On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk
We study the problem of solvability of the inhomogeneous third boundary-value problem in a bounded domain for a scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients and homogeneous symbol. It is shown that this problem has a unique solution in the Sobolev space over the circle...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2130 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508065550303232 |
|---|---|
| author | Burskii, V. P. Бурский, В. П. Бурский, В. П. |
| author_facet | Burskii, V. P. Бурский, В. П. Бурский, В. П. |
| author_sort | Burskii, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:43Z |
| description | We study the problem of solvability of the inhomogeneous third boundary-value problem in a bounded domain for a scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients and homogeneous symbol. It is shown that this problem has a unique solution in the Sobolev space over the circle for special classes of boundary data from the spaces of functions with exponentially decreasing Fourier coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.95
В. П. Бурский, Е. В. Лесина (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В КРУГЕ
We study the problem of solvability of the inhomogeneous third boundary-value problem in a bounded domain for a
scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients and homogeneous symbol. It is shown that this
problem has a unique solution in the Sobolev space for special classes of boundary data from the spaces of functions with
exponentially decreasing Fourier coefficients.
Розглядається питання розв’язностi неоднорiдної третьої крайової задачi в обмеженiй областi для скалярного непра-
вильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами та однорiдним символом. Доведено,
що класами граничних даних, для яких задача має єдиний розв’язок у просторi Соболєва над кругом, є простори
функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є.
Граничные задачи для неправильно эллиптических уравнений в ограниченной области изуча-
лись в работе одного из авторов [4], где получен критерий фредгольмовости общей дифферен-
циальной граничной задачи для скалярного линейного неправильно эллиптического уравнения
любого порядка в ограниченной области с гладкой границей. Применение этого критерия к
задаче Дирихле и задаче Неймана показывает их нефредгольмовость.
В настоящей работе мы изучим неправильно эллиптическое уравнение второго порядка в
модельной области — круге — и получим разрешимость третьей краевой задачи в обычной
соболевской шкале пространств, при этом правая часть в граничном условии должна быть из
некоторого класса аналитических функций. Эта работа продолжает исследование граничных
задач для неправильно эллиптических уравнений, описанное в статьях [6 – 8], где была доказана
разрешимость задач Дирихле, Неймана и задачи с косой производной для того же уравнения.
Напомним, что в указанных работах была доказана разрешимость граничных задач, причем
в зависимости от свойств числа ϕ0 = ϕ1 − ϕ2, называемого углом между характеристиками
уравнения (2), были рассмотрены три случая:
1) угол ϕ0 веществен и π-рационален, т. е. ϕ0/π ∈ Q;
2) угол ϕ0 веществен и π-иррационален;
3) угол ϕ0 невеществен.
Первый из них — это случай нарушения единственности решения, когда имеется счетное число
линейно независимых решений соответствующей однородной задачи. Во втором и третьем
случаях возникает необходимость вводить пространства аналитических правых частей для
разрешимости в обычной соболевской шкале пространств, причем на свойства задач в случае 2,
в отличие от случая 3, оказывают влияние теоретико-числовые свойства числа ϕ0.При изучении
третьей краевой задачи мы ограничимся рассмотрением случая невещественного угла ϕ0.
Отметим, что результаты исследований в этом направлении изложены в работах А. В. Би-
цадзе и его учеников [2], Н. Е. Товмасяна [11, 12] и А. О. Бабаяна (см., например, [1]).
Напомним определение правильно (или собственно) эллиптического оператора [9].
c© В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2 279
280 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Линейный дифференциальный оператор L =
∑
|α|≤m
aα(x)Dα называется эллиптическим
в области Ω ⊆ Rn , если его старший символ l(x, ξ) =
∑
|α|=m
aα(x)ξα 6= 0 для всех x ∈ Ω,
ξ ∈ Rn \ {0}, и правильно (или собственно) эллиптическим в открытой или замкнутой области
Ω ⊆ Rn, если m четно, m = 2k, и для любого x ∈ Ω, для каждой пары линейно независимых
действительных векторов ξ и η среди корней полинома l(x, ξ+tη) от параметра t имеется ровно
k корней t1+, t
2
+, . . . , t
k
+ с положительной мнимой частью Im t j+ > 0 и k корней t 1−, t
2
−, . . . , t
k
− с
отрицательной мнимой частью Im t j− < 0.
Ясно, что каждый правильно эллиптический линейный дифференциальный оператор явля-
ется эллиптическим. Отметим, что при n ≥ 3 каждый эллиптический линейный дифферен-
циальный оператор является правильно эллиптическим, но при n = 2 это не так (например,
оператор Коши – Римана ∂/∂z̄ = (∂/∂x − i∂/∂y)/2), то же справедливо для всех n в случае,
когда коэффициенты оператора вещественны [10] (см. также [9]).
Для случая n = 2 будем рассматривать общее уравнение второго порядка с постоянными
комплексными коэффициентами без младших членов
aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 = 0. (1)
Раскладывая оператор в левой части на линейные множители, уравнение (1) можно записать в
виде (
a1 · ∇
)(
a2 · ∇
)
u = 0
с единичными комплексными векторами aj =
(
aj1, a
j
2
)
, j = 1, 2, что позволяет при условии
aj2/a
j
1 6= ±i перейти к виду
Lu ≡
(
sinϕ1
∂
∂x1
+ cosϕ1
∂
∂x2
)(
sinϕ2
∂
∂x1
+ cosϕ2
∂
∂x2
)
u = 0, (2)
где углы ϕ1 и ϕ2 — комплексные числа, определенные равенствами aj2/a
j
1 = − tgϕj , — это углы
наклона характеристик, а угол ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 — угол между характеристиками.
Ниже мы будем предполагать, что ϕ1 6= ϕ2 и aj2/a
j
1 6= ±i; последнее из них означает
существование (комплексных) углов ϕj , так как неравенство q 6= ±i является условием разре-
шимости уравнения tg φ = q.
Невещественность чисел ϕ1 и ϕ2 означает, что исходное уравнение является эллиптическим,
т. е. l(ξ) 6= 0 при ξ 6= 0, где l(ξ) = (ξ1 sinϕ1 +ξ2 cosϕ1) (ξ1 sinϕ2 + ξ2 cosϕ2) — символ диф-
ференциального оператора L. Под правильной эллиптичностью понимается, что корни λ1, λ2
квадратного уравнения aλ2 + bλ+ c = 0 имеют мнимые части противоположных знаков, а это
эквивалентно тому, что комплексные углы ϕ1 и ϕ2 имеют мнимые части противоположных
знаков, и, стало быть, имеют мнимые части одного знака в неправильно эллиптическом случае.
Для неправильно эллиптического уравнения (2) в единичном круге K будем изучать кор-
ректную разрешимость третьей краевой задачи
(u′ν∗ − gu)|∂K = κ− gψ = β (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
О ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В КРУГЕ 281
в предположении, что правая часть в граничном условии β ∈ Hm
ρ (∂K), а коэффициент g ∈
∈ C\{0}. Здесь Hm
ρ (∂K) определяется как пространство Соболева с весом ρ = ρ(n), элемен-
тами которого являются функции вида
α(τ) =
∞∑
n=1
(
αCn cosnτ + αSn sinnτ
)
(4)
из L2(∂K) такие, что коэффициенты αCn , α
S
n разложения удовлетворяют условию
∞∑
n=1
(
|αCn |2 + |αSn |2
)
ρ2(n)
(
1 + n2
)m
<∞. (5)
Отметим, что ниже в качестве веса принимается значение
ρ = ρ(n) = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|),
причем
∣∣Im(ϕ1 + ϕ2)
∣∣− ∣∣Im(ϕ2 − ϕ1)
∣∣ > 0 для неправильно эллиптического уравнения.
Приведем теорему, доказанную в работе [3] и содержащую условие связи следов решения,
записанное в виде интегрального равенства.
Теорема 1. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K), s > 2, была решением задачи
u′τ |∂K = γ ∈ Hs−3
2 (∂K), u′ν∗ |∂K = κ ∈ Hs−3
2 (∂K)
для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции γ и κ удовлетворяли интеграль-
ному равенству ∫
∂K
[
κ− (−1)j
∆
2
γ
]
Q(x · ãj)dτ = 0, j = 1, 2, (6)
с любым полиномом Q ∈ C[z]. При этом функция u восстанавливается с точностью до
аддитивной постоянной.
В теореме 1 ã1 =
(
− a12, a11
)
, ã2 =
(
− a22, a21
)
— направляющие векторы множества комп-
лексных характеристических направлений Λj =
{
λãj |λ ∈ C
}
, j = 1, 2, 〈ãj , aj〉 = 0, Λ =
= Λ1 ∪ Λ2,
∂
∂τ
и
∂
∂ν∗
= l(ν)
∂
∂ν
− 1
2k
[
l
(
ν(τ)
)]′
τ
∂
∂τ
— производные по касательной и по
конормали соответственно, k — кривизна кривой ∂K,4 = det ‖a1, a2‖, черта над4 обозначает
комплексное сопряжение.
Подставим в интегральное равенство (6) вместо полинома Q полином Чебышева первого
рода, а вместо функций κ и γ их разложения вида (4) по системе {cosnτ, sinnτ}. В результате
получим систему двух уравнений:(
κCn +
∆
2
γCn
)
cosnϕ1 −
(
κSn +
∆
2
γSn
)
sinnϕ1 = 0,
(
κCn −
∆
2
γCn
)
cosnϕ2 −
(
κSn −
∆
2
γSn
)
sinnϕ2 = 0.
(7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
282 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Выразим коэффициенты разложения функций κ и γ через коэффициенты функций ψ и β. Из
граничного условия (3) следует, что κ = β + gψ, поэтому
κCn = βCn + gψCn , κSn = βSn + gψSn . (8)
Далее, поскольку γ = u′τ |∂K = ψ′τ , то γ(τ) =
∑∞
n=1
(
nψSn cosnτ − nψCn sinnτ
)
, и, соответ-
ственно,
γCn = nψSn , γSn = −nψCn . (9)
Вернемся к системе (7) и подставим в нее выражения (8) и (9), после чего она преобразуется
в систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов ψCn , ψ
S
n :(
g cosnϕ1 +
∆n
2
sinnϕ1
)
ψCn +
(
∆n
2
cosnϕ1 − g sinnϕ1
)
ψSn = βSn sinnϕ1 − βCn cosnϕ1,
(
g cosnϕ2 −
∆n
2
sinnϕ2
)
ψCn −
(
∆n
2
cosnϕ2 + g sinnϕ2
)
ψSn = βSn sinnϕ2 − βCn cosnϕ2.
(10)
Определитель системы (10) 4n = −g∆n cosnϕ0 +
(
∆
2
n2
4
− g2
)
sinnϕ0. Отметим, что случай
нарушения единственности решения рассматриваемой задачи, 4n = 0, описан в книге [5],
где указан счетный набор чисел g, при котором соответствующая однородная задача имеет
нетривиальное решение.
Кроме того,
4C
n = βCn (∆n cosnϕ1 cosnϕ2 + g sinnϕ0)− βSn
∆n
2
sinn(ϕ1 + ϕ2),
4S
n = βSn (∆n sinnϕ1 sinnϕ2 + g sinnϕ0)− βCn
∆n
2
sinn(ϕ1 + ϕ2).
Поскольку
| 4n |>
∆
2
n2
4
en| Imϕ0|,
| 4C
n |6
∣∣βCn ∣∣ (|4|nen| Im(ϕ1+ϕ2)| + |g|en| Imϕ0|
)
+
∣∣βSn ∣∣ |∆|n2
en| Im(ϕ1+ϕ2)|,
| 4S
n |6 |βSn |
(
|4|nen| Im(ϕ1+ϕ2)| + |g|en| Imϕ0|
)
+
∣∣βCn ∣∣ |∆|n2
en| Im(ϕ1+ϕ2)|,
то коэффициенты ψCn , ψ
S
n разложения функции ψ, которые являются решениями системы (10),
могут быть оценены сверху (в случае комплексного угла ϕ0) следующим образом:
|ψCn | =
∣∣∣∣4C
n
4n
∣∣∣∣ 6 (|βCn |+ |βSn |)ρ(n)
n
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
О ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В КРУГЕ 283
|ψSn | =
∣∣∣∣4S
n
4n
∣∣∣∣ 6 (|βCn |+ |βSn |)ρ(n)
n
.
В силу неравенства (5), определяющего весовое пространство, и из последних оценок для
коэффициентов ψCn , ψ
S
n заключаем, что
∑∞
n=1
(
|ψCn |2 + |ψSn |2
)
n2(m+1) < ∞, а это означает
принадлежность функции ψ пространству Hm+1(∂K). Учитывая этот факт и равенства (9),
нетрудно установить принадлежность γ ∈ Hm(∂K). Кроме того, так как функция κ выражается
через известную β и найденную ψ, в силу вложений Hm
ρ (∂K) ⊂ Hm(∂K) и Hm+1(∂K) ⊂
⊂ Hm(∂K) получаем κ ∈ Hm(∂K).
Таким образом, решая систему (7), полученную путем подстановки разложений неизвест-
ных функций γ и κ в интегральное равенство (6), а также оценивая в последующем решения
системы (10), приходим к выводу о принадлежности γ и κ одному и тому же пространству
Соболева. На основании теоремы 1 заключаем, что исходная задача (2), (3) имеет единственное
решение, которое содержится в Hm+3/2(K). Данный результат сформулируем в виде следую-
щей теоремы.
Теорема 2. Пусть угол ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 между характеристиками уравнения (2) является
комплексным невещественным, а правая часть в граничном условии (3) — элемент весового
пространства Hm
ρ (∂K). Тогда решение u(x) третьей краевой задачи (2), (3) в круге сущест-
вует, единственно и принадлежит пространству Hm+3/2(K).
1. Бабаян А. О. О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения четвертого порядка // Некласси-
ческие уравнения математической физики. – 2007. – С. 56 – 68.
2. Бицадзе А. В. Некоторые классы дифференциальных уравнений с частными производными. – М.: Наука,
1981. – 448 с.
3. Бурский В. П. О краевых задачах для эллиптического уравнения с комплексными коэффициентами и одной
проблеме моментов // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 11. – С. 1476 – 1483.
4. Бурский В. П. Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллипти-
ческих уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 6. – С. 754 – 761.
5. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений. – Киев: Наук.
думка, 2002. – 316 с.
6. Бурский В. П., Кириченко Е. В. О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения // Укр. мат.
журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 156 – 164.
7. Бурский В. П., Лесина Е. В. Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического
уравнения // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 4. – С. 451 – 462.
8. Бурский В. П., Лесина Е. В. Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка //
Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 37 – 44.
9. Лионc Ж.-М., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
10. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений
эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. – 1953. – 5, № 2. – С. 123 – 151.
11. Товмасян Н. Е. Новые постановки и исследования первой, второй и третьей краевых задач для сильно связан-
ных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами //
Изв. АН АрмССР. Математика. – 1968. – 3, № 6. – С. 497 – 521.
12. Товмасян Н. Е. Эффективные методы решения задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в областях, ограниченных эллипсом // Дифференц.
уравнения. – 1969. – 5, № 1. – С. 60 – 71.
Получено 27.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2130 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:17Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/47da408d3a051aed6cb1e90aae705b60.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21302019-12-05T10:24:43Z On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk О третьей краевой задаче для неправильно эллиптического уравнения в круге Burskii, V. P. Бурский, В. П. Бурский, В. П. We study the problem of solvability of the inhomogeneous third boundary-value problem in a bounded domain for a scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients and homogeneous symbol. It is shown that this problem has a unique solution in the Sobolev space over the circle for special classes of boundary data from the spaces of functions with exponentially decreasing Fourier coefficients. Розглядається питання розв'язності неоднорідної третьої крайової задачi в обмеженій області для скалярного неправильно еліптичного диференціального рівняння з комплексними коефіцієнтами та однорідним символом. Доведено, що класами граничних даних, для яких задача має єдиний розв'язок у просторі Соболєва над кругом, є простори функцій з експоненціальним спаданням коефіцієнтів Фур'є. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2130 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 2 (2014); 279–283 Український математичний журнал; Том 66 № 2 (2014); 279–283 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2130/1262 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2130/1263 Copyright (c) 2014 Burskii V. P. |
| spellingShingle | Burskii, V. P. Бурский, В. П. Бурский, В. П. On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk |
| title | On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk |
| title_alt | О третьей краевой задаче для неправильно эллиптического уравнения в круге |
| title_full | On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk |
| title_fullStr | On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk |
| title_full_unstemmed | On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk |
| title_short | On the Third Boundary-Value Problem for an Improperly Elliptic Equation in a Disk |
| title_sort | on the third boundary-value problem for an improperly elliptic equation in a disk |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2130 |
| work_keys_str_mv | AT burskiivp onthethirdboundaryvalueproblemforanimproperlyellipticequationinadisk AT burskijvp onthethirdboundaryvalueproblemforanimproperlyellipticequationinadisk AT burskijvp onthethirdboundaryvalueproblemforanimproperlyellipticequationinadisk AT burskiivp otretʹejkraevojzadačedlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâvkruge AT burskijvp otretʹejkraevojzadačedlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâvkruge AT burskijvp otretʹejkraevojzadačedlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâvkruge |