Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems
We study systems of linear extensions for dynamical systems. As a result, we establish the relationship between the design matrices in the structure of Green functions and alternating Lyapunov functions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2157 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508095929647104 |
|---|---|
| author | Hrod, I. M. Kulik, V. L. Грод, І. М. Кулик, В. Л. |
| author_facet | Hrod, I. M. Kulik, V. L. Грод, І. М. Кулик, В. Л. |
| author_sort | Hrod, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:15Z |
| description | We study systems of linear extensions for dynamical systems. As a result, we establish the relationship between the design matrices in the structure of Green functions and alternating Lyapunov functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.938
I. М. Грод (Тернопiл. нац. пед. ун-т iм. В. Гнатюка),
В. Л. Кулик (Сiлез. техн. ун-т, Польща)
ПРО ЗВ’ЯЗОК ФУНКЦIЇ ҐРIНА З ФУНКЦIЯМИ ЛЯПУНОВА
В ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕННЯХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
We investigated system of linear extensions of dynamical systems. As a result, we obtained the relationship between the
structure of the design matrix Green functions and sign-variable Ljapunov functions.
Исследуются системы линейных расширений динамических систем. Установлена связь между матрицами проекти-
рования в структуре функции Грина и знакопеременными функциями Ляпунова.
Одним iз важливих питань в якiснiй теорiї диференцiальних рiвнянь є знаходження умов збере-
ження iнварiантних многовидiв при збуреннях [1]. Ця задача тiсно пов’язана з властивостями
певного виду систем, лiнеаризованих по частинi змiнних. Такi системи диференцiальних рiв-
нянь в лiтературi називають лiнiйним розширенням динамiчної системи. Якщо правi частини
таких систем перiодично залежать вiд багатьох змiнних, то їх прийнято називати лiнiйними
розширеннями динамiчної системи на торi. Важливою задачею для таких систем є вивчення пи-
тання iснування функцiї Ґрiна, а у випадку багатовимiрного тора — функцiї Ґрiна – Самойленка
[2]. Як показують дослiдження [3 – 6], iснування функцiї Ґрiна тiсно пов’язане з теорiєю функ-
цiй Ляпунова. Такi функцiї розглядаються у виглядi квадратичних форм, якi можуть не тiльки
змiнювати знак, а й вироджуватись у певних точках. При цьому їхня похiдна в силу лiнiйного
розширення є знаковизначеною. Часто лiнiйне розширення має єдину функцiю Ґрiна, а функцiй
Ляпунова завжди iснує безлiч. Зв’язок мiж матрицями проектування в структурi функцiї Ґрiна i
функцiями Ляпунова i досi не є достатньо вивченим. Цьому питанню i присвячено дану статтю.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= f (x) ,
dy
dt
= A (x) y, (1)
де x ∈ Rm, y ∈ Rn, f (x) = (f1 (x) , . . . , fm (x)) — вектор-функцiя, визначена при всiх x ∈
∈ Rm, що локально задовольняє умову Лiпшиця. Крiм того, будемо припускати, що вектор-
функцiя f (x) задовольняє нерiвнiсть ‖f (x)‖ ≤ α1 ‖x‖ + α2 при всiх x ∈ Rm з деякими
невiд’ємними сталими α1, α2. Простiр таких функцiй f (x) будемо позначати через CLip (Rm).
Наведенi припущення дозволяють стверджувати, що задача Кошi
dx
dt
= f (x) , x|t=0 = x0,
має єдиний розв’язок x = x (t;x0) для кожного фiксованого x0 ∈ Rm i цей розв’язок визначений
при всiх t ∈ R. Матриця A (x) у системi (1) є квадратною (n× n)-вимiрною, елементами якої
є дiйснi скалярнi функцiї, визначенi, неперервнi й обмеженi на Rm.
c© I. М. ГРОД, В. Л. КУЛИК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4 551
552 I. М. ГРОД, В. Л. КУЛИК
Далi будемо використовувати наступнi позначення: C0 (Rm) — простiр дiйсних функцiй, не-
перервних i обмежених наRm, 〈y, ȳ〉 =
∑n
j=1
yj ȳj — скалярний добуток вRn, ‖y‖ =
√
〈y, y〉—
норма вектора, Ωt
τ (x) — фундаментальна матриця розв’язкiв лiнiйної системи
dy
dt
= A (x (t;x)) y, (2)
нормована в точцi t = τ : Ωt
τ (x)
∣∣
t=τ
= In, In — одинична матриця, C ′ (Rm; f) — пiдпростiр
простору C0 (Rm) функцiй F (x) таких, що суперпозицiя F (x (t;x)) , як функцiя змiнної t, є
неперервно диференцiйовною, причому за означенням
d
dt
F (x (t;x))
∣∣∣∣
t=0
df
= Ḟ (x) ∈ C0 (Rm) .
Норму (n×n)-вимiрної матрицiG будемо розумiти як операторну норму ‖G‖ = max‖y‖=1 ‖Gy‖.
Означення. Нехай iснує (n × n)-вимiрна матриця C (x) , елементи якої належать про-
стору C0 (Rm) , така, що для функцiї вигляду
G0 (τ, x) =
{
Ω0
τ (x)C (x (τ ;x)) , τ ≤ 0,
Ω0
τ (x) [C (x (τ ;x))− In] , τ > 0,
(3)
виконується оцiнка
‖G0 (τ, x)‖ ≤ K exp {−γ |τ |} (4)
з деякими додатними сталими K, γ.
Тодi функцiю (3) називають функцiєю Ґрiна задачi про обмеженi iнварiантнi многовиди
системи (1).
Зауваження 1. Оцiнка (4) еквiвалентна такiй же оцiнцi
‖Gt (0, x)‖ ≤ K exp {−γ |t|} (5)
для допомiжної функцiї
Gt (0, x) =
{
Ωt
0 (x)C (x) , t ≥ 0,
Ωt
0 (x) [C (x)− In] , t < 0.
(6)
Вiдомо [1], що якщо функцiя Ґрiна (3) iснує i єдина, то матриця C (x) задовольняє тотож-
ностi
C2 (x) ≡ C (x) , C (x (t;x)) ≡ Ωt
0 (x)C (x) Ω0
t (x) ∀x ∈ Rm, t ∈ R. (7)
Необхiдною i достатньою умовою iснування єдиної функцiї Ґрiна (3) є iснування квадратичної
форми
V = 〈S (x) y, y〉 (8)
з невиродженою симетричною матрицею коефiцiєнтiв S (x) ∈ C ′ (Rm; f), яка задовольняє
нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК ФУНКЦIЇ ҐРIНА З ФУНКЦIЯМИ ЛЯПУНОВА В ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕННЯХ . . . 553
V̇ =
〈[
Ṡ (x) + S (x)A (x) +AT (x)S (x)
]
y, y
〉
≥ ‖y‖2 . (9)
Таких матриць S (x) ∈ C ′ (Rm; f) або взагалi не iснує, або завжди iснує безлiч. Деякi з них
записуються у виглядi
S (x) =
0∫
−∞
[C (x)− In]T
[
Ωt
0 (x)
]T
H (x (t;x))
[
Ωt
0 (x)
]
[C (x)− In] dt−
−
+∞∫
0
[C (x)]T
[
Ωt
0 (x)
]T
H (x (t;x))
[
Ωt
0 (x)
]
[C (x)] dt,
де H (x) — довiльна симетрична матриця з простору C0 (Rm), яка задовольняє умову додатної
визначеностi
〈H (x) y, y〉 ≥ 2 ‖y‖2 .
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай система (1) має єдину функцiю Ґрiна (3) з оцiнкою (4), тодi кожна си-
метрична матриця S (x) ∈ C ′ (Rm; f) , для якої виконується умова (9), задовольняє нерiвнiсть
〈S (x) y, [In − 2C (x)] y〉 ≥ β ‖y‖2 , (10)
де β =
1
2 ‖A+AT ‖0
,
∥∥A+AT
∥∥
0
= supx∈Rm
∥∥A (x) +AT (x)
∥∥.
Доведення. Iз iснування єдиної функцiї Ґрiна (3) випливає, що система лiнiйних рiвнянь
(2) при кожному фiксованому значеннi x ∈ Rn є експоненцiально дихотомiчною на R. Iз оцiнки
(5) видно, що розв’язки системи (2), якi прямують до нуля на +∞, можна записати у виглядi
y+ (t) = Ωt
0 (x)C (x) η, (11)
де η — довiльний вектор iз Rn. Умова (9) означає, що похiдна квадратичної форми V =
= 〈S (x) y, y〉 в силу системи (1) є додатно визначеною. Вияснимо наскiльки цю квадратичну
форму можна збурити, щоб її похiдна в силу системи (1) залишалась додатно визначеною. Для
цього розглянемо квадратичну форму
Vε = 〈S (x) y, y〉+ ε ‖y‖2 (12)
i обчислимо її похiдну в силу системи
V̇ε =
〈[
Ṡ (x) + (S (x) + εIn)A (x) +AT (x) (S (x) + εIn)
]
y, y
〉
≥
≥
(
1− |ε| ·
∥∥A+AT
∥∥
0
)
‖y‖2 . (13)
Це дає пiдстави стверджувати, що при виконаннi нерiвностi
− 1
‖A+AT ‖0
< ε <
1
‖A+AT ‖0
(14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
554 I. М. ГРОД, В. Л. КУЛИК
похiдна в силу системи (1) збуреної квадратичної форми (12) є додатно визначеною.
Далi покажемо, що для всiх нетривiальних розв’язкiв y = y+(t) системи (2), що затухають
на +∞, виконується нерiвнiсть〈
S (x (t;x)) y+ (t) , y+ (t)
〉
+ ε1
∥∥y+ (t)
∥∥2 < 0 ∀t ∈ R (15)
при кожному фiксованому значеннi ε1,
0 < ε1 <
1
‖A+AT ‖0
. (16)
Нехай нерiвнiсть (15) не виконується при деякому значеннi ε1, що задовольняє нерiвностi
(16). Це означає, що знайдеться таке значення t = t0, при якому виконується протилежна
нерiвнiсть 〈
S (x (t0;x)) y+ (t0) , y
+ (t0)
〉
+ ε1
∥∥y+ (t0)
∥∥2 ≥ 0. (17)
Оскiльки функцiя 〈S (x (t;x)) y+ (t) , y+ (t)〉+ε1 ‖y+ (t)‖2 є строго монотонно зростаючою,
то з останьої нерiвностi випливає, що〈
S (x (t;x)) y+ (t) , y+ (t)
〉
+ ε1
∥∥y+ (t)
∥∥2 > 0 ∀t ∈ (t0,+∞) . (18)
З нерiвностi (13) при ε = ε1 маємо
d
dt
[〈
S (x (t;x)) y+ (t) , y+ (t)
〉
+ ε1
∥∥y+ (t)
∥∥2] ≥ (1− ε1 ∥∥A+AT
∥∥
0
) ∥∥y+ (t)
∥∥2 ≥
≥
(
1− ε1
∥∥A+AT
∥∥
0
)
‖S‖0 + ε1
[〈
S (x (t;x)) y+ (t) , y+ (t)
〉
+ ε1
∥∥y+ (t)
∥∥2] .
З отриманої нерiвностi випливає, що функцiя 〈S (x (t;x)) y+ (t) , y+ (t)〉+ ε1 ‖y+ (t)‖2 зростає
на +∞ до +∞, а це суперечить тому, що y+ (t) → 0 при t → +∞. Отримана суперечнiсть i
переконує в справедливостi нерiвностi (15).
Оскiльки iз рiвностi (11) отримуємо i тривiальнi розв’язки y+ ≡ 0 , то, пiдставляючи її в
строгу нерiвнiсть (15), одержуємо нестрогу нерiвнiсть〈
S (x (t;x)) Ωt
0 (x)C (x) η,Ωt
0 (x)C (x) η
〉
+ ε1
∥∥Ωt
0 (x)C (x) η
∥∥2 ≤ 0 ∀t ∈ R. (19)
Тепер в нерiвностi (19) покладемо η = Ω0
t (x) y. Звiдси, враховуючи другу iз властивостей (7)
матрицi C (x) , маємо
〈S (x (t;x))C (x (t;x)) y, C (x (t;x)) y〉+ ε1 ‖C (x (t;x)) y‖2 ≤ 0 ∀t ∈ R.
Покладаючи в останнiй нерiвностi t = 0, приходимо до оцiнки
〈S (x)C (x) y, C (x) y〉+ ε1 ‖C (x) y‖2 ≤ 0 ∀x ∈ Rm ∀y ∈ Rn. (20)
Аналогiчно показуємо, що
〈S (x) (In − C (x)) y, (In − C (x)) y〉 − ε2 ‖(In − C (x)) y‖2 ≥ 0 (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК ФУНКЦIЇ ҐРIНА З ФУНКЦIЯМИ ЛЯПУНОВА В ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕННЯХ . . . 555
при всiх x ∈ Rm, y ∈ Rn. При цьому значення ε2 є довiльно фiксованим iз вiдкритого вiдрiзка:
ε2 ∈
(
0,
1
‖A+AT ‖0
)
. (22)
Вiднiмаючи вiд нерiвностi (21) нерiвнiсть (20), отримуємо
〈S (x) (In − C (x)) y, (In − C (x)) y〉 − 〈S (x)C (x) y, C (x) y〉 ≥
≥ ε2 ‖(In − C (x)) y‖2 + ε1 ‖C (x) y‖2 .
Звiдси приходимо до нерiвностi
−〈S (x)C (x) y, y〉 − 〈S (x) y, C (x) y〉+ 〈S (x) y, y〉 ≥ ε2 ‖(In − C (x)) y‖2 + ε1 ‖C (x) y‖2 ≥
≥ min {ε1, ε2}
[
‖(In − C (x)) y‖2 + ‖C (x) y‖2
]
≥ 0, 5 min {ε1, ε2} ‖y‖2 .
Далi, з урахуванням того, що ця нерiвнiсть виконується для довiльних фiксованих ε1 i ε2, що
задовольняють вимоги (16) i (22) вiдповiдно, розглянемо граничний випадок
min {ε1, ε2} →
1
‖A+AT ‖0
i отримаємо 〈[
S (x)− S (x)C (x)− CT (x)S (x)
]
y, y
〉
≥ 1
2 ‖A+AT ‖0
‖y‖2 . (23)
Оскiльки лiва частина останньої нерiвностi тотожно дорiвнює лiвiй частинi нерiвностi (10), це
i завершує доведення теореми 1.
Наслiдок. Нехай iснує деяка симетрична матриця S (x) ∈ C ′ (Rm; f) , яка задовольняє
умову (9) i є невиродженою:
detS (x) 6= 0 ∀x ∈ Rm.
Тодi будь-яка iнша симетрична матриця S̃ (x) ∈ C ′ (Rm; f) , що задовольняє цю ж умову〈[
˙̃S (x) + S̃ (x)A (x) +AT (x) S̃ (x)
]
y, y
〉
≥ ‖y‖2 ∀y ∈ Rn,
також буде невиродженою: det S̃ (x) 6= 0 ∀x ∈ Rm.
Дiйсно, якщо iснує невироджена симетрична матриця S (x) ∈ C ′ (Rm; f) , яка задовольняє
умову (9), то система (1) має єдину функцiю Ґрiна (3) з оцiнкою (4). Таким чином, ми знахо-
димось в умовах теореми 1. При цьому матриця S̃ (x) ∈ C ′ (Rm; f) задовольняє оцiнку (10) i,
очевидно, не може бути виродженою нi при яких значеннях x ∈ Rm.
Теорема 2. Нехай деяка симетрична невироджена матриця S (x) ∈ C ′ (Rm; f) задоволь-
няє умову (9). Тодi обернена матриця S−1 (x) є обмеженою на Rm, причому виконується
оцiнка ∥∥S−1 (x)
∥∥ ≤ ∥∥A+AT
∥∥
0
, (24)
де
∥∥A+AT
∥∥
0
= supx∈Rm
∥∥A (x) +AT (x)
∥∥.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
556 I. М. ГРОД, В. Л. КУЛИК
Доведення. За наслiдком iз теореми 1 iз оцiнки (13) випливає, що
det (S (x) + εIn) 6= 0 ∀x ∈ Rm (25)
при кожному фiксованому дiйсному значеннi ε, що задовольняє нерiвностi (14). Нерiвнiсть (25)
показує, що всi власнi значення λ1, . . . , λn симетричної матрицi S (x) задовольняють нерiвнiсть
|λj | ≥
1
‖A+AT ‖0
. (26)
Щоб переконатися в цьому, зафiксуємо деяке значення x = x0 ∈ Rm i симетричну матрицю S =
= S (x0) зведемо до жорданової форми S = Q−1ΛQ, де Q — ортогональна матриця Q−1 = QT ,
Λ = diag{λ1, . . . , λn} — дiагональна матриця, λj — власнi значення матрицi S (x0). Записуючи
збурену матрицю S + εIn у виглядi S + εIn = Q−1[Λ + εIn]Q, бачимо, що iз нерiвностi (25)
випливає det[Λ + εIn] 6= 0 . Оскiльки значення ε змiнюється в границях (14), то, очевидно,
повинна виконуватись нерiвнiсть (26).
Оцiнюючи обернену матрицю S−1, маємо∥∥S−1∥∥ =
∥∥Q−1Λ−1Q∥∥ ≤ ∥∥Λ−1
∥∥ = max
j
1
|λj |
≤
∥∥A+AT
∥∥
0
,
що й переконує нас в справедливостi оцiнки (24).
Зауваження 2. Визначник матрицi S (x) можна оцiнити таким чином:
|detS (x)| = |det Λ| = |λ1| |λ2| ... |λn| ≥
(
1
‖A+AT ‖0
)n
.
Пiдсумовуючи викладене вище, можна стверджувати, що у випадку, коли система (1) є
регулярною, кожна з симетричних матриць S (x) ∈ C ′ (Rm; f), для яких виконується умова (9),
є невиродженою i, крiм того, обернена матриця S−1 (x) є обмеженою на Rm.
Зауваження 3. Якщо деяка невироджена матриця S (x) ∈ C ′ (Rm; f) задовольняє нерiв-
нiсть (9), то для матрицi −S−1 (x) = S̄ (x) ∈ C ′ (Rm; f) виконується нерiвнiсть〈[
˙̄S (x)− S̄ (x)AT (x)−A (x) S̄ (x)
]
z, z
〉
≥ γ ‖z‖2 ∀z ∈ Rn (27)
де γ =
1
‖S‖20
. Це означає, що похiдна невиродженої квадратичної форми
〈
S̄ (x) z, z
〉
в силу
системи, спряженої по нормальних змiнних до системи (1),
dx
dt
= f (x) ,
dz
dt
= −AT (x) z (28)
є додатно визначеною.
Тепер, припустивши, що при деякiй невиродженiй матрицi S̄ (x) ∈ C ′ (Rm; f) виконується
нерiвнiсть (27), тобто похiдна квадратичної форми W =
〈
S̄ (x) z, z
〉
в силу спряженої системи
(28) є додатно визначеною, можемо також стверджувати, згiдно з останнiм зауваженням, iсну-
вання єдиної функцiї Ґрiна (3) системи (1). Вiдслiдкуємо зв’язок мiж матрицями S̄ (x) i C (x).
З цiєю метою повернемось до нерiвностi (10) i, замiнивши матрицю S̄ (x) на матрицю S̄−1 (x) ,
одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК ФУНКЦIЇ ҐРIНА З ФУНКЦIЯМИ ЛЯПУНОВА В ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕННЯХ . . . 557〈
S̄−1 (x) y, [In − 2C (x)] y
〉
≥ β̄ ‖y‖2 . (29)
В нерiвностi (29) перейдемо до нових змiнних η: η = S̄−1 (x) y i отримаємо〈
η, (In − 2C (x)) S̄ (x) η
〉
≤ −β̄
∥∥S̄ (x) η
∥∥2 .
Упорядкувавши лiву частину отриманої нерiвностi i врахувавши оцiнку∥∥S̄ (x) η
∥∥2 ≥ 1∥∥S̄−1∥∥2
0
‖η‖2 ,
будемо мати 〈
S̄ (x) η,
(
In − 2CT (x)
)
η
〉
≤ −β̄ ‖η‖2 ,
де β̃ =
β̄∥∥S̄−1∥∥2
0
.
Таким чином, пiдсумовуючи викладене вище, приходимо до наступного висновку.
Теорема 3. Кожна невироджена матриця S̄ (x) ∈ C ′ (Rm; f) , для якої виконується умова〈[
˙̄S (x)− S̄ (x)AT (x)−A (x) S̄ (x)
]
z, z
〉
≥ γ ‖z‖2 ∀z ∈ Rn,
задовольняє спiввiдношення〈[
S̄ (x)− C (x) S̄ (x)− S̄ (x)CT (x)
]
y, y
〉
≤ −β̃ ‖y‖2 ,
де C(x) — матриця проектування у структурi функцiї Ґрiна (3) задачi про обмеженi многовиди
системи (1).
З iншого боку, кожна невироджена матриця S (x) ∈ C ′ (Rm; f) , для якої має мiсце нерiв-
нiсть 〈[
Ṡ (x) + S (x)A (x) +AT (x)S (x)
]
z, z
〉
≥ γ ‖z‖2 , γ = const > 0,
пов’язана з функцiєю Ґрiна таким чином:〈[
S (x)− S (x)C (x)− CT (x)S (x)
]
y, y
〉
≥ β ‖y‖2 , β = const > 0.
1. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 270 с.
2. Mitropolsky Yu. A., Samoilenko A. M., Kulik V. L. Dichotomies and stability in nonautonomous linear systems. –
London: Taylor & Francis Inc., 2004.
3. Самойленко А. М. К вопросу существования единственной функции Грина линейного расширения динамиче-
ской системы на торе // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 4. – С. 513 – 521.
4. Бойчук А. А. Условие существования единственной функции Грина – Самойленко задачи об инвариантном торе
// Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 4. – С. 556 – 559.
5. Kenneth J. Palmer. On the reducibility of almost periodic systems of linear differential systems // J. Different. Equat. –
1980. – 36, № 3. – P. 374 – 390.
6. Грод I. М., Кулик В. Л. Побудова функцiй Ляпунова деяких лiнiйних розширень динамiчних систем // Вiсн.
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2010. – Вип. 72. – С. 79 – 93.
Одержано 02.04.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2157 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:46Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ef/cab7db1f673fa1dd0e2893d5764d87ef.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21572019-12-05T10:25:15Z Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems Про зв’язок функції Ґріна з функціями Ляпунова в лінійних розширеннях динамічних систем Hrod, I. M. Kulik, V. L. Грод, І. М. Кулик, В. Л. We study systems of linear extensions for dynamical systems. As a result, we establish the relationship between the design matrices in the structure of Green functions and alternating Lyapunov functions. Исследуются системы линейных расширений динамических систем. Установлена связь между матрицами проектирования в структуре функции Грина и знакопеременными функциями Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2157 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 4 (2014); 551–557 Український математичний журнал; Том 66 № 4 (2014); 551–557 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2157/1316 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2157/1317 Copyright (c) 2014 Hrod I. M.; Kulik V. L. |
| spellingShingle | Hrod, I. M. Kulik, V. L. Грод, І. М. Кулик, В. Л. Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems |
| title | Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems |
| title_alt | Про зв’язок функції Ґріна з функціями Ляпунова в лінійних розширеннях динамічних систем |
| title_full | Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems |
| title_fullStr | Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems |
| title_full_unstemmed | Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems |
| title_short | Relationship Between the Green and Lyapunov Functions in Linear Extensions of Dynamical Systems |
| title_sort | relationship between the green and lyapunov functions in linear extensions of dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2157 |
| work_keys_str_mv | AT hrodim relationshipbetweenthegreenandlyapunovfunctionsinlinearextensionsofdynamicalsystems AT kulikvl relationshipbetweenthegreenandlyapunovfunctionsinlinearextensionsofdynamicalsystems AT grodím relationshipbetweenthegreenandlyapunovfunctionsinlinearextensionsofdynamicalsystems AT kulikvl relationshipbetweenthegreenandlyapunovfunctionsinlinearextensionsofdynamicalsystems AT hrodim prozvâzokfunkcíígrínazfunkcíâmilâpunovavlíníjnihrozširennâhdinamíčnihsistem AT kulikvl prozvâzokfunkcíígrínazfunkcíâmilâpunovavlíníjnihrozširennâhdinamíčnihsistem AT grodím prozvâzokfunkcíígrínazfunkcíâmilâpunovavlíníjnihrozširennâhdinamíčnihsistem AT kulikvl prozvâzokfunkcíígrínazfunkcíâmilâpunovavlíníjnihrozširennâhdinamíčnihsistem |