Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis
In terms of the best polynomial approximations in the multiple Haar basis, we obtain a constructive characteristic of the Hölder classes H p α of functions defined on the unit cube \( \mathbb{I} \) d of the space ℝ d under the restriction \( 0
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2137 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508074360438784 |
|---|---|
| author | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:58Z |
| description | In terms of the best polynomial approximations in the multiple Haar basis, we obtain a constructive characteristic of the Hölder classes H p α of functions defined on the unit cube \( \mathbb{I} \) d of the space ℝ d under the restriction \( 0 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КОНСТРУКТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА
И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО КРАТНОМУ БАЗИСУ ХААРА
In terms of the best polynomial approximations in the multiple Haar basis, we obtain a constructive characteristic of Hölder
classes Hα
p of functions defined on the unit cube Id in the space Rd under the restriction 0 < α <
1
p
≤ 1. In addition, we
solve the problem of order estimates of the best m-term approximations in the Haar basis of classes Hα
p in the Lebesque
spaces Lq(Id).
У термiнах найкращих полiномiальних наближень за кратним базисом Хаара отримано конструктивну характерис-
тику класiв Гельдера Hα
p функцiй, визначених на одиничному кубi Id простору Rd, при обмеженнi 0 < α <
1
p
≤ 1.
Розв’язано також задачу про порядковi оцiнки найкращих m-членних наближень за базисом Хаара класiв Hα
p у
просторах Лебега Lq(Id).
Всюду в работе используются стандартные обозначения N, R, R+, Z и Z+ соответственно
для множеств натуральных, вещественных, вещественных неотрицательных, целых и целых
неотрицательных чисел.
Через Ad =
∏d
i=1
A, d ∈ N, обозначено декартово произведение d множеств A, где A —
одно из множеств N, R, R+, Z, Z+ или отрезок [a, b] ⊂ R, а через
⊗d
i=1 M(i) — тензорное
произведение некоторых множеств M(i), i = 1, d, в частности функциональных; ]A обозначает
количество точек конечного множества A ⊂ Zd, а cardA — количество элементов некоторого
конечного множества A.
Для выражений a и b, определяемых некоторой совокупностью параметров, запись a � b
означает, что существуют положительные величины c1 и c2, не зависящие от одного суще-
ственного параметра, такие, что c1b ≤ a ≤ c2b. Если только a ≤ c2b (c1b ≤ a), то пишем a� b
(a � b). В большинстве случаев в отношениях a � b существенным является один из число-
вых параметров n, k, N и т. п. В некоторых ситуациях, с целью исключения недоразумений,
параметр, от которого не зависят величины c1 и c2, будем указывать явно, например a
f
� b.
Через C(p), C1(d, p) обозначены величины, зависящие, возможно, только от указанных
в скобках параметров и положительные при всех допустимых значениях этих параметров, а
через C, C1, C2 и т. п. — абсолютные положительные постоянные, необязательно одинаковые
в разных местах текста.
Через Lq(Id), 1 ≤ q < ∞, обозначено банахово пространство функций ϕ : Id → R (I :=
:= [0, 1]), измеримых и суммируемых в степени q на Id, с нормой
‖ϕ‖q :=
∫
Id
|ϕ(x)|qdx
1/q
,
где x = (x1, . . . , xd) — элемент евклидового пространства Rd. L∞(Id) — пространство функций
ϕ, измеримых и существенно ограниченных на Id, с нормой
‖ϕ‖∞ := ess sup
x∈Id
|ϕ(x)|.
c© В. С. РОМАНЮК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3 349
350 В. С. РОМАНЮК
В дальнейшем иногда вместо Lq(Id) будем писать Lq.
Пусть 1 ≤ p <∞. Определим p-интегральный модуль непрерывности функции f ∈ Lp:
ω(f, t)p := sup
0≤τi≤t<1
(∫
Idτ
|f(x+ τ)− f(x)|pdx
)1/p
,
где τ = (τ1, . . . , τd) ∈ Rd+, Idτ :=
d∏
i=1
[0, 1− τi].
Положим также
ω(f, t)∞ := sup
0≤τi≤t<1
ess sup
x∈Idτ
|f(x+ τ)− f(x)|
для f ∈ L∞.
Определение базисной системы Хаара функций многих переменных дадим с помощью двух
различных способов индексации ее элементов, отправляясь от известной системы Хаара функ-
ций одной переменной. Информацию о базисе Хаара (одномерном) и его основных свойствах
можно найти в книге [1], а также в статьях [2, 3].
Обратим внимание на то, что приведенное ниже исходное определение функций Хаара
несколько отличается от оригинального (см. [4]) и от принятого в [1] как нумерацией этих
функций, так и их значениями в конечном числе точек отрезка [0, 1]. Однако последнее об-
стоятельство никак не отражается на изучаемых в работе свойствах базисных систем Hd
0, Hd
0
и базиса Hd в пространстве Lp(Id), 1 ≤ p ≤ ∞ ( но существенно при выявлении свойств в
пространстве непрерывных на Id функций).
Обозначим через Dj , j = 0, 1, . . . , множество двоичных интервалов j-го уровня отрезка I:
D0 = {I0
0} = {I} ,
Dj =
{
Isj , s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1
}
, j = 1, 2, . . . ,
где Isj = [s2−j+1, (s+ 1)2−j+1), s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1.
Определим функции Хаара:
H̃I00
(t) = 1, t ∈ I,
и для j = 1, 2, . . . , s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1
H̃Isj
(t) =
1, t ∈ I2s
j+1 :=
[
s2−j+1,
(
s+
1
2
)
2−j+1
)
,
−1, t ∈ I2s+1
j+1 :=
[(
s+
1
2
)
2−j+1, (s+ 1)2−j+1
)
,
0, t ∈ I \ Isj .
Нормируем ортогональную систему {H̃Isj
} в L2(I) и положим
HIsj
(t) := |Isj |−1/2 · H̃Isj
(t),
где |Isj | = 2−j+1 — длина интервала Isj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
КОНСТРУКТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 351
Система функций H = {HI00
} ∪ {HIsj
} j=1,2,...
s=0,1,...,2j−1−1
называется базисной системой Хаара.
Упорядочим систему H следующим образом. Положим
h0(t) = 1, t ∈ I0
0 ,
и для 0 ≤ s < 2j−1, j = 1, 2, . . . ,
h2j−1+s(t) = hsj(t) = HIsj
(t).
Система H = (hn)∞n=0 — ортонормированный базис в Lp(I), 1 ≤ p <∞ (см. [1]).
Базисная система Hd
0 с индексацией кубами двоичного разбиения Id. Пусть теперь d ∈ N
и Qj :=
⊗d
i=1Dj , j = 1, 2, . . . , — множество кубов I двоичного разбиения (куба Id) объемом
vol I = 2(−j+1)d, т. е.
Qj =
{
I lj =
d∏
i=1
I lij : l = (l1, . . . , ld) ∈ Zd+, 0 ≤ li < 2j−1, i = 1, d
}
.
Обозначим через Q :=
⋃∞
j=1
Qj множество всех кубов двоичного разбиения куба Id. Пусть
далее χA(t) — характеристическая функция множества A ⊂ Rd. Тогда полагаем
Hd
0 := {HId} ∪ {HI}I∈Q,
где функция
HId(x) = χId(x), x ∈ Rd,
и если j ∈ N фиксировано и I ∈ Qj (т. е. I =
∏d
i=1
Isij ), то
HI(x1, . . . , xd) =
∏
i∈E
HI
si
j
(xi)×
∏
i∈T\E
|Isij |
−1/2χIsij
(xi). (1)
Здесь E — произвольное непустое подмножество множества T := {1, 2, . . . , d}, в том числе
E = T.
Заметим, что совокупностью всех подмножеств E с заданным числом cardE формулой (1)
определяется 2d−1 функция с носителями на фиксированном кубе I ∈ Qj , а значит, на каждом
кубе I lj :=
∏d
i=1
I lij , l = (l1, . . . , ld), 0 ≤ li < 2j−1, i = 1, d.
Векторная индексация функций базисной системы Hd
0. Положим
Y0,d = {0} = {( 0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
d компонент
)}
и
Yj,d = {k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd+ : 0 ≤ ki < 2j , i = 1, d}, j = 1, 2, . . . .
Обозначим Z0,d := Y0,d, Zj,d := Yj,d\Yj−1,d, j = 1, 2, . . . . Понятно, что Zd+ =
⋃∞
j=0
Zj,d.
Отметим, что ]Yj,d = 2jd и ]Zj,d = (2d − 1) · 2(j−1)d, т. е. ]Zj,d � 2jd.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
352 В. С. РОМАНЮК
Исходя из одномерного базиса Хаара H, определим для d ≥ 2 систему функций c d пере-
менными
Hd
0 = {hk}k∈Zd+ :=
∞⋃
j=0
{hk}k∈Zj,d ,
положив
h0 =
d⊗
i=1
h0,
и для k ∈ Zj,d, j = 2, 3, . . . ,
hk =
⊗
i∈E
hki ⊗
⊗
i∈T\E
|h2j−1+ki |,
где E = {i ∈ T : 2j−1 ≤ ki < 2j}.
Понятно, что Hd
0 ≡ Hd
0, т. е. множества {hk}k∈Zd+ и Hd
0 совпадают.
Как было отмечено, для каждого j = 1, 2, . . . и l = (l1, . . . , ld) ∈ Zd+, 0 ≤ li < 2j−1, i = 1, d,
на двоичном кубе I lj =
∏d
i=1
I lij ∈ Qj сосредоточены носители ровно 2d − 1 функции из
множества {hk}k∈Zd+ и между индексацией двоичными кубами из Qj функций множества Hd
0 и
индексацией векторами из Zj,d функций множества Hd
0 устанавливается взаимно однозначное
соответствие, при этом {hI}I∈Qj = {hk}k∈Zj,d .
Базис Хаара – Шаудера Hd в Lp(Id), 1 ≤ p <∞. Упорядочим векторы k = (k1, . . . , kd)
множества Zd+, расположив их в виде последовательности k
(1)
, k
(2)
, . . . , k
(m)
, . . . так, что k
(1)
=
= (0, 0, . . . , 0) ∈ Zd+ и для любого i = 2, 3, . . .
max{k(i)
j : 1 ≤ j ≤ d} ≤ max
{
k
(i+1)
j : 1 ≤ j ≤ d
}
.
В [5] показано, что ортонормированная система Hd = (h
k
(i))∞i=1 или система Hd = (hi)
∞
i=1
(если положить hi = h
k
(i)) является базисом Хаара – Шаудера в Lp(Id), 1 ≤ p < ∞, и для
любой функции f ∈ Lp(Id) при 1 ≤ p ≤ ∞ справедливо следующее разложение Фурье – Хаара,
сходящееся в пространстве Lp(Id):
f(x) =
∞∑
j=0
Rjf(x), (2)
где Rj , j = 0, 1, . . . , — операторы, определенные на L1 соотношением
Rjf(x) =
∑
k∈Zj,d
(f, hk)hk(x),
(f, hk) :=
∫
Id
f(x)hk(x)dx — коэффициенты Фурье функции f по системе Hd
0. Таким образом,
Rj — ортопроектор пространства L1 на
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
КОНСТРУКТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 353
Wj := span
{
hk, k ∈ Zj,d
}
=
u : u =
∑
k∈Zj,d
ckhk, ck ∈ R
.
Разложение (2) и свойства системы Hd
0 ( или Hd
0) являются ключевыми при получении оценок
приближения функций f ∈ Lp конечномерными подпространствами, порожденными элемен-
тами базиса Hd, а также при оценке гладкостных характеристик этих функций. Так, в [5]
(лемма 3.2) доказано, что для любой функции f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p ≤ ∞, и n ∈ N выполняются
неравенства
‖Pnf‖p ≤ C1(d, p)‖f‖p (3)
и
‖f − Pnf‖p ≤ C2(d, p)ω(f ; 2−n)p, (4)
где Pn : Lp → Vn — оператор ортогонального проектирования пространства Lp(Id) на подпрост-
ранство
Vn := span
{
hk, k ∈ Yn,d
}
=
u : u =
∑
k∈Yn,d
ckhk, ck ∈ R
,
т. е.
Pnf(x) =
∑
k∈Yn,d
(f, hk)hk(x), f ∈ Lp(Id). (5)
Кроме того, установлено, что если f ∈ Vn, то для любого δ, 0 < δ ≤ 1,
ω(f, δ)p ≤ C(d, p)(min{δ 2n; 1})1/p‖f‖p. (6)
Важно отметить, что разложение (2), а также соотношения (3), (4) и (6) справедливы и в
пространстве C(Id) непрерывных на Id функций с нормой ‖ · ‖∞, если положить ω(f, δ)∞ =
= ω(f, δ) := supx,y∈Id,|x−y|≤δ |f(x) − f(y)|, 0 < δ ≤ 1, и подкорректировать определение
базисных функций Хаара соответственно их определению в [4].
1. Конструктивная характеристика классов Гельдера. В дополнение к (6) докажем
сначала утверждение об оценке сверху модуля непрерывности ω(f ; ·)p произвольной функции
f ∈ Lp через ее наилучшие приближения линейной оболочкой конечного числа фиксированных
функций базиса Hd. С этой целью введем дополнительные обозначения и определения, а также
сформулируем и докажем одно простое, но важное, вспомогательное утверждение.
Обозначим через EVn(f,Hd
0, Lp) наилучшее приближение функции f элементами подпро-
странства Vn:
EVn(f,Hd
0, Lp) := inf
ck∈R
∥∥∥∥∥∥f −
∑
k∈Yn,d
ckhk
∥∥∥∥∥∥
p
.
Отметим, что dimVn = ]Yn,d = 2nd, и в дальнейшем будем использовать сокращенное обозна-
чение EVn(f)p для EVn(f,Hd
0, Lp).
Следующее утверждение в случае d = 1 доказано в [2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
354 В. С. РОМАНЮК
Лемма 1. Для любой функции f ∈ Lp(Id) при 1 ≤ p ≤ ∞ справедливо соотношение
EVn(f)p � ‖f − Pn f‖p. (7)
Доказательство. Неравенство � в соотношении (7) тривиально, а для доказательства
неравенства � достаточно воспользоваться соотношением (3). В самом деле, обозначив через
P ∗n f ∈ Vn полином наилучшего приближения функции f (подпространством Vn) в пространст-
ве Lp(Id), получим
‖f − Pn f‖p ≤ ‖f − Pn(P ∗n f) + Pn(P ∗n f)− Pn f‖p ≤
≤ ‖f − P ∗n‖p + ‖Pn(P ∗n f)− Pn f‖p ≤ (1 + C1(d, p))EVn(f)p.
Отметим, что существование полинома P ∗n f гарантируется конечномерностью подпространст-
ва Vn (см., например, [6, c. 12]).
Теорема 1. Пусть f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p <∞. Тогда для любого n ∈ N
ω(f, 2−n)p ≤ C(1)
p 2−n/p
n∑
k=0
2k/pEVk(f)p, (8)
где C(1)
p > 0 — величина, зависящая только от p.
Замечание 1. В случае d = 1 неравенство (8), а также следствие из него (неравенство
(11)) доказаны Б. И. Голубовым [3] с указанием наименьших, в определенном смысле, величин
C
(1)
p и C(2)
p . Кроме того, в [3] отслежена история установления неравенств типа (8) и (11) для
системы Хаара.
Доказательство теоремы 1. Неравенство (8) фактически установлено в [5] в процессе
доказательства теоремы 4.1. Воспроизведем его доказательство здесь.
Итак, для f ∈ Lp(Id) и n ∈ N, исходя из равенства f = f − Pn f +
∑n
k=0
Rk f, согласно
(6) и с учетом неравенства ω(f, δ)p ≤ 2‖f‖p, 0 < δ ≤ 1, получаем
ω(f, 2−n)p ≤ ω(f − Pn f, 2−n)p +
n∑
k=0
ω(Rk f, 2
−n)p ≤
≤ 2
(
‖f − Pn f‖p + 2−n/p
n∑
k=1
2k/p‖Rk f‖p
)
. (9)
При этом учтено, что ω(R0 f, 2
−n) = 0.
Обозначим dn(f)p := ‖f − Pn f‖p. Тогда, поскольку Rk f = (f − Pk−1 f) − (f − Pk f),
k ∈ N, и ‖Rk f‖p ≤ dk−1(f)p + dk(f)p, следствием неравенства (9) является неравенство
ω(f, 2−n) ≤ C(0)
p 2−n/p
n∑
k=0
2k/pdk(f), (10)
где C(0)
p > 0 — величина, зависящая от p, которую, впрочем, можно ограничить сверху абсо-
лютной постоянной.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
КОНСТРУКТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 355
Наконец, применяя к (10) лемму 1, получаем неравенство (8).
Приведем простое следствие теоремы 1. Обозначим через E∗n(f)p величину наилучшего
приближения функции f ∈ Lp линейной оболочкой n первых функций базиса Hd = (hi)
∞
i=1:
E∗n(f)p := inf
ck∈R
‖f −
n∑
k=1
ck hk‖p.
Следствие 1. Пусть f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p <∞. Тогда для любого N ∈ N
ω
(
f,
1
N
)
p
≤ C(2)
p N−1/p
N∑
k=1
k1/p−1E∗kd(f)p, (11)
где C(2)
p > 0 — величина, зависящая только от p.
Доказательство. Пусть натуральные n и N такие, что 2n < N ≤ 2n+1. Тогда из нера-
венства (8), в силу монотонности EVm(f)p и E∗l (f)p соответственно по параметрам m и l,
получаем
ω
(
f,
1
N
)
p
≤ ω(f, 2−n)p ≤ C(1)
p 2−n/p
n∑
m=0
2m/pEVm(f)p ≤
≤ 21/pC(1)
p 2−n/p
n−1∑
m=0
2m/pEVm(f)p ≤ 2
2
pC(1)
p N−1/p
n−1∑
m=0
2m/pEVm(f)p. (12)
С другой стороны,
N∑
k=1
k1/p−1E∗kd(f)p ≥
n−1∑
m=0
2m+1∑
j=2m+1
2m/p 2−(m+1)EVm(f)p ≥
≥ 1
2
n−1∑
m=0
2m/pEVm(f)p. (13)
Сопоставляя (12) и (13), приходим к неравенству (11) с C(2)
p = 22/p+1C
(1)
p .
Замечание 2. 1. В случае d = 1 при p = 1 соотношение (11) является аналогом неравенства
А. Ф. Тимана и М. Ф. Тимана [7, c. 344], в котором используются наилучшие приближения
периодических функций по системе T = {ei l x}∞l=1.
2. Неравенство
ω
(
f,
1
N
)
p
≤ C N−(1/p+ε)
N∑
k=1
k1/p+ε−1E∗kd(f)p
при ε > 0 не может выполняться ни при какой постоянной C > 0, не зависящей от n, а при
ε < 0 оно является более грубым, чем при ε = 0 (обоснование см. в [3, с. 265] для случая
d = 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
356 В. С. РОМАНЮК
Использование изложенных выше результатов позволяет дать конструктивную характерис-
тику классов ГельдераHα
p для параметров α, 0 < α ≤ 1, и p, 1 ≤ p ≤ ∞. Определим множества
Hα
p (M) = Lip(α, p,M) := {f ∈ Lp : ω(f, t)p ≤Mtα} , M > 0,
и
Hα
p = Lip(α, p) :=
⋃
M>0
Hα
p (M).
Линейное пространство Hα
p снабдим нормой ‖ · ‖Hα
p
:
‖f‖Hα
p
= ‖f‖p + sup
t>0
t−αω(f, t)p.
Заметим, что |f |Hα
p
:= supt>0 t
−αω(f, t)p — полунорма на Hα
p . Пространство Hα
p с конечной
нормой ‖ · ‖Hα
p
банахово при всех 1 ≤ p ≤ ∞ и называется пространством Гельдера – Липшица
(при 0 < α < 1 — пространством Гельдера).
Теорема 2. Пусть 1 ≤ p < ∞ и 0 < α <
1
p
. Для того чтобы функция f принадлежала
Hα
p , необходимо и достаточно, чтобы EVn(f)p � 2−nα.
Доказательство. Необходимость является непосредственным следствием соотношений
(4) и (8).
Достаточность следует из теоремы 1. В самом деле, для n ∈ N при 2−(n+1) < δ ≤ 2−n и
0 < α <
1
p
имеем
ω(f, δ)p ≤ ω(f, 2−n)p ≤ C(1)
p 2−n/p
n∑
k=0
2k/pEVk(f)p ≤
≤ C1 2−n/p
n∑
k=0
2k/p 2−k α ≤ C2 2−nα ≤ C3 δ
α,
т. е. f принадлежит Hα
p .
2. Наилучшие m-членные приближения классов SHα
p по базису Хаара. Обозначим
через SHα
p единичный шар в пространстве Hα
p , т. е. SHα
p := {f ∈ Hα
p : ‖f‖Hα
p
≤ 1}. Из теоре-
мы 2 следует, что при 0 < α <
1
p
≤ 1
sup
f∈SHα
p
EVn(f)p � 2−nα. (14)
В этом пункте будет показано (как следствие из общего результата), что оценка в правой
части (14) неулучшаема по порядку, даже если в качестве приближающих агрегатов вместо
линейного пространства Vn использовать множество всевозможных линейных комбинаций лю-
бых m элементов системы Hd
0 (или, что то же самое, базиса Hd) c m = dimVn = 2nd, адаптируя
выбор этих m элементов наилучшим образом к каждой функции f ∈ SHα
p .
Сначала сформулируем и докажем утверждение (см. далее теорему 3) о характеризации
классов Hα
p (M) в терминах коэффициентов в разложениях их элементов по базису Хаара (или
системе Hd
0). Оно базируется на следующей лемме, доказанной в [5].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
КОНСТРУКТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 357
Лемма 2. Для любой системы действительных чисел {ak}k∈Zj,d , j = 1, 2, . . . , имеют
место соотношения∥∥∥∥∥ ∑
k∈Zj,d
akhk
∥∥∥∥∥
p
� 2−j(d/p−d/2)
( ∑
k∈Zj,d
|ak|
p
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
и ∥∥∥∥∥ ∑
k∈Zj,d
akhk
∥∥∥∥∥
∞
= 2j d max
k∈Zj,d
|ak|.
Теорема 3. Если f ∈ Hα
p (M), 0 < α ≤ 1, 1 ≤ p < ∞, M > 0, то существует
постоянная C > 0, не зависящая от f, такая, что для любого j = 1, 2, . . .( ∑
k∈Zj,d
|(f, hk)|
p
)1/p
≤ C 2−j(α+d/2−d/p). (15)
Обратно, если при 1 ≤ p <∞ и 0 < α <
1
p
для всех j = 1, 2, . . . выполняется неравенство (15)
с некоторой постоянной C, то f ∈ Hα
p (M).
Доказательство. Заметим вначале, что условие f ∈ Hα
p (M) равносильно тому, что сущест-
вует постоянная M1 > 0, не зависящая от f, такая, что
sup
k∈Z+
2k αω(f, 2−k)p ≤M1. (16)
В самом деле, положим a(t) := t−α ω(f, t)p. Поскольку для ω(f, t)p выполняется неравенст-
во ω(f, λ t)p ≤ (λ + 1)ω(f, t)p, λ > 0, и ω(f, t)p не убывает на [ 0,∞ ), то для любого p,
1 ≤ p <∞, и t ∈ [ 2−k−1, 2−k ], k ∈ Z+,
1
2
a(2−k) ≤ a(t) ≤ 2α a(2−k).
Поэтому
M ≥ sup
t>0
t−αω(f, t)p � sup
k∈Z+
2k αω(f, 2−k)p. (17)
Докажем первую часть теоремы 3.
Пусть f ∈ Hα
p (M). Тогда, согласно (16), ω(f, 2−k)p � 2−k α, а значит, используя лемму 2,
неравенство (4) и временно полагая bk(f) := (f, hk), получаем( ∑
k∈Zj,d
|bk(f)|p
)1/p
� 2j(d/p−d/2)
∥∥∥∥∥ ∑
k∈Zj,d
bk(f)hk
∥∥∥∥∥
p
�
� 2−j(d/2−d/p)(‖f − Pjf‖p + ‖f − Pj−1f‖p)�
� 2−j(d/2−d/p)ω(f, 2−j)p � 2−j(α+d/2−d/p), j = 1, 2, . . . . (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
358 В. С. РОМАНЮК
Обратно, в силу теоремы 1 для любой функции f ∈ Lp(Id) и l ∈ Z+ имеем
ω(f, 2−l)p � 2−l/p
l∑
k=0
2k/p‖f − Pk f‖p. (19)
Но если выполняется (15) при 1 ≤ p <∞, то, используя лемму 2, можем записать
‖f − Pk f‖p ≤
∞∑
j=k+1
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈Zj,d
bk(f)hk
∥∥∥∥∥∥
p
�
�
∞∑
j=k+1
2−j(d/p−d/2)
( ∑
k∈Zj,d
|bk(f)|p
)1/p
�
∞∑
j=k+1
2−j α � 2−k α, (20)
а значит, при 0 < α <
1
p
из (19) получаем ω(f, 2−l)p ≤ C02−l α ∀l ∈ Z+, т. е. согласно
отмеченному выше (см. соотношение (16)) заключаем, что f ∈ Hα
p .
Теорема 3 доказана.
Приведем еще утверждение об эквивалентном ( в смысле отношения �) представлении
полунормы | · |Hα
p
для функций из Hα
p . Фактически оно содержится в теореме 3.
Теорема 4. Пусть 1 ≤ p <∞ и 0 < α <
1
p
. Тогда для любой функции f ∈ Hα
p , f 6= const,
|f |Hα
p
f
� sup
j
2j(α+d/2−d/p)
( ∑
k∈Zj,d
|(f, hk|
p
)1/p
.
Доказательство. Если f ∈ Hα
p , то (см. соотношение (18))
2j(d/2−d/p)
( ∑
k∈Zj,d
|(f, hk|
p
)1/p
� ω(f, 2−j)p,
а это неравенство, в совокупности с соотношением (17) и определением |f |Hα
p
, равносильно
неравенству
sup
j
2j(α+d/2−d/p)
( ∑
k∈Zj,d
|(f, hk|
p
)1/p
� |f |Hα
p
.
С другой стороны, в доказательстве второй части теоремы 3 установлено (см. (19), (20)), что
если
sup
j
2j(α+d/2−d/p)
( ∑
k∈Zj,d
|(f, hk|
p
)1/p
:= Cf ≤ C,
где C — некоторая абсолютная постоянная, то f ∈ Hα
p (M) с M = γ C, γ > 0. Из этого следует
неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
КОНСТРУКТИВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 359
|f |Hα
p
� sup
j
2j(α+d/2−d/p)
( ∑
k∈Zj,d
|(f, hk|
p
)1/p
.
Теорема 4 доказана.
Перейдем к рассмотрению m-членных приближений.
Для f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p ≤ ∞, определим величину σm(f,Hd
0, Lp) (сокращенно σm(f)p)
наилучшего m-членного, m ∈ N, приближения функции f по системе Хаара Hd
0 = {hk}k∈Zd+ :
σm(f)p = σm(f, Hd
0, Lp) = inf
Λ∈Zd+
]Λ=m
inf
ck∈R
∥∥∥∥∥∥f −
∑
k∈Λ
ckhk
∥∥∥∥∥∥
p
и положим
σm(F )p := sup
f∈F
σm(f)p, F ⊂ Lp.
Наряду с σm(f)p будем рассматривать величину
gm(f)p = gm(f,Hd
0, Lp) := inf
Λmax
f ⊂Zd+
]Λmax
f =m
∥∥∥∥∥∥∥f −
∑
k∈Λmax
f
(f, hk)hk
∥∥∥∥∥∥∥
p
,
где множество Λmax
f ⊂ Zd+ зависит от функции f и определяется так, что ]Λmax
f = m и
min
{∥∥(f, hk)hk
∥∥
p
, k ∈ Λmax
f
}
≥ max
{∥∥(f, hk)hk
∥∥
p
, k ∈ Zd+ \ Λmax
f
}
.
Положим также
gm(F )p := sup
f∈F
gm(f)p, F ⊂ Lp.
Агрегаты
Gpm(f ; Hd
0)(x) :=
∑
k∈Λmax
f
(f, hk)hk(x), x ∈ Id,
участвующие в определении gm(f)p, называются p-жадными аппроксимантами для f.
В [5] показано, что при 1 < p <∞ для любой функции f ∈ Lp справедливо соотношение
σm(f)p � gm(f)p. (21)
Теперь изложим основной результат этого пункта — об оценке величин σm(SHα
p )q. Пред-
варительно обозначим через D область допустимых значений параметров d, p, q и α:
D =
{
(d, p, q, α) : d ∈ N, 1 ≤ p <∞, 1 < q ≤ ∞,
(
d
p
− d
q
)
+
< α <
1
p
}
.
Здесь a+ = max(a, 0) для a ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
360 В. С. РОМАНЮК
Теорема 5. Пусть (d, p, q, α) принадлежит D. Тогда
σm(SHα
p )q � gm(SHα
p )q � m−α/d.
Доказательство фактически повторяет доказательство теоремы 6.2 из [5] об оценке ве-
личин σm(SBα
p,θ)q и gm(SBα
p,θ)q, где SBα
p,θ — единичный шар в пространстве Бесова Bα
p,θ
(определение см. в [5]).
Очевидной коррекции подлежат лишь те части, в которых используется соотношение (I) из
доказательства теоремы 6.2. Этим соотношением утверждается, что если ϕ принадлежит Wj ,
j = 0, 1, . . . , т. е. ϕ(t) =
∑
k∈Zj,d
akhk(t), ak ∈ R, и, к тому же, ϕ ∈ Bα
p,θ, 1 ≤ p, θ < ∞,
0 < α <
1
p
, то
‖ϕ‖(α)
p,θ � 2j(α−d/p+d/2) ‖a‖
l
mj
p
,
a = {ak}k∈Zj,d , ‖a‖lmjp :=
( ∑
k∈Zj,d
|ak|
p
)1/p
, mj := ]Zj,d и ‖ · ‖(α)
p,θ — норма в пространстве Bα
p,θ.
В случае, когда ϕ принадлежит Hα
p (M), 1 ≤ p < ∞, 0 < α <
1
p
(и ϕ ∈ Wj), в силу
теоремы 4
‖ϕ‖Hα
p
� 2j(α−d/p+d/2) ‖a‖
l
mj
p
. (22)
Соотношение (22) играет существенную роль при оценке сверху величин σm(SHα
p )q.
Оценка снизу для gm(SHα
p )q, а в силу соотношения (21) и для σm(SHα
p )q, является непо-
средственным следствием такой оценки для gm(SBα
p,θ)q, установленной в [5], если учесть,
что SBα
p,θ ⊂ SHα
p при любом 1 ≤ θ < ∞. Последнее вложение — результат сопоставления
выражений через коэффициенты Фурье – Хаара в соотношениях для полунорм |f |(α)
p,θ и |f |Hα
p
,
f ∈ SBα
p,θ (см. теорему 4.1 в [5] и теорему 4).
1. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
2. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сб. – 1964. – 63, № 3. – С. 357 – 391.
3. Голубов Б. И. Наилучшие приближения функций в метрике Lq полиномами Хаара и Уолша // Мат. сб. – 1972. –
87, № 2. – С.254 – 274.
4. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. – 1910. – 69. – S. 331 – 371.
5. Романюк В. С. Базисная система Хаара функций многих переменных и ее аппроксимационные свойства на
классах Бесова и их аналогах. – Киев, 2012. – 44 с. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 2012.2).
6. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
7. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
Получено 14.06.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2137 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:25Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/74/5b0481f0e908ea645c04792aa4f4b774.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21372019-12-05T10:24:58Z Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis Конструктивная характеристика классов Гельдера и M-членные приближения по кратному базису Хаара Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. In terms of the best polynomial approximations in the multiple Haar basis, we obtain a constructive characteristic of the Hölder classes H p α of functions defined on the unit cube \( \mathbb{I} \) d of the space ℝ d under the restriction \( 0 У термінах найкращих полiномiальних наближень за кратним базисом Хаара отримано конструктивну характеристику класів Гельдера H p α Функцій, визначених на одиничному ку6і \( \mathbb{I} \) d простору ℝ d , при обмеженні \( 0 Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2137 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 3 (2014); 349–360 Український математичний журнал; Том 66 № 3 (2014); 349–360 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2137/1276 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2137/1277 Copyright (c) 2014 Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis |
| title | Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis |
| title_alt | Конструктивная характеристика классов Гельдера и M-членные приближения по кратному базису Хаара |
| title_full | Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis |
| title_fullStr | Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis |
| title_full_unstemmed | Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis |
| title_short | Constructive Characteristic of ho¨ Lder Classes and M-Term Approximations in the Multiple Haar Basis |
| title_sort | constructive characteristic of ho¨ lder classes and m-term approximations in the multiple haar basis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2137 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukvs constructivecharacteristicofholderclassesandmtermapproximationsinthemultiplehaarbasis AT romanûkvs constructivecharacteristicofholderclassesandmtermapproximationsinthemultiplehaarbasis AT romanûkvs constructivecharacteristicofholderclassesandmtermapproximationsinthemultiplehaarbasis AT romanyukvs konstruktivnaâharakteristikaklassovgelʹderaimčlennyepribliženiâpokratnomubazisuhaara AT romanûkvs konstruktivnaâharakteristikaklassovgelʹderaimčlennyepribliženiâpokratnomubazisuhaara AT romanûkvs konstruktivnaâharakteristikaklassovgelʹderaimčlennyepribliženiâpokratnomubazisuhaara |