Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$
Generalized Lebesgue constants for the Fourier–Jacobi sums and the convergence of Fourier–Jacobi series in the $L_{1,A,B}$ spaces are investigated.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2128 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508064305643520 |
|---|---|
| author | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Моторная, О. В. Моторный, В. П. |
| author_facet | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Моторная, О. В. Моторный, В. П. |
| author_sort | Motornaya, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:43Z |
| description | Generalized Lebesgue constants for the Fourier–Jacobi sums and the convergence of Fourier–Jacobi series in the $L_{1,A,B}$ spaces are investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2 259
УДК 517.5
О. В. Моторная (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
В. П. Моторный (Днепропетр. нац. ун-т)
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ
РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ В ПРОСТРАНСТВАХ L1,A,B
Generalized Lebesgue constants for the Fourier – Jacobi sums and the convergence of Fourier – Jacobi series in the
L1,A,B spaces are investigated.
Досліджуються узагальнені константи Лебега для сум Фур’є – Якобі і збіжність рядов Фур’є – Якобі у просторах
L1,A,B .
Приведем определения и результаты, необходимые для дальнейшего изложения.
Пусть Pn(!,")(x) — многочлены Якоби, ортогональные на сегменте [!1;1] с весом
p(x) = (1! x)" (1+ x)# , ! > "1 , ! > "1 , и нормированные условием Pn(!,")(1) =
n + !
n
#
$
%%
&
'
((
;
Lp, A, B — пространство измеримых на сегменте [!1;1] функций, интегрируемых с весом
w(x) = (1! x)A (1+ x)B , A , B > !1 ; f p,A,B = fw1/ p
p
= f (x) p w(x)dx
!1
1
"{ }1/ p — норма
функции f (x) в пространстве Lp, A, B .
Частную сумму порядка n ряда Фурье – Якоби функции f !Lp,",# будем обозначать
через Sn(!,")( f ) . Частные суммы Sn(!,")( f ) можно рассматривать как оператор, действую-
щий в некотором подпространстве X пространства Lp,A,B . Норма этого оператора
Sn(!,") X
= sup f X #1 Sn(!,")( f ) X
называется константой Лебега. В работе [1] найдены
необходимые и достаточные условия для того, чтобы нормы Sn(!,") p,A,B
были ограничены,
если p > 1 .
Для многочленов Pn(!,")(x) имеют место [2] равенство
Pn(!,")(x) = (#1)n Pn(",!)(#x) (1)
и оценка
Pn(!,")(x) # Cn$1/2(1$ x + n$2 )$! /2$1/4 , 0 ! x ! 1 . (2)
260 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
Частную сумму Sn(!,")( f ) ряда Фурье – Якоби запишем в виде
Sn(!,")( f ; x) = Kn
(!,")(x, y) f (y)(1# y)! (1+ y)"
#1
1
$ dy ,
где ядро Kn
(!,")(x, y) можно представить в виде
Kn
(!,")(x, y) = hkPk
(!,")(x)
k=0
n
# Pk
(!,")(y) = (3)
= !n
Pn+1
(",#)(x)Pn(",#)(y) $ Pn(",#)(x)Pn+1
(",#)(y)
x $ y
= (4)
=
!n(",#)(Pn+1
(",#)(x)Pn("+1,#)(y)(1$ y) $ Pn+1
(",#)(y)Pn("+1,#)(x)(1$ x))
x $ y
. (5)
Здесь hk = 2!"!# k +O(1) , !n = 2"#"$"1n +O(1) , !n(",#) = O(n) .
Функцией Лебега называется функция Ln(!,")(x) = sup f # $1 Sn
(!,")( f ; x) :
Ln(!,")(x) = Kn
(!,")(x, y) (1# y)! (1+ y)"
#1
1
$ dy .
Асимптотически точные оценки функций Лебега получены в [3, 4].
Пусть !(n, ", #, x) = ( 1$ x + 1 / n)"( 1+ x + 1 / n)# , ! " 0 , ! " 0 . Величины
Dn, p,!,"
#,$,A,B = sup
f /%(n,!,") p,A,B &1
Sn#,$ ( f ) p,A,B
называются обобщенными константами Лебега сумм Фурье – Якоби. Они совпадают с клас-
сическими константами Лебега, если ! = " = 0 . Впервые, в случае p > 1 , обобщенные
константы Лебега для сумм Фурье – Лежандра рассматривались в работах [5, 6], а для сумм
Фурье – Якоби константы Dn, p,!,"
#,$,A,B исследовались в [7 – 11]. Уклонения частных сумм
Фурье – Якоби на некоторых классах функций можно оценивать по следующей схеме. По-
скольку Sn(!,")(Pn; x) = Pn (x) для любого многочлена Pn (x) степени не выше n , то
f ! Sn(",#)( f ) p,A,B
$ f ! Pn (x) p,A,B + Sn(",#)( f ! Pn ) p,A,B
≤
≤ f (x) ! Pn (x) p,A,B + Dn, p,",#
$,%,A,B f ! Pn
&(n, ", #) p,A,B
. (6)
Таким образом, задача сводится к тому, что необходимо выбрать многочлен Pn (x) ,
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 261
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
минимизирующий правую часть. В настоящей работе получена оценка обобщенных констант
Dn, p,!,"
#,$,A,B для p = 1 .
Теорема 1. Имеет место равенство
Dn,1,!,"
#,$,A,B = sup
%1&x&1
'(n, !, ", x)p(x)
w(x)
Kn
(#,$)(x, y)
%1
1
( w(y) dy ,
где ! " A , ! " B .
Доказательство. Имеем
Dn,1,!,"
#,$,A,B = sup
f /%(n,!,") 1,A,B &1
Sn#,$ ( f ) 1,A,B =
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
Sn%,& ( f )w 1
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
sup
g ' $1
Sn%,& ( f , y)w(y)g(y)dy
(1
1
) =
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
sup
g % $1
f (x)Kn
(&,')(x, y) p(x) dx w(y) g(y) dy
(1
1
)
(1
1
) =
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
sup
g % $1
g(y)w(y)
p(y)
Kn
(&,')(x, y) p(y) dy p(x) f (x) dx
(1
1
)
(1
1
) .
Обозначая частное g(y)w(y)
p(y)
через G(y) , получаем
Dn,1,!,"
#,$,A,B = sup
fw /%(n,!,") 1&1
sup
g ' &1
Sn#,$ (G, x) f (x)p(x)dx
(1
1
) =
= sup
Gp /w ! "1
sup
fw /#(n,$,%) 1"1
Sn&,' (G, x)
f (x)w(x)
#(n, $, %, x)
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
dx
(1
1
) =
= sup
Gp /w ! "1
sup
#1"x"1
Sn$,% (G, x)
&(n, ', (, x)p(x)
w(x)
=
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
sup
Gp /w & "1
Sn',( (G, x) =
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
sup
Gp /w & "1
G(y)Kn
(',()
!1
1
) (x, y)p(y)dy =
262 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
sup
Gp /w & "1
G(y)p(y)
w(y)
Kn
(',()
!1
1
) (x, y)w(y)dy =
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
Kn
(&,')(x, y)
!1
1
( w(y)dy .
Теорема доказана.
Пусть µ = !" + 2A + 1 / 2 # 0 , ! = "# + 2B + 1 / 2 $ 0 .
Теорема 2. Если ! " µ , ! " # , то
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
Kn
($,%)(x, y)
&1
1
' w(y)dy ( C",# ln n .∗
Доказательство. Благодаря равенству (1) достаточно рассмотреть случай x !(0,1) .
Интеграл Kn
(!,")(x, y) w(y) dy
#1
1
$ представим в виде суммы четырех интегралов:
!1
!1/2
" + + +
x+1/n2
1
"
x!1/n2
x+1/n2
"
!1/2
x!1/n2
"
#
$
%
%
&
'
(
(
Kn
(),*)(x, y) w(y) dy = J1 + J2 + J3 + J4 .
Оценим каждый из них. В силу представления (4), неравенства (x ! y)!1 < 2 и оценки (2) для
x !(0,1) и y !("1, "1 / 2) получаем
Kn
(!,")(x, y) # C(1$ x + 1 / n2 )$! /2$1/4 (1+ y + 1 / n2 )$" /2$1/4 .
Следовательно,
J1 < C(1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 (1+ y + 1 / n2 )!# /2!1/4 (1+ y)Bdy
!1
!1/2
$ .
Поскольку !" / 2 ! 1 / 4 + B = v / 2 ! 1 / 2 # !1 / 2 , интеграл справа существует и
ограничен. В то же время
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
$ C(1% x + 1 / n2 )&%A(1% x + 1 / n2 )"/2 .
Поэтому
∗ Через C!," , Cr ,! , Cr обозначены величины, зависящие от указанных параметров, а через C , L — абсо-
лютные константы. Эти величины различны в разных формулах.
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 263
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J1 $ C(1% x + 1 / n2 )&%A+"/2 (1% x + 1 / n2 )%& /2%1/4 .
Так как показатель степени положителен
! " A + # / 2 " ! / 2 " 1 / 4 $ ! / 2 " A " ! / 2 + 1 / 4 + A " 1 / 4 = 0 ,
то
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J1 $ C . (7)
Представляя Kn
(!,")(x, y) в виде (5) и используя оценку (2), имеем
J2 ! C(1" x + 1 / n2 )"# /2"1/4 1
x " y
(1" y)"# /2"3/4
"1/2
x"1/n2
$ (1" y)1+Ady +
+ C(1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x) 1
x ! y
(1! y)!" /2!1/4
!1/2
x!1/n2
# (1! y)Ady ≤
≤ C(1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 1
x ! y
(1! y)!" /2+1/4+A
!1/2
x!1/n2
# dy +
+ (1! x + 1 / n2 )!" /2+1/4 1
x ! y
(1! y)!" /2!1/4+A
!1/2
x!1/n2
# dy .
В силу условия !" / 2 + 1 / 4 + A # 0 интеграл в первом слагаемом не превышает 2 ln n ,
а во втором — 2 ln n , если !" / 2 ! 1 / 4 + A # 0 , и 2 (1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4+A ln n , если
!" / 2 ! 1 / 4 + A < 0 , так как 1! y " 1! x +1 / n2 . Поэтому
J2 ! C(1" x + 1 / n2 )"# /2"1/4 ln n +
+
C
(1! x + 1 / n2 )!" /2+1/4 ln n, esly ! " / 2 ! 1 / 4 + A # 0,
(1! x + 1 / n2 )!"+A ln n, esly ! " / 2 ! 1 / 4 + A < 0.
$
%
&
'&
Следовательно,
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J2 $ C(1% x + 1 / n2 )&%A+"/2 J2 <
< C(1! x + 1 / n2 )" /2!A!1/4+#/2 ln n +
264 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
+
(1! x + 1 / n2 )" /2!A+1/4+#/2 ln n, esly ! " ! 1 / 4 + A $ 0,
(1! x + 1 / n2 )#/2 ln n, esly ! " ! 1 / 4 + A < 0.
%
&
'
('
В силу условий, которым удовлетворяет ! , ! / 2 " A " 1 / 4 + # / 2 $ 0 . Следовательно,
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J2 $ C ln n . (8)
Прежде чем перейти к оценке оставшихся интегралов, заметим, что если 1 ! x ! 1" 2 / n2 ,
то
J3 + J4 ! Kn
(",#)(x, y) w(y)dy
1$3/n2
1
% = J0 .
Оценим интеграл J0 . Для этого воспользуемся представлением (3) для ядра Kn
(!,")(x, y)
и неравенством (2):
Kn
(!,")(x, y) # Cn!+3/2(1$ y + 1 / n2 )$! /2$1/4 ,
J0 ! Cn"+3/2 (1# y + 1 / n2 )#" /2#1/4 (1# y)A
1#3/n2
1
$ dy ≤
≤ Cn!+3/2 1
n2
"
#$
%
&'
(! /2+3/4+A
= Cn2!(2A .
Поскольку для 1 > x > 1! 2 / n2 функция p(x)
w(x)
! Cn2A"2# , то и в этом случае
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J0 $ C!(n, ", #, x) $ C . (9)
Оценим J3 при 0 ! x ! 1" 2 / n2 . Воспользуемся представлением (3) для ядра
Kn
(!,")(x, y) и неравенством (2):
Kn
(!,")(x, y) # Cn(1$ x)$! /2$1/4 (1$ y + 1 / n2 )$! /2$1/4 ,
J3 ! Cn(1" x)"# /2"1/4 (1" y + 1 / n2 )"# /2"1/4 (1" y)A
x"1/n2
x+1/n2
$ dy . (10)
Из условия 0 ! x ! 1" 2 / n2 и неравенств x ! 1 / n2 " y " x + 1 / n2 следуют оценки
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 265
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
(1! y)A "
(1! x + 1 / n2 )A " 2A (1! x)A , esly A # 0,
(1! x ! 1 / n2 )A " 2!A (1! x)A , esly A < 0,
$
%
&
'&
(11)
(1! y + 1 / n2 )!" /2 #
2
!" /2
(1! x)!" /2 , esly " # 0,
(1! x)!" /2 , esly " > 0.
$
%
&
'&
(12)
Аналогично, так как 1! x " 1! y ! 1 / n2 , то
(1! x)!1/4 " (1! y ! 1 / n2 )!1/4 . (13)
Из неравенств (10) – (13) получаем
J3 ! Cn(1" x)"#+A (1" y " 1 / n2 )"1/2
x"1/n2
x+1/n2
$ dy ! C(1" x)"#+A .
Следовательно,
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J3 $ C!(n, ", #, x) $ C . (14)
Оценим J4 для 0 ! x ! 1" 2 / n2 . Для этого снова воспользуемся представлением (5) для
ядра Kn
(!,")(x, y) и неравенством (2):
J4 ! (1" x + 1 / n2 )"# /2"1/4 1
y " x
(1" y)"# /2"3/4
x+1/n2
1
$ (1" y)1+Ady +
+ (1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x) 1
y ! x
(1! y)!" /2!1/4
x+1/n2
1
# (1! y)Ady ≤
≤ (1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 1
y ! x
(1! y)!" /2+1/4+A
x+1/n2
1
# dy +
+ (1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x) 1
y ! x
(1! y)!" /2!1/4+A
x+1/n2
1
# dy . (15)
Поскольку ! " / 2 + A + 1 / 4 # 0 , то интеграл в первом слагаемом не превышает C ln n .
Тогда произведение первого слагаемого на !(n, ", #, x)p(x)
w(x)
меньше
266 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
C(1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 (1! x)"!A(1! x + 1 / n2 )!" /2+1/4+A ln n # C ln n . (16)
Интеграл во втором слагаемом представим в виде
I =
(1! y)!" /2!1/4+A
y ! x
x+1/n2
1
# dy = +
(1+x)/2
1
#
x+1/n2
(1+x)/2
#
$
%
&&
'
(
))
(1! y)!" /2!1/4+A
y ! x
dy = I1 + I2 .
Если ! " / 2 ! 1 / 4 + A # 0 , то в силу неравенства 1! y < 1! x интеграл I1 не превышает
I1 ! (1" x)"# /2"1/4+A dy
y " x
x+1/n2
(1+x)/2
$ ! C(1" x)"# /2"1/4+A ln n . (17)
В случае ! " / 2 ! 1 / 4 + A < 0 , используя неравенство 1! y > (1! x) / 2 , получаем
аналогичную оценку для I1 . Інтеграл I2 оценим, воспользовавшись неравенством
y ! x > (1! x) / 2 :
I2 ! 2(1" x)"1 (1" y)"# /2"1/4+Ady
(1+x)/2
1
$ ! C(1" x)"# /2"1/4+A . (18)
Из (17), (18) получаем
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
(1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x)I ≤
≤ C(1! x)"!A(1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4+#/2 (1! x)!" /2+3/4+A ln n $ C ln n . (19)
Соотношения (15), (16), (18) влекут оценку
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J4 $ C ln n . (20)
Из неравенств (7), (8), (14), (20) следует утверждение теоремы 2.
Пусть H1
r+! — класс функций, заданных на отрезке [!1, 1] , r -я производная которых
интегрируема и удовлетворяет условию
f (r)(x + h) ! f (r)(x) dx " Lh#
!1
1!h
$ , 1 ! h > 0 , 0 < ! " 1 , L > 0 .
Теорема 3 [12]. Для любой функции f !H1
r+" существует последовательность
алгебраических многочленов Pn (x) степени не выше n ! 2 таких, что
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 267
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
f (x) ! Pn (x)
1! x2 + 1 / n( )r+"
1
#
Cr ln n
nr+"
. (21)
Eсли при этом под знаком нормы заменить r + ! на меньшее число, то в правой части
неравенства (21) ln n можно опустить.
Теорема 4 [13]. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда многочлены Pn (x)
можно выбрать так, что в знаменателе дроби, содержащейся в левой части неравенства
(21), слагаемое 1 / n можно опустить.
Теорема 5. Пусть ! = " , A = B , ! = " # $% + 2A + 1 / 2 и f !H1
r+" , где r + ! " #2A
при A < 0 . Тогда имеют место неравенства
f ! Sn(",") 1,A,A #
Cr,$
ln n
nr+$
, r + $ > % ! 2A,
Cr
ln2 n
nr+$
, r + $ = % ! 2A,
Cr,$ ln2 n
n2(r+$ )!%+2A
, % / 2 ! A < r + $ < % ! 2A.
&
'
(
(
(
(
)
(
(
(
(
Доказательство. Оценим f ! Sn(",") 1,A,A , использовав теоремы 3, 4.
Пусть Pn (x) — последовательность алгебраических многочленов, для которых имеет
место неравенство (20). Тогда, используя (6), получаем
f ! Sn(",") 1,A,A # f ! Pn 1,A,A + Dn,1,$,$
",",A,A f ! Pn
%(n,$,$) 1,A,A
. (22)
Если A ! 0 , то в силу (21)
f ! Pn 1,A,A " f ! Pn 1 "
Cr
nr+#
.
Благодаря условию r + ! " #2A при A < 0 и теореме 4 имеем
f ! Pn 1,A,A "
f ! Pn
(1! x2 )A 1
"
Cr,# / nr+# , r + # > !2A,
Cr ln n / nr+# , r + # = !2A.
$
%
&
'&
(23)
Оценим сначала второе слагаемое в (22) для A ! 0 . В силу теорем 1 – 3
268 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
Dn,1,!,!
",",A,A f # Pn
$(n,!,!) 1,A,A
% C!,! ln n
( f (x) # Pn (x)) (1# x2 )A
1# x2 +1 / n( )!
1
≤
≤ C!,! ln n
f (x) " Pn (x)
1" x2 + 1 / n( )!"2A
1
#
Cr,$
ln n
nr+$
, r + $ > ! " 2A,
Cr
ln2 n
nr+$
, r + $ = ! " 2A,
Cr,$ ln2 n
n2(r+$ )"!+2A
, ! / 2 " A < r + $ < ! " 2A.
%
&
'
'
'
'
(
'
'
'
'
(24)
Случай A < 0 аналогичен, только вместо теоремы 3 необходимо применить теорему 4. Из
неравенств (22) – (24) следует теорема 5.
1. Muckehoupt B. Mean convergence of Jacobi series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 23, № 2. – Р. 306 –310.
2. Сеге Г. Ортогональные ряды. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 500 с.
3. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функции Лебега сумм Фурье – Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат. –
1968. – 1, № 1. – С. 11 – 23.
4. Бадков В. М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье – Якоби // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 6. –
С. 1264 – 1283.
5. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Докл. АН СССР. – 1972. –
204, № 4. – С. 788 –790.
6. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1973. – 37, № 1. – С. 135 – 147.
7. Гончаров С. В., Моторный В. П. Оценки обобщенных констант Лебега частных сумм Фурье – Якоби // Вісн.
Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. – 2007. – Вип. 12. – С. 70 – 83.
8. Гончаров С. В., Моторный В. П. О сходимости рядов Фурье – Якоби в среднем // Вісн. Дніпропетр. нац. ун-ту.
Математика. – 2008. – Вип. 13. – С. 49 – 55.
9. Моторная О. В., Моторный В. П. Свойства обобщенных констант Лебега частных сумм Фурье – Якоби //
Вiсн. Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. – 2009. – Вип. 14. – С. 91 – 98.
10. Моторный В. П., Гончаров С. В., Нитиема П. К. О сходимости в среднем рядов Фурье – Якоби // Доп. НАН
України. − 2010. – № 3. – С. 35 – 40.
11. Моторный В. П., Гончаров С. В., Нитиема П. К. О сходимости в среднем рядов Фурье – Якоби // Укр. мат.
журн. − 2010. − 62, № 6. − С. 814 – 828.
12. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими многочленами в метрике Lp // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1971. – 35, № 4. – С. 874 – 899.
13. Ходак Л. Б. Сходимость рядов Фурье по многочленам Якоби в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1982. –
№ 8. – С. 28 – 31.
Получено 03.06.13
|
| id | umjimathkievua-article-2128 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:16Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9c/3147b8c6241ff222906f2fcd2d6b219c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21282019-12-05T10:24:43Z Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах $L_{1,A,B}$ Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Generalized Lebesgue constants for the Fourier–Jacobi sums and the convergence of Fourier–Jacobi series in the $L_{1,A,B}$ spaces are investigated. Досліджуються узагальнені константи Лебега для сум Фур'є - Якобі і збіжність рядов Фур'є - Якобі у просторах $L_{1,A,B}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2128 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 2 (2014); 259–268 Український математичний журнал; Том 66 № 2 (2014); 259–268 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2128/1258 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2128/1259 Copyright (c) 2014 Motornaya O. V.; Motornyi V. P. |
| spellingShingle | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Моторная, О. В. Моторный, В. П. Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ |
| title | Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ |
| title_alt | Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов
Фурье – Якоби в пространствах $L_{1,A,B}$ |
| title_full | Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ |
| title_fullStr | Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ |
| title_full_unstemmed | Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ |
| title_short | Generalized Lebesgue Constants and the Convergence of Fourier–Jacobi Series in the Spaces $L_{1,A,B}$ |
| title_sort | generalized lebesgue constants and the convergence of fourier–jacobi series in the spaces $l_{1,a,b}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2128 |
| work_keys_str_mv | AT motornayaov generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornyivp generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornaâov generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornyjvp generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornaâov generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornyjvp generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornayaov obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornyivp obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornaâov obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornyjvp obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornaâov obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornyjvp obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab |