Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness
We obtain the exact-order estimates of some approximating characteristics for the analogs of Besov classes of periodic functions of several variables (with logarithmic smoothness).
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2151 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508090684669952 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:15Z |
| description | We obtain the exact-order estimates of some approximating characteristics for the analogs of Besov classes of periodic functions of several variables (with logarithmic smoothness). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
С. А. Стасюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
АППРОКСИМАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГОВ
КЛАССОВ БЕСОВА С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ГЛАДКОСТЬЮ
We obtain the exact-order estimates of some approximative characteristics for analogs of Besov classes (with logarithmic
smoothness) of periodic functions of several variables.
Знайдено точнi за порядком оцiнки деяких апроксимативних характеристик аналогiв класiв Бєсова (з логарифмiчною
гладкiстю) перiодичних функцiй багатьох змiнних.
Пусть Lp(Td), Td =
∏d
j=1
[0, 2π), — пространство 2π-периодических по каждой переменной
функций f(x) = f(x1, . . . , xd), норма в котором определяется равенством
‖f‖p =
(2π)−d
∫
Td
|f(x) |pdx
1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈Td
∣∣f(x)
∣∣ <∞.
Для f ∈ Lp(Td) и кратного ядра Дирихле
D22n
:= D22n
(x) :=
∑
k∈22n
ei(k,x),
где 2N := { k = (k1, . . . , kd) : |kj | < N, kj ∈ Z+, j = 1, . . . , d,N ∈ N}, положим
f(s) := f ∗ (D22s
−D22s−1 ), s = 0, 1, 2, . . . , D22−1 := 0.
Здесь значком ∗ обозначена операция свертки двух функций, т. е.
ϕ ∗ g := (2π)−d
∫
Td
ϕ(y)g(x− y) dy для ϕ, g ∈ L1(Td).
Рассмотрим пространство B0,α
p,θ :=
{
f ∈ Lp(Td) : ‖f‖
B0,α
p,θ
<∞
}
, где
‖f‖
B0,α
p,θ
:=
( ∞∑
s=0
(s+ 1)αθ‖f(s)‖θp
)1/θ
, (1)
а α > 0, 1 < p ≤ ∞, 1 ≤ θ <∞. Пространства B0,α
p,θ будем называть аналогами пространств Бе-
сова с логарифмической гладкостью в связи с тем, что Br
p,θ := Br,0
p,θ :=
{
f ∈ Lp(Td) : ‖f‖
Br,0p,θ
<
< ∞
}
, ‖f‖
Br,0p,θ
:=
(∑∞
s=0
(
2rs(s+ 1)0
)θ‖f(s)‖θp
)1/θ
, 1 < p < ∞, 1 ≤ θ <∞, r > 0, — про-
странства Бесова со степенной гладкостью.
Через B0,α
p,θ обозначим единичный шар пространства B0,α
p,θ , т. е.
B0,α
p,θ :=
{
f ∈ B0,α
p,θ : ‖f‖
B0,α
p,θ
≤ 1
}
.
c© С. А. СТАСЮК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4 493
494 С. А. СТАСЮК
Определим теперь величины, которые будем исследовать в работе.
Пусть Θm := {kj}mj=1 — произвольное множество m d-мерных целочисленных векторов.
Положим
DΘm(x) :=
∑
k∈Θm
ei(k,x),
SΘm(f) := f ∗ DΘm ,
TΘm :=
t : t(x) =
∑
k∈Θm
ck e
i(k, x), ck ∈ C
.
Заметим, что сумму SΘm(f) можно представить в виде
SΘm(f) =
∑
k∈Θm
f̂(k)ei(k,x),
где
f̂(k) := (2π)−d
∫
Td
f(t)e−i(k,t)dt
— коэффициенты Фурье функции f.
Для f ∈ Lq(Td), 1 ≤ q ≤ ∞, обозначим
E22n
(f)q :=
∥∥f − S22n
(f)
∥∥
q
, (2)
E22n
(f)q := inf
t∈T22n
‖f − t‖q (3)
и если F ⊂ Lq(Td) — некоторый функциональный класс, то положим
E22n
(F )q := sup
f∈F
E22n
(f)q, (4)
E22n
(F )q := sup
f∈F
E22n
(f)q. (5)
Заметим, что величины E22n
(f)q и E22n
(f)q, согласно определениям (2) и (3), связаны
неравенством
E22n
(f)q ≤ E22n
(f)q. (6)
Величины
e⊥m(f)q := inf
Θm
∥∥f − SΘm(f)
∥∥
q
, (7)
em(f)q := inf
Θm
inf
t∈TΘm
‖f − t‖q (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АППРОКСИМАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ . . . 495
называются соответственно наилучшим m-членным ортогональным тригонометрическим при-
ближением и наилучшимm-членным тригонометрическим приближением функции f ∈ Lq(Td),
1 ≤ q ≤ ∞. Как видно из определений (7) и (8), имеет место неравенство
em(f)q ≤ e⊥m(f)q. (9)
Если F ⊂ Lq(Td) — некоторый функциональный класс, то полагаем
em(F )q := sup
f∈F
em(f)q, (10)
e⊥m(F )q := sup
f∈F
e⊥m(f)q. (11)
С em(F )q тесно связана величина
dTm(F )q := inf
Θm
sup
f∈F
inf
t∈TΘm
‖f − t‖q, (12)
которая называется тригонометрическим m-поперечником F в Lq(Td). Согласно определениям
(10) и (12), имеет место неравенство
em(F )q ≤ dTm(F )q. (13)
Пусть F ⊂ Lq(Td) и Lm — произвольное пространство в Lq(Td) размерности m, тогда
величина
dm(F )q := inf
Lm
sup
f∈F
inf
u∈Lm
‖f − u‖q (14)
называется колмогоровским m-поперечником F в Lq(Td).
Величина
λm(F )q := inf
A:rankA≤m
sup
f∈F
‖f −Af‖q (15)
называется линейным m-поперечником F в Lq(Td). В (15) инфимум берется по всем линейным
операторам A, действующим из F в Lq(Td) и таким, что их ранг не превышает m.
Оптимизируем теперь линейные операторы A : rankA ≤ m, требуя, чтобы оператор A
был оператором ортогонального проектирования. Иными словами, A должен быть оператором
Фурье, связанным с некоторой ортонормированной системой {uk}∞k=1. Величины
d⊥m(F )q := inf
{uk}mk=1
sup
f∈F
∥∥∥∥∥f −
m∑
k=1
(f, uk)uk
∥∥∥∥∥
q
(16)
называются ортопроекционными поперечниками или Фурье-поперечниками F в Lq(Td). В (16)
инфимум берется по всем нормированным в L2(Td) системам из m ограниченных функций.
Заметим, что согласно определениям (14) – (16) имеют место неравенства
dm(F )q ≤ λm(F )q ≤ d⊥m(F )q. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
496 С. А. СТАСЮК
Кроме того, при m = ]22n = (2n+1 − 1)d, согласно определениям (4), (5), (11), (12), (16),
выполняются неравенства
dTm(F )q ≤ E22n
(F )q, (18)
e⊥m(F )q ≤ E22n
(F )q, (19)
d⊥m(F )q ≤ E22n
(F )q. (20)
Пусть Lq1,q2 (T2d), 1 ≤ q1, q2 ≤ ∞, — множество функций f(x, y), x, y ∈ Td, с конечной
смешанной нормой
‖f(x, y)‖q1,q2 := ‖ ‖f(·, y)‖q1‖q2 ,
причем норма вычисляется сначала в пространстве Lq1 (Td) по переменной x ∈ Td, а затем
от результата, но уже по переменной y ∈ Td, в пространстве Lq2 (Td). Для g ∈ Lq1,q2 (T2d)
определим наилучшее m-членное билинейное приближение следующим образом:
τm(g)q1,q2 := inf
uj(x), vj(y)
∥∥∥∥∥∥g(x, y)−
m∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥∥∥
q1,q2
, (21)
где uj ∈ Lq1 (Td), vj ∈ Lq2 (Td).
Если F ⊂ Lq1,q2 (T2d) — класс функций, то полагаем
τm(F )q1,q2 := sup
g∈F
τm(g)q1,q2 . (22)
Величина (22) будет изучаться в предположении, что g(x, y) := f(x− y), x, y ∈ Td, и
f ∈ B0,α
p,θ .
Заметим, что согласно определениям (8) и (21) для τm
(
f(x−y)
)
q,q1
и em(f)q можем записать
соотношения
τm
(
f(x− y)
)
q,q1
≤ τm
(
f(x− y)
)
q,∞ ≤ em(f)q, (23)
где 1 ≤ q, q1 ≤ ∞.
В. Н. Темляковым [1, с. 85] (гл. IV) установлено, что
τm
(
f(x− y)
)
q,∞ = dm(F,Lq) (24)
в предположении, что F — функциональный класс, инвариантный относительно сдвига аргу-
мента функции f ∈ F. Равенство (24) позволяет при установлении оценки снизу для колмого-
ровских поперечников перейти к оценке снизу величины τm
(
f(x− y)
)
q,∞.
Сформулируем утверждения, которые будут использованы при доказательстве результатов.
Лемма A [2]. Пусть BN
∞ =
{
t : t ∈ T2N+1 , ‖t‖∞ ≤ 1
}
. Для любых N ∈ N и m ≤ Nd/2 при
1 ≤ q ≤ ∞ имеет место соотношение
em(BN
∞)q ≥ C(d).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АППРОКСИМАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ . . . 497
Лемма B [3]. Пусть задано число N ∈ N и m = Nd. Тогда для любой функции
g(x) =
∑
k∈22N+1
ĝ(k)ei(k,x)
такой, что
∣∣ĝ(k)
∣∣ ≤ 1 и
∣∣ĝ(k)
∣∣ = 1 при k ∈ 2N+1, выполнено соотношение
τm
(
g(x− y)
)
2,1
� m1/2.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема. Пусть α > 0, а параметры p, q и θ удовлетворяют условию 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞,
p > 1, q <∞, 1 ≤ θ ≤ p0 = min{2; p}. Тогда:
1) при n ∈ N имеют место оценки
E22n
(B0,α
p,θ )q � E22n
(B0,α
p,θ )q � n−α;
2) при m = 2, 3, . . . имеют место оценки
e⊥m(B0,α
p,θ )q � em(B0,α
p,θ )q � dTm(B0,α
p,θ )q � (log2m)−α,
dm(B0,α
p,θ )q � λm(B0,α
p,θ )q � d⊥m(B0,α
p,θ )q � (log2m)−α, где q ≥ 2,
τm(B0,α
p,θ )q,q1 � (log2m)−α, где q ≥ 2, 1 ≤ q1 ≤ ∞.
Доказательство. Пусть f — произвольная функция из класса B0,α
p,θ . Согласно соотноше-
ниям (6), (9), (17) – (20), (23) оценки сверху исследуемых аппроксимационных характеристик
сводятся к установлению оценок сверху величины E22n
(B0,α
p,θ )q.
В случае 1 ≤ q ≤ p <∞, p > 1, учитывая теорему Литтлвуда – Пэли и неравенство( ∞∑
k=1
aνk
)1/ν
≤
( ∞∑
k=1
aµk
)1/µ
, 1 ≤ µ ≤ ν <∞, ak > 0, k ∈ N,
получаем
E22n
(f)q ≤ E22n
(f)p =
∥∥∥∥∥f −
n∑
s=0
f(s)
∥∥∥∥∥
p
=
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n+1
f(s)
∥∥∥∥∥
p
�
∥∥∥∥∥
( ∞∑
s=n+1
∣∣f(s)
∣∣2)1/2
∥∥∥∥∥
p
≤
≤
∥∥∥∥∥
( ∞∑
s=n+1
∣∣f(s)
∣∣p0
)1/p0
∥∥∥∥∥
p
=
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n+1
∣∣f(s)
∣∣p0
∥∥∥∥∥
p/p0
1/p0
≤
≤
( ∞∑
s=n+1
∥∥ |f(s)|p0
∥∥
p/p0
)1/p0
=
( ∞∑
s=n+1
∥∥f(s)
∥∥p0
p
)1/p0
≤
≤
( ∞∑
s=n+1
(
(s+ 1)−α(s+ 1)α
∥∥f(s)
∥∥
p
)θ)1/θ
≤ n−α‖f‖
B0,α
p,θ
≤ n−α.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
498 С. А. СТАСЮК
Наконец, для 1 ≤ q <∞, p =∞ вследствие вложения B0,α
∞,θ ⊂ B
0,α
q+1,θ имеем
E22n
(
B0,α
∞,θ
)
q
≤ E22n
(
B0,α
q+1,θ
)
q+1
� n−α.
Переходя к установлению оценок снизу, отметим следующее. Принимая во внимание со-
отношения (9), (13), (17) – (19), (24), оценки снизу установим лишь для величин em(B0,α
p,θ )q и
τm(B0,α
p,θ )q,q1.
Покажем сначала, что имеет место вложение
C1k
−αe3·2kB
2k
∞ ⊂ B
0,α
∞,1, (25)
где
e3·2k := e3·2k(x) :=
d∏
j=1
ei3·2
kxj , (26)
а C1 > 0 — некоторая постоянная.
Действительно, для T ∈ B2k
∞ имеем∥∥k−αe3·2kT
∥∥
B0,α
∞,1
= k−α(k + 3)α
∥∥(e3·2kT )(k+2)
∥∥
∞ = k−α(k + 3)α‖T‖∞ � 1.
Пусть m � 2kd и m ≤ 2kd−1. Учитывая вложения (25) и
B0,α
p,θ ⊃ B
0,α
∞,θ, 1 ≤ p <∞, (27)
а также применяя лемму A, получаем
em
(
B0,α
p,θ
)
q
≥ em
(
B0,α
p,1
)
q
≥ em
(
B0,α
∞,1
)
q
≥ C1em
(
k−αe3·2kB
2k
∞
)
q
=
= C1k
−αem
(
B2k
∞
)
q
� k−α � (log2m)−α.
Экстремальную функцию, которая реализует нижнюю оценку величины τm(B0,α
p,θ )q,q1 , q ≥ 2,
1 ≤ q1 ≤ ∞, будем строить, отправляясь от кратных полиномов Рудина – Шапиро
R2k :=
d∏
j=1
R2k(xj) :=
d∏
j=1
2k∑
l=−2k
εle
ilxj , εl = ±1, (28)
где R2k(xj) — одномерные полиномы Рудина – Шапиро. Числа εl = ±1, l = −2k, . . . , 2k, подо-
браны таким образом, что выполняется неравенство (см., например, [4, с. 146]) ‖R2k‖∞ � 2k/2,
следовательно,
‖R2k‖∞ =
(
‖R2k‖∞
)d � 2kd/2. (29)
Покажем, что функция
g1 = C2k
−α2−kd/2e3·2kR2k ,
где e3·2k и R2k заданы соответственно формулами (26) и (28), принадлежит классу B0,α
∞,1 с
соответствующей постоянной C2 > 0. Действительно, учитывая неравенство (29), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АППРОКСИМАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ . . . 499
‖g1‖B0,α
∞,1
= C2k
−α2−kd/2
k+3∑
s=k+2
(s+ 1)α
∥∥∥(e3·2kR2k)(s)
∥∥∥
∞
=
= C2k
−α2−kd/2
(
(k + 3)α
∥∥∥(e3·2kR2k)(k+2)
∥∥∥
∞
+ (k + 4)α
)
=
= C2k
−α2−kd/2
(
(k + 3)α‖R2k‖∞ + (k + 4)α
)
� 1.
Пустьm = 2kd. Принимая во внимание вложение (27) и лемму B (полагая при этомN = 2k,
g = R2k ), получаем
τm
(
B0,α
p,θ
)
q,q1
≥ τm
(
B0,α
p,1
)
q,q1
≥ τm
(
B0,α
∞,1
)
q,q1
≥ τm
(
g1(x− y)
)
q,q1
≥
≥ τm
(
g1(x− y)
)
2,1
= C3k
−α2−kd/2τm
(
e3·2k(x− y)R2k(x− y)
)
2,1
=
= C3k
−α2−kd/2τm
(
R2k(x− y)
)
2,1
� k−α2−kd/2m1/2 � (log2m)−α.
Теорема доказана.
1. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
2. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. and Appl. –
1995. – 2, № 1. – P. 29 – 48.
3. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функций, зависящих
от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. – С. 187 – 191.
4. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – 2-е изд., доп. – М.: АФЦ, 1999. – 560 с.
Получено 20.06.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2151 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:41Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/a5c73184a6b192bea8870167b89b975c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21512019-12-05T10:25:15Z Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness Аппроксимативные характеристики аналогов классов Бесова с логарифмической гладкостью Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. We obtain the exact-order estimates of some approximating characteristics for the analogs of Besov classes of periodic functions of several variables (with logarithmic smoothness). Знайдено точні за порядком оцінки деяких апроксимативних характеристик аналогів класів Бєсова (з логарифмiчною гладкістю) періодичних функцій багатьох змінних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2151 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 4 (2014); 493–499 Український математичний журнал; Том 66 № 4 (2014); 493–499 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2151/1304 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2151/1305 Copyright (c) 2014 Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title | Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_alt | Аппроксимативные характеристики аналогов классов Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_full | Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_fullStr | Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_full_unstemmed | Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_short | Approximating Characteristics of the Analogs of Besov Classes with Logarithmic Smoothness |
| title_sort | approximating characteristics of the analogs of besov classes with logarithmic smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2151 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa approximatingcharacteristicsoftheanalogsofbesovclasseswithlogarithmicsmoothness AT stasûksa approximatingcharacteristicsoftheanalogsofbesovclasseswithlogarithmicsmoothness AT stasûksa approximatingcharacteristicsoftheanalogsofbesovclasseswithlogarithmicsmoothness AT stasyuksa approksimativnyeharakteristikianalogovklassovbesovaslogarifmičeskojgladkostʹû AT stasûksa approksimativnyeharakteristikianalogovklassovbesovaslogarifmičeskojgladkostʹû AT stasûksa approksimativnyeharakteristikianalogovklassovbesovaslogarifmičeskojgladkostʹû |