. – P. 1204 – 1209.
3. Kruskal M. D., Miura R. M., Gardner C. S., Zabusky N. J. Korteweg – de Vries equation and generalizations. V.
Uniqueness and nonexistense of polynomial conservation laws // J. Math. Phys. – 1970. – 11, № 3. – P. 952 – 960.
4. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations and solitary waves // Communs Pure and Appl. Math. – 1968. – 21, № 2. –
P. 467 – 490.
5. Захаров В. Е. , Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега – де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система
// Функцион. анализ и его прил. – 1971. – 5, № 4. – P. 18 – 27.
6. Титчмарш Э. Ч. Разложение по собственным функциям, связанным с дифференциальными уравнения второго
порядка: В 2 т. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – Т. 2. – 555 с.
7. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977.
8. Ермакова В. Д. Дис. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера с неубывающим потенциалом и ее
применение к интегрированию уравнения Кортевега – де Фриза: Дис... канд. физ.-мат. наук. – Харьков, 1983.
9. Фирсова Н. Е. Обратная задача рассеяния для возмущенного оператора Хилла // Мат. заметки — 1974. – 18,
№ 6. – С. 831 – 843.
10. Egorova I., Teshl G. On the Cauchy problem for the Korteweg – de Vries equation with steplike finite-gap initial data
II. Perturbations with finite moments // J. d’Anal. Math. – 2011. – 115, № 1. – P. 71 – 101.
11. Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега – де Фриза // Функцион. анализ и его прил. –
1974. – 8, вып. 3. – P. 54 – 66.
12. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега – де Фриза // Мат. сб., 1974 — 8, вып. 3. – C. 331 – 356.
Получено 25.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2093 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:33Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0d/edcbb69a3cb6cd3f4e9b398f8ad7460d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20932019-12-05T09:50:29Z Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions Регуляризованные интегралы движения уравнения Кортевега – де Фриза в классе неубывающих функций Andreev, K. N. Khruslov, E. Ya. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. We study the Cauchy problem for the Korteweg–de-Vries equation in the class of functions approaching a finite- zone periodic solution of the KdV equation as $x → −∞$ and 0 as $x → +∞$. We prove the existence of infinitely many “regularized” integrals of motion for the solutions $u(x, t)$ of the Cauchy problem, with explicit dependence on time. В роботi вивчається розв’язок задачi Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза у класi функцiй, що прямують до скiченнозонного перiодичного розв’язку цього рiвняння при $x → −∞$ i до 0 при $x → +∞$. Доведено iснування нескiнченного числа „регуляризованих” iнтегралiв руху для розв’язку $u(x, t)$ задачi Кошi, до яких явно входить час. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2093 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 12 (2015); 1587-1601 Український математичний журнал; Том 67 № 12 (2015); 1587-1601 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2093/1201 Copyright (c) 2015 Andreev K. N.; Khruslov E. Ya. |
| spellingShingle | Andreev, K. N. Khruslov, E. Ya. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. Андреев, К. Н. Хруслов, Е. Я. Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions |
| title | Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions |
| title_alt | Регуляризованные интегралы движения уравнения Кортевега – де Фриза в классе неубывающих функций |
| title_full | Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions |
| title_fullStr | Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions |
| title_full_unstemmed | Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions |
| title_short | Regularized integrals of motion for the Korteweg – de-Vries equation in the class of nondecreasing functions |
| title_sort | regularized integrals of motion for the korteweg – de-vries equation in the class of nondecreasing functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2093 |
| work_keys_str_mv | AT andreevkn regularizedintegralsofmotionforthekortewegdevriesequationintheclassofnondecreasingfunctions AT khrusloveya regularizedintegralsofmotionforthekortewegdevriesequationintheclassofnondecreasingfunctions AT andreevkn regularizedintegralsofmotionforthekortewegdevriesequationintheclassofnondecreasingfunctions AT hrusloveâ regularizedintegralsofmotionforthekortewegdevriesequationintheclassofnondecreasingfunctions AT andreevkn regularizedintegralsofmotionforthekortewegdevriesequationintheclassofnondecreasingfunctions AT hrusloveâ regularizedintegralsofmotionforthekortewegdevriesequationintheclassofnondecreasingfunctions AT andreevkn regulârizovannyeintegralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasseneubyvaûŝihfunkcij AT khrusloveya regulârizovannyeintegralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasseneubyvaûŝihfunkcij AT andreevkn regulârizovannyeintegralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasseneubyvaûŝihfunkcij AT hrusloveâ regulârizovannyeintegralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasseneubyvaûŝihfunkcij AT andreevkn regulârizovannyeintegralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasseneubyvaûŝihfunkcij AT hrusloveâ regulârizovannyeintegralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasseneubyvaûŝihfunkcij |