Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration
We study the problem for a second-order linear parabolic equation with nonlocal integral condition in the time variable and power singularities in the coefficients of any order with respect to the time and space variables. By using the maximum principle and a priori estimates, we establish the exist...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2124 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508058595098624 |
|---|---|
| author | Isaryuk, I. M. Pukalskyi, I. D. Ісарюк, I. М. Пукальський, І. Д. |
| author_facet | Isaryuk, I. M. Pukalskyi, I. D. Ісарюк, I. М. Пукальський, І. Д. |
| author_sort | Isaryuk, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:43Z |
| description | We study the problem for a second-order linear parabolic equation with nonlocal integral condition in the time variable and power singularities in the coefficients of any order with respect to the time and space variables. By using the maximum principle and a priori estimates, we establish the existence and uniqueness of the solution of this problem in Hölder spaces with power weights. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
I. М. Iсарюк, I. Д. Пукальський (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ПРО НЕЛОКАЛЬНУ ПАРАБОЛIЧНУ ЗАДАЧУ З ВИРОДЖЕННЯМ
We study the problem for a second-order linear parabolic equation with a nonlocal integral condition in the time variable
and power singularities in the coefficients of any order with respect to the time and space variables. By using the maximum
principle and a priori estimates, we establish the existence and uniqueness of the solution of this problem in Hölder spaces
with power weights.
Рассмотрена задача для линейного параболического уравнения второго порядка с нелокальным интегральным усло-
вием по временной переменной и степенными особенностями в коэффициентах произвольного порядка как по
временной, так и по пространственных переменных. С помощью принципа максимума и априорных оценок уста-
новлены существование и единственность решения поставленной задачи в гельдеровых пространствах со степенным
весом.
Рiвняння з виродженнями за просторовими змiнними описують рiзнi процеси. Зокрема, рiвнян-
ням iз сингулярним оператором Бесселя у тiлах iз симетрiєю моделюються дифузiйнi процеси
та радiальнi коливання. Дослiдженню крайових задач з виродженнями та особливостями для
рiвнянь iз частинними похiдними присвячено працi [1 – 5]. У працi [6] побудовано теорiю
класичних розв’язкiв задачi Кошi та крайових задач для рiвномiрно параболiчних рiвняь, якi
мають степеневi особливостi обмеженого порядку на межi областi в коефiцiєнтах при молодших
похiдних.
Класичну розв’язнiсть основних задач математичної фiзики з нелокальною умовою за ча-
совою змiнною для рiвномiрно параболiчних рiвнянь встановлено в [7]. Дослiдження крайових
задач з нелокальними умовами для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними сти-
мулювалося рiзними обставинами, зокрема розв’язання обернених задач для рiвнянь тепло-
провiдностi [8], задач iз теорiї фiзики плазми [9]. Нелокальним крайовим задачам присвячено
працi [10 – 12]. Дослiдження загальної параболiчної крайової задачi з iнтегральними умовами
для рiвняння з гладкими коефiцiєнтами наведено у статтi [13].
У данiй статтi розглядається задача для лiнiйного параболiчного рiвняння другого порядку
з нелокальною iнтегральною умовою за часовою змiнною i степеневими особливостями до-
вiльного порядку у коефiцiєнтах за часом та просторовими змiнними. За допомогою принципу
максимуму та апрiорних оцiнок встановлено iснування та єдинiсть розв’язку поставленої задачi
у гельдерових просторах зi степеневою вагою.
1. Постановка задачi й основнi обмеження. Нехай t0, T — фiксованi додатнi числа, t0 < T,
(x1, . . . , xn) — координати точки x ∈ Rn, Ωj = {x, x ∈ Rn, xj = 0}, Ω =
n⋃
j=1
Ωj , Π(0) =
=
{
(t, x)|t ∈ [0, T ), x ∈ Ω
}⋃{
(t, x)|t = t0, x ∈ Rn
}
.
В областi Π = Rn × [0, T ) розглянемо задачу знаходження функцiї u(t, x), яка при (t, x) ∈
∈ Π \Π(0) задовольняє рiвняння
(Lu)(t, x) =
∂t − n∑
ij=1
Aij(t, x)∂xi∂xj −
n∑
i=1
Ai(t, x)∂xi −A0(t, x)
u(t, x) =
= f(t, x) (1)
c© I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, 2014
208 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
ПРО НЕЛОКАЛЬНУ ПАРАБОЛIЧНУ ЗАДАЧУ З ВИРОДЖЕННЯМ 209
i нелокальну умову за часовою змiнною
u(0, x) +
T∫
0
g(τ, x)u(τ, x)dτ = ϕ(x). (2)
Виродження коефiцiєнтiв рiвняння (1) у точцi P (t, x) ∈ Π \ Π(0) будуть характеризувати
функцiї s(βi;P ) = s1(β
(1)
i , t)s2
(
β
(2)
i , xi
)
, де s1
(
β
(1)
i , t
)
= |t − t0|β
(1)
i при |t − t0| ≤ 1 i
s1(β
(1)
i , t) = 1 при |t− t0| ≥ 1; s2
(
β
(2)
i , xi
)
= |xi|β
(2)
i при |xi| ≤ 1; s2
(
β
(2)
i , xi
)
= 1 при |xi| ≥ 1;
βi ∈
{
β
(1)
i , β
(2)
i
}
, β
(ν)
i ∈ (−∞,∞), β
(ν)
i — дiйснi числа, ν ∈ {1, 2}.
Позначимо через l, γ(ν), µ(ν)j , α дiйснi числа, ν ∈ {1, 2}, j ∈ {0, . . . , n}, γ(ν) ≥ 0, [l] — цiла
частина l.НехайD — довiльна замкнена пiдобластьRn, Q = D×[0, T ), Q̄ ⊂ Π,
(
x
(1)
1 , . . . , x
(1)
i , . . .
. . . , x
(1)
n
)
— координати точки x(1) областi D̄,
(
x
(1)
1 , . . . , x
(1)
i−1, x
(2)
i , x
(1)
i+1 . . . , x
(1)
n
)
— координа-
ти точки x(2) областi D̄, P1
(
t1, x
(1)
)
, P2
(
t2, x
(2)
)
, Hi
(
t1, x
(2)
)
— довiльнi точки областi Q,
S(γ;P ) = s1
(
γ(1), t
)
mini
{
s2(γ
(2);xi)
}
.
Визначимо функцiональнi простори, в яких буде розглядатися задача (1), (2).
C l(γ, β, a; Π) — множина функцiй простору L1(Q), якi мають частиннi похiднi в Q̄ вигляду
∂jt ∂
k
xu, 2j + |k| ≤ [l], i скiнченне значення норми
‖u; γ;β; a; Π‖l = ‖u; γ;β; a; Π‖[l] + 〈u; γ;β; a; Π〉l,
де, наприклад,
‖u; γ, β; 0; Π‖0 = sup
Q
|u| ≡ ‖u;Q‖0,
〈u; γ, β; a; Π〉l =
∑
2j+|k|=[l]
n∑
i=1
sup
(P1,Hi)⊂Q
∣∣∣x(1)i − x(2)i ∣∣∣−{l}×
×
∣∣∣∂jt ∂kxu(P1)− ∂jt ∂kxu(Hi)
∣∣∣S(lγ; P̃ )s1
(
−{l}β(1)i , t1
)
s2
(
−{l}β(2)i , x̃i
)
×
×
n∏
r=1
s2
(
−krβ(2)r , x̃r
)
s1
(
−krβ(1)r , t1
)
+
∑
2j+|k|=[l]
n∑
i=1
sup
(P2,Hi)⊂Q
|t1 − t2|−{l/2}×
×S(lγ; P̃ )
∣∣∣∂jt ∂kxu(P2)− ∂jt ∂kxu(Hi)
∣∣∣ n∏
r=1
s2
(
−krβ(2)r , x(2)r
)
s1
(
−krβ(1)r , t2
)
.
Тут S(aγ; P̃ ) = min
{
S(aγ;P1), S(aγ;P2), S(aγ;Hi)
}
, s2(a, x̃i) = min
{
s2
(
a, x
(1)
i
)
, s2
(
a, x
(2)
i
)}
,
∂kx = ∂k1x1 . . . ∂
kn
xn , |k| = k1 + . . .+ kn.
Дослiдження задачi (1), (2) будемо проводити за таких умов:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
210 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
а) для довiльного вектора ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) виконується нерiвнiсть
π1|ξ|2 ≤
n∑
ij=1
s(βi;P )s(βj ;P )Aij(P )ξiξj ≤ π2|ξ|2,
де π1, π2 — фiксованi додатнi сталi, s(βi;P )s(βj ;P )Aij(P ) ∈ Cα(γ;β; 0; Π), s(µi;P )Ai(P ) ∈
∈ Cα(γ;β; 0; Π), s(µ0;P )A0(P ) ∈ Cα(γ;β; 0; Π), A0 ≤ K <∞, K — стала,
γ(ν) = max
{
max
i
(
1 + β
(ν)
i
)
,max
i
(
µ
(ν)
i − β
(ν)
i
)
, 2−1µ
(ν)
0
}
;
б) f ∈ Cα(γ;β;µ0; Π), ϕ ∈ C(2+α)(γ̃; β̃; 0;Rn), γ̃ =
(
0, γ(2)
)
, β̃ =
(
0, β(2)
)
, g ∈ C2+α(Π),∫ T
0
∣∣g(τ, x)
∣∣e−λτdτ ≤ λ0 < 1, де λ — довiльне число, яке задовольняє нерiвнiсть λ < −K.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай для задачi (1), (2) виконано умови а), б). Тодi iснує єдиний розв’язок
задачi (1), (2) у просторi C2+α(γ, β; 0; Π) i для нього має мiсце оцiнка
‖u; γ;β; 0; Π‖2+α ≤ c
(
‖f ; γ;β;µ0; Π‖α + ‖ϕ; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α
)
. (3)
Для дослiдження задачi (1), (2) побудуємо послiдовнiсть розв’язкiв задач з гладкими коефi-
цiєнтами, граничне значення якої буде розв’язком задачi (1), (2).
Оцiнка розв’язкiв задач iз гладкими коефiцiєнтами. Нехай
Πm = Π ∩
{
(t, x) ∈ Π
∣∣∣s1(1, t) ≥ m−11 , s2(1, xi) ≥ m−12
}
,
m = (m1,m2), m1 ≥ 1, m2 ≥ 1
— послiдовнiсть областей, яка збiгається до Π при m1 →∞, m2 →∞. Розглянемо в областi Π
задачу знаходження функцiї um(t, x), яка задовольняє рiвняння
(L1um)(t, x) =
∂t − n∑
ij=1
aij(t, x)∂xi∂xj −
n∑
i=1
ai(t, x)∂xi − a0(t, x)
um(t, x) = fm(t, x) (4)
i нелокальну умову
um(0, x) +
T∫
0
g(τ, x)um(τ, x)dτ = ϕm(x). (5)
В областi Πm коефiцiєнти диференцiального виразу L1 збiгаються з коефiцiєнтами виразу
L, а функцiї fm = f, ϕm = ϕ.
В областi Π \ Πm коефiцiєнти aij , ai, a0 i функцiї fm, ϕm є неперервним продовженням
коефiцiєнтiв Aij , Ai, A0 i функцiй f, ϕ iз областi Πm [15, с. 83].
В задачi (4), (5) виконаємо замiну
um(t, x) = vm(t, x)e−λt,
де λ задовольняє умову б). Тодi vm(t, x) задовольняє рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
ПРО НЕЛОКАЛЬНУ ПАРАБОЛIЧНУ ЗАДАЧУ З ВИРОДЖЕННЯМ 211(
(L1 − λ)vm
)
(t, x) = fm(t, x)eλt (6)
i нелокальну умову
vm(0, x) +
T∫
0
g(τ, x)e−λτvm(τ, x)dτ = ϕm(x). (7)
Iснування розв’язку задачi (6), (7) у просторi C2+α(Π) обґрунтовується за схемою доведення
теореми 2.11 [4, с. 66].
Знайдемо оцiнку розв’язку vm(t, x). У просторi C2+α(Π) введемо норму ‖vm; γ;β; a; Π‖l,
еквiвалентну при кожному фiксованому (m1,m2) гельдеровiй нормi, яка визначається так са-
мо, як i ‖u; γ;β; a; Π‖l, тiльки замiсть функцiй s(βi;P ), S(γ;P ) беремо вiдповiдно d(βi;P ),
R(γ;P ), де d(βi;P ) = d1
(
β
(1)
i , t
)
d2
(
β
(2)
i , xi
)
, d1
(
β
(1)
i , t
)
= max
(
s1(β
(1)
i , t),m
−β(1)
i
1
)
при
β
(1)
i ≥ 0 i d1
(
β
(1)
i , t
)
= min
(
s1(β
(1)
i , t),m
−β(1)
i
1
)
при β
(1)
i ≤ 0; d2
(
β
(2)
i , xi
)
= max
(
s2(β
(2)
i ,
xi),m
−β(2)
i
2
)
при β(2)i ≥ 0 i d2
(
β
(2)
i , xi
)
= min
(
s2(β
(2)
i , xi),m
−β(2)
i
2
)
при β(2)i < 0; R(γ;P ) =
= mini
{
d2(γ
(2), xi)
}
d1(γ
(1), t).
Для розв’язку задачi (6), (7) справджується така теорема.
Теорема 2. Нехай vm — класичний розв’язок задачi (6), (7) в областi Π i виконано умови
а), б). Тодi для vm(t, x) має мiсце оцiнка
|vm| ≤ max
∥∥∥fmeλt(−λ− a0)−1; Π
∥∥∥
0
,
∥∥∥∥∥∥∥ϕm
1−
T∫
0
∣∣g(τ, x)
∣∣e−λτdτ
−1 ;Rn
∥∥∥∥∥∥∥
0
. (8)
Нерiвнiсть (8) доводиться за схемою доведення теореми 2.1 iз [14, с. 22], тобто аналiзуються
всi можливi значення додатного максимуму i вiд’ємного мiнiмуму розв’язку vm(t, x).
Вiдмiннiсть наявна лише у випадку, коли supQ |vm| = supD |vm| = |vm(0, x(3)|. Використо-
вуючи умову (7), маємо рiвнiсть
vm
(
0, x(3)
)
+
T∫
0
g
(
τ, x(3)
)
e−λτvm
(
τ, x(3)
)
dτ = ϕm
(
x(3)
)
,
з якої випливає нерiвнiсть
∣∣∣vm(0, x(3))
∣∣∣ ≤
∥∥∥∥∥∥∥ϕm
1−
T∫
0
∣∣g(τ, x)
∣∣e−λτdτ
−1 ;Rn
∥∥∥∥∥∥∥
0
.
Теорема 3. Якщо виконано умови теореми 1, то для розв’язку задачi (6), (7) виконується
нерiвнiсть
‖vm; γ;β; 0; Π‖2+α ≤ c
(
‖f ; γ;β;µ0; Π‖α + ‖ϕ; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α
)
. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
212 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
Доведення. Використовуючи означення норми та iнтерполяцiйнi нерiвностi iз [12, 15],
маємо
‖vm; γ;β; 0; Π‖2+α ≤ (1 + εα)〈vm; γ, β; 0; Π〉2+α + c(ε)‖vm; Π‖0,
де ε — довiльне дiйсне число, ε ∈ (0, 1). Тому досить оцiнити пiвнорму 〈vm; γ, β; 0; Π〉2+α. Iз
означення пiвнорми випливає iснування в Π точок P1, P2, Hi, для яких виконується одна iз
нерiвностей
λ1‖vm; γ;β; 0; Π‖2+α ≤ Eδ, δ ∈ {1, 2}, (10)
де
E1 =
∑
2j+|k|=2
n∑
i=1
∣∣x(1)i − x(2)i ∣∣−α∣∣∂jt ∂kxvm(Hi)− ∂jt ∂kxvm(P1)
∣∣×
×R
(
(2 + α)γ;P
) n∏
ν=1
d2
(
− kνβ(2)ν , x̃ν
)
d1
(
− kνβ(1)ν t(1)
)
×
×d1
(
(−α)β
(1)
i , t(1)
)
d2
(
− αβ(2)i , x̃i
)
,
E2 =
n∑
i=1
∑
2j+|k|=2
∣∣t(1) − t(2)∣∣−α/2∣∣∂jt ∂kxvm(P2)− ∂jt ∂kxvm(Hi)
∣∣×
×R
(
(2 + α)γ; P̃
) n∏
ν=1
d2
(
− kνβ(2)ν , xν
)
d1
(
− |k|β(1)i , t̃
)
,
λ1 ∈
(
1 + λ0
2
, 1
)
,
R(γ; P̃ ) = min
{
R(aγ;P (1)), R(aγ;P (2)), R(aγ;Hi)
}
,
d2(a, x̃i) = min
{
d2
(
a, x
(1)
i
)
, d2
(
a, x
(2)
i
)}
.
Якщо |t1 − t2| ≥ R(2γ; P̃ )
ε1
16
≡ T1, ε1 — довiльне число, ε1 ∈ (0, 1), то
E2 ≤ 2ε−α1 ‖vm; γ;β; 0; Π‖2. (11)
Якщо
∣∣∣x(1)i − x(2)i ∣∣∣ ≥ n−1R(γ; P̃ )d1
(
−β(1)i , t1
)
d2
(
−β(2)i , x̃i
)ε1
4
≡ T2, то
E1 ≤ 2ε−α1 ‖vm; γ;β; 0; Π‖2. (12)
Застосовуючи iнтерполяцiйнi нерiвностi до (11) i (12), знаходимо
Eδ ≤ εα‖vm; γ;β; 0; Π‖2+α + c(ε)‖vm; Π‖0. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
ПРО НЕЛОКАЛЬНУ ПАРАБОЛIЧНУ ЗАДАЧУ З ВИРОДЖЕННЯМ 213
Нехай
∣∣∣x(1)i − x(2)i ∣∣∣ ≤ T2 i |t1 − t2| ≤ T1. Будемо вважати, що R(γ; P̃ ) = R(γ;P1).
Запишемо задачу (6), (7) у виглядi
(L2vm)(t, x) =
∂t − n∑
ij=1
aij(P1)∂xi∂xj
vm =
=
n∑
ij=1
[
aij(P )− aij(P1)
]
∂xi∂xjvm +
n∑
i=1
ai(P )∂xivm +
(
a0(P )− λ
)
vm + fm(t, x)eλt ≡
≡ F (1)
m (t, x; vm) + fm(t, x)eλt, (14)
vm(0, x) = ϕm(x)−
T∫
0
g(τ, x)e−λτvm(τ, x)dτ ≡ Φm(x; vm). (15)
Нехай Vr — область iз Π, Vr =
{
(t, x) ∈ Π,
∣∣t − t(1)
∣∣ ≤ r2T1,
∣∣x(1)i − x
(2)
i
∣∣ ≤ rT2, i ∈
∈ {1, 2, . . . , n}
}
. В задачi (14), (15) виконаємо замiну vm(t, x) = ωm(t, y), yi = d(βi;P1)xi. В
результатi одержимо
(L3ωm)(t, y) =
∂t − n∑
ij=1
aij(P1)d(βi;P1)d(βj ;P1)∂yi∂yj
ωm ≡
≡ F (1)
m (t, ỹ;ωm) + fm(t, ỹ)eλt, (16)
ωm(0, y) = Φm(ỹ;ωm), (17)
де ỹ =
(
d(−β1;P1)x1, . . . , d(−βn;P1)xn
)
.
Позначимо y(1)i = d(βi;P1)x
(1)
i , V
(1)
r =
{
(t, y)
∣∣∣ |t − t(1)| ≤ rT1,
∣∣yi − y(1)i
∣∣ ≤ n−1r
√
T1, i ∈
∈ {1, . . . , n}
}
, i вiзьмемо тричi диференцiйовну функцiю η(t, y), яка задовольняє умови
η(t, y) =
1, (t, y) ∈ V (1)
1/4 , 0 ≤ η(t, y) ≤ 1,
0, (t, y) 6∈ V (1)
3/4 , |∂jt ∂kyη| ≤ cjkR
(
− (2j + |k|)γ;P1
)
.
Тодi функцiя Wm(t, y) = ωm(t, y)η(t, y) буде розв’язком задачi Кошi
(L3Wm)(t, y) =
n∑
ij=1
aij(P1)d(βi;P1)d(βj ;P1)
[
∂yjη∂yiωm + ∂yiη∂yjωm
]
+
+ωm
n∑
ij=1
aij(P1)d(βi;P1)d(βj ;P1)∂yi∂yjη − ∂tη
+
+η
(
F (1)
m + fme
λt
)
≡ F (2)
m (t, ỹ; η;ωm) + ηfme
λt, (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
214 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
Wm(0, y) = ηΦm(ỹ;ωm). (19)
Згiдно з теоремою 5.1 iз [14, с. 364], для розв’язку задачi (18), (19) виконується нерiвнiсть
d−α(M1,M2)
∣∣∣∂jt ∂kyWm(M1)− ∂jt ∂kyWm(M2)
∣∣∣ ≤
≤ c
(∥∥∥F (2)
m + ηfme
λt
∥∥∥
Cα(V
(1)
3/4
)
+ ‖Φmη‖C2+α(V
(1)
3/4
)
)
, (20)
де (M1,M2) ∈ V (1)
1/4 , d(M1,M2) — параболiчна вiдстань мiж точками M1 i M2, 2j + |k| = 2.
Враховуючи властивостi функцiї η(t, y), знаходимо∥∥∥F (2)
m + ηfme
λt
∥∥∥
Cα(V
(1)
3/4
)
≤ cR
(
−(2 + α)γ;P1
)(∥∥∥ωm; γ; 0; 0;V
(1)
3/4
∥∥∥
2
+
+
∥∥∥ωm;V
(1)
3/4
∥∥∥
0
+
∥∥∥F (1)
m ; γ; 0; 2γ;V
(1)
3/4
∥∥∥
α
+
∥∥∥fm; γ; 0; 2γ;V
(1)
3/4
∥∥∥
α
)
, (21)
‖ηΦm‖C2+α(V
(1)
3/4
)
≤ cR
(
−(2 + α)γ;P1
)∥∥∥Φm; γ; 0; 0;V
(1)
3/4
∥∥∥
2+α
. (22)
Пiдставляючи (21), (22) у (20) i повертаючись до змiнних (t, x), одержуємо
Eδ ≤ c1(‖F (1)
m ; γ;β; 2γ;V3/4‖α + ‖Φm; γ;β; 0;V3/4‖2+α + ‖ωm;V3/4‖0 + ‖vm; γ;β; 0;V3/4‖2.
(23)
Враховуючи iнтерполяцiйнi нерiвностi i оцiнки норм кожного доданка виразiв F (1)
m , Φm, маємо
Eδ ≤
(
λ0 + εα(n+ 2) + (ε1n)2
)
‖vm; γ;β; 0;V3/4‖2+α + c1‖vm;V3/4‖0+
+c3
(
‖fm; γ;β; 2γ; Π‖α + ‖ϕm; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α
)
. (24)
Використовуючи нерiвностi (8), (10), (13), (24) i вибираючи ε, ε1 досить малими, одержуємо
оцiнку
‖vm; γ;β; 0; Π‖2+α ≤ c2
(
‖fm; γ;β; 2γ; Π‖α + ‖ϕm; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α
)
. (25)
Оскiльки ‖fm; γ;β; 2γ; Π‖α ≤ c‖f ; γ;β;µ0; Π‖α, ‖ϕm; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α ≤ c‖ϕ; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α, то
з нерiвностi (25) випливає нерiвнiсть (8).
Доведення теореми 1. На пiдставi замiни vm = ume
λt i нерiвностi (8) для розв’язкiв задачi
(4), (5) справджується оцiнка
‖um; γ;β; 0; Π‖2+α ≤ c3
(
‖f ; γ;β;µ0; Π‖α + ‖ϕ; γ̃; β̃; 0;Rn‖2+α
)
,
права частина якої не залежить вiд m = (m1,m2). Крiм того, послiдовностi
{
U
(0)
m
}
=
{
um},{
U
(1)
m
}
=
{
d(γ−βi;P )∂xium(P )
}
,
{
U
(2)
m
}
=
{
R(2γ;P )∂tum(P )
}
,
{
U
(3)
m
}
=
{
d(γ−βi;P )d(γ−
−βj ;P )∂xi∂xjum(P )
}
рiвномiрно обмеженi i рiвностепенево неперервнi в областi Q. За теоре-
мою Арчела iснують пiдпослiдовностi {Uνm̃k}, рiвномiрно збiжнi в Q до {U (ν)
(0) }, ν ∈ {0, 1, 2, 3}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
ПРО НЕЛОКАЛЬНУ ПАРАБОЛIЧНУ ЗАДАЧУ З ВИРОДЖЕННЯМ 215
Оскiльки Q — довiльна область, Q ⊂ Π, то, переходячи до границi при m1k → ∞, m2k → ∞
в задачi (4), (5), переконуємося, що u(t, x) = U
(0)
(0) — єдиний розв’язок задачi (1), (2), u ∈
∈ C2+α(γ;β; 0; Π), m̃k = (m1k,m2k).
1. Бицадзе А. Б Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. – М.: Наука, 1966. – 292 с.
3. Dziubarski J. Note on H1 spaces related to degenerate Schrödinger operators // J. Math. – 2005. – 49, № 4. –
P. 1271 – 1257.
4. Han Pigong. Asymptotic behavior of solutions to semilinear elliptic equations with Harby potential // Proc. Amer.
Math. Soc. – 2007. – 135, № 2. – P. 365 – 372.
5. Базалий Б. В., Краснощек Н. В. Классическая разрешимость начально-краевой задачи для нелинейного сильно
вырождающегося параболического уравнения // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 10. – С. 1299 – 1320.
6. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
7. Chabrowski I. One non-local problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. – 1984. – 93. – P. 109 – 131.
8. Вабищевич П. Н. Нелокальная параболическая задача и обратные задачи теплопроводности // Дифференц.
уравнения. – 1981. – 17, № 7. – С. 1183 – 1199.
9. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач
// Докл. АН СССР. – 1989. – 185, № 4. – С. 739 – 740.
10. Матiйчук М. I. Параболiчнi та елiптичнi задачi з особливостями. – Чернiвцi: Прут, 2003. – 248 с.
11. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
12. Пукальський I. Д. Крайовi задачi для нерiвномiрно параболiчних та елiптичних рiвнянь з виродженнями i
особливостями. – Чернiвцi: Рута, 2008. – 253 с.
13. Матiйчук М. I., Губка А. О. Загальна параболiчна крайова задача з iнтегральними умовами // Наук. вiсн.
Чернiв. нац. ун-ту: Зб. наук. праць. Математика. – 2005. – Вип. 269. – С. 26 – 35.
14. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
15. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 427 с.
Одержано 12.02.13,
пiсля доопрацювання — 28.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2124 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:10Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/b88102d67fa5e77bc87b452acb89db44.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21242019-12-05T10:24:43Z Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration Про нелокальну параболічну задачу з виродженням Isaryuk, I. M. Pukalskyi, I. D. Ісарюк, I. М. Пукальський, І. Д. We study the problem for a second-order linear parabolic equation with nonlocal integral condition in the time variable and power singularities in the coefficients of any order with respect to the time and space variables. By using the maximum principle and a priori estimates, we establish the existence and uniqueness of the solution of this problem in Hölder spaces with power weights. Рассмотрена задача для линейного параболического уравнения второго порядка с нелокальным интегральным условием по временной переменной и степенными особенностями в коэффициентах произвольного порядка как по временной, так и по пространственных переменных. С помощью принципа максимума и априорных оценок установлены существование и единственность решения поставленной задачи в гельдеровых пространствах со степенным весом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2124 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 2 (2014); 208–215 Український математичний журнал; Том 66 № 2 (2014); 208–215 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2124/1250 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2124/1251 Copyright (c) 2014 Isaryuk I. M.; Pukalskyi I. D. |
| spellingShingle | Isaryuk, I. M. Pukalskyi, I. D. Ісарюк, I. М. Пукальський, І. Д. Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration |
| title | Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration |
| title_alt | Про нелокальну параболічну задачу з виродженням |
| title_full | Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration |
| title_fullStr | Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration |
| title_full_unstemmed | Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration |
| title_short | Nonlocal Parabolic Problem with Degeneration |
| title_sort | nonlocal parabolic problem with degeneration |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2124 |
| work_keys_str_mv | AT isaryukim nonlocalparabolicproblemwithdegeneration AT pukalskyiid nonlocalparabolicproblemwithdegeneration AT ísarûkim nonlocalparabolicproblemwithdegeneration AT pukalʹsʹkijíd nonlocalparabolicproblemwithdegeneration AT isaryukim pronelokalʹnuparabolíčnuzadačuzvirodžennâm AT pukalskyiid pronelokalʹnuparabolíčnuzadačuzvirodžennâm AT ísarûkim pronelokalʹnuparabolíčnuzadačuzvirodžennâm AT pukalʹsʹkijíd pronelokalʹnuparabolíčnuzadačuzvirodžennâm |