Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side
The inverse problem of determination of a time-dependent multiplier of the right-hand side is studied for a semilinear ultraparabolic equation with integral overdetermination condition in a bounded domain. The conditions for the existence and uniqueness of solution of the posed problem are obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2136 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508070411501568 |
|---|---|
| author | Protsakh, N. P. Процах, Н. П. |
| author_facet | Protsakh, N. P. Процах, Н. П. |
| author_sort | Protsakh, N. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:58Z |
| description | The inverse problem of determination of a time-dependent multiplier of the right-hand side is studied for a semilinear ultraparabolic equation with integral overdetermination condition in a bounded domain. The conditions for the existence and uniqueness of solution of the posed problem are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Н. П. Процах (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО
УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
З НЕВIДОМОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ
The inverse problem of determination of the time-dependent multiplier of the right-hand side is considered for a semilinear
ultraparabolic equation with integral overdetermination condition in a bounded domain. The conditions of existence and
uniqueness of solution are obtained for the posed problem.
В ограниченной области рассмотрена обратная задача определения зависящего от времени множителя правой
части слабо нелинейного ультрапараболического уравнения, когда задано интегральное условие переопределения.
Получены условия, при которых решение задачи существует и является единственным.
1. Вступ. Задачi визначення коефiцiєнтiв або правої частини рiвняння одночасно з його розв’яз-
ком називають оберненими. У теорiї обернених задач теплопереносу часто з’являються пробле-
ми вiдновлення густини невiдомих зовнiшнiх джерел. При цьому виникають оберненi задачi
вiдшукання залежних вiд часу правих частин параболiчних рiвнянь за наявностi додаткової
iнформацiї про розв’язки вiдповiдних прямих задач.
При дослiдженнi обернених задач для параболiчних чи гiперболiчних рiвнянь використо-
вувались рiзнi методи: метод iнтегральних рiвнянь та принцип Шаудера [1 – 5], iтерацiйнi ме-
тоди i методи регуляризацiї [6, 7], метод послiдовних наближень [8], метод пiвгруп [9, 10]. У
статтi [10] розглянуто задачу вiдновлення ядра iнтегро-диференцiального ультрапараболiчного
рiвняння з двома часовими змiнними. Знайдено умови iснування та єдиностi локального за
часом розв’язку в просторах Гельдера.
У данiй статтi вивчається обернена задача з iнтегральною умовою перевизначення про
знаходження залежного вiд часу множника правої частини слабко нелiнiйного ультрапараболiч-
ного рiвняння з нелiнiйностями лiпшицевого типу. Знайдено умови однозначної розв’язностi
задачi у просторах Лебега та Соболєва. Iснування узагальненого розв’язку вiдповiдної прямої
мiшаної задачi встановлено за допомогою методу Фаедо – Гальоркiна, а оберненої задачi — за
допомогою методу послiдовних наближень.
Зауважимо, що розв’язнiсть прямих задач для ультрапараболiчних рiвнянь дослiджено,
зокрема, в [11 – 15].
2. Основнi позначення та функцiональнi простори. Нехай Ω i D — обмеженi областi
вiдповiдно в Rn i Rl з межами ∂Ω ∈ C1 i ∂D ∈ C1; x ∈ Ω, y ∈ D, t ∈ (0, T ), де T — фiксоване
число з iнтервалу (0,∞), Qτ = Ω×D × (0, τ), τ ∈ (0, T ], G = Ω×D.
Позначимо ΣT = ∂Ω×D×(0, T ), ST = Ω×∂D×(0, T ), Gξ = {(x, y, t) : (x, y) ∈ G, t = ξ},
ξ ∈ [0, T ].
Введемо простори L∞(QT ) := {w : QT → R;w — вимiрна функцiя та iснує така стала
C, що |w(x, y, t)| ≤ C майже скрiзь на QT }, ‖w;L∞(QT )‖ = inf{C : |w(x, y, t)| ≤ C май-
же скрiзь на QT }; L2(G) :=
{
w : G → R;w — вимiрна функцiя,
∫
G
|w(x, y)|2 dxdy < ∞
}
,
‖w;L2(G)‖ =
(∫
G
|w(x, y)|2 dxdy
)1/2
; L2(0, T ) :=
{
w : [0, T ] → R;w — вимiрна функцiя,
c© Н. П. ПРОЦАХ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3 333
334 Н. П. ПРОЦАХ
∫ T
0
|w(t)|2 dt < ∞
}
, ‖w;L2(0, T )‖ =
(∫ T
0
|w(t)|2 dt
)1/2
; L2(QT ) :=
{
w : QT → R; w — ви-
мiрна функцiя,
∫
QT
|w(x, y, t)|2 dx dy dt <∞
}
, ‖w;L2(QT )‖ =
(∫
QT
|w(x, y, t)|2 dx dy dt
)1/2
;
W 1,2(·) — множина всiх розподiлiв w, якi разом зi своїми похiдними першого порядку за всiма
змiнними належать до простору L2(·), ‖w;W 1,2(Ω)‖ =
(∫
Ω
[|w(x)|2 +
∑n
i=1
|wxi(x)|2] dx
)1/2
;
‖w;W 1,2(0, T )‖ =
(∫ T
0
[|w(t)|2 + |wt(t)|2] dt
)1/2
; Ck(O) — простiр k разiв неперервно дифе-
ренцiйовних функцiй наO; V (0, T ;W (G)) := {w : [0, T ]→W (G); ‖w(·, ·, t);W (G)‖ ∈ V (0, T )}
(V,W — банаховi простори); W 1,2
0 (Ω) := {w : w ∈ W 1,2(Ω), w|∂Ω = 0}; V1(QT ):={w : w,wxi ∈
∈ L2(QT ), i = 1, . . . , n, w
∣∣
ΣT
= 0};V2(G) := L2(D;W 1,2
0 (Ω)) = {w : D → W 1,2
0 (Ω); ‖w(·, y);
W 1,2
0 (Ω)‖ ∈ L2(D)}, ‖w;V2(G)‖ =
(∫
G
[
|w(x, y)|2 + +
∑n
i=1
|wxi(x, y)|2
]
dxdy
)1/2
. Позна-
чимо через 〈·, ·〉 скалярний добуток мiж просторами V ∗2 (G) i V2(G).
3. Формулювання задачi. В областi QT розглянемо задачу для рiвняння
ut +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi −
n∑
i,j=1
(aij(x, y, t)uxi)xj + c(x, y, t)u+ g(x, y, t, u) = f(x, y, t)f0(t) (1)
з початковою умовою
u(x, y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ G, (2)
крайовими умовами
u|ΣT = 0, u|S1
T
= 0 (3)
та умовою перевизначення∫
Gt
K(x, y)u(x, y, t) dxdy = E(t), t ∈ [0, T ], (4)
де u(x, y, t), f0(t) — невiдомi функцiї, S1
T =
{
(x, y, t) ∈ ST :
∑l
i=1
λi(x, y, t) cos(ν, yi) < 0
}
,
ν — одинична зовнiшня нормаль до ST , причому виконується умова
(S) iснує така поверхня з додатною мiрою Лебега Γ1 ⊂ ∂D ⊂ Rl−1, що S1
T = Ω×Γ1×(0, T );
функцiї f(x, y, t), u0(x, y), K(x, y), E(t) справджують умови
(F) f ∈ C([0, T ];L2(G)),
(U) u0, u0,yj ∈ L2(G), j = 1, . . . , l, u0|∂Ω×D = 0, u0|Ω×Γ1 = 0,
(K) K ∈ C1(D;C1(Ω)), K
∣∣
∂Ω×D = 0, K|Ω×Γ2 = 0, де Γ2 = ∂D\Γ1,
(E) E ∈W 1,2(0, T ),
а коефiцiєнти лiвої частини рiвняння (1) задовольняють умови
(A) aij ∈ L∞(QT ), i, j = 1, . . . , n,
∑n
i=1
aij(x, y, t)ξiξj ≥ a0|ξ|2 для майже всiх (x, y, t) ∈
∈ QT та для всiх ξ ∈ Rn, a0 — додатна стала;
(C) c ∈ L∞(QT ), c(x, y, t) ≥ c0 для майже всiх (x, y, t) ∈ QT , c0 — стала;
(L) λi ∈ L∞(0, T ;C(G)), λiyi ∈ L∞(QT ) для всiх i = 1, . . . , l;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 335
(H) g(x, y, t, ξ) вимiрна за змiнними (x, y, t) в областi QT для всiх ξ ∈ R1 i неперервна по ξ
для майже всiх (x, y, t) ∈ QT , причому така, що iснує додатна стала g0 така, що |g(x, y, t, ξ)−
− g(x, y, t, η)| ≤ g0|ξ − η| для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх ξ, η ∈ R1.
4. Iснування та єдинiсть розв’язку прямої задачi. Припустимо спочатку, що в рiвняннi (1)
f0(t) = f∗0 (t), де f∗0 ∈ L2(0, T ) — вiдома функцiя. Розглянемо мiшану задачу для рiвняння (1) з
початковою умовою (2) та крайовими умовами (3).
Введемо простiр V3(QT ) := {w : w,wxi , wyj ∈ L2(QT ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , l, w|S1
T
= 0,
w
∣∣
ΣT
= 0}.
Означення 1. Функцiю u∗(x, y, t) назвемо узагальненим розв’язком задачi (1) – (3), якщо
u∗ ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), u∗t ∈ L2(0, T ;V ∗2 (G)) + L2(QT ), справджується умова (2) та
для всiх функцiй v ∈ V1(QT ) виконується рiвнiсть
T∫
0
〈u∗t , v〉 dt+
∫
QT
l∑
i=1
λi(x, y, t)u
∗
yiv +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)u
∗
xivxj + c(x, y, t)u∗v+
+g(x, y, t, u∗)v
dx dy dt =
∫
QT
f(x, y, t)f∗0 (t)v dx dy dt. (5)
Iз результатiв статтi [14] випливають наступнi твердження.
Теорема 1. Нехай справджуються умови (A), (C), (H), (L), (F), (U), (S) i, крiм того:
1) aijyk , aijxi , cyk ∈ L∞(QT ), i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l, f∗0 ∈ L2(0, T ), fyk ∈ L2(QT ),
k = 1, . . . , l;
2) iснує така стала g1, що для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх ξ ∈ R1 виконуються
нерiвностi |gyi(x, y, t, ξ)| ≤ g1, i = 1, . . . , l;
3) f |S1
T
= 0.
Тодi iснує узагальнений розв’язок задачi (1) – (3).
При доведеннi теореми 1 використано метод Фаедо – Гальоркiна, за яким будуємо послi-
довнiсть {u∗,N}∞N=1, яка у просторi V3(QT ) збiгається слабко при N → ∞ до розв’язку
u∗ задачi (1) – (3), а послiдовнiсть {u∗,Nt }∞N=1 збiгається слабко до u∗t у просторi L2(QT ) +
+ L2(0, T ;V ∗2 (G)).
Теорема 2. Нехай виконуються умови (A), (C), (H), (L), (F), (U), (S). Тодi задача (1) – (3)
не може мати бiльше одного узагальненого розв’язку.
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 2 iз [14].
Лема 1. Якщо функцiя w є узагальненим розв’язком задачi (1) – (3), то справджується
нерiвнiсть
1
2
∫
Gτ
|w|2e−ατ dx dy +
∫
Qτ
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyiw +
l∑
i,j=1
aij(x, y, t)wxiwxj + c(x, y, t)|w|2+
+g(x, y, t, w)w − f(x, y, t)f∗0 (t)w +
α
2
|w|2
e−αt dx dy dt ≥ 1
2
∫
G
|u0(x, y)|2 dx dy (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
336 Н. П. ПРОЦАХ
для всiх τ ∈ (0, T ] та довiльного фiксованого числа α ∈ R, причому при u0(x, y) ≡ 0 в (6)
досягається знак рiвностi.
Доведення проводиться за схемою доведення леми 1 iз [14].
5. Iснування та єдинiсть розв’язку оберненої задачi.
Означення 2. Пару функцiй (u(x, y, t), f0(t)) назвемо узагальненим розв’язком задачi (1) –
(4), якщо u ∈ V3(QT )∩C([0, T ];L2(G)), ut ∈ L2(0, T ;V ∗2 (G))+L2(QT ), f0 ∈ L2(0, T ), причому
цi функцiї для всiх v ∈ V1(QT ) задовольняють iнтегральну рiвнiсть
T∫
0
〈ut, v〉 dt+
∫
QT
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyiv +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)uxivxj + c(x, y, t)uv+
+g(x, y, t, u)v
dx dy dt =
∫
QT
f(x, y, t)f0(t)v dx dy dt (7)
i, крiм того, функцiя u(x, y, t) задовольняє умови (2) та (4).
Iз рiвняння (1) та умови (4) випливає, що узагальнений розв’язок задачi (1) – (4) задовольняє
рiвнiсть
f0(t)
∫
Gt
K(x, y)f(x, y, t) dx dy = E′(t) +
∫
Gt
(
−
l∑
i=1
(λi(x, y, t)K(x, y))yiu+
+
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)uxi +K(x, y)c(x, y, t)u+K(x, y)g(x, y, t, u)
)
dxdy, t ∈ [0, T ].
(8)
Лема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 та умови (K), (E). Для того щоб пара
функцiй (u(x, y, t), f0(t)) була узагальненим розв’язком задачi (1) – (4), необхiдно i достатньо,
щоб для всiх v ∈ V1(QT ) ця пара задовольняла рiвнiсть (7), а також (2) i (8).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай (u∗(x, y, t), f∗0 (t)) — узагальнений розв’язок задачi (1) – (4).
Здиференцiюємо умову (4) один раз по t:∫
Gt
K(x, y)u∗t (x, y, t) dxdy = E′(t), t ∈ [0, T ]. (9)
На пiдставi (1) i (9) отримуємо
∫
Gt
K(x, y)
f(x, y, t)f∗0 (t)−
l∑
i=1
λi(x, y, t)u
∗
yi +
n∑
i,j=1
(aij(x, y, t)u
∗
xi)xj−
−c(x, y, t)u∗ − g(x, y, t, u∗)
dxdy = E′(t), t ∈ [0, T ]. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 337
Зiнтегруємо частинами в (10), врахувавши умову (K):∫
Gt
K(x, y)f(x, y, t)f∗0 (t) +
l∑
i=1
(K(x, y)λi(x, y, t))yiu
∗ −
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)u
∗
xi−
−K(x, y)c(x, y, t)u∗ −K(x, y)g(x, y, t, u∗)
dxdy = E′(t), t ∈ [0, T ]. (11)
З (11) випливає, що пара функцiй (u∗(x, y, t), f∗0 (t)) задовольняє (8). Крiм того, u∗ є узагальне-
ним розв’язком прямої задачi (1) – (3) з функцiєю f∗0 (t) замiсть f0(t) у правiй частинi рiвняння
(1) . Тому виконується умова (2), а також рiвнiсть (7) для всiх v ∈ V1(QT ) при f0(t) = f∗0 (t).
Достатнiсть. Нехай f∗0 ∈ L2(0, T ), u∗ ∈ V3(QT )∩C([0, T ];L2(G)), u∗t ∈ L2(0, T ;V ∗2 (G))+
+ L2(QT ) i для них виконуються (2), (8) та (7) для всiх v ∈ V1(QT ). Тодi u∗ є узагальненим
розв’язком задачi (1) – (3) з правою частиною f∗0 (t)f(x, y, t) в рiвняннi (1). За умов леми цей
розв’язок iснує та єдиний.
Покладемо E∗(t) =
∫
Gt
K(x, y)u∗(x, y, t) dxdy, t ∈ [0, T ]. Очевидно, що E∗ ∈ L2(0, T ). Так
само, як при доведеннi необхiдностi, знайдемо
f∗0 (t)
∫
Gt
K(x, y)f(x, y, t) dx dy = (E∗(t))′ +
∫
Gt
(
−
l∑
i=1
(λi(x, y, t)K(x, y))yiu
∗+
+
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)u
∗
xi +K(x, y)c(x, y, t)u∗+K(x, y)g(x, y, t, u∗)
)
dxdy, t ∈ [0, T ].
(12)
З iншого боку, f∗0 (t) та u∗(x, y, t) задовольняють рiвнiсть
f∗0 (t)
∫
Gt
K(x, y)f(x, y, t) dx dy = E′(t) +
∫
Gt
(
−
l∑
i=1
(λi(x, y, t)K(x, y))yiu
∗+
+
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)u
∗
xi +K(x, y)c(x, y, t)u∗ +K(x, y)g(x, y, t, u∗)
)
dxdy, t ∈ [0, T ].
(13)
Iз (12) та (13) випливає, що (E∗(t))′ = E′(t), t ∈ [0, T ]. Зiнтегрувавши цю рiвнiсть, отримаємо
E∗(t)− E∗(0) = E(t)− E(0), t ∈ [0, T ].
Оскiльки u∗(x, y, t) справджує умову (2), то E∗(0) =
∫
G
K(x, y)u0(x, y) dxdy. Крiм того, з (4)
випливає, що E(0) =
∫
G
K(x, y)u0(x, y) dxdy. Таким чином, E∗(0) = E(0). Тому E∗(t) = E(t),
t ∈ [0, T ], а отже, для u∗(x, y, t) виконується (4).
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
338 Н. П. ПРОЦАХ
Позначимо λ1 = maxi ess supQT |λiyi(x, y, t)|, f1 = max[0,T ]
∫
Gt
(f(x, y, t))2 dxdy, K1(t) =
=
∫
Gt
K(x, y)f(x, y, t) dx dy, K2(x, y, t) = −
∑l
i=1
(K(x, y)λi(x, y, t))yi + K(x, y)c(x, y, t),
K3 = (g0)2
∫
G
(K(x, y))2 dxdy, Kij(x, y, t) = Kxj (x, y)aij(x, y, t), i, j = 1, . . . , n, α1 = lλ1 −
− 2c0 + 2g0 + 1 + 1/T1, 0 < T1 ≤ T.
Нехай число T1 таке, що виконуються нерiвностi α1 > 0 та
3f1T1e
α1T1
inf
[0,T1]
(K1(t))2 min{1; 2a0}
max
sup
[0,T1]
∫
Gt
(K2(x, y, t))2 dxdy +K3;
n3 max
i,j
max
[0,T1]
∫
Gt
(Kij(x, y, t))
2 dxdy
< 1. (14)
Лема 3. Нехай виконуються умови (A), (C), (L), (U), (H), (E), (K), (F), (S) та aijyk , aijxi ,
cyk ∈ L∞(QT1), fyk ∈ L2(QT1), i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l, f |S1
T1
= 0 i, крiм того, K1(t) 6= 0
для всiх t ∈ [0, T1]. Тодi iснує узагальнений розв’язок задачi (1) – (4) в областi QT1 .
Доведення. Нехай T = T1. Використаємо метод послiдовних наближень. Як у [8], побудуємо
наближення (um(x, y, t), fm0 (t)) розв’язку задачi (1) – (4), де функцiї um(x, y, t) i fm0 (t), m ∈ N,
визначаються так, що вони задовольняють систему рiвностей
f1
0 (t) := 0,
fm0 (t)=[K1(t)]−1
E′(t)−∫
Gt
l∑
i=1
(λi(x, y, t)K(x, y))yiu
m−1−
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)u
m−1
xi −
−K(x, y)c(x, y, t)um−1 −K(x, y)g(x, y, t, um−1)
dxdy
, t ∈ [0, T1], m ≥ 2, (15)
um задовольняє рiвнiсть
T1∫
0
〈umt , v〉 dt+
∫
QT1
l∑
i=1
λi(x, y, t)u
m
yiv +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)u
m
xivxj + c(x, y, t)umv+
+ g(x, y, t, um)v
dx dy dt =
∫
QT1
f(x, y, t)fm0 (t)v dx dy dt, m ≥ 1, (16)
um(x, y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ G, (17)
причому рiвнiсть (16) виконується для всiх v ∈ V1(QT1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 339
Iз (15) випливає, що fm0 ∈ L2(0, T1), m ≥ 2. На пiдставi теорем 1 i 2 для кожного m ∈ N
iснує єдина функцiя um ∈ V3(QT1)∩C([0, T1];L2(G)) така, що umt ∈ L2(0, T1;V ∗2 (G))+L2(QT1)
i справджуються рiвностi (16), (17).
Покажемо, що послiдовнiсть {(um(x, y, t), fm0 (t))}∞m=1 збiгається до узагальненого розв’яз-
ку задачi (1) – (4). Позначимо
zm := zm(x, y, t) = um(x, y, t)− um−1(x, y, t), rm(t) = fm0 (t)− fm−1
0 (t), m ≥ 2.
Використовуючи рiвностi (16), знаходимо, що для всiх функцiй v ∈ V1(QT1) справджуються
рiвностi
T1∫
0
〈zmt , v〉 dt+
∫
QT1
l∑
i=1
λi(x, y, t)z
m
yi v +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)z
m
xivxj + c(x, y, t)zmv+
+(g(x, y, t, um)− g(x, y, t, um−1))v
dx dy dt =
∫
QT1
rm(t)f(x, y, t)vdx dy dt, m ≥ 2. (18)
Оскiльки iз (17) випливає, що zm(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ G, m ≥ 2, то, згiдно з лемою 1, iз (18)
отримуємо
1
2
∫
Gτ
|zm|2e−ατ dx dy +
∫
Qτ
α
2
|zm|2 +
l∑
i=1
λi(x, y, t)z
m
yi z
m +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)z
m
xiz
m
xj+
+c(x, y, t)|zm|2 + (g(x, y, t, um)− g(x, y, t, um−1))zm
e−αtdx dy dt =
=
∫
Qτ
rm(t)f(x, y, t)zme−αt dx dy dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2, (19)
для довiльного α ≥ 0. Оскiльки, використавши нерiвнiсть |ab| ≤ δ
2
a2 +
1
2δ
b2, δ > 0, a, b ∈ R,
одержимо
2
∫
Qτ
rm(t)f(x, y, t)zme−αt dx dy dt ≤
≤ δf1
τ∫
0
|rm(t)|2e−αt dt+
1
δ
∫
Qτ
|zm|2e−αt dx dy dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2,
та на пiдставi умови (H)∫
Qτ
(g(x, y, t, um)− g(x, y, t, um−1))zme−αtdx dy dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
340 Н. П. ПРОЦАХ
≤ g0
∫
Qτ
|zm|2e−αt dx dy dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2,
то з (19) випливають оцiнки
∫
Gτ
|zm|2e−ατ dx dy +
∫
S2
τ
l∑
i=1
λi(x, y, t)|zm|2 cos (ν, yi)e
−αt dx dσdt+
∫
Qτ
[
(α− lλ1 + 2c0−
−1
δ
− 2g0)|zm|2 + 2a0
n∑
i=1
|zmxi |
2
]
e−αt dx dy dt ≤ δf1
τ∫
0
|rm(t)|2e−αt dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2.
(20)
Покладемо в (20) α = α1, δ = T1. Позначимо sm(t) :=
∫
Gt
[
|zm|2 +
∑n
i=1
|zmxi |
2
]
dx dy,
m ∈ N. Тодi з (20) випливають такi нерiвностi:
τ∫
0
sm(t) dt ≤ T1M1
τ∫
0
|rm(t)|2 dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2, (21)
де
M1 :=
f1e
α1T1
min{1; 2a0}
, (22)
∫
Gτ
|zm|2 dx dy ≤ T1f1e
α1T1
τ∫
0
|rm(t)|2 dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2. (23)
Оцiнимо значення |rm(t)|, m ≥ 3. На пiдставi (15) отримуємо
rm(t) = [K1(t)]−1
∫
Gt
− l∑
i=1
(K(x, y)λi(x, y, t))yiz
m−1 +
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)z
m−1
xi +
+K(x, y)c(x, y, t)zm−1 +K(x, y)(g(x, y, t, um−1)− g(x, y, t, um−2))
dxdy, (24)
t ∈ [0, T1], m ≥ 3.
Пiднiсши обидвi частини (24) до квадрата i використавши нерiвнiсть Гельдера, одержимо
|rm(t)|2 ≤ 3[K1(t)]−2
∫
Gt
(
K2(x, y, t)
)2
dxdy
∫
Gt
|zm−1|2 dxdy +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 341
+n2
n∑
i,j=1
∫
Gt
|Kij(x, y, t)|2 dxdy
∫
Gt
|zm−1
xi |
2 dxdy +K3
∫
Gt
|zm−1|2 dxdy
, t ∈ [0, T1], m ≥ 3.
(25)
Зiнтегрувавши (25) за змiнною t вiд 0 до τ, отримаємо оцiнки
τ∫
0
|rm(t)|2 dt ≤M2
τ∫
0
sm−1(t) dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 3, (26)
де
M2 := inf
[0,T1]
3[K1(t)]−2 max
sup
[0,T1]
∫
Gt
(
K2(x, y, t)
)2
dxdy +K3;
n3 max
i,j
sup
[0,T1]
∫
Gt
(Kij(x, y, t))
2 dxdy
. (27)
Iз (21) та (26) випливає, що
τ∫
0
|rm+1(t)|2 dt ≤M2
τ∫
0
sm(t) dt ≤ T1M3
τ∫
0
|rm(t)|2 dt,
де τ ∈ (0, T1], M3 := M1M2, m ≥ 2. Звiдси отримуємо
τ∫
0
|rm(t)|2 dt ≤ T1M3
τ∫
0
|rm−1(t)|2 dt ≤ (T1M3)m−1
τ∫
0
|r1(t)|2 dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 3. (28)
Згiдно з (14), |T1M3| < 1. Використавши (28), отримаємо, шо для всiх k,m ∈ N, m ≥ 3
справджується нерiвнiсть
τ∫
0
|fm+k
0 (t)− fm0 (t)|2 dt ≤
m+k∑
i=m+1
τ∫
0
|ri(t)|2 dt ≤
m+k∑
i=m+1
(T1M3)i−1
τ∫
0
|r1(t)|2 dt ≤
≤ (T1M3)m(1− (T1M3)k)
1− T1M3
τ∫
0
|r1(t)|2 dt ≤ (T1M3)m
1− T1M3
τ∫
0
|r1(t)|2 dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 3.
(29)
Iз (29) випливає, що для довiльного ε > 0 iснує таке m0, що для всiх k, m ∈ N, m > m0,
виконується нерiвнiсть ‖fm+k
0 (t) − fm0 (t);L2(0, T1)‖ ≤ ε. Отже, послiдовнiсть {fm0 }∞m=1 є
фундаментальною в L2(0, T1). Тодi з (21) та (23) випливає, що {um}∞m=1 є фундаментальною
в L2(QT1) ∩ C([0, T1];L2(G)) i послiдовнiсть {umxi}
∞
m=1 є фундаментальною в L2(QT1), а тому
при m→∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
342 Н. П. ПРОЦАХ
um → u сильно в L2(QT1) ∩ C([0, T1];L2(G)),
umxi → uxi сильно в L2(QT1), i = 1, . . . , n,
(30)
fm0 → f0 сильно в L2(0, T1). (31)
Крiм того, у статтi [14] для наближень um,N встановлено такi оцiнки (див. (16) та (18) iз
[14]):
∫
Gτ
l∑
i=1
|um,Nyi |
2dx dy ≤ C1
∫
QT1
(
|f(x, y, t)|2|fm0 (t)|2 +
l∑
i=1
|fyi(x, y, t)|2|fm0 (t)|2
)
dx dy dt+
+
∫
G
(
|u0(x, y)|2 +
l∑
i=1
|u0yi(x, y)|2 dxdy
) , τ ∈ [0, T1],
‖um,Nt ;L2(QT1) + L2(0, T1;V ∗3 (G))‖ ≤ C2,
де сталiC1, C2 не залежать вiдN.Перейдемо до границi приN →∞.Оскiльки ‖v;L2(QT1)‖2 ≤
≤ limN→∞ ‖vN ;L2(QT1)‖2 [16, c. 20], а з (31) випливає обмеженiсть fm0 в QT1 , то отримаємо
∫
Gτ
l∑
i=1
|umyi |
2dx dy ≤ C3, τ ∈ [0, T1], ‖umt ;L2(QT1) + L2(0, T1;V ∗3 (G))‖ ≤ C4, (32)
де сталi C3, C4 не залежать вiдm. Iз (32) випливає, що з послiдовностi {um}∞m=1 можна вибрати
пiдпослiдовнiсть (збережемо для неї те саме позначення) таку, що
umyi → uyi слабко в L2(QT1), i = 1, . . . , l,
umt → ut слабко в L2(QT1) + L2(0, T1;V ∗3 (G)).
(33)
Врахувавши (30), (31), (33), (16), (15) i лему 2, отримаємо, що (u, f0) — узагальнений розв’язок
задачi (1) – (4) в областi QT1 .
Лему доведено.
Лема 4. Нехай K1(t) 6= 0 для всiх t ∈ [0, T1] i виконуються умови (A), (C), (F), (L), (U),
(H), (E), (K), (S). Тодi задача (1) – (4) не може мати бiльше одного узагальненого розв’язку в
областi QT1 .
Доведення. Припустимо, що (u(1), f
(1)
0 ), (u(2), f
(2)
0 ) — два узагальненi розв’язки задачi (1) –
(4) в QT1 . Тодi їхня рiзниця (ũ, f̃0), де ũ = u(1) − u(2), f̃0 = f
(1)
0 − f (2)
0 , задовольняє умову
ũ(x, y, 0) ≡ 0 та рiвнiсть
T1∫
0
〈ũt, v〉 dt+
∫
QT1
l∑
i=1
λi(x, y, t)ũyiv +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)ũxivxj + c(x, y, t)ũv+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 343
+(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))v
dx dy dt =
∫
QT1
f(x, y, t)f̃0(t)v dx dy dt (34)
для всiх v ∈ V1(QT1). Згiдно з лемою 1, для пари функцiй (ũ, f̃0) та α = lλ1−2c0+1/δ+1−2g0,
δ > 0, виконується рiвнiсть∫
Gτ
|ũ|2e−ατ dx dy +
∫
Qτ
[
α|ũ|2 + 2
l∑
i=1
λi(x, y, t)ũyi ũ+ 2
n∑
i=1
aij(x, y, t)ũxi ũxj + 2c(x, y, t)|ũ|2+
+2(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))ũ
]
e−αt dx dy dt =
= 2
∫
Qτ
f(x, y, t)f̃0(t)ũe−αt dx dy dt, τ ∈ (0, T1].
Звiдси, як iз (19), отримуємо оцiнку∫
Gτ
|ũ|2e−ατ dx dy +
∫
S2
τ
l∑
i=1
λi(x, y, t)|ũ|2 cos(ν, yi)e
−αt dx dσdt+
∫
Qτ
[
(α− lλ1 + 2c0−
−1
δ
− 2g0)|ũ|2 + 2a0
n∑
i=1
|ũxi |2
]
e−αt dx dy dt ≤ δf1
τ∫
0
|f̃0(t)|2e−αt dt, τ ∈ (0, T1]. (35)
В оцiнцi (35) покладемо δ = T1, α = α1. Тодi з (35) випливає оцiнка∫
Qτ
[
|ũ|2 +
n∑
i=1
|ũxi |2
]
dx dy dt ≤ T1M1
τ∫
0
|f̃0(t)|2 dt, τ ∈ (0, T1], m ≥ 2, (36)
де M1 визначено в (22). Крiм того, на пiдставi (8) отримуємо
K1(t)f̃0(t) =
∫
Gt
− l∑
i=1
(λi(x, y, t)K(x, y))yi ũ+
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)ũxi+
+K(x, y)c(x, y, t)ũ+K(x, y)(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))
dxdy, t ∈ [0, T1]. (37)
Пiднiсши (37) до квадрата, зiнтегрувавши по t вiд 0 до T1 та оцiнивши подiбно до (25),
отримаємо
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt ≤M2
∫
QT1
[
|ũ|2 +
n∑
i=1
|ũxi |2
]
dx dy dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
344 Н. П. ПРОЦАХ
де M2 означено в (27). Врахувавши оцiнку (36) для τ = T1, знайдемо
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt ≤M1M2T1
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt.
Тому
(1−M1M2T1)
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt ≤ 0. (38)
Оцiнка (38) можлива лише при
∫ T1
0
|f̃0(t)|2 dt ≤ 0, тому f̃0 ≡ 0 та f (1)
0 = f
(2)
0 . Тодi з (36)
випливає
∫
Qτ
|ũ|2 dx dy dt ≤ 0, а тому u(1) = u(2) в QT1 .
Лему доведено.
Нехай тепер T1 < T.
Теорема 3. Нехай виконуються умови (A), (C), (L), (U), (H), (E), (K), (F), (S) та aijyk , aijxi ,
cyk ∈ L∞(QT ), fyk ∈ L2(QT ), i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l, f |S1
T
= 0 i, крiм того, K1(t) 6= 0 для
всiх t ∈ [0, T ]. Тодi iснує узагальнений розв’язок задачi (1) – (4) в областi QT .
Доведення. Розiб’ємо вiдрiзок [0, T ] на скiнченну кiлькiсть вiдрiзкiв [0, T1], [T1, 2T1], . . .
. . . , [(N − 1)T1, NT1], де NT1 = T, а число T1 знову задовольняє нерiвностi α1 ≥ 0 та (14). На
пiдставi лем 3, 4 в областi QT1 iснує єдиний узагальнений розв’язок (u1(x, y, t), f0,1(t)) задачi
(1) – (4).
Доведемо, що за умов теореми в областiQT1,2T1 := G×(T1; 2T1) iснує єдиний узагальнений
розв’язок задачi для рiвняння (1) з умовами (3), (4) при t ∈ [T1; 2T1] та початковою умовою
u(x, y, T1) = u1(x, y, T1), (x, y) ∈ G.
Виконаємо в цiй задачi замiну t = τ + T1, τ ∈ [0;T1]. Позначимо F0(τ) = f0(τ + T1),
U(x, y, τ) = u(x, y, τ + T1), λ
(1)
i (x, y, τ) = λi(x, y, τ + T1), a
(1)
ij (x, y, τ) = aij(x, y, τ + T1),
c(1)(x, y, τ) = c(x, y, τ + T1), g(1)(x, y, τ, U) = g(x, y, τ + T1, u(x, y, τ + T1)), f (1)(x, y, τ) =
= f(x, y, τ + T1), E(1)(τ) = E(τ + T1). Для пари функцiй (U(x, y, τ), F0(τ)) отримаємо задачу
Uτ +
l∑
i=1
λ
(1)
i (x, y, τ)Uyi −
n∑
i,j=1
(a
(1)
ij (x, y, τ)Uxi)xj + c(1)(x, y, τ)U+
+g(1)(x, y, τ, U) = f (1)(x, y, τ)F0(τ), (x, y, τ) ∈ QT1 , (39)
U(x, y, 0) = u1(x, y, T1), (x, y) ∈ G, (40)
U |ΣT1 = 0, U |S1
T1
= 0, (41)∫
Gτ
K(x, y)U(x, y, τ) dxdy = E(1)(τ), τ ∈ [0, T1]. (42)
Очевидно, що всi коефiцiєнти рiвняння (39) та функцiї f (1)(x, y, τ), u1(x, y, T1), E(1)(τ) задо-
вольняють всi тi ж самi умови, що й вiдповiднi функцiї з (1) та (4). За лемами 3, 4 iснує єдиний
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 345
узагальнений розв’язок задачi (39) – (42) в QT1 , а отже, i задачi для рiвняння (1) з умовами
(3), (4) при t ∈ [T1; 2T1] та початковою умовою u(x, y, T1) = u1(x, y, T1), (x, y) ∈ G, в облас-
тi QT1,2T1 . Позначимо його (u2(x, y, t), f0,2(t)). Проводячи аналогiчнi мiркування на промiж-
ках [2T1; 3T1], . . . , [(N − 1)T1;NT1], доводимо iснування та єдинiсть узагальнених розв’язкiв
(uk(x, y, kt), f0,k(t)), k = 3, . . . , N, оберненої задачi для рiвняння (1) з умовами (3), (4) при
t ∈ [(k−1)T1; kT1] та початковою умовою u(x, y, (k−1)T1) = uk−1(x, y, (k−1)T1), (x, y) ∈ G,
в областi Q(k−1)T1,kT1 := G× ((k− 1)T1, kT1). Очевидно, що пара функцiй (u(x, y, t), f0(t)), де
u(x, y, t) =
u1(x, y, t), якщо (x, y, t) ∈ QT1 ,
u2(x, y, t), якщо (x, y, t) ∈ QT1,2T1 ,
. . . . . .
uN (x, y, t), якщо (x, y, t) ∈ Q(N−1)T1,NT1 ,
f0(t) =
f0,1(t), якщо t ∈ [0, T1],
f0,2(t), якщо t ∈ [T1, 2T1],
. . . . . .
f0,N (t), якщо t ∈ [(N − 1)T1, NT1],
є узагальненим розв’язком задачi (1) – (4) в областi QT .
Теорему доведено.
Теорема 4. Нехай K1(t) 6= 0 для всiх t ∈ [0, T ] i виконуються умови (A), (C), (F), (L), (U),
(H), (E), (K), (S). Тодi задача (1) – (4) не може мати бiльше одного узагальненого розв’язку.
Доведення. Припустимо, що (u(1), f
(1)
0 ), (u(2), f
(2)
0 ) — два узагальненi розв’язки задачi (1) –
(4). Тодi їхня рiзниця (ũ, f̃0), де ũ = u(1)−u(2), f̃0 = f
(1)
0 −f
(2)
0 , задовольняє умову ũ(x, y, 0) ≡ 0
та рiвнiсть
T∫
0
〈ũt, v〉 dt+
∫
QT
l∑
i=1
λi(x, y, t)ũyiv +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)ũxivxj + c(x, y, t)ũv+
+(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))v
dx dy dt =
∫
QT
f(x, y, t)f̃0(t)v dx dy dt (43)
для всiх v ∈ V1(QT ). Згiдно з лемою 1, для пари функцiй (ũ, f̃0) та α = α1 виконується рiвнiсть∫
Gτ
|ũ|2e−ατ dx dy +
∫
Qτ
[
α|ũ|2 + 2
l∑
i=1
λi(x, y, t)ũyi ũ+ 2
n∑
i=1
aij(x, y, t)ũxi ũxj + 2c(x, y, t)|ũ|2+
+2(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))ũ
]
e−αt dx dy dt =
= 2
∫
Qτ
f(x, y, t)f̃0(t)ũe−αt dx dy dt, τ ∈ (0, T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
346 Н. П. ПРОЦАХ
Нехай число T1 задовольняє умову (14). Звiдси, як iз (19), отримуємо оцiнку∫
Gτ
|ũ|2e−α1τ dx dy +
∫
S2
τ
l∑
i=1
λi(x, y, t)|ũ|2 cos(ν, yi)e
−α1t dx dσdt+
+
∫
Qτ
[
|ũ|2 + 2a0
n∑
i=1
|ũxi |2
]
e−α1t dx dy dt ≤ T1f1
τ∫
0
|f̃0(t)|2e−α1t dt, τ ∈ (0, T ]. (44)
В (44) покладемо τ = T1. Тодi з (44) випливає оцiнка
∫
QT1
[
|ũ|2 +
n∑
i=1
|ũxi |2
]
dx dy dt ≤ T1M1
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt, m ≥ 2, (45)
де M1 визначено в (22). Крiм того, на пiдставi (8) отримуємо
f̃0(t) = [K1(t)]−1
∫
Gt
− l∑
i=1
(λi(x, y, t)K(x, y))yi ũ+
n∑
i,j=1
Kxj (x, y)aij(x, y, t)ũxi+
+K(x, y)c(x, y, t)ũ+K(x, y)(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))
)
dxdy, t ∈ [0, T ]. (46)
Пiднiсши (46) до квадрата, зiнтегрувавши по t вiд 0 до T1 та оцiнивши подiбно до (25),
отримаємо
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt ≤M2
∫
QT1
[
|ũ|2 +
n∑
i=1
|ũxi |2
]
dx dy dt,
де M2 означено в (27). Врахувавши оцiнку (45), знайдемо
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt ≤M1M2T1
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt.
Тому
(1−M1M2T1)
T1∫
0
|f̃0(t)|2 dt ≤ 0. (47)
Оцiнка (47) можлива лише при
∫ T1
0
|f̃0(t)|2 dt ≤ 0, тому f̃0 ≡ 0 та f (1)
0 = f
(2)
0 на [0, T1]. Тодi з
(45) випливає
∫
QT1
|ũ|2 dx dy dt ≤ 0, а тому u(1) = u(2) в QT1 .
Тодi рiвнiсть (43) запишемо так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКО НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 347
T∫
T1
〈ũt, v〉 dt+
∫
QT1,T
l∑
i=1
λi(x, y, t)ũyiv +
n∑
i,j=1
aij(x, y, t)ũxivxj + c(x, y, t)ũv+
+(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))v
dx dy dt =
∫
QT1,T
f(x, y, t)f̃0(t)v dx dy dt (48)
для всiх v ∈ V1(QT ), ũ(x, y, T1) = 0. Виконавши в (48) та (46) замiну змiнних t = τ + T1,
τ ∈ [0, T−T1], та провiвши мiркування, аналогiчнi до попереднiх, переконаємося, що u(1) = u(2)
в Q[T1,2T1], f
(1)
0 = f
(2)
0 на [T1, 2T1]. Продовжуючи так само доведення, встановлюємо, що
u(1) = u(2) в QT , f
(1)
0 = f
(2)
0 на [0, T ].
Теорему доведено.
Зауваження 1. Результати роботи можуть бути перенесенi на випадок оберненої задачi
для рiвняння
L[u] := ut +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi −
n∑
i=1,j
(aij(x, y, t)uxi)xj + c(x, y, t)u+ g0(x, y, t)u =
= f(x, y, t)f0(t) + h(x, y, t) (49)
з умовами (2) – (4), де вихiднi данi задачi задовольняють умови (A), (C), (F), (L), (U), (H), (E),
(K), причому h ∈ C([0, T ];L2(G)), hyj ∈ L2(QT ), j = 1, . . . , l, h|ST = 0.
Узагальнений розв’язок задачi (49), (2) – (4) визначає формула
{u(x, y, t), f0(t)} = {v(x, y, t), 0}+ {w(x, y, t), f0(t)},
де v — узагальнений розв’язок прямої задачi для рiвняння L[v] = h(x, y, t) з умовами (2),
(3), а пара {w(x, y, t), f0(t)} — узагальнений розв’язок оберненої задачi для рiвняння L[w] =
= f(x, y, t)f0(t) з умовами (3), w(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ G та умовою перевизначення∫
Gt
K(x, y)w(x, y, t) dxdy = E(t)−
∫
Gt
K(x, y)v(x, y, t) dxdy, t ∈ [0, T ].
1. Камынин В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием
интегрального переопределения // Мат. заметки. – 2005. – 77, № 4. – С. 522 – 534.
2. Kozhanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation II // J.
Inverse Ill-Posed Probl. – 2003. – 11, № 5. – P. 505 – 522.
3. Ivanchov M. I. Inverse problem for semilinear parabolic equation // Мат. студ. – 2008. – 29. – С. 181 – 191.
4. Ivanchov M. I. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Stud., Monograph Ser. – 2003. – Vol. 10. –
238 p.
5. Prilepko A. I., Kostin A. B. On inverse problems of determining a coefficient in a parabolic equation. II // Sibirsk.
Mat. Zh. – 1993. – 34, № 5. – P. 147 – 162.
6. Borukhov V. T., Vabishchevich P. N. Numerical solution of the inverse problem of recovering a distributed right-hand
side of a parabolic equation // Comput. Phys. Communs. – 2000. – 126. – P. 32 – 36.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
348 Н. П. ПРОЦАХ
7. Павлов С. С. Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом
уравнении // Вестн. Челябин. гос. ун-та. – 2011. – № 26. – С. 27 – 37.
8. Бейлина Н. В. Обратная задача с интегральным условием переопределения для гиперболического уравнения
// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Физ.-мат. науки. – 2008. – 65, № 6. – С. 28 – 39.
9. Lorenzi A. Identification problems in Banach spaces for linear first-order partial differential equations in one space
dimension and applications // J. Inverse Ill-Posed Probl. – 2012. – 20. – P. 65 – 102.
10. Lorenzi L. An identification problem for an ultraparabolic integrodifferential equation // J. Math. Anal. and Appl. –
1999. – 234. – P. 417 – 456.
11. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type. – Birkhäuser, 2004. – 390 p.
12. Дронь В. С., Iвасишен С. Д. Про коректну розв’язнiсть задачi Кошi для вироджених параболiчних рiвнянь типу
Колмогорова // Укр. мат. вiсн. – 2004. – № 1. – С. 61 – 68.
13. Lavrenyuk S., Protsakh N. Boundary value problem for nonlinear ultraparabolic equation in unbounded with respect
to time variable domain // Tatra Mt. Math. Publ. – 2007. – 38. – P. 131 – 146.
14. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мiшана задача для нелiнiйного ультрапараболiчного рiвняння, яке узагальнює
рiвняння дифузiї з iнерцiєю // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 9. – С. 1192 – 1210.
15. Protsakh N. Mixed problem for degenerate nonlinear ultraparabolic equation // Tatra Mt. Math. Publ. – 2009. – 43. –
P. 203 – 214.
16. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Hелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные
уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 c.
Одержано 11.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2136 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:22Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/55/1f4aba2863ce17cfd3fdcb7e70d0a055.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21362019-12-05T10:24:58Z Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side Обернена задача для слабко нелінійного ультрапараболічного рівняння з невідомою правою частиною Protsakh, N. P. Процах, Н. П. The inverse problem of determination of a time-dependent multiplier of the right-hand side is studied for a semilinear ultraparabolic equation with integral overdetermination condition in a bounded domain. The conditions for the existence and uniqueness of solution of the posed problem are obtained. В ограниченной области рассмотрена обратная задача определения зависящего от времени множителя правой части слабо нелинейного ультрапараболического уравнения, когда задано интегральное условие переопределения. Получены условия, при которых решение задачи существует и является единственным. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2136 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 3 (2014); 333–348 Український математичний журнал; Том 66 № 3 (2014); 333–348 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2136/1274 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2136/1275 Copyright (c) 2014 Protsakh N. P. |
| spellingShingle | Protsakh, N. P. Процах, Н. П. Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side |
| title | Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side |
| title_alt | Обернена задача для слабко нелінійного ультрапараболічного рівняння з невідомою правою частиною |
| title_full | Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side |
| title_fullStr | Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side |
| title_full_unstemmed | Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side |
| title_short | Inverse Problem for a Semilinear Ultraparabolic Equation with Unknown Right-Hand Side |
| title_sort | inverse problem for a semilinear ultraparabolic equation with unknown right-hand side |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2136 |
| work_keys_str_mv | AT protsakhnp inverseproblemforasemilinearultraparabolicequationwithunknownrighthandside AT procahnp inverseproblemforasemilinearultraparabolicequationwithunknownrighthandside AT protsakhnp obernenazadačadlâslabkonelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnâznevídomoûpravoûčastinoû AT procahnp obernenazadačadlâslabkonelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnâznevídomoûpravoûčastinoû |