Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II
We discuss the Lebesgue structure and fine fractal properties of infinite Bernoulli convolutions, i.e., the distributions of random variables $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, where $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ is a convergent positive series and $\xi_k$ are independent (generally speaking, nonidentica...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2099 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508028923543552 |
|---|---|
| author | Lebid', M. V. Torbin, H. M. Лебідь, М. В. Торбін, Г. М. |
| author_facet | Lebid', M. V. Torbin, H. M. Лебідь, М. В. Торбін, Г. М. |
| author_sort | Lebid', M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:29Z |
| description | We discuss the Lebesgue structure and fine fractal properties of infinite Bernoulli convolutions, i.e., the distributions of random variables $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, where $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ is a convergent positive series and $\xi_k$ are independent (generally
speaking, nonidentically distributed) Bernoulli random variables. Our main aim is to investigate the class of Bernoulli convolutions with essential overlaps generated by a series $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, such that, for any $k\in \mathbb{N}$, there exists $s_k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ for which $a_k = a_{k+1} = . . . = a_{k+s_k} ≥ r_{k+s_k}$ and, in addition, $s_k > 0$ for infinitely many indices $k$. In this case, almost
all (both in a sense of Lebesgue measure and in a sense of fractal dimension) points from the spectrum have continuum many representations of the form $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_ka_k$, with $\varepsilon_k\in\{0, 1\}$. It is proved that $\mu_\xi$ has either a pure discrete distribution
or a pure singulary continuous distribution.
We also establish sufficient conditions for the faithfulness of the family of cylindrical intervals on the spectrum $\mu_\xi$
generated by the distributions of the random variables $\xi$. In the case of singularity, we also deduce the explicit formula
for the Hausdorff dimension of the corresponding probability measure [i.e., the Hausdorff–Besicovitch dimension of the
minimal supports of the measure $\mu_\xi$ (in a sense of dimension)]. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
М. В. Лебiдь (Бiлефельд. ун-т, Нiмеччина),
Г. М. Торбiн (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ; Iн-т математики НАН України, Київ)
СИНГУЛЯРНIСТЬ ТА ТОНКI ФРАКТАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI
ОДНОГО КЛАСУ НЕСКIНЧЕННИХ ЗГОРТОК БЕРНУЛЛI
З СУТТЄВИМИ ПЕРЕКРИТТЯМИ. II
We discuss the Lebesgue structure and fine fractal properties of infinite Bernoulli convolutions, i.e., the distributions of
random variables ξ =
∑∞
k=1
ξkak, where
∑∞
k=1
ak is a convergent positive series and ξk are independent (generally
speaking, nonidentically distributed) Bernoulli random variables. Our main aim is to investigate the class of Bernoulli
convolutions with essential overlaps generated by a series
∑∞
k=1
ak, such that, for any k ∈ N, there exists sk ∈ N
⋃
{0}
for which ak = ak+1 = . . . = ak+sk ≥ rk+sk and, in addition, sk > 0 for infinitely many indices k. In this case, almost
all (both in a sense of Lebesgue measure and in a sense of fractal dimension) points from the spectrum have continuum
many representations of the form
∑∞
k=1
εkak, with εk ∈ {0, 1}.
It is proved that µξ has either a pure discrete distribution or a pure singulary continuous distribution. We also establish
sufficient conditions for the faithfulness of the family of cylindrical intervals on the spectrum Sµξ generated by the
distributions of the random variables ξ. In the case of singularity, we also deduce the explicit formula for the Hausdorff
dimension of the corresponding probability measure [i.e., the Hausdorff – Besicovitch dimension of the minimal supports
of the measure µξ (in a sense of dimension)].
Изучается лебеговская структура и тонкие фрактальные свойства бесконечных сверток Бернулли, т. е. распре-
делений случайных величин вида ξ =
∑∞
k=1
ξkak, где
∑∞
k=1
ak — сходящийся знакоположительный ряд, а
ξk — независимые (вообще говоря, разнораспределенные) бернуллиевские случайные величины. Основное вни-
мание в исследовании уделено наименее исследованному классу — сверткам Бернулли с существенными пере-
крытиями, порожденными рядом
∑∞
k=1
ak таким, что для любого k ∈ N существует такое sk ∈ N
⋃
{0}, что
ak = ak+1 = . . . = ak+sk ≥ rk+sk , причем sk > 0 выполняется для неограниченного количества индексов k. В
этом случае почти все (как в смысле меры Лебега, так и в смысле фрактальной размерности) точки спектра имеют
континуальное количество различных представлений в виде
∑∞
k=1
εkak, где εk ∈ {0, 1}.
Доказано, что вероятностная мера µξ имеет или чисто дискретное, или чисто сингулярно непрерывное рас-
пределение. Установлены достаточные условия доверительности на спектре семейства цилиндрических отрезков,
порожденные распределением случайной величины ξ. В случае сингулярности найдена явная формула для вычис-
ления размерности Хаусдорфа соответствующей вероятностной меры, т. е. размерности Хаусдорфа – Безиковича
минимальных (в смысле размерности) носителей меры µξ.
1. Вступ. Нехай µξ — ймовiрнiсний розподiл випадкової величини (в. в.)
ξ =
∞∑
k=1
ξkak, (1)
де
∑∞
k=1
ak — знакододатний збiжний ряд, а ξk — незалежнi в. в., якi набувають значень 0 та 1
з iмовiрностями p0k та p1k = 1− p0k вiдповiдно. Розподiл µξ називається нескiнченною згорт-
кою Бернуллi. В роботi [2] показано, що при вивченнi лебегiвської структури та дослiдженнi
фрактальних властивостей мiри µξ можна вважати (без порушення загальностi мiркувань), що
матриця ‖pik‖ не мiстить нулiв (тобто p0k ∈ (0, 1) ∀k ∈ N) та послiдовнiсть {ak} є монотонною
(тобто ak ≥ ak+1 ∀k ∈ N) з
∑∞
k=1
ak = 1.
Необхiднi i достатнi умови абсолютної неперервностi в. в. ξ i досi невiдомi навiть для
найпростiшого симетричного випадку випадкових степеневих рядiв, для яких ak = λk i p0k =
=
1
2
. Ймовiрнiсна мiра µλ, що вiдповiдає в. в. ξλ, вiдома як „нескiнченна симетрична згортка
c© М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1667
1668 М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН
Бернуллi”. Мiри такого типу вивчаються вже бiльше 80 рокiв як з чисто ймовiрнiсної точки зору,
так i з метою застосувань у гармонiчному аналiзi, фрактальному аналiзi та теорiї динамiчних
систем (див., наприклад, [3 – 9]).
У роботах [2, 10 – 13] повнiстю дослiджено топологiчнi властивостi спектра Sµ (наймен-
шого замкненого носiя мiри µ). Фрактальнi властивостi (розмiрнiсть Гаусдорфа спектра Sµ i
розмiрнiсть мiри µ) у випадку, коли ak ≥ rk
(
rk =
∑∞
n=k+1
an
)
, для всiх достатньо великих
k отримано у роботах [2, 12], де також описано мiнiмальнi у сенсi розмiрностi Гаусдорфа –
Безиковича носiї мiри з додатковими структурними властивостями.
Випадок, коли нерiвнiсть ak < rk виконується для нескiнченної кiлькостi iндексiв k, є сут-
тєво складнiшим (у цьому випадку ми маємо справу з так званими „суттєвими перекриттями”
(див. означення на початку пункту 2)).
У данiй статтi дослiджується тип розподiлу в. в. ξ (пункт 2) та фрактальнi властивостi
(пункт 3) у випадку, коли на {ak} накладено таку умову:
(∗) для будь-якого k ∈ N iснує такий номер sk ∈ {0, 1, 2, . . .},що ak = ak+1 = . . . = ak+sk ≥
≥ rk+sk , причому sk > 0 виконується для нескiнченної кiлькостi iндексiв k.
Для спрощення формул та формулювання теорем введемо позначення, якi будуть викорис-
товуватися при подальшому викладi. Нехай {kn} — зростаюча послiдовнiсть таких додатних
чисел, що i ∈ {kn} тодi i тiльки тодi, коли si = 0. Крiм того, нехай ln := kn − kn−1, k0 = 0.
У цiй статтi продовжено дослiдження, розпочатi у роботi [1], де дослiджувався:
1) випадок „однакової розподiленостi”, тобто p0k = p0 та p1k = 1 − p0 при дослiдженнi
лебегiвської структури розподiлу;
2) випадок обмеженостi послiдовностi {ln} (тобто sup (ln) < +∞) при дослiдженнi фрак-
тальних властивостей.
У випадку обмеженостi послiдовностi {ln} вiдповiдна сiм’я покриттiв Ã є довiрчою на
спектрi (див. пункт 3), що значно спрощує дослiдження фрактальних властивостей мiри. При
виконаннi умови sup (ln) = +∞ сiм’я покриттiв Ã не є, взагалi кажучи, довiрчою (див. [14]).
Останнiй факт i обумовлює основнi труднощi при вивченнi тонких фрактальних властивостей
мiри µξ, методам дослiдження яких i присвячено останнiй пункт статтi.
2. Лебегiвська структура випадкової величини ξ. Нехай A — скiнченна або нескiнченна
пiдмножина множини натуральних чисел N. Число x = x(A) =
∑
k∈A
ak називається непов-
ною сумою ряду.
Якщо спектр Sξ в. в. ξ мiстить принаймнi одну точку u, для якої рiвнiсть u = x(Ai) вико-
нується для нескiнченної послiдовностi попарно рiзних множин Ai, то розподiл ξ називається
узагальненою згорткою Бернуллi з суттєвими перекриттями [15, 16]. У випадку, коли на {ak}
накладено умову (∗), в [1] показано, що майже всi (в сенсi розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича)
точки спектра в. в. ξ мають континуальну кiлькiсть рiзних розкладiв.
Розглянемо Q̃ξ-зображення чисел вiдрiзка [0, 1] (означення та огляд основних властивостей
Q̃-зображення див. у [1, 17]), пов’язане з в. в. ξ. Для цього визначимо послiдовнiсть {mn}
рiвнiстю
mn =
ln + 1, якщо akn = rkn,
2ln + 1, якщо akn > rkn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
СИНГУЛЯРНIСТЬ ТА ТОНКI ФРАКТАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ОДНОГО КЛАСУ . . . 1669
Нехай n ∈ N, тодi для mn = ln + 1 виберемо qin =
1
ln + 1
, i ∈ {0, 1, 2, . . . ,mn − 1} = Bn, та у
випадку mn = 2ln+1 покладемо qin =
rkn
rkn−1
, i ∈ {0, 2, 4, . . . ,mn−1} = Bn, i qin =
akn − rkn
rkn−1
,
i ∈ {1, 3, 5, . . . ,mn − 2}.
Введемо допомiжнi позначення. Нехай для будь-якого n ∈ N
Rln := {0, 1}ln , δ := (δ1, δ2, . . . , δln) ∈ Rln , |δ| :=
ln∑
k=1
δk,
{ξ̃n} — послiдовнiсть незалежних в. в., що набувають значень 0, 1, . . . ,mn − 1 з iмовiрностями
p̃0n, p̃1n, . . . , p̃mn−1,n, де
p̃in =
∑
δ∈Rln ,|δ|=i
(
ln∏
k=1
pδk,k+kn−1
)
при akn = rkn та
p̃in =
∑
δ∈Rln ,|δ|=
i
2
(
ln∏
k=1
pδk,k+kn−1
)
, якщо i — парне,
0, якщо i — непарне,
при akn > rkn . Стохастичною „матрицею” ‖qin‖ та послiдовнiстю {ξ̃n} незалежних в. в.
визначається в. в. ξ̃ з незалежними Q̃ξ-символами ξ̃n : ξ̃ = βξ̃11 +
∑∞
n=2
βξ̃nn
∏n−1
i=1
qξ̃ii, де
βxn =
∑x−1
j=0
qjn.
Випадковi величини ξ i ξ̃ однаково розподiленi (див. [1]). Тому дослiдження структури
в. в. ξ зводиться до дослiдження в. в. ξ̃. Для отримання основного результату доведемо кiлька
допомiжних лем, якi мають i самостiйний iнтерес.
Лема 1. Нехай Rn = {0, 1}n для будь-якого n ∈ N та δ = (δ1, δ2, . . . , δn) ∈ Rn, |δ| =
=
∑n
k=1
δk. Тодi iснує така функцiя ϕ(n), що
√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ ϕ(n)→ 0 (n→∞), (2)
де p0k ∈ [0, 1], p1k = 1− p0k для будь-якого k ∈ N.
Доведення. Нехай {ζj}j∈1,...,n — послiдовнiсть незалежних в. в., якi набувають значень 0 та
1 з iмовiрностями p0j та p1j вiдповiдно (p0j + p1j = 1 ∀j ∈ N) i Sn := ζ1 + ζ2 + . . .+ ζn. Тодi∑
δ∈Rn,|δ|=i
(∏n
k=1
pδk,k
)
= P{Sn = i} = p̃in. Отже, умова (2) виконується тодi i тiльки тодi,
коли √
1
n+ 1
n∑
i=0
√
p̃in → 0 (n→∞).
Використовуючи нерiвнiсть Чебишова, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1670 М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН
P
{∣∣∣∣Sn −MSn
n
∣∣∣∣ ≥ ε} = P{|Sn −MSn| ≥ εn} ≤
D
(
Sn
n
)
ε2
=
D(Sn)
n2ε2
,
де M(ξ) — математичне сподiвання в. в. ξ, D(ξ) — дисперсiя в. в. ξ.
Зважаючи на незалежнiсть в. в. {ζj}j∈1,...,n , маємо
D(Sn) = Dζ1 +Dζ2 + . . .+Dζn = p01p11 + p02p12 + . . .+ p0np1n ≤
n
4
.
Отже,
P
{∣∣∣∣Sn −MSn
n
∣∣∣∣ ≥ ε} ≤ 1
4nε2
. (3)
З нерiвностi Кошi – Буняковського – Шварца та нерiвностi (3) одержуємо
n∑
i :
∣∣∣ i−MSn
n
∣∣∣≥ε
√
p̃in ≤
√√√√√√n
n∑
i :
∣∣∣ i−MSn
n
∣∣∣≥ε
p̃in ≤
√
n
1
4nε2
=
1
2ε
. (4)
Тепер оцiнимо суму
∑√
p̃in для тих i, для яких
∣∣∣∣ i−MSn
n
∣∣∣∣ ≤ ε, тобто для
i ∈ [nMSn − εn, nMSn + εn] .
Очевидно, iснує не бiльше нiж 2nε+ 1 натуральних чисел i таких, що i :
∣∣∣∣ i−MSn
n
∣∣∣∣ ≤ ε. Тому,
використовуючи нерiвнiсть Кошi – Буняковського – Шварца та
∑n
i=0
p̃in = 1, отримуємо
n∑
i :
∣∣∣ i−MSn
n
∣∣∣≤ε
√
p̃in ≤
√√√√√√(2nε+ 1)
n∑
i :
∣∣∣ i−MSn
n
∣∣∣≤ε
p̃in ≤
√
2nε+ 1. (5)
З (4) та (5) випливає, що
∑n
i=0
√
p̃in ≤
1
2ε
+
√
2nε+ 1 ∀ε > 0. Отже, для будь-яких ε > 0 та
n ∈ N √
1
n+ 1
n∑
i=0
√
p̃in ≤
√
1
n+ 1
(
1
2ε
+
√
2nε+ 1
)
.
Виберемо ε =
1
4
√
n
, тодi
√
1
n+ 1
1
2ε
→ 0 (n → ∞) та
√
1
n+ 1
√
(2nε+ 1) → 0 (n → ∞). По-
клавши ϕ(n) =
1√
n+ 1
(
4
√
n
2
+
√
2n3/4 + 1
)
, отримаємо нерiвнiсть
√
1
n+ 1
∑n
i=0
√
p̃in ≤
≤ ϕ(n).
Лему 1 доведено.
З леми 1 випливає такий наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
СИНГУЛЯРНIСТЬ ТА ТОНКI ФРАКТАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ОДНОГО КЛАСУ . . . 1671
Наслiдок 1. Нехай Rn = {0, 1}n та δ = (δ1, δ2, . . . , δn) ∈ Rn, |δ| =
∑n
k=1
δk ∀n ∈ N. Тодi
iснує таке n0, що для будь-якого n > n0√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ 1
2
,
де p0k ∈ [0, 1], p1k = 1− p0k ∀k ∈ N.
Дослiдимо вираз √
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
,
як функцiю, що залежить вiд (p01, p02, . . . , p0n) ∈ [0, 1]n.
Лема 2. Нехай n > 1, n ∈ N, Rn = {0, 1}n, δ = (δ1, δ2, . . . , δn) ∈ Rn, |δ| =
∑n
k=1
δk
та (p01, p02, . . . , p0n) ∈ [0, 1]n, (p11, p12, . . . , p1n) = (1−p01, 1−p02, . . . , 1−p0n). Тодi функцiя
υ(p01, . . . , p0n) =
√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ Kn < 1,
де Kn — деяка стала, що залежить лише вiд n.
Доведення. Введемо функцiю ϕ(x0, x1, . . . , xn) =
√
x0 +
√
x1 + . . . +
√
xn на частинi G
гiперплощини x0 + x1 + . . . + xn = 1, що розташована в (n + 1)-вимiрному кубi [0, 1]n+1 .
Оскiльки
−−−−−−−−−−−−−−−→
(
√
x0,
√
x1, . . . ,
√
xn)
−−−−−−−−→
(1, 1, . . . , 1) ≤
∣∣∣−−−−−−−−−−−−−−−→(
√
x0,
√
x1, . . . ,
√
xn)
∣∣∣ ∣∣∣−−−−−−−−→(1, 1, . . . , 1)
∣∣∣ =
√
n+ 1,
то неперервна на G функцiя ϕ(x0, x1, . . . , xn) досягає свого найбiльшого значення
√
n+ 1 при
x0 = x1 = . . . = xn =
1
n+ 1
i ϕ(x0, x1, . . . , xn) <
√
n+ 1 для всiх iнших точок з множини G.
Розглянемо функцiю
υ(p01, . . . , p0n) =
√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
,
де (p01, p02, . . . , p0n) ∈ [0, 1]n. Ця функцiя неперервна на [0, 1]n та обмежена зверху:
υ(p01, . . . , p0n) ≤ max
(
ϕ(x0, x1, . . . , xn)√
n+ 1
)
= 1,
причому рiвнiсть можлива лише у випадку, коли
∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
=
1
n+ 1
, i ∈ 0, 1, . . . , n.
Оскiльки (p01p02 . . . p0n) (p11p12 . . . p1n) ≤
(
1
4
)n
, то хоча б один iз вказаних добуткiв не
перевищує
(
1
2
)n
<
1
n+ 1
∀n ≥ 2. Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1672 М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН
υ(p01, . . . , p0n) < 1 ∀n ≥ 2. (6)
Оскiльки υ(p01, . . . , p0n) є визначеною й неперервною на компактi [0, 1]n, то на ньому вона
досягає свого найбiльшого значення Kn, а з (6) випливає, що
υ(p01, . . . , p0n) =
√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ Kn < 1 ∀n ≥ 2.
Лему 2 доведено.
Теорема 1. Випадкова величина ξ має сингулярний тип розподiлу.
Доведення. Нехай M =
∏∞
n=1
maxi{p̃in}. За теоремою Левi [18] в. в. ξ̃ має або чисто
дискретний (M > 0), або чисто неперервний (M = 0) розподiл. У випадку неперервностi
розподiл є або чисто сингулярно неперервним, або чисто абсолютно неперервним. Оскiльки ξ
та ξ̃ мають однаковi розподiли, з огляду на теорему П. Левi достатньо довести, що у випадку
M = 0 в. в. ξ̃ має сингулярно неперервний розподiл.
В. в. ξ̃, будучи в. в. з незалежними Q̃ξ-символами, має абсолютно неперервний розподiл тодi
i тiльки тодi [17], коли
∏∞
n=1
(∑mn−1
i=0
√
qinp̃in
)
> 0.
З побудови розподiлу в. в. ξ̃ випливає, що
mn−1∑
i=0
√
qinp̃in =
√
rkn
rkn−1
ln∑
i=0
√√√√√ ∑
δ∈Rln ,|δ|=i
(
ln∏
k=1
pδk,k+kn−1
)
.
Оскiльки
√
rkn
rkn−1
≤
√
1
ln + 1
∀n ∈ N, то
mn−1∑
i=0
√
qinp̃in ≤
√
1
ln + 1
ln∑
i=0
√√√√√ ∑
δ∈Rln ,|δ|=i
(
ln∏
k=1
pδk,k+kn−1
)
.
Необхiдною умовою збiжностi добутку
∏∞
n=1
(∑mn−1
i=0
√
qinp̃in
)
є виконання умови
√
1
ln + 1
ln∑
i=0
√√√√√ ∑
δ∈Rln ,|δ|=i
(
ln∏
k=1
pδk,k+kn−1
)
→ 1 (n→∞). (7)
Виконання нерiвностi ak < rk для нескiнченної кiлькостi iндексiв k рiвносильно виконанню
нерiвностi ln > 1 для нескiнченної кiлькостi iндексiв n.
З наслiдку 1 випливає iснування такого n0, що для будь-якого n > n0√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ 1
2
.
З леми 2 випливає, що iснують такi n0 > 1 та K0 = maxi∈{2,...,n0}Ki, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
СИНГУЛЯРНIСТЬ ТА ТОНКI ФРАКТАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ОДНОГО КЛАСУ . . . 1673
√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ K0 < 1, n ∈ {2, . . . , n0}.
Тодi iснує така абсолютна стала K, що для будь-якого n > 1√
1
n+ 1
n∑
i=0
√√√√ ∑
δ∈Rn,|δ|=i
(
n∏
k=1
pδk,k
)
≤ K = max
{
1
2
,K0
}
< 1.
Отже, √
1
ln + 1
ln∑
i=0
√√√√√ ∑
δ∈Rln ,|δ|=i
(
ln∏
k=1
pδk,k+kn−1
)
9 1 (n→∞).
Тому в. в. ξ не може мати абсолютно неперервного розподiлу i її сингулярнiсть випливає з
чистоти розподiлу в. в. ξ̃.
Теорему 1 доведено.
3. Розмiрнiсть Гаусдорфа розподiлу ξ. Нехай M — фiксована обмежена пiдмножина дiй-
сної прямої. Нагадаємо, що сiм’я ΦM пiдмножин дiйсної прямої називається сiм’єю локально
тонких покриттiв множини M, якщо для довiльного ε > 0 iснує не бiльш нiж зчисленне
ε-покриття {Ej}∞j=1 множини M i Ej ∈ ΦM ∀j ∈ N.
Нехай α > 0. Передмiрою α-вимiрної мiри Гаусдорфа пiдмножини E ⊂ M вiдносно за-
даної сiм’ї ΦM називається Hα
ε (E, ΦM ) := inf |Ej |≤ε
{∑∞
j=1
|Ej |α
}
, де iнфiмум береться по
всеможливих не бiльш нiж зчисленних ε-покриттях {Ej}∞j=1 множини E та Ej ∈ ΦM ∀j ∈ N.
α-Вимiрною мiрою Гаусдорфа пiдмножини E ⊂M вiдносно заданої сiм’ї ΦM називається
Hα(E, ΦM ) := limε→0H
α
ε (E, ΦM ). Якщо M = [0, 1], ΦM — сiм’я всiх сегментiв (〈a, b〉 ∀a, b ∈
∈ [0, 1] i a < b), тоHα(E,ΦM ) є класичною α-вимiрної мiрою Гаусдорфа, яку будемо позначати
Hα(E).
Невiд’ємне число dimH(E, ΦM ) := inf{α : Hα(E,ΦM ) = 0} називається розмiрнiстю Га-
усдорфа – Безиковича множини E ⊂ M вiдносно сiм’ї локально тонких покриттiв ΦM . Якщо
M = [0, 1], ΦM — сiм’я всiх сегментiв, то dimH(E, ΦM ) є класичною розмiрнiстю Гаусдорфа –
Безиковича множини, яку будемо позначати dimH(E).
Сiм’я ΦM локально тонких покриттiв називається довiрчою на множини M для визначення
розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича, якщо
dimH(E,ΦM ) = dimH(E) ∀E ⊆M.
3.1. Довiрчiсть сiм’ї покриттiв на спектрi Sµ. Цилiндричним вiдрiзком рангу m з осно-
вою c1 . . . cm називається вiдрiзок
∆c1...cm =
[
m∑
n=1
cnan, rm +
m∑
n=1
cnan
]
.
Нехай Ãn — сiм’я цилiндричних вiдрiзкiв рангу kn, тобто
Ãn = {E : E = ∆α1...αkn
, αi ∈ {0, 1}, i = 1, 2, . . . , kn}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1674 М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН
та
à =
∞⋃
n=1
Ãn. (8)
Наступна теорема має як самостiйне значення, так i вiдiграє значну роль при визначеннi
тонких фрактальних властивостей iмовiрнiсної мiри µξ.
Теорема 2. Нехай Φ — локально тонка сiм’я покриттiв на M ⊂ [0, 1]. Припустимо, що
iснують додатна стала C i функцiя f(x) : R+ → R+ такi, що для довiльного сегмента
I ⊂ [0, 1] виконуються властивостi:
1) iснує не бiльш нiж l(I) пiдмножин 41(I), 42(I), . . . ,4l(I)(I) ∈ Φ та l(I) ≤ f(|I|),
|4j(I)| ≤ |I| для j ∈ {1, . . . , l(I)} i I ∩M ⊂
⋃l(I)
j=1
4j(I);
2) для довiльного δ ∈ (0, 1] iснує таке ε1(δ) > 0, що f(|I|) |I|δ ≤ C для |I| ≤ ε1(δ).
Тодi сiм’я Φ є довiрчою на M ⊂ [0, 1].
Доведення. Зрозумiло, що dimH(E) ≤ dimH(E,Φ) ∀E ⊂ M ⊂ [0, 1]. Доведемо тепер, що
dimH(E) ≥ dimH(E,Φ).
Нехай α ∈ (0, 1] та δ ∈ (0, α), {Ij}∞j=1 — деяке довiльне ε-покриття множини E сегментами
з вiдрiзка [0, 1], де ε ≤ ε1(δ) (див. умову). За припущенням теореми iснує не бiльш нiж
f(|Ij |) пiдмножин 41(Ij), 42(Ij), . . . ,4l(Ij)(Ij) ∈ Φ та |4i(Ij)| ≤ |Ij | для i ∈ {1, . . . , l(Ij)},
Ij ∩ E ⊂
⋃l(Ij)
i=1
4i(Ij).
Отже, |4i(Ij)|α ≤ |Ij |α для i ∈ {1, . . . , l(Ij)} i
l(Ij)∑
i=1
|4i(Ij)|α ≤ f(|Ij |) |Ij |α = f(|Ij |) |Ij |δ |Ij |α−δ .
Таким чином,
∑
j
∑l(Ij)
i=1
|4i(Ij)|α ≤ C
∑
j
|Ij |α−δ для довiльного ε-покриття {Ij}∞j=1 мно-
жини E, де ε ≤ ε1(δ). Отже,
Hα
ε (E,Φ) ≤
∑
j
l(Ij)∑
i=1
|4i(Ij)|α ≤ C
∑
j
|Ij |α−δ
для довiльного ε-покриття {Ij}∞j=1 множини E, де ε ≤ ε1(δ). Таким чином,
Hα
ε (E,Φ) ≤ CHα−δ
ε (E) ∀α > 0 ∀δ ∈ (0, α) ∀ε ≤ ε1(δ).
Отже, Hα(E,Φ) ≤ CHα−δ(E) ∀α > 0 ∀δ ∈ (0, α), тому dimH E ≤ dimH(E,Φ).
Теорему 2 доведено.
Наступна теорема дає достатнi умови довiрчостi сiм’ї покриттiв Ã.
Теорема 3. Якщо limn→∞
ln rkn−1
ln rkn
= 1, то Ã є довiрчою сiм’єю покриттiв для обчислення
розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича на спектрi Sµξ̃ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
СИНГУЛЯРНIСТЬ ТА ТОНКI ФРАКТАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ОДНОГО КЛАСУ . . . 1675
Доведення. Очевидно, що Ã — локально тонка сiм’я покриттiв на Sµξ̃ та Sµξ̃ ⊂ [0, 1].
Для довiльного x ∈ (0, 1] iснує таке n(x) ∈ N, що x ∈ (rkn(x) , rkn(x)−1
]. Нехай функцiя f :
R+ → R+ дорiвнює 3
rkn(x)−1
rkn(x)
, де x ∈ (rkn(x) , rkn(x)−1
] та f(x) набуває довiльних значень на
x ∈ (1,+∞). Покладемо C = 3.
Нехай I — довiльний сегмент та I ⊂ [0, 1]. Тодi iснує таке n(|I|), що |I| ∈ (rkn(|I|) , rkn(|I|)−1
].
Множина I ∩Sµξ̃ повнiстю мiститься в об’єднаннi трьох цилiндрiв з Ãn(|I|)−1 та не бiльш нiж в
об’єднаннi [f(|I|)] ([x] — цiла частина числа x) цилiндрiв з Ãn(|I|). Отже, I∩Sµξ̃ ⊂
⋃l(I)
j=1
4j(I),
де |4j(I)| ≤ |I|, j ∈ {1, . . . , l(I)} та l(I) ≤ f(|I|). Таким чином, виконується пункт 1 теореми 2.
Перевiримо виконання пункту 2 теореми 2. Зафiксуємо деяке δ ∈ (0, 1]. З умови теореми
випливає iснування такого n0(δ), що 3
rkn−1
rkn
(
rkn−1
)δ ≤ C ∀n ≥ n0(δ). Покладемо ε1(δ) =
= rkn0(δ) . Тодi для довiльного δ ∈ (0, 1] iснує таке ε1(δ) > 0, що f(|I|) |I|δ ≤ C для |I| ≤ ε1(δ).
Таким чином, з теореми 2 випливає, що сiм’я Ã є довiрчою на спектрi µξ̃ для обчислення
розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича.
Теорему 3 доведено.
3.2. Розмiрнiсть мiри µξ. Спектр є досить грубою характеристикою сингулярно неперерв-
ного ймовiрнiсного розподiлу, оскiльки навiть континуальна сiм’я попарно рiзних сингулярних
розподiлiв може мати спiльний спектр. В якостi прикладу такої сiм’ї можна взяти клас не-
скiнченних згорток Бернуллi вигляду ξ =
∑∞
k=1
ξk
2k
, де ξk — незалежнi в. в., якi набувають
значень 0 та 1 з iмовiрностями p ∈
(
0,
1
2
)
та 1 − p вiдповiдно. Тому розмiрнiсть Гаусдорфа –
Безиковича спектра мiри є також досить грубою фрактальною характеристикою сингулярної
мiри. Значно краще характеризує властивостi сингулярного розподiлу розмiрнiсть Гаусдорфа
власне розподiлу.
Нагадаємо, що розмiрнiстю Гаусдорфа розподiлу в. в. τ називається число
dimH(τ) = inf {dimH(E), E ∈ Bτ} ,
де Bτ — клас всеможливих борелiвських носiїв (не обов’язково замкнених) в. в. τ, тобто
Bτ = {E : E ∈ B, Pτ (E) = 1} .
Нагадаємо узагальнення розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича — розмiрнiсть Гаусдорфа –
Бiллiнгслi, властивостi якої будемо використовувати для знаходження розмiрностi мiри µξ.
Нехай υ — неперервна ймовiрнiсна мiра на борелiвських пiдмножинах [0, 1], M — деяка
фiксована пiдмножина одиничного вiдрiзка i ΦM — така сiм’я всiх сегментiв одиничного вiд-
рiзка, що для M i для довiльного ε > 0 iснує не бiльш нiж зчисленне (υ − ε)-покриття {Ej}∞j=1
множини M, тобто Ej ∈ ΦM та υ(Ej) ≤ ε ∀j ∈ N. Тодi (υ − α)-мiра Гаусдорфа довiльної
множини E ⊂M визначається таким чином:
Hα(E, υ,ΦM ) = lim
ε→0
inf
υ(Ej)≤ε
∑
j
υα(Ej)
= lim
ε→0
Hα
ε (E, υ,ΦM ),
де Ej ∈ ΦM ,
⋃
j
Ej ⊃ E .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1676 М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН
Число
dimυ(E, ΦM ) = inf{α : Hα(E, υ,ΦM ) = 0}
називається розмiрнiстю Гаусдорфа – Бiллiнгслi множини E вiдносно мiри υ i сiм’ї покриттiв
ΦM .
Покладемо 0 ln 0 := 0 у наступних позначеннях. Отже, введемо позначення hj =
= −
∑mj−1
i=0
p̃ij ln p̃ij , Hn =
∑n
j=1
hj (див. пункт 2).
Теорема 4. Якщо
∞∑
n=1
(
ln rkn−1
ln rkn
− 1
)2
<∞, (9)
то розмiрнiсть Гаусдорфа розподiлу в. в. ξ
dimH(µξ) = lim
n→∞
Hn
− ln rkn
.
Доведення. При обчисленнi розмiрностi Гаусдорфа розподiлу в. в. ξ достатньо обмежитись
розглядом носiїв, якi є пiдмножинами спектра ξ.
Нехай ∆̃[n](x) := ∆
Q̃ξ
a1(x)a2(x)...an(x)
— цилiндричний вiдрiзок n-го рангу Q̃ξ-розбиття, який
мiстить точку x спектра Sξ. Зазначимо, що клас усiх таких цилiндричних вiдрiзкiв збiгається з
Ã. Нехай µ := µξ — ймовiрнiсна мiра, яка вiдповiдає розподiлу в. в. ξ, λ — мiра Лебега на [0, 1].
Тодi µ(∆̃[n](x)) = p̃a1(x)1p̃a2(x)2 . . . p̃an(x)n та λ(∆̃[n](x)) = qa1(x)1qa2(x)2 . . . qan(x)n = rkn .
Нехай x = ∆
Q̃ξ
a1(x)a2(x)...an(x)...
вибирається випадково так, що P(aj(x) = i) = p̃ij , i ∈
∈ {0, . . . ,mj − 1}, j ∈ N (тобто розподiл такої в. в. описується мiрою µ). Тодi {ηj}∞j=1 =
= {ηj(x)}∞j=1 := {ln p̃aj(x)j}∞j=1 (якщо p̃aj(x)j = 0, то ln p̃aj(x)j := 0) є послiдовнiстю не-
залежних в. в. з такими розподiлами: P{ηj = ln p̃ij} = p̃ij , i ∈ {0, . . . ,mj − 1}, j ∈ N.
Зрозумiло, що Mηj =
∑mj−1
i=0
p̃ij ln p̃ij = −hj i |Mηj | ≤ ln (lj + 1). Покажемо, що Mη2j =
=
∑mj−1
i=0
p̃ij ln2 p̃ij ≤ max{2, ln2 (lj + 1)}.
Нехай x0 ∈ {x : ln(x)− 2x+ 2 = 0}/{1}. Введемо таку допомiжну функцiю ϕ : [0, 1]→ R,
що
ϕ(x) =
x ln2 x, якщо x ∈ [0, x0) (покладемо 0 ln2 0 := 0),
−x0 ln2 x0
x− x0
1− x0
+ x0 ln2 x0, якщо x ∈ [x0, 1].
З означення функцiї ϕ(x) випливає, що x ln2 x ≤ ϕ(x) ∀x ∈ [0, 1]. Функцiя ϕ(x) є неперервною
та опуклою вгору на вiдрiзку [0, 1]. Отже, з нерiвностi Йєнсена маємо
Mη2j ≤
mj−1∑
i=0
ϕ(p̃ij) ≤ (lj + 1)ϕ
(
1
lj + 1
)
≤ max{2, ln2(lj + 1)}.
Таким чином, D(ηj) = Mη2j − (Mηj)
2 ≤ 2 max{2, ln2(lj + 1)}. Отже, з нерiвностi(
ln(ln + 1)
ln rkn
)2
≤
(
ln rkn−1
ln rkn
− 1
)2
та теореми Колмогорова (посилений закон великих чисел)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
СИНГУЛЯРНIСТЬ ТА ТОНКI ФРАКТАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ОДНОГО КЛАСУ . . . 1677
для майже всiх точок x ∈ [0, 1] (у сенсi мiри µ) отримуємо рiвнiсть
lim
n→∞
(η1(x) + η2(x) + . . .+ ηn(x))−M (η1(x) + η1(x) + . . .+ ηn(x))
ln rkn
= 0. (10)
Нехай D = limn→∞
Hn
− ln rkn
. Розглянемо множину
T =
{
x : lim
n→∞
(
η1(x) + η2(x) + . . .+ ηn(x)
lnλ(∆n(x))
− Hn
− lnλ(∆n(x))
)
= 0
}
=
=
{
x : lim
n→∞
(
η1 + η2 + . . .+ ηn −M(η1 + η2 + . . .+ ηn)
ln rkn
)
= 0
}
.
Оскiльки µ(T ) = 1, то dimµ(T, Ã) = 1. Нехай
T1 =
{
x : lim
n→∞
(
η1(x) + η2(x) + . . .+ ηn(x)
ln rkn
− Hn
− ln rkn
)
= 0
}
,
T2 =
{
x : lim
n→∞
η1(x) + η2(x) + . . .+ ηn(x)
ln rkn
≤ D
}
=
{
x : lim
n→∞
lnµ(∆̃[n](x))
lnλ(∆̃[n](x))
≤ D
}
,
T3 =
{
x : lim
n→∞
η1(x) + η2(x) + . . .+ ηn(x)
ln rkn
≥ D
}
=
{
x : lim
n→∞
lnµ(∆̃[n](x))
lnλ(∆̃[n](x))
≥ D
}
.
Очевидно, що T ⊂ T1. Можна довести (аналогiчно до [3]), що T1 ⊂ T3 i T ⊂ T2.
За теоремою 2.1 з [19] dimλ(T2, Ã) ≤ D. Враховуючи, що T ⊂ T2, маємо dimλ(T, Ã) ≤ D.
Оскiльки T ⊂ T3, то за теоремою 2.2 з [19] dimλ(T, Ã) ≥ D dimµ(T, Ã) = D. Отже,
dimλ(T, Ã) = D. Оскiльки λ — мiра Лебега на [0,1], то dimH(T, Ã) = dimλ(T, Ã) = D.
З припущення (9) випливає, що limn→∞
ln rkn−1
ln rkn
= 1. Таким чином, сiм’я Ã є довiр-
чою на спектрi Sµ для обчислення розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича. Отже, dimH(T, Ã) =
= dimH(T ) = D.
Доведемо, що побудована вище множина T є мiнiмальним розмiрнiсним носiєм мiри µ.
Нехай C — деякий носiй мiри µ, тобто µ(C) = 1. Очевидно, що C1 = C
⋂
T теж носiй мiри µ i
C1 ⊂ C. Тому dimH (C1) ≤ dimH(C) i C1 ⊂ T. Доведемо, що dimH (C1) = dimH(T ). Оскiльки
C1 ⊂ T, то dimH (C1) ≤ dimH(T ) = D. З iншого боку, C1 ⊂ T ⊂ T3. Тому з теорем 2.1 та 2.2
роботи [19] та теореми 3 випливає, що
dimH (C1) = dimλ(C1, Ã) ≥ D dimµ(T, Ã) ≥ D dimµ(C1, Ã) = D · 1 = D.
Теорему 4 доведено.
1. Лебiдь М. В., Торбiн Г. М. Сингулярнiсть та тонкi фрактальнi властивостi одного класу нескiнченних згорток
Бернуллi з суттєвими перекриттями // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2012. – 87. – C. 89 – 104.
2. Albeverio S., Torbin G. On fine fractal properties of generalized infinite Bernoulli convolutions // Bull. Sci. Math. –
2008. – 132, № 8. – P. 711 – 727.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1678 М. В. ЛЕБIДЬ, Г. М. ТОРБIН
3. Albeverio S., Torbin G. Fractal properties of singularly continuous probability distributions with independentQ∗-digits
// Bull. Sci. Math. – 2005. – 129, № 4. – P. 356 – 367.
4. Erdös P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions // Amer. J. Math. – 1939. – 61. – P. 974 – 975.
5. Garsia A. Arithmetic properties of Bernoulli convolutions // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 102. – P. 409 – 432.
6. Lyons R. Seventy years of Rajchmann measures // J. Fourier Anal. and Appl. – Kahane Spes. Issue. – 1995. –
P. 363 – 377.
7. Peres Y., Solomyak B. Absolute continuity of Bernoulli convolutions, a simple proof // Math. Res. Lett. – 1996. – 3,
№ 2. – P. 231 – 239.
8. Peres Y., Solomyak B. Self-similar measures and intersections of Cantor sets // Trans. Amer. Math. Soc. – 1998. –
350, № 10. – P. 4065 – 4087.
9. Solomyak B. On the random series
∑
±λn (an Erdös problem) // Ann. Math. – 1995. – 142. – P. 611 – 625.
10. Alexander J., Zagier D. The entropy of a certain infinitely convolved Bernoulli measure // J. London Math. Soc. –
1991. – 44. – P. 121 – 134.
11. Chatterji S. Certain induced measures on the unit interval // J. London Math. Soc. – 1963. – 38. – P. 325 – 331.
12. Cooper M. Dimension, measure and infinite Bernoulli convolutions // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1998. –
124. – P. 135 – 149.
13. Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Один клас випадкових величин типу Джессена – Вiнтнера // Доп. НАН
України. – 1998. – C. 48 – 54.
14. Albeverio S., Ivanenko G., Lebid M., Torbin G. On the Hausdorff dimension faithfulness and the Cantor series
expansion // available at http://arxiv.org/abs/math/0724662
15. Peres Y., Schlag W., Solomyak B. Sixty years of Bernoulli convolutions // Fractal Geometry and Stochast. II. Progr.
Probab. – 2000. – 46. – P. 39 – 65.
16. Peres Y., Simon K., Solomyak B. Absolute continuity for random iterated function systems with overlaps // J. London
Math. Soc. – 2006. – 74, № 3. – P. 739 – 756.
17. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. On fine structure of singularly continuous probability
measures and random variables with independent Q̃-symbols // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2011. – 17, № 2. –
P. 97 – 111.
18. Lévy P. Sur les séries dont les termes sont des variables indépendantes // Stud. Math. – 1931. – 3. – P. 119 – 155.
19. Billingsley P. Hausdorff dimension in probability theory. II // Ill. J. Math. – 1961. – 5. – P. 291 – 198.
20. Goncharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal properties of some Bernoulli convolutions (in Ukrainian) //
Theory Probab. and Math. Statist. – 2009. – 79. – P. 39 – 55.
21. Торбiн Г. М. Мультифрактальний аналiз сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр // Укр. мат. журн. – 2005.
– 57, № 5. – С. 837 – 857.
Одержано 07.06.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2099 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:42Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fe/0691451bace559369423ffea40c224fe.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20992019-12-05T09:50:29Z Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II Сингулярність та тонкі фрактальні властивості одного класу нескінченних згорток Бернуллі з суттєвими перекриттями. II Lebid', M. V. Torbin, H. M. Лебідь, М. В. Торбін, Г. М. We discuss the Lebesgue structure and fine fractal properties of infinite Bernoulli convolutions, i.e., the distributions of random variables $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, where $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ is a convergent positive series and $\xi_k$ are independent (generally speaking, nonidentically distributed) Bernoulli random variables. Our main aim is to investigate the class of Bernoulli convolutions with essential overlaps generated by a series $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, such that, for any $k\in \mathbb{N}$, there exists $s_k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ for which $a_k = a_{k+1} = . . . = a_{k+s_k} ≥ r_{k+s_k}$ and, in addition, $s_k > 0$ for infinitely many indices $k$. In this case, almost all (both in a sense of Lebesgue measure and in a sense of fractal dimension) points from the spectrum have continuum many representations of the form $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_ka_k$, with $\varepsilon_k\in\{0, 1\}$. It is proved that $\mu_\xi$ has either a pure discrete distribution or a pure singulary continuous distribution. We also establish sufficient conditions for the faithfulness of the family of cylindrical intervals on the spectrum $\mu_\xi$ generated by the distributions of the random variables $\xi$. In the case of singularity, we also deduce the explicit formula for the Hausdorff dimension of the corresponding probability measure [i.e., the Hausdorff–Besicovitch dimension of the minimal supports of the measure $\mu_\xi$ (in a sense of dimension)]. Изучается лебеговская структура и тонкие фрактальные свойства бесконечных сверток Бернулли, т. е. распределений случайных величин вида $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, где $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ — сходящийся знакоположительный ряд, а $\xi_k$ — независимые (вообще говоря, разнораспределенные) бернуллиевские случайные величины. Основное внимание в исследовании уделено на наименее исследованному классу — сверткам Бернулли с существенными перекрытиями, порожденными рядом $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, таким, что для любого $k\in \mathbb{N}$ существует $s_k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ такое, что $a_k = a_{k+1} = ... = a_{k+s_k} ≥ r_{k+s_k}$, причем $s_k > 0$ выполняется для неограниченного количества индексов $k$. В этом случае почти все (как в смысле меры Лебега, так и в смысле фрактальной размерности) точки спектра имеют континуальное количество различных представлений в виде $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_ka_k$, где $\varepsilon_k\in\{0, 1\}$. Доказано, что вероятностная мера $\mu_\xi$ имеет или чисто дискретное, или чисто сингулярно непрерывное распределение. Установлены достаточные условия доверительности на спектре семейства цилиндрических отрезков, порожденные распределением случайной величины $\xi$. В случае сингулярности найдена явная формула для вычисления размерности Хаусдорфа соответствующей вероятностной меры, т. е. размерности Хаусдорфа – Безиковича минимальных (в смысле размерности) носителей меры $\mu_\xi$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2099 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 12 (2015); 1667-1678 Український математичний журнал; Том 67 № 12 (2015); 1667-1678 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2099/1207 Copyright (c) 2015 Lebid' M. V.; Torbin H. M. |
| spellingShingle | Lebid', M. V. Torbin, H. M. Лебідь, М. В. Торбін, Г. М. Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II |
| title | Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II |
| title_alt | Сингулярність та тонкі фрактальні властивості одного класу нескінченних згорток Бернуллі з суттєвими перекриттями. II |
| title_full | Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II |
| title_fullStr | Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II |
| title_full_unstemmed | Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II |
| title_short | Singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite Bernoulli convolutions with essential overlaps. II |
| title_sort | singularity and fine fractal properties of one class of generalized infinite bernoulli convolutions with essential overlaps. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2099 |
| work_keys_str_mv | AT lebid039mv singularityandfinefractalpropertiesofoneclassofgeneralizedinfinitebernoulliconvolutionswithessentialoverlapsii AT torbinhm singularityandfinefractalpropertiesofoneclassofgeneralizedinfinitebernoulliconvolutionswithessentialoverlapsii AT lebídʹmv singularityandfinefractalpropertiesofoneclassofgeneralizedinfinitebernoulliconvolutionswithessentialoverlapsii AT torbíngm singularityandfinefractalpropertiesofoneclassofgeneralizedinfinitebernoulliconvolutionswithessentialoverlapsii AT lebid039mv singulârnístʹtatonkífraktalʹnívlastivostíodnogoklasuneskínčennihzgortokbernullízsuttêvimiperekrittâmiii AT torbinhm singulârnístʹtatonkífraktalʹnívlastivostíodnogoklasuneskínčennihzgortokbernullízsuttêvimiperekrittâmiii AT lebídʹmv singulârnístʹtatonkífraktalʹnívlastivostíodnogoklasuneskínčennihzgortokbernullízsuttêvimiperekrittâmiii AT torbíngm singulârnístʹtatonkífraktalʹnívlastivostíodnogoklasuneskínčennihzgortokbernullízsuttêvimiperekrittâmiii |