Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras
The structure of finite-dimensional nodal algebras over an arbitrary field is described.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2143 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508079987097600 |
|---|---|
| author | Zembyk, V. V. Зембік, В. В. |
| author_facet | Zembyk, V. V. Зембік, В. В. |
| author_sort | Zembyk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:58Z |
| description | The structure of finite-dimensional nodal algebras over an arbitrary field is described. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.552.1
В. В. Зембик (Iн-т математики НАН України, Київ)
БУДОВА СКIНЧЕННОВИМIРНИХ НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР
The structure of finite-dimensional nodal algebras over an arbitrary field is described.
Описывается строение конечномерных нодальных алгебр над произвольным полем.
Нодальнi алгебри вперше було розглянуто у статтi [1], де доведено, що це єдинi чисто нетеровi
алгебри, для яких опис усiх скiнченнопороджених модулiв є ручною задачею (тут чисто нете-
ровою алгеброю називається кiльце, що має нетерiв центр i є скiнченнопородженим модулем
над центром та не мiстить мiнiмальних лiвих i правих iдеалiв). У роботах [2, 3] встановлено,
що для нодальних алгебр, i тiльки для них, ручною є похiдна категорiя категорiї скiнченно-
породжених модулiв, i наведено явний опис цiєї категорiї. Постає природне питання вивчення
будови таких алгебр. У статтi [4] описано будову нодальних алгебр над повним дискретно нор-
мованим кiльцем з алгебраїчно замкненим полем лишкiв. У данiй роботi вводяться до розгляду
скiнченновимiрнi нодальнi алгебри над довiльним полем i дається їх опис.
Ми фiксуємо деяке поле k i розглядаємо скiнченновимiрнi k-алгебри. Нагадаємо [5] (гл. 8),
що спадкова алгебра H над довiльним полем задається парою (H̄, V ), де H̄ — напiвпроста
алгебра, а V — H̄-бiмодуль. Якщо алгебра H̄ є базовою, то H̄ = H̄1 × . . . × H̄s, де H̄i — тiла.
V =
⊕
Vij , де Vij — H̄i-H̄j-бiмодуль.
Означення 1. АлгебраA називається нодальною, якщо iснує спадкова алгебра H з radH =
= J, H ⊃ A ⊃ J, така, що:
1) radA = J;
2) lengthA(H ⊗A U) 6 2 для кожного простого лiвого A-модуля U .
Будемо казати, що нодальна алгебра A пов’язана зi спадковою алгеброю H .
Зауваження 1. Далi ми побачимо, що умову 2 означення нодальної алгебри можна замi-
нити на еквiвалентну симетричну:
lengthA(V ⊗A H) 6 2 для кожного простого правого A-модуля V .
Твердження 1. Якщо алгебра A′ Морiта-еквiвалентна нодальнiй алгебрi A, яка пов’язана
зi спадковою алгеброю H, то A′ є нодальною алгеброю, пов’язаною зi спадковою алгеброю H ′,
яка Морiта-еквiвалентна H .
Доведення. Позначимо J = radH = radA. Нехай P — проективний генератор категорiї
mod -A правих A-модулiв такий, що A′ ' EndA P . Тодi й A ' EndA′ P ' P∨ ⊗A′ P, де P∨ =
= HomA′(P,A′) ' HomA(P,A). Нехай P ′ = P⊗AH . Тодi P ′ — проективний генератор категорiї
mod -H . Покладемо H ′ = EndH P ′. Зауважимо, що HomH(P ′,M) ' HomA(P,M) для кожного
правого H-модуля M . Зокрема, EndH P ′ ' HomA(P, P ′). Отже, природне вiдображення A′ →
→ H ′ є мономорфiзмом. Бiльш того, оскiльки P ′J = PJ , то
c© В. В. ЗЕМБИК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3 415
416 В. В. ЗЕМБИК
rad EndH P ′ = HomH(P ′, PJ ′) ' HomA(P, P ′J) = HomA(P, PJ) = rad EndA P
(див. [5], гл. 3, вправа 6). Таким чином, radA′ = radH ′ ⊂ A′ ⊆ H ′. Довiльний простий
A-модуль iзоморфний U ′ = P ⊗A U для деякого простого A-модуля U . Тому
H ′ ⊗A′ U ′ = H ′ ⊗A′ (P ⊗A U) ' (H ′ ⊗A′ P )⊗A U ' (P ⊗A H)⊗A U ' P ⊗A (H ⊗A U),
оскiльки
H ′ ⊗A′ P ' HomA(P, P ⊗A H)⊗A′ P ' ((P ⊗A H)⊗A P∨)⊗A′ P '
' (P ⊗A H)⊗A (P∨ ⊗A′ P ) ' P ⊗A (H ⊗A A) ' P ⊗A H.
Отже, lengthA′(H ′ ⊗A′ U ′) = lengthA(H ⊗A U) 6 2, тому A′ є нодальною.
Дане твердження дозволяє розглядати лише базовi нодальнi алгебри A, тобто такi, що
A/ radA є прямим добутком тiл.
Вкажемо конструкцiю, яка дає всi базовi нодальнi алгебри. Назвемо нодальними даними
набiр, який складається з:
1) пари (H̄, V ), де H̄ — базова напiвпроста алгебра (H̄ =
∏
i∈I
H̄i, H̄i — тiла), V — деякий
H̄-бiмодуль;
2) бiнарного симетричного вiдношення ∼ на компонентах H̄ (або на їх номерах) такого,
що для кожного i ∈ I iснує не бiльше одного j ∈ I такого, що i ∼ j, причому якщо i ∼ j, то
H̄i = H̄j ;
3) пiдмножини J ⊂ I такої, що якщо i ∈ J, то i � j для всiх j, i для кожного i ∈ J задано
a) або пiдтiло Āi ⊂ H̄i так, що (H̄i : Āi) = 2,
b) або розширення Āi ⊃ H̄i так, що (Āi : H̄i) = 2.
У випадку a) будемо писати i ∈ J−, а у випадку b) — i ∈ J+. Очевидно, що J = J− ∪ J+.
У випадку b) ми розглядатимемо Āi як векторний простiр над H̄i. Тодi вiдображення x 7→
7→ xa, де a, x ∈ Āi, ототожнює елемент a ∈ Āi з лiнiйним оператором у H̄i-векторному
просторi Āi, тобто з матрицею iз Mat(2, H̄i). Отже, в цьому випадку ми можемо ототожнити
Āi з пiдалгеброю в Mat(2, H̄i).
За даними пунктiв 1 – 3 будується базова нодальна алгебра A(H̄, V,∼, J+, J−, Āi) в такий
спосiб:
1. Розглядаємо спадкову алгебру H типу (H̄, V ) з кратностями
mi =
2, якщо i ∼ i або i ∈ J+,
1 — в iншому випадку.
2. У фактор-алгебрi H/ radH =
∏s
j=1 Mat(mj , H̄j) розглядаємо пiдалгебру Ā, яка склада-
ється з таких наборiв (a1, . . . , as), що:
1) aj = ak, якщо j ∼ k i k 6= j; в цьому випадку будемо говорити, що A отримується з
H склеюванням компонент H̄j i H̄k;
2) aj є дiагональною матрицею, якщо j ∼ j; в цьому випадку будемо говорити, що A
отримується з H роздуванням компоненти H̄j ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
БУДОВА СКIНЧЕННОВИМIРНИХ НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР 417
3) ai ∈ Āi, якщо i ∈ J−; в цьому випадку будемо казати, що A отримується з H
обмеженням компоненти H̄i;
4) ai ∈ Āi, якщо i ∈ J+ (ми застосовуємо ототожнення Āi з пiдалгеброю в Mat(2, H̄i)); в
цьому випадку будемо казати, що A отримується з H розширенням компоненти H̄i.
3. Розглядаємо пiдалгебру A = A(H̄, V,∼, J+, Ji, Āi) ⊂ H, яка є прообразом пiдалгебри
Ā ⊂ H̄ . За побудовою ця алгебра є базовою.
Теорема 1. Алгебра A(H̄, V,∼, J+, J−, Āi) є нодальною, i кожна базова нодальна алгебра
iзоморфна A(H̄, V,∼, J+, J−, Āi) для деяких нодальних даних.
Зауваження 2. Якщо нодальна алгебра не є базовою, то потрiбно ще задати:
1) кратностi nj , заданi для таких j, що j � j, причому так, що nj = nk при j ∼ k;
2) кратностi n′j , n
′′
j , заданi для таких j, що j ∼ j.
Лема 1. Нехай A, B — кiльця, A ⊆ B, i radA є iдеалом B. Покладемо Ā = A/ radA i
B̄ = B/ radB. Для кожного простого лiвого A-модуля (Ā-модуля) U виконується рiвнiсть
lengthA(B ⊗A U) = lengthĀ(B̄ ⊗Ā U).
Доведення. Кожний простий лiвий A-модуль є простим лiвим Ā-модулем i навпаки. До-
ведемо, що для кожного простого лiвого A-модуля U має мiсце iзоморфiзм лiвих B-модулiв
B ⊗A U ' B̄ ⊗Ā U.
Бiлiнiйне вiдображення B × U → B̄ ⊗Ā U : (b, x) 7→ b̄ ⊗ x є A-збалансованим, тому
iснує гомоморфiзм абелевих груп f : B ⊗A U → B̄ ⊗Ā U такий, що f(b ⊗ x) = b̄ ⊗ x для
всiх b ∈ B, x ∈ U . Легко перевiрити, що f також буде гомоморфiзмом B-модулiв. Якщо
b̄1 = b̄2, де b1, b2 ∈ B, то b1 − b2 ∈ radA, i для довiльного x ∈ U виконується (b1 − b2)x ∈
∈ (radA)U = 0, b1⊗x− b2⊗x = 1⊗ (b1− b2)x = 0 в B⊗A U .Тому можна коректно визначити
бiлiнiйне Ā-збалансоване вiдображення B̄ × U → B ⊗A U : (b̄, x) 7→ b ⊗ x. Значить, iснує
гомоморфiзм абелевих груп g : B̄ ⊗Ā U → B ⊗A U такий, що g(b̄ ⊗ x) = b ⊗ x для всiх
b ∈ B, x ∈ U . Легко бачити, що g буде гомоморфiзмом B-модулiв. Ендоморфiзми B-модулiв
fg, gf збiгаються з idB̄⊗ĀU , idB⊗AU на твiрних модулiв B̄ ⊗Ā U,B ⊗A U вiдповiдно, отже,
fg = idB̄⊗ĀU i gf = idB⊗AU .
З iзоморфiзму B-модулiв B ⊗A U i B̄ ⊗Ā U випливає їх iзоморфiзм як A-модулiв та
lengthA(B ⊗A U) = lengthA(B̄ ⊗Ā U).
Композицiйний ряд кожного Ā-модуля буде його композицiйним рядом, як A-модуля, тому
lengthA(B̄ ⊗Ā U) = lengthĀ(B̄ ⊗Ā U),
що i дає потрiбну рiвнiсть.
Лему доведено.
Лема 2. Нехай S̃ =
∏m
i=1 S̃i — напiвпроста алгебра, де S̃i ' Mat(di, Fi) — її простi
компоненти, S =
∏r
k=1 Sk — її пiдалгебра, така, що всi Sk є тiлами i lengthS(S̃ ⊗S Sk) 6 2
для всiх 1 6 k 6 r. Тодi для кожного 1 6 k 6 r :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
418 В. В. ЗЕМБИК
0) або Sk = S̃i для деякого i,
1) або Sk ⊂ S̃i × S̃j для деякого i 6= j так, що S̃i ' S̃j ' F i Sk ' F вкладається в
S̃i × S̃j ' F × F дiагонально,
2) або iснує iнший iндекс q 6= k такий, що Sk ' Sq, Sk × Sq ⊂ S̃i для деякого i, S̃i '
' Mat(2, Fi) i цей iзоморфiзм можна вибрати так, що Sk×Sq вкладається в S̃i як пiдалгебра
дiагональних матриць,
3) або Sk ⊂ S̃i як пiдтiло тiла S̃i для деякого i так, що (S̃i : Sk) = 2,
4) або Sk ⊃ Fi як розширення тiла Fi для деякого i таке, що (Sk : Fi) = 2, S̃i ' Mat(2, Fi)
i Sk вкладається в Mat(2, Fi) так, що елементу a ∈ Sk вiдповiдає матриця оператора x 7→ xa.
Доведення. Позначимо Lik = S̃i ⊗S Sk. Звичайно, що Lik 6= 0 тодi i лише тодi, коли
проекцiя Sk на S̃i є ненульовою. Оскiльки Lk = S̃ ⊗S Sk =
⊕m
i=1 Lik, iснують щонайбiльше
два iндекси i такi, що Lik 6= 0. Тому або Sk ⊆ S̃i для деякого i, або Sk ⊂ S̃i × S̃j для деяких
i 6= j i обидва Lik i Ljk не нульовi. Зауважимо, що dimFiLik > di, а dimSk
Lk 6 2. Тому в
останньому випадку di = dj = 1 i S̃i ' S̃j ' Sk. Якщо це спiльне значення позначити через F,
то Sk ' F вкладається в S̃i × S̃j ' F × F дiагонально. Це — випадок 1.
Припустимо, що Sk ⊆ S̃i, але Sk 6= S̃i. Тодi di 6 2.
Якщо di = 1, то S̃i — тiло, Sk — його пiдтiло, причому (S̃i : Sk) = 2. Це — випадок 3.
Нехай тепер di = 2, причому k — єдиний iндекс, для якого Lik 6= 0. Тодi S̄i = S̃i ⊗S S =
= S̃i⊗S Sk = Lik. Але S̃i = 2Ui, де Ui — простий S̃i-модуль. Тому Ui ' Sk як Sk-модуль. Отже,
Sk ⊃ Fi = EndUi, причому (Sk : Fi) = 2. Це — випадок 4.
Нарештi, якщо di = 2 i є ще один iндекс q, для якого Liq 6= 0, то S̃i = Mat(2, Fi) ⊃ Sk×Sq.
Тодi S̄i = S̃i⊗S S = S̃i⊗S (Sk⊕Sq) = Lik⊕Liq. Отже, Lik та Liq — простi S̃i-модулi i Sk та Sq
мiстять EndUi = Fi. Оскiльки Lik 6= S̃i i Liq 6= S̃i, то Sk ' Sq ' Fi. Тодi Sk × Sq вкладається
в S̃i як пiдалгебра дiагональних матриць. Це — випадок 2.
Доведення теореми. Нехай A — нодальна k-алгебра, H — вiдповiдна спадкова k-алгебра.
Покладемо Ā = A/ radA i H̄ = H/ radH . Оскiльки radA = radH, то Ā ⊆ H̄ . Ā i H̄
— напiвпростi k-алгебри. Оскiльки алгебру A ми вважаємо базовою, то Ā розкладається в
прямий добуток тiл над полем k: Ā = Ā1 × . . .× Ār. Цi тiла скiнченновимiрнi над k, оскiльки
Ā є скiнченновимiрною. Алгебра H̄ розкладається в прямий добуток матричних алгебр над
тiлами: H̄ = M1 × . . .×Ms, де Mi = Mat(mi, H̄i).
З леми 1 випливає, що умову 2 в означеннi нодальної алгебри можна замiнити на еквiва-
лентну:
lengthĀ(H̄ ⊗Ā U) 6 2 для кожного простого лiвого Ā-модуля U .
Отже, можна застосувати лему 2 для алгебри S̃ = H̄ i її пiдалгебри S = Ā. Тодi, всi
компоненти H̄ є або F, або Mat(2, F ) i, вiдповiдно до цiєї леми, можливi наступнi 5 випадкiв:
0) H̄k = F для деякого k збiгається з простою компонентою Ā. Покладемо тут k � i для
всiх i ∈ I \ J .
1) H̄k × H̄l ' F × F для деяких k 6= l мiстить просту компоненту Ā (iзоморфну F ),
вкладену дiагонально. В цьому випадку покладемо k ∼ l.
2) H̄k = Mat(2, F ) для деякого k мiстить Āi × Āj , (i 6= j), причому Āi × Āj вкладається в
H̄k як пiдалгебра дiагональних матриць. Тут ми покладемо k ∼ k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
БУДОВА СКIНЧЕННОВИМIРНИХ НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР 419
3) H̄k = F мiстить пiдтiло Āi таке, що (H̄k : Āi) = 2. В цьому випадку покладемо k ∈ J−.
4) H̄k = Mat(2, F ), де F ⊂ Āi так, що (Āi : F ) = 2. Тут ми покладемо k ∈ J+.
Це й означає, що кожна базова нодальна алгебра A iзоморфна алгебрi A(H̄, V,∼ , J+, J−, Āi)
для деяких нодальних даних.
Теорему доведено.
Очевидно, вказана конструкцiя нодальних алгебр є лiво-право симетричною. Точнiше, якщо
нодальна алгебра A будується зi спадкової алгебри H деякою послiдовнiстю склеювань, роз-
дувань, обмежень та розширень компонент, то антиiзоморфна алгебра Aop одержується з анти-
iзоморфної спадкової алгебри Hop такою ж послiдовнiстю тих самих операцiй.
Наслiдок 1. Якщо алгебра A є нодальною, то й антиiзоморфна алгебра Aop також є
нодальною.
З цього наслiдку безпосередньо випливає такий наслiдок.
Наслiдок 2. Алгебра A є нодальною тодi й лише тодi, коли iснує спадкова алгебра H ⊃ A
така, що:
1) radA = radH;
2) lengthA(V ⊗A H) 6 2 для кожного простого правого A-модуля V.
1. Дрозд Ю. А. Конечные модули над чисто нетеровыми алгебрами // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1990. – 183. –
С. 56 – 68.
2. Burban I., Drozd Y. Derived categories of nodal algebras // J. Algebra. – 2004. – 272. – P. 46 – 94.
3. Burban I., Drozd Y. Derived categories for nodal rings and projective configurations // Noncommutative Algebra and
Geometry. – 2005. – 243. – P. 23 – 46.
4. Волошин Д. Є. Будова нодальних алгебр // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 880 – 888.
5. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. – Киев: Вища шк., 1980.
6. Auslander M., Reiten I., Smalø. Representation theory of Artin algebras. – Cambridge Univ. Press, 1995.
Одержано 23.04.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2143 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:31Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/ebe2c9b6c448786ebebf5970d94ee8b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21432019-12-05T10:24:58Z Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras Будова скінченновимірних нодальних алгебр Zembyk, V. V. Зембік, В. В. The structure of finite-dimensional nodal algebras over an arbitrary field is described. Описывается строение конечномерных нодальных алгебр над произвольным полем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2143 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 3 (2014); 415–419 Український математичний журнал; Том 66 № 3 (2014); 415–419 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2143/1288 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2143/1289 Copyright (c) 2014 Zembyk V. V. |
| spellingShingle | Zembyk, V. V. Зембік, В. В. Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras |
| title | Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras |
| title_alt | Будова скінченновимірних нодальних алгебр |
| title_full | Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras |
| title_fullStr | Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras |
| title_full_unstemmed | Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras |
| title_short | Structure of Finite-Dimensional Nodal Algebras |
| title_sort | structure of finite-dimensional nodal algebras |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2143 |
| work_keys_str_mv | AT zembykvv structureoffinitedimensionalnodalalgebras AT zembíkvv structureoffinitedimensionalnodalalgebras AT zembykvv budovaskínčennovimírnihnodalʹnihalgebr AT zembíkvv budovaskínčennovimírnihnodalʹnihalgebr |