A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring
We prove that a sharp Bézout domain is an elementary divisor ring.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2131 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508065609023488 |
|---|---|
| author | Zabavskii, B. V. Забавський, Б. В. |
| author_facet | Zabavskii, B. V. Забавський, Б. В. |
| author_sort | Zabavskii, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:43Z |
| description | We prove that a sharp Bézout domain is an elementary divisor ring. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.552.12
Б. В. Забавський (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ЧIТКА ОБЛАСТЬ БЕЗУ Є КIЛЬЦЕМ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ
We prove that a sharp Bezout domain is an elementary divisor ring.
Доказано, что коммутативная четкая область Безу является кольцом элементарных делителей.
У данiй статтi всi кiльця будемо вважати комутативними з одиницею, вiдмiнною вiд нуля. Нехай
R — область цiлiсностi таK — її поле дробiв. Пiд надкiльцем кiльцяR будемо розумiти довiльну
область цiлiсностi, що лежить мiж R та K. Кiльцем дробiв областi R будемо називати надкiльце
областi цiлiсностi R вигляду RS , де S — деяка мультиплiкативно замкнена множина з R \ {0}.
Скажемо, що RS є первинним кiльцем дробiв областi R, якщо S = R \ P для деякого власного
простого iдеалу P кiльця R, та, використавши позначення з [7, с. 228], в цьому випадку будемо
писати RP = RS . Також через mspecR будемо позначати множину всiх максимальних iдеалiв
областi цiлiсностi R.
В [1] Гiлмером було введено поняття чiткої областi за допомогою „властивостi (#)”. Будемо
казати, щоR має властивiсть (#), якщо для довiльних двох рiзних пiдмножинM iN iз mspecR
виконується ⋂
P∈M
RP 6=
⋂
P∈N
RP .
Будемо говорити, щоR маєQR-властивiсть, якщо кожне надкiльце областiR є деяким кiльцем
дробiв дляR [2]. Якщо кожен скiнченнопороджений iдеал областiR є головним, то таку область
називатимемо областю Безу . Наступний результат характеризує областi Безу з властивiстю (#).
Теорема 1 [2]. Для областi Безу R вказанi властивостi є рiвносильними:
1) R має властивiсть (#);
2) для кожногоM ∈ mspecR iснує такий головний iдеал aR, щоM є єдиним максимальним
iдеалом, що мiстить iдеал aR.
Очевидно [1], що довiльна область Безу iз скiнченним числом максимальних iдеалiв має
властивiсть (#). Розглянемо питання про те, коли кожне надкiльце областi R також має вла-
стивiсть (#).
Скажемо, що область R є чiткою, якщо кожне її надкiльце має властивiсть (#). Наступний
результат характеризує чiткi областi Безу.
Теорема 2 [2]. Наведенi нижче властивостi областi R є рiвносильними:
1) R є чiткою областю Безу;
2) для кожного простого iдеалу P в R iснує такий головний iдеал aR ⊆ P, що кожен
максимальний iдеал, який мiстить aR, мiстить i P.
Ненульовий елемент a областi R назвемо адекватним, якщо для кожного елемента b ∈ R
знайдуться такi елементи r, s ∈ R, що:
1) a = rs,
2) rR+ bR = R,
c© Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ, 2014
284 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
ЧIТКА ОБЛАСТЬ БЕЗУ Є КIЛЬЦЕМ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ 285
3) для довiльного s′ ∈ R з того, що sR ⊂ s′R 6= R, випливає, що s′R + bR є власним
iдеалом.
Будемо казати, що область Безу є адекватним кiльцем, якщо кожен її ненульовий елемент
є адекватним [4].
Теорема 3. Множина всiх адекватних елементiв комутативної областi Безу є насиченою
мультиплiкативно замкненою множиною.
Доведення. Нехай a та d — адекватнi елементи комутативної областi Безу R. Покажемо, що
добуток ad є теж адекватним елементом.
Нехай k — довiльний елемент iз R. Тодi знайдуться такi елементи r,m, t, l ∈ R, що
a = rm, d = tl,
де rR + kR = R, tR + kR = R, та для довiльних елементiв m′, l′ з того, що mR ⊂ m′R 6= R,
lR ⊂ l′R 6= R, випливає m′R+ kR 6= R, l′R+ kR 6= R.
Таким чином, rtR+ kR = R та для довiльного n′ ∈ R з того, що mlR ⊂ n′R 6= R, маємо
n′R+ kR ⊆ (mR+ kR)(lR+ kR) 6= R.
Тому n′R+ kR 6= R. Отже, ad є адекватним елементом в R.
Тепер доведемо, що множина адекватних елементiв є ще й насиченою. Нехай a— адекватний
елемент iз R та a = dx для деяких елементiв x ∈ R, d ∈ R. Розглянемо довiльний елемент
c ∈ R. Згiдно з означенням елемента a iснують такi елементи r, s ∈ R, що a = rs, причому
rR+ cR = R, та якщо sR ⊂ s′R 6= R, то s′R+ cR 6= R.
Нехай dR+ rR = hR. Тодi для деяких елементiв d0, s0 ∈ R справджуються такi рiвностi:
d = hd0, r = hr0, d0R+ r0R = R.
З цього випливає, що d0u + r0v = 1 для деяких елементiв u, v ∈ R. Тодi a = hd0x = hr0s.
Звiдси d0x = r0s та sd0u+sr0v = s. Таким чином, ми переконалися, що d0(su+xv) = s, тобто
має мiсце включення sR ⊂ d0R. Якщо d0R ⊆ d′0R 6= R, то d0 можна використати в якостi s′
та d0R + cR 6= R. Враховуючи, що R = rR + cR ⊂ hR + cR, бачимо, що розклад d = d0h
задовольняє всi умови означення адекватного елемента.
Теорему доведено.
Дотримуючись Капланського [3], назвемо кiльце R кiльцем елементарних дiльникiв, якщо
кожна матриця над R є еквiвалентною дiагональнiй матрицi.
Нехай R — область Безу. Позначимо через S = S(R) множину всiх її адекватних елементiв.
Оскiльки 1 ∈ R, то множина S є непорожньою. Оскiльки S — насичена мультиплiкативна
замкнена множина, то можна розглянути локалiзацiю R за множиною S (знаменники дробiв
будуть елементами з S), тобто кiльце дробiв RS .
Теорема 4. Область Безу є кiльцем елементарних дiльникiв тодi i лише тодi, коли RS є
кiльцем елементарних дiльникiв.
Доведення. Згiдно з [4], достатньо довести твердження у випадку матриць
A =
(
a 0
b c
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
286 Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ
де aR+bR+cR = R. Припустимо, що RS — кiльце елементарних дiльникiв. Тодi для елементiв
a, b, c ∈ RS ∩R можемо знайти такi елементи ps−1, qs−1 ∈ RS , s ∈ S, що
(aps−1 + bqs−1)RS + cqs−1RS = RS .
Тепер знайдуться такi елементи r, t, k, l ∈ R, що
(ak + bl)k + clt = s.
Отже, для матрицi A iснує еквiвалентна матриця B вигляду
B =
(
z 0
x y
)
,
де z є дiльником s та z ∈ S, згiдно з теоремою 3, а також xR+ yR+ zR = R.
Оскiльки z — адекватний елемент, то неважно переконатись, що матриця B має дiагональну
редукцiю. Справдi, згiдно з тим, що елемент z є адекватним, iснують такi елементи r, s ∈ R,
що z = rs, де rR+yR = R та s′R+yR 6= R для довiльного незворотного дiльника s′ елемента
s ∈ R. Покажемо, що (y+rx)R+rzR = R. Вiд супротивного, якщо (y+rx)R+rzR = hR 6= R,
то rzR ⊂ hR. Якщо hR+ rR = δR 6= R, то (y+ rx)R ⊂ δR, а отже, yR ⊂ δR, що неможливо,
бо rR ⊂ δR та rR+ yR = R.
Тому sR ⊂ hR. Звiдси, згiдно з означенням s, маємо hR+ yR = δR 6= R. Тодi (z+ rx)R ⊂
⊂ δR та zR ⊂ δR.Оскiльки δR+rR = rR, то xR ⊂ δR,що є неможливим, бо xR+yR+zR = R
та δR 6= R. Тодi (
z 0
x y
)(
r 1
1 0
)
=
(
zr z
xr + y x
)
= C.
Оскiльки rzR+ (xr+ y)R = R та R є областю Безу, то матриця C, а отже, i матриця B мають
дiагональну редукцiю. Таким чином, R є кiльцем елементарних дiльникiв.
Навпаки, припустимо, що R — кiльце елементарних дiльникiв. Необхiдно показати, що RS
також є кiльцем елементарних дiльникiв. Нехай маємо довiльнi елементи as−1, bs−1, cs−1 iз
RS , причому
as−1RS + bs−1RS + cs−1RS = RS .
Тодi aR + bR + cR = dR для деякого елемента d ∈ S. Нехай a = a1d, b = b1d, c = c1d
для деяких елементiв a1, b1, c1 ∈ R таких, що a1R + b1R + c1R = R. Оскiльки R є кiльцем
елементарних дiльникiв [3], то iснують такi елементи u, v, p, q ∈ R, що
(a1p+ b1q)u+ c1qv = 1.
Тодi
(aps−1 + bqs−1)RS + cqs−1RS = RS .
Згiдно з [3, 4], RS є кiльцем елементарних дiльникiв.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
ЧIТКА ОБЛАСТЬ БЕЗУ Є КIЛЬЦЕМ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ 287
НехайR — комутатативна область Безу та S = S(R) — множина всiх її адекватних елементiв.
Оскiльки S = S(R) є насиченою мультиплiкативно замкненою множиною, то побудуємо за
трансфiнiтною iндукцiєю ланцюг
{Rα |α — ординал}
насичених мультиплiкативно замкнених множин в областi R таким чином. Покладемо R0 =
= S(R). Нехай α — ненульовий ординал та припустимо, що Rβ — вже побудованi та насиченi
мультиплiкативно замкненi множини в R для β < α та Kβ = RRβ . Тодi Kβ — область Безу i
S(Kβ) — насичена мультиплiкативна замкнена множина згiдно з теоремою 3. Визначимо Rα
як Rα =
⋃
β<α
Rβ, якщо α — граничний ординал, Rα = S(Kα−1)∩R, якщо α не є граничним
ординалом. Очевидно, що Rα є насиченою мультиплiкативно замкненою множиною. Якщо α, β
— такi ординали, що α ≤ β, то Rα ⊂ Rβ ⊂ R. Крiм того, Rα = Rα+1 для деякого ординалу α.
У випадку, коли Rα = Rα+1, для кожного ординалу α маємо
card (Rα) > card (α)
для кожного ординалу α. Вибираючи β так, що card (β) > card (R) отримуємо
card (β) > card (R) > card (Rβ),
що є суперечнiстю. Нехай тепер α0 — найменший ординал з властивiстю Rα0 = Rα0+1. Ска-
жемо, що
{Rα | 0 ≤ α ≤ α0}
є правим D-ланцюгом в R. У даному випадку R−1 буде позначати групу одиниць кiльця R.
З огляду на теорему 4, використовуючи D-ланцюг областi Безу, робимо висновок, що пи-
тання про те, чи є комутативна область Безу кiльцем елементарних дiльникiв, еквiвалентне
випадку областi iз тривiальними адекватними елементами.
Теорема 5. Чiтка область Безу R є областю елементарних дiльникiв.
Доведення. Нехай R — чiтка область Безу та M ∈ mspecR. Згiдно з теоремою 1, iснує
такий головний iдеал aR, що M — єдиний максимальний iдеал, що мiстить iдеал aR. Нехай
b ∈ R. Якщо b /∈M, то aR+ bR = R. Якщо b ∈M, то a = 1a та для кожного s = a з того, що
aR ⊂ s′R, маємо s′R + bR 6= R. Тодi a — адекватний елемент в R. Оскiльки у чiткiй областi
Безу iснує нетривiальний D-ланцюг та область Безу має QR-властивiсть [2], можемо зробити
висновок, що R є областю елементарних дiльникiв.
Теорему доведено.
Теорема 6. Чiтка область Безу R є адекватною областю тодi i лише тодi, коли кожен
ненульовий простий iдеал в R мiститься в єдиному максимальному iдеалi областi R.
Доведення. Згiдно з [5], чiтка область Безу, де кожен ненульовий простий iдеал мiститься в
єдиному максимальному, є напiвлокальною областю Безу та, згiдно з [4], адекватною областю.
Оскiльки кожен ненульовий простий iдеал адекватного кiльця мiститься в єдиному максималь-
ному, то теорему доведено.
Розглянемо приклад, пов’язаний з наведеними вище результатами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
288 Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ
Приклад. Символом Z позначатимемо кiльце цiлих чисел, а символом Q — поле рацiо-
нальних чисел. Нехай K = Q[[x]] є кiльцем формальних степеневих рядiв вiд однiєї змiнної x
над Q. Якщо позначити R як пiдмножину всiх формальних степеневих рядiв вiд однiєї змiнної
з K iз цiлим вiльним членом, то R буде двовимiрною чiткою областю Безу [2] з нетривiальним
D-ланцюгом.
В [2, с. 300] наведено приклад областi БезуD, яка має лише скiнченну кiлькiсть мiнiмальних
iдеалiв над кожним головним iдеалом, але не має властивостi (#).
Це приклад областi Безу [6], яка є областю елементарних дiльникiв, але не має властивостi
(#).
1. Gilmer R. Overrings of Prufer domains // J. Algebra. – 1966. – 4. – P. 331 – 340.
2. Gilmer R., Heinzer W. Overrings of Prufer domains II // J. Algebra. – 1967. – 7. – P. 281 – 302.
3. Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464 – 491.
4. Larsen M., Levis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. –
1974. – 187, № 1. – P. 231 – 248.
5. Olberding B. Globalizing local properties of Prufer domains // J. Algebra. – 1998. – 20. – P. 480 – 504.
6. Zabavsky B. Fractionally regular Bezout ring // Mat. Stud. – 2009. – 32. – P. 70 – 80.
7. Zariski O., Samuel P. Commutative algebra. – Princeton, New Jersey: Van Nostrand, 1958. – Vol. 1.
Одержано 18.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2131 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:17Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7e/466343e8036992c1c36774d251f9247e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21312019-12-05T10:24:43Z A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring Чітка область Безу є кільцем елементарних дільників Zabavskii, B. V. Забавський, Б. В. We prove that a sharp Bézout domain is an elementary divisor ring. Доказано, что коммутативная четкая область Безу является кольцом элементарных делителей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2131 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 2 (2014); 284–288 Український математичний журнал; Том 66 № 2 (2014); 284–288 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2131/1264 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2131/1265 Copyright (c) 2014 Zabavskii B. V. |
| spellingShingle | Zabavskii, B. V. Забавський, Б. В. A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring |
| title | A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring |
| title_alt | Чітка область Безу є кільцем елементарних дільників |
| title_full | A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring |
| title_fullStr | A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring |
| title_full_unstemmed | A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring |
| title_short | A Sharp Bézout Domain is an Elementary Divisor Ring |
| title_sort | sharp bézout domain is an elementary divisor ring |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2131 |
| work_keys_str_mv | AT zabavskiibv asharpbezoutdomainisanelementarydivisorring AT zabavsʹkijbv asharpbezoutdomainisanelementarydivisorring AT zabavskiibv čítkaoblastʹbezuêkílʹcemelementarnihdílʹnikív AT zabavsʹkijbv čítkaoblastʹbezuêkílʹcemelementarnihdílʹnikív AT zabavskiibv sharpbezoutdomainisanelementarydivisorring AT zabavsʹkijbv sharpbezoutdomainisanelementarydivisorring |