On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity
We study the initial-boundary-value problem with general homogeneous boundary conditions for the Petrovskii-type semilinear parabolic systems with variable exponents of nonlinearity in a cylindrical domain. The existence of mild solutions of this problem is proved.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2146 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508083535478784 |
|---|---|
| author | Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. |
| author_facet | Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. |
| author_sort | Buhrii, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:15Z |
| description | We study the initial-boundary-value problem with general homogeneous boundary conditions for the Petrovskii-type semilinear parabolic systems with variable exponents of nonlinearity in a cylindrical domain. The existence of mild solutions of this problem is proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
О. М. Бугрiй (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ПРО IСНУВАННЯ СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКIВ МIШАНИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ НАПIВЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМ
ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ НЕЛIНIЙНОСТI
We study the initial-boundary-value problems with general homogeneous boundary conditions for parabolic systems of the
Petrovsky type with variable exponents of nonlinearity in cylindrical domains. The existence of the mild solutions of this
problem is proved.
В цилиндрической области рассмотрена смешанная задача с общими однородными граничными условиями для
полулинейных параболических по Петровскому систем c переменными показателями нелинейности. Доказано су-
ществование слабых решений этой задачи.
1. Вступ. Нехай n, N та b — заданi числа з множини всiх натуральних чисел N, Rn —
n-вимiрний дiйсний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xn), R := R1, Zn+ — мно-
жина всiх n-вимiрних мультиiндексiв (точок у Rn з цiлими невiд’ємними координатами),
Z+ := Z1
+, MN×n — множина всiх матриць A розмiру N × n з елементами Akj ∈ R,
MN := MN×N , |x| := (x2
1 + . . . + x2
n)1/2 для всiх x ∈ Rn, |α| := |α1| + . . . + |αn| для α ∈ Zn+,
|A| :=
(∑N
k=1
∑n
j=1
|Akj |2
)1/2
, якщо A ∈ MN×n. Нехай T > 0 — задане додатне число,
r1, . . . , rbN — цiлi числа, якi задовольняють умову 0 ≤ ri < 2b, i ∈ {1, . . . , 2b}, Ω ⊂ Rn —
обмежена область з межею ∂Ω, Q0,T := Ω × (0, T ], S0,T := ∂Ω × [0, T ]. Розглянемо задачу:
знайти функцiю u : Q0,T →MN×1 таку, що
Dtu−
∑
|α|≤2b
aα(x, t)Dα
xu+ g(x, t)|u|q(x,t)−2u = f(x, t) в Q0,T , (1)
∑
|β|≤rj
bj β(x, t)Dβ
xu|S0,T
= 0 для j ∈ {1, 2, . . . , bN}, (2)
u|t=0 = u0(x). (3)
Тут {α, β} ⊂ Zn+, aα : Q0,T → MN , g : Q0,T → MN , f : Q0,T → MN×1, bj β : S0,T → M1×N ,
u0 : Ω→MN×1 — заданi функцiї, Dt :=
∂
∂t
, Dxi :=
∂
∂xi
, Dα
x := Dα1
x1
. . . Dαn
xn для α ∈ Zn+.
Мета статтi полягає в тому, щоб знайти умови iснування узагальненого розв’язку задачi
(1) – (3). У п. 2 сформульовано основний результат та наведено порiвняння його з вiдомими
результатами. Доведення, яке базується на теоремi Шаудера про нерухому точку, мiститься у
п. 3. Насамкiнець наведено приклади.
2. Формулювання результату. Насамперед введемо необхiднi позначення та нагадаємо
деякi вiдомi факти. НехайD := Ω чиD := Q0,T , L
p(D) — стандартний простiр Лебега абсолют-
но iнтегровних зi степенем p ∈ [1,+∞) функцiй, [Lp(D)]N := Lp(D) × . . . × Lp(D), L∞(D)
c© О. М. БУГРIЙ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4 435
436 О. М. БУГРIЙ
— простiр Лебега iстотно обмежених функцiй (див. [1]). Через ‖u;B‖ позначатимемо норму
елемента u деякого нормованого простору B.
Головнiй у параболiчному сенсi частинi системи (1) поставимо у вiдповiднiсть матрицю з
MN вигляду
E0(x, t, p, η) := Ep−
∑
|α|=2b
aα(x, t)(iη)α,
а головнiй у параболiчному сенсi частинi крайових умов — матрицю B0, рядками якої є век-
тори Bj(x, t, η) :=
∑
|β|=rj
bj β(x, t)(iη)β, де E — одинична матриця порядку N, i — уявна
одиниця, (iη)α := (iη1)α1 . . . (iηn)αn , (x, t) ∈ Q0,T , p ∈ C, η := (η1, . . . , ηn) ∈ Rn. Нехай
Ê0 := E−1
0 detE0 — взаємна до E0 матриця.
Будемо вважати, що система (1) є рiвномiрно параболiчною за Петровським, тобто викону-
ється така умова (див. [2, c. 12]):
(A) iснує δ > 0 таке, що всi p-коренi рiвняння detE0(x, t, p, η) = 0 задовольняють умову
Re pk(x, t, η) ≤ −δ|η|2b, (x, t) ∈ Q0,T , η ∈ Rn, k ∈ {1, . . . , N}.
Нехай ν(x, t) — орт внутрiшньої нормалi до межi S0,T в її точцi (x, t). Припускатимемо
виконання такої рiвномiрної умови доповняльностi або умови Лопатинського (див. [3, c. 18]):
(B) iснує δ1 ∈ (0, δ), де δ — стала з умови (A), таке, що для кожної точки (x, t) ∈ S0,T
i будь-якого вектора ξ(x, t) з дотичної до S0,T в точцi (x, t) гiперплощини рядки матрицi
C(x, t, p, ξ, τ) := B0
(
x, t, ξ(x, t) + τν(x, t)
)
Ê0
(
x, t, p, ξ(x, t) + τν(x, t)
)
, як полiноми вiд τ, є
лiнiйно незалежними за модулем τ -полiнома
E+(x, t, p, ξ, τ) :=
bN∏
j=1
(
τ − τ+
j (x, t, p, ξ)
)
,
для всiх p ∈ C таких, що |p|+ |ξ|2b > 0 i Re p ≥ −δ1|ξ|2b; тут τ+
1 , . . . , τ
+
bN — τ -коренi рiвняння
detE0
(
x, t, p, ξ(x, t) + τν(x, t)
)
= 0 з додатною уявною частиною.
Крiм того, вважатимемо, що виконуються такi умови:
(G) елементи матрицi-функцiї g належать до простору L∞(Q0,T );
(Q) q ∈ L∞(Q0,T ), q0 := ess inf(x,t)∈Q0,T
q(x, t) > 1;
(UF) u0 ∈
[
Lp(Ω)
]N
, f ∈
[
Lp(Q0,T )
]N
, де p > 1.
Щоб дати означення слабкого розв’язку задачi (1) – (3), нагадаємо поняття однорiдної мат-
рицi Ґрiна. Матриця-функцiя G0(x, t, ξ, s), {x, ξ} ⊂ Ω, T ≥ t > s ≥ 0, називається однорiдною
матрицею Ґрiна (див. [2, c. 28]) задачi (1) – (3) з g ≡ 0, якщо формула
u(x, t) =
t∫
0
∫
Ω
G0(x, t, ξ, s)f(ξ, s) dξds, (x, t) ∈ Q0,T ,
визначає класичний розв’язок цiєї задачi для довiльної фiнiтної досить гладкої функцiї f. За
певних умов така функцiя iснує i для неї справджується оцiнка
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣ ≤M1 (t− s)−
n
2b e−M2 |x−ξ|
2b
2b−1 (t−s)
−
1
2b−1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО IСНУВАННЯ СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКIВ МIШАНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПIВЛIНIЙНИХ . . . 437
Для зручностi продовжимо функцiю G0 нулем при t ≤ s ≤ T. Тодi G0 : Q0,T × Q0,T → MN , i
останню оцiнку запишемо у виглядi
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣ ≤ M1 χ(0,T )(t− s)
|t− s|
n
2b
e−M2 |x−ξ|
2b
2b−1 |t−s|
− 1
2b−1
,
{
(x, t), (y, s)
}
⊂ Q0,T , (4)
де M1, M2 — деякi додатнi сталi, z 7→ χ(0,T )(z) — характеристична функцiя iнтервалу (0, T ).
Припускатимемо далi, що виконується така умова:
(E) вихiднi данi задачi (1) – (3) з g ≡ 0 є такими, що однорiдна матриця Ґрiна G0 цiєї задачi
iснує i для її продовження нулем при t ≤ s ≤ T справджується оцiнка (4).
За певних умов на функцiї u0 та f стандартно доводиться, що формулою
u(x, t) =
∫
Ω
G0(x, t, ξ, 0)u0(ξ) dξ +
t∫
0
∫
Ω
G0(x, t, ξ, s)f(ξ, s) dξds, (x, t) ∈ Q0,T , (5)
визначається класичний розв’язок задачi (1) – (3) з g ≡ 0. Якщо функцiї u0 та f не мають
достатньої гладкостi, то рiвнiсть (5) беруть за означення слабкого (узагальненого) розв’язку
задачi (1) – (3) з g ≡ 0 (див., наприклад, [4, 5]). У випадку g 6≡ 0 традицiйно слабкий розв’язок
задачi (1) – (3) означується за допомогою рiвностi
u(x, t) =
∫
Ω
G0(x, t, ξ, 0)u0(ξ) dξ +
t∫
0
∫
Ω
G0(x, t, ξ, s)f(ξ, s) dξds−
−
t∫
0
∫
Ω
G0(x, t, ξ, s)g(ξ, s)|u(ξ, s)|q(ξ,s)−2u(ξ, s) dξds. (6)
Наведемо означення розв’язку задачi (1) – (3), iснування якого ми дослiджуватимемо.
Означення. Слабким розв’язком мiшаної задачi (1) – (3) називатимемо таку функцiю u ∈
∈ [Lp(Q0,T )]N , яка майже для всiх (x, t) ∈ Q0,T задовольняє рiвнiсть (6), де G0 — однорiдна
матриця Ґрiна задачi (1) – (3) з g ≡ 0.
Далi будемо використовувати позначення q0 := ess sup(x,t)∈Q0,T
q(x, t).
Теорема 1. Якщо виконується умова (UF) зi сталою p ∈
(
1 +
n
2b
,+∞
)
та умови q0 < 2,
(A), (B), (G), (Q) i (E), то задача (1) – (3) має слабкий розв’язок.
Властивостi функцiй Ґрiна параболiчних задач дослiджувались, зокрема, в [2, 3, 6 – 9]. Задачi
для параболiчних рiвнянь i систем рiвнянь з нелiнiйними молодшими членами вигляду
ut +A(x, t, δmu) + g̃(x, t, δm−1u) = f(x, t), (7)
де δku — вектор, складений iз функцiї u та її похiдних по x до порядку k включно (k = m чи
k = m − 1), A — лiнiйний i g̃ — нелiнiйний диференцiальнi вирази, дослiджувались, зокрема,
в [6]. Для розв’язностi задачi, зокрема, вiд виразу g̃ вимагається виконання глобальної умови
Лiпшиця за змiнними δm−1u. Молодший член g̃(x, t, u) = g(x, t)|u|q(x,t)−2u системи (1) цю
умову не задовольняє навiть при g(x, t) = const > 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
438 О. М. БУГРIЙ
Мiшанi задачi для рiзних нелiнiйних параболiчних рiвнянь та систем рiвнянь зi змiнними
показниками нелiнiйностi вивчались у [10 – 16]. Вiдповiднi параболiчнi варiацiйнi нерiвностi
дослiджено в [17, 18] (детальнiший огляд наведено в [19]). Зазначимо, що для розв’язностi цих
задач потрiбно накладати певнi додатковi умови гладкостi на їхнiй показник нелiнiйностi (в
даному випадку — це функцiя q). Тут вiд таких умов вдалося частково вiдмовитися.
Параболiчнi за Петровським системи диференцiальних рiвнянь зi змiнними показниками
нелiнiйностi розглянуто тут, мабуть, уперше. Аналогiчнi до отриманих у цiй статтi результати
для модельних параболiчних рiвнянь зi змiнними показниками нелiнiйностi та однорiдними
крайовими умовами доведено в [19]. Вiдповiдну задачу з неоднорiдними крайовими умовами
розглянуто в [20].
3. Доведення основного результату. Перш нiж перейти до безпосереднього доведення
теореми 1 наведемо деякi допомiжнi факти. Леми 1 – 5, мабуть, не є новими. Проте авторовi
статтi цi твердження у сформульованому тут виглядi не вдалося знайти в доступнiй лiтературi.
Лема 1. Нехай Q — обмежена чи необмежена вимiрна за Лебегом пiдмножина Rm, 1 <
< p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, K : Q×Q→MN — вимiрна матриця-функцiя, J — лiнiйний векторний
iнтегральний оператор вигляду (J u)(y) :=
∫
Q
K(y, z)u(z) dz, y ∈ Q,
‖|K|‖p :=
∫
Q
∫
Q
∣∣K(y, z)
∣∣p′ dz
p/p′
dy
1/p
. (8)
Тодi якщо ‖|K|‖p < +∞, то оператор J дiє з простору
[
Lp(Q)
]N
в
[
Lp(Q)
]N
та є цiлком
неперервним (див. [21, c. 229]).
Доведення. Зауважимо, що твердження цiєї леми при N = 1 збiгається з твердженням
теореми 7.2.7 з [21, c. 203]. Нехай N ≥ 2. Оскiльки K(y, z)∈MN , K(y, z) := (Kkj(y, z))
N
k,j=1,
{y, z} ⊂ Q, то з оцiнки |Kkj | ≤ |K| та припущення леми випливає, що
‖|Kkj‖|p :=
∫
Q
∫
Q
|Kkj(y, z)|p
′
dz
p/p′
dy
1/p
≤ ‖|K|‖p < +∞, {k, j} ⊂ {1, . . . , N}.
Тому з теореми 7.2.7 з [21, c. 203] випливає цiлком неперервнiсть iнтегральних операторiв
Jkj : Lp(Q) → Lp(Q), де (Jkjv)(y) :=
∫
Q
Kkj(y, z)v(z) dz, y ∈ Q, v ∈ Lp(Q). Оскiльки для
u = col (u1, . . . , uN ) ∈
[
Lp(Q)
]N
маємо J u = col (J11u1 + . . . + J1NuN , . . . , JN1u1 + . . .
. . . + JNNuN ), то J — цiлком неперервний оператор. Дiйсно, неперервнiсть оператора J є
очевидною. Доведемо, що образ обмеженої множини є передкомпактним (див. [21, c. 154]).
Нехай A — довiльна обмежена множина в
[
Lp(Q)
]N
. Тодi iснують такi обмеженi у просторi
Lp(Q) множини A1, . . . , AN , що A ⊂ A1× . . .×AN . Отже, Jkj(Aj) — передкомпактнi множини
в Lp(Q), а тому з теореми 3 з [23, c. 109] та [24, c. 94] випливає передкомпактнiсть в Lp(Q)
множини Jk1(A1) + . . . + JkN (AN ), {k, j} ⊂ {1, . . . , N}. Очевидно, що декартiв добуток
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО IСНУВАННЯ СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКIВ МIШАНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПIВЛIНIЙНИХ . . . 439
передкомпактних множин є множиною передкомпактною. Тому J (A) ⊂ J (A1 × . . . × AN ) —
передкомпакт.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай r — фiксоване число з [1,+∞), G0 : Q0,T ×Q0,T →MN — вимiрна функцiя,
для якої виконується оцiнка (4),
Jr(x, t, s) :=
∫
Ω
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣r dξ, Ĵr(ξ, t, s) :=
∫
Ω
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣r dx, (9)
{x, ξ} ⊂ Ω, 0 ≤ s < t ≤ T. Тодi iснує така стала C(r) > 0, що
Jr(x, t, s) ≤
C(r)
(t− s)
n
2b
(r−1)
, Ĵr(ξ, t, s) ≤
C(r)
(t− s)
n
2b (r−1)
. (10)
Доведення. Використовуючи оцiнку (4) та розширюючи область iнтегрування з Ω до Rn,
одержуємо
Jr ≤
M r
1
(t− s)r
n
2b
∫
Rn
e
−M2r
|x−ξ|
2b
2b−1
(t−s)
1
2b−1 dξ.
Виконуючи замiну змiнних ξ η, де ξ = x+
(t− s)
1
2b
(M2r)
2b−1
2b
η, dξ =
(t− s)
n
2b
(M2r)
n
2b−1
2b
dη, маємо
Jr ≤
M r
1
(t− s)r
n
2b
∫
Rn
(t− s)
n
2b
(M2r)
n
2b−1
2b
e−|η|
2b
2b−1
dη =
C(r)
(t− s)
n
2b (r−1)
,
де C(r) = M r
1 (M2r)
−n 2b−1
2b
∫
Rn
e−|η|
2b
2b−1
dη < +∞. Другу оцiнку з (10) з тiєю самою сталою
C(r) отримуємо аналогiчно.
Лему 2 доведено.
Наслiдок 1. Для функцiї G0 з попередньої леми iснує така стала M > 0, що
ess sup
x∈Ω,
0≤s<t≤T
∫
Ω
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣ dξ ≤M , ess sup
ξ∈Ω,
0≤s<t≤T
∫
Ω
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣ dx ≤M . (11)
Доведення. Оцiнки (11) з M = C(1) безпосередньо випливають з (10) при r = 1.
Зауваження 1. Нехай {p, p′} ⊂ (1,+∞) — такi числа, що
1
p
+
1
p′
= 1. Тодi рiвносильними
є нерiвностi
p′ < 1 +
2b
n
,
p
p− 1
<
n+ 2b
n
, pn < pn− n+ 2bp− 2b, p > 1 +
n
2b
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
440 О. М. БУГРIЙ
Лема 3. Нехай G0 : Q0,T ×Q0,T →MN — вимiрна матриця-функцiя, для якої виконується
оцiнка (4), J — лiнiйний iнтегральний оператор вигляду
(J z)(x, t) :=
t∫
0
∫
Ω
G0(x, t, ξ, s)z(ξ, s) dξds, (x, t) ∈ Q0,T . (13)
Якщо p > 1 +
n
2b
, то оператор J :
[
Lp(Q0,T )
]N → [
Lp(Q0,T )
]N
є цiлком неперервним (а тому
обмеженим i неперервним оператором).
Доведення. Нехай виконуються припущення леми, p, p′ — числа iз зауваження 1. Врахову-
ючи позначення лем 1 i 2, отримуємо
‖|G0‖|pp :=
∫
Q0,T
∫
Q0,t
∣∣G0(x, t, ξ, s)
∣∣p′ dξds
p/p′
dxdt =
T∫
0
dt
∫
Ω
t∫
0
Jp′(x, t, s) ds
p/p′
dx.
Тому з оцiнок (10) маємо ‖|G0‖|pp ≤
∫ T
0
dt
∫
Ω
(∫ t
0
C(r)
(t− s)
n
2b (p′−1)
ds
)p/p′
dx = C1, де C1 > 0
— стала, оскiльки останнiй iнтеграл збiгається, бо
n
2b
(p′ − 1) < 1 (див. (12) i умови леми).
Отже, твердження леми 3 випливає з леми 1 для функцiї K спецiального вигляду.
Лему 3 доведено.
Доведення лем 4 та 5 для випадку N = 1 наведено в [20, с. 34, 35]. Якщо N ≥ 2, то
доведення аналогiчнi, тому ми їх пропускаємо.
Лема 4. Нехай p — фiксоване число з [1,+∞), G0, J такi ж, як i в лемi 3. Тодi iснує така
стала L > 0, що для всiх z ∈
[
Lp(Q0,T )
]N
виконується оцiнка∥∥J z; [Lp(Q0,T )
]N∥∥ ≤ L
∥∥z; [Lp(Q0,T )
]N∥∥. (14)
Лема 5. Нехай p ∈ [1,+∞), G0 така ж, як i в лемi 3,
(J0v)(x, t) :=
∫
Ω
G0(x, t, ξ, 0)v(ξ) dξ, (x, t) ∈ Q0,T . (15)
Тодi лiнiйний оператор J0 :
[
Lp(Ω)
]N → [
Lp(Q0,T )
]N
є обмеженим (а тому й неперервним), а
отже, iснує така стала L0 > 0, що для всiх v ∈ [Lp(Ω)]N∥∥J0v;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥ ≤ L0
∥∥v;
[
Lp(Ω)
]N∥∥. (16)
При розглядi рiвнянь зi змiнними показниками нелiнiйностi виникає потреба використовува-
ти узагальненi простори Лебега, якi вперше введено у [25] (деякi властивостi цих просторiв ви-
вчено в [26, 27]). Ми будемо використовувати технiку отримання деяких оцiнок у цих просторах.
Тому нагадаємо, що узагальненим простором Лебега Lq(x,t)(Q0,T ) називається множина вимiр-
них за Лебегом функцiй v : Q0,T → R1, для яких ρq(v,Q0,T ) :=
∫
Q0,T
∣∣v(x, t)
∣∣q(x,t) dxdt < +∞.
За умови (Q) цей простiр є (див. [26, c. 599, 600]) рефлексивним банаховим простором щодо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО IСНУВАННЯ СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКIВ МIШАНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПIВЛIНIЙНИХ . . . 441
норми Люксембурга ∥∥v;Lq(x,t)(Q0,T )
∥∥ := inf
{
λ > 0: ρq(v/λ,Q0,T ) ≤ 1
}
.
Крiм того, є неперервне вкладення Lq(x,t)(Q0,T ) Lr(x,t)(Q0,T ), якщо q(x, t) ≥ r(x, t) (див.
[26, c. 599, 600]).
Зауваження 2. Нехай
h ∈ L∞(Q0,T ), h0 := ess sup
(x,t)∈Q0,T
h(x, t), h0 := ess inf
(x,t)∈Q0,T
h(x, t) ≥ 1,
Sh(s) :=
s
h0 при s ∈ [0, 1],
sh
0
при s > 1,
S1/h(s) :=
s
1/h0
при s ∈ [0, 1],
s1/h0 при s > 1.
Тодi:
1)
∥∥v;Lh(x,t)(Q0,T )
∥∥ ≤ S1/h
(
ρh(v,Q0,T )
)
при ρh(v,Q0,T ) <∞;
2) ρh(v,Q0,T ) ≤ Sh
(∥∥v;Lh(x,t)(Q0,T )
∥∥) при
∥∥v;Lh(x,t)(Q0,T )
∥∥ <∞.
Зазначимо, що це зауваження у випадку h0 > 1 мiститься в зауваженнi 3.1 з [18, c. 453].
Далi наведемо деякi властивостi оператора Немицького спецiального вигляду. У випадку
N = 1 наступна лема збiгається з лемою 4 з [20, с. 85]. При N ≥ 2 доведення аналогiчне, тому
ми його пропустимо.
Лема 6. Нехай G0 така ж, як i в лемi 3, виконуються умови (G), (Q), стала q0 з форму-
лювання теореми 1 задовольняє умову q0 < 2 i
(N z)(x, t) := g(x, t)
∣∣z(x, t)∣∣q(x,t)−2
z(x, t), (x, t) ∈ Q0,T . (17)
Тодi оператор N є обмеженим i неперервним оператором з
[
Lp(Q0,T )
]N
в
[
Lp(Q0,T )
]N
. Крiм
того, iснує стала Np > 0 така, що для всiх {u, v} ⊂
[
Lp(Q0,T )
]N
справджуються оцiнки∥∥∥Nu−N v;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤ Np
{
S1/h
(∥∥u− v;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥p)}1/p
, (18)
∥∥∥Nu;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤ Np
{
S1/h
(∥∥u;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥p)}1/p
, (19)
де h :=
1
q − 1
, S1/h — неперервна монотонно зростаюча функцiя iз зауваження 2.
Перейдемо до доведення основної теореми 1. Означимо оператори K, N , J , A так:
K :
[
Lp(Q0,T )
]N → [
Lp(Q0,T )
]N
— тотожно сталий оператор, а саме,
(Kz)(x, t) =
∫
Ω
G0(x, t, ξ, 0)u0(ξ) dξ +
t∫
0
∫
Ω
G0(x, t, ξ, s)f(ξ, s) dξds, z ∈
[
Lp(Q0,T )
]N
; (20)
N — нелiнiйний оператор Немицького з (17), J — лiнiйний iнтегральний оператор з (13), A —
спецiальна комбiнацiя операторiв K, N , J , а саме, A = K − J ◦ N . Iз урахуванням введених
позначень рiвнiсть (6) набирає вигляду u = Au, i доведення iснування слабкого розв’язку задачi
(1) – (3) зводиться до доведення iснування нерухомої точки оператора A. Переконаємося, що
виконуються умови теореми Шаудера (див. [21, c. 229]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
442 О. М. БУГРIЙ
1. З лем 4 та 5 випливає, що∥∥∥Ku;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤ L0
∥∥∥u0;
[
Lp(Ω)
]N∥∥∥+ L
∥∥∥f ;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥, u ∈
[
Lp(Q0,T )
]N
, (21)
де L0 i L > 0 — сталi вiдповiдно з (16) i (14). Отже,K справдi дiє з
[
Lp(Q0,T )
]N
в
[
Lp(Q0,T )
]N
.
Як вiдомо, тотожно сталий оператор є цiлком неперервним.
2. З леми 6 випливає, що N :
[
Lp(Q0,T )
]N → [
Lp(Q0,T )
]N
— неперервний i обмежений
оператор, для якого справджуються оцiнки (18) i (19). На пiдставi лем 3, 4 та накладених
на p умов одержуємо, що оператор J :
[
Lp(Q0,T )
]N → [
Lp(Q0,T )
]N
є цiлком неперервним i
виконується оцiнка (14).
З отриманих властивостей операторiв N i J одержимо, що J ◦ N є цiлком неперервним,
як композицiя цiлком неперервного i неперервного та обмеженого операторiв (див. лему 1 з
[19, c. 81] та вправу 2 з [28, c. 400]). Очевидно, що лiнiйна комбiнацiя цiлком неперервних опе-
раторiв є цiлком неперервним оператором. Тому A є цiлком неперервним, як лiнiйна комбiнацiя
операторiв K i J ◦ N .
3. Нехай ε — довiльне фiксоване число з
(
0,min
{
1
2
, 2− q0
})
, де q0 ∈ (1, 2) — стала з
умови (Q). Очевидно, що 1− 2ε > 0 i 2− q0 − ε > 0.
Нехай BR :=
{
u ∈
[
Lp(Q0,T )
]N ∣∣ ∥∥u;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥ ≤ R}, R > 0 — таке велике число, що
Rε ≥ max
{∥∥∥u0;
[
Lp(Ω)
]N∥∥∥, ∥∥∥f ;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥, L0, L , 1
}
,
2
R1−2ε
+
Np
R2−q0−ε ≤ 1, (22)
де L0, L i Np — сталi вiдповiдно з (16), (14) i (19).
Доведемо, що A(BR) ⊂ BR. Нехай h =
1
q − 1
, S1/h — функцiя iз зауваження 2, u ∈ BR.
З оцiнок (14), (21), (19), монотонностi функцiї S1/h та вибору R i u отримуємо∥∥∥Au;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤ ∥∥∥Ku;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥+
∥∥∥J (Nu);
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥Ku;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥+ L
∥∥∥Nu;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤ L0
∥∥∥u0;
[
Lp(Ω)
]N∥∥∥+ L
∥∥∥f ;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥+
+L Np
{
S1/h
(∥∥∥u;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥p )}1/p
≤ 2R2ε +RεNp
{
S1/h
(
Rp
)}1/p
.
Оскiльки R > 1, то на пiдставi означення функцiї S1/h маємо
S1/h
(
Rp
)
=
(
Rp
) 1
ess inf h(x,t) =
(
Rp
) 1
ess inf 1
q(x,t)−1 =
(
Rp
) 1
1
q0−1 = Rp(q
0−1).
Тому для вибраного R отримуємо оцiнку∥∥∥Au;
[
Lp(Q0,T )
]N∥∥∥ ≤ 2R2ε + NpR
ε+q0−1 =
(
2
R1−2ε
+
Np
R2−q0−ε
)
R ≤ R,
з якої випливає, що A(BR) ⊂ BR.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО IСНУВАННЯ СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКIВ МIШАНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПIВЛIНIЙНИХ . . . 443
Отже, операторA є цiлком неперервним i вiдображає множинуBR на свою частину. Тому на
пiдставi теореми Шаудера iснує нерухома точка u ∈ BR оператора A, яка є слабким розв’язком
задачi (1) – (3).
Теорему 1 доведено.
4. Приклади. Зауважимо, що умова (E) є, зокрема, умовою на гладкiсть гiперповерхнi
∂Ω. Проiлюструємо це на вiдомому прикладi з [8]. Нехай в задачi (1) – (3) b = 1, N = 1,
g ≡ 0, r1 = 0. Розглянемо неспадну обмежену напiвадитивну функцiю ω : R+ → R+ таку, що
ω(t)
t
≤ 2
ω(s)
s
,
ω(t)
tγ
≤ C̃ ω(s)
sγ
, 0 < s < t, де γ ∈
(
1
2
, 1
)
, C̃ > 0. Нехай
F (t) :=
t∫
0
ω(s)
s
ds, t ≥ 0, Φ(τ) :=
τ∫
0
ω(t)
t
dt, τ ≥ 0.
Припустимо iснування таких сталих σ > 0 i Ĉ > 0, що
F (σ) < +∞, Φ(σ) < +∞,
σ∫
t
ω(s)
s2
ds ≤ Ĉ F (t)
t
, 0 < t < σ.
Нехай {m, k} ⊂ N, O ⊂ Rk, Cm(O) — простiр функцiй ϕ, якi разом зi своїми похiдними Dαϕ,
|α| ≤ m, є неперервними на O. Множину всiх функцiй ψ ∈ Cm(O) таких, що
|ψ|ωm :=
∑
|α|≤m
sup
y∈O
∣∣Dαψ(y)
∣∣+
∑
|β|=m
sup
y,z∈O
∣∣Dβψ(y)−Dβψ(z)
∣∣
ω
(
|y − z|
) < +∞,
називають простором Дiнi i позначають через C(m,ω)(O).
Для областi Ω ⊂ Rn вiзьмемо S = ∂Ω. Поверхня S належить до класу Дiнi C(m,ω), якщо
S =
⋃̀
k=1
Sk, де для кожного k ∈ {1, . . . , `} вiдкрита гiперповерхня Sk задається рiвнянням
xj = ϕkj (x
′
j), x
′
j = (x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn) ∈ Ok, i виконуються такi умови:
1) Ok є обмеженою областю в Rn−1;
2) ϕkj ∈ C(m,ω)(Ok).
Приклад 1. (див. теорему 2.8 [8, с. 136]). Якщо ∂Ω ∈ C(2,ω), то iснує функцiя Ґрiна задачi
(1) – (3) з b = 1, N = 1, g ≡ 0, r1 = 0 та сталими коефiцiєнтами aα; крiм того, вона задовольняє
оцiнку (4).
Тепер наведемо можливий вигляд системи (1). Нехай b = 1, n = 3, N = 2.
Приклад 2. Прикладом рiвномiрно параболiчної за Петровським системи (1) з модельним
показником нелiнiйностi q є узагальнення системи тепломасопереносу з [29, c. 403] вигляду
Dtu1 − λ1 ∆u1 − ∆u2 + |u|q(x,t)−2u1 = f1(x, t),
Dtu2 − λ2 ∆u2 + |u|q(x,t)−2u2 = f2(x, t),
де 0 < λ1 < λ2, u =
(
u1
u2
)
, |u| =
√
|u1|2 + |u2|2, q(x, t) =
{
q1, (x, t) ∈ Q1,
q2, (x, t) ∈ Q2,
1 < q1 < q2 < 2,
Q1, Q2 — вимiрнi множини такi, що Q1 ∩Q2 = ∅, Q0,T = Q1 ∪Q2, ∆ — оператор Лапласа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
444 О. М. БУГРIЙ
1. Adams R. A. Sobolev spaces. – New York etc.: Acad. Press, 1975. – 268 p.
2. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 c.
3. Ивасишен С. Д. Линейные параболические граничные задачи. – Киев: Вища шк., 1987. – 72 c.
4. Лопушанская Г. П. О решении с помощью матрицы Грина параболической граничной задачи в пространстве
обобщенных функций // Укр. мат. журн. – 1986. – 38, № 6. – С. 795 – 798.
5. Agase S. B., Raghavendra V. Existence of mild solutions of semilinear differential equations in Banach spaces //
Indian J. Pure and Appl. Math. – 1990. – 21(9). – P. 813 – 821.
6. Загорский Т. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными
параболического типа. – Львов: Изд-во Львов. ун-та, 1961. – 115 с.
7. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
8. Матiйчук М. I. Параболiчнi та елiптичнi крайовi задачi з особливостями. – Чернiвцi: Прут, 2003. – 248 c.
9. Cho S., Dong H., Kim S. Global estimates for Green’s matrix of second order parabolic systems with application to
elliptic systems in two dimentional domains // Potential Anal. – 2012. – 36. – P. 339 – 372.
10. Kováčik O. Parabolic equations in generalized Sobolev spaces W k,p(x) // Fasc. Math. – 1995. – 25. – P. 87 – 94.
11. Алхутов Ю. А., Антонцев С. Н., Жиков В. В. Параболические уравнения с переменным порядком нелинейнос-
ти // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 1. – С. 23 – 50.
12. Sawangtong P., Jumpen W. Blow-up solutions of degenerate parabolic problems // WSEAS Trans. Math. – 2010. – 9,
Issue 9. – P. 723 – 733.
13. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. Lemmas on compensated compactness in elliptic and parabolic equations // Proc.
Steklov Inst. Math. – 2010. – 270. – P. 104 – 131.
14. Бокало М. М., Паучок I. Б. Про коректнiсть задачi Фур’є для нелiнiйних параболiчних рiвнянь вищих порядкiв
зi змiнними показниками нелiнiйностi // Мат. студ. – 2006. – 24, № 1. – С. 25 – 48.
15. Bokalo M. M. The unique solvability of a problem without initial conditions for linear and nonlinear elliptic-parabolic
equations // J. Math. Sci. – 2011. – 178, № 1. – P. 41 – 64.
16. Бугрiй О., Лавренюк С. Мiшана задача для параболiчного рiвняння, яке узагальнює рiвняння полiтропної
фiльтрацiї // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 33 – 43.
17. Buhrii O. M., Mashiyev R. A. Uniqueness of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent
of nonlinearity // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. – 2009. – 70, № 6. – P. 2331 – 2335.
18. Mashiyev R. A., Buhrii O. M. Existence of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent of
nonlinearity // J. Math. Anal. and Appl. – 2011. – 377. – P. 450 – 463.
19. Бугрiй О. Про iснування слабкого розв’язку мiшаної задачi для модельного пiвлiнiйного параболiчного рiв-
няння зi змiнним степенем нелiнiйностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2011. – Вип. 75. – С. 79 – 90.
20. Бугрiй О. Про розв’язнiсть модельних неоднорiдних задач для пiвлiнiйних параболiчних рiвнянь зi змiнними
степенями нелiнiйностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2012. – Вип. 77. – С. 29 – 40.
21. Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теории операторов. – М.: Мир, 1983. – 432 с.
22. Schauder J. Der Fixpunktsatz in Funftionalraumen // Stud. Math. (Lwow). – 1930. – 2. – P. 171 – 180.
23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. –
496 с.
24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 752 с.
25. Orlicz W. Über Konjugierte Exponentenfolgen // Stud. Math. (Lwow). – 1931. – 3. – P. 200 – 211.
26. Kováčik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and W 1,p(x) // Czechoslovak Math. J. – 1991. – 41(116). – P. 592 – 618.
27. Fan X., Han X. Existence and multiplicity of solutions for p(x)-Laplacian equations in Rn // Nonlinear Anal. –
2004. – 59. – P. 173 – 188.
28. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Физматлит, 2002. – 488 с.
29. Лыков А. В. Тепломассообмен: Справочник. – М.: Энергия, 1978. – 480 с.
Одержано 25.06.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2146 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:34Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7a/53b9e6d51d7f5957f2cb4f4894dbdd7a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21462019-12-05T10:25:15Z On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity Про існування слабких розв’язків мішаних задач для напівлінійних параболічних за Петровським систем зі змінними показниками нелінійності Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. We study the initial-boundary-value problem with general homogeneous boundary conditions for the Petrovskii-type semilinear parabolic systems with variable exponents of nonlinearity in a cylindrical domain. The existence of mild solutions of this problem is proved. В цилиндрической области рассмотрена смешанная задача с общими однородными граничными условиями для полулинейных параболических по Петровскому систем c переменными показателями нелинейности. Доказано существование слабых решений этой задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2146 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 4 (2014); 435–444 Український математичний журнал; Том 66 № 4 (2014); 435–444 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2146/1294 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2146/1295 Copyright (c) 2014 Buhrii O. M. |
| spellingShingle | Buhrii, O. M. Бугрій, О. М. On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity |
| title | On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity |
| title_alt | Про існування слабких розв’язків мішаних задач для напівлінійних параболічних за Петровським систем зі змінними показниками нелінійності |
| title_full | On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity |
| title_fullStr | On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity |
| title_full_unstemmed | On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity |
| title_short | On the Existence of Mild Solutions of the Initial-Boundary-Value Problems for the Petrovskii-Type Semilinear Parabolic Systems with Variable Exponents of Nonlinearity |
| title_sort | on the existence of mild solutions of the initial-boundary-value problems for the petrovskii-type semilinear parabolic systems with variable exponents of nonlinearity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2146 |
| work_keys_str_mv | AT buhriiom ontheexistenceofmildsolutionsoftheinitialboundaryvalueproblemsforthepetrovskiitypesemilinearparabolicsystemswithvariableexponentsofnonlinearity AT bugríjom ontheexistenceofmildsolutionsoftheinitialboundaryvalueproblemsforthepetrovskiitypesemilinearparabolicsystemswithvariableexponentsofnonlinearity AT buhriiom proísnuvannâslabkihrozvâzkívmíšanihzadačdlânapívlíníjnihparabolíčnihzapetrovsʹkimsistemzízmínnimipokaznikaminelíníjností AT bugríjom proísnuvannâslabkihrozvâzkívmíšanihzadačdlânapívlíníjnihparabolíčnihzapetrovsʹkimsistemzízmínnimipokaznikaminelíníjností |