On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient
We deduce a formula for the trace of a boundary-value problem with unbounded operator coefficient and boundary conditions depending on the parameter.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2116 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508047359606784 |
|---|---|
| author | Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. |
| author_facet | Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. |
| author_sort | Aslanova, N. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:29Z |
| description | We deduce a formula for the trace of a boundary-value problem with unbounded operator coefficient and boundary conditions depending on the parameter. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.984
Н. М. Асланова, М. Байрамоглы (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННОМ СЛЕДЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С ОПЕРАТОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ*
We deduce a formula for the trace of the boundary-value problem with unbounded operator coefficient and boundary
conditions depending on the parameter.
Отримано формулу слiду для крайової задачi з необмеженим операторним коефiцiєнтом i граничними умовами, що
залежать вiд параметра.
В пространстве L2 ((0, π), H) , где H — сепарабельное гильбертово пространство, рассмотрим
задачу
yIV (x) +Ay(x) + p(x)y(x) = λy(x), (1)
y(0) = 0, (2)
y′(π) + hy(π) = 0, (3)
y′′(0) = 0, (4)
y′′′(π) + hy′′(π) = 0, h > 0, (5)
где A = A∗ > E, E — тождественный оператор в H, A−1 ∈ σ∞.
Обозначим собственные значения и ортонормированные собственные функции оператора
A через γ1 ≤ γ2 ≤ . . . и ϕ1, ϕ2, . . . соответственно.
Предположим, что операторная функция p(x) действует при каждом x в H, слабо измерима
и удовлетворяет условиям:
1) p(x) имеет вторую слабую производную,
[
p(l)(x)
]∗
= p(l)(x), l = 0, 2 и
∥∥p(l)(x)‖ < const
для любого x ∈ [0, π];
2)
∑∞
j=1
∣∣∣ (p(l)(x)ϕj , ϕj) ∣∣∣ < const, l = 0,2;
3) p′(0) = p′(π) = 0;
4)
∫ π
0
(p(x)f, f) dx = 0 ∀f ∈ H.
Отметим, в частности, что если p(l)(x) из σ1 (σ1 — класс ядерных операторов), то условие 2
принимает вид
∥∥p(l)(x)∥∥
σ1
< const, l = 0, 2, ∀x ∈ [0, π] .
При p(x) ≡ 0 с задачей (1) – (4) в пространстве L2 ((0, π), H) можно связать самосопряжен-
ный оператор L0 с областью определения
* Выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики
(грант № EIF-2011-1(3)-82/14-1-M-15).
c© Н. М. АСЛАНОВА, М. БАЙРАМОГЛЫ, 2014
128 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННОМ СЛЕДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА . . . 129
D(L0) =
{
y(x)/ yIV (x) +Ay ∈ L2 ((0, π), H) , y(0) = 0,
y′(π) + hy(π) = 0, y′′(0) = 0, y′′′(π) + hy′(π) = 0
}
,
действующий как
L0y (x) = yIV (x) +Ay (x) .
При p(x) 6≡ 0 соответствующий оператор обозначим через L : L = L0 + p.
Цель настоящей работы — получить формулу первого регуляризованного следа оператора
L. Следы для операторов высокого порядка изучались, например, в работах [1 – 4]. В рабо-
тах [2, 4] изучены формулы следов для оператора высокого порядка с условиями Дирихле на
концах отрезка. В [3] получены абстрактные формулы следов для эллиптических гладких диф-
ференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях. В работе [2] вычислен
регуляризованный след для двучленного дифференциального оператора четвертого порядка с
ограниченным операторным потенциалом. В данной работе изучается дифференциальный опе-
ратор четвертого порядка с неограниченным операторным потенциалом и граничными услови-
ями, содержащими параметр. Более полную библиографию можно найти в [5].
Согласно теореме 1 из [6], оператор L0 имеет дискретный спектр. Из условия 1 и соотно-
шения для резольвент
Rλ(L0) = Rλ(L) +Rλ(L)pRλ(L0)
следует, что L также имеет дискретный спектр. По теореме 1 из [6] если собственные числа
оператора A удовлетворяют условию
γk ∼ rkα, r > 0, α > 0, (6)
то собственные числа операторов L0 и L, обозначенные через µn и λn соответственно, ведут
себя как
λn ∼ µn ∼ dnδ, d > 0, δ =
4α
4 + α
.
Поскольку оператор L0 допускает разделение переменных, его спектр состоит из собствен-
ных значений λk,m = γk + α4
m, где αm — решение уравнения
z cos zπ + h sin zπ = 0,
и имеет асимптотику
αm =
1
2
+m+O
(
1
m
)
. (7)
Ортонормированными собственными функциями являются
ψm,k(x) =
√
4αm
2αmπ − sin 2αmπ
sin(αmx)ϕk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
130 Н. М. АСЛАНОВА, М. БАЙРАМОГЛЫ
Аналогично теореме 2.1 из [1] можно доказать, что при α >
4
3
lim
nm→∞
nm∑
n=1
(λn − µn − (pψn, ψn)L2) = 0, (8)
где {nm} — некоторая подпоследовательность натурального ряда.
Докажем следующую лемму.
Лемма 1. При выполнении условий 1 – 3 справедливо
∞∑
k=1
∞∑
m=1
∣∣∣∣∣∣ 2αm
2αmπ − sin 2αmπ
π∫
0
cos (2αmx) (p (x)ϕk, ϕk) dx
∣∣∣∣∣∣ <∞.
Доказательство. Обозначим
(p(x)ϕk, ϕk) = pk (x).
Интегрируя дважды по частям и учитывая условие 3, имеем
π∫
0
cos(2αmx)pk(x)dx =
1
2αm
sin(2αmπ)pk(π)−
1
4α2
m
π∫
0
cos(2αmx)p
′′
k(x)dx. (9)
Из условия 2, асимптотики (7) и соотношения (9) получаем сходимость ряда в (8), что
доказывает лемму.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть собственные числа оператора A удовлетворяют условию (6), где α >
>
4
3
. Если операторная функция p(x) удовлетворяет условиям 1 – 4, то справедлива формула
lim
nm→∞
nm∑
n=1
(λn − µn) =
∞∑
k=1
pk (π)− pk (0)
4
.
Доказательство. Согласно соотношению (8) и лемме 1
lim
nm→∞
nm∑
n=1
(λn − µn) =
=
∞∑
k=1
∞∑
m=1
4αm
2αmπ − sin 2αmπ
π∫
0
sin2(αmx)pk (x) dx =
= −
∞∑
k=1
∞∑
m=1
2αm
2αmπ − sin 2αmπ
π∫
0
cos(2αmx)pk(x)dx. (10)
Обозначим
SN (x) =
N∑
k=1
2αm cos(2αmx)
(2αmπ − sin(2αmπ))
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННОМ СЛЕДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА . . . 131
Рассмотрим комплекснозначную функцию
g(z) = − z cos 2zx
sin2 zπ(z ctg zπ + h)
,
имеющую полюсы в точках αm и m. Вычеты в этих точках равны соответственно
2αm cos 2αmx
(2αmπ − sin 2αmπ)
и − cos 2mx
π
.
Проинтегрируем g (z) по прямоугольнику с вершинами в точках ± iB, AN ± iB, где B > 0
и AN = N +
1
4
. При таком выборе AN имеем αN < AN < αN+1, N < AN < N + 1 при
больших N, где B и AN впоследствии стремятся в бесконечность.
Поскольку g(z) — нечетная функция, интеграл по части контура, находящейся на мнимой
оси, равен нулю. Возьмем z = u+ iϑ, тогда при больших |ϑ| и u ≥ 0 g(z) будет иметь порядок
O
(
e(2x−2π)|ϑ|
)
, так что интегралы по верхней и нижней сторонам также стремятся к нулю при
B →∞.
Таким образом, получаем
1
2πi
lim
B→∞
AN+iB∫
AN−iB
g (z) dz = SN (x)− LN (x), (11)
где LN (x) =
∑N
m=1
cos 2mx
π
.
При N →∞
1
2πi
lim
B→∞
AN+iB∫
AN−iB
g(z)dz = − 1
2πi
AN+i∞∫
AN−i∞
2 cos 2zx
sin 2zπ
dz + ψ(AN , x),
где
ψ(ANx) = O
lim
B→∞
AN+iB∫
AN−iB
cos 2zx
z cos2 zπ
dz
.
Далее,
− 1
2πi
AN+i∞∫
AN−i∞
cos 2zx
sin 2zπ
dz = − 2
π
cos 2xAN
∞∫
0
ch 2xv
ch 2πv
dv = − 1
2π
cos 2xAN
cos
x
2
.
Оценим ψ(ANx) :
AN+iB∫
AN−iB
cos 2zx
z cos2 zπ
dz =
B∫
−B
cos(2xAN + 2xiv)
(AN + iv)(1 + cos 2π(AN + iv)
idv =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
132 Н. М. АСЛАНОВА, М. БАЙРАМОГЛЫ
=
B∫
−B
(AN − iv) cos(2xAN + 2xiv)
(A2
N + v2)
(
1 +
sh 2v
i
) idv =
=
B∫
−B
(AN − iv)
(
1− sh 2v
i
)
cos(2xAN + 2xiv)
(A2
N + v2)(1 + sh2 2vπ)
idv =
= 2
B∫
0
AN cos 2xAN ch 2xv(
A2
N + v2
)
(1 + ch 4vπ)
idv + 2
B∫
0
v cos 2xAN ch 2xv
(A2
N + v2)(1 + ch 4vπ)
dv−
−2
B∫
0
AN sh 2v sin(2xAN ) sh 2xv
(A2
N + v2)(1 + ch 4vπ)
dv − 2
B∫
0
v sin(2xAN ) sh 2xv
(A2
N + v2)(1 + ch 4vπ)
dv. (12)
Имеем ∣∣∣∣∣∣
B∫
0
AN cos 2xAN ch 2xv(
A2
N + v2
)
(1 + ch 4vπ)
dv
∣∣∣∣∣∣ < 1
AN
∞∫
0
sh 2xv
ch 4vπ
dv <
1
AN
π
8
sec
πx
4
, (13)
∣∣∣∣∣∣
B∫
0
v cos 2xAN ch 2xv(
A2
N + v2
)
(1 + ch 4vπ)
dv
∣∣∣∣∣∣ <
B∫
0
v cos 2xAN ch 2xv
2ANv(1 + ch 4vπ)
dv <
<
1
2AN
∞∫
0
ch 2xv
ch 4vπ
dv =
1
2AN
1
8
sec
x
4
, (14)
∣∣∣∣∣∣
B∫
0
v sin(2xAN ) sh 2xvdv(
A2
N + v2
)
(1 + ch 4vπ)
dv
∣∣∣∣∣∣ < const
AN
sec
x
4
. (15)
Взяв B =
√
AN , получим∣∣∣∣∣∣
B∫
0
AN sh 2v sin(2xAN ) sh 2xv
(A2
N + v2)(1 + ch 4vπ)
dv
∣∣∣∣∣∣ <
B∫
0
AN
A2
N + v2
dv = arctg
1√
AN
. (16)
Из (12) – (16) получаем, что
lim
N→∞
ψ(ANx) = 0. (17)
Из соотношения [7, с. 157]∫
cos (2n+ 1)x
cosx
dx = 2
n∑
k=1
(−1)n−k sin 2kx
2k
+ (−1)n x (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННОМ СЛЕДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА . . . 133
имеем ∫ cos (4N + 1)
x
2
cos
x
2
dx = 4
2N∑
k=1
(−1)2N−k sin kx
2k
+ x,
так что
lim
N→∞
−
π∫
0
1
2π
cos 2xAN
cos
x
2
pk(x)dx = − 1
2π
lim
N→∞
π∫
0
cos
(
2N +
1
2
)
x
cos
x
2
pk(x)dx =
= − 1
2π
lim
N→∞
π∫
0
cos(4N + 1)
x
2
cos
x
2
[
pk(x)− pk(π) + pk(π)
]
dx =
= − 1
2π
lim
N→∞
π∫
0
(x− π) cos(4N + 1)
x
2
cos
x
2
pk(x)− pk(π)
x− π
dx−
− 1
2π
lim
N→∞
π∫
0
cos(4N + 1)
x
2
cos
x
2
pk(π)dx. (19)
Из условия 1 получаем
lim
N→∞
π∫
0
(x− π) cos(4N + 1)
x
2
cos
x
2
pk(x)− pk(π)
x− π
dx = 0,
а из (18) имеем
− 1
2π
lim
N→∞
π∫
0
cos(4N + 1)
x
2
cos
x
2
pk(π)dx = −1
2
pk(π). (20)
С другой стороны,
lim
N→∞
π∫
0
LN (x)pk(x)dx =
∞∑
m=1
π∫
0
cos 2mx
π
pk(x)dx =
=
1
4
∞∑
m=1
2
π
cosm · 0
π∫
0
pk(x) cosmxdx+
∞∑
m=1
2
π
cosmπ
π∫
0
pk(x) cosmxdx
=
=
pk(0) + pk(π)
4
. (21)
Учитывая (17), (19), (20), (21) в (11), находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
134 Н. М. АСЛАНОВА, М. БАЙРАМОГЛЫ
lim
N→∞
π∫
0
SN (x) pk(x)dx =
pk(0) + pk(π)
4
− pk(π)
2
=
pk(0)− pk(π)
4
.
Таким образом,
∞∑
k=1
∞∑
m=1
2αm
2αmπ − sin 2αmπ
π∫
0
cos 2αmxpk(x)dx =
∞∑
k=1
pk(0)− pk(π)
4
. (22)
Итак, с учетом (22) в (10) для регуляризованного следа оператора L получим формулу
lim
nm→∞
nm∑
n=1
(λn − µn) =
∞∑
k=1
[
pk(π)− qk(0)
4
]
. (23)
Теорема доказана.
Замечание. В частности, если p(0), p(π) ∈ σ1, то формула (23) принимает вид
lim
nm→∞
nm∑
n=1
(λn − µn) =
tr p (π)− tr p(0)
4
.
1. Байрамоглы М. О регуляризованном следе дифференциального оператора 2n-го порядка с неограниченным
операторным коэффициентом // Спектральная теория дифференциальных операторов и ее применение. – 1987. –
№ 8. – С. 15 – 40.
2. Erdal Cul. The trace formula for a differential operator of fourth order with bounded operator coefficients and two
terms // Turk. J. Math. – 2004. – 28. – P. 231 – 254.
3. Дубровский В. В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных
операторов, заданных на компактных многообразиях // Дифференц. уравнения. – 1991. – 27, № 12. – С. 2164 –
2166.
4. Алмамедов М. С., Байрамоглы М., Катанова В. И. Формулы следов для дифференциального уравнения четного
порядка с неограниченным операторным коэффицентом // Докл. АН СССР. – 1991. – 317, № 3. – C. 521 – 529.
5. Садовничий В. А., Подольский В. Б. Следы операторов // Успехи мат. наук. – 2006. – 61, № 5. – С. 89 – 156.
6. Горбачук В. И. Об асимптотике собственных значений граничных для дифференциальных уравнений в прост-
ранстве вектор-функций // Укр. мат. журн. – 1975. – 27, № 5. – С. 657 – 663.
7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 c.
Получено 20.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2116 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:00Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/81b0710ffddc16d540f036fb06a504f8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21162019-12-05T10:24:29Z On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient Об обобщенном регуляризованном следе дифференциального оператора четвертого порядка с операторным коэффициентом Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. We deduce a formula for the trace of a boundary-value problem with unbounded operator coefficient and boundary conditions depending on the parameter. Отримано формулу сліду для крайової задачi з необмеженим операторним коєФіцієнтом і граничними умовами, що залежать від параметра. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2116 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 1 (2014); 128–134 Український математичний журнал; Том 66 № 1 (2014); 128–134 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2116/1234 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2116/1235 Copyright (c) 2014 Aslanova N. M.; Bairamogly M. |
| spellingShingle | Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient |
| title | On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient |
| title_alt | Об обобщенном регуляризованном следе дифференциального оператора четвертого порядка с операторным коэффициентом |
| title_full | On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient |
| title_fullStr | On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient |
| title_full_unstemmed | On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient |
| title_short | On Generalized Regularized Trace of a Fourth-Order Differential Operator with Operator Coefficient |
| title_sort | on generalized regularized trace of a fourth-order differential operator with operator coefficient |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2116 |
| work_keys_str_mv | AT aslanovanm ongeneralizedregularizedtraceofafourthorderdifferentialoperatorwithoperatorcoefficient AT bairamoglym ongeneralizedregularizedtraceofafourthorderdifferentialoperatorwithoperatorcoefficient AT aslanovahm ongeneralizedregularizedtraceofafourthorderdifferentialoperatorwithoperatorcoefficient AT bajramoglym ongeneralizedregularizedtraceofafourthorderdifferentialoperatorwithoperatorcoefficient AT aslanovahm ongeneralizedregularizedtraceofafourthorderdifferentialoperatorwithoperatorcoefficient AT bajramoglym ongeneralizedregularizedtraceofafourthorderdifferentialoperatorwithoperatorcoefficient AT aslanovanm obobobŝennomregulârizovannomslededifferencialʹnogooperatoračetvertogoporâdkasoperatornymkoéfficientom AT bairamoglym obobobŝennomregulârizovannomslededifferencialʹnogooperatoračetvertogoporâdkasoperatornymkoéfficientom AT aslanovahm obobobŝennomregulârizovannomslededifferencialʹnogooperatoračetvertogoporâdkasoperatornymkoéfficientom AT bajramoglym obobobŝennomregulârizovannomslededifferencialʹnogooperatoračetvertogoporâdkasoperatornymkoéfficientom AT aslanovahm obobobŝennomregulârizovannomslededifferencialʹnogooperatoračetvertogoporâdkasoperatornymkoéfficientom AT bajramoglym obobobŝennomregulârizovannomslededifferencialʹnogooperatoračetvertogoporâdkasoperatornymkoéfficientom |