On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces
We study the problem of extension to the boundary of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between continual domains in metric spaces with measures and formulate the conditions for the function Q and the boundaries of domains under which every continually ring Q-homeomorphism admi...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2107 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508038180372480 |
|---|---|
| author | Afanas'eva, E. S. Афанасьева, Е. С. Афанасьева, Е. С. |
| author_facet | Afanas'eva, E. S. Афанасьева, Е. С. Афанасьева, Е. С. |
| author_sort | Afanas'eva, E. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:29Z |
| description | We study the problem of extension to the boundary of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between continual domains in metric spaces with measures and formulate the conditions for the function Q and the boundaries of domains under which every continually ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. The accumulated results yield, in particular, important applications to fractals in ℝ n , n ≥ 2. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. С. Афанасьева (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ
В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
We study the problem of extension to the boundary of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between
continual domains in metric spaces with measures. The conditions on the function Q and the boundaries of domains
under which every continually ring Q-homeomorphism admits continuous or homeomorphic extension to the boundary are
formulated. The accumulated results yield, in particular, important applications to fractals in Rn, n ≥ 2.
Дослiджується проблема продовження на межу континуально кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв вiдносно p-модуля мiж
континуальними областями у метричних просторах iз мiрами. Сформульовано умови на функцiю Q та межi облас-
тей, при яких будь-який континуально кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продов-
ження на межу. Отриманi результати ведуть, зокрема, до важливих застосувань до фракталiв у Rn, n ≥ 2.
1. Введение. В прошедшее десятилетие в теории отображений началось интенсивное изучение
так называемых отображений с конечным искажением, характеристики которых не являются
ограниченными, а лишь конечными почти всюду в области задания (см., например, [1 – 5]
и дальнейшие ссылки в монографии [3]). Параллельно происходил переход к исследованию
отображений в метрических пространствах с мерами. Отметим, что эти исследования ведут к
важным приложениям к фракталам в Rn, n ≥ 2, и римановым многообразиям, которые тес-
но связаны с современной теоретической физикой. Важный вклад в это направление внесла
донецкая школа по теории отображений. В данной статье развивается техника p-модулей при-
менительно к семействам континуумов в метрических пространствах, которые, вообще говоря,
не являются линейно связными (с помощью непрерывных путей) и на этой основе строится
теория граничного поведения континуально кольцевых Q-гомеоморфизмов.
Напомним, что в последнее время активно развивалась теория так называемыхQ-гомеомор-
физмов. В препринте [6], а затем в статье [7] для квазиконформных отображений было полу-
чено модульное неравенство, которое легло в основу определения Q-гомеоморфизмов, введен-
ных впоследствии профессором О. Мартио (Финляндия). Основной целью теории Q-гомео-
морфизмов является изучение взаимосвязей свойств отображения f и свойств функции Q.
Развитие этой теории начиналось в работах [8, 9]. Высокий уровень абстракции теорииQ-отоб-
ражений позволяет применять эту теорию ко всем современным классам отображений, где уда-
ется установить оценку модуля с подходящей функцией Q, связанной с теми или иными харак-
теристиками (дилатациями) отображений, в том числе к отображениям с конечным искажением
по Иванцу и отображениям с конечным искажением длины (см., например, [3, 10]). Определение
Q-гомеоморфизма относительно p-модуля в Rn, n ≥ 2, при p 6= n во внутренних точках облас-
тей впервые встречается в [11]. Затем в [12] неравенство вида Mp(fΓ) ≤
∫
D
Q(x)ρp(x)dm(x)
было установлено для отображений, квазиконформных в среднем при p 6= n.
В последние годы активно изучаются так называемые кольцевые Q-гомеоморфизмы, мо-
тивированные кольцевым определением квазиконформности по Герингу в [13], которые были
впервые введены на плоскости в связи с исследованием уравнения Бельтрами с вырождением
условия строгой эллиптичности (см., например, [14]), а затем и в Rn, n ≥ 2 [15]. Впоследствии
понятие кольцевого гомеоморфизма было распространено в граничные точки областей на плос-
c© Е. С. АФАНАСЬЕВА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1 17
18 Е. С. АФАНАСЬЕВА
кости [16, 17]. Как известно, теория граничного поведения всегда была наиболее трудной и
интересной частью теории отображений (см., например, монографии [3, 18] и приведенную
в них библиографию). Отметим также, что кольцевые Q-гомеоморфизмы в последнее время
нашли приложения к теории граничного поведения классов Соболева и Орлича – Соболева на
римановых многообразиях (см., например, [19]). В работе [20] также исследовались кольцевые
Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля при p 6= n во внутренних точках областей в Rn и
был приведен критерий принадлежности классу кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно
p-модуля.
Автор продолжил исследование граничного поведения кольцевых Q-гомеоморфизмов, на-
чатое в работе [21], но уже относительно p-модулей между континуальными областями в мет-
рических пространствах c мерами.
2. Определения и предварительные результаты. Прежде чем формулировать результаты
работы, напомним, что топологическое пространство связно, если его нельзя разбить на два
непустых непересекающихся открытых множества. Напомним также, что топологическое про-
странство T называется локально связным, если для любой его точки x0 и любой ее окрестности
U найдется ее связная окрестность V ⊆ U . Компактные связные хаусдорфовы пространства
называются континуумами. Напомним, что топологическое пространство называется хаусдор-
фовым, если для любой пары точек найдутся их взаимно не пересекающиеся окрестности. В
дальнейшем для любых множеств A, B и C в топологическом пространстве T через Γ(A,B;C)
обозначаем семейство всех континуумов γ, соединяющих A и B в C, т. е. таких, что γ∩A 6= ∅,
γ ∩B 6= ∅ и γ \ {A ∪B} ⊆ C.
Пространство T будем называть континуально связным, если любую пару его точек можно
погрузить в континуум γ в T . Под континуальной областью в топологическом пространстве
T будем понимать открытое континуально связное множество D. Также пространство T будем
называть локально континуально связным в точке x0, если для любой окрестности U точки x0
найдется окрестность V ⊆ U , которая является континуальной областью в T . Пространство T
будем называть континуально связным в точке x0, если для любой ее окрестности U найдется
ее окрестность V ⊆ U такая, что V \ {x0} является континуальной областью (ср. с [3, c. 274]).
Наконец, континуальную область D будем называть континуально связной в точке x0 ∈ ∂D,
если для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊆ U этой точки такая, что
V ∩D является континуальной областью.
Говорим, что семейство континуумов Γ1 из произвольного топологического пространства
T минорируется семейством континуумов Γ2 из T (пишем Γ1 > Γ2), если для каждого кон-
тинуума γ1 ∈ Γ1 существует континуум γ2 ∈ Γ2 такой, что γ2 является подконтинуумом γ1,
т. е. γ2 ⊆ γ1.
Далее приведем континуальный аналог предложения 2.3 из работы [22] (см. также предло-
жение 13.3 в монографии [3]).
Предложение 1. Пусть Ω — открытое множество в топологическом пространстве T .
Тогда
Γ(Ω, T \ Ω;T ) > Γ(Ω, ∂Ω; Ω) . (1)
Доказательство. Пусть Γ1 — семейство континуумов γ, соединяющих Ω и T \ Ω в T , и
Γ2 — семейство континуумов γ∗, соединяющих Ω и ∂Ω в Ω. Прежде всего заметим, что Ω —
замкнутое множество и, следовательно, множества Eγ = Ω ∩ γ, γ ∈ Γ1, — компакты, так как γ
— континуумы (см., например, предложение I.9.3 в [23]). Компоненты связности Eγ являются
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 19
замкнутыми попарно непересекающимися множествами (см., например, теорему 5.46.III.1 в
[24]) и, следовательно, взаимно непересекающимися континуумами (см. также предложение
I.9.3 в [23]). Хотя бы одна из них E0 содержит точку из Ω. Эта компонента связности E0
обязана также, по теореме Янишевского, содержать точку ∂Ω (см., например, теорему 47.III.1
в [24]).
Таким образом, найден подконтинуум E0 исходного континуума γ ∈ Γ1, который лежит в
Ω и соединяет Ω с ∂Ω, т. е. E0 ∈ Γ2 и, следовательно, Γ1 > Γ2.
Далее Hk, k ∈ [0,∞), обозначает k -мерную меру Хаусдорфа множества A в метрическом
пространстве (X, d). Точнее, пусть A — множество в (X, d). Тогда полагаем
Hk(A) = sup
ε>0
Hk
ε (A) , (2)
Hk
ε (A) : = inf
∞∑
i=1
(diam Ai)
k , (3)
причем инфимум в (3) берется по всем покрытиям A множествами Ai с diam Ai < ε (см.,
например, [26]). Напомним, что diam Ai = supx,y∈Ai
d(x, y). Как известно, если для некоторого
множества A и k1 ≥ 0 выполнено условие Hk1(A) < ∞, то Hk2(A) = 0 для произвольного
числа k2 > k1 (см., например, разд. 1 в гл. VII в [26]). В связи с этим вводится величина
dimHA := sup
Hk(A)>0
k,
которая называется хаусдорфовой размерностью множества A.
В дальнейшем говорим, что континуум в метрическом пространстве (X, d) является k -
спрямляемым, если его мера Хаусдорфа Hk конечна. 1-Спрямляемые континуумы γ будем
называть просто спрямляемыми континуумами или континуумами конечной длины, а H1(γ)
— длиной γ. Фугледе рассматривал системы мер в абстрактном множестве X с фиксирован-
ной основной мерой (см., например, [27]). Нами будут рассмотрены системы борелевских мер,
ассоциированных с континуумами в метрических пространствах (X, d). Именно, мера m(k)
γ , ас-
социированная c континуумом γ в (X, d), определяется для каждого борелевского множества B
в (X, d) как хаусдорфова мера Hk пересечения B∩γ при фиксированном k > 0. В дальнейшем
для любого континуума γ ∈ Γ мера mγ := m
(1)
γ .
Приведем также континуальный аналог предложения 2.4 из статьи [22] (см. также предло-
жение 13.4 в монографии [3]).
Предложение 2. Пусть γ — спрямляемый континуум в метрическом пространстве (X, d),
соединяющий точки x1 ∈ B(x0, r1) и x2 ∈ X \B(x0, r2), где x0 ∈ X, 0 < r1 < r2 <∞, и пусть
η : [0,∞]→ [0,∞] — борелева функция. Тогда
∫
γ
η(d(x, x0))dmγ ≥
r2∫
r1
η(r)dr. (4)
Доказательство. По неравенству треугольника для любых точек y1 и y2 ∈ X
d(y1, y2) + d(y1, x0) ≥ d(y2, x0)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
20 Е. С. АФАНАСЬЕВА
и
d(y1, y2) + d(y2, x0) ≥ d(y1, x0),
т. е.
d(y1, y2) ≥ |d(y1, x0)− d(y2, x0)|. (5)
Заметим, что функция d(x, x0) каждой точке x ∈ X ставит в соответствие некоторое число
в R+ и в силу (5) при этом отображении длина множества не возрастает. Напомним также,
что по свойству Дарбу о связных множествах непрерывная функция d(x, x0) принимает все
промежуточные значения на γ (см., например, следствие 5.46.3а в [24]). Следовательно,
dH1 ≥ dr, (6)
где r = d(x, x0), dr = ∆r и dH1 — длина той части континуума γ, которая расположена в
кольце {x ∈ X : r ≤ |x− x0| < r +4r}. Таким образом, неравенство (4) следует из (6).
Замечание 1. В частности, из неравенства (4) следует, что для любого континуума γ
H1(γ) ≥ diam γ . (7)
Однако неравенство вида
Hk(γ) ≥ [diam γ]αk (8)
не выполняется для невырожденных континуумов ни при каком другом k, кроме k = 1, и ни
при каком αk ∈ R. Действительно, при k < 1 по теореме VII.2 в [26] 1 > dimH γ ≥ dim γ = 0,
где dim γ — топологическая размерность γ, т. е. γ — полностью разрывное множество (см.
II.4.D в [26]). Однако последнее противоречит тому, что γ — невырожденный континуум. Kак
показывает следующий контрпример, eсли k > 1, неравенство (7) также не выполняется. Пусть
I = [0, 1]. Очевидно, что H1(I) = 1 < ∞ и потому Hk(I) = 0 для любого k > 1 (см. разд. 1
гл. VII в [26]), а diam I = 1, т. е. (8) не выполнено для простейшего континуума I .
Неотрицательную µ-измеримую функцию ρ : X → [0,∞] называем допустимой для семей-
ства континуумов Γ в (X, d) (пишем ρ ∈ adm Γ), если∫
X
ρ dmγ ≥ 1 ∀ γ ∈ Γ.
Пусть теперь (X, d, µ) — метрическое пространство с борелевой мерой µ. Напомним, что
пространство (X, d, µ) называется α-регулярным по Альфорсу, если существует постоянная
C ≥ 1 такая, что
C−1rα ≤ µ(Br) ≤ Crα
для всех шаров Br в X радиуса r < diamX . Как известно, α-регулярные пространства имеют
хаусдорфову размерность α (см., например, [28, c. 61]). Пространство (X, d, µ) называется
регулярным по Альфорсу, если оно α-регулярно для некоторого α ∈ (1,∞).
Говорят также, что пространство (X, d, µ) α-регулярно сверху в точке x0 ∈ X , если суще-
ствует постоянная C > 0 такая, что
µ(B(x0, r)) ≤ Crα (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 21
для всех шаров B(x0, r) с центром в точке x0 ∈ X радиуса r < r0. Будем также говорить,
что пространство (X, d, µ) регулярно сверху, если условие (9) выполнено в каждой точке x для
некоторого α ∈ (1,∞).
p-Модуль, 0 < p < ∞, семейства Γ континуумов γ в (X, d, µ) определим следующим
образом:
Mp(Γ) = inf
ρ ∈ adm Γ
∫
X
ρp(x) dµ(x).
Здесь мы доопределим Mp(Γ) = +∞, если Γ = ∅.
Из соотношения (1) по [27, c. 178] получаем следующее заключение из предложения 2.
Следствие 1. Для любого открытого множества Ω в метрическом пространстве с бо-
релевой мерой (X, d, µ)
Mp(Γ(Ω, X \ Ω;X)) ≤Mp(Γ(Ω, ∂Ω; Ω)) ∀ p ∈ (0,∞).
Пусть всюду далее D и D′ — континуальные области в пространствах (X, d, µ) и (X ′, d′, µ′)
соответственно, Q : X → (0,∞) — µ-измеримая функция и p ∈ (0,∞). Говорим, что гомео-
морфизм f : D → D′ является континуально кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D
относительно p-модуля, если неравенство
Mp(Γ(f(C0), f(C1); D′)) ≤
∫
A∩D
Q(x) ηp(d(x, x0)) dµ(x)
выполняется для любого кольца A = A(x0, r1, r2) : = {x0 ∈ X : r1 < d(x, x0) < r2}, 0 < r1 <
< r2 < ∞, любых двух континуумов C0 ⊂ B(x0, r1) ∩ D и C1 ⊂ D \ B(x0, r2) и любой
борелевой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r)dr ≥ 1.
Наконец, говорим, что гомеоморфизм f : D → D′ является континуально кольцевым Q-гомео-
морфизмом, если f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм в каждой точке x0 ∈ D.
Аналогично [22] говорим, что граница континуальной области D континуально слабо плос-
кая в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), если для любого числа N > 0 и
любой окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что
Mp(Γ(E,F ;D)) ≥ N (10)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V.
Аналогично [22] также говорим, что граница континуальной области D континуально силь-
но достижима в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), если для любой окрест-
ности U точки x0 найдутся компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие,
что
Mp(Γ(E,F ;D)) ≥ δ
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
22 Е. С. АФАНАСЬЕВА
Наконец, границу континуальной области D называем континуально сильно достижимой
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), и континуально слабо плоской относительно p-модуля,
p ∈ (0,∞), если соответствующие свойства имеют место в каждой точке ее границы.
Приведем далее некоторые вспомогательные утверждения.
Предложение 3. Если граница континуальной области D континуально слабо плоская в
точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), то ∂D континуально сильно достижима
в точке x0 относительно p-модуля.
Доказательство. Полагаем U = B(x0, r0), где 0 < r0 < d0 = supx∈D d(x, x0). Тогда, по
условию, существует r ∈ (0, r0) такое, что выполнено неравенство (10) для всех континуумов
E и F , пресекающих ∂B(x0, r0) и ∂B(x0, r). Далее, по свойству Дарбу о связных множествах
непрерывная функция d(x, x0) принимает все промежуточные значения в D (см. следствие
5.46.3а в [24]). Следовательно, существуют точки y1 ∈ D ∩ ∂B(x0, r0) и y2 ∈ D ∩ ∂B(x0, r).
Выберем в качестве компакта E произвольный континуум γ, содержащий y1 и y2 вD. Тогда для
каждого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V , где V = B(x0, r), выполнено неравенст-
во (10).
Лемма 1. Пусть D — континуальная область в (X, d, µ). Если ∂D континуально слабо
плоская в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), то D континуально связна в x0.
Доказательство. Предположим, что D не является континуально связной в точке x0. Тогда
найдется r0 ∈ (0, d0), d0 = supx∈D d(x, x0), такое, что µ0 := µ(D ∩ B(x0, r0)) < ∞, и для
любой окрестности V ⊆ U := B(x0, r0) точки x0 выполняется одно из следующих условий:
1) V ∩D имеет по меньшей мере две связные компоненты K1 и K2 такие, что x0 ∈ K1∩K2;
2) V ∩ D имеет бесконечное число связных компонент K1, . . . ,Km, . . . таких, что x0 =
= limm→∞ xm для некоторых xm ∈ Km и x0 /∈ Km для всех m = 1, 2, . . . . Заметим, что
Km ∩ ∂V 6= ∅ для всех m = 1, 2, . . . вследствие связности D (см. предложение 1).
В частности, пункты 1 или 2 верны для окрестности V = U = B(x0, r0). Пусть, далее,
r∗ ∈ (0, r0). Тогда
Mp(Γ(K∗i ,K
∗
j ;D)) ≤M0 :=
µ0
[2(r0 − r∗)]p
<∞ ,
гдеK∗i = Ki∩B(x0, r∗) иK∗j = Kj∩B(x0, r∗) для всех i 6= j. Действительно, по предложению 2
одной из допустимых функций для Γ(K∗i ,K
∗
j ;D) является
ρ(x) =
1
2(r0 − r∗)
, если x ∈ B0 \B∗,
0, если x ∈ X \ (B0 \B∗),
где B0 = B(x0, r0) и B∗ = B(x0, r∗), так как компоненты Ki и Kj не могут быть связаны
континуумом в V = B(x0, r0) и любой континуум, соединяющий K∗i и K∗j в D, по крайней
мере дважды пересекает кольцо B0 \ B∗, поскольку по свойству Дарбу о связных множествах
непрерывная функция d(x, x0) принимает все промежуточные значения на γ (см. следствие
5.46.3а в [24]).
В силу пунктов 1 и 2 приведенная выше модульная оценка противоречит условию конти-
нуальной слабой плоскости в точке x0. Действительно, по этому условию найдется r ∈ (0, r∗)
такое, что
Mp(Γ(K∗i0 ,K
∗
j0 ;D)) ≥M0 + 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 23
для каждой достаточно большой пары i0 и j0, i0 6= j0, так как в соответствующих K∗i0 и K∗j0
с d(x0, xi0) и d(x0, xj0) < r найдется по континууму, пересекающему ∂B(x0, r∗) и ∂B(x0, r)
(см. предложение 1).
Таким образом, предположение о нарушении континуальной связности континуальной об-
ласти D в точке x0 было неверным.
Следствие 2. Континуальные области с континуально слабо плоскими границами отно-
сительно p-модуля, p ∈ (0,∞), континуально связны во всех точках границы.
Следуя [22], говорим, что функция ϕ : X → R имеет конечное среднее колебание в точке
x0 ∈ X (сокращенно ϕ ∈ FMO(x0)), если
lim
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x)− ϕ̃ε| dµ(x) <∞ , (11)
где
ϕ̃ε = −
∫
B(x0,ε)
ϕ(x)dµ(x) =
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
ϕ(x)dµ(x)
— среднее значение функции ϕ по шару B(x0, ε) = {x ∈ X : d(x, x0) < ε} относительно ме-
ры µ. Здесь условие (11) включает предположение, что ϕ интегрируема относительно меры µ
по некоторому шару B(x0, ε), ε > 0.
Предложение 4. Если для некоторого набора чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x)− ϕε| dµ(x) <∞ ,
то ϕ ∈ FMO(x0).
Следствие 3. В частности, если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x)| dµ(x) <∞ ,
то ϕ ∈ FMO(x0).
Варианты следующей леммы из [22] были сначала доказаны для BMO функций и внутрен-
них точек области D в Rn при n = 2 и n ≥ 3 соответственно, а затем для граничных точек D в
Rn, n ≥ 2, с условием удвоения меры и FMO функций (см. историю вопроса более подробно
в главе 13 монографии [3]).
Лемма 2. Пусть пространство (X, d, µ) p-регулярно сверху c p ≥ 2 в точке x0 и
µ(B(x0, 2r)) ≤ γ · logp−2 1
r
· µ(B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0) . (12)
Тогда для любой неотрицательной функции ϕ : X → R класса FMO(x0)∫
A(x0,ε,ε0)
ϕ(x) dµ(x)(
d(x, x0) log 1
d(x,x0)
)p = O
(
log log
1
ε
)
при ε→ 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min (e−e, d0), d0 := sup
x∈D
d(x, x0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
24 Е. С. АФАНАСЬЕВА
Замечание 2. Условие (12) слабее условия удвоения меры µ:
µ(B(x0, 2r)) ≤ γ µ(B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0), (13)
которое использовалось ранее в контексте Rn, n ≥ 2, в работе [29] (см. также секцию 6.2
в монографии [3]). Заметим также, что условие (13) автоматически выполняется в точках
пространства X , где X регулярно по Альфорсу.
3. Граничное поведение континуально кольцевых Q-гомеоморфизмов. Далее C(x0, f)
обозначает предельное множество отображения f : D → D′ в точке x0,
C(x0, f) :=
{
x′ ∈ X ′ : x′ = lim
n→∞
f(xn), xn → x0, xn ∈ D
}
.
Лемма 3. Пусть f : D → D′ — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля, p ∈ (0,∞), с Q ∈ L1
µ(D). Если D континуально связна в точках x1 и x2 ∈ ∂D, x1 6=
6= x2, а D′ имеет континуально слабо плоскую границу относительно p-модуля, то C(x1, f)∩
∩ C(x2, f) = ∅.
Доказательство. Пусть Ei = C(xi, f), i = 1, 2, и δ = d(x1, x2). Предположим, что E1 ∩
∩ E2 6= ∅. Поскольку D континуально связна в точках x1 и x2, существуют окрестности U1 и
U2 точек x1 и x2 соответственно такие, что W1 = D ∩ U1 и W2 = D ∩ U2 — континуальные
области и U1 ⊂ B1 = B
(
x1,
δ
3
)
и U2 ⊂ B2 = B
(
x2,
δ
3
)
. Тогда по неравенству треугольника
dist(W1,W2) ≥ δ
3
. Пусть также
η(t) =
3
δ
, t ∈
(
δ
3
;
2δ
3
)
,
0, t 6∈
(
δ
3
;
2δ
3
)
.
Тогда имеем
∫ 2δ/3
δ/3
η(t)dt =
∫ 2δ/3
δ/3
3
δ
dt = 1. Следовательно, для любых континуумов K1 ⊂W1
и K2 ⊂W2
Mp(Γ(f(K1), f(K2);D′)) ≤
∫
D∩A(x1, δ/3, 2δ/3)
Q(x)ηp(d(x1, x)) dµ(x) ≤
≤ 3p
δp
∫
D
Q(x) dµ(x) <∞,
так как Q ∈ L1
µ(D).
Однако последняя оценка противоречит условию континуальной слабой плоскости (10),
если найдется y0 ∈ E1 ∩ E2 . Действительно, тогда y0 ∈ fW1 ∩ fW2 и в континуальных
областях W ∗1 = fW1 и W ∗2 = fW2 найдется по континууму, пересекающему любые наперед
заданные сферы ∂B(y0, r0) и ∂B(y0, r∗) с достаточно малыми радиусами r0 и r∗ . Поэтому
предположение, что E1 ∩ E2 6= ∅, неверно.
Опираясь на лемму 3 и рассуждая от противного, получаем, в частности, следующее за-
ключение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 25
Теорема 1. Пусть D континуально связна во всех своих граничных точках и D — ком-
пакт, D′ имеет континуально слабо плоскую границу относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), а
f : D → D′ — континуально кольцевойQ-гомеоморфизм относительно p-модуля сQ ∈ L1
µ(D).
Тогда обратное отображение g = f−1 : D′ → D допускает непрерывное продолже-
ние g : D′ → D.
Замечание 3. Известно (см. пример предложения 6.3 в монографии [3]), что никакая сколь
угодно высокая степень интегрируемости Q в D не гарантирует продолжения прямых отобра-
жений на границу. Условия для этого имеют гораздо более тонкий характер, чем для продол-
жимости обратных отображений f−1. Некоторые из этих условий приведены ниже.
Лемма 4. Пусть D континуально связна в точке x0 ∈ ∂D, D′ — компакт, а f : D → D′
— континуально кольцевой Q-гомеоморфизм в x0 относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), такой,
что ∂D′ континуально сильно достижима относительно p-модуля хотя бы в одной точке
предельного множества C(x0, f), Q : X → (0,∞) — µ-измеримая функция, удовлетворяющая
условию ∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψpx0,ε(d(x, x0)) dµ(x) = o(Ipx0,ε0(ε)) (14)
при ε→ 0 для некоторого ε0 ∈ (0, d(x0)), где d(x0) := supx∈D d(x, x0) и ψx0,ε(t) — семейство
неотрицательных измеримых (по Лебегу) функций на (0,∞) таких, что
0 < Ix0,ε0(ε) : =
ε0∫
ε
ψx0,ε(t) dt < ∞ ∀ ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d(x0)).
Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Доказательство. Покажем, что предельное множество E = C(x0, f) состоит из един-
ственной точки. Отметим, что E 6= ∅ в силу компактности D′ (см., например, замечание 3,
п. 41 в [24]). По условию леммы ∂D′ континуально сильно достижима в некоторой точке
y0 ∈ E. Допустим, что существует хотя бы еще одна точка y∗ ∈ E. Пусть U = B(y0, r0), где
0 < r0 < d′(y0, y
∗).
В силу континуальной связности континуальной области D в точке x0 найдется последо-
вательность окрестностей Vk точки x0 такая, что Dk = D ∩ Vk — континуальные области и
diamVk → 0 при k → ∞. Тогда найдутся точки yk и y∗k ∈ Fk = fDk, близкие к y0 и y∗
соответственно, для которых d′(y0, yk) < r0 и d′(y0, y
∗
k) > r0 и которые можно соединить
континуумами Ck в областях Fk, k = 1, 2, . . . . По построению
Ck ∩ ∂B(y0, r0) 6= ∅
вследствие связности Ck.
По условию континуальной сильной достижимости точки y0 найдутся компакт C0 ⊂ D′ и
число δ > 0 такие, что
Mp(Γ(C0, Ck;D
′)) ≥ δ (15)
для достаточно больших k, так как dist(y0, Ck)→ 0 при k →∞. Поскольку любое компактное
множество C0 может быть вложено в континуум (в силу леммы 1 в [21]), можно считать, что
C0 — континуум. Заметим, что K0 = f−1(C0) также является континуумом как непрерывный
образ континуума. Таким образом, ε0 = min(d(x0,K0)) > 0 в D. Пусть ψ∗x0,ε — борелевская
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
26 Е. С. АФАНАСЬЕВА
функция, такая, что ψ∗x0,ε(t) = ψx0,ε(t) для почти всех t ∈ (0,∞) и ψ∗x0,ε(t) = 0 для остальных
t, которая существует по теореме Лузина (см., например, 2.3.5 в [30]).
Заметим, что Ix0,ε0(ε) > 0 при малых ε в силу (14) и для функции
ηε(t) =
{
ψ∗x0,ε(t)/Ix0,ε0(ε), t ∈ (ε, ε0),
0, t 6∈ (ε, ε0),
выполнено условие
∫ ε0
ε
ηε(t) dt = 1.
Пусть Bε := {x ∈ X : d(x, x0) < ε}, ε ∈ (0, ε0). Рассмотрим произвольный континуумK ⊂
⊂ Bε∩D. Отметим, что функция ηε(d(x, x0)) является допустимой для семейства континуумов
Γ(f(K0), f(K);D′) по предложению 2. Таким образом,
Mp(Γ(f(K0), f(K);D′)) 6
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x) ηpε(d(x, x0)) dµ(x) ≤
≤ 1
Ipx0,ε0(ε)
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψpx0,ε(d(x, x0)) dµ(x)→ 0 (16)
при ε→ 0 по (14).
С другой стороны, для любого ε ∈ (0, ε0) при больших k имеет место включение Dk ⊂ Bε
и, следовательно, f−1(Ck) ⊂ Bε ∩ D. Таким образом, получаем противоречие между (15) и
(16), т. е. предположение о существовании второй точки y∗ в C(x0, f) было неверным.
Следствие 4. В частности, если
lim
ε→0
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψp(d(x, x0)) dµ(x) < ∞ , (17)
где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция на (0,∞) такая, что
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt < ∞ ∀ ε ∈ (0, ε0) ,
и I(ε, ε0) → ∞ при ε → 0, то континуально кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D′ продол-
жим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Замечание 4. Другими словами, достаточно, чтобы сингулярный интеграл в (17) сходился
в точке x0 хотя бы для одного ядра ψ с неинтегрируемой особенностью в нуле. Более того, как
видно из леммы 4, достаточно, чтобы указанный интеграл даже расходился, но с контролируе-
мой скоростью: ∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψp(d(x, x0)) dµ(x) = o(Ip(ε, ε0)).
Выбирая в лемме 4 ψ(t) ≡ 1/t, приходим к следующей теореме.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 27
Теорема 2. Пусть D континуально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D′ континуально сильно
достижима относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), и D′ компактно. Если измеримая функция
Q : X → (0,∞) удовлетворяет условию∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
= o
([
log
1
ε
]p)
при ε→ 0 для некоторого ε0 < d(x0) : = supx∈D d(x, x0), то любой континуальный кольце-
вой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля f : D → D′ продолжим в точку x0 по непрерыв-
ности в (X ′, d′).
Следствие 5. В частности, заключение теоремы 2 остается в силе, если сингулярный
интеграл ∫
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
сходится в окрестности точки x0.
Комбинируя леммы 2 и 4, выбирая ψε(t) ≡ t log
1
t
, t ∈ (0, δ0), приходим к следующему
утверждению.
Теорема 3. Пусть X p-регулярно сверху в точке x0 ∈ ∂D, p ≥ 2, где D континуаль-
но связна и удовлетворяет условию (12), а ∂D′ континуально сильно достижима относи-
тельно p-модуля и D′ — компакт. Если Q ∈ FMO(x0), то любой континуально кольцевой
Q-гомеоморфизм относительно p-модуля, p ∈ [2,∞), f : D → D′ продолжим в точку x0 по
непрерывности в (X ′, d′).
Комбинируя теорему 3 и следствие 3, получаем следующее утверждение.
Следствие 6. В частности, если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
Q(x) dµ(x) <∞ ,
то любой континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля, p ∈ (0,∞),
f : D → D′ продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Комбинируя предыдущие результаты о продолжении на границу прямых и обратных отоб-
ражений, получаем следующие утверждения.
Лемма 5. Пусть D континуально связна на границе, D′ имеет континуально слабо плос-
кую границу, аD иD′ — компакты. Если функцияQ : X → (0, ∞) класса L1
µ(D) удовлетворяет
условию (14) в каждой точке x0 ∈ ∂D, то любой континуально кольцевой Q-гомеоморфизм
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), f : D → D′ продолжим до гомеоморфизма f : D → D′.
Теорема 4. Пусть D и D′ имеют континуально слабо плоские границы относительно
p-модуля, p ∈ (0,∞), D и D′ — компакты и Q : X → (0, ∞) — функция класса L1
µ(D) с∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
= o
([
log
1
ε
]p)
, p ∈ (0,∞),
в каждой точке x0 ∈ ∂D для некоторого ε0 = ε(x0) < d(x0) : = supx∈D d(x, x0). Тогда лю-
бой континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля f : D → D′ допускает
продолжение до гомеоморфизма f : D → D′.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
28 Е. С. АФАНАСЬЕВА
Следствие 7. В частности, заключение теоремы 4 имеет место, если сингулярный инте-
грал ∫
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
сходится в окрестности каждой точки x0 ∈ ∂D.
Теорема 5. Пусть D — континуальная область в p-регулярном сверху пространстве
(X, d, µ), p ≥ 2, которая континуально связна на границе и удовлетворяет условию (14) во
всех граничных точках, D′ — область с континуально слабо плоской границей относительно
p-модуля в пространстве (X ′, d′, µ′), а D и D′ — компакты. Если функция Q : X → (0,∞) име-
ет конечное среднее колебание во всех граничных точках континуальной области D, то любой
континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля, p ∈ [2,∞), f : D → D′ про-
должим до гомеоморфизма f : D → D′.
Следствие 8. В частности, заключение теоремы 5 имеет место, если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
Q(x) dµ(x) <∞ ∀ x0 ∈ ∂D.
1. Iwaniec T., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Compactness // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 2002. –
27, № 2. – P. 391 – 417.
2. Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Capacity and modulus inequalities // J. reine und angew. Math. –
2006. – 599. – S. 1 – 26.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monogr. Math. – New
York: Springer, 2009.
4. Onninen J. Mappings of finite distortion: continuity: Dissertation. – Jyvaskyla, 2002.
5. Rajala K. Mappings of finite distortion: removable singularities: Dissertation. – Jyvaskyla, 2003.
6. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space. – Helsinki, 2000. – 256. –
22 p. – (Preprint / Univ. Helsinki).
7. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. Sci. –
2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 2005. –
30, № 1. – P. 49 – 69.
9. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Q-homeomorphisms // Contemp. Math. – 2004. – 364. – P. 193 – 203.
10. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001.
11. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis (Proc. 6th ISAAC
Congr.). – Hackensack, NJ: World Sci. Publ, 2009. – P. 218 – 228.
12. Golberg A. Integrally quasiconformal mappings in space // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7,
№ 2. – C. 53 – 64.
13. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353 – 393.
14. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Укр. мат. вестн. – 2007. –
4, № 1. – P. 97 – 115.
15. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфизмов // Сиб.
мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – C. 1361 – 1376.
16. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On strong solutions of the Beltrami equations // Complex Variables and Elliptic
Equat. – 2010. – 55, № 1-3. – P. 219 – 236.
17. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. To strong ring solutions of the Beltrami equations // Uzbek. Math. J. – 2009. –
№ 1. – P. 127 – 137.
18. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Developments
Math. – New York: Springer, 2012. – 26.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 29
19. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Об отображениях в классах Орлича – Соболева на римановых
многообразиях // Укр. мат. вестн. – 2011. – 8, № 3. – C. 319 – 342.
20. Салимов Р. Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. мат. журн. – 2012. – 53, № 4. – C. 920 – 930.
21. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат.
журн. – 2010. – 62, № 5. – C. 682 – 689.
22. Рязанов В., Салимов Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн. –
2007. – 4, № 2. – C. 199 – 234.
23. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. – М.: Наука, 1969.
24. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1969. – Т. 2.
25. Whyburn G. T. Analytic topology. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1942.
26. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948.
27. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171 – 219.
28. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001.
29. Игнатьев А. А., Рязанов В. И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. –
2, № 3. – C. 395 – 417.
30. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
Получено 28.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2107 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:51Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f2/a638b84d7ff300bbad41c9077d37b3f2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21072019-12-05T10:24:29Z On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces О граничном поведении одного класса отображений в метрических пространствах Afanas'eva, E. S. Афанасьева, Е. С. Афанасьева, Е. С. We study the problem of extension to the boundary of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between continual domains in metric spaces with measures and formulate the conditions for the function Q and the boundaries of domains under which every continually ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. The accumulated results yield, in particular, important applications to fractals in ℝ n , n ≥ 2. Досліджується проблема продовження на межу континуально кільцевих Q-гомєоморФізмів відносно p-модуля між континуальними областями у метричних просторах із мірами. Сформульовано умови на функцію Q та межі областей, при яких будь-який континуально кільцевий Q-гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Отримані результати ведуть, зокрема, до важливих застосувань до фракталів у ℝ n , n ≥ 2. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2107 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 1 (2014); 17–29 Український математичний журнал; Том 66 № 1 (2014); 17–29 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2107/1216 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2107/1217 Copyright (c) 2014 Afanas'eva E. S. |
| spellingShingle | Afanas'eva, E. S. Афанасьева, Е. С. Афанасьева, Е. С. On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces |
| title | On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces |
| title_alt | О граничном поведении одного класса отображений в метрических пространствах |
| title_full | On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces |
| title_fullStr | On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces |
| title_full_unstemmed | On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces |
| title_short | On the Boundary Behavior of One Class of Mappings in Metric Spaces |
| title_sort | on the boundary behavior of one class of mappings in metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2107 |
| work_keys_str_mv | AT afanas039evaes ontheboundarybehaviorofoneclassofmappingsinmetricspaces AT afanasʹevaes ontheboundarybehaviorofoneclassofmappingsinmetricspaces AT afanasʹevaes ontheboundarybehaviorofoneclassofmappingsinmetricspaces AT afanas039evaes ograničnompovedeniiodnogoklassaotobraženijvmetričeskihprostranstvah AT afanasʹevaes ograničnompovedeniiodnogoklassaotobraženijvmetričeskihprostranstvah AT afanasʹevaes ograničnompovedeniiodnogoklassaotobraženijvmetričeskihprostranstvah |