Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line
We obtain new sharp Kolmogorov-type inequalities for the fractional derivatives of functions defined on the half line.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2112 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508045356826624 |
|---|---|
| author | Levchenko, D. A. Левченко, Д. А. Левченко, Д. А. |
| author_facet | Levchenko, D. A. Левченко, Д. А. Левченко, Д. А. |
| author_sort | Levchenko, D. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:29Z |
| description | We obtain new sharp Kolmogorov-type inequalities for the fractional derivatives of functions defined on the half line. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. А. Левченко (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА
ДЛЯ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ НА ПОЛУОСИ
We obtain new sharp Kolmogorov-type inequalities for the fractional derivatives of functions defined on the half line.
Отримано новi точнi нерiвностi типу Колмогорова для дробових похiдних функцiй, визначених на пiвосi.
Обозначения, определения. Пусть R+ = [0,+∞) — полуось. Через Lp(R+), 1 ≤ p ≤ ∞,
обозначим пространство измеримых и суммируемых в p-й степени (существенно ограниченных
при p =∞) функций x : R+ → R с нормой
‖x‖p = ‖x‖Lp(R+) :=
(∫ ∞
0
|x(t)|pdt
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess supt∈R+
∣∣x(t)
∣∣, p =∞.
Как обычно, для натурального r через Lrp,s(R+), 1 ≤ p, s ≤ ∞, будем обозначать пространство
функций x(t) ∈ Lp(R+) таких, что x(r)(t) ∈ Ls(R+).
Дробная производная порядка 0 < α < 1 функции x(t) в смысле Маршо определяется так
(см., например, [1, c. 95]):
(
Dα
−x
)
(t) :=
α
Γ(1− α)
∞∫
t
x(t)− x(u)
(u− t)1+α
du.
Дробный интеграл функции x(t) порядка α > 0 определяется равенством (см., например,
[1, c. 85])
(
Iα−x
)
(t) :=
1
Γ(α)
∞∫
t
(u− t)α−1x(u)du.
При 0 < α < 1 для любой функции x ∈ Lp в случае 1 ≤ p < 1/α справедливо равенство (см.,
например, [1, с. 106]) (
Dα
−
(
Iα−x
))
(t) = x(t).
Для 1 ≤ p, s ≤ ∞ обозначим через
Lαp,s(R+) :=
{
x(t) ∈ Lp(R+) : (Dα
−x)(t) ∈ Ls(R+)
}
пространство функций из Lp(R+), имеющих дробную производную из Ls(R+).
Неравенствами типа Колмогорова на полуоси принято называть неравенства вида∥∥x(k)∥∥
p
≤ Cr,k(p, q, s,R+)‖x‖1−δq
∥∥x(r)∥∥δ
s
, (1)
где постоянная Cr,k(p, q, s,R+) не зависит от функции x ∈ Lrq,s(R+). Неравенства типа (1)
имеют важное значение для многих областей математики (математический анализ, функцио-
нальный анализ, теория аппроксимации, теория оптимального управления и др.). Особенно
c© Д. А. ЛЕВЧЕНКО, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1 71
72 Д. А. ЛЕВЧЕНКО
важную роль играют точные неравенства такого типа. Для целых неотрицательных 0 ≤ k < r
известно довольно много точных неравенств типа (1) (см., например, [3]). В случае, когда хотя
бы одно из чисел r или k нецелое, точных неравенств типа (1) найдено относительно немного.
Некоторые известные в этом направлении результаты и дальнейшие ссылки см. в [4] (гл. 2).
Для 0 < α ≤ 1, α < β ≤ 2 в [2] была найдена точная константа
Cβ,α(∞,∞,∞,R+) =
{
2Γ(β + 1)
}1−αβ
Γ(β − α+ 1)
.
В работе [4, с. 96] для 1 < s <∞, 0 < α < 1− 1/s найдена точная константа
C1,α(∞,∞, s,R+) =
21−αs
′
Γ(1− α)(1− αs′)1−αs′(αs′)αs′
Γ
( 1
α
− s′
)
Γ(s′ + 1)
Γ
( 1
α
)
α
,
где s′ выбрано из условия 1/s+ 1/s′ = 1.
Там же была найдена точная константа Cβ,α(∞,∞, s,R+) для 1 < s < ∞, 0 < α + 1/s <
< β < 1.
Нахождение точной константы Cβ,α(∞,∞, p′,R+). Из результатов работы [2, с. 26 – 28]
следует, что для любых 0 < α < β < 1 и произвольной функции x ∈ Lβ∞,∞(R+) справедливо
соотношение
Γ(β − α)
(
Dα
−x
)
(t) =
∞∫
0
x(t+ u)dζh(u) +
∞∫
0
(
Dβ
−x
)
(t+ u)%h(u)du, (2)
где функция ζh(t) определяется так:
ζh(t) =
0, t = 0,
Γ(β)h−α, t ∈ (0, h],
1
Γ(1− β)
{
h−α
∫ h/t
0
uβ−1
(1− u)β
du+ t−α
∫ 1
h/t
uβ−α−1
(1− u)β
du
}
, t ∈ (h,∞),
а
%h(t) = tβ−1 max{t−α − h−α, 0}.
Следует отметить, что вариация ζh на [0,+∞)
∞∨
0
(ζh) = 2Γ(β)h−α.
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1. Для любых 1 < p < ∞, 0 < α + 1/p′ < β < 1(1/p + 1/p′ = 1), h > 0 и
произвольной функции x ∈ Lβ∞,p′(R+) имеют место точные неравенства∥∥Dα
−x
∥∥
∞ ≤
1
Γ(β − α)
[
2Γ(β)h−α‖x‖∞ + ‖%h‖p‖Dβ
−x‖p′
]
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ НА ПОЛУОСИ 73
и ∥∥Dα
−x
∥∥
∞ ≤ Cβ,α(∞,∞, p′,R+)‖x‖
1− α
β−1/p′
∞ ‖Dβ
−x‖
α
β−1/p′
p′ , (4)
где
‖%h‖p =
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
)
Γ(p+ 1)
αΓ
(
p(β − 1) + 1
α
+ 1
) hp(β−α−1)+1
1/p
,
Cβ,α(∞,∞, p′,R+) =
β − 1/p′
αΓ(β − α)
{
2αΓ(β)
β − α− 1/p′
}1− α
β−1/p′
‖%1‖
α
β−1/p′
p .
Доказательство. Применив ко второму слагаемому интегральное неравенство Гельдера,
из (2) несложно получить неравенство
∥∥Dα
−x
∥∥
∞ ≤
1
Γ(β − α)
[∞∨
0
(ζh)‖x‖∞ + ‖%h‖p‖Dβ
−x‖p′
]
. (5)
Отсюда с учетом того, что
∞∨
0
(ζh) = 2Γ(β)h−α,
следует (3).
Нетрудно показать, что
‖%h‖pp =
h∫
0
∣∣%h(u)
∣∣pdu =
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
)
Γ(p+ 1)
αΓ
(
p(β − 1) + 1
α
+ 1
) hp(β−α−1)+1.
Минимизируя по h правую часть (3), получаем (4).
Покажем теперь, что (3) и (4) — точные неравенства. Экстремальная функция имеет вид
xh(t) = 2
(
Iβ−%
p−1
h
)
(t)−
(
Iβ−%
p−1
h
)
(0).
Поскольку %p−1h (t) не возрастает, то
(
Iβ−%
p−1
h
)
(t) =
1
Γ(β)
∞∫
0
sβ−1%p−1h (s+ t)ds ≤ 1
Γ(β)
∞∫
0
sβ−1%p−1h (s)ds =
(
Iβ−%
p−1
h
)
(0).
Кроме того,
(
Iβ−%
p−1
h
)
(t) = 0 для всех t ≥ h, из чего заключаем, что∣∣xh(t)
∣∣ ≤ (Iβ−%p−1h
)
(0)
для всех t ≥ 0. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
74 Д. А. ЛЕВЧЕНКО
‖xh‖∞ =
(
Iβ−%
p−1
h
)
(0) =
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
+ 1
)
Γ(p)
αΓ(β)Γ
(
p(β − 1) + 1
α
+ 1
) hp(β−α−1)+α+1.
Далее, поскольку дробная производная постоянной равна нулю и %p−1h ∈ L(R+), то
(Dβ
−xh)(t) = 2%p−1h (t),
а
‖Dβ
−xh‖p′ = 2‖%h‖p−1p = 2
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
)
Γ(p+ 1)
αΓ
(
p(β − 1) + 1
α
+ 1
) hp(β−α−1)+1
1−1
p
.
Применяя (3) к функции xh(t), получаем
∥∥Dα
−xh
∥∥
∞ ≤ 2
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
+ 1
)
Γ(p)
αΓ(β − α)Γ
(
p(β − 1) + 1
α
+ 1
)hp(β−α−1)+1+
+2
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
)
Γ(p+ 1)
αΓ(β − α)Γ
(
p(β − 1) + 1
α
+ 1
)hp(β−α−1)+1 =
= 2
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
)
Γ(p)
αΓ(β − α)Γ
(
p(β − 1) + 1
α
)hp(β−α−1)+1.
С другой стороны, учитывая полугрупповое свойство
Iγ−I
δ
− = Iγ+δ− ,
равенство нулю дробной производной постоянной и суммируемость на R+ функции
(Iβ−α− %p−1h )(t), имеем∥∥Dα
−xh
∥∥
∞ ≥
(
Dα
−xh
)
(0) =
(
Dα
−I
α
−I
β−α
− %p−1h
)
(0) =
=
2
Γ(β − α)
∞∫
0
sβ−α−1%p−1h (s)ds = 2
Γ
(
p(β − α− 1) + 1
α
)
Γ(p)
αΓ(β − α)Γ
(
p(β − 1) + 1
α
)hp(β−α−1)+1.
Тем самым показана точность неравенств.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ НА ПОЛУОСИ 75
Замечание. Неравенство (4) обобщает неравенства, полученные в работах [2, 4], в том
смысле, что
lim
p′→∞
Cβ,α(∞,∞, p′,R+) = Cβ,α(∞,∞,∞,R+),
lim
β→1
Cβ,α(∞,∞, p′,R+) = C1,α(∞,∞, p′,R+).
Отыскание наилучшего приближения оператора Dα
− линейными ограниченными опе-
раторами. Начнем с общей постановки задачи (см., например, [3, c. 391]). Пусть X, Y — ба-
наховы пространства и A : X → Y — некоторый оператор с областью определения D(A) ⊂ X.
Пусть L(N) = L(N,X, Y ) — множество линейных ограниченных операторов T : X → Y с
нормой ‖T‖ = ‖T‖X→Y ≤ N для некоторого числа N > 0. Кроме того, пусть Q ⊂ D(A) —
некоторый класс элементов. Величина
U(T ) = sup
{
‖Ax− Tx‖Y : x ∈ Q
}
называется уклонением оператора T ∈ L(N) от оператора A на классе Q, а величина
E(N) = E(N ;A;Q) := inf
{
U(T ) : T ∈ L(N)
}
(6)
— наилучшим приближением оператора множеством ограниченных операторов из L(N) на
классе Q.
Задача состоит в вычислении величины E(N) и нахождении экстремального оператора, т. е.
оператора, реализующего нижнюю грань в правой части (8).
Функция переменной δ ≥ 0
Ω(δ) = sup
{
‖Ax‖Y : x ∈ Q, ‖x‖X ≤ δ
}
,
которая называется модулем непрерывности оператора A на классе Q, связана с величиной
E(N) неравенством
E(N) ≥ Ω(δ)−Nδ.
Рассмотрим случай, когда X = Lβ∞,p′(R+), Y = L∞(R+), A = Dα
− и
Q =
{
x ∈ Lβ∞,p′(R+) : ‖Dβ
−x‖p′ ≤ 1
}
.
Обозначим через Sh оператор
(Shx)(t) =
1
Γ(β − α)
∞∫
0
x(t+ u)dζh(u).
Здесь интеграл является первым слагаемым в равенстве (2).
Справедлива следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
76 Д. А. ЛЕВЧЕНКО
Теорема 2. Для любых 1 < p < ∞, 0 < α + 1/p′ < β < 1 (1/p + 1/p′ = 1) и N > 0
справедливо равенство
E(N) = U(ShN ) =
‖%hN ‖p
Γ(β − α)
,
где
hN =
{
2Γ(β)
NΓ(β − α)
} 1
α
.
Доказательство. Вычислим норму оператора Sh :
‖Sh‖ = sup
‖x‖∞≤1
‖Shx‖∞ ≤
2Γ(β)h−α
Γ(β − α)
.
С другой стороны, для экстремальной функции xh из теоремы 1 выполняется
‖Sh‖ ≥
∥∥∥∥Sh xh
‖xh‖∞
∥∥∥∥
∞
≥ 1
‖xh‖∞
∣∣(Shxh)(0)
∣∣ =
=
1
Γ(β − α)‖xh‖∞
Γ(β)h−αxh(0)−
(
Iβ−%
p−1
h
)
(0)
∞∫
h
dζh(u)
=
=
2Γ(β)h−α‖xh‖∞
Γ(β − α)‖xh‖∞
=
2Γ(β)h−α
Γ(β − α)
и, значит,
‖Sh‖ =
2Γ(β)h−α
Γ(β − α)
.
Из (2) непосредственно следует оценка сверху для величины U(Sh) :
U(Sh) = sup
x∈Q
‖Dα
−x− Shx‖∞ =
1
Γ(β − α)
sup
x∈Q
∥∥∥∥∥∥
∞∫
0
(
Dβ
−x
)
(·+ u)%h(u)du
∥∥∥∥∥∥
∞
≤
≤ sup
x∈Q
‖Dβ
−x‖p′‖%h‖p
Γ(β − α)
=
‖%h‖p
Γ(β − α)
,
а для функции fh(t) = ‖Dβ
−xh‖−1p′ xh(t) имеет место оценка снизу
U(Sh) ≥ ‖(Dα
−fh)(0)− (Shfh)(0)‖∞ =
=
1
Γ(β − α)‖Dβ
−xh‖p′
∞∫
0
(
Dβ
−xh
)
(u)%h(u)du =
=
1
2Γ(β − α)‖%h‖p−1p
∞∫
0
2%ph(u)du =
‖%h‖p
Γ(β − α)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ НА ПОЛУОСИ 77
Следовательно, уклонение
U(Sh) =
‖%h‖p
Γ(β − α)
.
Параметр
hN =
{
2Γ(β)
NΓ(β − α)
} 1
α
выберем из условия
‖Sh‖ = N.
Тогда
E(N) ≤ U(ShN ).
Покажем, что на самом деле в последнем соотношении имеет место равенство. Запишем
неравенство (3) в виде ∥∥Dα
−x
∥∥
∞ ≤ ‖Sh‖ ‖x‖∞ + U(Sh)‖Dβ
−x‖p′ .
В силу экстремальности функции xh(t) для функции fh(t) = ‖Dβ
−xh‖−1p′ xh(t) ∈ Q при любом
h > 0 имеет место равенство ∥∥Dα
−fh
∥∥
∞ = ‖Sh‖ ‖fh‖∞ + U(Sh).
Тогда для произвольного линейного оператора T с нормой ‖T‖ ≤ N выполняется
U(T ) = sup
x∈Q
∥∥Dα
−x− Tx
∥∥
∞ ≥ sup
x∈Q
(
‖Dα
−x‖∞ −N‖x‖∞
)
≥
≥
(
‖Dα
−fhN ‖∞ −N‖fhN ‖∞
)
= U(ShN ),
поэтому
E(N) = U(ShN ) = ‖%hN ‖p
и ShN — оператор наилучшего приближения.
Теорема доказана.
Теорема 3. Для любых 1 < p < ∞, 0 < α + 1/p′ < β < 1, 1/p + 1/p′ = 1 модуль
непрерывности оператора Dα
− на классе Q равен
Ω(δ) = Cβ,αδ
1− α
β−1/p′ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
78 Д. А. ЛЕВЧЕНКО
Доказательство. Из (5) непосредственно следует, что
Ω(δ) ≤ Cβ,αδ
1− α
β−1/p′ . (7)
Выберем h из условия
‖xh‖∞ = δ.
Тогда функция gh(t) = xh
(
‖Dβ
−xh‖
p′
p′(2−β)+1
p′ t
)
∈ Q. Поскольку она тоже является экстремалью
для неравенства (4), то
Ω(δ) ≥ ‖Dα
−gh‖∞ = Cβ,αδ
1− α
β−1/p′ ,
что вместе с (7) и доказывает теорему.
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения. – Минск, 1987. – 650 с.
2. Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory. – 1979. – 4. – P. 19 – 34.
3. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 591 с.
4. Моторный В. П., Бабенко В. Ф., Довгошей А. А., Кузнецова О. И. Теория аппроксимации и гармонический
анализ. – Киев: Наук. думка, 2012. – 320 с.
Получено 14.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2112 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:58Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2b/3d895b6cc6d1b0105db182af926ef32b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21122019-12-05T10:24:29Z Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line Неравенства типа Колмогорова для дробной производной на полуоси Levchenko, D. A. Левченко, Д. А. Левченко, Д. А. We obtain new sharp Kolmogorov-type inequalities for the fractional derivatives of functions defined on the half line. Отримано нові точні нєрівності типу Колмогорова для дробових похідних функцій, визначених на півосі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2112 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 1 (2014); 71–78 Український математичний журнал; Том 66 № 1 (2014); 71–78 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2112/1226 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2112/1227 Copyright (c) 2014 Levchenko D. A. |
| spellingShingle | Levchenko, D. A. Левченко, Д. А. Левченко, Д. А. Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line |
| title | Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line |
| title_alt | Неравенства типа Колмогорова для дробной производной на полуоси |
| title_full | Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line |
| title_fullStr | Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line |
| title_short | Kolmogorov-Type Inequalities for Fractional Derivatives on the Half Line |
| title_sort | kolmogorov-type inequalities for fractional derivatives on the half line |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2112 |
| work_keys_str_mv | AT levchenkoda kolmogorovtypeinequalitiesforfractionalderivativesonthehalfline AT levčenkoda kolmogorovtypeinequalitiesforfractionalderivativesonthehalfline AT levčenkoda kolmogorovtypeinequalitiesforfractionalderivativesonthehalfline AT levchenkoda neravenstvatipakolmogorovadlâdrobnojproizvodnojnapoluosi AT levčenkoda neravenstvatipakolmogorovadlâdrobnojproizvodnojnapoluosi AT levčenkoda neravenstvatipakolmogorovadlâdrobnojproizvodnojnapoluosi |