Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function
For an entire function of zero order, we establish the relationship between the angular density of zeros, the asymptotics of logarithmic derivative, and the regular growth of its Fourier coefficients.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2149 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508088524603392 |
|---|---|
| author | Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. |
| author_facet | Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. |
| author_sort | Zabolotskii, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:15Z |
| description | For an entire function of zero order, we establish the relationship between the angular density of zeros, the asymptotics of logarithmic derivative, and the regular growth of its Fourier coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
М. В. Заболоцький, М. Р. Мостова (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА I КУТОВА ЩIЛЬНIСТЬ НУЛIВ
ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ
For an entire function of zero order, we establish the relationship between the angular density of zeros, the asymptotic of
logarithmic derivative, and the regular growth of its Fourier coefficients.
Для целых функций нулевого порядка установлена связь между угловой плотностью нулей, асимптотикой логариф-
мической производной и регулярным ростом ее коэффициентов Фурье.
1. Вступ. Позначимо через H+(ρ(r)) клас цiлих функцiй f скiнченного додатного порядку
ρ, ρ(r) — уточнений порядок f (див., наприклад, [1, с. 69]). Множину E ⊂ C будемо називати
Cα0 -множиною (0 < α ≤ 2) i писати E ∈ Cα0 , якщо її можна покрити послiдовнiстю кругiв
{z : |z − zk| < rk} таких, що
∑
|zk|≤rr
α
k = o(rα), r → +∞. Зауважимо, що промiнь є Cα0 -мно-
жиною для 1 < α ≤ 2.
В 30-х роках минулого столiття Б. Я. Левiн i А. Пфлюгер побудували теорiю цiлих функцiй
цiлком регулярного зростання (ц. р. зр.). Цiла функцiя f ∈ H+(ρ(r)) називається функцiєю
ц. р. зр., якщо для всiх ϕ ∈ [0, 2π] iснує границя
lim∗
z→∞
ln |f(reiϕ)|
rρ(r)
= h(ϕ, f).
Тут lim∗z→∞ означає, що z = reiϕ →∞, z /∈ E, де E — деяка C1
0 -множина. Клас цiлих функцiй
ц. р. зр. позначимо через H∗+(ρ(r)). Знайдено багато необхiдних i достатнiх умов належностi
цiлої функцiї до класу H∗+(ρ(r)), зокрема:
1) нулi f ∈ H+(ρ(r)) правильно розподiленi, що у випадку нецiлого порядку ρ еквiвалентно
iснуванню границi [2] (роздiли 2, 3)
∆(α, β) = lim
r→+∞
n(r, α, β)
rρ(r)
для всiх α, β, 0 ≤ α < β < 2π, за винятком, щонайбiльше, злiченної кiлькостi значень α i β,
де n(r, α, β) — число нулiв у секторi {z : |z| ≤ r, α ≤ arg z < β};
2) для всiх k ∈ Z iснують границi [3]
lim
r→+∞
ck(r, ln |f |)
rρ(r)
= ck,
де ck(r, ln |f |) — коефiцiєнти Фур’є функцiї ln |f(reiϕ)|, f ∈ H+(ρ(r));
3) для довiльного p ∈ [1,+∞) [4, с. 78]∥∥∥∥ ln |f(reiϕ)|
rρ(r)
− h(ϕ, f)
∥∥∥∥
p
→ 0, r → +∞,
де ‖ · ‖p — p-норма у просторi Lp[0, 2π], f ∈H+(ρ(r));
4) iснують функцiя g ∈ L1[0, 2π] i множина E∈Cα0 , 1 < α ≤ 2, такi, що [5, 6]
F (reiϕ) = g(ϕ)rρ(r) + o(rρ(r)), z →∞, z /∈ E,
c© М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4 473
474 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
де F (z) = zf ′(z)/f(z), f ∈ H+(ρ(r));
5) для всiх цiлих k iснують границi [6]
lim∗
r→+∞
ck(r, F )
rρ(r)
= dk,
де ck(r, F ) — коефiцiєнти Фур’є функцiї F (reiϕ), а lim∗r→+∞ означає, що r → +∞, r /∈ D,
D — E0-множина, тобто D ⊂ R+ — вимiрна множина i mes(D ∩ [0, r]) = o(r), r → +∞;
6) iснують функцiя g ∈ L1[0, 2π] i множина G ∈ Eη, 0 < η ≤ 1, такi, що для довiльного
p ∈ [1,+∞) [7] ∥∥∥∥F (reiϕ)
rρ(r)
− g(ϕ)
∥∥∥∥
p
→ 0, r → +∞, r /∈ G,
де Eη — сiм’я вимiрних множин G ⊂ R+ таких, що limr→+∞mes(G ∩ [0, r])/r ≤ η.
Якщо для цiлої функцiї нульового порядку аналогiчно ввести поняття ц. р. зр., то отримана
теорiя буде тривiальною. Справдi, як показано у [8], для цiлої функцiї f нульового порядку
∆(α, β) = 0 для довiльних α i β, 0 ≤ α < β < 2π, i iснує множина E ∈ C1
0 така, що
ln |f(reiϕ)| = N(r, 0, f) + o(rρ(r)), z →∞, z /∈ E,
деN(r, 0, f) = N(r) =
∫ r
1
n(t, 0, 2π)/t dt. Звiдси бачимо, що ц. р. зр. функцiї f не залежить вiд
аргументiв її нулiв, а тiльки вiд їх модулiв. Тому в [9] було введено поняття сильно регулярного
зростання (с. р. зр.) для класу H0(λ(r)) цiлих функцiй нульового порядку, яке має властивостi,
подiбнi до властивостей цiлих функцiй ц. р. зр. Тут λ(r) — нульовий уточнений порядок
лiчильної функцiї n(r) = n(r, 0, 2π) нулiв f такий, що rλ(r) ↗ +∞ при r → +∞.
В роботi ми встановлюємо зв’язки мiж iснуванням кутової щiльностi нулiв функцiй f ∈
∈ H0(λ(r)) i умовами, аналогiчними до умов 4 – 6. Зв’язок мiж с. р. зр. цiлих функцiй класу
H0(λ(r)) i умовами, аналогiчними до умов 1 – 3, знайдено в роботах [10, 11].
2. Означення та формулювання основних результатiв. Додатнi, неспаднi, необмеженi,
неперервно диференцiйовнi на R+ функцiї будемо називати функцiями зростання. Функцiї υ i
υ̃ такi, що υ(r) ∼ υ̃(r), r → +∞, вважатимемо еквiвалентними i будемо ототожнювати. Клас
функцiй зростання υ, для яких rυ′(r)/υ(r)→ 0 при r → +∞, позначимо через L. Вiдомо [12,
с. 15], що з точнiстю до еквiвалентних функцiй клас L збiгається з класом повiльно зростаючих
функцiй. Позначимо через H0(υ), υ ∈ L, клас цiлих функцiй f нульового порядку, для яких
0 < ∆ = limr→+∞ n(r)/υ(r) < +∞. Легко переконатися, що rλ(r) ∈ L, де λ(r) — нульовий
уточнений порядок n(r), i H0(λ(r)) = H0(r
λ(r)). Не втрачаючи загальностi вважатимемо, що
f(0) = 1.
Будемо говорити, що нулi f ∈H0(υ) мають кутову (усереднену кутову) υ-щiльнiсть, υ∈L,
якщо iснує границя
∆(α, β) = lim
r→+∞
n(r, α, β)
υ(r)
(
∆̃(α, β) = lim
r→+∞
N(r, α, β)
υ(r)
)
,
коли α i β не належать деякiй не бiльш нiж злiченнiй множинi з [0, 2π]. Тут
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА I КУТОВА ЩIЛЬНIСТЬ НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ 475
N(r, α, β) =
r∫
1
n(t, α, β)
t
dt.
Для υ ∈ L приймемо
υ1(r) =
r∫
1
υ(t)
t
dt, υ2(r) =
r∫
1
υ1(t)
t
dt.
Легко переконатися, що υ1, υ2 ∈ L, υ(r) = o(υ1(r)), υ1(r) = o(υ2(r)), r → +∞.
Теорема 1. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ), нулi f мають кутову υ-щiльнiсть. Тодi iснує мно-
жина E ∈ Cα0 , 1 < α ≤ 2, така, що
F (reiϕ) = ∆υ(r) + o(υ(r)), z →∞, z /∈ E. (1)
Зауваження 1. У випадку υ(r) = rλ(r) теорему 1 доведено в [13].
Зауваження 2. Обернене твердження до теореми 1 не є правильним. У пунктi 5 буде
побудовано приклад цiлої функцiї f ∈ H0(υ), υ(r) = 2
√
2 ln r ∈ L, такої, що F (z) = n(r)+o(1),
z →∞, z /∈ E, де E — деяка C2
0 -множина i нулi f не мають кутової υ-щiльностi.
Теорема 2. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ) i виконується спiввiдношення (1). Тодi для k ∈ Z
iснують границi
lim
r→+∞
c0(r, F )
υ(r)
= ∆, lim∗
r→+∞
ck(r, F )
υ(r)
= 0, k 6= 0. (2)
Теорема 3. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ) i для k ∈ Z\{0} виконуються спiвiдношення (2). Тодi
iснує множина G ∈ Eδ, 0 < δ < 1, така, що для довiльного p ∈ [1,+∞)∥∥∥∥F (reiϕ)− n(r)
υ(r)
∥∥∥∥
p
→ 0, r → +∞, r /∈ G.
Наслiдок. Нехай виконуються умови теореми 3 i n(r) ∼ ∆υ(r), r → +∞. Тодi iснує
множина G ∈ Eδ, 0 < δ < 1, така, що для p ∈ [1,+∞)∥∥∥∥F (reiϕ)
υ(r)
−∆
∥∥∥∥
p
→ 0, r → +∞, r /∈ G.
Теорема 4. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ) i iснують границi
lim
r→+∞
c0(r, F )
υ(r)
= ∆, lim∗
r→+∞
ck(r, F )
rυ′(r)
= lk, k 6= 0. (3)
Тодi нулi f мають усереднену кутову υ1-щiльнiсть.
Теорема 5. Нехай υ ∈ L, rυ′(r)↗ +∞ при r → +∞, функцiя ln υ вгнута щодо логариф-
ма, f ∈ H0(υ). Наступнi твердження є еквiвалентними:
А) нулi f мають кутову υ-щiльнiсть;
Б) iснують границi (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
476 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
3. Допомiжнi твердження. При доведеннi основних теорем ми будемо використовувати до-
помiжнi твердження, якi сформулюємо у виглядi лем. Через K,K1,K2, . . . далi позначатимемо
додатнi сталi.
Лема 1. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ), (an) — послiдовнiсть нулiв f, занумерованих у порядку
неспадання їх модулiв. Тодi∣∣∣∣f ′(reiϕ)
f(reiϕ)
∣∣∣∣ ≤ Kυ(r)
r
+
∑
r
2
≤|an|≤2r
1
|z − an|
.
Доведення. Покладемо Σ1 =
∑
r/2≤|an|≤2r
1
|z − an|
. Тодi f(z) =
∏+∞
n=1
(
1− z
an
)
i
∣∣∣∣f ′(z)f(z)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
+∞∑
n=1
1
z − an
∣∣∣∣∣ ≤ ∑
|an|≤r/2
1
r − |an|
+
∑
|an|≥2r
1
|an| − r
+ Σ1 =
=
r/2∫
0
dn(t)
r − t
+
+∞∫
2r
dn(t)
t− r
+ Σ1 ≤
2
r
n
(r
2
)
+
+∞∫
2r
n(t)
(t− r)2
dt+ Σ1 ≤
≤ 2
r
n(r) +K1
+∞∫
2r
υ(t)
t2
dt+ Σ1 ≤
2
r
n(r) +K1
υ(2r)√
2r
+∞∫
2r
t−3/2dt+ Σ1 ≤
≤ 2
r
n(r) +K2
υ(r)
r
+ Σ1 ≤ K
υ(r)
r
+ Σ1,
оскiльки n(r) ≤ Kυ(r), υ(r)/
√
r ↘ 0, r → +∞.
Лема 2. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ), E(t) — пiдмножина [0, 2π], мiра якої не перевищує θ,
0 < θ ≤ 2π. Тодi
r∫
r/2
dt
∫
E(t)
∣∣∣∣f ′(teiϕ)
f(teiϕ)
∣∣∣∣ dϕ ≤ Kυ(r)
(
θ
2
+
θ
2
ln
(
1 +
2
θ
))
.
Доведення леми 2 аналогiчне доведенню леми 4 з [9].
Нехай ak = rke
iαk — нулi функцiї f ∈ H0(υ). Покладемо
nk(r) =
∑
|aj |≤r
e−ikαj , Nk(r) =
r∫
|a1|
nk(t)
t
dt, k ∈ Z.
Лема 3. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ). Тодi
ck(r, F ) = nk(r)− krk
+∞∫
r
nk(t)
tk+1
dt, k ∈ N, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА I КУТОВА ЩIЛЬНIСТЬ НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ 477
ck(r, F ) = nk(r) + krk
r∫
0
nk(t)
tk+1
dt, k ∈ Z−, (5)
c0(r, F ) = n0(r) = n(r), (6)
|ck(r, F )| ≤ Kυ(r), k ∈ Z. (7)
Доведення. Нехай ln f(z) =
∑+∞
k=1
γkz
k — розвинення в деякому околi точки z = 0.
Враховуючи [4, с. 60], що для цiлої функцiї порядку ρ ≥ 0 маємо (γk = 0 для k ≤ 0)
γk = −1
k
+∞∑
j=1
1
akj
, k ≥ [ρ] + 1,
з формул (див., наприклад, [7])
ck(r, F ) = kγkr
k +
∑
|aj |≤r
(
r
aj
)k
, k ∈ Z,
iнтегруванням частинами отримуємо спiввiдношення (4) – (6). Оскiльки |nk(r)| ≤ n(r) ≤
≤ Kυ(r),
|k|rk
r∫
0
υ(t)
tk+1
dt ≤ |k|rkυ(r)
r∫
0
t−k−1dt ≤ Kυ(r) для k ≤ −1,
krk
+∞∫
r
υ(t)
tk+1
dt ≤ krk υ(r)√
r
+∞∫
r
t−k−1/2dt ≤ Kυ(r) для k ≥ 1,
то з (4) – (6) отримуємо (7).
Лема 4. Нехай 1 < γ ≤ 2, υ ∈ L, f ∈ H0(υ). Тодi iснує множина G∈Eγ−1 така, що для
|k| ≥ 2
|ck(r, F )| ≤ Kυ(r)
(
1
γ|k|
+
1
|k|(γ − 1)
)
, r /∈ G.
Доведення леми 4 аналогiчне доведенню теореми 1 з [14] з урахуванням нерiвностi (7).
Лема 5. Нехай υ ∈ L, f ∈ H0(υ). Тодi
Nk(r) =
r∫
0
ck(t, F )
t
dt− k
r∫
0
dt
t
t∫
0
ck(τ, F )
τ
dτ. (8)
Доведення. Оскiльки F (reiϕ) = r
∂
∂r
ln f(reiϕ), то
r∫
0
ck(t, F )
t
dt =
1
2π
r∫
0
dt
t
2π∫
0
F (teiϕ)e−ikϕdϕ =
1
2π
r∫
0
dt
2π∫
0
∂
∂t
ln f(teiϕ)e−ikϕdϕ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
478 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
=
1
2π
2π∫
0
ln f(reiϕ)e−ikϕdϕ = ck(r, log f).
Звiдси i з спiввiдношення [15]
Nk(r) = ck(r, log f)− k
r∫
0
ck(t, log f)
t
dt
отримуємо (8).
Лема 6. Нехай функцiя g неперервно диференцiйовна, опукла на [0,+∞), g′(x)→ +∞ при
x→ +∞ i ln g(x) — вгнута функцiя. Тодi для довiльної опуклої функцiї f з iснування границi
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= A ∈ R
випливає iснування границi
lim
x→+∞
f ′(x)
g′(x)
= A.
Твердження цiєї леми випливає з теорем 5 i 6 роботи [16].
Позначимо через L∗ пiдклас функцiй υ ∈ L таких, що rυ′(r)/υ(r)↘ 0 при r → +∞.
Лема 7. Нехай υ ∈ L∗, f ∈ H0(υ). Тодi iснування кутової υ-щiльностi нулiв f еквiвалентно
iснуванню їх усередненої кутової υ1-щiльностi.
Доведення. Завдяки правилу Лопiталя з iснування кутової υ-щiльностi нулiв отримуємо
iснування усередненої кутової υ1-щiльностi для довiльної функцiї υ ∈ L.
Якщо υ ∈ L∗, то ln υ1 — вгнута вiдносно логарифма на [1,+∞) функцiя [11]. Згiдно з
лемою 6, з iснування усередненої кутової υ1-щiльностi випливає iснування кутової υ-щiльностi.
4. Доведення основних результатiв. Доведення теореми 1 аналогiчне доведенню теореми
2 з [13], оскiльки при її доведеннi використовуються двi властивостi нульового уточненого
порядку λ(r), а саме, rλ(r)↗ +∞, r
(
rλ(r)
)′
/rλ(r) = λ(r) + rλ′(r) ln r → 0 при r → +∞.
Доведення теореми 2. Нехай E ∈ Cα0 , 1 < α ≤ 2, — множина, зовнi якої виконується (1),
θr = {ϕ ∈ [0, 2π] : reiϕ ∈ E}, θ(r) — мiра θr. Тодi E ∈ C2
0 i
∫ 2n
2n−1
θ(t)t dt = η4n22n, де ηn → 0,
n→ +∞. Нехай
Mn =
{
t : 2n−1≤ t≤2n, θ(t) > η2n
}
,
Ln =
t : 2n−1≤ t≤2n,
∫
θt
|F (teiϕ)|dϕ ≥ η−1n υ(2n)
(
η2n
2
+
η2n
2
ln
(
1 +
2
η2n
)) ,
де ηn → 0, n → +∞. Як i в [6], отримуємо η4n22n ≥
∫
Mn
θ(t)tdt ≥ η2n2n−1mesMn, звiдки
mesMn ≤ 2n+1η2n. За лемою 2
Kυ(2n+1)
(
η2n
2
+
η2n
2
ln
(
1 +
2
η2n
))
≥
∫
Ln\Mn
dt
t
∫
θt
|F (teiϕ)|dϕ ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА I КУТОВА ЩIЛЬНIСТЬ НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ 479
≥ η−1n υ(2n)
(
η2n
2
+
η2n
2
ln
(
1 +
2
η2n
))
2−nmes(Ln \Mn).
Звiдси mes(Ln \Mn) ≤ K2nηn. Отже, mes(Ln ∪Mn) = o(2n), n→ +∞. Покладемо
D = {|an| : n ∈ N} ∪
{
+∞⋃
n=1
(Ln ∪Mn)
}
.
Очевидно, що D — E0-множина. При r /∈ D з (1) отримуємо
ck(r, F ) =
1
2π
∫
[0,2π]\θr
(∆υ(r) + o(υ(r)))e−ikϕdϕ+
1
2π
∫
θr
F (reiϕ)e−ikϕdϕ =
= ∆υ(r)sk + o(υ(r)) +
1
2π
∫
θr
(
F (reiϕ)−∆υ(r)
)
e−ikϕdϕ, r → +∞, (9)
де sk = 0 для k 6= 0, s0 = 1. Оскiльки для r ∈ [2n−1, 2n]\D виконується θ(r) ≤ η2n, то θ(r)→ 0
при r → +∞, r /∈ D. Тому
∆
2π
υ(r)
∣∣∣∣∣∣
∫
θr
e−ikϕdϕ
∣∣∣∣∣∣ ≤ ∆
2π
υ(r)θ(r) = o(υ(r)), r → +∞, r /∈ D. (10)
При r ∈ [2n−1, 2n] \D маємо також
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
∫
θr
F (reiϕ)e−ikϕdϕ
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
2π
∫
θr
|F (reiϕ)|dϕ ≤ η−1n υ(2n)
(
η2n
2
+
η2n
2
ln
(
1 +
2
η2n
))
=
= υ(2n)
(
ηn
2
+
ηn
2
ln
(
1 +
2
η2n
))
= o(υ(r)), r → +∞. (11)
З (9) – (11) отримуємо
lim
r→+∞
c0(r, F )
υ(r)
= ∆, lim∗
r→+∞
ck(r, F )
υ(r)
= 0, k 6= 0,
що доводить теорему 2.
Доведення теореми 3. За лемою 4 для γ = 2 маємо
|ck(r, F )| ≤ Kυ(r)
(
1
2|k|
+
1
|k|
)
, |k| ≥ 2, r /∈ G′, G′ ∈ Eη−1.
Отже, послiдовнiсть
(
ck(r, F )
υ(r)
)k=+∞
k=−∞
належить простору lq при q > 1, r /∈ G′. Далi ck(r, F−
−n(r)) = ck(r, F ) для k 6= 0, c0(r, F −n(r)) = 0 i за теоремою Хаусдорфа – Юнга при p≥ 2,
1
p
+
1
q
= 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
480 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, М. Р. МОСТОВА
∥∥∥∥F (reiϕ)− n(r)
υ(r)
∥∥∥∥
p
≤
∑
k 6=0
∣∣∣∣ck(r, F )
υ(r)
∣∣∣∣q
1/q
.
Оскiльки ряд є рiвномiрно збiжним на [0,+∞) \G′ i iснує E0-множина D така, що для k 6= 0
виконується ck(r, F )/υ(r)→ 0, r → +∞, r /∈ D, то∥∥∥∥F (reiϕ)− n(r)
υ(r)
∥∥∥∥
p
→ 0, r → +∞, r /∈ G, G = (G′ ∪D) ∈ Eη−1.
За нерiвнiстю Гельдера ‖ · ‖p ≤ ‖ · ‖2 для 1 ≤ p < 2. Тому останнє спiвiдношення є
правильним для p ∈ [1,+∞), що доводить теорему 3.
Завдяки нерiвностi трикутника для p-норм маємо∥∥∥∥F (reiϕ)
υ(r)
−∆
∥∥∥∥
p
≤
∥∥∥∥F (reiϕ)− n(r)
υ(r)
∥∥∥∥
p
+
∥∥∥∥n(r)
υ(r)
−∆
∥∥∥∥
p
,
звiдки отримуємо твердження наслiдку.
Доведення теореми 4. З (8) i правила Лопiталя, оскiльки υ(r) = o(υ1(r)), r → +∞, зовнi
деякої E0-множини D (k 6= 0) маємо
Nk(r)
υ1(r)
=
1
υ1(r)
r∫
0
ck(t, F )
t
dt− k
υ1(r)
r∫
0
dt
t
t∫
0
ck(τ, F )
τ
dτ =
= o(1)− k
υ(r)
r∫
0
ck(t, F )
t
dt = −klk + o(1),
r → +∞, r /∈ D, lim
r→+∞
N0(r)
υ1(r)
= lim
r→+∞
c0(r, F )
υ(r)
= l0.
Враховуючи, що для 0 < r′ < r′′ < 2r′ < +∞ виконується
∣∣Nk(r
′′)−Nk(r
′)
∣∣ ≤ r′′∫
r′
n(t)
t
dt ≤ K(υ1(r
′′)− υ1(r′)) = o(υ1(r
′)), r′ → +∞,
отримуємо
lim
r→+∞
Nk(r)
υ1(r)
= −klk, k 6= 0.
За теоремою Каратеодорi – Левi (див., наприклад, [4, с. 98]) отримуємо, що нулi f ∈ H0(υ)
мають усереднену кутову υ1-щiльнiсть.
Доведення теореми 5. В [11] (лема 4) доведено, що з iснування кутової υ-щiльностi нулiв
f ∈ H0(υ) випливає iснування границь
lim
r→+∞
ck(r, log f)
υ(r)
= lk, k 6= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА I КУТОВА ЩIЛЬНIСТЬ НУЛIВ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ 481
Оскiльки ck(r, log f) =
∫ r
0
ck(t, F )/t dt, то за лемою 6 отримуємо iснування границь (3) для
k 6= 0.
Навпаки, оскiльки за умов теореми 4 rυ′(r)/υ(r)↘ 0 при r → +∞, то з iснування границь
(3) за цiєю теоремою i лемою 7 маємо iснування кутової υ-щiльностi нулiв функцiї f ∈ H0(υ).
5. Приклад. Нехай
f(z) = (1− z)
+∞∏
k=0
(
1−
(
z
rk+1
)2k
)
,
де rk = exp{k(k − 1)/2}. Легко переконатися, що n(r) = 2k, rk ≤ r < rk+1,
lim
r→+∞
n(r)/2
√
2 ln r =
√
2, lim
r→+∞
n(r)/2
√
2 ln r = 1/
√
2.
Тому f ∈ H0(υ), υ(r) = 2
√
2 ln r ∈ L i нулi f не мають кутової υ-щiльностi.
Мiркуючи, як у [6] (приклад 2), отримуємо
F (z) = n(r) + o(1), z →∞, z /∈ E,
де E — деяка C2
0 -множина.
1. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 592 с.
2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.
3. Азарин В. С. О регулярности роста коэффициентов Фурье логарифма модуля целой функции // Теория функций,
функцион. анализ и их прил. – 1977. – 27. – С. 9 – 22.
4. Кондратюк А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции. – Львов: Вища шк., 1988. – 196 с.
5. Гольдберг А. А., Коренков Н. Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции вполне регуляр-
ного роста // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, № 3. – С. 63 – 79.
6. Гольдберг А. А., Строчик Н. Н. Асимптотическое поведение мероморфных функций вполне регулярного роста
и их логарифмических производных // Сиб. мат. журн. – 1985. – 26, № 6. – С. 29 – 38.
7. Василькiв Я. В. Асимптотична поведiнка логарифмiчної похiдної та логарифмiв мероморфних функцiй цiлком
регулярного зростання в Lp[0, 2π]-метрицi. II // Мат. студ. – 1999. – 12, № 1. – С. 37 – 58.
8. Гольдберг А. А. Заболоцкий Н. В. Индекс концентраций субгармонической функции нулевого порядка // Мат.
заметки. – 1983. – 34, № 2. – С. 227 – 236.
9. Заболоцкий Н. В. Сильно регулярный рост целых функций нулевого порядка // Мат. заметки. – 1998. – 63, № 2. –
С. 196 – 208.
10. Заболоцький М. В., Боднар О. В. Регулярне зростання коефiцiєнтiв Фур’є логарифму цiлої функцiї нульового
порядку // Мат. вiсн. НТШ. – 2009. – 6. – С. 100 – 109.
11. Боднар О. В., Заболоцький М. В. Критерiї регулярностi зростання логарифма модуля та аргументу цiлої функцiї
// Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 7. – С. 885 – 893.
12. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 142 с.
13. Заболоцький М. В. Асимптотика логарифмiчної похiдної цiлої функцiї нульового порядку // Укр. мат. журн. –
1999. – 51, № 1. – С. 32 – 40.
14. Василькiв Я. В. Асимптотична поведiнка логарифмiчної похiдної та логарифмiв мероморфних функцiй цiлком
регулярного зростання в Lp[0, 2π]-метрицi. I // Мат. студ. – 1999. – 12, № 1. – С. 37 – 58.
15. Калинець Р. З., Кондратюк А. А. Про регулярне зростання модуля i аргументу цiлої функцiї Lp[0, 2π]-метрицi
// Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 7. – С. 889 – 896.
16. Братищев А. В. Об обращении правила Лопиталя // Механика сплошной среды. – Ростов-на-Дону: Изд-во
Ростов. гос. ун-та, 1985. – С. 28 – 42.
Одержано 21.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2149 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:39Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/21/31559c87807f721e880e9428f725da21.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21492019-12-05T10:25:15Z Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function Логарифмічна похідна і кутова щільність нулів цілої функції нульового порядку Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. For an entire function of zero order, we establish the relationship between the angular density of zeros, the asymptotics of logarithmic derivative, and the regular growth of its Fourier coefficients. Для целых функций нулевого порядка установлена связь между угловой плотностью нулей, асимптотикой логарифмической производной и регулярным ростом ее коэффициентов Фурье. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2149 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 4 (2014); 473–481 Український математичний журнал; Том 66 № 4 (2014); 473–481 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2149/1300 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2149/1301 Copyright (c) 2014 Zabolotskii N. V.; Mostova M. R. |
| spellingShingle | Zabolotskii, N. V. Mostova, M. R. Заболоцький, М. В. Мостова, М. Р. Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function |
| title | Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function |
| title_alt | Логарифмічна похідна і кутова щільність нулів цілої
функції нульового порядку |
| title_full | Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function |
| title_fullStr | Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function |
| title_full_unstemmed | Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function |
| title_short | Logarithmic Derivative and the Angular Density of Zeros for a Zero-Order Entire Function |
| title_sort | logarithmic derivative and the angular density of zeros for a zero-order entire function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2149 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskiinv logarithmicderivativeandtheangulardensityofzerosforazeroorderentirefunction AT mostovamr logarithmicderivativeandtheangulardensityofzerosforazeroorderentirefunction AT zabolocʹkijmv logarithmicderivativeandtheangulardensityofzerosforazeroorderentirefunction AT mostovamr logarithmicderivativeandtheangulardensityofzerosforazeroorderentirefunction AT zabolotskiinv logarifmíčnapohídnaíkutovaŝílʹnístʹnulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku AT mostovamr logarifmíčnapohídnaíkutovaŝílʹnístʹnulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku AT zabolocʹkijmv logarifmíčnapohídnaíkutovaŝílʹnístʹnulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku AT mostovamr logarifmíčnapohídnaíkutovaŝílʹnístʹnulívcíloífunkcíínulʹovogoporâdku |