Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix
We study the structure of the greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix. In this connection, we indicate the Smith normal form and the transforming matrices of the left greatest common divisor.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2145 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508083002802176 |
|---|---|
| author | Romaniv, A. M. Shchedrik, V. P. Романів, О. М. Щедрик, В. П. |
| author_facet | Romaniv, A. M. Shchedrik, V. P. Романів, О. М. Щедрик, В. П. |
| author_sort | Romaniv, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:24:58Z |
| description | We study the structure of the greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix. In this connection, we indicate the Smith normal form and the transforming matrices of the left greatest common divisor. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64
А. М. Романiв, В. П. Щедрик (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК МАТРИЦЬ,
ОДНА З ЯКИХ МАЄ ОДИН ВIДМIННИЙ ВIД ОДИНИЦI
IНВАРIАНТНИЙ МНОЖНИК
We study the structure of greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix. In this connection, we
indicate the Smith normal form and the transforming matrices of the left greatest common divisor.
Исследуется структура наибольшего общего делителя матриц, одна из которых имеет один отличный от единицы
инвариантный множитель. В связи с этим указаны форма Смита и преобразующие матрицы наибольшего общего
левого делителя.
1. Вступ. Нехай R — комутативна область елементарних дiльникiв [1] з 1 6= 0, тобто така
область, над якою для кожної матрицi D iснують такi оборотнi матрицi P, Q вiдповiдних
розмiрiв, що
PDQ = diag (d1, . . . , dr, 0, . . . , 0),
де di | di+1, i = 1, . . . , r − 1. При цьому матрицю diag (d1, . . . , dr, 0, . . . , 0) називають формою
Смiта, di — iнварiантними множниками, а матрицi P та Q — лiвою та правою перетворюваль-
ними матрицями матрицi A. Iнодi, для зручностi, матрицю D будемо записувати у виглядi
D = P−1diag (d1, . . . , dr, 0, . . . , 0)Q−1.
Нехай A, B — (n × n)-матрицi над R. Якщо A = BC, то кажуть, що матриця B є лiвим
дiльником матрицi A. Якщо A = DA1 та B = DB1, то матрицю D називають спiльним
лiвим дiльником матриць A та B. Окрiм того, якщо матриця D дiлиться злiва на кожний
спiльний лiвий дiльник матриць A та B, то матрицю D називають найбiльшим спiльним
лiвим дiльником (н. с. л. д.) матриць A та B (у позначеннях (A,B)l).
У статтi [2] запропоновано метод знаходження н. с. д. (як лiвого, так i правого), який базу-
ється на результатах [3, 4]. Найбiльш ґрунтовнi дослiдження н. с. д. проводились для полiно-
мiальних матриць над полем. Вони були спрямованi як на пошук нових методiв знаходження
таких матриць, зокрема, через побудову певних аналогiв результантної матрицi, так i на вста-
новлення степеня цих матричних полiномiв [5 – 8].
На початку 90-х рокiв минулого столiття M. Ньюмен для матриць над комутативними
областями головних iдеалiв сформулював задачу: встановити зв’язок мiж формами Смiта двох
матриць та їхнiх н. с. д. та н. с. к. Вiн же i показав, що перший iнварiантний множник н. с. д. до-
рiвнює н. с. д. перших iнварiантних множникiв вихiдних матриць. Найбiльш глибокi результати
в цьому напрямку отримано в [9], де вказано певнi необхiднi умови, яким повиннi задовольняти
iнварiантнi множники н. с. д. та н. с. к. Зокрема, показано, що останнiй iнварiантний множник
н. с. к. дорiвнює н. с. к. останнiх iнварiантних множникiв вихiдних матриць.
Близькими до цiєї тематики є дослiдження спiльних дiльникiв матриць. У зв’язку з цим
видiлимо роботи [10, 11]. Є також окремi дослiдження властивостей н. с. д. та н. с. к. матриць
над дедекiндовими областями [12].
c© А. М. РОМАНIВ, В. П. ЩЕДРИК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3 425
426 А. М. РОМАНIВ, В. П. ЩЕДРИК
Дану статтю присвячено вивченню структури н. с. л. д. з точки зору опису його форми Смiта
та перетворювальних матриць.
Нехай E = diag (ε1, ε2, . . . , εn) — форма Смiта i PA та QA — лiва та права перетворювальнi
матрицi A. Позначимо через PA множину всiх лiвих перетворювальних матриць A. Згiдно з
результатами робiт [13, 14] PA = GEPA, де
GE = {H ∈ GLn(R) | HE = EH1}, H1 ∈ GLn(R).
Множина GE за структурою є мультиплiкативною групою.
Нехай н. с. д. мiнорiв (n− 1)-го порядку матрицi B дорiвнює 1. Тодi iснують такi оборотнi
матрицi PB та QB, що
PBBQB = ∆, де ∆ = diag (1, . . . , 1, δ).
2. Допомiжнi твердження та факти.
Лема 1. Нехай PBP
−1
A = S = ‖sij‖n1 . Тодi елемент ((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) є iнва-
рiантом вiдносно вибору перетворювальних матриць PB та PA.
Доведення. Нехай FA та FB — iншi лiвi перетворювальнi матрицi матриць A та B. Тодi
iснують такi HA ∈ GE та HB ∈ G∆, що FA = HAPA, FB = HBPB. Розглянемо добуток
матриць
FBF
−1
A = HBPB(HAPA)−1 = HBPBP
−1
A H−1
A = HBSH
−1
A ,
де S = PBP
−1
A . Позначимо HBS = ‖kij‖n1 . На пiдставi наслiдку 6 iз [14] матриця HB має
вигляд
HB =
∥∥∥∥∥∥∥∥
h11 . . . h1,n−1 h1n
. . . . . . . . . . . .
hn−1,1 . . . hn−1,n−1 hn−1,n
δhn1 . . . δhn,n−1 hnn
∥∥∥∥∥∥∥∥ .
Тодi
kni =
∥∥ δhn1 . . . δhn,n−1 hnn
∥∥
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
s1i
...
sn−1,i
sni
∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =
= δ(hn1s1i + . . .+ hn,n−1sn−1,i) + hnnsni = δli + hnnsni, i = 1, . . . , n− 1.
Розглянемо
((εn, δ), ε1kn1, . . . , εn−1kn,n−1) =
= ((εn, δ), δε1l1 + ε1hnnsn1, . . . , δεn−1ln−1 + εn−1hnnsn,n−1) = d.
Оскiльки (εn, δ) |δ , то
d = ((εn, δ), ε1hnnsn1, . . . , εn−1hnnsn,n−1) = ((εn, δ), hnn(ε1sn1, . . . , εn−1sn,n−1)) .
Iз оборотностi матрицi HB випливає, що (hnn, δ) = 1. Отже, i (hnn, (εn, δ)) = 1. Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК МАТРИЦЬ, ОДНА З ЯКИХ МАЄ ОДИН ВIДМIННИЙ . . . 427
d = ((εn, δ), kn1ε1, . . . , kn,n−1εn−1) = ((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) .
Позначимо SH−1
A = ‖tij‖n1 . Оскiльки H−1
A ∈ GE, то на пiдставi наслiдку 6 iз [14] матриця
H−1
A має вигляд
H−1
A =
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
v11 v12 . . . v1n
ε2
ε1
v21 v22 . . . v2n
. . . . . . . . . . . .
εn
ε1
vn1
εn
ε2
vn2 . . . vnn
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
.
Отже,
tni =
∥∥ sn1 sn2 . . . snn
∥∥
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
v1i
...
vii
εi+1
εi
vi+1,i
...
εn
εi
vni
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
=
= sn1v1i + . . . + snivii + sn,i+1
εi+1
εi
vi+1.i + . . .+ snn
εn
εi
vni, i = 1, . . . , n− 1.
Розглянемо
((εn, δ), tn1ε1, . . . , tn,n−1εn−1) =
= ((εn, δ), sn1ε1v11 + sn2ε2v21 + . . . + sn,n−1εn−1vn−1,1 + snnεnvn1, . . .
. . . , sn1εn−1v1,n−1 + sn2εn−1v2,n−1 + . . .+ sn,n−1εn−1vn−1,n−1 + snnεnvn,n−1).
Оскiльки d є дiльником усiх доданкiв, приходимо до висновку, що
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) | ((εn, δ), tn1ε1, . . . , tn,n−1εn−1) .
З iншого боку, S = ‖tij‖n1 HA. На пiдставi аналогiчних до щойно проведених мiркувань
отримуємо
((εn, δ), tn1ε1, . . . , tn,n−1εn−1) | ((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) .
Це означає, що
((εn, δ), tn1ε1, . . . , tn,n−1εn−1) = ((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) .
Зважаючи на асоцiативнiсть кiльця Mn(R), завершуємо доведення.
Лема 2. Нехай
ϕ
(ϕ, εi)
= µi, де ϕ = ((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) .
Тодi µi |sni , i = 1, . . . , n− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
428 А. М. РОМАНIВ, В. П. ЩЕДРИК
Доведення. Оскiльки
µi =
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1)
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sniεi, sn,i+1εn,i+1, . . . , sn,n−1εn−1, εi)
=
=
(
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1) , εi
(
sni,
εi+1
εi
sn,i+1, . . . , sn,n−1
εn−1
εi
))
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1, εi)
=
=
(
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1)
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1, εi)
,
εi
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1, εi)
×
×
(
sni,
εi+1
εi
sn,i+1, . . . , sn,n−1
εn−1
εi
))
=
=
(
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1)
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,i−1εi−1, εi)
,
(
sni,
εi+1
εi
sn,i+1, . . . , sn,n−1
εn−1
εi
))
,
то µi |sni , i = 1, . . . , n− 1.
Лему доведено.
Для доведення основного результату також використаємо критерiй подiльностi матриць, що
був отриманий у [14]. Сформулюємо його, врахувавши специфiку конкретного випадку.
Теорема 1. Нехай
A = P−1
A EQ−1
A = P−1
A diag(ε1, ε2, . . . , εn)Q−1
A ,
D = P−1
D ΦQ−1
D = P−1
D diag(1, . . . , 1, ϕ)Q−1
D .
Тодi для того щоб A = DC, необхiдно та достатньо виконання наступних умов:
1) Φ|E, тобто ϕ |εn ;
2) PD = LPA, де L належить множинi L(E,Φ), яка складається з усiх оборотних матриць
вигляду ∥∥∥∥∥∥∥∥∥
l11 l12 . . . l1,n−1 l1n
l21 l22 . . . l2,n−1 l2n
. . . . . . . . . . . . . . .
ϕn
(ϕn, ε1)
ln1
ϕn
(ϕn, ε2)
ln2 . . .
ϕn
(ϕn, εn−1)
ln,n−1 lnn
∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .
3. Основний результат.
Теорема 2. Нехай
A = P−1
A EQ−1
A = P−1
A diag (ε1, ε2, . . . , εn)Q−1
A ,
B = P−1
B ∆Q−1
B = P−1
B diag (1, . . . , 1, δ)Q−1
B .
Нехай також PBP
−1
A = ‖sij‖n1 . Тодi
(A,B)l = P−1
B Φ,
де Φ = diag (1, . . . , 1, ϕ) , ϕ = ((εn, δ), ε1sn1, . . . , εn−1sn,n−1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК МАТРИЦЬ, ОДНА З ЯКИХ МАЄ ОДИН ВIДМIННИЙ . . . 429
Доведення. Вiдразу ж зауважимо, що згiдно з лемою 1 елемент ((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) ,
а отже, i матриця Φ не залежать вiд вибору перетворювальних матриць PA та PB.
Оскiльки ϕ | δ , то
B = (P−1
B Φ)
(
diag
(
1, . . . , 1,
δ
ϕ
)
Q−1
B
)
,
тобто матриця D = P−1
B Φ є лiвим дiльником матрицi B.
З iншого боку, ϕ|εn. На пiдставi леми 2 елемент
ϕ
(ϕ, εi)
є дiльником sni, i = 1, . . . , n− 1.
Отже, PBP
−1
A = S ∈ L(E,Φ), тобто PB = SPA. Згiдно з теоремою 1 це означає, що D = P−1
B Φ
є лiвим дiльником матрицi A. Таким чином, матриця D = P−1
B Φ є спiльним лiвим дiльником
матриць A та B.
Нехай T — iнший спiльний лiвий дiльник матриць A та B. На пiдставi теореми 4 iз [14]
форма Смiта матрицi T, яку ми позначимо через Γ, є дiльником форм Смiта матриць A та B.
Звiдси випливає, що матриця Γ має вигляд Γ = diag (1, . . . , 1, γ) , причому γ |εn та γ |δ ,
тобто
γ |(εn, δ) . (1)
Iз рiвностей A = TA1, B = TB1 також випливає, що PT = KAPA, де KA ∈ L(E,Γ) та
PT = KBPB, де KB ∈ L(∆,Γ). Отже, KAPA = KBPB, тобто PBP
−1
A = K−1
B KA. Матриця
K−1
B KA має вигляд
K−1
B KA =
∥∥∥∥∥∥∥∥
v11 . . . v1,n−1 v1n
. . . . . . . . . . . .
vn−1,1 . . . vn−1,n−1 vn−1,n
γvn1 . . . γvn,n−1 vnn
∥∥∥∥∥∥∥∥×
×
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
u11 . . . u1,n−1 u1n
. . . . . . . . . . . .
un−1,1 . . . un−1,n−1 un−1,n
γ
(γ, ε1)
un1 . . .
γ
(γ, εn−1)
un,n−1 unn
∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
l11 . . . l1,n−1 l1n
. . . . . . . . . . . .
ln−1,1 . . . ln−1,n−1 ln−1,n
γ
(γ, ε1)
ln1 . . .
γ
(γ, εn−1)
ln,n−1 lnn
∥∥∥∥∥∥∥∥∥ = PBP
−1
A = ‖sij‖n1 .
Таким чином,
γ
(γ, εi)
| sni, i = 1, . . . , n− 1, тобто γ | sni(γ, εi) = (γsni, εisni), i = 1, . . . , n− 1.
Звiдси випливає, що γ | εisni, i = 1, . . . , n− 1. Врахувавши подiльнiсть (1), отримуємо
γ | ((εn, δ), ε1sn1, . . . , εn−1sn,n−1) = ϕ.
Таким чином, Γ |Φ .
Оскiльки PT = KBPB i PD = PB, то
PTP
−1
D = KBPBP
−1
B = KB ∈ L(∆,Γ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
430 А. М. РОМАНIВ, В. П. ЩЕДРИК
Зважаючи на те, що L(∆,Γ) = L(Φ,Γ), на пiдставi теореми 1 приходимо до висновку, що
матриця T є лiвим дiльником матрицiD = P−1
B Φ. Отже, матриця P−1
B Φ є найбiльшим спiльним
лiвим дiльником матриць A та B.
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Матрицi A та B взаємно простi злiва тодi i тiльки тодi, коли
((εn, δ), sn1ε1, . . . , sn,n−1εn−1) = 1.
Наслiдок 2. Множини перетворювальних матриць (A,B)l та B пов’язанi мiж собою
наступними спiввiдношеннями:
1) P(A,B)l = GΦPB,
2) PB ⊂ P(A,B)l .
Доведення. Перше спiввiдношення є очевидним.
Оскiльки PB = G∆PB, P(A,B)l = GΦPB та G∆ ⊂ GΦ, то PB ⊂ P(A,B)l .
1. Kaplansky I. Elementary divisor and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464 – 491.
2. MacDuffee C. C. Matrices with elements in a principal ring // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39. – P. 570 – 573.
3. Cahen E. Théorie des Nombres. – 1914. – I.
4. Châtelet A. Groupes Abéliens Finis. – 1924.
5. Barnett S. Regular greatest common divisor of two polynomial matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1972. – 72. –
P. 161 – 165.
6. Barnett S. Greatest common divisors from generalized Sylvester resultant matrices // Linear and Multilinear Algebra. –
1980. – 8. – P. 271 – 279.
7. Bitmead R. R., Kung S. Y., Anderson O., Kailath T. Greatest common divisors via generalized Sylvester and Bezout
matrices // IEEE Trans. Automat. Contr. – 1978. – 23, № 6. – P. 1043 – 1047.
8. Gohberg I., Kaashoek M. A., Lerer L., Rodman L. Common multiples and common divisors of matrix polynomials,
I // Indiana Univ. Math. J. – 1981. – 30, № 3. – P. 321 – 356.
9. Thompson R. C. Left multiples and right divisors of integral matrices // Linear and Multilinear Algebra. – 1986. –
19. – P. 287 – 295.
10. Джалюк Н. С. Петричкович В. М. Про спiльнi унiтальнi дiльники многочленних матриць iз заданою канонiч-
ною дiагональною формою // Мат. методи та фiз.- мех. поля. – 2002. – 45, № 3. – C. 7 – 13.
11. Прокiп В. М. Про спiльнi дiльники матриць над факторiальними областями //Мат. методи та фiз.-мех. поля. –
2005. – 48, № 4. – С. 43 – 50.
12. Nanda V. C. On the gcd and lcm of matrices over Dedekind domains // Number Theory and Discrete Math. Trends
in Math. – 2002. – P. 201 – 211.
13. Зелиско В. Р. О строении одного класса обратимых матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1980. – Вып. 12. –
С. 14 – 21.
14. Shchedryk V. Factorization of matrices over elementary divisor domain // Algebra and Discrete Math. – 2009. – № 2. –
P. 79 – 99.
Одержано 18.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2145 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:34Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b3/6e2369f53ce725c7deafb38eaa30b9b3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21452019-12-05T10:24:58Z Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix Найбільший спільний дільник матриць, одна з яких має один відмінний від одиниці інваріантний множник Romaniv, A. M. Shchedrik, V. P. Романів, О. М. Щедрик, В. П. We study the structure of the greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix. In this connection, we indicate the Smith normal form and the transforming matrices of the left greatest common divisor. Исследуется структура наибольшего общего делителя матриц, одна из которых имеет один отличный от единицы инвариантный множитель. В связи с этим указаны форма Смита и преобразующие матрицы наибольшего общего левого делителя. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2145 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 3 (2014); 425–430 Український математичний журнал; Том 66 № 3 (2014); 425–430 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2145/1292 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2145/1293 Copyright (c) 2014 Romaniv A. M.; Shchedrik V. P. |
| spellingShingle | Romaniv, A. M. Shchedrik, V. P. Романів, О. М. Щедрик, В. П. Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| title | Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| title_alt | Найбільший спільний дільник матриць, одна з яких має один відмінний від одиниці інваріантний множник |
| title_full | Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| title_fullStr | Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| title_full_unstemmed | Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| title_short | Greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| title_sort | greatest common divisor of matrices one of which is a disappear matrix |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2145 |
| work_keys_str_mv | AT romanivam greatestcommondivisorofmatricesoneofwhichisadisappearmatrix AT shchedrikvp greatestcommondivisorofmatricesoneofwhichisadisappearmatrix AT romanívom greatestcommondivisorofmatricesoneofwhichisadisappearmatrix AT ŝedrikvp greatestcommondivisorofmatricesoneofwhichisadisappearmatrix AT romanivam najbílʹšijspílʹnijdílʹnikmatricʹodnazâkihmaêodinvídmínnijvídodinicíínvaríantnijmnožnik AT shchedrikvp najbílʹšijspílʹnijdílʹnikmatricʹodnazâkihmaêodinvídmínnijvídodinicíínvaríantnijmnožnik AT romanívom najbílʹšijspílʹnijdílʹnikmatricʹodnazâkihmaêodinvídmínnijvídodinicíínvaríantnijmnožnik AT ŝedrikvp najbílʹšijspílʹnijdílʹnikmatricʹodnazâkihmaêodinvídmínnijvídodinicíínvaríantnijmnožnik |