Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives
We solve the following extremal problems: (i) \( {\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{L_q\left[\alpha, \beta \right]}\to \sup \) and (ii) \( {\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{W_q}\to \sup \) over all shifts of splines of order r with minimal defect and nodes at the points lh, l ∈ Z , such that L(...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2125 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508057505628160 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. О. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. О. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:43Z |
| description | We solve the following extremal problems: (i) \( {\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{L_q\left[\alpha, \beta \right]}\to \sup \) and (ii) \( {\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{W_q}\to \sup \) over all shifts of splines of order r with minimal defect and nodes at the points lh, l ∈ Z , such that L(s) p ≤M in the cases: (a) k =0, q ≥ p >0, (b) k =1, . . . , r −1, q ≥ 1, where [α, β] is an arbitrary interval in the real line, $$ L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \mathbf{R},\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\} $$ and \( {\left\Vert \cdot \right\Vert}_{W_q} \) is the Weyl functional, i.e., $$ {\left\Vert x\right\Vert}_{W_q}:=\underset{\varDelta \to \infty }{ \lim}\underset{a\in \mathbf{R}}{ \sup }{\left(\frac{1}{\varDelta }{\displaystyle \underset{a}{\overset{a+\varDelta }{\int }}{\left|x(t)\right|}^qdt}\right)}^{1/q}. $$ As a special case, we get some generalizations of the Ligun inequality for splines. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ
НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ
We solve the following extremal problems: 1)‖s(k)‖Lq [α,β] → sup and 2) ‖s(k)‖Wq → sup over all shifts of splines of
order r and minimal defect with knots at the points lh, l ∈ Z, such that L(s)p ≤M in the cases: (a) k = 0, q ≥ p > 0,
(b) k = 1, . . . , r − 1, q ≥ 1, where [α, β] is an arbitrary interval in the real line,
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
and ‖ · ‖Wq is the Weyl functional, i.e.,
‖x‖Wq := lim
∆→∞
sup
a∈R
1
∆
a+∆∫
a
|x (t)|q dt
1/q
.
As a special case, we get some generalizations of the Ligun inequality for splines.
Розв’язано наступнi екстремальнi задачi: 1)‖s(k)‖Lq [α,β] → sup i 2)‖s(k)‖Wq → sup на просторi всiх зсувiв сплайнiв
порядку r мiнiмального дефекту з вузлами в точках lh, l ∈ Z, таких, щоL(s)p ≤M, у випадках: a) k = 0, q ≥ p > 0,
б) k = 1, . . . , r − 1, q ≥ 1, де [α, β] — довiльний вiдрiзок дiйсноı̈ осi,
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
,
а ‖ · ‖Wq — функцiонал Вейля, тобто
‖x‖Wq := lim
∆→∞
sup
a∈R
1
∆
a+∆∫
a
|x (t)|q dt
1/q
.
Зокрема, отримано деякi узагальнення нерiвностi Лигуна для сплайнiв.
1. Введение. Пусть G = R или G = [α, β] ⊂ R. Через Lp(G), 0 < p ≤ ∞, будем обозначать
пространство всех измеримых функций x : G→ R таких, что ‖x‖Lp(G) <∞, где
‖x‖Lp(G) :=
∫
G
|x (t)|p dt
1/p
, если 0 < p <∞,
vrai sup
t∈G
|x (t)| , если p =∞.
Вместо ‖x‖L∞(R) будем писать ‖x‖∞. Символом Lr∞, r ∈ N, будем обозначать пространство
всех функций x ∈ L∞(R), имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r−1)-
го порядка, причем x(r) ∈ L∞(R).
Будем говорить, что f ∈ L1
∞ является функцией сравнения для x ∈ L1
∞, если ‖x‖∞ ≤ ‖f‖∞
и из равенства x(ξ) = f(η), ξ, η ∈ R, вытекает неравенство |x′(ξ)| ≤ |f ′(η)|, если указанные
производные существуют.
Нечетную 2ω-периодическую функцию ϕ ∈ L1
∞ назовем S-функцией, если она обладает
свойствами: ϕ является четной относительно ω/2, |ϕ| — выпуклой вверх на [0, ω] и строго
монотонной на [0, ω/2]. Для k = 0, 1, 2, ... и S-функции ϕ ∈ Lk+1
∞ через Skϕ обозначим класс
функций x ∈ Lk+1
∞ таких, что ϕ(i) является функцией сравнения для x(i), i = 0, 1, , , , k.
c© В. А. КОФАНОВ, 2014
216 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ . . . 217
Пусть далее W — класс непрерывных, неотрицательных и выпуклых функций Φ на [0,∞)
таких, что Φ(0) = 0. Важнейшими примерами функций класса W являются функции Φ(t) = ts,
s ≥ 1. Для p > 0 положим [1]
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
. (1)
Заметим, что L(x)∞ = ‖x‖∞.
В работе [2] для произвольного отрезка [α, β] ⊂ R решена экстремальная задача
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt→ sup, Φ ∈W, p > 0, (2)
на классе функций S0
ϕ, удовлетворяющих условию L(x)p ≤ L(ϕ)p, и как следствие получено
решение задачи
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt→ sup, Φ ∈W, k = 1, 2, ..., (3)
на классах Skϕ. В частности, задачи (2) и (3) были решены на классах
{x ∈ Lr∞ : ‖x(r)‖∞ ≤ Ar, L(x)p ≤ A0}
и на ограниченных подмножествах пространств Tn (тригонометрических полиномов порядка
не выше n) и Sn,r (2π-периодических сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках kπ/n, k ∈
∈ Z). Отметим, что решение задачи (3) для непрерывно дифференцируемых положительных
функций Φ таких, что Φ(t)/t не убывает и Φ(0) = 0, было получено в работе Боянова и
Найденова [3]. В качестве следствия ими была решена задача Эрдеша [4] о характеризации
тригонометрического полинома с фиксированной равномерной нормой, график которого на
заданном отрезке [α, β] ⊂ R имеет максимальную длину.
Символом ϕr(t), r ∈ N, обозначим сдвиг r-го 2π-периодического интеграла с нулевым
средним значением на периоде от функции ϕ0 (t) = sgn sin t такой, что ϕ(0) = 0. Для λ > 0 по-
ложим ϕλ,r (t) := λ−rϕr (λt). Сплайны ϕλ,r (t) являются важнейшими примерами S-функций.
Для h > 0, r ∈ N, через σh,r обозначим множество полиномиальных сплайнов s ∈ L∞
порядка r дефекта 1 с узлами в точках kh, k ∈ Z. Таким образом, s(x) на каждом из отрезков
[kh, (k + 1)h] является алгебраическим многочленом порядка не выше r. Отметим, что Sn,r ⊂
⊂ σh,r при h = π/n, n ∈ N. Ясно, что для подходящего сдвига ϕλ,r(·+ τ) при λ = π/h имеет
место включение ϕλ,r(·+ τ) ∈ σh,r .
В настоящей работе получено обобщение (теорема 1) одного неравенства Магарил-Ильяева
[5] для сплайнов класса σh,r. С помощью теоремы 1 и результатов работы [2] для произвольного
отрезка [α, β] ⊂ R, заданных r ∈ N, A, h, p > 0 решена экстремальная задача
β∫
α
Φ(|s(k)(t)|p)dt→ sup, Φ ∈W,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
218 В. А. КОФАНОВ
на классе сдвигов сплайнов s ∈ σh,r, удовлетворяющих условию
L(s)p ≤ AL(ϕλ,r)p, λ = π/h, (4)
в следующих случаях: 1) k = 0, p > 0, 2) k = 1, ..., r − 1, p = 1 (теорема 2). Как след-
ствие решена задача (аналогичная проблеме Эрдeша) о характеризации сплайна s ∈ σh,r с
фиксированной равномерной нормой, график которого на заданном отрезке [α, β] ⊂ R имеет
максимальную длину (следствие 2).
Известно (см., например, [6]), что для функции x такой, что x ∈ Lq[a, b] для любых a, b ∈ R,
существует предел
lim
∆→∞
sup
a∈R
1
∆
a+∆∫
a
|x (t)|q dt
1/q
=: ‖x‖Wq . (5)
Функционал ‖x‖Wq используется при определении почти периодических в смысле Вейля функ-
ций [7]. Отметим, что неравенства для производных в пространствах Вейля изучались в работах
[8, 9]. С использованием результатов работы [9] и теоремы 1 в настоящей работе доказано точ-
ное неравенство (теорема 3)
∥∥∥s(k)
∥∥∥
Wq
≤
(π
h
)k+1/p
1
π
π∫
0
|ϕr−k(t)|qdt
1/q
L(s)p
L(ϕr)p
, s ∈ σh,r, (6)
и решена экстремальная задача
‖s(k)‖Wq → sup
на классе сплайнов s ∈ σh,r, удовлетворяющих условию (4), в случаях: 1) k = 0, q ≥ p > 0,
2) k = 1, ..., r − 1, q ≥ 1.
Отметим, что при h = π/n, n ∈ N, k > 0, q < p = ∞ неравенство (6) (для s ∈ Sn,r)
трансформируется в известное неравенство Лигуна [10] для 2π-периодических сплайнов, а при
q = p =∞ оно было доказано ранее В. М. Тихомировым [11].
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть r ∈ N, p > 0. Тогда для любой функции x ∈ Lr∞
‖x‖∞ ≤ ‖ϕr‖∞
(
L(x)p
L(ϕr)p
)α
‖x(r)‖1−α∞ ,
где α = r/(r + 1/p), а функционал L(x)p определен равенством (1).
Доказательство. Зафиксируем функцию x ∈ Lr∞ такую, что L(x)p < ∞. Положим Ar :=
:= ‖x(r)‖∞ и выберем λ > 0 так, чтобы
L(x)p = ArL(ϕλ,r)p. (7)
Используя очевидное равенство L(ϕλ,r)p = λ−(r+1/p)L(ϕr)p, из (7) имеем
λ−1 =
(
L(x)p
ArL(ϕr)p
) 1
r+1/p
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ . . . 219
В работе [12] (следствие 1) доказано, что из условия (7) для функции x ∈ Lr∞ следует неравен-
ство ‖x‖∞ ≤ Ar‖ϕλ,r‖∞ = Arλ
−r‖ϕr‖∞. Поэтому
‖x‖∞ ≤ Ar ‖ϕr‖∞
(
L(x)p
ArL(ϕr)p
) r
r+1/p
= ‖ϕr‖∞
(
L(x)p
L(ϕr)p
)α
‖x(r)‖1−α∞ .
Лемма 1 доказана.
Докажем теперь необходимую в дальнейшем модификацию следующего неравенства Магарил-
Ильяева [5] для непериодических сплайнов:∥∥∥s(r)
∥∥∥
∞
≤
(π
h
)r ‖s‖∞
‖ϕr‖∞
, s ∈ σh,r. (8)
Лемма 2. Пусть r ∈ N, p, h > 0. Тогда для любого сплайна s ∈ σh,r∥∥∥s(r)
∥∥∥
∞
≤
(π
h
)r+1/p L(s)p
L(ϕr)p
.
Доказательство. Зафиксируем сплайн s ∈ σh,r. Ясно, что s ∈ Lr∞. Поэтому, применяя к
нему неравенство (8) и оценивая далее норму ‖s‖∞ с помощью леммы 1, получаем∥∥∥s(r)
∥∥∥
∞
≤
(π
h
)r ( L(s)p
L(ϕr)p
)α
‖s(r)‖1−α∞ , α = r/(r + 1/p),
или ∥∥∥s(r)
∥∥∥α
∞
≤
(π
h
)r ( L(s)p
L(ϕr)p
)α
.
Отсюда непосредственно следует утверждение леммы 2, если учесть, что r/α = r + 1/p.
Ниже приведены необходимые в дальнейшем результаты работы [2].
Пусть ϕ — S-функция с периодом 2ω. Зафиксируем произвольный отрезок
[α, β] ⊂ R и p > 0. Следуя Боянову и Найденову [3], представим длину отрезка [α, β] в
виде
β − α = nω + 2Θ, Θ ∈ (0, ω), (9)
где n ∈ N или n = 0, и рассмотрим функцию ϕ(t+ τ), где τ выбрано так, что
|ϕ(α+ Θ + τ)| = |ϕ(β −Θ + τ)| = ‖ϕ‖∞. (10)
Теорема A [2]. Пусть ϕ — S-функция, [α, β] ⊂ R, p > 0, Φ ∈W . Тогда
sup
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt : x ∈ S0
ϕ, L(x)p ≤ L(ϕ)p
=
β∫
α
Φ(|ϕ(t+ τ)|p)dt,
где τ выбрано из условия (10).
Кроме того, если k ∈ N, ϕ ∈ Lk+1
∞ — S-функция, то
sup
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt : x ∈ Skϕ
=
β∫
α
Φ(|ϕ(k)(t+ τ + τk)|)dt,
где
τk :=
ω
4
(
1 + (−1)k+1
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
220 В. А. КОФАНОВ
Для функций, имеющих нули, справедлива также следующая теорема.
Теорема B [2]. Пусть r ∈ N, p > 0, Φ ∈ W . Если функция x ∈ Lr∞ и отрезок [α, β] ⊂ R
таковы, что L(x)p <∞ и x(α) = x(β) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt ≤ 1
π
π∫
0
Φ
( ∣∣∣∣∣
(
L(x)p
L(ϕr)p
) r
r+1/p
∥∥∥x(r)
∥∥∥ 1/p
r+1/p
∞
ϕr(t)
∣∣∣∣∣
p )
dt. (11)
Кроме того, если k = 1, . . . , r − 1, а функция x ∈ Lr∞ и отрезок [a, b] ⊂ R удовлетворяют
условию x(k)(a) = x(k)(b) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt ≤ 1
π
π∫
0
Φ
( (
L(x)p
L(ϕr)p
) r−k
r+1/p
∥∥∥x(r)
∥∥∥ k+1/p
r+1/p
∞
|ϕr−k(t)|
)
dt. (12)
3. Основные результаты.
Теорема 1. Пусть r ∈ N, k = 0, 1, . . . , r − 1, p > 0. Тогда для любого сплайна s ∈ σh,r∥∥∥s(k)
∥∥∥
∞
≤
(π
h
)k+1/p L(s)p
L(ϕr)p
‖ϕr−k‖∞ . (13)
Неравенство (13) является точным на классе σh,r и обращается в равенство для любого
сдвига s(·+ τ) сплайна s(t) = ϕλ,r(t), где λ = π/h.
Доказательство. При k = r теорема уже доказана (лемма 2).
Зафиксируем сплайн s ∈ σh,r и докажем (13) для остальных значений k.
Пусть сначала k = 0. Оценивая ‖s‖∞ с помощью леммы 1, а затем ‖s(r)‖∞− с помощью
леммы 2, получаем
‖s‖∞ ≤ ‖ϕr‖∞
(
L(s)p
L(ϕr)p
)α
‖s(r)‖1−α∞ ≤ ‖ϕr‖∞
(
L(s)p
L(ϕr)p
)α [(π
h
)r+1/p L(s)p
L(ϕr)p
]1−α
,
где α = r/(r + 1/p). Отсюда следует (13) при k = 0, если учесть, что (1− α)(r + 1/p) = 1/p.
Пусть теперь k = 1, ..., r − 1. Применим к сплайну s неравенство Колмогорова [13]:
∥∥∥s(k)
∥∥∥
∞
≤ ‖ϕr−k‖∞
(
‖s‖∞
‖ϕr‖∞
) r−k
r
∥∥∥s(r)
∥∥∥ kr
∞
.
Снова оценивая ‖s‖∞ с помощью леммы 1, находим
∥∥∥s(k)
∥∥∥
∞
≤ ‖ϕr−k‖∞
[(
L(s)p
L(ϕr)p
)α
‖s(r)‖1−α∞
] r−k
r ∥∥∥s(r)
∥∥∥ kr
∞
=
= ‖ϕr−k‖∞
(
L(s)p
L(ϕr)p
)α r−k
r
∥∥∥s(r)
∥∥∥ kr+(1−α) r−k
r
∞
.
Оценивая теперь ‖s(r)‖∞ с помощью леммы 2 и учитывая равенство
k
r
+ (1 − α)
r − k
r
=
= 1− αr − k
r
, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ . . . 221
∥∥∥s(k)
∥∥∥
∞
≤ ‖ϕr−k‖∞
(
L(s)p
L(ϕr)p
)α r−k
r
[(π
h
)r+1/p L(s)p
L(ϕr)p
]1−α r−k
r
=
= ‖ϕr−k‖∞
(π
h
)(r+1/p)(1−α r−k
r
) L(s)p
L(ϕr)p
.
Отсюда следует (13), если учесть, что(
r +
1
p
)(
1− αr − k
r
)
=
(
r +
1
p
)(
1− r
r + 1/p
· r − k
r
)
=
=
(
r +
1
p
)(
1− r − k
r + 1/p
)
=
(
r +
1
p
)
k + 1/p
r + 1/p
= k +
1
p
.
Точность неравенства (13) легко проверяется с помощью равенства L(ϕλ,r)p =
= λ−(r+1/p)L(ϕr)p.
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. При h = π/n, n ∈ N, k > 0, p = ∞ неравенство (13) (для s ∈ Sn,r) было
доказано в [11].
Для A0, h, p > 0 положим λ = π/h и
σh,r(A0, p) := {s(·+ τ) : s ∈ σh,r, L(s)p ≤ A0L(ϕλ,r)p, τ ∈ R} . (14)
Теорема 2. Пусть r ∈ N, A0, h, p > 0, λ = π/h, Φ ∈ W . Тогда для любого отрезка
[α, β] ⊂ R
sup
β∫
α
Φ(|s(t)|p)dt : s ∈ σh,r(A0, p)
=
β∫
α
Φ(|A0ϕλ,r(t+ τ)|p)dt,
где τ удовлетворяет равенству (10) с ϕ = ϕλ,r, т. е. |ϕλ,r(α + θ + τ)| = |ϕλ,r(β − θ + τ)| =
= ‖ϕλ,r‖∞, а θ определено равенством (9) с ω = h, т. е. β − α = mh + 2Θ, где m ∈ N или
m = 0, Θ ∈ (0, h/2).
Кроме того, для любого k = 1, . . . , r − 1
sup
β∫
α
Φ(|s(k)(t)|)dt : s ∈ σh,r(A0, p)
=
β∫
α
Φ
((π
h
)k
A0|ϕλ,r−k(t+ τ + τk)|
)
dt,
где τk :=
h
4
(
1 + (−1)k+1
)
.
Доказательство. Положим ϕ(t) := A0ϕλ,r(t). Ясно, что ϕ является S-функцией с периодом
2ω = 2π/λ = 2h. Покажем, что для любого k = 0, 1, , ..., r − 1 имеет место включение
σh,r(A0, p) ⊂ Skϕ. (15)
Зафиксируем s ∈ σh,r. Применяя неравенство (13) при k = 0, получаем
‖s‖∞ ≤
(π
h
)1/p L(s)p
L(ϕr)p
‖ϕr‖∞ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
222 В. А. КОФАНОВ
Из этого неравенства и условия L(s)p ≤ A0L(ϕλ,r)p = A0λ
−(r+1/p)L(ϕr)p, вытекающего из
определения (14), следует, что
‖s‖∞ ≤ λ
1/p A0λ
−(r+1/p)L(ϕr)p
L(ϕr)p
‖ϕr‖∞ = A0λ
−r‖ϕr‖∞ = A0‖ϕλ,r‖∞.
Отсюда в силу неравенства (8) имеем∥∥∥s(r)
∥∥∥
∞
≤
(π
h
)r ‖s‖∞
‖ϕr‖∞
≤ λrA0λ
−r‖ϕr‖∞
‖ϕr‖∞
= A0.
Таким образом, выполнены оба условия ‖s‖∞ ≤ A0‖ϕλ,r‖∞ и
∥∥s(r)
∥∥
∞ ≤ A0 теоремы сравнения
Колмогорова [13]. Согласно этой теореме ϕ(t) является функцией сравнения для s, а ϕ(k) —
функцией сравнения для s(k), k = 0, 1, . . . , r − 1. Тем самым включение (15) доказано. Теперь
утверждение теоремы 2 следует из теоремы A.
Теорема 2 доказана.
Полагая Φ(t) = tq/p в первой части теоремы и Φ(t) = tq во второй ее части, получаем такое
следствие.
Следствие 1. Пусть r ∈ N, A0, h, p > 0, λ = π/h. Если k = 0, q ≥ p > 0 или
k = 1, . . . , r − 1, q ≥ 1, то для любого отрезка [α, β] ⊂ R
sup
{
‖s(k)‖Lq [α,β] : s ∈ σh,r(A0, p)
}
= A0
(π
h
)k
‖ϕλ,r−k(·+ τ + τk)‖Lq [α,β],
где τ и τk такие, как в теореме 2.
Как известно, длина дуги l[a, b] графика функции x ∈ L1[a, b] задается формулой l[a, b] =
=
∫ b
a
√
1 + x′(t)2dt. Ясно, что для функции Φ0(t) =
√
1 + t2 имеет место включение Φ0 ∈W .
Поэтому, полагая во второй части теоремы 2 Φ = Φ0, k = 1, p = ∞ и замечая, что τ1 = h/2,
получаем такое следствие.
Следствие 2. Пусть r ∈ N, A0, h > 0, λ = π/h, [a, b] ⊂ R. Тогда среди всех сдвигов
сплайнов s ∈ σh,r, удовлетворяющих условию ‖s‖∞ ≤ A0‖ϕλ,r‖∞, наибольшую длину дуги на
отрезке [a, b] имеет график сплайна ϕ(t) = A0 · ϕλ,r(t + τ + h/2), где τ такое же, как в
теореме 2.
Теорема 3. Пусть r ∈ N, h, p > 0. Если k = 0, q ≥ p > 0 или k = 1, . . . , r − 1, q ≥ 1, то
для любого сплайна s ∈ σh,r
∥∥∥s(k)
∥∥∥
Wq
≤
(π
h
)k+1/p
1
π
π∫
0
|ϕr−k(t)|qdt
1/q
L(s)p
L(ϕr)p
, (16)
где величина ‖·‖Wq
определена равенством (5).
Неравенство (16) является точным на классе σh,r и обращается в равенство для любого
сдвига s(·+ τ) сплайна s(t) = ϕλ,r(t), где λ = π/h.
Кроме того, для любого A0 > 0
sup
{
‖s(k)‖Wq : s ∈ σh,r(A0, p)
}
= A0‖ϕλ,r−k‖Wq .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ . . . 223
Доказательство. Зафиксируем сплайн s ∈ σh,r. Поскольку s ∈ Lr∞, в силу теоремы 4 из
работы [9] имеет место неравенство
∥∥∥s(k)
∥∥∥
Wq
≤
1
π
π∫
0
|ϕr−k(t)|qdt
1/q (
L(s)p
L(ϕr)p
)α
‖s(r)‖1−α∞ ,
где α = (r−k)/(r+1/p). Оценивая ‖s(r)‖∞ в этом неравенстве с помощью леммы 2, получаем
(16), если учесть, что (r + 1/p)(1− α) = k + 1/p.
Для доказательства точности (16) заметим, что для T -периодической функции x
‖x‖Wq =
1
T
T∫
0
|x (t)|q dt
1/q
. (17)
Поэтому
‖ϕλ,r−k‖Wq =
λ
π
π/λ∫
0
|ϕλ,r−k (t)|q dt
1/q
=
=
λ
π
· λ−(r−k)q−1
π∫
0
|ϕr−k (t)|q dt
1/q
= λ−(r−k)
1
π
π∫
0
|ϕr−k (t)|q dt
1/q
. (18)
С помощью (18) и равенства L(ϕλ,r)p = λ−(r+1/p)L(ϕr)p легко проверяется точность неравен-
ства (16).
Для доказательства второго утверждения теоремы заметим, что в силу (16) и определения
(14) для любого сплайна s ∈ σh,r выполнено неравенство
∥∥∥s(k)
∥∥∥
Wq
≤
(π
h
)k+1/p
1
π
π∫
0
|ϕr−k(t)|qdt
1/q
A0L(ϕλ,r)p
L(ϕr)p
.
Учитывая снова (18) и равенство L(ϕλ,r)p = λ−(r+1/p)L(ϕr)p, имеем
∥∥∥s(k)
∥∥∥
Wq
≤ λk+1/p
1
π
π∫
0
|ϕr−k(t)|qdt
1/q
A0λ
−(r+1/p) = A0‖ϕλ,r−k‖Wq .
Отсюда непосредственно следует второе утверждение теоремы 2.
Теорема 3 доказана.
Замечание 2. Пусть h = π/n, n ∈ N, k > 0, q < p = ∞. Если учесть (17), то легко
видеть, что неравенство (16) (для 2π-периодических сплайнов s ∈ Sn,r) трансформируется в
неравенство Лигуна [10] ∥∥∥s(k)
∥∥∥
Lq [0,2π]
≤ nk
‖ϕr−k‖Lq [0,2π]
‖ϕr‖∞
‖s‖∞ . (19)
Неравенство (19) при q =∞ было доказано в [11].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
224 В. А. КОФАНОВ
Теорема 4. Пусть r ∈ N, h, p > 0, Φ ∈ W . Если сплайн s ∈ σh,r и отрезок [α, β] ⊂ R
таковы, что s(α) = s(β) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|s(t)|p)dt ≤ 1
π
π∫
0
Φ
(
π
h
∣∣∣∣ L(s)p
L(ϕr)p
ϕr(t)
∣∣∣∣p) dt.
Кроме того, если k = 1, . . . , r − 1, а сплайн s ∈ σh,r и отрезок [a, b] ⊂ R удовлетворяют
условию s(k)(a) = s(k)(b) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|s(k)(t)|)dt ≤ 1
π
π∫
0
Φ
((π
h
)k+1/p L(s)p
L(ϕr)p
|ϕr−k(t)|
)
dt.
Доказательство. Зафиксируем сплайн s ∈ σh,r и отрезок [α, β] ⊂ R, удовлетворяющие
условию теоремы. Поскольку s ∈ Lr∞, для сплайна s выполнено неравенство (11):
1
β − α
β∫
α
Φ(|s(t)|p)dt ≤ 1
π
π∫
0
Φ
∣∣∣∣∣
(
L(s)p
L(ϕr)p
) r
r+1/p ∥∥∥s(r)
∥∥∥ 1/p
r+1/p
∞
ϕr(t)
∣∣∣∣∣
p
dt.
Отсюда, оценивая
∥∥s(r)
∥∥
∞ с помощью неравенства∥∥∥s(r)
∥∥∥
∞
≤
(π
h
)r+1/p L(s)p
L(ϕr)p
,
получаем первое утверждение теоремы 4.
Применяя неравенство (12) вместо неравенства (11) и оценивая затем
∥∥s(r)
∥∥
∞ с помощью
леммы 2, получаем второе утверждение теоремы 4.
Теорема 4 доказана.
Полагая Φ(t) = tq/p в первой части теоремы и Φ(t) = tq во второй ее части, получаем такое
следствие.
Следствие 3. Пусть r ∈ N, h, p > 0, λ = π/h. Если k = 0, q ≥ p > 0 или k = 1, ..., r − 1,
q ≥ 1, а сплайн s ∈ σh,r и отрезок [a, b] ⊂ R удовлетворяют условию s(k)(a) = s(k)(b) = 0, то(
1
b− a
)1/q ∥∥∥s(k)
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(π
h
)k+1/p
(
1
π
)1/q
‖ϕr−k‖Lq [0,π]
L(s)p
L(ϕr)p
.
Замечание 3. Последнее неравенство, как и неравенство (16), является обобщением нера-
венства (19).
1. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim. Theory. –
1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
2. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сранения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
3. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos //
J. d’Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
4. Erdös P. Open problems // Open Problems in Approxim. Theory / Ed. B. Bojanov. – Singapore: SCT Publ., 1994. –
P. 238 – 242.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ . . . 225
5. Магарил-Ильяев Г. Г. О наилучших приближениях сплайнами функциональных классов на оси // Труды Мат.
ин-та РАН. – 1992. – 194. – С. 153 – 154.
6. Левитан Б. M. Почти периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
7. Weyl H. Almost periodic invariant vector sets in a metric vector spase // Amer. J. Math. – 1949. – 71, № 1. –
P. 178 – 205.
8. Бабенко В. Ф., Селиванова С. А. О неравенствах типа Колмогорова для периодических и непериодических
функций // Диференцiальнi рiвняння та ı̈х застосування. – Днiпропетровськ: Днiпропетр. нац. ун-т, 1998. –
C. 91 – 95.
9. Kofanov V. A. Some extremal problems various metrics and sharp inequalities of Nagy – Kolmogorov type // East. J.
Approxim. – 2010. – 16, № 4. – P. 313 – 334.
10. Лигун А. А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых
классов функций // Мат. заметки. – 1976. – 19, № 6. – С. 913 – 926.
11. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
12. Кофанов В. А. О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 6. – С. 765 – 776.
13. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика. – М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
Получено 06.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2125 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:09Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/cbe800b03232b4befdcb96b6bf6ca45b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21252019-12-05T10:24:43Z Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных Kofanov, V. A. Кофанов, В. О. We solve the following extremal problems: (i) \( {\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{L_q\left[\alpha, \beta \right]}\to \sup \) and (ii) \( {\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{W_q}\to \sup \) over all shifts of splines of order r with minimal defect and nodes at the points lh, l ∈ Z , such that L(s) p ≤M in the cases: (a) k =0, q ≥ p >0, (b) k =1, . . . , r −1, q ≥ 1, where [α, β] is an arbitrary interval in the real line, $$ L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \mathbf{R},\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\} $$ and \( {\left\Vert \cdot \right\Vert}_{W_q} \) is the Weyl functional, i.e., $$ {\left\Vert x\right\Vert}_{W_q}:=\underset{\varDelta \to \infty }{ \lim}\underset{a\in \mathbf{R}}{ \sup }{\left(\frac{1}{\varDelta }{\displaystyle \underset{a}{\overset{a+\varDelta }{\int }}{\left|x(t)\right|}^qdt}\right)}^{1/q}. $$ As a special case, we get some generalizations of the Ligun inequality for splines. Розв'язано наступні екстремальні задачі: 1) ${\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{L_q\left[\alpha, \beta \right]}\to \sup$ 2)${\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{W_q}\to \sup$ на npocтopi всіх зсувів сплайнів порядку $r$ мінімального дефекту з вузлами в точках $lh, l ∈ Z,$ таких, що $L(s)_p ≤M$, у випадках: a)$k =0, q ≥ p >0$, б)$k =1, . . . , r −1, q ≥ 1$, де $[α, β]$ — довільний відрізок дійсної осі, $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \mathbf{R},\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\}$$ ${\left\Vert \cdot \right\Vert}_{W_q}$ — функціонал Вейля, тобто $${\left\Vert x\right\Vert}_{W_q}:=\underset{\varDelta \to \infty }{ \lim}\underset{a\in \mathbf{R}}{ \sup }{\left(\frac{1}{\varDelta }{\displaystyle \underset{a}{\overset{a+\varDelta }{\int }}{\left|x(t)\right|}^qdt}\right)}^{1/q}.$$ Зокрема, отримано деякі узагальнення нерівності Лигуна для сплайшв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2125 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 2 (2014); 216–225 Український математичний журнал; Том 66 № 2 (2014); 216–225 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2125/1252 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2125/1253 Copyright (c) 2014 Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. О. Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives |
| title | Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives |
| title_alt | Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных |
| title_full | Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives |
| title_fullStr | Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives |
| title_full_unstemmed | Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives |
| title_short | Inequalities for Nonperiodic Splines on the Real Axis and Their Derivatives |
| title_sort | inequalities for nonperiodic splines on the real axis and their derivatives |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2125 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva inequalitiesfornonperiodicsplinesontherealaxisandtheirderivatives AT kofanovvo inequalitiesfornonperiodicsplinesontherealaxisandtheirderivatives AT kofanovva neravenstvadlâneperiodičeskihsplajnovnadejstvitelʹnojosiiihproizvodnyh AT kofanovvo neravenstvadlâneperiodičeskihsplajnovnadejstvitelʹnojosiiihproizvodnyh |