Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits
We study the relationship between the frequency of a ternary digit in a number and the asymptotic mean value of the digits. The conditions for the existence of the asymptotic mean of digits in a ternary number are established. We indicate an infinite everywhere dense set of numbers without frequency...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2133 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508068041719808 |
|---|---|
| author | Klymchuk, S. O. Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Климчук, С. О. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. |
| author_facet | Klymchuk, S. O. Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Климчук, С. О. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. |
| author_sort | Klymchuk, S. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:58Z |
| description | We study the relationship between the frequency of a ternary digit in a number and the asymptotic mean value of the digits. The conditions for the existence of the asymptotic mean of digits in a ternary number are established. We indicate an infinite everywhere dense set of numbers without frequency of digits but with the asymptotic mean of the digits. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 511.72+517+519.21
С. О. Климчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
О. П. Макарчук (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ),
М. В. Працьовитий (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Iн-т математики НАН України, Київ)
ЧАСТОТА ЦИФРИ У ЗОБРАЖЕННI ЧИСЛА
I ЙОГО АСИМПТОТИЧНЕ СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ ЦИФР
We study the relationship between the frequency of ternary digit of a number and its asymptotic mean of digits. Conditions
for the existence of the asymptotic mean of digits of ternary number are found. We specify an infinite everywhere dense
set of numbers without frequency of digits but with the asymptotic mean of digits.
Устанавливается связь между понятиями частоты цифры троичного изображения числа и его асимптотического
среднего значения цифр. Найдены условия существования асимптотического среднего значения цифр троичного
числа. Указано бесконечное везде плотное множество чисел, частоты цифр которых не существуют, но существует
асимптотическое среднее значение цифр.
1. Вступ. Вiдомо, що для довiльного дiйсного числа x ∈ [0; 1] iснує послiдовнiсть (αn) така,
що αn ∈ A = {0, 1, . . . , s− 1} i
x =
α1
s
+
α2
s2
+ . . .+
αn
sn
+ . . . ≡ ∆s
α1α2...αn....
Останнiй запис називається s-ковим зображенням, а αk = αk(x) — k-ю s-ковою цифрою числа
x. Але k-та цифра числа, як його функцiя, є, взагалi кажучи, некоректно визначеною, оскiльки
має мiсце рiвнiсть
∆s
c1...ck−1ck(0)
= ∆s
c1...ck−1[ck−1](s−1),
де (i) — перiод у зображеннi числа. Числа такого виду називаються s-ково-рацiональними, вони
мають рiвно два s-кових зображення. Решта чисел мають лише одне зображення i називаються
s-ково-iррацiональними. Для коректностi означення k-ї цифри досить домовитись використо-
вувати лише перше s-кове зображення, а саме, те, що має перiод (0). Тепер αk(x) є функцiєю,
коректно визначеною на [0; 1].
Нехай Ni(x, k) — кiлькiсть цифр i ∈ A = {0, . . . , s− 1} у s-ковому зображеннi ∆s
α1α2...αk...
числа x ∈ [0; 1] до k-го мiсця включно, тобто
Ni(x, k) = #{j : αj(x) = i, j 6 k}.
Число v
(n)
i ≡ k−1Ni(x, k) є вiдносною частотою цифри i в s-ковому зображеннi дiйсного
числа x.
Означення 1. Частотою (асимптотичною частотою) цифри i у s-ковому зображеннi
числа x ∈ [0; 1] називається границя
νi(x) = lim
k→∞
Ni(x, k)
k
,
якщо вона iснує.
c© С. О. КЛИМЧУК, О. П. МАКАРЧУК, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, 2014
302 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ЧАСТОТА ЦИФРИ У ЗОБРАЖЕННI ЧИСЛА I ЙОГО АСИМПТОТИЧНЕ СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ . . . 303
Зрозумiло, що функцiя частоти νi(x) цифри i у s-ковому зображеннi числа x ∈ [0; 1] є
коректно визначеною для s-ково-iррацiональних чисел, а для s-ково-рацiональних — пiсля до-
мовленостi, яку зроблено вище: використовувати лише зображення з перiодом (0).
Вiдомо, що функцiя частоти цифри s-кового зображення числа набуває всiх значень iз [0, 1],
у рацiональнiй точцi [0, 1] вона визначена i набуває рацiонального значення, на скрiзь щiльнiй
континуальнiй множинi нульової мiри Лебега чисел [0, 1] вона не визначена. I це поняття є
продуктивним у дослiдженнях чистих розподiлiв випадкових величин, s-ковi цифри яких є
випадковими [7, 8].
Число rn ≡
1
n
∑n
i=1
αi(x) називається вiдносним середнiм значенням цифр числа x.
Оскiльки rn(x) =
N1(x, k)
k
+
2N2(x, k)
k
, то 0 6 rn(x) 6 2.
Означення 2. Якщо iснує границя limn→∞
1
n
∑n
i=1
αi(x) = r(x), де αi — цифри s-кового
зображення числа x ∈ [0; 1], то її значення
(
число r(x)
)
називається асимптотичним середнiм
(або просто середнiм) значенням цифр числа x.
Асимптотичне середнє значення цифр є певним аналогом частоти s-кової цифри числа.
Бiльше того, при s = 2 має мiсце рiвнiсть r(x) = ν1(x).
Ми цiкавимося тополого-метричними властивостями множин чисел iз наперед заданим
середнiм асимптотичним значенням цифр, тобто множинами вигляду
Sθ =
{
x : lim
n→∞
1
n
n∑
i=1
αi(x) = θ > 0
}
,
де стала θ — наперед заданий параметр iз вiдрiзка [0, s− 1].
Зауважимо, що при θ > s− 1 множина Sθ є порожньою.
Легко помiтити деяку схожiсть множини Sθ з множиною Безиковича – ЕгглстонаE
[
τ0, τ1, . . .
. . . , τs−1
]
=
{
x : νi(x) = τi, i = 0, s− 1
}
. Справжнiй зв’язок мiж цими множинами буде
з’ясовано пiзнiше.
2. Зв’язок частоти i його середнього значення цифр.
Лема 1. Якщо s-кове зображення числа x має частоти всiх цифр ν0, ν1, . . . , νs−1, то воно
має асимптотичне середнє значення цифр r(x), причому
r(x) = ν1(x) + 2ν2(x) + . . .+ (s− 1)νs−1(x).
Доведення. Оскiльки
1
n
n∑
i=1
αi(x) =
0 ·N0(x, n)
n
+
1 ·N1(x, n)
n
+ . . .+
(s− 1) ·Ns−1(x, n)
n
=
=
N1(x, n)
n
+ 2 · N2(x, n)
n
+ . . .+ (s− 1) · Ns−1(x, n)
n
,
то
lim
n→∞
1
n
n∑
i=1
αi(x) = lim
n→∞
(
N1(x, n)
n
+ 2 · N2(x, n)
n
+ . . .+ (s− 1) · Ns−1(x, n)
n
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
304 С. О. КЛИМЧУК, О. П. МАКАРЧУК, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ
= lim
n→∞
N1(x, n)
n
+ 2 lim
n→∞
N2(x, n)
n
+ . . .+ (s− 1) lim
n→∞
Ns−1(x, n)
n
,
якщо останнi границi iснують. Тодi з останньої рiвностi маємо
r(x) = ν1(x) + 2ν2(x) + . . .+ (s− 1)νs−1(x).
Наслiдок 1. Якщо θ = τ1 + 2τ2 + . . .+ (s− 1)τs−1, то має мiсце включення
E[τ0, τ1, . . . , τs−1] ⊂ Sθ.
Теорема 1. Властивiсть числа r(x) =
s− 1
2
є нормальною, тобто множина дiйсних чисел
вiдрiзка [0; 1], якi такої властивостi не мають, є множиною нульової мiри Лебега.
Доведення. Вiдома теорема Бореля [4] стверджує, що для майже всiх (у розумiннi мiри
Лебега) чисел вiдрiзка [0; 1] у їх s-ковому зображеннi iснують частоти всiх цифр i дорiвню-
ють s−1, тобто множина Безиковича – Егглстона E
[
s−1, s−1, . . . , s−1
]
є множиною повної мiри
Лебега. Оскiльки
θ =
1
s
+
2
s
+
3
s
+ . . .+
s− 1
s
=
s− 1
2
,
то E
[
s−1; s−1; . . . ; s−1
]
⊂ Sθ. Тому λ(Sθ) = 1.
Теорема 2. Якщо для s = 3 iснують асимптотичне середнє значення цифр r(x) i при-
наймнi одна з частот ν0(x), ν1(x), ν2(x), то iснують i iншi двi частоти цифр числа x. Якщо
ж не iснує хоча б однiєї з частот νj(x), j ∈ {0, 1, 2}, але iснує r(x), то не iснує i iнших двох
частот цифр числа x.
Доведення. Нехай v(n)j = n−1Nj(x, n) — вiдносна частота цифри j у трiйковому зображеннi
числа x, rn(x) =
1
n
∑n
j=1
αj(x) — вiдносне середнє значення цифр числа x. Тодi має мiсце
система
v
(n)
0 + v
(n)
1 + v
(n)
2 = 1,
v
(n)
1 + 2v
(n)
2 = rn.
Якщо iснують limn→∞ rn i limn→∞ v
(n)
j , j ∈ {1, 2}, то з другої рiвностi системи випливає
iснування limn→∞ v
(n)
i , i ∈ {1, 2}\{j}, а з першої — limn→∞ v
(n)
0 . Оскiльки систему можна
записати у виглядi
v
(n)
2 = rn − 1 + v
(n)
0 ,
v
(n)
1 = 2− 2v
(n)
0 − rn,
то з iснування limn→∞ v
(n)
0 i limn→∞ rn випливає iснування частот νj(x) = limn→∞ v
(n)
j , j =
= 1, 2.
Якщо limn→∞ rn iснує i limn→∞ v
(n)
0 не iснує, то не iснує границь limn→∞ v
(n)
1 , а limn→∞ v
(n)
2 ,
тобто не iснує частот ν1(x) i ν2(x).
Наслiдок 2. Якщо для трiйкового зображення числа iснує асимптотичне середнє значення
r(x), то частоти νi(x), i ∈ {0, 1, 2}, одночасно iснують або одночасно не iснують.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ЧАСТОТА ЦИФРИ У ЗОБРАЖЕННI ЧИСЛА I ЙОГО АСИМПТОТИЧНЕ СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ . . . 305
3. Число з наперед заданим асимптотичним середнiм значенням цифр. Вкажемо алго-
ритм побудови числа з наперед заданими частотами трiйкових цифр.
Нехай a i b — додатнi дiйснi числа, такi, що a + b 6 1, причому ν0(x) = a, ν1(x) = b.
Означимо цiлочислову послiдовнiсть (cn), де cn = [n · a], n ∈ N. Розглянемо рiзницю dn =
= cn+1 − cn =
[
(n + 1) · a
]
− [n · a] =
[
[n · a] + {n · a} + a
]
− [n · a] =
[
{n · a} + a
]
∈ {0, 1}.
Тодi x∗ = ∆3
α2α3...αnαn+1..., де
αn+1 =
βn, якщо dn = 0,
0, якщо dn = 1.
Означимо цiлочислову послiдовнiсть (c′n), c′n = [n · b], n ∈ N. Розглянемо рiзницю d′n =
= c′n+1 − c′n ∈ {0, 1}. Тодi
βn =
1, якщо d′n = 0,
2, якщо d′n = 1.
Оскiльки
a− 1
n
=
n · a− 1
n
<
N0(x∗, n)
n
=
[n · a]
n
6
n · a
n
= a,
b− 1
n
=
n · b− 1
n
<
N1(x∗, n)
n
=
[n · b]
n
6
n · b
n
= b,
то
ν0(x∗) = lim
n→∞
N0(x∗, n)
n
= a, ν1(x∗) = lim
n→∞
N1(x∗, n)
n
= b.
4. Число, асимптотичне середнє значення цифр якого iснує, а частоти цифр не iснують.
Побудуємо число, асимптотичнi частоти цифр якого не iснують, а середнє значення цифр iснує
i дорiвнює деякому наперед заданому числу θ, тобто r(x) = θ.
Спочатку покажемо, що цього не можна зробити для θ = 0 i θ = 2.
Нехай θ = 0, тобто limn→∞ rn = 0. Оскiльки v
(n)
1 + 2v
(n)
2 > v
(n)
i > 0 для i ∈ {1, 2}, то
limn→∞ v
(n)
i = 0. Нехай θ = 2. Оскiльки rn = v
(n)
1 + 2v
(n)
2 = v
(n)
1 + v
(n)
2 + v
(n)
2 = 1− v(n)0 + v
(n)
2 ,
то 1 > v
(n)
2 = rn − 1 + v
(n)
0 > rn − 1. I оскiльки limn→∞ rn = 2, то limn→∞ v
(n)
2 = 1. Таким
чином, 0 6 v
(n)
i = 1 − v(n)2 − v(n)1−i 6 1 − v(n)2 , де i ∈ {0, 1}. Але limn→∞ 1 − v(n)2 = 0, тому
limn→∞ v
(n)
i = 0, i ∈ {0, 1}.
Нехай θ — наперед задане число з (0; 2). Змоделюємо зображення числа x∗, яке має асмп-
тотичне середнє значення цифр θ, i не має жодної з частот трiйкових цифр. Для цього розгля-
немо наступну форму зображення x∗ :
x∗ = ∆3
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a11
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a12
2 . . . 2︸ ︷︷ ︸
a13︸ ︷︷ ︸
1-й блок
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a21
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a22
2 . . . 2︸ ︷︷ ︸
a23︸ ︷︷ ︸
2-й блок
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
ak1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
ak2
2 . . . 2︸ ︷︷ ︸
ak3︸ ︷︷ ︸
k-й блок
...
,
де aij ∈ N, i вкажемо умови на матрицю ‖aij‖, при яких не iснуватиме границя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
306 С. О. КЛИМЧУК, О. П. МАКАРЧУК, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ
lim
k→∞
a11 + a21 + . . .+ ak1
a11 + a12 + a13 + . . .+ ak1 + ak2 + ak3
,
а отже i ν0(x), але iснуватиме
r(x) = lim
k→∞
0 · (a11 + . . .+ ak1) + 1 · (a12 + . . .+ ak2) + 2 · (a13 + . . .+ ak3)
a11 + a12 + a13 + . . .+ ak1 + ak2 + ak3
= θ.
З цiєю метою доведемо два допомiжнi твердження.
Лема 2. Для довiльних натуральних чисел k i n (k < n) i довiльного дiйсного числа x
виконується рiвнiсть
lim
n→∞
[kx] +
[
(k + 1)x
]
+ . . .+ [nx]
n(n+ 1)
2
= x,
де [kx] — цiла частина числа kx.
Доведення. Згiдно з властивостями цiлої частини числа, y − 1 < [y] 6 y. Тодi
1)
[kx] +
[
(k + 1)x
]
+ . . .+ [nx]
n(n+ 1)
2
6
kx+ (k + 1)x+ . . .+ nx
n(n+ 1)
2
=
=
x
(
1 + 2 + . . .+ n− (1 + 2 + . . .+ k − 1)
)
n(n+ 1)
2
=
x
n(n+ 1)
2
− x(k − 1)k
2
n(n+ 1)
2
→ x при n→∞;
2)
[kx] +
[
(k + 1)x
]
+ . . .+ [nx]
n(n+ 1)
2
>
kx− 1 + (k + 1)x− 1 + . . .+ nx− 1
n(n+ 1)
2
=
=
kx+ (k + 1)x+ . . .+ nx− (n− k + 1)
n(n+ 1)
2
=
x
n(n+ 1)
2
− x(k − 1)k
2
− (n− k + 1)
n(n+ 1)
2
→ x при
n→∞.
Отже, limn→∞
[kx] +
[
(k + 1)x
]
+ . . .+ [nx]
n(n+ 1)
2
= x.
Виберемо два довiльнi дiйснi числа x1, x2 i дiйсне число ε > 0 такi, що 0 < x1 < x2 i ε <
<
x2 − x1
2
.Остання нерiвнiсть рiвносильна нерiвностi x1+ε < x2−ε.Побудуємо послiдовнiсть
(αn)
(
також позначатимемо α̃n{x1, x2}
)
, кожен член якої набуває одного з двох значень x1 або
x2, за наступним правилом.
Нехай n1 — найменше натуральне число, для якого виконується нерiвнiсть
[1 · x1] + [2 · x1] + . . .+ [n1 · x1]
n1(n1 + 1)
2
< x1 + ε.
Згiдно з лемою 2 таке число iснує. Тодi покладемо α1 = α2 = . . . = αn1 = x1.
Нехай n2 — найменше натуральне число, для якого виконується нерiвнiсть
[1 · x1] + . . .+ [n1 · x1] +
[
(n1 + 1) · x2
]
+ . . .+ [n2 · x2]
n2(n2 + 1)
2
> x2 − ε.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ЧАСТОТА ЦИФРИ У ЗОБРАЖЕННI ЧИСЛА I ЙОГО АСИМПТОТИЧНЕ СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ . . . 307
Згiдно з лемою 2 таке число iснує. Тодi покладемо αn1+1 = αn1+2 = . . . = αn2 = x2.
Нехай n3 — найменше натуральне число, для якого виконується нерiвнiсть
[1 · x1] + . . .+ [n1x1] +
[
(n1 + 1)x2
]
+ . . .+ [n2x2] +
[
(n2 + 1)x1
]
+ . . .+ [n3x1]
n3(n3 + 1)
2
< x1 + ε.
Згiдно з лемою 2 таке число iснує. Тодi покладемо αn2+1 = αn2+2 = . . . = αn3 = x1. I так далi.
Побудуємо послiдовнiсть (wn), де wn =
[1 · α1] + [2 · α2] + . . .+ [n · αn]
n(n+ 1)
2
.
Лема 3. Послiдовнiсть (wn) є розбiжною, тобто
lim
n→∞
[1 · α1] + [2 · α2] + . . .+ [n · αn]
n(n+ 1)
2
не iснує.
Доведення. Припустимо, що limn→∞wn iснує. Тодi iснує δ таке, що 0 < δ < x2 − x1 − 2ε.
За критерiєм Кошi збiжностi послiдовностi iснує n ∈ N таке, що для будь-яких m, l > n
виконується нерiвнiсть
|wm − wl| < δ.
Згiдно з побудовою послiдовностi (wn), wnk
> x2 − ε (якщо k — непарне) i wnk
< x1 + ε
(якщо k — парне).
Але завжди знайдеться k ∈ N таке, що nk > n. Тодi
|wnk+1
− wnk
| > x2 − ε− (x1 + ε) = x2 − x1 − 2ε > δ,
тобто |wnk+1
− wnk
| > δ. Отримали суперечнiсть. Отже, границя limn→∞wn не iснує.
Виберемо x1 та x2 так, що 0 < x1 < x2 i
θ − 1 < xi <
2− θ
2
, i = 1, 2,
i покладемо yi = xi − 1 + θ > 0, zi = 2 − 2xi − θ. Тодi xi + yi + zi = 1 i yi + 2zi =
= 2− 2xi − θ + 2(2xi − 1 + θ) = θ.
Нехай αi = α̃i{x1, x2}, βi = 2 − 2αi − θ, γi = αi − 1 + θ. Означимо довжини серiй нулiв,
одиниць та двiйок числа x∗ таким чином: ai1 = [i · αi], ai2 = [i · βi], ai3 = [i · γi].
Очевидно, що
αi + βi + γi = 1,
βi + 2γi = λ.
Обчислимо середнє значення цифр числа x∗ :
rk
k
=
0 · (a11 + . . .+ a(k−1)1) + 1 · (a12 + . . .+ a(k−1)2) + 2 · (a13 + . . .+ a(k−1)3) + uk
a11 + . . .+ a(k−1)1 + a12 + . . .+ a(k−1)2 + a13 + . . .+ a(k−1)3 + vk
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
308 С. О. КЛИМЧУК, О. П. МАКАРЧУК, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ
=
[1 · β1] + . . .+
[
(k − 1) · βk−1
]
+ 2[1 · γ1] + . . .+ 2
[
(k − 1) · γk−1
]
+ uk
[1 · α1] + [1 · β1] + [1 · γ1] + . . .+
[
(k − 1) · αk−1
]
+
[
(k − 1) · βk−1
]
+
[
(k − 1) · γk−1
]
+ vk
,
де uk = n1 + 2n2, а n1 — кiлькiсть одиниць, n2 — кiлькiсть двiйок, якi «потраплять» у k-й блок;
vk — довжина k-го блоку: кiлькiсть нулiв, одиниць та двiйок, якi «потраплять» у k-й блок.
Оцiнимо uk i vk :
0 6 uk 6 [k · βk] + 2[k · γk] 6 k · βk + 2k · γk = k(βk + 2γk) = k · θ,
0 6 vk 6 [k · αk] + [k · βk] + [k · γk] 6 k · αk + k · βk + k · γk = k(αk + βk + γk) = k.
Введемо позначення:
Ak ≡ [1 · β1] + . . .+
[
(k − 1) · βk−1
]
+ 2[1 · γ1] + . . .+ 2
[
(k − 1) · γk−1
]
,
Bk ≡ [1 · α1] + [1 · β1] + [1 · γ1] + . . .+
[
(k − 1) · αk−1
]
+
[
(k − 1) · βk−1
]
+
[
(k − 1) · γk−1
]
.
Тодi згiдно з властивостями цiлої частини числа
1) Ak 6 1 · β1 + . . .+ (k− 1) · βk−1 + 2 · 1 · γ1 + . . .+ 2 · (k− 1) · γk−1 = 1 · (β1 + 2γ1) + . . .
. . .+ (k − 1) · (βk−1 + 2γk−1) = θ(1 + 2 + . . .+ k − 1) = θ · (k − 1)k
2
,
Ak > 1 ·β1−1+ . . .+(k−1) ·βk−1−1+2 ·1 ·γ1−2+ . . .+2 · (k−1) ·γk−1−2 = 1 · (β1 +2γ1)−
−3+ . . .+(k−1) · (βk−1 +2γk−1)−3 = θ(1+2+ . . .+k−1)−3(k−1) = θ · (k − 1)k
2
−3(k−1);
2) Bk 6 1 · α1 + 1 · β1 + 1 · γ1 + . . . + (k − 1) · αk−1 + (k − 1) · βk−1 + (k − 1) · γk−1 =
= 1 · (α1 + β1 + γ1) + . . .+ (k − 1) · (αk−1 + βk−1 + γk−1) = 1 + . . .+ k − 1 =
(k − 1)k
2
,
Bk > 1 ·α1−1+1 ·β1−1+1 ·γ1−1+ . . .+(k−1)αk−1−1+(k−1)βk−1−1+(k−1)γk−1−1 =
= (α1 + β1 + γ1) − 3 + . . . + (k − 1)(αk−1 + βk−1 + γk−1) − 3 = 1 + . . . + k − 1 − 3(k − 1) =
=
(k − 1)k
2
− 3(k − 1).
З останнiх нерiвностей випливає, що
Ak
(k − 1)k
2
→ θ та
Bk
(k − 1)k
2
→ 1 при k →∞.
Тодi середнє значення цифр числа x∗ дорiвнює
rk
k
=
Ak + uk
Bk + vk
=
A
(k − 1)
2
+
uk
(k − 1)k
2
Bk
(k − 1)
2
+
vk
(k − 1)k
2
→ θ + 0
1 + 0
= θ при k →∞.
Покажемо, що частота нуля ν0(x∗) не iснує. Якби вона iснувала, то дорiвнювала б
lim
k→∞
[1 · α1] + . . .+
[
(k − 1) · αk−1
]
Bk
= lim
k→∞
[1 · α1] + . . .+
[
(k − 1) · αk−1
]
(k − 1)k
2
.
Але згiдно з лемою 3, остання границя не iснує. Тому не iснує частоти ν0(x∗).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ЧАСТОТА ЦИФРИ У ЗОБРАЖЕННI ЧИСЛА I ЙОГО АСИМПТОТИЧНЕ СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ . . . 309
Теорема 3. Множина чисел W, частоти цифр яких не iснують, а асимптотичне середнє
значення цифр — наперед задане число з (0; 2), є континуальною та скрiзь щiльною пiдмножи-
ною вiдрiзка [0; 1].
Доведення. Континуальнiсть. Покажемо, що рiзним парам x1, x2 та x′1, x
′
2
(
xi 6= x′j ∀i, j ∈
∈ {1, 2}
)
вiдповiдають рiзнi числа x∗ та x′∗. Припустимо протилежне, тобто що x∗ = x′∗. Тодi
k-тi серiї нулiв чисел x∗ та x′∗ рiвнi мiж собою, тобто
ak1 = [k · αk] = a′k1 = [k · α′k]
для кожного k ∈ N. Тодi
|αk · k − α′k · k| < 1
для всiх k ∈ N, тобто
k min
i,j∈{1,2}
|xi − x′j | < 1
для всiх k ∈ N. Але остання нерiвнiсть, очевидно, не виконується при достатньо великих k.
Отримали суперечнiсть.
Оскiльки множина пар (x1, x2) чисел x1, x2 ∈
(
θ − 1;
2− θ
2
)
, 0 < x1 < x2, є континуаль-
ною, то множина чисел, частоти цифр яких не iснують, а асимптотичне середнє значення цифр
— наперед задане число з (0; 2), є континуальною.
Доведемо скрiзь щiльнiсть множини W. Нехай[
∆3
α1α2...αk(0)
; ∆3
α1α2...αk(2)
]
⊂ [0; 1],
— деякий цилiндричний вiдрiзок, x∗ = ∆3
β1β2...βn...
— число, яке має асимптотичне середнє
значення цифр i не має жодної з частот цифр трiйкового зображення, αj , βj ∈ {0, 1, 2}.
Оскiльки асимптотичне середнє значення цифр не залежить вiд довiльної скiнченної кiль-
костi перших цифр трiйкового зображення числа, то число x′∗ = ∆3
α1α2...αkβ1β2...βn...
також
має асимптотичне середнє значення цифр i не має жодної з частот трiйкових цифр. Але x′∗ ∈
∈
[
∆3
α1α2...αk(0)
; ∆3
α1α2...αk(2)
]
. А це означає, що множина чисел, частоти цифр яких не iснують,
а асимптотичне середнє значення цифр — наперед задане число з (0; 2), є скрiзь щiльною
множиною у вiдрiзку [0; 1].
Теорема 4. Функцiя r асимптотичного середнього значення цифр числа має наступнi
властивостi:
1. Визначена на скрiзь щiльнiй множинi вiдрiзка [0; 1].
2. На скрiзь щiльнiй пiдмножинi вiдрiзка [0; 1] вона не визначена.
3. Набуває всiх значень з множини [0; s− 1].
4. Має лише один рiвень повної мiри Лебега.
Доведення. Першi двi властивостi випливають з попереднiх фактiв.
Справдi, оскiльки асимптотичне середнє значення цифр не залежить вiд довiльної скiнчен-
ної кiлькостi перших цифр трiйкового зображення числа, то множина точок, на якiй функцiя
частоти визначена, є скрiзь щiльною у [0; 1].
Iснують числа, якi не мають асимптотичного середнього значення цифр. Наприклад, таким
є число
x∗ = ∆s
01001100001111...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
2n
1...1︸︷︷︸
2n
...
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
310 С. О. КЛИМЧУК, О. П. МАКАРЧУК, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ
Оскiльки асимптотичне середнє значення цифр не залежить вiд довiльної скiнченної кiлькостi
перших цифр трiйкового зображення числа, то множина точок, на якiй функцiя частоти не
визначена, є також скрiзь щiльною пiдмножиною [0; 1].
3. Оскiльки 0 6
1
n
∑n
i=1
αi(x) 6 s− 1, то функцiя r(x) не може набувати значень бiльших
за s−1 i менших за 0. Згiдно з наведеним вище алгоритмом побудови числа з наперед заданими
частотами цифр, очевидно, функцiя r(x) може набувати всiх значень з [0; s− 1].
4. Згiдно з теоремою 1, лише нормальнi числа мають властивiсть r(x) =
s− 1
2
, отже,
множина точок, в яких функцiя r набуває одного i того ж фiксованого значення
s− 1
2
, є
множиною повної мiри Лебега, тобто функцiя r має лише один рiвень повної мiри Лебега.
1. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Singular probability distributions and fractal properties of sets of real numbers
defined by the asymptotic frequencies of their s-adic digits // Ukr. Math. J. – 2005. – 57, № 9. – P. 1361 – 1370.
2. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Topological and fractal properties of real numbers which are not normal //
Bull. Sci. Math. – 2005. – 129, № 8. – P. 615 – 630.
3. Besicovitch A. S. Sets of fractional dimension. 2. On the sum of digits of real numbers represented in the dyadic
system // Math. Ann. – 1934. – 110, № 3. – P. 321 – 330.
4. Borel É. Les probabilites denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. mat. Palermo. – 1909. –
27. – P. 247 – 271.
5. Eggleston H. G. The fractional dimension of a set defined by decimal properties // Quart. J. Math. – 1949. – Oxford
Ser. 20. – P. 31 – 36.
6. Olsen L. Normal and non-normal points of self-similar sets and divergence points of self-similar measures // J.
London Math. Soc. – 2003. – 2(67), № 1. – P. 103 – 122.
7. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: НПУ iм. М. П. Дра-
гоманова, 1998. — 296 с.
8. Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Суперфрактальнiсть множини чисел, якi не мають частоти n–адичних знакiв,
та фрактальнi розподiли ймовiрностей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 7. – С. 971 – 975.
9. Торбiн Г. М. Частотнi характеристики нормальних чисел в рiзних системах числення // Фрактальний аналiз та
сумiжнi питання. – 1998. – № 1. – С. 53 – 55.
10. Турбин А. Ф., Працевитий Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. – Киев: Наук. думка,
1992. – 208 с.
Одержано 08.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2133 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:19Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1d/1185ac8ca5c263b5293c50e83d1dce1d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21332019-12-05T10:24:58Z Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits Частота цифри у зображенні числа і його асимптотичне середнє значення цифр Klymchuk, S. O. Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Климчук, С. О. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. We study the relationship between the frequency of a ternary digit in a number and the asymptotic mean value of the digits. The conditions for the existence of the asymptotic mean of digits in a ternary number are established. We indicate an infinite everywhere dense set of numbers without frequency of digits but with the asymptotic mean of the digits. Устанавливается связь между понятиями частоты цифры троичного изображения числа и его асимптотического среднего значения цифр. Найдены условия существования асимптотического среднего значения цифр троичного числа. Указано бесконечное везде плотное множество чисел, частоты цифр которых не существуют, но существует асимптотическое среднее значение цифр. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2133 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 3 (2014); 302–310 Український математичний журнал; Том 66 № 3 (2014); 302–310 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2133/1268 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2133/1269 Copyright (c) 2014 Klymchuk S. O.; Makarchuk O. P.; Pratsiovytyi M. V. |
| spellingShingle | Klymchuk, S. O. Makarchuk, O. P. Pratsiovytyi, M. V. Климчук, С. О. Макарчук, О. П. Працьовитий, М. В. Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits |
| title | Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits |
| title_alt | Частота цифри у зображенні числа і його асимптотичне середнє значення цифр |
| title_full | Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits |
| title_fullStr | Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits |
| title_full_unstemmed | Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits |
| title_short | Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits |
| title_sort | frequency of a digit in the representation of a number and the asymptotic mean value of the digits |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2133 |
| work_keys_str_mv | AT klymchukso frequencyofadigitintherepresentationofanumberandtheasymptoticmeanvalueofthedigits AT makarchukop frequencyofadigitintherepresentationofanumberandtheasymptoticmeanvalueofthedigits AT pratsiovytyimv frequencyofadigitintherepresentationofanumberandtheasymptoticmeanvalueofthedigits AT klimčukso frequencyofadigitintherepresentationofanumberandtheasymptoticmeanvalueofthedigits AT makarčukop frequencyofadigitintherepresentationofanumberandtheasymptoticmeanvalueofthedigits AT pracʹovitijmv frequencyofadigitintherepresentationofanumberandtheasymptoticmeanvalueofthedigits AT klymchukso častotacifriuzobraženníčislaíjogoasimptotičneserednêznačennâcifr AT makarchukop častotacifriuzobraženníčislaíjogoasimptotičneserednêznačennâcifr AT pratsiovytyimv častotacifriuzobraženníčislaíjogoasimptotičneserednêznačennâcifr AT klimčukso častotacifriuzobraženníčislaíjogoasimptotičneserednêznačennâcifr AT makarčukop častotacifriuzobraženníčislaíjogoasimptotičneserednêznačennâcifr AT pracʹovitijmv častotacifriuzobraženníčislaíjogoasimptotičneserednêznačennâcifr |