Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative
We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations in Banach spaces without using the H-classes of these equations.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2140 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508076818300928 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:58Z |
| description | We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations in Banach spaces without using the H-classes of these equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.52
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕ РОЗВ’ЯЗАНИХ ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We obtain conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations in
Banach spaces without using the H-classes of these equations.
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференци-
альных уравнений в банаховом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений.
1. Основнi позначення та об’єкт дослiджень. Нехай E — довiльний банаховий простiр iз
нормою ‖ · ‖E i L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A, що дiють
iз банахового простору X у банаховий простiр Y, з нормою ‖A‖L(X,Y ) = sup‖x‖X=1 ‖Ax‖Y .
Позначимо через C0 банаховий простiр обмежених i неперервних на R функцiй x = x(t) зi
значеннями у просторi E з нормою ‖x‖C0 = supt∈R
∥∥x(t)
∥∥
E
, а через C1 банаховий простiр
функцiй x ∈ C0, для кожної з яких dx/dt ∈ C0, з нормою ‖x‖C1 = max
{
‖x‖C0 , ‖dx/dt‖C0
}
.
Визначимо оператор зсуву Sh ∈ L(C0, C0), h ∈ R, формулою
(Shx)(t) = x(t+ h), t ∈ R. (1)
Елемент y ∈ Ck, k = 0, 1, називається майже перiодичним (за Бохнером) (див., наприклад,
[1 – 4]), якщо замикання множини {Shy : h ∈ R} у просторi Ck є компактною пiдмножиною
цього простору.
Позначимо через B0 i B1 банаховi простори майже перiодичних елементiв просторiв C0 i
C1 з нормами ‖x‖B0 = ‖x‖C0 i ‖x‖B1 = ‖x‖C1 вiдповiдно.
Нехай Ω1 i Ω2 — областi простору E, тобто вiдкритi зв’язнi множини простору E, а K1 i K2
— множини всiх непорожнiх зв’язних компактних пiдмножин K1 ⊂ Ω1 i K2 ⊂ Ω2 вiдповiдно.
Розглянемо неперервне вiдображення F : R× Ω1 × Ω2 → E, що задовольняє умови:
1) F (t, x1, x2) є рiвномiрно неперервним по (x1, x2) на кожнiй множинi R ×K1 ×K2, де
K1 ∈ K1 i K2 ∈ K2;
2) F (t, x1, x2) є майже перiодичним по t рiвномiрно по (x1, x2) на кожнiй множинi K1 ×
×K2 ∈ K1 ×K2.
Як i в [4, с. 428, 429], можна показати, що для кожної множини K1 ×K2 ∈ K1 ×K2
sup
t∈R, (x1,x2)∈K1×K2
∥∥F (t, x1, x2)
∥∥
E
< +∞
i для довiльної послiдовностi (hk)k≥1 дiйсних чисел iснує пiдпослiдовнiсть (hkl)l≥1, для якої
послiдовнiсть
(
F (t+ hkl , x1, x2)
)
l≥1
збiгається рiвномiрно на множинi R×K1 ×K2.
Вважатимемо, що послiдовнiсть
(
F (t + hkl , x1, x2)
)
l≥1
збiгається рiвномiрно на кожнiй
множинi R×K1×K2, K1×K2 ∈ K1×K2, i граничне вiдображення G : R×Ω1×Ω2 → E, що
визначається спiввiдношенням
G(t, x1, x2) = lim
l→∞
F (t+ hkl , x1, x2), (2)
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2014
384 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕ РОЗВ’ЯЗАНИХ ВIДНОСНО . . . 385
задовольняє умови 1 i 2. Наведена вимога виконується, якщо, наприклад, простiр E є скiнчен-
новимiрним (див. [4, с. 429]). Зазначимо, що у подальшому ця вимога вiдiграватиме допомiжну
роль i не буде використовуватися при отриманнi основного результату.
Розглянемо диференцiальне рiвняння
F
(
t, x(t),
dx(t)
dt
)
= 0, t ∈ R, (3)
що не розв’язане вiдносно похiдної. H-класом цього рiвняння називається множина всiх дифе-
ренцiальних рiвнянь
G
(
t, x(t),
dx(t)
dt
)
= 0, t ∈ R,
у кожному з яких вiдображення G визначається за допомогою спiввiдношення (2).
Метою статтi є встановлення умов майже перiодичностi обмежених розв’язкiв рiвняння (3)
без використання елементiв H-класу цього рiвняння. При дослiдженнi рiвняння (3) будемо ви-
користовувати допомiжне функцiональне рiвняння й один функцiонал, визначений на множинi
розв’язкiв цього рiвняння, замикання множин значень яких — елементи з K1.
2. Допомiжне функцiональне рiвняння. Використаємо лiнiйний неперервний диферен-
цiальний оператор L : C1 → C0 та обернений для цього оператора неперервний оператор
L−1 : C0 → C1, що визначаються формулами
(Lx)(t) =
dx(t)
dt
+ x(t), x ∈ C1, t ∈ R, (4)
i
(L−1y)(t) =
0∫
−∞
eτy(t+ τ) dτ, y ∈ C0, t ∈ R. (5)
За допомогою оператора L рiвняння (3) можна записати у виглядi
F
(
t, x(t), (Lx)(t)− x(t)
)
= 0, t ∈ R. (6)
Якщо функцiя x = x(t) є розв’язком рiвняння (3) i елементом простору C1, то
x(t) =
(
L−1y
)
(t), (7)
де
y(t) =
(
Lx(t)
)
(t), (8)
i функцiя y = y(t) є елементом простору C0 та розв’язком рiвняння
F
(
t, (L−1y)(t), y(t)− (L−1y)(t)
)
= 0, t ∈ R. (9)
Тут враховано (6) – (8). Навпаки, якщо функцiя y = y(t) є елементом простору C0 та розв’язком
рiвняння (9), то функцiя x = x(t), що визначається рiвнiстю (7), є розв’язком рiвняння (3) i
елементом простору C1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
386 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Таким чином, дослiдження розв’язкiв диференцiального рiвняння (3) у просторi C1 зво-
диться до дослiдження розв’язкiв функцiонального рiвняння (9) у просторi C0.
Зазначимо, що на пiдставi (5) рiвняння (9) можна записати у виглядi
F
t, 0∫
−∞
eτy(t+ τ) dτ, y(t)−
0∫
−∞
eτy(t+ τ) dτ
= 0, t ∈ R. (10)
Оскiльки оператор L є автономним, тобто ShLS−h = L для кожного h ∈ R, то L−1y ∈ B1
для кожного y ∈ B0 (див., наприклад, [5]) i Lx ∈ B0 для кожного x ∈ B1. Тому якщо
функцiя x = x(t) є розв’язком рiвняння (3) i елементом простору B1, то функцiя y = y(t), що
визначається рiвнiстю (8), є елементом простору B0 та розв’язком рiвняння (9), i навпаки.
Отже, щоб показати, що обмежений розв’язок x = x(t) диференцiального рiвняння (3),
який є елементом простору C1, майже перiодичний, достатньо показати, що вiдповiдний
розв’язок y(t) = (Lx)(t) функцiонального рiвняння (9) майже перiодичний.
У подальшому для дослiдження рiвняння (3) ми будемо використовувати рiвняння (9).
3. Функцiонал ∆. Позначимо через K0 множину таких функцiй x = x(t) простору C0,
для кожної з яких замикання R(x) множини R(x) =
{
x(t) : t ∈ R
}
у просторi E є компактною
пiдмножиною цього простору. Аналогiчно позначимо через K1 множину таких функцiй x ∈
∈ K0 ∩ C1, для кожної з яких множина R(dx/dt) є компактною у просторi E.
Очевидно, що K0 i K1 — пiдпростори просторiв C0 i C1 вiдповiдно i Bl ⊂ K l, l = 0, 1.
Зафiксуємо довiльний розв’язок x∗ = x∗(t) рiвняння (3), що є елементом простору K1. Тодi
функцiя y∗ = y∗(t), що визначається рiвнiстю
y∗(t) =
(
Lx∗(t)
)
(t), (11)
є розв’язком рiвняння (9). Ця функцiя є елементом простору K0, оскiльки
y∗(t) =
dx∗(t)
dt
+ x∗(t)
для всiх t ∈ R,
R(y∗) =
{
dx∗(t)
dt
+ x∗(t) : t ∈ R
}
⊂
⊂
{
dx∗(t)
dt
: t ∈ R
}
+
{
x∗(t) : t ∈ R
}
= R(dx∗/dt) +R(x∗) ⊂ K1 +K2
i K1 +K2 є компактною множиною. Нагадаємо, що
K1 +K2 =
{
k1 + k2 : k1 ∈ K1, k2 ∈ K2
}
.
Також зафiксуємо довiльну компактну пiдмножину K простору E, для якої R(y∗) ⊂ K,
R(y∗) 6= K i для довiльної функцiї z = z(t) з простору C0, що задовольняє спiввiдношення
y∗(t) + z(t) ∈ K (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕ РОЗВ’ЯЗАНИХ ВIДНОСНО . . . 387
для всiх t ∈ R, компактнi множини R
(
L−1(y∗ + z)
)
i R
(
y∗ + z − L−1(y∗ + z)
)
є пiдмножинами
множин Ω1 i Ω2 вiдповiдно (у випадку Ω1 = Ω2 = E остання вимога виконується). Множину
всiх таких функцiй z = z(t) позначимо через Ω.
Зазначимо, що множини R
(
L−1(y∗ + z)
)
i R
(
y∗ + z − L−1(y∗ + z)
)
компактнi, оскiльки на
пiдставi (5), (12) та рiвностi
0∫
−∞
eτ dτ = 1
виконуються спiввiдношення
R (L−1(y∗ + z)) ⊂ coK
i
R (y∗ + z − L−1(y∗ + z)) ⊂ K − coK,
де coK — опукла оболонка множини K, а множини coK та K − coK компактнi завдяки
компактностi K.
Покладемо
r(y∗,K) = sup
{
‖y − z‖E : y ∈ R(y∗), z ∈ K
}
. (13)
Завдяки нерiвностi R(y∗) 6= K
r(y∗,K) > 0.
Зафiксуємо довiльне число ε ∈
[
0, r(y∗,K)
]
. Позначимо через Ω(y∗,K, ε) множину всiх
елементiв z ∈ Ω, для кожного з яких
inf
t∈R
∣∣‖z(t)‖E − ε∣∣ = 0. (14)
Розглянемо функцiонал
∆(y∗,K, ε) =
= inf
z∈Ω(y∗,K,ε)
sup
t∈R
∥∥∥F (t, (L−1(y∗ + z)
)
(t), y∗(t) + z(t)−
(
L−1(y∗ + z)
)
(t)
)∥∥∥
E
. (15)
Застосування функцiонала ∆ до дослiдження майже перiодичних нелiнiйного диференцiаль-
ного рiвняння (3) та аналогiчного лiнiйного диференцiального рiвняння наведемо в наступних
пунктах.
Аналогiчний функцiонал для дослiдження нелiнiйних майже перiодичних рiзницевого рiв-
няння з неперервним аргументом
x(t+ 1) = f
(
t, x(t)
)
i диференцiального рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
388 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
dx(t)
dt
= f
(
t, x(t)
)
,
в яких вiдображення f : R × Ω → E, де Ω — довiльна область простору E, є неперервним,
використовувався автором у [6, 7].
4. Основний результат. Наведемо умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвнян-
ня (3), в яких на вiдмiну вiд теореми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь (див. [4, 8]) не використовується H-клас рiвняння (3).
Теорема 1. Нехай обмежений розв’язок x∗ диференцiального рiвняння (3), вiдповiдний
розв’язок y∗ функцiонального рiвняння (9) i компактна множина K задовольняють умови
пункту 3. Якщо для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(y∗,K, ε) > 0 (16)
для всiх ε ∈ (0, δ), то розв’язок x∗ є майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок x∗ диференцiального рiвняння (3) не є елементом
простору B1. Тодi завдяки наведеним у пунктi 2 мiркуванням вiдповiдний розв’язок y∗ функ-
цiонального рiвняння (9) (розв’язки y∗ i x∗ пов’язанi спiввiдношенням (11)) не є елементом
простору B0. Тому на пiдставi компактностi множини K iснує послiдовнiсть
(
y∗(t + hp)
)
p≥1
,
що збiгається в точцi t = 0, причому будь-яка її пiдпослiдовнiсть
(
y∗(t+ kp)
)
p≥1
не збiгається
рiвномiрно на R. Отже,
lim
p,q→∞
∥∥y∗(hp)− y∗(hq)∥∥E = 0 (17)
i для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1 та числа γ ∈ (0, δ)
sup
t∈R
∥∥y∗(t+ kpr)− y∗(t+ kqr)
∥∥
E
> γ, r ≥ 1. (18)
Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що послiдовнiсть
(
F (t+ kp, x1, x2)
)
p≥1
збiгається
рiвномiрно на R×K∗1 ×K∗2 , де
K∗1 =
{
(L−1y∗)(t) : t ∈ R
}
i
K∗2 =
{
y∗(t)− (L−1y∗)(t) : t ∈ R
}
.
Зазначимо, що множини K∗1 i K∗2 компактнi. Тодi
lim
p,q→∞
sup
t∈R, x1∈K∗
1 , x2∈K∗
2
∥∥F (t+ kp, x1, x2)− F (t+ kq, x1, x2)
∥∥
E
= 0. (19)
Зафiксуємо довiльне число ε0 ∈ (0, γ]. На пiдставi (17) i (18) для функцiй
zr(t) = y∗(t+ kpr)− y∗(t+ kqr), r ≥ 1,
виконується спiввiдношення
zr ∈ Ω(Skqr y
∗,K, ε0), r ≥ 1, (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕ РОЗВ’ЯЗАНИХ ВIДНОСНО . . . 389
де Sh — оператор зсуву, визначений спiввiдношенням (1).
Покажемо, що
∆(y∗,K, ε0) = 0. (21)
Завдяки (15), (20) та тому, що
F
(
t+ kpr , (L
−1y∗)(t+ kpr), y∗(t+ kpr)− (L−1y∗)(t+ kpr)
)
≡ 0, r ≥ 1,
виконуються спiввiдношення
∆(y∗,K, ε0) =
= inf
z∈Ω(y∗,K,ε0)
sup
t∈R
∥∥∥F (t, (L−1(y∗ + z)
)
(t), y∗(t) + z(t)−
(
L−1(y∗ + z)
)
(t)
)∥∥∥
E
=
= inf
z∈Ω(Skqr
y∗,K,ε0)
sup
t∈R
∥∥∥F (t+ kqr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kqr) +
(
L−1z
)
(t), y∗(t+ kqr) + z(t)−
−
(
L−1y∗
)
(t+ kqr)−
(
L−1z
)
(t)
)∥∥∥
E
≤
≤ sup
t∈R
∥∥∥F (t+ kqr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kqr) +
(
L−1zr
)
(t), y∗(t+ kqr) + zr(t)−
−
(
L−1y∗
)
(t+ kqr)−
(
L−1zr
)
(t)
)∥∥∥
E
=
= sup
t∈R
∥∥∥F (t+ kqr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kpr), y∗(t+ kpr)−
(
L−1y∗
)
(t+ kpr)
)∥∥∥
E
≤
≤ sup
t∈R
∥∥∥F (t+ kpr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kpr), y∗(t+ kpr)−
(
L−1y∗
)
(t+ kpr)
)∥∥∥
E
+
+ sup
t∈R
∥∥∥F (t+ kpr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kpr), y∗(t+ kpr)−
(
L−1y∗
)
(t+ kpr)
)
−
−F
(
t+ kqr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kpr), y∗(t+ kpr)−
(
L−1y∗
)
(t+ kpr)
)∥∥∥
E
=
= sup
t∈R
∥∥∥F (t+ kpr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kpr), y∗(t+ kpr)−
(
L−1y∗
)
(t+ kpr)
)
−
−F
(
t+ kqr ,
(
L−1y∗
)
(t+ kpr), y∗(t+ kpr)−
(
L−1y∗
)
(t+ kpr)
)∥∥∥
E
≤
≤ sup
t∈R, x1∈K∗
1 , x2∈K∗
2
∥∥∥F (t+ kpr , x1, x2)− F (t+ kqr , x1, x2)
∥∥∥
E
,
з яких на пiдставi (19) випливає спiввiдношення (21), що суперечить (16).
Отже, припущення, що розв’язок x∗ диференцiального рiвняння (3) не є майже перiодичним,
хибне.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
390 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зауваження 1. Рiвняння (3) може бути нерозв’язним вiдносно похiдної. Однак теорема 1
дає змогу обґрунтовувати майже перiодичнiсть обмежених розв’язкiв рiвняння (3) i в цьому
випадку (вiдповiдний приклад наведено в пунктi 6).
5. Випадок лiнiйного рiвняння (3). Розглянемо неперервне вiдображення H : R×E×E →
→ E, що визначається рiвнiстю
H(t, x1, x2) = A(t)x2 +B(t)x1 − h(t),
де A(t) i B(t) — неперервнi i майже перiодичнi на R функцiї зi значеннями в L(E,E), а h(t) —
неперервна i майже перiодична на R функцiя зi значеннями в E, тобто елемент простору B0.
Легко переконатися, що H задовольняє тi умови, що i вiдображення F у пунктi 1 у випадку
Ω1 = Ω2 = E. Розглянемо також вiдповiдне лiнiйне диференцiальне рiвняння
A(t)
dx(t)
dt
+B(t)x(t)− h(t) = 0, t ∈ R. (22)
Застосуємо теорему 1 до дослiдження рiвняння (22).
Припустимо, що це рiвняння має розв’язок x∗ = x∗(t), що є елементом простору K1.
Розглянемо функцiю
y∗(t) = (Lx∗)(t),
де L — оператор, що визначається формулою (4). Ця функцiя є елементом простору K0 i
розв’язком рiвняння
A(t)
(
y(t)−
(
L−1y
)
(t)
)
+B(t)
(
L−1y
)
(t)− h(t) = 0, t ∈ R, (23)
тобто
A(t)
(
y∗(t)−
(
L−1y∗
)
(t)
)
+B(t)
(
L−1y∗
)
(t)− h(t) ≡ 0. (24)
Зафiксуємо довiльнi компактну множину K ⊂ E, для якої R(y∗) ⊂ K i R(y∗) 6= K, i число
ε ∈
(
0, r(y∗,K)
] (
r(y∗,K) визначається рiвнiстю (13)
)
. Позначимо через Ω(y∗,K, ε) множину
всiх елементiв z = z(t) простору C0, для кожного з яких виконуються спiввiдношення (12) i
(14).
У випадку рiвняння (22) функцiонал ∆ на пiдставi (15) i (24) має вигляд
∆(y∗,K, ε) = inf
z∈Ω(y∗,K,ε)
sup
t∈R
∥∥A(t)
(
z(t)−
(
L−1z
)
(t)
)
+B(t)
(
L−1z
)
(t)
∥∥
E
.
Враховуючи (5), отримуємо
∆(y∗,K, ε) =
= inf
z∈Ω(y∗,K,ε)
sup
t∈R
∥∥∥∥∥∥A(t)
z(t)− 0∫
−∞
eτz(t+ τ) dτ
+B(t)
0∫
−∞
eτz(t+ τ) dτ
∥∥∥∥∥∥
E
.
Завдяки теоремi 1 справджується наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕ РОЗВ’ЯЗАНИХ ВIДНОСНО . . . 391
Теорема 2. Якщо для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(y∗,K, ε) > 0
для всiх ε ∈ (0, δ), то розв’язок x∗ диференцiального рiвняння (22) є майже перiодичним.
Зауваження 2. Теорема 2 застосовна до рiвняння (22) i у випадку, коли в цьому рiвняннi
майже перiодичний коефiцiєнт A(t) може бути таким, що для кожного t ∈ R iснує обернений
неперервний оператор A−1(t) для A(t) i
sup
t∈R
∥∥A−1(t)
∥∥
L(E,E)
= +∞,
тобто A−1(t) не є майже перiодичною функцiєю (вiдповiдний приклад наведено в наступному
пунктi).
6. Приклад застосування теорем 1 i 2. Будемо вважати, що E = R2 i норма в R2 визнача-
ється рiвнiстю
∥∥(x1, x2)
∥∥
R2 = |x1|+ |x2|. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
µ sin
dx1(t)
dt
+ (2 + cos t+ cosπt)
dx1(t)
dt
+ x2(t) = 1,
dx2(t)
dt
+ x2(t) = 1,
(25)
де µ ∈ R. При µ 6= 0 ця система є нелiнiйною i нерозв’язною вiдносно
(
dx1(t)
dt
,
dx2(t)
dt
)
,
а при µ = 0 — лiнiйною i її можна подати у виглядi (22), де A(t), B(t) i h(t) визначаються
рiвностями
A(t)(x1, x2) =
(
(2 + cos t+ cosπt)x1, x2
)
, B(t)(x1, x2) = (x2, x2)
i
h(t) = (1, 1).
Очевидно, що A(t), B(t) i h(t) є майже перiодичними функцiями i для кожного t ∈ R
A−1(t)(x1, x2) =
(
(2 + cos t+ cosπt)−1x1, x2
)
.
Функцiя A−1(t) не є майже перiодичною, оскiльки
inf
t∈R
|2 + cos t+ cosπt| = 0
i, як наслiдок,
sup
t∈R
∥∥A−1(t)
∥∥
L(R2,R2)
= +∞.
При µ 6= 0 до системи рiвнянь (25) застосовна теорема 1, а при µ = 0 — теореми 1 i 2.
Очевидно, що система рiвнянь (25) має обмежений розв’язок
x∗1(t) ≡ 0, x∗2(t) ≡ 1, (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
392 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
який є майже перiодичним як сталий розв’язок. Ця властивiсть розв’язку також випливає з
теореми 1 (при µ ∈ R) та теореми 2 (при µ = 0), що пiдтверджується наступними мiркуваннями.
Запишемо для (25) систему функцiональних рiвнянь, аналогiчну (10). Вона має вигляд
µ sin
y1(t)−
0∫
−∞
eτy1(t+ τ) dτ
+
+(2 + cos t+ cosπt)
y1(t)−
0∫
−∞
eτy1(t+ τ) dτ
+
0∫
−∞
eτy2(t+ τ) dτ = 1,
(27)
y2(t) = 1
i розв’язок
y∗1(t) ≡ 0, y∗2(t) ≡ 1,
що згiдно з (8) вiдповiдає розв’язку (26) системи диференцiальних рiвнянь (25).
Зафiксуємо довiльне число δ ∈ (0, 1/2] i розглянемо компактну множину
K =
{
(0, x2) : x2 ∈ [1− δ, 1 + δ]
}
⊂ R2.
Завдяки визначенню функцiонала ∆ для рiвняння (10) цей функцiонал у випадку системи
рiвнянь (27) для кожного числа ε ∈ (0, δ] подається рiвнiстю
∆((y∗1, y
∗
2),K, ε) = inf
z∈C0, R(z)⊂[−δ,δ], ε∈R(|z|)
sup
t∈R
∣∣∣∣∣∣
0∫
−∞
eτz(t+ τ) dτ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣z(t)∣∣
.
Тут C0 — визначений у пунктi 1 банаховий простiр у випадку E = R. Звiдси випливає, що
∆
(
(y∗1, y
∗
2),K, ε
)
≥ ε > 0
для кожного ε ∈ (0, δ]. Тому i за теоремами 1 (при µ ∈ R) i 2 (при µ = 0) розв’язок (26) системи
рiвнянь (25) є майже перiодичним.
На завершення зазначимо, що наведенi умови iснування майже перiодичних розв’язкiв не
розв’язаних вiдносно похiдної нелiнiйного диференцiального рiвняння (3) та лiнiйного ди-
ференцiального рiвняння (22) є новими. На вiдмiну вiд вiдомих теорем Амерiо [8] i Фавара
[9] у теоремах 1 i 2 не використовуються H-класи рiвнянь (3) i (22). Також у теоремi 1 не
використовується умова вiдокремлення обмежених розв’язкiв рiвнянь H-класу рiвняння (3).
Дослiдженню розв’язкiв майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Вiдмi-
тимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi теореми про
майже перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [9], а для нелiнiйних диференцiаль-
них рiвнянь — Амерiо в роботi [8]. Результати Фавара були значно покращенi Е. Мухамадiєвим
[10, 11]. Важливi результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [3], Амерiо [12]
та В. В. Жикову [13]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [5, 14, 15]. Умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕ РОЗВ’ЯЗАНИХ ВIДНОСНО . . . 393
майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь та рiзницевих
рiвнянь з неперервним аргументом без використання H-класiв цих рiвнянь отримано в [6, 7].
Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (вимога iсну-
вання таких розв’язкiв у теоремi 1 є суттєвою) отримано в [16 – 19].
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. I Teil. Funktionen einer Variablen // Math. Ann. – 1927. –
96. – S. 119 – 147.
2. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. II Teil. Funktionen mehrerer Variablen // Math. Ann. – 1927. –
96. – S. 383 – 409.
3. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
5. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116(158), № 4(12). – С. 483 – 501.
6. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперерв-
ним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 2. – С. 118 – 124.
7. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307 – 312.
8. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
9. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
10. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функ-
ций // Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
11. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав-
нений // Мат. заметки. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 – 460.
12. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
13. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае про-
извольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121 – 126.
14. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130(172), № 1(5). – С. 86 – 104.
15. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
16. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1541 – 1556.
17. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв слабко
регулярними операторами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1685 – 1698.
18. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – С. 103 – 126.
19. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Мат. сб. – 2012. – 203, № 5. – С. 135 – 160.
Одержано 21.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2140 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:28Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0a/0208cacfb727394138d8cfe0c47d190a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21402019-12-05T10:24:58Z Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative Умови майже періодичності обмежених розв’язків не розв’язаних відносно похідної нелінійних диференціальних рівнянь Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations in Banach spaces without using the H-classes of these equations. Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2140 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 3 (2014); 384–393 Український математичний журнал; Том 66 № 3 (2014); 384–393 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2140/1282 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2140/1283 Copyright (c) 2014 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative |
| title | Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative |
| title_alt | Умови майже періодичності обмежених розв’язків не розв’язаних відносно похідної нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full | Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative |
| title_fullStr | Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative |
| title_full_unstemmed | Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative |
| title_short | Conditions for Almost Periodicity of Bounded Solutions of Nonlinear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative |
| title_sort | conditions for almost periodicity of bounded solutions of nonlinear differential equations unsolved with respect to the derivative |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2140 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu conditionsforalmostperiodicityofboundedsolutionsofnonlineardifferentialequationsunsolvedwithrespecttothederivative AT slûsarčukvû conditionsforalmostperiodicityofboundedsolutionsofnonlineardifferentialequationsunsolvedwithrespecttothederivative AT slyusarchukvyu umovimajžeperíodičnostíobmeženihrozvâzkívnerozvâzanihvídnosnopohídnoínelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slûsarčukvû umovimajžeperíodičnostíobmeženihrozvâzkívnerozvâzanihvídnosnopohídnoínelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |