Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity
In Sobolev spaces with variable exponent, we consider the problem for a semilinear hyperbolic variational inequality of the third order. We establish conditions for the existence of a solution u of this problem such that u ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)), u t ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)) ∩ L p(x)(Q T ), and...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2154 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508093746511872 |
|---|---|
| author | Kholyavka, O. T. Холявка, О. Т. |
| author_facet | Kholyavka, O. T. Холявка, О. Т. |
| author_sort | Kholyavka, O. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:15Z |
| description | In Sobolev spaces with variable exponent, we consider the problem for a semilinear hyperbolic variational inequality of the third order. We establish conditions for the existence of a solution u of this problem such that u ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)), u t ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)) ∩ L p(x)(Q T ), and u tt ∈ L ∞((0, T); L 2(Ω)), where V 1,0(Ω) ⊂ H 1(Ω). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
О. Т. Холявка (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
ЗI ЗМIННИМ СТЕПЕНЕМ НЕЛIНIЙНОСТI
In Sobolev spaces with variable exponent, we consider the problem for a semilinear hyperbolic variational inequality
of the third order. We establish some conditions for the existence of the solution u of this problem such that u ∈
∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ut ∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ), utt ∈ L∞(
(0, T );L2(Ω)
)
, where V1,0(Ω) ⊂ H1(Ω).
В пространствах Соболева с переменным показателем рассмотрена задача для полулинейного гиперболического
вариационного неравенства третьего порядка. Установлены условия существования решения u указанной задачи
такого, что u ∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ut ∈ L∞(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩Lp(x)(QT ), utt ∈ L∞(
(0, T );L2(Ω)
)
, где V1,0(Ω) ⊂
⊂ H1(Ω).
Вступ. С. М. Глазатов [1] розглянув рiвняння третього порядку, яке у модельному випадку має
вигляд
utt − α∆u− β∆ut + γ|ut|p(x)−2ut = f(x, t), (1)
де α > 0, β > 0, γ = 0. Це рiвняння прийнято називати гiперболiчним рiвнянням зi збуренням
або гiперболiчним рiвнянням третього порядку (див. [1], а також наведену там бiблiографiю).
Рiвняння такого типу виникають при описi процесiв, якi вiдбуваються у в’язких середови-
щах, зокрема моделюють крутильнi коливання металевого кругового цилiндра з внутрiшнiм
тертям, поширення збурень у в’язко-пружному матерiалi, розповсюдження звуку у в’язкому газi
в трубi, а також деякi iншi процеси. Задачi для таких рiвнянь та деяких їх узагальнень активно
вивчаються останнiм часом. У випадку γ 6= 0 рiвняння (1) має змiнний показник нелiнiйностi
— функцiю p(x). Задачi для рiвнянь зi змiнними показниками нелiнiйностi моделюють багато
явищ, зокрема фiзичнi процеси, що лежать в основi функцiонування термiстора (див. [2]).
Мiшанi задачi з крайовими умовами Дiрiхле для таких рiвнянь вивчалися, зокрема, у працях
[2, 3].
Якщо крайовi умови для рiвняння (1) мають загальнiший вигляд, наприклад є односторон-
нiми умовами (див. [4, 5]), то узагальнений розв’язок вiдповiдної мiшаної задачi задовольняє
не рiвняння, а деяку варiацiйну нерiвнiсть. Варiацiйнi нерiвностi параболiчного типу зi змiнни-
ми показниками нелiнiйностi дослiджено у працях [6 – 11]. Гiперболiчнi варiацiйнi нерiвностi
другого порядку зi сталими показниками нелiнiйностi у необмежених областях вивчено у [12],
а зi змiнними показниками в обмежених областях — у роботi [13]. У працях [1, 14] доведено
теореми iснування та єдиностi розв’язкiв нелiнiйних варiацiйних нерiвностей третього порядку
зi сталими показниками нелiнiйностi в обмежених областях.
У цiй працi продовжується дослiдження задачi, розглянутої автором i С. П. Лавренюком у
[15]. У роботi [15] знайдено умови єдиностi розв’язку гiперболiчної варiацiйної нерiвностi тре-
тього порядку зi змiнним показником нелiнiйностi в необмежених за просторовими змiнними
областях. У цiй статтi вивчається питання про iснування розв’язку вiдповiдної варiацiйної
нерiвностi в обмежених областях. Як вiдомо автору, питання про iснування розв’язку таких
задач ранiше не розглядалося.
c© О. Т. ХОЛЯВКА, 2014
518 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 519
Формулювання задачi. Нехай Ω ⊂ Rn — обмежена область з гладкою межею ∂Ω = Γ1tΓ2,
mes Γ1 > 0,mes Γ2 > 0;Qτ = Ω×(0, τ), Ωτ = QT∩{t = τ}, Qt1,t2 = Ω×(t1, t2), τ, t1, t2 ∈ [0, T ];
p ∈ L∞(Ω), 1 < p0 ≤ p(x) ≤ p0 < +∞, де p0 = ess infx∈Ω p(x), p0 = ess supx∈Ω p(x).
Введемо функцiонал ρp(v,Ω) =
∫
Ω
|v(x)|p(x) dx, де v = v(x) — деяка функцiя. Нагадаємо,
що простором Лебега зi змiнним показником називають множину функцiй
Lp(x)(Ω) =
{
v : Ω→ R1
∣∣ v — вимiрна, ρp(v,Ω) < +∞
}
.
Цi простори були введенi у 1931 р. B. Орлiчем [16] i вивчалися, зокрема, у роботах [7, 16 – 19].
У працi [18] доведено, що Lp(x)(Ω) є сепарабельним, рефлексивним та банаховим простором,
якщо на ньому ввести норму за правилом
||v;Lp(x)(Ω)|| = inf
λ > 0:
∫
Ω
|v/λ|p(x) dx ≤ 1
.
Введемо також простори: H1
0,Γ1
(Ω) =
{
z ∈ H1(Ω): z|Γ1 = 0
}
, V1(Ω) — гiльбертiв простiр
такий, що H1
0,Γ1
(Ω) ⊂ V1(Ω) ⊂ H1(Ω), V1,0(Ω) = {z ∈ V1(Ω): z|Γ2 = 0} . Нехай K ⊂ V1(Ω)
— опуклий замкнений конус такий, що 0 ∈ K i ϕK ⊂ K для довiльної функцiї ϕ ∈ C1(Rn),
ϕ(x) ≥ 0, x ∈ Rn, 〈 ·, ·〉 — скалярний добуток мiж просторами V ∗1 (Ω)
df
=
[
V1(Ω)
]∗
i V1(Ω).
В областi QT розглянемо варiацiйну нерiвнiсть для функцiї u∫
Qτ
[
utt(w − ut)ψ(x) +
n∑
i,j=1
aij(x)uxit
(
(w − ut)ψ(x)
)
xj
+
+
n∑
i,j=1
bij(x)uxi
(
(w − ut)ψ(x)
)
xj
+ c(x)|ut|p(x)−2ut(w − ut)ψ(x)−
−f(x, t)(w − ut)ψ(x)
]
dxdt ≥ 0, v, ψ — пробнi функцiї, τ ∈ (0, T ], (2)
з початковими умовами
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ Ω. (3)
Означення 1. Функцiю u, що задовольняє включення
u ∈ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ut ∈ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ),
utt ∈ L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, ut(t) ∈ K
для майже всiх t ∈ [0, T ], умови (3) та варiацiйну нерiвнiсть (2) для кожного τ ∈ (0, T ],
всiх w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ), w(t) ∈ K майже для всiх t ∈ [0, T ] та довiльних
ψ ∈ C1
0 (Rn), ψ(x) ≥ 0, x ∈ Rn, називаємо сильним розв’язком задачi (2), (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
520 О. Т. ХОЛЯВКА
Говоритимемо, що виконуються умови (A), (B), (C), (U), (W), якщо:
(A) aij , aij,xj ∈ L∞(Ω), aij(x) = aj i(x) для майже всiх x ∈ Ω, i, j = 1, n,
a0|ξ|2 ≤
∑n
i,j=1 aij(x)ξiξj ≤ a0|ξ|2 для всiх ξ ∈ Rn та майже всiх x ∈ Ω, де a0 > 0;
(B) bij , bij,xj ∈ L∞(Ω), bij(x) = bj i(x) для майже всiх x ∈ Ω, i, j = 1, n,
b0|ξ|2 ≤
∑n
i,j=1 bij(x)ξiξj ≤ b0|ξ|2 для всiх ξ ∈ Rn i майже всiх x ∈ Ω, де b0 > 0;
(C) c ∈ L∞(Ω), 0 < c0 ≤ c(x) ≤ c0 < +∞ для майже всiх x ∈ Ω;
(U) u0 ∈ V1,0(Ω) ∩H2(Ω), u1 ∈ V1,0(Ω) ∩ L2p(x)−2(Ω) ∩H2(Ω), u1 ∈ intK або u1 ≡ 0;
(W) iснує монотонний, обмежений, семiнеперервний оператор β : V1(Ω) → V ∗1 (Ω) такий,
що K = {v : v ∈ V1(Ω), β(v) = 0} i, крiм того,
τ∫
0
〈β(w)− β(v), (w − v)ψ〉 dt ≥ 0
∀ τ ∈ (0, T ] ∀w, v ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∀ψ ∈ C1(Rn), ψ(x) > 0;
τ∫
0
〈
(
β(w)
)
t
, wt〉 dt ≥ 0 ∀w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, wt ∈ L2(QT ), τ ∈ (0, T ].
Розв’язок задачi (2), (3) ми отримаємо як границю розв’язкiв мiшаних задач для вiдповiдних
рiвнянь зi штрафом. Сформулюємо згаданi тут задачi.
Допомiжна задача зi штрафом. Нехай ε > 0 — деяке число. В областi QT розглянемо
допомiжну задачу про знаходження розв’язку рiвняння зi штрафом
ũtt −
n∑
i,j=1
(
aij(x)ũxit
)
xj
−
n∑
i,j=1
(
bij(x)ũxi
)
xj
+ c(x)|ũt|p(x)−2ũt +
1
ε
β(ũt) = f(x, t), (4)
який задовольняє умови
ũ|∂Ω×(0,T ) = 0, (5)
ũ(x, 0) = u0(x), ũt(x, 0) = u1(x), x ∈ Ω. (6)
Означення 2. Пiд узагальненим розв’язком задачi (4) – (6) розумiємо функцiю ũ, яка за-
довольняє включення ũ ∈ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũt ∈ Lp(x)(QT ) ∩ L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũtt ∈
∈ L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, умови (5), (6), а також iнтегральну тотожнiсть∫
Qτ
[
ũttv +
n∑
i,j=1
aij(x)ũxitvxj +
n∑
i,j=1
bij(x)ũxivxj+
+c(x)|ũt|p(x)−2ũtv − f(x, t)v
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũt), v〉 dt = 0 (7)
∀ τ ∈ (0, T ] ∀ v ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 521
Теорема 1 (про розв’язнiсть допомiжної задачi). Якщо виконуються умови (A), (B), (C),
(U), (W), p0 > 2, f ∈ L2(QT ), ft ∈ L2(QT ), то задача (4) – (6) має узагальнений розв’язок ũ
такий, що ũ, ũt ∈ C([0, T ];V1,0(Ω)), ũtt ∈ L2((0, T );V1,0(Ω)).
Доведення. Використаємо метод Фаедо – Гальоркiна. Нехай {ϕk} — лiнiйно незалежна
повна система функцiй у просторi V1,0(Ω) ∩ L2p(x)−2(Ω) ∩ H2(Ω), ортонормована в L2(Ω).
Розглянемо послiдовнiсть функцiй
ũN (x, t) =
N∑
k=1
cNk (t)ϕk(x), N ∈ N, (x, t) ∈ QT ,
де cN1 , . . . , c
N
N — розв’язок задачi Кошi∫
Ωt
[
ũNttϕ
k +
n∑
i,j=1
aij(x)ũNxitϕ
k
xj +
n∑
i,j=1
bij(x)ũNxiϕ
k
xj + c(x)|ũNt |p(x)−2ũNt ϕ
k−
−f(x, t)ϕk
]
dx+
1
ε
〈
β
(
ũNt (t)
)
, ϕk
〉
= 0, t ∈ (0, T ), (8)
cNk (0) = ũN0,k, cNkt(0) = ũN1,k, k = 1, N, (9)
причому ∥∥ũN0 − u0
∥∥
H1(Ω)
−→
N→∞
0,
∥∥ũN1 − u1
∥∥
L2(Ω)
−→
N→∞
0,
де
ũN0 (x) =
N∑
k=1
ũN0,kϕ
k(x), ũN1 (x) =
N∑
k=1
ũN1,kϕ
k(x), x ∈ Ω.
З умови на u1 випливає, що починаючи з деякого номера N0 (нехай, для зручностi, N0 = 1)
ũN1 належить K для всiх N ≥ 1. Зрозумiло, що
ũN (0) = ũN0 , ũNt (0) = ũN1 . (10)
На пiдставi теореми Каратеодорi (див. [20, c. 54]) iснує диференцiйовний розв’язок цiєї
задачi, який має абсолютно неперервнi похiднi cN1,t, . . . , c
N
N,t, визначений на деякому промiжку
[0, tN ], tN 6 T . З оцiнок, отриманих нижче, буде випливати, що tN = T .
Домножимо кожну рiвнiсть системи (8), вiдповiдно, на функцiю cNk,t(t), пiдсумуємо всi
рiвняння по k вiд 1 до N i зiнтегруємо по промiжку [0, τ ], τ ∈ (0, T ]. Пiсля цього отримаємо
рiвнiсть ∫
Qτ
[
ũNtt ũ
N
t +
n∑
i,j=1
aij ũ
N
xitũ
N
xjt +
n∑
i,j=1
bij ũ
N
xi ũ
N
txj + c|ũNt |p(x)−
−fũNt
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNt ), ũNt 〉 dt = 0. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
522 О. Т. ХОЛЯВКА
Зрозумiло, що для δ0 > 0 має мiсце оцiнка
αβ ≤ δ0|α|p(x) + Yp(δ0)|β|p′(x), (12)
де α, β ∈ R1,
1
p(x)
+
1
p′(x)
= 1, Yp(δ0) =
p0 − 1
p0(δ0p0)1/(p0−1)
при δ0p0 ≤ 1 та Yp(δ0) =
=
p0 − 1
p0(δ0p0)1/(p0−1)
при δ0p0 > 1. Враховуючи умови теореми та нерiвнiсть (12), рiвнiсть (11)
записуємо у виглядi
1
2
∫
Ωτ
[∣∣ũNt ∣∣2 + b0
∣∣∇ũN ∣∣2] dx+
(
c0 − δ0
) ∫
Qτ
|ũNt |p(x) dxdt+ a0
∫
Qτ
|∇ũNt |2 dxdt+
+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNt ), ũNt 〉 dt ≤
1
2
∫
Ω0
[∣∣ũN1 ∣∣2 + b0
∣∣∇ũN0 ∣∣2]dx+ Yp(δ0)
∫
Qτ
|f |p ′(x) dxdt. (13)
Поклавши δ0 =
c0
2
, з (13) легко отримати оцiнки
T∫
0
〈β(ũNt ), ũNt 〉 dt ≤ C2ε, (14)
∫
Ωτ
[∣∣ũNt ∣∣2 +
∣∣∇ũN ∣∣2]dx+
∫
Qτ
[
|ũNt |p(x) + |∇ũNt |2
]
dxdt ≤ C2, τ ∈ [0, T ], (15)
де стала C2 не залежить вiд N, ε та τ ∈ (0, T ]. Оскiльки за умовою (W) оператор β : V1(Ω)→
→ V ∗1 (Ω) обмежений, то
||β(ũNt );L2
(
(0, T );V ∗1 (Ω)
)
|| ≤ C3 (16)
i стала C3 не залежить вiд N, ε.
Здиференцiюємо (8) по t. Пiсля цього помножимо кожну рiвнiсть отриманої системи, вiдпо-
вiдно, на функцiю cNk,tt(t), пiдсумуємо всi рiвняння по k вiд 1 до N та зiнтегруємо по промiжку
[0, τ ], τ ∈ (0, T ]:∫
Qτ
[
ũNtttũ
N
tt +
n∑
i,j=1
aij(x)ũNxittũ
N
xjtt +
n∑
i,j=1
bij(x)ũNxitũ
N
xjtt + c(x)(p(x)− 1)|ũNt |p(x)−2|ũNtt |2−
−ft(x, t)ũNtt
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈
(
β(ũNt )
)
t
, ũNtt 〉 dt = 0.
На пiдставi умов (A), (B), (C) з останньої рiвностi отримуємо оцiнку∫
Ωτ
[∣∣ũNtt ∣∣2 +
∣∣∇ũNt ∣∣2]dx+
∫
Qτ
|∇ũNtt |2 dxdt+
∫
Qτ
|ũNt |p(x)−2|ũNtt |2 dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈
(
β(ũNt )
)
t
, ũNtt 〉 dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 523
≤ C4
[ ∫
Qτ
|ũNtt |2 dxdt+
∫
Ω0
∣∣ũNtt (0)
∣∣2 dx+
∫
Ω0
∣∣∇ũN1 ∣∣2 dx+
∫
Qτ
|ft|2 dxdt
]
, (17)
де стала C4 не залежить вiд N, ε та τ ∈ (0, T ].
Можна показати, що виконується нерiвнiсть∫
Ω0
∣∣ũNtt (0)
∣∣2 dx ≤ C5
i стала C5 не залежить вiд N та ε.
Крiм того, для будь-якого τ ∈ (0, T ]
1
ε
τ∫
0
〈
(
β(ũNt )
)
t
, ũNtt 〉 dt ≥ 0.
Тодi з (17) на пiдставi одержаних оцiнок, леми Гронуолла – Беллмана та певних перетворень
матимемо нерiвнiсть∫
Ωτ
[∣∣ũNtt ∣∣2 +
∣∣∇ũNt ∣∣2]dx+
∫
Qτ
[ ∣∣∇ũNtt ∣∣2 +
∣∣ũNtt ∣∣2 + |ũNt |p(x)−2|ũNtt |2
]
dxdt ≤ C6, (18)
де стала C6 не залежить вiд N, ε та τ ∈ (0, T ]. Можна отримати оцiнку∫
Ωτ
∣∣ũN ∣∣2 dx+
∫
Qτ
∣∣∇ũN ∣∣2 dxdt ≤ C7, (19)
де стала C7 не залежить вiд N, ε, τ.
Згiдно з (15), (16), (18), (19) iснує пiдпослiдовнiсть {ũNk}Nk∈N послiдовностi {ũk}k∈N та
iснують функцiї ũ, z̃ такi, що
ũNk → ũ ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũNk → ũ слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
ũNkt → ũt ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũNkt → ũt слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ),
β(ũNkt )→ z̃ слабко в L2
(
(0, T );V ∗1 (Ω)
)
, ũNktt → ũtt ∗-слабко в L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, (20)
ũNktt → ũtt слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, ũNk → ũ слабко в H1(QT ),
ũNkt → ũt слабко в H1(QT ) при Nk →∞.
З останнiх двох збiжностей випливає (див. [4, c. 25]), що
ũNk −→
Nk→∞
ũ, ũNkt −→
Nk→∞
ũt сильно в L2(QT ) i майже скрiзь в QT .
Зазначимо також, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
524 О. Т. ХОЛЯВКА∫
QT
∣∣∣|ũNkt |p(x)−2ũNkt
∣∣∣p ′(x)
dx dt ≤
∫
QT
|ũNkt |p(x) dx dt ≤ C7
i тому (див. [21]) |ũNkt |p(x)−2ũNkt → |ũt|p(x)−2ũt слабко в Lp
′(x)(QT ).
На пiдставi збiжностей (20) та леми 1.2 (див. [4, с. 20]) отримуємо, що ũ ∈ C
(
[0, T ];V1,0(Ω)
)
.
Маємо ũNk(0) → ũ(0) слабко в V1,0(Ω), ũNk(0) = ũNk0 → ũ0 сильно в H1(Ω). Тому ũ(0) =
= ũ0. Аналогiчно переконуємося, що ũt ∈ C
(
[0, T ];V1,0(Ω)
)
, ũNkt (0)→ ũt(0) слабко в V1,0(Ω),
ũNkt (0) = ũNk1 → ũ1 сильно в L2(Ω). Тому ũt(0) = ũ1.
Нехай l — довiльне натуральне число iN > l. Вiзьмемо довiльнi гладкi функцiї µ1, µ2, . . . , µl.
Домножимо перше рiвняння системи (8) на функцiю µ1(t), друге — на µ2(t) i т. д. до l-го рiв-
няння. Пiдсумуємо одержанi рiвностi та зiнтегруємо по t вiд 0 до τ, τ ∈ (0, T ]. В результатi
будемо мати ∫
Qτ
[
ũNtt v̂ +
n∑
i,j=1
aij ũ
N
xitv̂xj +
n∑
i,j=1
bij ũ
N
xi v̂xj + c|ũNt |p(x)−2ũNt v̂−
−fv̂
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNt ), v̂〉 dt = 0, (21)
де v̂(x, t) =
∑l
i=1
µi(t)ϕi(x), x ∈ Ω, t ∈ (0, τ). Перейдемо в (21) при N = Nk до границi при
k → ∞. Згiдно з попереднiми зауваженнями щодо збiжностi послiдовностi {ũNk}Nk∈N, для
довiльних τ ∈ (0, T ] та всiх v ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ) пiсля ще одного граничного
переходу при l→∞ правильною є рiвнiсть
∫
QT
[
ũttv+
n∑
i,j=1
aij ũxitvxj +
n∑
i,j=1
bij ũxivxj + c|ũt|p(x)−2ũtv−fv
]
dxdt+
1
ε
T∫
0
〈z̃, v〉 dt = 0. (22)
Отже, ũ — розв’язок задачi (4) – (6), якщо z̃ = β(ũt). Покажемо це.
Взявши в (22) замiсть v добуток функцiї ũt на характеристичну функцiю вiдрiзка [t1, t2] ⊂
⊂ [0, T ], одержимо
∫
Qt1,t2
[
ũttũt+
n∑
i,j=1
aij ũxitũxjt+
n∑
i,j=1
bij ũxi ũxjt+c|ũt|p(x)−fũt
]
dxdt+
1
ε
t2∫
t1
〈z̃, ũt〉 dt = 0. (23)
Взявши тут t2 = τ, t1 = 0 та зiнтегрувавши частинами, отримаємо
1
2
∫
Ωτ
n∑
i,j=1
bij ũxi ũxj dx+
∫
Qτ
[
ũttũt +
n∑
i,j=1
aij ũxitũxjt + c|ũt|p(x)−
−fũt
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈z̃, ũt〉 dt =
1
2
∫
Ω0
n∑
i,j=1
bij ũ0xi ũ0,xj dx. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 525
Розглянемо послiдовнiсть
ηk =
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt )− β(w), ũNkt − w〉 dt, w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, k ∈ N.
Використавши монотоннiсть оператора β та формулу (21) з ṽ = ũNt , N = Nk, матимемо
0 ≤ lim
k→∞
sup ηk =
= lim
k→∞
sup
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), ũNkt 〉 dt−
1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũNkt − w〉 dt
=
= lim
k→∞
sup
∫
Qτ
[
fũNkt − ũ
Nk
tt ũ
Nk
t −
n∑
i,j=1
aij ũ
Nk
xit
ũNkxjt −
n∑
i,j=1
bij ũ
Nk
xi ũ
Nk
txj
−
−c|ũNkt |p(x)
]
dxdt− 1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũNkt − w〉 dt
=
= lim
k→∞
sup
−1
2
∫
Ωτ
n∑
i,j=1
bij ũ
Nk
xi ũ
Nk
xj dx+
1
2
∫
Ω0
n∑
i,j=1
bij ũ
Nk
0xi
ũNk0,xj
dx+
+
∫
Qτ
[
fũNkt − ũ
Nk
tt ũ
Nk
t −
n∑
i,j=1
aij ũ
Nk
xit
ũNkxjt − c|ũ
Nk
t |p(x)
]
dxdt−
− 1
ε
τ∫
0
〈β(ũNkt ), w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũNkt − w〉 dt
≤
≤ −1
2
∫
Ωτ
n∑
i,j=1
bij ũxi ũxj dx+
1
2
∫
Ω0
n∑
i,j=1
bij ũ0xi ũ0,xj dx+
+
∫
Qτ
[
fũt − ũNktt ũ
Nk
t −
n∑
i,j=1
aij ũxitũxjt − c|ũt|p(x)
]
dxdt−
−1
ε
τ∫
0
〈z̃, w〉 dt− 1
ε
τ∫
0
〈β(w), ũt − w〉 dt. (25)
Додамо формули (24) та (25). Тодi для всiх τ ∈ (0, T ] та довiльного w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
отримаємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
526 О. Т. ХОЛЯВКА
1
ε
τ∫
0
〈z̃ − β(w), ũt − w〉 dt ≥ 0,
яка i гарантує рiвнiсть z̃ = β(ũt). Отже, ũ — узагальнений розв’язок задачi (4) – (6).
Теорему доведено.
Доведення основного результату.
Теорема 2 (про iснування розв’язку задачi (2), (3)). Нехай виконуються умови (A), (B),
(C), (U), (W), p0 > 2 i, крiм того, f ∈ L2(QT ), ft ∈ L2(QT ). Тодi задача (2), (3) має сильний
розв’язок.
Доведення. Для кожного ε = 1,
1
2
,
1
3
, . . . розглянемо задачу (4) – (6). Згiдно з теоремою 1,
для кожного ε iснує розв’язок uε задачi (4) – (6). Так само, як i в доведеннi теореми 1, для
послiдовностi {uε} одержуємо аналоги оцiнок (14), (15), (18), (19). Тому iснують послiдовнiсть
чисел {εk}k∈N, limk→∞ εk = 0, та функцiя u такi, що
uεk → u ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, uεk → u ∗-слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
uεkt → ut ∗-слабко в L∞
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, uεkt → ut слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ),
uεktt → utt ∗-слабко в L∞
(
(0, T );L2(Ω)
)
, uεktt → utt слабко в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
uεk → u слабко в H1(QT ), uεkt → ut слабко в H1(QT ), (26)
T∫
0
〈β(uεkt ), uεkt 〉 dt ≤ C2εk → 0 при k →∞,
uεk → u, uεkt → ut сильно в L2(QT ) та майже скрiзь на QT ,
|uεkt |
p(x)−2 uεkt → |ut|p(x)−2ut слабко в Lp
′(x)(QT ) при εk → + 0.
Тодi на пiдставi аналога рiвностi (21)
T∫
0
〈β(uεkt ), w〉 dt → 0 для всiх w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ). (27)
Розглянемо послiдовнiсть
0 ≤ yk =
T∫
0
〈β(uεkt )− β(w), uεkt − w〉 dt, w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
.
Згiдно з (26), (27) отримуємо
yk −→
k→∞
−
T∫
0
〈β(w), ut − w〉 dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 527
а тому
∫ T
0
〈β(w), ut − w〉 dt ≤ 0. Нехай w = ut − λz, z ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
, λ > 0. Тодi
T∫
0
〈β(ut − λz), z〉 dt ≤ 0.
Оскiльки оператор β є семiнеперервним, то
∫ T
0
〈β(ut), z〉 dt ≤ 0. Звiдси робимо висновок про
те, що β(ut) = 0, а отже, ut(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Запишемо аналог рiвностi (22) з ũ = uεk , v = (w − uεkt )ψ, де w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩
∩ Lp(x)(QT ), w(t) ∈ K для майже всiх t ∈ (0, T ), ψ ∈ C1(Rn), ψ(x) ≥ 0 в Rn :∫
Qτ
[
uεktt (w − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+
+
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+ c|ut|p(x)−2uεkt (w − uεkt )ψ−
− f(x, t)(w − uεkt )ψ
]
dxdt = − 1
εk
τ∫
0
〈β(uεkt ), (w − uεkt )ψ〉. (28)
Оскiльки w(t) ∈ K для майже всiх t ∈ (0, T ), то β(w) = 0 i тому внаслiдок монотонностi β
−
τ∫
0
〈β(uεkt ), (w − uεkt )ψ〉 dt =
τ∫
0
〈β(w)− β(uεkt ), (w − uεkt )ψ〉 dt ≥ 0.
Тодi з (28) отримуємо нерiвнiсть∫
Qτ
[
uεktt (w − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(w − uεkt )ψ
)
xj
+
+ c|uεkt |p(x)−2uεkt (w − uεkt )ψ − f(w − uεkt )ψ
]
dxdt ≥ 0, (29)
що виконується для кожного τ ∈ (0, T ], всiх w ∈ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ), w(t) ∈ K,
майже для всiх t ∈ [0, T ] та довiльних ψ ∈ C1(Rn), ψ ≥ 0, x ∈ Rn.
Покажемо виконання додаткових сильних збiжностей послiдовностi {uεk}k∈N до функцiї u.
Для цього запишемо (29) для w = ut:∫
Qτ
[
uεktt (ut − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
+
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
528 О. Т. ХОЛЯВКА
+ c|uεkt |p(x)−2uεkt (ut − uεkt )ψ − f(ut − uεkt )ψ
]
dxdt ≥ 0. (30)
Виконаємо перетворення:
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
=
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
[
(uxjt − u
εk
xjt
)ψ + (ut − uεkt )ψxj
]
=
= −
n∑
i,j=1
aij(uxit − u
εk
xit
)(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
aijuxit(uxjt − u
εk
xjt
)ψ+
+
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(ut − uεkt )ψxj ,
n∑
i,j=1
biju
εk
xi
(
(ut − uεkt )ψ
)
xj
= −
n∑
i,j=1
bij(uxi − uεkxi )(uxjt − u
εk
xjt
)ψ+
+
n∑
i,j=1
bijuxi(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
biju
εk
xi (ut − u
εk
t )ψxj ,
c|uεkt |p(x)−2uεkt (ut − uεkt )ψ = −c
(
|ut|p(x)−2ut − |uεkt |p(x)−2uεkt
)
(ut − uεkt )ψ+
+c|ut|p(x)−2ut(ut − uεkt )ψ.
Враховуючи виконанi перетворення, записуємо (30) у виглядi∫
Qτ
[
uεktt (ut − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aijuxit(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(ut − uεkt )ψxj+
+
n∑
i,j=1
bijuxi(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
biju
εk
xi (ut − u
εk
t )ψxj+
+c|ut|p(x)−2ut(ut − uεkt )ψ − f(ut − uεkt )ψ
]
dxdt ≥
∫
Qτ
[ n∑
i,j=1
aij(uxit − u
εk
xit
)(uxjt − u
εk
xjt
)ψ+
+
n∑
i,j=1
bij(uxi − uεkxi )(uxjt − u
εk
xjt
)ψ + c
(
|ut|p(x)−2ut − |uεkt |p(x)−2uεkt
)
(ut − uεkt )ψ
]
dxdt.
На пiдставi умов p0 > 2, (A), (B) та (C) з останньої нерiвностi легко отримати оцiнку∫
Qτ
[
a0
∣∣∇(ut − uεkt )
∣∣2ψ + c022−p(x)
∣∣ut − uεkt ∣∣p(x)
ψ
]
dxdt+
∫
Ωτ
b0
2
∣∣∇(u− uεk)
∣∣2ψ dx ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ . . . 529
≤
∫
Qτ
[
uεktt (ut − uεkt )ψ +
n∑
i,j=1
aijuxit(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
aiju
εk
xit
(ut − uεkt )ψxj+
+
n∑
i,j=1
bijuxi(uxjt − u
εk
xjt
)ψ +
n∑
i,j=1
biju
εk
xi (ut − u
εk
t )ψxj+
+c|ut|p(x)−2ut(ut − uεkt )ψ − f(ut − uεkt )ψ
]
dxdt −→ 0 (31)
при εk → 0, звiдки
uεk → u сильно в C
(
[0, T ];V1,0(Ω)
)
∩ L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
,
uεkt → ut сильно в L2
(
(0, T );V1,0(Ω)
)
∩ Lp(x)(QT ).
На пiдставi цього в нерiвностi (29) переходимо до границi при εk → 0 i отримуємо, що функцiя
u — шуканий сильний розв’язок задачi (2), (3).
Теорему доведено.
Зауваження. Нехай тепер Ω — необмежена область. Можна показати, що при виконаннi,
зокрема, умов (A), (B), (C), p0 > 2 i, крiм того, p0 < 2 +
4
n− 2
при n ≥ 3, а також при деяких
додаткових обмеженнях на множину K задача (2), (3) має слабкий розв’язок. Єдинiсть такого
розв’язку встановлено в [15].
1. Глазатов С. Н. Некоторые задачи для нелинейных уравнений третьего порядка. – Новосибирск, 1992. – 22 c. –
(Препринт № 7).
2. Zhikov V. V. On variational problems and nonlinear elliptic equations with nonstandard growth conditions // J. Math.
Sci. – 2011. – 173, № 5. – P. 463 – 570.
3. Antontsev S., Shmarev S. Nonlinear PDEs in Sobolev spaces with variable exponents. – 2013. – Preprint CMAF
Pre-015.
4. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Изд-во иностр. лит., 1972. – 587 c.
5. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. – М.: Наука, 1990. – 536 с.
6. Бугрiй О. М., Лавренюк С. П. Параболiчна варiацiйна нерiвнiсть, що узагальнює рiвняння полiтропної фiль-
трацiї // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 7. – C. 867 – 878.
7. Buhrii O. M., Mashiyev R. A. Uniqueness of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent
of nonlinearity // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. – 2009. – 70, № 6. – P. 2325 – 2331.
8. Mashiyev R. A., Buhrii O. M. Existence of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent of
nonlinearity // J. Math. Anal. and Appl. – 2011. – 377. – P. 450 – 463.
9. Mingqi Xiang, Youngiang Fu. Weak solutions for nonlocal evolution variational inequalities involving gradient
constraints and variable exponent // Electron. J. Different. Equat. – 2013. – 2013, № 100. – P. 1 – 17.
10. Mingqi Xiang. On nonlinear evolution variational inequalities involving variable exponent // Electron. J. Qual. Theory
Different. Equat. – 2013. – № 72. – P. 1 – 19.
11. Erhardt A. H. Existence and gradient estimates in parabolic obstacle problems with nonstandard growth: Dissertation.
– Nüruberg, 2013. – 189 p.
12. Lavrenyuk S., Pukach P. Variational hyperbolic inequality in the domain unbounded in spatial variables // Int. J.
Evolut. Equat. – 2007. – 3, № 1. – P. 103 – 122.
13. Бугрiй О., Гурняк I., Пукач П., Холявка О. Гiперболiчнi варiацiйнi нерiвностi другого порядку зi змiнним
показником нелiнiйностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2012. – Вип. 77. – С. 41 – 53.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
530 О. Т. ХОЛЯВКА
14. Глазатов С. Н. Нелинейные уравнения третьего порядка и вариационные неравенства // Неклассические
уравнения математической физики: междунар. сем., посвященный 60-летию со дня рождения проф. В. Н. Вра-
гова (3 – 5 окт. 2005 г.): труды сем. – 2005. – C. 80 – 93.
15. Лавренюк С. П., Панат О. Т. Деяка варiацiйна нерiвнiсть третього порядку зi змiнним степенем нелiнiйностi
у необмеженiй областi // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика, механiка. – 2008. – 13, вип. 18. – С. 55 – 61.
16. Orlicz W. Über konjugierte Exponentenfolden // Stud. Math. (Lwow). – 1931. – 3. – P. 200 – 211.
17. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(t)([0, 1]) // Мат. заметки. – 1979. – 26, № 4. – С. 613 – 632.
18. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and W 1,p(x) // Czechoslovak Math. J. – 1991. – 41 (116). – P. 592 – 618.
19. Бугрiй О. М., Лавренюк С. П. Мiшана задача для параболiчного рiвняння, яке узагальнює рiвняння полiтропної
фiльтрацiї // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 33 – 43.
20. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр.
лит., 1958. – 475 с.
21. Бугрiй О., Доманська Г., Процах Н. Мiшана задача для нелiнiйного рiвняння третього порядку в узагальнених
просторах Соболєва // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 44 – 61.
Одержано 31.01.12,
пiсля доопрацювання — 23.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2154 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:44Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fd/39d5cc762d66f0c5586705695e6d25fd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21542019-12-05T10:25:15Z Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності Kholyavka, O. T. Холявка, О. Т. In Sobolev spaces with variable exponent, we consider the problem for a semilinear hyperbolic variational inequality of the third order. We establish conditions for the existence of a solution u of this problem such that u ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)), u t ∈ L ∞((0, T); V 1,0(Ω)) ∩ L p(x)(Q T ), and u tt ∈ L ∞((0, T); L 2(Ω)), where V 1,0(Ω) ⊂ H 1(Ω). В пространствах Соболева с переменным показателем рассмотрена задача для полулинейного гиперболического вариационного неравенства третьего порядка. Установлены условия существования решения u указанной задачи такого, что $u ∈ L^{∞}((0, T); V_{1,0}(Ω)), u_t ∈ L^{∞}((0, T); V_{1,0}(Ω)) ∩ L^{p(x)}(Q T ), and u_{tt} ∈ L^{∞}((0, T); L^2(Ω)), где $V_{1,0}(Ω) ⊂ H^1(Ω)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2154 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 4 (2014); 518–530 Український математичний журнал; Том 66 № 4 (2014); 518–530 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2154/1310 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2154/1311 Copyright (c) 2014 Kholyavka O. T. |
| spellingShingle | Kholyavka, O. T. Холявка, О. Т. Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity |
| title | Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity |
| title_alt | Гіперболічна варіаційна нерівність третього порядку зі змінним степенем нелінійності |
| title_full | Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity |
| title_fullStr | Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity |
| title_short | Hyperbolic Variational Inequality of the Third Order with Variable Exponent of Nonlinearity |
| title_sort | hyperbolic variational inequality of the third order with variable exponent of nonlinearity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2154 |
| work_keys_str_mv | AT kholyavkaot hyperbolicvariationalinequalityofthethirdorderwithvariableexponentofnonlinearity AT holâvkaot hyperbolicvariationalinequalityofthethirdorderwithvariableexponentofnonlinearity AT kholyavkaot gíperbolíčnavaríacíjnanerívnístʹtretʹogoporâdkuzízmínnimstepenemnelíníjností AT holâvkaot gíperbolíčnavaríacíjnanerívnístʹtretʹogoporâdkuzízmínnimstepenemnelíníjností |