Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits
We present the complete solution of the problem of pure Lebesgue type of the distribution of random variable χ represented by a binary fraction with three identically distributed redundant digits.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2113 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508044955222016 |
|---|---|
| author | Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. |
| author_facet | Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. |
| author_sort | Makarchuk, O. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:29Z |
| description | We present the complete solution of the problem of pure Lebesgue type of the distribution of random variable χ represented by a binary fraction with three identically distributed redundant digits. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
М. В. Працьовитий, О. П. Макарчук (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ)
РОЗПОДIЛ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ЗОБРАЖЕНОЇ
ДВIЙКОВИМ ДРОБОМ IЗ ТРЬОМА НАДЛИШКОВИМИ
ОДНАКОВО РОЗПОДIЛЕНИМИ ЦИФРАМИ
We present the complete solution of the problem of pure Lebesgue type of the distribution of random variable χ represented
by a binary fraction with three identically distributed redundant digits.
Получено полное решение задачи о чистом лебеговском типе распределения случайной величины χ, представленной
двоичной дробью с тремя избыточными цифрами, которые имеют одинаковое распределение.
1. Вступ. Нехай (χk) — послiдовнiсть незалежних випадкових величин, якi набувають значень
0, 1, 2, 3, 4 з iмовiрностями p0, p1, p2, p3, p4 вiдповiдно. Величина
χ =
∞∑
k=1
χk2
−k
називається випадковою величиною, зображеною двiйковим дробом iз трьома надлишковими
цифрами, якi мають однаковий розподiл.
Нехай (ξk) — послiдовнiсть незалежних випадкових величин, якi набувають значень 0, 1, 2,
3 з iмовiрностями p0, p1, p2, p3 вiдповiдно. Величина
ξ =
∞∑
k=1
ξk2
−k
називається випадковою величиною, зображеною двiйковим дробом iз двома надлишковими
цифрами, якi мають однаковий розподiл.
За теоремою Джессена – Вiнтнера [1] випадкова величина χ має чистий розподiл: або чисто
дискретний, або чисто абсолютно неперервний, або чисто сингулярний. За теоремою П. Левi
[2] випадкова величина χ має чисто дискретний розподiл тодi i тiльки тодi, коли
pmax = max
0≤i≤4
pi = 1.
Характеристичною функцiєю випадкової величини ξ називається комплекснозначна функцiя
fξ(t) = M(eitξ), де M(·) — математичне сподiвання.
Вiдомо [3], що коли випадкова величина ξ має дискретний розподiл, то
Lξ = lim
|t|→∞
sup
∣∣fξ(t)∣∣ = 1.
Якщо розподiл випадкової величини ξ є абсолютно неперервним, то Lξ = 0, якщо — сингу-
лярним, то 0 ≤ Lξ ≤ 1. У випадку чистоти розподiлу випадкової величини ξ умова Lξ = 0 є
необхiдною для абсолютної неперервностi, а умова 0 < Lξ < 1 — достатньою для сингуляр-
ностi розподiлу випадкової величини ξ. Якщо випадкова величина ξ має чистий i неперервний
розподiл, то з Lξ > 0 випливає сингулярнiсть розподiлу випадкової величини ξ. Отже, за по-
ведiнкою модуля характеристичної функцiї випадкової величини ξ на нескiнченностi (тобто за
величиною Lξ) можна частково судити про тип її розподiлу.
Задача про тип розподiлу випадкової величини ξ розглядалась у роботi [4].
c© М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, О. П. МАКАРЧУК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1 79
80 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, О. П. МАКАРЧУК
Теорема 1 [4]. Випадкова величина ξ має чистий розподiл, причому
1) дискретний⇔pmax = max0≤i≤3{pi} = 1;
2)
max0≤i≤4{pi} 6= 1,
p0 − p1 + p2 − p3 6= 0,
(p0 − p2)2 + (p1 − p3)2 6= 0
⇒ сингулярний;
3) (p0 − p2)2 + (p1 − p3)2 = 0⇒ абсолютно неперервний.
Зауважимо, що випадкова величина ξ є частковим випадком випадкової величини χ при
умовi p4 = 0.
2. Тип розподiлу випадкової величини χ.
Теорема 2 [4]. Нехай µ =
∑∞
k=1
µks
−k, де µk — незалежнi дискретно розподiленi випад-
ковi величини, якi набувають значень 0, 1, . . . ,m− 1 з iмовiрностями p0, p1, . . . , pm вiдповiдно.
Якщо для будь-якого k ∈ {0, 1, . . . , k0− 1}, де k0 — найменший натуральний розв’язок нерiвно-
стi 2(m− 1)s−k < 1, мають мiсце спiввiдношення
m−1∑
n=0
pn cos 2πns−k 6= 0
або
m−1∑
n=0
pn sin 2πns−k 6= 0,
то Lµ > 0.
Теорема 3. Якщо виконуються умови
max
0≤i≤4
pi 6= 1,
p0 − p1 + p2 − p3 + p4 6= 0,
(p0 − p2 + p4)2 + (p1 − p3)2 6= 0,
(
p0 −
1
2
)2
+
(
p4 −
1
2
)2
6= 0,
то розподiл випадкової величини χ є сингулярним.
Доведення. З рiвностi Lχ = 0 i теореми 2 випливають умови
p0 cos
2π · 0
2
+ p1 cos
2π · 1
2
+ p2 cos
2π · 2
2
+ p3 cos
2π · 3
2
+ p4 cos
2π · 4
2
= 0,
p0 sin
2π · 0
2
+ p1 sin
2π · 1
2
+ p2 sin
2π · 2
2
+ p3 sin
2π · 3
2
+ p4 sin
2π · 4
2
= 0,
p0 cos
2π · 0
4
+ p1 cos
2π · 1
4
+ p2 cos
2π · 2
4
+ p3 cos
2π · 3
4
+ p4 cos
2π · 4
4
= 0,
p0 sin
2π · 0
4
+ p1 sin
2π · 1
4
+ p2 sin
2π · 2
4
+ p3 sin
2π · 3
4
+ p4 sin
2π · 4
4
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
РОЗПОДIЛ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ЗОБРАЖЕНОЇ ДВIЙКОВИМ ДРОБОМ IЗ ТРЬОМА . . . 81
p0 cos
2π · 0
8
+ p1 cos
2π · 1
8
+ p2 cos
2π · 2
8
+ p3 cos
2π · 3
8
+ p4 cos
2π · 4
8
= 0,
p0 sin
2π · 0
8
+ p1 sin
2π · 1
8
+ p2 sin
2π · 2
8
+ p3 sin
2π · 3
8
+ p4 sin
2π · 4
8
= 0,
Lχ = 0⇒
p0 − p1 + p2 − p3 + p4 = 0,p0 − p2 + p4 = 0,
p0 − p3 = 0,
p0 +
1√
2
p1 −
1√
2
p3 − p4 = 0,
1√
2
p1 + p2 +
1√
2
p3 = 0,
Lχ = 0⇒
p0 − p1 + p2 − p3 + p4 = 0,p0 − p2 + p4 = 0,
p1 − p3 = 0,
p0 =
1
2
= p4.
Таким чином, якщо
max
0≤i≤4
pi 6= 1,
p0 − p1 + p2 − p3 + p4 6= 0,
(p0 − p2 + p4)2 + (p1 − p3)2 6= 0,
(
p0 −
1
2
)2
+
(
p4 −
1
2
)2
6= 0,
то Lχ > 0 i розподiл випадкової величини χ, будучи неперервним, є сингулярним.
Теорему 3 доведено.
Означення 1. Нехай n — натуральне число, m — невiд’ємне число, яке не перевищує 4 ×
× (2n − 1), ‖αij‖ — матриця розмiрностi k × n (з максимально можливим k), елементами
якої є цифри алфавiту A = {0, 1, 2, 3, 4}, причому для кожного i ∈ {1, . . . , k} виконується
умова
n∑
j=1
αij
2j
=
m
2n
.
Для ймовiрнiсного вектора p̄ = (p0, p1, p2, p3, p4) означимо величину (число)
Sp̄m,n =
k∑
i=1
n∏
j=1
pαij ,
яку називатимемо сумою всiх можливих добуткiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
82 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, О. П. МАКАРЧУК
Покладемо Sp̄−1,n = Sp̄−2,n = Sp̄−3,n = 0 для кожного натурального n.
Лема 1. Якщо p0 − p1 + p2 − p3 + p4 = 0, то для кожного натурального n i довiльного
m ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
виконується нерiвнiсть
Sp̄m,n ≤
1
2n
.
Доведення. Розглянемо многочлен
g(z) =
n∏
i=1
(
p0 + p1z
2i−1
+ p2z
2·2i−1
+ p3z
3·2i−1
+ p4z
4·2i−1)
.
Нехай g(z) =
∑4(2n−1)
i=0
aiz
i. Якщо в k-му
(
k ∈ {1, . . . , n}
)
множнику добутку
∏n
i=1
(
p0 +
+ p1z
2i−1
+ p2z
2·2i−1
+ p3z
3·2i−1
+ p4z
4·2i−1)
взяти член pik−1
z2k−1
, де ik−1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
для кожного k ∈ {1, . . . , n}, i всi цi члени перемножити, отримаємо вираз zm
∏n
k=1
pαik−1
,
де m = i0 + 2i1 + . . . + 2n−1in−1, тобто am =
∑∏n
k=1
pαik−1
, де сума береться за всiма
можливими наборами (i0, i1, . . . , in−1), для яких m = i0 + 2i1 + . . . + 2n−1in−1, або за всiма
можливими наборами (in−1, in−2, . . . , i1, i0), для яких
m
2n
=
in−1
2
+
in−2
22
+ . . .+
i1
2n−1
+
i0
2n
.
Отже, am = Sp̄m,n,m ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
.
Тому для доведення потрiбного твердження достатньо показати, що
am ≤
1
2n
∀n ∈ N ∀m ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
.
Доведення проведемо за iндукцiєю по n.
Якщо n = 1, то aj = pj ≤
1
2
для кожного j ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, бо p0 − p1 + p2 − p3 + p4 = 0,
що рiвносильно p0 + p2 + p4 =
1
2
= p1 + p3.
Нехай твердження є правильним при n = k, тобто al ≤
1
2k
для кожного l ∈
{
0, 1, . . . , 4 ×
× (2k − 1)
}
, де
k∏
i=1
(
p0 + p1z
2i−1
+ p2z
2·2i−1
+ p3z
3·2i−1
+ p4z
4·2i−1
)
=
4(2k−1)∑
i=0
aiz
i. (1)
Доведемо, що твердження є правильним при n = k + 1, тобто bl ≤
1
2k+1
∀l ∈
{
0, 1, . . . , 4 ×
× (2k+1 − 1)
}
, де
k+1∏
i=1
(
p0 + p1z
2i−1
+ p2z
2·2i−1
+ p3z
3·2i−1
+ p4z
4·2i−1
)
=
4(2k+1−1)∑
i=0
biz
i.
Виконавши замiну z → z2 в рiвностi (1), отримаємо
k∏
i=1
(
p0 + p1z
2i + p2z
2·2i + p3z
3·2i + p4z
4·2i
)
=
4(2k−1)∑
i=0
aiz
2i.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
РОЗПОДIЛ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ЗОБРАЖЕНОЇ ДВIЙКОВИМ ДРОБОМ IЗ ТРЬОМА . . . 83
Отже,
4(2k+1−1)∑
i=0
biz
i =
(
p0 + p1z + p2z
2 + p3z
3 + p4z
4
) 4(2k−1)∑
i=0
aiz
2i.
Маємо
b2m = p0am + p2am−1 + p4am−2, m ∈ {1, 2, . . . , 2 · 2k − 2},
b2r+1 = p1ar + p3ar−1, r ∈
{
1, 2, . . . , 2 · 2k − 2)
}
,
де aj = 0, якщо j < 0 або j > 4(2k − 1).
Враховуючи припущення iндукцiї, одержуємо
b2m = p0am + p2am−2 + p4am−2 ≤ (p0 + p2 + p4)
1
2k
=
1
2k+1
для кожного m ∈ {1, 2, . . . , 2 · 2k+1 − 2},
b2r+1 = p1ar + p3ar−2 ≤ (p1 + p3)
1
2k
=
1
2k+1
для кожного r ∈ {1, 2, . . . , 2 · 2k+1 − 2}.
Лему доведено.
Лема 2. Якщо розподiл випадкової величини χ є неперервним, то для кожного натураль-
ного n i довiльного m ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
виконується рiвнiсть
P
{
χ ∈
[
m
2n
;
m+ 1
2n
]}
= P
{
χ ∈ [0; 1]
}
· Sp̄m,n + P
{
χ ∈ [1; 2]
}
· Sp̄m−1,n+
+ P
{
χ ∈ [2; 3]
}
· Sp̄m−2,n + P
{
χ ∈ [3; 4]
}
· Sp̄m−3,n.
Доведення. Нехай ∆2
0,α1α2...αnαn+1...
∈
[
m
2n
;
m+ 1
2n
]
.
Оскiльки ∆2
0,00...0αn+1,αn+2...
∈
[
0;
4
2n
]
, то можливi наступнi випадки:
1) ∆2
0,α1α2...αn(0) =
m
2n
i ∆2
0,00...0αn+1αn+2...
∈
[
0;
1
2n
]
,
2) ∆2
0,α1α2...αn(0) =
m
2n
− 1
2n
i ∆2
0,00...0αn+1αn+2...
∈
[
1
2n
;
2
2n
]
,
3) ∆2
0,α1α2...αn(0) =
m
2n
− 2
2n
i ∆2
0,00...0αn+1αn+2...
∈
[
2
2n
;
3
2n
]
,
4) ∆2
0,α1α2...αn(0) =
m
2n
− 3
2n
i ∆2
0,00...0αn+1αn+2...
∈
[
3
2n
;
4
2n
]
.
Оскiльки P
{
r
2n
≤
∑∞
i=n+1
χi
2i
≤ r + 1
2n
}
= P
{
r ≤
∑∞
j=1
χn+j
2j
≤ r + 1
}
= P{r ≤
≤ χ ≤ r + 1}, r ∈ {0, 1, 2, 3}, i P
{∑n
j=1
χn+j
2j
=
m− r
2n
}
= Sp̄m−r,n, де r ∈ {0, 1, 2, 3},
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
84 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, О. П. МАКАРЧУК
P
{
χ ∈
[
m
2n
;
m+ 1
2n
]}
= P
{
χ ∈ [0; 1]
}
· Sp̄m,n + P
{
χ ∈ [1; 2]
}
· Sp̄m−1,n+
+P
{
χ ∈ [2; 3]
}
· Sp̄m−2,n + P
{
χ ∈ [3; 4]
}
· Sp̄m−3,n.
Лему доведено.
Лема 3. Якщо p0 − p1 + p2 − p3 + p4 = 0, то виконується нерiвнiсть
Fχ
(
m
2n
)
− Fχ
(
k
2n
)
≤ m
2n
− k
2n
для всiх m, k ∈ {0, 1, . . . , 4 · 2n − 3}, m ≥ k.
Доведення. З огляду на леми 1 i 2 отримуємо
(
Fχ
(
t+ 1
2n
)
− Fχ
(
t
2n
))
= P
{
χ ∈
[
t
2n
;
t+ 1
2n
]}
≤
3∑
j=0
1
2n
P
{
χ ∈ [j; j + 1]
}
=
=
1
2n
P
{
χ ∈ [0; 4]
}
=
1
2n
.
Отже, для будь-якого t ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
та n ∈ N виконується нерiвнiсть
Fχ
(
t+ 1
2n
)
− Fχ
(
t
2n
)
≤ 1
2n
.
Нехай m, k ∈ {0, 1, . . . , 4 · 2n − 3}. Якщо m > n, то, враховуючи останню нерiвнiсть, маємо(
Fχ
(
m
2n
)
− Fχ
(
k
2n
))
=
m−k−1∑
i=0
(
Fχ
(
m− i
2n
)
− Fχ
(
m− i− 1
2n
))
≤ m− k
2n
=
m
2n
− k
2n
,
тобто Fχ
(
m
2n
)
− Fχ
(
k
2n
)
≤ m
2n
− k
2n
. Якщо m = k, то Fχ
(
m
2n
)
− Fχ
(
k
2n
)
=
m
2n
− k
2n
.
Отже, Fχ
(
m
2n
)
− Fχ
(
k
2n
)
≤ m
2n
− k
2n
для всiх m, k ∈ {0, 1, . . . , 4 · 2n − 3}, m ≥ k.
Лему доведено.
Лема 4. Для довiльного x ∈ R виконується рiвнiсть
lim
n→∞
[2nx]
2n
= x.
Доведення. Оскiльки для будь-якого t ∈ R t− 1 < [t] ≤ t, то
x− 1
2n
=
2nx− 1
2n
<
[2nx]
2n
≤ 2nx
2n
= x,
причому limn→∞
(
x− 1
2n
)
= x = limn→∞ x, тому limn→∞
[2nx]
2n
= x.
Лему доведено.
Теорема 4. Якщо p0−p1+p2−p3+p4 = 0, то розподiл випадкової величини χ є абсолютно
неперервним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
РОЗПОДIЛ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ЗОБРАЖЕНОЇ ДВIЙКОВИМ ДРОБОМ IЗ ТРЬОМА . . . 85
Доведення. Нехай x2, x1 ∈ [0; 4), x2 ≥ x1. Враховуючи лему 4, маємо limn→∞
[2nx2]
4 · 2n − 3
=
= limn→∞
[2nx2]
2n
4− 2
2n
=
x2
4
< 1. Нехай ε = 1− x2
4
> 0, тодi iснує N0 ∈ N таке, що для будь-якого
n ∈ N, n > N0,
[2nx2]
4 · 2n − 2
=
x2
4
+ ε < 1, тобто [2nx2] < 4 · 2n − 3 ∀n ∈ N,n > N0. Зрозумiло,
що [2nx2] ≥ [2nx1] ∀n ∈ N, тому [2nx1], [2nx2] ∈ {0, 1, . . . , 4 · 2n − 3} ∀n ∈ N, n > N0, i за
лемою 3
Fχ
(
[2nx2]
2n
)
− Fχ
(
[2nx1]
2n
)
≤
(
[2nx2]
2n
− [2nx1]
2n
)
∀n ∈ N, n > N0. (2)
За лемою 4
lim
n→∞
[2nx1]
2n
= x1, lim
n→∞
[2nx2]
2n
= x2.
Оскiльки функцiя Fξ(x) є неперервною, то
lim
n→∞
Fχ
(
[2nx1]
2n
)
= Fχ
(
lim
n→∞
[2nx1]
2n
)
= Fχ(x1), (3)
lim
n→∞
Fχ
(
[2nx2]
2n
)
= Fχ
(
lim
n→∞
[2nx2]
2n
)
= Fχ(x2). (4)
Виконавши граничний перехiд у нерiвностi (2) при n → ∞ i врахувавши рiвностi (3) та
(4), отримаємо
lim
n→∞
Fχ
(
[2nx2]
2n
)
− lim
n→∞
Fχ
(
[2nx1]
2n
)
≤
(
lim
n→∞
[2nx2]
2n
− lim
n→∞
[2nx1]
2n
)
,
Fχ(x2)− Fχ(x1) ≤ x2 − x1 ∀x2, x1 ∈ [0; 4), x2 ≥ x1. (5)
Покажемо, що Fχ(x2)− Fχ(x1) ≤ (x2 − x1) ∀x2, x1 ∈ [0; 4], x2 ≥ x1. Для цього достатньо
показати, що Fχ(4) − Fχ(x1) ≤ (4 − x1) ∀x1 ∈ [0; 4]. Оскiльки остання нерiвнiсть при x1 = 4
виконується, розглянемо випадок x1 ∈ [0; 4). Розглянемо послiдовнiсть an = 4 − 1
n
. Оскiльки
limn→∞ an = limn→∞
(
4− 1
n
)
= 4, то для ε = 4 − x1 > 0 iснує N1 ∈ N таке, що для будь-
якого n ∈ N, n > N1, an > 4 − ε = x1, але an = 4 − 1
n
< 4 ∀n ∈ N. Тому, використавши
нерiвнiсть (5), отримаємо
Fχ
(
4− 1
n
)
− Fχ(x1) ≤ 4− 1
n
− x1 ∀n ∈ N, n > N1.
Виконавши граничний перехiд в останнiй нерiвностi при n → ∞ та врахувавши, що
limn→∞ Fχ
(
4− 1
n
)
= Fχ
(
limn→∞
(
4− 1
n
))
= Fχ(4), будемо мати
Fχ(4)− Fχ(x1) ≤ 4− x1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
86 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, О. П. МАКАРЧУК
Отже,
Fχ(x2)− Fχ(x1) ≤ x2 − x1 ∀x2, x1 ∈ [0; 4], x2 ≥ x1.
Оскiльки функцiя Fχ(x) є неспадною, то останню нерiвнiсть можна записати у виглядi∣∣Fχ(x2)− Fχ(x1)
∣∣ ≤ |x2 − x1| ∀x1, x2 ∈ [0; 4].
Отже, Fχ(x) задовольняє умову Лiпшиця на промiжку [0; 4].
Оскiльки Fχ(x) = 0 при x ≤ 0, Fχ(x) = 1 при x ≥ 4, на промiжку [0; 4] Fχ(x) задовольняє
умову Лiпшиця, що, як вiдомо [4], означає абсолютну неперервнiсть Fχ(x) на промiжку [0; 4],
приходимо до висновку, що функцiя розподiлу Fχ(x) є абсолютно неперервною.
Теорема 5. Якщо виконуються умови
p0 − p2 + p4 = 0,
p1 − p3 = 0,
то розподiл випадкової величини χ є абсолютно неперервним.
Доведення. Перший спосiб. Якщо виконується умова (5), то випадкову величину χk можна
записати у виглядi суми χk = ψk + τk, де ψk, τk — незалежнi випадковi величини, перша з яких
набуває значень 0, 1, 2 з iмовiрностями
1
2
, 0,
1
2
вiдповiдно, а друга — 0, 1, 2 з iмовiрностями
2p0, 2p3, 2p4.
Таким чином, χ = ψ + τ, де ψ =
∑∞
k=1
ψk2
−k, τ =
∑∞
k=1
τk2
−k — незалежнi випад-
ковi величини, причому ψ має рiвномiрний розподiл, що, як вiдомо, свiдчить про абсолютну
неперервнiсть розподiлу χ.
Другий спосiб. Нехай g(z) =
∑4(2n−1)
i=0
aiz
i — канонiчний розклад многочлена
g(z) =
n∏
i=1
(
p0 + p1z
2i−1
+ p2z
2·2i−1
+ p3z
3·2i−1
+ p4z
4·2i−1)
.
Враховуючи доведення теореми 4, для доведення потрiбного твердження достатньо показати,
що виконується нерiвнiсть
ap ≤
1
2n
∀p ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
∀n ∈ N.
Ми доведемо бiльш сильну нерiвнiсть:
ap ≤
1
2n+1
∀p ∈
{
0, 1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
∀n ∈ N.
Оскiльки p0 − p2 + p4 = 0 та p1 = p3, то
p4t
4 + p3t
3 + p2t
2 + p1t+ p0 = p4t
4 + p1t
3 + (p4 + p0)t2 + p1t+ p0 = (t2 + 1)(p4t
2 + p1t+ p0).
Оскiльки
(1 + z2) . . . (1 + z2n) =
(1− z2)(1 + z2) . . . (1 + z2n)
1− z2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
РОЗПОДIЛ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ЗОБРАЖЕНОЇ ДВIЙКОВИМ ДРОБОМ IЗ ТРЬОМА . . . 87
=
(1− z4) . . . (1 + z2n)
1− z2
= . . . =
1− z2n+1
1− z2
= 1 + z2 + z4 + . . .+ z2n+1−2,
де на початку використано формулу рiзницi квадратiв, а в кiнцi — формулу для суми геомет-
ричної прогресiї, маємо
g(z) =
n∏
i=1
(
p0 + p1z
2i−1
+ p2z
2·2i−1
+ p3z
3·2i−1
+ p4z
4·2i−1
)
=
=
n∏
k=0
(
1 + z2k+1
) n∏
k=0
(
p4z
2k+1
+ p1z
2k + p0
)
=
2n+1−1∑
k=0
z2k
n∏
k=0
(
p4z
2k+1
+ p1z
2k + p0
)
.
Нехай h(z) =
∏n
k=0
(
p4z
2k+1
+ p1z
2k + p0
)
та h(z) =
∑2n+2−1
j=0
bjz
j . Тодi
g(z) = h(z)
2n+2−1∑
j=0
bjz
j ,
4(2n−1)∑
i=0
aiz
i =
2n+1−1∑
j=0
z2j
2n+2−1∑
j=0
bjz
j .
Маємо
ap =
[p/2]∑
j=0
b2j ∀p ∈ {0, 1, . . . , 2n+2 − 2},
ap =
2n+1−1∑
j=0
bp−2j ∀p ∈
{
2n+2 − 1, 2n+1, . . . , 4 · (2n+1 − 1)
}
.
Легко бачити, що bp ≥ 0 ∀p ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}. Також зрозумiло, що
∑2n+2−2
j=0
bj = h(1) =
= (p4 + p2 + p0)n+1 =
1
2n+1
, бо
1 = p0 + p1 + p2 + p3 + p4 = 2(p0 + p2 + p4)⇒ p0 + p2 + p4 =
1
2
.
Отже,
ap =
[p/2]∑
j=0
b2j ≤
2n+2−2∑
j=0
bj =
1
2n+1
∀p ∈ {0, 1, . . . , 2n+2 − 2},
ap =
2n+1−1∑
j=0
bp−2j ≤
2n+2−2∑
j=0
bj =
1
2n+1
∀p ∈
{
2n+2 − 1, 2n+1, . . . , 4 · (2n − 1)
}
.
Оскiльки при p0 =
1
2
= p4 випадкова величина χ має рiвномiрний розподiл, то на пiдставi
теорем 1 – 5 отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок. Випадкова величина χ має чистий розподiл, причому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
88 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, О. П. МАКАРЧУК
1) дискретний⇔ pmax = max0≤i≤4 pi = 1;
2)
max
0≤i≤4
pi 6= 1,
p0 − p1 + p2 − p3 + p4 6= 0,
(p0 − p2 + p4)2 + (p1 − p3)2 6= 0,(
p0 −
1
2
)2
+
(
p4 −
1
2
)2
6= 0
⇒ сингулярний;
3)
p0 − p1 + p2 − p3 + p4 = 0,{
p0 − p2 + p4 = 0,
p1 − p3 = 0,
p0 =
1
2
= p4
⇒ абсолютно неперервний.
1. Jessen B., Wintner A. Distribution function and Riemann Zeta-function // Trans. Amer. Math. Soc. – 1935. – 38. –
P. 48 – 88.
2. Levy P. Sur les sries don’t les termes sont des variables independantes // Stud. math. – 1931. – 3. – P. 119 – 155.
3. Лукач Е. Характеристические функции. – М.: Наука, 1979. – 424 с.
4. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ
iм. М. П Драгоманова, 1998. – 296 с.
Одержано 22.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2113 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:57Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/ad012ca4c97942e409c278dc2497ef54.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21132019-12-05T10:24:29Z Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits Розподіл випадкової величини, зображеної двійковим дробом із трьома надлишковими однаково розподіленими цифрами Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. We present the complete solution of the problem of pure Lebesgue type of the distribution of random variable χ represented by a binary fraction with three identically distributed redundant digits. Получено полное решение задачи о чистом лебеговском типе распределения случайной величины x, представленной двоичной дробью с тремя избыточными цифрами, которые имеют одинаковое распределение. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2113 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 1 (2014); 79–88 Український математичний журнал; Том 66 № 1 (2014); 79–88 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2113/1228 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2113/1229 Copyright (c) 2014 Makarchuk O. P.; Pratsiovytyi M. V. |
| spellingShingle | Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits |
| title | Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits |
| title_alt | Розподіл випадкової величини, зображеної двійковим
дробом із трьома надлишковими однаково розподіленими цифрами |
| title_full | Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits |
| title_fullStr | Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits |
| title_full_unstemmed | Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits |
| title_short | Distribution of Random Variable Represented by a Binary Fraction with Three Identically Distributed Redundant Digits |
| title_sort | distribution of random variable represented by a binary fraction with three identically distributed redundant digits |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2113 |
| work_keys_str_mv | AT makarchukop distributionofrandomvariablerepresentedbyabinaryfractionwiththreeidenticallydistributedredundantdigits AT pratsiovytyimv distributionofrandomvariablerepresentedbyabinaryfractionwiththreeidenticallydistributedredundantdigits AT makarčukop distributionofrandomvariablerepresentedbyabinaryfractionwiththreeidenticallydistributedredundantdigits AT pracʹovitijmv distributionofrandomvariablerepresentedbyabinaryfractionwiththreeidenticallydistributedredundantdigits AT makarchukop rozpodílvipadkovoíveličinizobraženoídvíjkovimdrobomíztrʹomanadliškovimiodnakovorozpodílenimiciframi AT pratsiovytyimv rozpodílvipadkovoíveličinizobraženoídvíjkovimdrobomíztrʹomanadliškovimiodnakovorozpodílenimiciframi AT makarčukop rozpodílvipadkovoíveličinizobraženoídvíjkovimdrobomíztrʹomanadliškovimiodnakovorozpodílenimiciframi AT pracʹovitijmv rozpodílvipadkovoíveličinizobraženoídvíjkovimdrobomíztrʹomanadliškovimiodnakovorozpodílenimiciframi |