Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential
We study the behavior of solutions for the parabolic equation of nonstationary diffusion with double nonlinearity and a degenerate absorption term: $$ {\left({\left| u\right|}^{q-1} u\right)}_t-{\displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\partial }{\partial {x}_i}\left({\left|{\nabla}_x u\right|}^{q-1}\frac{\...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2114 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508045863288832 |
|---|---|
| author | Stepanova, E. V. Степанова, Е. В. Степанова, Е. В. |
| author_facet | Stepanova, E. V. Степанова, Е. В. Степанова, Е. В. |
| author_sort | Stepanova, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:29Z |
| description | We study the behavior of solutions for the parabolic equation of nonstationary diffusion with double nonlinearity and a degenerate absorption term: $$ {\left({\left| u\right|}^{q-1} u\right)}_t-{\displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\partial }{\partial {x}_i}\left({\left|{\nabla}_x u\right|}^{q-1}\frac{\partial u}{\partial {x}_i}\right)+{a}_0(x){\left| u\right|}^{\lambda -1} u=0,} $$ where \( {a}_0(x)\ge {d}_0\; \exp \left(-\frac{\omega \left(\left| x\right|\right)}{{\left| x\right|}^{q+1}}\right) \) , d 0 = const > 0, 0 ≤ λ 0 for τ > 0, and \( {\displaystyle {\int}_{0+}\frac{\omega \left(\tau \right)}{\tau} d\tau |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
Е. В. Степанова (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ
АБСОРБЦИОННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
We study the behavior of solutions for the parabolic equation of nonstationary diffusion with double nonlinearity and a
degenerate absorption term:
(
|u|q−1u
)
t
−
N∑
i=1
∂
∂xi
(
|∇xu|q−1 ∂u
∂xi
)
+ a0(x)|u|λ−1u = 0,
where a0(x) ≥ d0 exp
(
− ω(|x|)
|x|q+1
)
, d0 = const > 0, 0 ≤ λ < q, and ω(·) ∈ C([0,+∞)), ω(0) = 0, ω(τ) > 0 when
τ > 0,
∫
0+
ω(τ)
τ
dτ < ∞. Using the local-energy method, we show that a Dini-type condition imposed on the function
ω(·) guarantees the extinction of an arbitrary solution in a finite period of time.
Вивчається поведiнка розв’язкiв подвiйно нелiнiйних параболiчних рiвнянь нестацiонарної дифузiї з виродженим
абсорбцiйним членом: (
|u|q−1u
)
t
−
N∑
i=1
∂
∂xi
(
|∇xu|q−1 ∂u
∂xi
)
+ a0(x)|u|λ−1u = 0,
де a0(x) ≥ d0 exp
(
− ω(|x|)
|x|q+1
)
, d0 = const > 0, 0 ≤ λ < q, ω(·) ∈ C([0,+∞)), ω(0) = 0, ω(τ) > 0 при
τ > 0,
∫
0+
ω(τ)
τ
dτ <∞. Методом локальних енергетичних оцiнок отримано умову типу Дiнi на функцiю ω(·), що
гарантує згасання довiльного розв’язку за скiнченний час.
1. Введение: постановка задачи и история вопроса. Пусть Ω — ограниченная область в
RN , N > 1, с C1-гладкой границей ∂Ω. В полуограниченном цилиндре Q = (0,+∞) × Ω
рассматривается задача Коши – Неймана
(
|u|q−1u
)
t
−
N∑
i=1
∂
∂xi
(
|∇xu|q−1 ∂u
∂xi
)
+ a0(x)|u|λ−1u = 0 в Q, (1)
∂u
∂n
∣∣∣
[0,+∞)×∂Ω
= 0, (2)
u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω. (3)
Здeсь 0 ≤ λ < q, a0(x) — непрерывная неотрицательная функция, u0(x) ∈ Lq+1(Ω).
Определение 1. Cогласно [1], энергетическим (слабым) решением задачи (1) – (3) назы-
вается функция
u(t, x) ∈ Lq+1, loc
(
[0,+∞);W 1
q+1(Ω)
)
такая, что
∂
∂t
(
|u|q−1u
)
∈ L q+1
q , loc
(
[0,+∞);
(
W 1
q+1(Ω)
)∗)
c© Е. В. СТЕПАНОВА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1 89
90 Е. В. СТЕПАНОВА(
и, следовательно, в силу [2], u(t, x) ∈ C
(
[0,+∞);Lq+1(Ω)
))
, выполняется начальное условие
u(0, x) = u0(x) и справедливо интегральное равенство
T∫
0
〈(|u|q−1u)t, ϕ〉dt+
T∫
0
∫
Ω
(
N∑
i=1
|∇xu|q−1 ∂u
∂xi
∂ϕ
∂xi
+ a0(x)|u|λ−1uϕ
)
dxdt = 0
для произвольной функции ϕ(t, x) ∈ Lq+1, loc([0,+∞);W 1
q+1(Ω)) и произвольного T < +∞.
В интегральном равенстве определения 1, как это принято, через 〈·, ·〉 обозначена билиней-
ная операция спаривания элементов пространства V и его сопряженного V ∗.
Определение 2. Если для произвольного решения u(t, x) рассматриваемой задачи сущест-
вует T > 0 такое, что u(t, x) = 0 почти всюду в Ω для любого t ≥ T, то говорят, что решение
задачи затухает за конечное время.
Известно, что качественные свойства решений нелинейных параболических уравнений
могут существенно отличаться от свойств линейных уравнений. Важным отличием является
конечность скорости распространения носителей решений, появляющаяся при определенных
условиях на структуру соответствующих уравнений (например, при подходящих соотношениях
на параметры q, λ в (1)). С конечностью скорости распространения связаны многие другие спе-
цифические свойства: наличие конечной или бесконечной временной задержки начала распро-
странения носителя решения, компактификация носителя решения, полное затухание решения
за конечное время и т. д. В рамках этой работы изучается эффект затухания энергетического
решения задачи (1) – (3) за конечное время.
Вопросы детальной характеризации эффекта затухания решения (оценки времени затуха-
ния, асимптотическое поведение решения вблизи времени затухания и т. п.) для различных
классов полулинейных параболических уравнений типа диффузии-абсорбции изучались во
многих работах (см., например, [3 – 8] и имеющиеся там ссылки). Так, для вырождающегося
параболического уравнения (или уравнения фильтрации газа в пористой среде, или уравнения
нелинейной диффузии с абсорбцией)
ut − (a(u))xx + c(u) = 0 в полуплоскости R2
+ =
{
(t, x) : t > 0, x ∈ R1
}
, (4)
где функции a(u) ≥ 0, c(u) ≥ 0 определены и непрерывны для u ≥ 0, с начальными данными
u(0, x) = u0(x) ≥ 0, x ∈ R1, u0 ∈ C(R1),
А. С. Калашниковым [9] была доказана достаточность условия P :=
∫
0+
ds
c(s)
<∞ для полного
остывания (затухания решения) за конечное время. Хорошо изучена также первая краевая
задача в ограниченной области с нулевыми граничными данными на латеральных границах для
уравнения (4) с c(u) ≡ 0. Доказано, что сходимость интеграла
∫
0+
ds
a(s)
является необходимым
и достаточным условием затухания решения (см. [10 – 12] в случае a(u) = uµ, 0 < µ < 1).
Для параболического уравнения высокого порядка с сильной абсорбцией Ф. Бернисом [13]
доказан эффект компактификации носителя решения за конечное время (или коротко КНРB).
Зависимость свойства мгновенной компактификации носителя решения для параболическо-
го уравнения высокого порядка от локальной структуры начальной функции изучена в работах
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 91
[14, 15]. Затухание решения для полулинейного параболического уравнения типа диффузии-
абсорбции с невырождающимся потенциалом изучалось также в [16 – 19]. В. А. Кондратьев и
Л. Верон [20] первыми начали изучение условий затухания за конечное время решения задачи
Неймана для полулинейного параболического уравнения с вырождающимся абсорбционным
потенциалом. Так, они установили в терминах спектральных характеристик, что общее доста-
точное условие, гарантирующее наличие КНРВ-свойства для уравнения
ut −∆u+ a0(x)|u|λ−1u = 0 в (0,+∞)× Ω, (5)
где 0 < λ < 1, Ω — ограниченная область, в случае вырождающегося потенциала a0(x) ≥ 0
имеет вид
∑∞
n=0
µ−1
n lnµn <∞, где
µn = inf
∫
Ω
(|∇ψ|2 + 2na0(x)ψ2) dx : ψ ∈W 1,2(Ω),
∫
Ω
ψ2dx = 1
, n ∈ N.
Используя метод [20], авторам работы [21] удалось найти точное достаточное условие затухания
решения задачи Коши – Неймана для уравнения (5):
ln a0(x)−1 ∈ Lp(Ω), p >
N
2
, Ω ⊆ RN , N ≥ 1. (6)
Кроме того, они показали, что если a0(x) ≥ aα(|x|) := exp
(
− 1
|x|α
)
∀x ∈ Ω, то условие (6)
выполняется при произвольном α < 2. В случае, когда α > 2, эффект зануления решения не
имеет места. В [22] с помощью двух различных методов: полуклассического для произволь-
ного вырождающегося потенциала и локально энергетического для радиального потенциала(
a0(x) ≥ exp
(
−ω(|x|)
|x|2
)
, где ω — положительная непрерывная радиальная функция
)
была
изучена начально-краевая задача для уравнения (5) и получено достаточное условие типа Дини∫ c
0
ω(s)
s
ds <∞ для полного затухания решения.
Отметим, что до сих пор изучались свойства затухания решения для полулинейных урав-
нений с вырождающимся потенциалом. В настоящей работе рассматривается параболическое
уравнение с двойной нелинейностью, которое содержит вырождающийся абсорбционный по-
тенциал, устанавливается достаточное условие (условие типа Дини), гарантирующее полное
затухание решения за конечное время. Метод исследования рассматриваемой задачи (1) – (3)
основан на получении подходящих локальных интегральных априорных оценок решений и
связан с комбинацией идей и построений работ [22 – 24].
2. Формулировка основного результата. Пусть 0 ∈ Ω, для произвольного абсорбцион-
ного потенциала рассматриваемого уравнения (1) существует радиальная миноранта
a0(x) ≥ d0 exp
(
−ω(|x|)
|x|q+1
)
:= a(|x|) ∀x ∈ Ω, d0 = const > 0, (7)
где ω(·) — определенная и непрерывная на [0,+∞) функция, которая является непрерывно
дифференцируемой на (0,+∞) и неубывающей, а также удовлетворяет условиям
(A) ω(τ) > 0 ∀τ > 0, (B) ω(0) = 0, (C) ω(τ) ≤ ω0 = const <∞ ∀τ ∈ R1
+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
92 Е. В. СТЕПАНОВА
Теорема. Пусть 0 ≤ λ < q в уравнении (1), начальные данные u0(x) ∈ Lq+1(Ω), функция
ω(·) из (7) удовлетворяет предположениям (A) – (C), главному условию типа Дини∫
0+
ω(τ)
τ
dτ <∞,
а также техническому условию
lim
τ→0
τ ω′(τ)
ω(τ)
< q + 1. (8)
Тогда произвольное энергетическое решение u(t, x) задачи (1) – (3) затухает за конечное время.
Замечание 1. Отметим, что данная теорема является обобщением соответствующего утверж-
дения для уравнения (5), полученного в работе [22], и совпадает с ним при q = 1.
Замечаниe 2. Типичным примером функции ω, которая удовлетворяет условиям теоремы,
является функция ω(τ) = µτκ, τ > 0, где µ и κ — произвольные постоянные такие, что
выполняются неравенства µ > 0, 0 < κ < q + 1.
3. Доказательство теоремы. 3.1. Вывод основного интегрального локально энерге-
тического соотношения. Отметим, что непосредственным следствием (которое будет ис-
пользовано в этом пункте) определения 1 слабого решения является тот факт, что uxi ∈
∈ Lq+1, loc
(
[0,+∞)× Ω
)
.
Введем семейство подобластей, связанных с областью Ω,
Ω(τ) := Ω ∩
{
x ∈ RN : |x| > τ
}
,
а также энергетические функции, связанные с рассматриваемым решением u(t, x) исходной
задачи (1) – (3):
Hs(τ) :=
∫
Ω(τ)
|u(s, x)|q+1 dx,
Es(τ) :=
∫
Ω(τ)
(|∇xu(s, x)|q+1 + a(|x|)|u(s, x)|λ+1) dx для почти всех s, (9)
Ibs(τ) :=
b∫
s
∫
Ω(τ)
(|∇xu(t, x)|q+1 + a(|x|)|u(t, x)|λ+1)dx dt,
а также функцию
Jbs(τ) :=
b∫
s
∫
∂0Ω(τ)
|∇xu(t, x)|q+1dσ dt для почти всех τ,
где a(·) — определяемая в (7) миноранта, ∂0Ω(τ) = ∂Ω(τ) ∩ {x ∈ RN : |x| = τ}.
Лемма 1. Пусть функции Hs(·), Es(·), Ibs(·), Jbs(·) в (9) определяются по рассматривае-
мому решению u(t, x) задачи (1) – (3) и выполнено условие (8). Тогда для произвольного T > 0
при почти всех s ≤ T и почти всех τ ≥ 0 справедливо следующее основное энергетическое
соотношение:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 93
HT (τ) + ITs (τ) 6 3d1
(
a(τ)−1Es(τ)
) q+1
λ+1 + 3d2
(
a(τ)−(1−θ2)Es(τ)
) q+1
(q+1)−(q−λ)(1−θ2)
+
+ c7
(
a(τ)
− (1−θ1)
q JTs (τ)
) q(q+1)
q(q+1)−(q−λ)(1−θ1)
+ c8
(
a(τ)
−1
q JTs (τ)
) q(q+1)
q(q+1)−(q−λ)
, (10)
где
0 < θ1 :=
N(q − λ) + (λ+ 1)
N(q − λ) + (λ+ 1)(q + 1)
< 1, 0 < θ2 :=
N(q − λ)
N(q − λ) + (λ+ 1)(q + 1)
< 1,
ci, di — конечные постоянные.
Доказательство. В силу следового интерполяционного неравенства (см. [23]) имеем
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dσ
1
q+1
6 c
∫
Ω(τ)
|∇xu(t, x)|q+1 dx
θ1
q+1
∫
Ω(τ)
| u(t, x)|λ+1 dx
1−θ1
λ+1
+
+c
∫
Ω(τ)
| u(t, x)|λ+1 dx
1
λ+1
, (11)
где θ1 взято из леммы 1, c = c(N, q, λ) = const <∞. Теперь в силу неравенства Гельдера
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)||∇xu(t, x)|q dσ ≤
∫
∂0Ω(τ)
|∇xu(t, x)|q+1 dσ
q
q+1
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dσ
1
q+1
,
и после подстановки в (11), с учетом монотонности функции a(·) и того факта, что в огра-
ниченной области для 1 < λ + 1 < q + 1 имеет место непрерывное вложение Lq+1(Ω(τ)) ⊂
⊂ Lλ+1(Ω(τ)), имеем
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)| |∇xu(t, x)|q dσ ≤ c
∫
∂0Ω(τ)
|∇xu(t, x)|q+1 dσ
q
q+1
sup
|x|>τ
a(|x|)−
1−θ1
q+1 ×
×
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx
(q−λ)(1−θ1)
(q+1)2
∫
Ω(τ)
(|∇xu(t, x)|q+1 + a(|x|)|u(t, x)|λ+1) dx
1
q+1
+
+c
∫
∂0Ω(τ)
|∇xu(t, x)|q+1 dσ
q
q+1
sup
|x|>τ
a(|x|)−
1
q+1
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx
q−λ
(q+1)2
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
94 Е. В. СТЕПАНОВА
×
∫
Ω(τ)
(|∇xu(t, x)|q+1 + a(|x|)|u(t, x)|λ+1) dx
1
q+1
. (12)
Интегрируя (12) по t и используя неравенство Юнга с ε, а также определение энергетических
функций (9), получаем
b∫
s
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)| |∇xu(t, x)|q dσdt ≤ 2 ε Ibs(τ) +
+ c(ε1) a(τ)
−1−θ1
q Jbs(τ) max
s≤t≤b
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx
(q−λ)(1−θ1)
q(q+1)
+
+ c(ε2) a(τ)
−1
q Jbs(τ) max
s≤t≤b
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx
q−λ
q(q+1)
. (13)
Теперь фиксируем s ≤ v̄ = v̄(s, b) ≤ b так, чтобы выполнялось неравенство
1
ν
max
s≤t≤b
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx ≤
∫
Ω(τ)
|u(v̄, x)|q+1 dx = Hv̄(τ), ν > 1. (14)
Из (13) и (14) имеем
b∫
s
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)| |∇xu(t, x)|q dσdt ≤ 2 ε Ibs(τ) + c(ε1) a(τ)
−1−θ1
q Jbs(τ)Hv̄(τ)
(q−λ)(1−θ1)
q(q+1) +
+ c(ε2) a(τ)
−1
q Jbs(τ)Hv̄(τ)
q−λ
q(q+1) . (15)
Из оценки (A.2) при a = s, b = v̄ и достаточно малом ε из (15) следует следующее соотношение
для энергетических функций, введенных в (9):
Hv̄(τ) + I v̄s (τ) 6 Hs(τ) + c1 a(τ)
−1−θ1
q J v̄s (τ)Hv̄(τ)
(q−λ)(1−θ1)
q(q+1) +
+ c2 a(τ)
−1
q J v̄s (τ)Hv̄(τ)
q−λ
q(q+1) . (16)
Из (16), используя неравенство Юнга с ε, получаем соотношение
Hv̄(τ) + I v̄s (τ) 6 Hs(τ) + c3ε1Hv̄(τ) + c6 a(τ)
− (q+1)
q(q+1)−(q−λ) J v̄s (τ)
q(q+1)
q(q+1)−(q−λ) +
+c4 a(τ)
− (1−θ1)(q+1)
q(q+1)−(q−λ)(1−θ1) J v̄s (τ)
q(q+1)
q(q+1)−(q−λ)(1−θ1) + c5ε2Hv̄(τ). (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 95
Фиксируя теперь в (13) b = T и используя свойство (14), приходим к неравенству
T∫
s
∫
∂0Ω(τ)
|u(t, x)| |∇xu(t, x)|q dσdt ≤ 2 ε ITs (τ) + c(ε1) a(τ)
−1−θ1
q JTs (τ)Hv̄(τ)
(q−λ)(1−θ1)
q(q+1) +
+ c(ε2) a(τ)
−1
q JTs (τ)Hv̄(τ)
q−λ
q(q+1) . (18)
Из равенства (A.2) с учетом оценки (18) при ε =
1
2q
вытекает соотношение
HT (τ) + ITs (τ) 6 Hs(τ) + c3 a(τ)
−1−θ1
q JTs (τ)Hv̄(τ)
(q−λ)(1−θ1)
q(q+1) +
+ c4 a(τ)
−1
q JTs (τ)Hv̄(τ)
q−λ
q(q+1) . (19)
Благодаря (17) имеем
1
2
Hv̄(τ)µ 6 Hs(τ)µ + cµ4 a(τ)
− (1−θ1)(q+1)µ
q(q+1)−(q−λ)(1−θ1) J v̄s (τ)
q(q+1)µ
q(q+1)−(q−λ)(1−θ1) +
+ cµ6 a(τ)
− (q+1)µ
q(q+1)−(q−λ) J v̄s (τ)
q(q+1)µ
q(q+1)−(q−λ) ∀µ > 0.
Используя последнее неравенство с µ1 =
(q − λ)(1− θ1)
q(q + 1)
и µ2 =
(q − λ)
q(q + 1)
, из (19) с помощью
неравенства Юнга после простых преобразований получаем соотношение
HT (τ) + ITs (τ) 6 3Hs(τ) + c7
JTs (τ)
a(τ)
1−θ1
q
q(q+1)
q(q+1)−(q−λ)(1−θ1)
+ c8
JTs (τ)
a(τ)
1
q
q(q+1)
q(q+1)−(q−λ)
.
(20)
Следующая наша цель — оценить функцию Hs(·) в правой части (20) некоторой функ-
цией, связанной с основной энергетической функцией ITs (·). С помощью интерполяционного
неравенства Гальярдо – Ниренберга (см. [25, 26]) получаем
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx
1
q+1
6 d1
∫
Ω(τ)
|∇xu(t, x)|q+1 dx
θ2
q+1
∫
Ω(τ)
| u(t, x)|λ+1 dx
1−θ2
λ+1
+
+d1
∫
Ω(τ)
| u(t, x)|λ+1 dx
1
λ+1
,
где θ2 взято из леммы 1, постоянная d1 > 0 не зависит от τ при τ → 0. Благодаря монотонности
a(·) из последнего неравенства выводим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
96 Е. В. СТЕПАНОВА
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx 6 d1
∫
Ω(τ)
(|∇xu(t, x)|q+1 + a(|x|)|u(t, x)|λ+1) dx
θ2
×
× sup
|x|>τ
a(|x|)−(1−θ2)
∫
Ω(τ)
a(|x|)|u(t, x)|λ+1 dx
1−θ2
×
×
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|λ+1dx
(1−θ2)(q−λ)
λ+1
+ d1 sup
|x|>τ
a(|x|)−
q+1
λ+1
∫
Ω(τ)
a(|x|)|u(t, x)|λ+1 dx
q+1
λ+1
,
или с учетом определения энергетических функций (9)
Hs(τ) ≤ d2 a(τ)−(1−θ2)Es(τ)
∫
Ω(τ)
|u(t, x)|q+1 dx
(1−θ2)(q−λ)
q+1
+ d1
(
a(τ)−1Es(τ)
) q+1
λ+1
. (21)
Оценивая теперь первое слагаемое в правой части (21) с помощью неравенства Юнга с ε,
выводим соотношение
Hs(τ) 6 d1
(
a(τ)−1Es(τ)
) q+1
λ+1 + d2
(
a(τ)−(1−θ2)Es(τ)
) q+1
(q+1)−(q−λ)(1−θ2)
. (22)
Подставляя неравенство (22) в правую часть (20), получаем доказываемое соотношение (10).
Проведем теперь некоторую трансформацию полученного основного энергетического соотно-
шения (10). С этой целью введем в рассмотрение параметрическую функцию s(τ) для τ ≥ 0:
s(τ) =
τ q(q+2)+1
ω(τ)q
, s(0) = 0, (23)
и введем также основную „абсорбционную” энергетическую функцию для произвольного τ ∈
∈ [0, τ̂):
P (τ) := ITs(τ)(τ) :=
T∫
s(τ)
∫
Ω(τ)
(
|∇xu(t, x)|q+1 + a(|x|)|u(t, x)|λ+1
)
dx dt, (24)
где T ≥ maxτ∈[0,τ̂ ] s(τ), τ̂ := inf {τ > 0: Ω(τ) = ∅}.
Отметим здесь, что введенная в (23) параметрическая функция s(τ) имеет следующие
свойства:
0 ≤ s(τ) ≤ T ∀τ ∈ [0, τ̂ ], s′(τ) > 0 ∀τ > 0, s′(0) = 0.
Лемма 2. Энергетическая функция P (·) из (24) удовлетворяет неравенствам
P (τ) 6 d
4∑
i=1
(
−P
′(τ)
ψi(τ)
)1+λi
для τ ∈ (0, τ̂), (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 97
P (0) ≤ ϕ0 :=
∫
Ω
|u0(x)|q+1 dx, (26)
где постоянные θi, i = 1, 2, взяты из леммы 1, d = const > 0,
ψ1(τ) = a(τ)
1−θ1
q , ψ2(τ) = a(τ)1−θ2s′(τ), ψ3(τ) = a(τ)s′(τ), ψ4(τ) = a(τ)
1
q ,
λ1 :=
(1− θ1)(q − λ)
q(q + 1)− (1− θ1)(q − λ)
, λ2 :=
(1− θ2)(q − λ)
(q + 1)− (1− θ2)(q − λ)
,
λ3 :=
q − λ
λ+ 1
, λ4 :=
q − λ
q(q + 1)− (q − λ)
.
Доказательство. Легко проверяем, что
0 ≥ dP (τ)
dτ
= −
T∫
s(τ)
∫
∂0Ω(τ)
( |∇xu(s(τ), x)|q+1 + a(|x|)|u(s(τ), x)|λ+1) dσ dt−
−s′(τ)
∫
Ω(τ)
( |∇xu(s(τ), x)|q+1 + a(|x|)|u(s(τ), x)|λ+1) dx dt. (27)
Поэтому, используя определение (9) и учитывая, что s′(τ) ≥ 0, из (27) выводим
Es(τ)(τ) =
∫
Ω(τ)
(|∇xu(s(τ), x)|q+1 + a(|x|)|u(s(τ), x)|λ+1) dx ≤ − 1
s′(τ)
dP (τ)
dτ
, (28)
а также
JTs(τ)(τ) =
T∫
s(τ)
∫
∂0Ω(τ)
|∇xu(s(τ), x)|q+1dσ dt ≤ −dP (τ)
dτ
. (29)
Подставляя неравенства (28), (29) в (10) и используя определение (24), получаем (25). Спра-
ведливость неравенства (26), очевидно, следует из глобальной априорной оценки (A.1).
3.2. Анализ задачи Коши для обыкновенного дифференциального неравенства. Далее
будем изучать асимптотическое поведение произвольного решения системы (25), (26) анало-
гично тому, как это было сделано в работе [22]. Покажем, что существует непрерывная функция
τ̄ = τ̄(ϕ0) со значениями в промежутке (0, τ̂), имеющая следующее свойство: τ̄(ϕ0) → 0 при
ϕ0 → 0, для которой справедливо равенство
P (τ) := ITs(τ)(τ) = 0 ∀ τ ≥ τ̄(ϕ0). (30)
Для построения кривой P̃ (τ), мажорирующей решение задачи (25), (26), рассмотрим сле-
дующие обыкновенные дифференциальные уравнения для i = 1, 2, 3, 4:
Pi(τ) = d
(
−P
′
i (τ)
ψi(τ)
)1+λi
⇐⇒ P ′i (τ) = −ψi(τ)
(
Pi(τ)
d
) 1
1+λi
:= −Fi(τ, Pi(τ)). (31)
Определим подобласти Ωi, i = 1, 2, 3, 4
(
Ω1 ∪ Ω2 ∪ Ω3 ∪ Ω4 = R2
+ := {τ > 0, z > 0}
)
:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
98 Е. В. СТЕПАНОВА
Ω1 =
{
(τ, z) : z ≤ d a(τ)
q+1
q−λ s′(τ)
q(q+1)
(q−λ)(q(1−θ2)−1+θ1)
}
, s′(τ) =
ds(τ)
dτ
,
Ω2 =
{
(τ, z) : d a(τ)
q+1
q−λ s′(τ)
q(q+1)
(q−λ)(q(1−θ2)−1+θ1) ≤ z ≤ d a(τ)
q+1
q−λ
}
,
Ω3 = Ω4 =
{
(τ, z) : z ≥ d a(τ)
q+1
q−λ
}
для произвольного q : q > λ ≥ 0.
Кроме того, кривая P̃ (τ), мажорирующая решение (25), (26), имеет следующий вид:
P̃ (τ) =
ϕ0, если 0 ≤ τ ≤ τ ′,
P̃2(τ), если τ ′ ≤ τ ≤ τ ′′,
P̃1(τ), если τ ′′ ≤ τ ≤ τ ′′′,
где τ ′ определяется из равенства ϕ0 = d a(τ ′)
q+1
q−λ , т. е.
τ ′q+1
ω(τ ′)
=
q + 1
q − λ
(ln d− lnϕ0)−1.
P̃2(τ) — решение задачи Коши
P ′2(τ) = −ψ2(τ)
(
P2(τ)
d
) 1
1+λ2
, P2(τ ′) = ϕ0, (32)
τ ′′ определяется из соотношения
P̃2(τ ′′) = d a(τ ′′)
q+1
q−λ s′(τ ′′)
q(q+1)
(q−λ)(q(1−θ2)−1+θ1) . (33)
Наконец, P̃1(τ) — решение задачи Коши
P ′1(τ) = −ψ1(τ)
(
P1(τ)
d
) 1
1+λ1
, P1(τ ′′) = P̃2(τ ′′), (34)
где τ ′′′ находим из условия P̃1(τ) ≥ 0 ∀ τ ≥ τ ′′′. Решение задачи (32) имеет вид
P̃2(τ) =
ϕ λ2
1+λ2
0 − λ2
(1 + λ2)d
1
1+λ2
τ∫
τ ′
ψ2(r) dr
1+λ2
λ2
=
=
ϕ (1−θ2)(q−λ)
q+1
0 − (1− θ2)(q − λ)
(q + 1)d
1
1+λ2
τ∫
τ ′
a(r)1−θ2s′(r) dr
q+1
(1−θ2)(q−λ)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 99
Поскольку
q(1− θ2)
q(1− θ2)− 1 + θ1
=
q + 1
q
, уравнение (33) для нахождения τ ′′ приводит к равенству
ϕ
(1−θ2)(q−λ)
q+1
0 − (1− θ2)(q − λ)
(q + 1)d
1
1+λ2
τ ′′∫
τ ′
a(r)1−θ2s′(r) dr = d
(1−θ2)(q−λ)
q+1 a(τ ′′)1−θ2s′(τ ′′)
q+1
q . (35)
Понятно, что c(τ) ≈ f(τ), если существует постоянная K такая, что выполняется двустороннее
неравенство 0 < K−1c(τ) ≤ f(τ) ≤ Kc(τ) ∀ τ : 0 < τ < τ0. Благодаря условию (8), которое
эквивалентно неравенству
τ ω′(τ)
ω(τ)
≤ 1 + q − δ ∀ τ ∈ (0, τ̂), 0 < δ < q, (36)
и в силу определения (23) функции s(·) приходим к двусторонней оценке
q(1 + q − δ)τ
q(q+2)
ω(τ)q
≤ s′(τ) ≤ (1 + q)2 τ
q(q+2)
ω(τ)q
∀ τ < τ̂ . (37)
С учетом (37) и леммы A.3 имеем
τ∫
0
a(r)1−θ2s′(r) dr ≈ a(τ)1−θ2(s′(τ))
q+1
q при τ → 0. (38)
Из (35) и (38) получаем двустороннюю оценку для τ ′′:
c1ϕ
(1−θ2)(q−λ)
q+1
0 ≤ a(τ ′′)1−θ2s′(τ ′′)
q+1
q ≤ c2ϕ
(1−θ2)(q−λ)
q+1
0 ,
где положительные постоянные c1, c2 не зависят от ϕ0. Решение задачи Коши (34) имеет вид
P̃1(τ) =
P̃2(τ ′′)
(1−θ1)(q−λ)
q(q+1) − (1− θ1)(q − λ)
q(q + 1)(d )
1
1+λ1
τ∫
τ ′′
a(r)
1−θ1
q dr
2
(1−θ1)(1−q)
.
Найдем теперь τ ′′′ из неравенства
P̃2(τ ′′)
(1−θ1)(q−λ)
q(q+1) − (1− θ1)(q − λ)
q(q + 1)(d )
1
1+λ1
τ ′′′∫
τ ′′
a(r)
1−θ1
q dr ≥ 0. (39)
Согласно лемме A.3 имеем τ∫
0
a(r)
1−θ1
q dr
q+1
≈ s′(τ)
q+1
q a(τ)1−θ2 при τ → 0, (40)
где
1− θ1
q
= β =
λ+ 1
N(q − λ) + (λ+ 1)(q + 1)
=
1− θ2
q + 1
. Наконец, благодаря (39) и (40) прихо-
дим к достаточному условию для нахождения τ ′′′:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
100 Е. В. СТЕПАНОВА
a(τ ′′′)1−θ2s′(τ ′′′)
q+1
q ≤ c4ϕ
(1−θ2)(q−λ)
q+1
0 , τ ′′′ > 2τ ′′. (41)
Условие (41) можно записать в виде
exp
(
− (1−θ2)(1−ν)ω(τ ′′′)
(τ ′′′)q+1
)
exp
(
− (1−θ2) ν ω(τ ′′′)
(τ ′′′)q+1
)
ω(τ ′′′)( ω(τ ′′′)
(τ ′′′)q+1
)q+2
≤ c5ϕ
(1−θ2)(q−λ)
q+1
0 (42)
с произвольным 0 < ν < 1. Для выполнения неравенства (42) достаточно, чтобы
exp
(
−(1− θ2)(1− ν)ω(τ ′′′)
(τ ′′′)q+1
)
≤ c6ϕ
(1−θ2)(q−λ)
q+1
0 , c6 = c6(ν, ω0, c5),
или
(τ ′′′)q+1
ω(τ ′′′)
≤ c7(lnϕ−1
0 )−1, c7 = c7(c6, ν, ω0), ω0 взято из условия (C).
Итак, равенство (30) доказано с τ̄(·):
τ̄(z)q+1
ω(τ̄(z))
= c7(ln z−1)−1 ∀ z ∈ (0, 1). (43)
3.3. Вывод рекуррентного соотношения. Согласно лемме A.5 можем считать, что
ϕ0 :=
∫
Ω
|u0(x)|q+1 dx� 1 и τ̄(ϕ0) < 1.
Из равенства (30) с учетом определения (24) делаем вывод, что
ITs(τ̄(ϕ0))(τ̄(ϕ0)) = 0 для произвольного T <∞.
Кроме того, энергетическое решение u(t, x) имеет свойство
u(t, x) ≡ 0 ∀ (t, x) ∈
{
|x| ≥ τ1, t ≥ s(τ1)
}
, τ1 = τ̄(ϕ0).
Из тождества (A.2) выводим
d
dt
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+
∫
Ω
(|∇xu(t, x)|q+1 + a0(x)|u(t, x)|λ+1) dx ≤ 0 ∀ t > s(τ1),
откуда легко получаем оценку
d
dt
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+
∫
Ω
(|∇xu(t, x)|q+1 dx ≤ 0 ∀ t > s(τ1). (44)
Согласно неравенству Пуанкаре из (44) следует соотношение
d
dt
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+
c̄
τ q+1
1
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx ≤ 0 ∀ t > s(τ1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 101
где постоянная c̄ > 0 не зависит от t. Отсюда с учетом того, что H(t) := Ht(0) (определение
энергетической функции Ht(τ) см. в (9)), имеем
H ′(t) +
c̄
τ q+1
1
H(t) ≤ 0 ∀ t > s(τ1). (45)
Интегрируем обыкновенное дифференциальное неравенство (45):
H(t+ s(τ1)) ≤ H(s(τ1)) exp
(
− c̄t
τ q+1
1
)
∀ t > 0. (46)
Из глобальной априорной оценки (A.1) с t̂ = s(τ1) = s(τ̄(ϕ0)) заключаем, что неравенство
(46) будет иметь вид
H(t+ s(τ1)) ≤ ϕ0 exp
(
− c̄t
τ q+1
1
)
∀ t > 0.
Определим теперь t1 > 0 из равенства
ϕ0 exp
(
− c̄t1
τ q+1
1
)
= ϕ1+γ
0 ⇐⇒ t1 =
γ lnϕ−1
0
c̄
τ q+1
1 , γ = const > 0. (47)
Из (47) и (43) с z = ϕ0, τ1 = τ̄(ϕ0) имеем
t1 =
γc7
c̄
ω(τ1). (48)
Вернемся теперь к (46) с t1:
H(t1 + s(τ1)) =
∫
Ω
|u(t1 + s(τ1), x)|q+1 dx ≤ ϕ1+γ
0 , γ > 0, (49)
и рассмотрим задачу (1) – (3) с начальными условиями (49) вместо (A.1) в области Ω ×
×(t1 + s(τ1),∞). Повторяя предыдущие выкладки, приходим к неравенству
H(t2 + s(τ2) + t1 + s(τ1)) ≤ ϕ(1+γ)2
0 ,
где
τ q+1
2 = c7ω(τ2)
(
lnϕ
−(1+γ)
0
)−1
=
c7
1 + γ
ω(τ2)
(
lnϕ−1
0
)−1
, τ2 = τ̄(ϕ1+γ
0 ).
Аналогично (48) получаем
t2 =
γ lnϕ
−(1+γ)
0
c̄
τ q+1
2 =
γc7
c̄
ω(τ2).
Далее повторяя процедуру, находим τ3, t3, τ4, t4 и т. д. В результате j-го вычисления получаем
рекуррентное соотношение
H
(
j∑
i=1
ti +
j∑
i=1
s(τi)
)
≤ ϕ(1+γ)j
0 → 0 при j →∞, (50)
где
ti =
γc7
c̄
ω(τi), τ q+1
i =
c7ω(τi)
(1 + γ)i−1
(
lnϕ−1
0
)−1
. (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
102 Е. В. СТЕПАНОВА
3.4. Доказательство сходимости рядов в рекуррентном соотношении. В этом пункте,
завершающем доказательство теоремы, будет показано, что ряды, фигурирующие в рекуррент-
ном соотношении (50), сходятся.
Рассмотрим сначала
∑j
i=1
s(τi), где τi взяты из (51). С учетом условия (С) на функцию
ω(·) в силу (51) следует, что
τ q+1
i ≤
c7ω0
(
lnϕ−1
0
)−1
(1 + γ)i−1
. (52)
Согласно определению функции s(τ) (см. (23)) и неравенству (52) имеем
∞∑
i=1
s(τi) ≤
∞∑
i=1
τ
q(q+1)
0 τ q+1
i
ω(τ0)q
≤
∞∑
i=1
τ
q(q+1)
0 c7ω0
(
lnϕ−1
0
)−1
ω(τ0)q
1
(1 + γ)i−1
=
= c8
∞∑
i=1
1
(1 + γ)i−1
< c̃ <∞ ∀ τ0 > 0 ∀ γ > 0. (53)
Теперь перейдем к ряду
∑j
i=1
ti =
γc7
c̄
ω(τi). Из (51), а также условий (A) – (С) на функцию
ω(·) получаем неравенство
τ q+1
i =
c7ω(τi)
(1 + γ)i−1
(
lnϕ−1
0
)−1 ≤ c7ω0
(1 + γ)i−1 lnϕ−1
0
=⇒ τi ≤
(
c7ω0
lnϕ−1
0
) 1
q+1 (1 + γ)
1
q+1
(1 + γ)
i
q+1
.
Таким образом, имеем
j∑
i=1
ti =
γc7
c̄
j∑
i=1
ω(τi) ≤ c9
j∑
i=1
ω(c10µ
i), (54)
где c9 =
γc7
c̄
, c10 =
(c7ω0(1 + γ)
lnϕ−1
0
) 1
q+1
, µ = (1 + γ)
− 1
q+1 < 1.
В силу того, что ω(·) — непрерывная и неубывающая функция, а c10µ
x с µ < 1 — убывающая,
их суперпозиция ω(c10µ
x) = f(x) является убывающей функцией. Следовательно, выполняется
двустороннее неравенство
(b− a)f(b) ≤
b∫
a
f(x) dx ≤ (b− a)f(a), a < b.
При a = i− 1 < b = i имеем
f(i) ≤
i∫
i−1
f(x) dx ≤ f(i− 1), i = 1, . . . , j ,
откуда
j∑
i=1
f(i) ≤
j∫
0
f(x) dx ≤
j−1∑
i=1
f(i) ∀ j ∈ N. (55)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 103
Далее, с помощью очевидной замены в подынтегральном выражении приходим к равенству
j∫
0
f(x) dx =
j∫
0
ω(c10µ
x) dx =
c10µj∫
c10
ω(s)
s lnµ
ds = −(lnµ)−1
c10∫
c10µj
ω(s)
s
ds ∀ j ∈ N. (56)
Теперь из (54), (55) и (56) для любого j ∈ N имеем
j∑
i=1
ti = c9
j∑
i=1
ω(c10µ
i) ≤
j∫
0
f(x) dx =
= −(lnµ)−1
c10∫
c10µj
ω(s)
s
ds −→ −(lnµ)−1
c10∫
0
ω(s)
s
ds < c <∞ при j −→∞. (57)
Вернемся теперь к (50):
H(R) ≤ 0, где R =
∞∑
i=1
ti +
∞∑
i=1
s(τi) <∞ (см. (53) и (57)),
откуда в силу того, что H — неотрицательная функция, делаем вывод, что
H(R) = 0 ⇐⇒
∫
Ω
|u(R, x)|q+1 dx = 0.
Теорема доказана.
4. Приложение: вспомогательные построения и утверждения.
Лемма A.1. Пусть u(t, x) — произвольное энергетическое решение задачи (1) – (3). Тогда
для произвольных t̂ > 0 справедлива следующая интегральная априорная оценка:∫
Ω
|u(t̂, x)|q+1 dx +
∫
(0,t̂)×Ω
(|∇xu(t, x)|q+1 + a(|x|)|u(t, x)|λ+1) dxdt ≤
∫
Ω
|u0(x)|q+1 dx := ϕ0.
(A.1)
Доказательство леммы A.1 стандартно в силу формулы интегрирования по частям [1] и
предположения (7).
Лемма A.2. Пусть u(t, x) — произвольное энергетическое решение задачи (1) – (3). Тогда
для всех 0 ≤ a < b < +∞ и почти всех τ имеет место соотношение∫
Ω(τ)
|u(b, x)|q+1 dx +
q + 1
q
b∫
a
∫
Ω(τ)
(
|∇xu(t, x)|q+1 + a0(x)|u(t, x)|λ+1
)
dx dt =
=
∫
Ω(τ)
|u(a, x)|q+1 dx+
b∫
a
∫
∂0Ω(τ)
|∇xu|q−1∂u
∂ν
dσ dt, (A.2)
где ∂0Ω(τ) = ∂Ω(τ) ∩ {x ∈ RN : |x| = τ},−→ν = −→ν (x) = {νi} — единичный вектор внешней
нормали к ∂0Ω(τ) в точке x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
104 Е. В. СТЕПАНОВА
Доказательство. Зафиксируем числа τ, δ > 0 и введем липшицеву срезающую функцию
ητ,δ(·):
ητ,δ(r) = 0 ∀ r < τ, ητ,δ(r) = 1 ∀ r > τ + δ,
ητ,δ(r) = δ−1(r − τ) ∀ r : τ < r < τ + δ.
Подставим в интегральное тождество пробную функцию
ξ(t, x) =
{
u(t, x)ητ,δ(|x|), a ≤ t ≤ b,
0, t ⊂ {t < a} ∪ {t > b}.
Используя формулу интегрирования по частям из [1], приходим к равенству
q
q + 1
∫
Ω(τ)
|u(b, x)|q+1ητ,δ(|x|) dx+
+
b∫
a
∫
Ω(τ)
(
|∇xu(t, x)|q+1 + a0(x)|u(t, x)|λ+1
)
ητ,δ(|x|) dx dt =
=
q
q + 1
∫
Ω(τ)
|u(a, x)|q+1ητ,δ(|x|) dx+
b∫
a
∫
Ω(τ)\Ω(τ+δ)
N∑
i=1
|∇xu|q−1 ∂u
∂xi
(ητ,δ(|x|))xi dx dt.
Переходя теперь в последнем равенстве к пределу при δ → 0 (как это было сделано в работе
[23]), устанавливаем, что при почти всех τ существует
∫ b
a
∫
∂0Ω(τ)
∑N
i=1
|∇xu|q−1 ∂u
∂xi
νi dσ dt
и справедливо соотношение (A.2).
Лемма A.3. Пусть неотрицательная неубывающая функция ω(s) удовлетворяет условиям
(А), (В), (С) и (8). Тогда для любых m ∈ R, l ∈ R, A > 0, q > 0 справедливо
τ∫
0
sm−q−1ω(s)l+1 exp
(
−Aω(s)
sq+1
)
ds ≈ τm+1ω(τ)l exp
(
−Aω(τ)
τ q+1
)
при τ → 0. (A.3)
Доказательство. Легко проверить, что
d
ds
(
sm+1ω(s)l exp
(
− Aω(s)
sq+1
))
= smω(s)l exp
(
− Aω(s)
sq+1
)[
(m+ 1) + l
sω′(s)
ω(s)
+
+
Aω(s)
sq+1
(
q + 1− sω′(s)
ω(s)
)]
≡ smω(s)l exp
(
− Aω(s)
sq+1
)
[I1 + I2 + I3]. (A.4)
Очевидно, что условие (8) эквивалентно условию
τ ω′(τ)
ω(τ)
≤ 1 + q − δ ∀ τ ∈ (0, τ0), 0 <
< δ < q. Интегрируя последнее неравенство, приходим к ω(s) ≥ ĉs1+q−δ для достаточно
малых положительных s, ĉ = const > 0 и, следовательно,
ω(s)
sq+1
→ ∞ при s → 0. С учетом
этого факта делаем вывод, что
I3 � |I1|, I3 � |I2| при s→ 0.
Интегрируя (A.4), получаем (A.3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 105
Лемма A.4. Пусть Ω — ограниченная область в RN , N > 1, с C1-границей, Ω0 — подоб-
ласть Ω. Тогда для любого v ∈W 1
q+1(Ω) выполняется интерполяционное неравенство∫
Ω
vq+1 dx
1
q+1
≤ c1
∫
Ω
|∇xv|q+1 dx
1
q+1
+ c2
∫
Ω0
|v|r+1 dx
1
r+1
, (A.5)
где 1 < r + 1 ≤ q + 1, положительные постоянные c1, c2 не зависят от v.
Доказательство. Согласно стандартному интерполяционному неравенству∫
Ω
vq+1 dx
1
q+1
≤ c1
∫
Ω
|∇xv|q+1 dx
1
q+1
+ c2
∫
Ω
|v|r+1 dx
1
r+1
∀ v ∈W 1
q+1(Ω).
(A.6)
Благодаря свойству аддитивности интеграла имеем
∫
Ω
|v|r+1 dx
1
r+1
≤
∫
Ω0
|v|r+1 dx
1
r+1
+
∫
Ω\Ω0
|v|r+1 dx
1
r+1
. (A.7)
Неравенство (A.6) c учетом (A.7) принимает вид
∫
Ω
vq+1dx
1
q+1
≤ c1
∫
Ω
|∇xv|q+1dx
1
q+1
+ c2
∫
Ω0
|v|r+1dx
1
r+1
+
∫
Ω\Ω0
|v|r+1dx
1
r+1
.
(A.8)
Пусть Ω′0 — подобласть Ω0 такая, что Ω′0 ⊂ Ω0, функция ξ(x) ∈ C1:
ξ(x) =
{
0 ∀x ∈ Ω′0,
1 ∀x ∈ Ω \ Ω0.
К последнему слагаемому в правой части (A.8) применим неравенство Пуанкаре: ∫
Ω\Ω0
|v|r+1 dx
1
r+1
≤
∫
Ω\Ω0
|vξ|r+1 dx
1
r+1
≤ c
∫
Ω\Ω′0
|∇x(vξ)|r+1 dx
1
r+1
≤
≤ c
∫
Ω\Ω′0
|∇v|q+1 dx
1
q+1
+ c̃
∫
Ω0\Ω′0
|v|r+1 dx
1
r+1
. (A.9)
С учетом (A.9) и того, что Ω \ Ω′0 ⊆ Ω, Ω0 \ Ω′0 ⊆ Ω0, получаем (A.5).
Лемма A.5. Пусть u(t, x) — произвольное решение задачи (1) – (3), тогда
H(t) =
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx→ 0 при t→∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
106 Е. В. СТЕПАНОВА
Доказательство. Из (44) и того факта, что Ω0 ⊂ Ω, следует неравенство
d
dt
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+
∫
Ω
|∇xu(t, x)|q+1 dx+ d0
∫
Ω0
|u(t, x)|λ+1 dx ≤ 0, (A.10)
где d0 = const > 0: a(x) ≥ d0 > 0 для всех x ∈ Ω0. Согласно лемме A.4 при r = λ имеем
ε
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx ≤ εc1
∫
Ω
|∇xu(t, x)|q+1 dx+εc2
∫
Ω0
|u(t, x)|λ+1 dx
1+q
λ+1
∀ ε > 0. (A.11)
Складывая (A.10) и (A.11), получаем
d
dt
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+ ε
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+ (1− εc1)
∫
Ω
|∇xu(t, x)|q+1 dx+
+
∫
Ω0
|u(t, x)|q+1 dx
d0 − c2ε
∫
Ω0
|u(t, x)|λ+1 dx
q−λ
λ+1
≤ 0. (A.12)
Покажем теперь, что
d
dt
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx+ ε
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx ≤ 0 ∀ t > 0. (A.13)
С этой целью рассмотрим слагаемое в (A.12):
∫
Ω0
|u(t, x)|λ+1 dx
d0 − c2ε
∫
Ω0
|u(t, x)|λ+1 dx
q−λ
λ+1
≥
∫
Ω
|u(t, x)|λ+1 dx(d0 − c2εc̃) ≥ 0,
если
d0 ≥ c2εc̃ ⇐⇒ d0
c2c̃
≥ ε. (A.14)
Аналогично за счет выбора ε, а именно,
ε ≤ d0
c2c̃
1−q
1+q
, (A.15)
можно обеспечить
(1− εc1)
∫
Ω
|∇xu(t, x)|q+1 dx ≥ 0.
Итак, в силу (A.14) и (A.15) следует справедливость (A.13), что соответствует неравенству
dH(t)
dt
≤ −εH(t), где H(t) =
∫
Ω
|u(t, x)|q+1 dx (см. (A.13)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ЗАТУХАНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ . . . 107
откуда
ln |H(t)| ≤ −εt ⇐⇒ H(t) ≤ exp(−εt)
и при t −→∞, что завершает доказательство леммы A.5.
1. Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. – 183, № 3. –
S. 311 – 341.
2. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domain // Math. Ann. –
1988. – 279, № 3. – P. 373 – 394.
3. Payne L. E. Improperly posed problems in partial differential equations // Reg. Conf. Ser. Appl. Math. – 1975. –
№ 22. – P. 76.
4. Knerr B. F. The behavior of the support of solutions of the equation of nonlinear heat conduction with absorption in
one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. – 1979. – 249, № 2. – P. 409 – 424.
5. Straughan B. Instability, nonexistence and weighted energy methods in fluid dynamics and related theories // Res.
Notes Math. – London: Pitman, 1982. – 74. – P. 169.
6. Bandle C., Stakgold I. The formation of the dead core in parabolic reaction-diffusion problems // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1984. – 286, № 1. – P. 275 – 293.
7. Friedman A., Herrero M. A. Extinction properties of semilinear heat equations with strong absorption // J. Math. Anal.
and Appl. – 1987. – 124, № 2. – P. 530 – 546.
8. Chen Xu-Yan, Matano H., Mimura M. Finite-point extinction and continuity of interfaces in a nonlinear diffusion
equation with strong absorption // J. reine und angew. Math. – 1995. – 459, № 1. – S. 1 – 36.
9. Калашников А. С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с погло-
щением // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1974. – 14, № 4. – C. 891 – 905.
10. Benilan Ph., Crandall M. G. The continuous dependence on ϕ of solutions of ut−∆ϕ(u) = 0 // Indiana Univ. Math.
J. – 1981. – 30, № 2. – P. 161 – 177.
11. Diaz G., Diaz I. Finite extinction time for a class of nonlinear parabolic equations // Commun. Part. Different. Equat. –
1979. – 4, № 11. – P. 1213 – 1231.
12. Peletier L. A. The porous media equation // Appl. Nonlinear Anal. Phys. Sci. (Bielefeld, 1979). Surv. Ref. Works
Math. – 1981. – 6. – P. 229 – 241.
13. Bernis F. Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic equations with
absorption // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. – 1986. – 104 A, № 1-2. – P. 1 – 19.
14. Шишков А. E. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений квазилиней-
ных параболических уравнений произвольного порядка // Мат. сб. – 1999. – 190, № 12. – С. 129 – 156.
15. Shishkov A., Kersner R. Instantaneous shrinking of the support of energy solutions // J. Math. Anal. and Appl. –
1996. – 198, № 3. – P. 729 – 750.
16. Kersner R., Nicolosi F. The nonlinear heat equation with absorption: effects of variable coefficients // J. Math. Anal.
and Appl. – 1992. – 170, № 2. – P. 551 – 566.
17. Kalashnikov A. S. Instantaneous shrinking of the support for solutions to certain parabolic equations and systems //
Atti Accad. naz. Lincei Cl. sci., fis., mat. e natur. Rend. – 1997. – 8, № 4. – P. 263 – 272.
18. Li Jun-Jie. Qualitative properties for solutions of semilinear heat equations with strong absorption // J. Math. Anal.
and Appl. – 2003. – 281, № 1. – P. 382 – 394.
19. Li Jun-Jie. Qualitative properties of solutions to semilinear heat equations with singular initial data // Electron. J.
Different. Equat. – 2004. – № 53. – P. 1 – 12.
20. Kondratiev V. A., Véron L. Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations //
Asymptot. Anal. – 1997. – 14. – P. 117 – 156.
21. Belaud Y., Helffer B., Véron L. Long-time vanishing properties of solutions of sublinear parabolic equations and
semi-classical limit of Schrödinger operator // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Nonlinear. – 2001. – 18, № 1. – P. 43 – 68.
22. Belaud Y., Shishkov A. Long-time extinction of solutions of some semilinear parabolic equations // J. Different. Equat. –
2007. – 238. – P. 64 – 86.
23. Diaz J. I., Veron L. Local vanishing properties of solutions of elliptic and parabolic quasilinear equations // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1985. – 290, № 2. – P. 787 – 814.
24. Антонцев С. Н. O локализации решений нелинейных вырождающихся эллиптических и параболических урав-
нений // Докл. АН СССР. – 1981. – 260, № 6. – C. 1289 – 1293.
25. Gagliardo E. Ulteriori proprieta ‘di alcune classi di funzioni in piu’ variabili // Ric. mat. – 1959. – 8. – P. 24 – 51.
26. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola norm. super. Pisa. – 1959. – 13, № 3. – P. 115 – 162.
Получено 06.11.12,
после доработки — 18.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2114 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:58Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/404b199dc7b223af434548bd01cd74b4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21142019-12-05T10:24:29Z Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential Затухание решений параболических уравнений с двойной нелинейностью и вырождающимся абсорбционным потенциалом Stepanova, E. V. Степанова, Е. В. Степанова, Е. В. We study the behavior of solutions for the parabolic equation of nonstationary diffusion with double nonlinearity and a degenerate absorption term: $$ {\left({\left| u\right|}^{q-1} u\right)}_t-{\displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\partial }{\partial {x}_i}\left({\left|{\nabla}_x u\right|}^{q-1}\frac{\partial u}{\partial {x}_i}\right)+{a}_0(x){\left| u\right|}^{\lambda -1} u=0,} $$ where \( {a}_0(x)\ge {d}_0\; \exp \left(-\frac{\omega \left(\left| x\right|\right)}{{\left| x\right|}^{q+1}}\right) \) , d 0 = const > 0, 0 ≤ λ 0 for τ > 0, and \( {\displaystyle {\int}_{0+}\frac{\omega \left(\tau \right)}{\tau} d\tau Вивчається поведінка розв'язків подвійно нєлінійних параболiчних рівнянь нестаціонарної дифузні з виродженим абсорбційним членом: $${\left({\left| u\right|}^{q-1} u\right)}_t-{\displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\partial }{\partial {x}_i}\left({\left|{\nabla}_x u\right|}^{q-1}\frac{\partial u}{\partial {x}_i}\right)+{a}_0(x){\left| u\right|}^{\lambda -1} u=0,}$$ де ${a}_0(x)\ge {d}_0\; \exp \left(-\frac{\omega \left(\left| x\right|\right)}{{\left| x\right|}^{q+1}}\right)$, $d_0 = \text{const} > 0,\; 0 ≤ λ 0$ при $τ > 0$ та ${\displaystyle {\int}_{0+}\frac{\omega \left(\tau \right)}{\tau} d\tau Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2114 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 1 (2014); 89–107 Український математичний журнал; Том 66 № 1 (2014); 89–107 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2114/1230 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2114/1231 Copyright (c) 2014 Stepanova E. V. |
| spellingShingle | Stepanova, E. V. Степанова, Е. В. Степанова, Е. В. Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential |
| title | Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential |
| title_alt | Затухание решений параболических уравнений с двойной нелинейностью и вырождающимся абсорбционным потенциалом |
| title_full | Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential |
| title_fullStr | Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential |
| title_full_unstemmed | Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential |
| title_short | Decay of the Solutions of Parabolic Equations with Double Nonlinearity and the Degenerate Absorption Potential |
| title_sort | decay of the solutions of parabolic equations with double nonlinearity and the degenerate absorption potential |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2114 |
| work_keys_str_mv | AT stepanovaev decayofthesolutionsofparabolicequationswithdoublenonlinearityandthedegenerateabsorptionpotential AT stepanovaev decayofthesolutionsofparabolicequationswithdoublenonlinearityandthedegenerateabsorptionpotential AT stepanovaev decayofthesolutionsofparabolicequationswithdoublenonlinearityandthedegenerateabsorptionpotential AT stepanovaev zatuhanierešenijparaboličeskihuravnenijsdvojnojnelinejnostʹûivyroždaûŝimsâabsorbcionnympotencialom AT stepanovaev zatuhanierešenijparaboličeskihuravnenijsdvojnojnelinejnostʹûivyroždaûŝimsâabsorbcionnympotencialom AT stepanovaev zatuhanierešenijparaboličeskihuravnenijsdvojnojnelinejnostʹûivyroždaûŝimsâabsorbcionnympotencialom |