Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations
We establish the well-posed solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with pseudodifferential operators of infinite order.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2164 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508104616050688 |
|---|---|
| author | Horodets’kyi, V. V. Drin, Ya. M. Городецький, В. В. Дрінь, Я. М. |
| author_facet | Horodets’kyi, V. V. Drin, Ya. M. Городецький, В. В. Дрінь, Я. М. |
| author_sort | Horodets’kyi, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:31Z |
| description | We establish the well-posed solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with pseudodifferential operators of infinite order. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. В. Городецький, Я. М. Дрiнь (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ
ЕВОЛЮЦIЙНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We establish the correct solvability of the nonlocal multipoint in time problem for the evolution equations with pseudodi-
fferential operators of infinite order.
Доказана корректная разрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюционных уравнений
с псевдодифференциальными операторами бесконечного порядка.
Як вiдомо, предметом багатьох дослiджень є псевдодиференцiальнi оператори (ПДО), якi фор-
мально можна подати у виглядi F−1
σ→x
[
a(t, x;σ)Fx→σ
]
, {x, σ} ⊂ Rn, t > 0, де a — функцiя
(символ), що задовольняє певнi умови, F i F−1 — пряме та обернене перетворення Фур’є.
Особливо це стосується ПДО, побудованих за негладкими в точцi σ = 0 i однорiдними за цим
аргументом символами. С. Д. Ейдельман та Я. М. Дрiнь [1 – 3] визначили клас параболiчних
псевдодиференцiальних операторiв (ППДО) з негладкими символами i розпочали дослiдження
класичних розв’язкiв задачi Кошi для еволюцiйних псевдодиференцiальних рiвнянь (ПДР) з
ППДО та їх систем. У працi [4] для параболiчних ПДР встановлено класичну розв’язнiсть
задачi Кошi (при цьому ПДО трактуються як гiперсингулярнi iнтеграли).
У цiй роботi встановлено коректну розв’язнiсть багатоточкової за часом задачi для рiвняння
∂u(t, x)
∂t
= Bu(t, x), де B = f(A), f — цiла функцiя вiд ПДО A, породженого негладким при
σ = 0 символом a(σ). При певних умовах на символ a(σ) тут пiдiбрано простори основних i
узагальнених функцiй, при яких нелокальна задача коректно розв’язна, i знайдено зображення
розв’язку у виглядi згортки граничної функцiї з фундаментальним розв’язком вказаної задачi
(при цьому дослiджено структуру та властивостi фундаментального розв’язку).
Зазначимо, що вперше нелокальну задачу такого типу для параболiчних диференцiаль-
них рiвнянь дослiдив М. I. Матiйчук [5]. Для замкненого оператора у банаховому просторi
М. Л. Горбачуком i В. I. Горбачук у працях [6 – 9] вказано спосiб побудови локально опуклих
просторiв гладких i узагальнених функцiй та встановлено коректну розв’язнiсть рiзних крайо-
вих задач для вказаного рiвняння. Зображення розв’язку при цьому дається через степеневий
ряд вiд експоненти оператора B.
1. Простори основних та узагальнених функцiй. Нехай γ — фiксоване число з множини
(1,+∞) \ {2, 3, 4, . . .}, γ0 := 1 + [γ], M(x) := 1 + |x|, x ∈ R,
Φ =
{
ϕ ∈ C∞(R)
∣∣∣∀k ∈ Z+∃ck > 0 ∀x ∈ R :
∣∣Dk
xϕ(x)
∣∣ ≤ ck(1 + |x|
)−(γ0+k)
}
.
У просторi Φ вводиться структура злiченно-нормованого простору за допомогою норм:
‖ϕ‖p := sup
x∈R
p∑
k=0
M(x)ω0+k
∣∣Dk
xϕ(x)
∣∣, ϕ ∈ Φ, p ∈ Z+,
де ω0 = γ0 − ε, 0 < ε < 1 — фiксований параметр [10].
Позначимо через Φp поповнення Φ за p-ю нормою; Φp — банахiв простiр, при цьому
правильними є вкладення Φp+1 ⊂ Φp, p ∈ Z+; кожне таке вкладення є неперервним, щiльним i
c© В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5 619
620 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
компактним; Φ — повний досконалий злiченно-нормований простiр iз топологiєю проективної
границi банахових просторiв Φp [10].
Функцiї з простору Φ на нескiнченностi спадають до нуля так, що є абсолютно iнтегровними
на R, тому для них визначено операцiю перетворення Фур’є F :
F [ϕ](ξ) =
∫
R
ϕ(x)eixξdx, ϕ ∈ Φ.
Очевидно, що кожна функцiя F [ϕ], ϕ ∈ Φ, є обмеженою i неперервною на R. Наведемо
основнi властивостi функцiй iз простору Ψ := F [Φ], який є Фур’є-образом простору Φ [10]:
1) якщо ϕ ∈ Φ, то F [ϕ] ∈ L1(R) i є нескiнченно диференцiйовною на R \ {0} функцiєю;
2) функцiя Dk
ξF [ϕ](ξ), ξ 6= 0, k ∈ Z+, має скiнченнi одностороннi границi limξ→±0D
k
ξF [ϕ](ξ),
ϕ ∈ Φ. Перетворення Фур’є вiдображає Φ на Ψ взаємно однозначно i неперервно. Для довiльної
функцiї ϕ ∈ Φ ξkF (m)[ϕ] ∈ L1(R), {k,m} ⊂ Z+, k ≥ m; при цьому для функцiй iз простору Ψ
справджуються нерiвностi
∀{k,m} ⊂ Z+, k ≥ m ∃ck > 0 ∃cm > 0 : sup
ξ∈R\{0}
∣∣ξkF (m)[ϕ](ξ)
∣∣ ≤ ckcm, ϕ ∈ Φ,
де ck ≤ cAkkk
(
c, A > 0; сталi c, A залежать лише вiд функцiї F [ϕ]
)
.
У просторi Ψ вводиться структура злiченно-нормованого простору [10]:
‖ψ‖p := sup
R\{0}
{
p∑
k=0
|ξ|k
∣∣Dk
ξψ(ξ)
∣∣}, ψ ∈ Ψ, p ∈ Z+.
Символом Φ′ позначимо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв на Φ зi слабкою
збiжнiстю. Оскiльки в основному просторi Φ введено топологiю проективної границi банахових
просторiв Φp, причому вкладення Φp+1 ⊂ Φp, p ∈ Z+, неперервнi, щiльнi та компактнi, то
(див. [10]) Φ′ = (limp→∞ pr Φp)
′ = limp→∞ ind Φ′p. Отже, якщо f ∈ Φ′, то f ∈ Φ′p при деякому
p ∈ Z+. Найменше з таких p називається порядком f, тобто кожна узагальнена функцiя f ∈ Φ′
має скiнченний порядок.
Якщо f ∈ Φ′, ϕ ∈ Φ, то, як доведено в [10], iснує згортка f ∗ϕ, яка визначається формулою
f ∗ ϕ = 〈f, T−xϕ̌〉, де ϕ ∈ Φ, T−x — оператор зсуву аргументу, ϕ̌(ξ) = ϕ(−ξ).
Оскiльки F [ϕ] ∈ Φ, якщо ϕ ∈ Ψ
(
F [ϕ(x)] = 2πF−1
[
ϕ(−x)
]
∈ Φ
)
, то перетворення
Фур’є узагальненої функцiї f ∈ Φ′ визначимо за допомогою спiввiдношення
〈
F [f ], ϕ
〉
=
=
〈
f, F [ϕ]
〉
∀ϕ ∈ Ψ. Звiдси, iз властивостей лiнiйностi i неперервностi функцiонала f та пере-
творення Фур’є основних функцiй випливає лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiонала F [f ] над
простором Ψ. Отже, перетворення Фур’є узагальненої функцiї f, заданої на Φ, є узагальненою
функцiєю на просторi F [Φ].
Нехай f ∈ Φ′. Якщо f ∗ϕ ∈ Φ ∀ϕ ∈ Φ i iз спiввiдношення ϕν → 0 при ν →∞ за топологiєю
простору Φ випливає, що f ∗ ϕν → 0 при ν → ∞ за топологiєю простору Φ, то функцiонал f
називається згортувачем у просторi Φ. Символом Φ′∗ позначимо сукупнiсть усiх згортувачiв у
просторi Φ. Якщо f ∈ Φ′∗, то, як доведено в [10], для довiльної функцiї ϕ ∈ Φ правильною є
формула F [f ∗ ϕ] = F [f ] · F [ϕ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 621
2. ПДО нескiнченного порядку. Нехай a : R → [0,+∞) — неперервна однорiдна порядку
γ > 1 (γ 6= 2, 3, 4, . . .) функцiя, яка: 1) нескiнченно диференцiйовна на R \ {0}; 2) для похiдних
функцiї a справджуються оцiнки
∣∣a(k)(ξ)
∣∣ ≤ ck|ξ|γ−k, k ∈ N, ξ ∈ R \ {0}; 3) iснують сталi c′0,
c̃0 > 0, δ̃ ≥ γ такi, що c′0|ξ|γ ≤ a(ξ) ≤ c̃0
(
1 + |ξ|δ̃
)
.
Iз умов 1 – 3 випливає, що функцiя a є мультиплiкатором у просторi Ψ [10]. Отже, оператор
A, який задається правилом Aϕ = F−1
[
aF [ϕ]
]
, ϕ ∈ Φ, вiдображає Φ в себе, є лiнiйним i
неперервним.
Говоритимемо, що у просторi Φ задано ПДО нескiнченного порядку f(A) :=
∑∞
n=0
cnA
n,
якщо для довiльної основної функцiї ϕ ∈ Φ ряд
(f(A)ϕ)(x) :=
∞∑
n=0
cn(Anϕ)(x), f(x) =
∞∑
n=0
cnx
n, x ∈ R,
зображує деяку основну функцiю з простору Φ, де f належить C∞(R) i задовольняє умови:
функцiя f допускає аналiтичне продовження в усю комплексну площину i
∃c > 0 ∃a > 0 ∃h ≥ 1 ∀z = x+ iy ∈ C :
∣∣f(z)
∣∣ ≤ c(1 + |x|
)h
exp
{
a|y|α
}
(α ∈ (0, 1) — фiксоване число).
Тодi, як доведено в [11], у просторi Φ визначено неперервний ПДО нескiнченного порядку
f(A) ≡ Af . Далi вважатимемо, що f додатково задовольняє умову: ∃d0 > 0 ∀x ∈ R : f(x) ≥
≥ d0|x|.
3. Нелокальна багатоточкова за часом задача. Розглянемо еволюцiйне рiвняння
∂u
dt
+Afu = 0, (t, x) ∈ (0, T ]× R ≡ Ω, (1)
де Af = f(A) — ПДО нескiнченного порядку, побудований у п. 2, який дiє у просторi Φ. Для
(1) задамо багатоточкову нелокальну за часом задачу
µu(t, ·)|t=0 − µ1u(t, ·)|t=t1 − . . .− µmu(t, ·)|t=tm = g, (2)
де m ∈ N, {µ, µ1, . . . , µm} ⊂ (0,+∞), {t1, . . . , tm} ⊂ (0, T ] — фiксованi числа, причому
µ >
∑m
k=1
µk, g ∈ Φ.
Класичний розв’язок u ∈ C1((0, T ],Φ) задачi (1), (2) шукаємо за допомогою перетворення
Фур’є у виглядi u(t, x) = F
[
v(t, ·)
]
(x). Для функцiй v : Ω → R отримуємо задачу з парамет-
ром σ:
dv(t, σ)
dt
+ f
(
a(σ)
)
v(t, σ) = 0, (t, σ) ∈ Ω, (3)
µv(t, σ)|t=0 −
m∑
k=1
µkv(t, σ)|t=tk = g̃(σ), σ ∈ R, (4)
де g̃(σ) = F−1[g](σ). Загальний розв’язок рiвняння (3) має вигляд
v(t, σ) = c(σ)exp
{
− tf
(
a(σ)
)}
, (t, σ) ∈ Ω, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
622 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
де c = c(σ) визначимо з умови (4). Пiдставляючи (5) в (4), знаходимо
c(σ) = g̃(σ)
(
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
− tkf
(
a(σ)
)})−1
, σ ∈ R.
Отже, формальним розв’язком задачi (1), (2) є функцiя
u(t, x) = (2π)−1
∫
R
v(t, σ)e−ixσdσ.
Нехай G(t, x) = F−1
[
Q(t, σ)
]
, де Q(t, σ) = Q1(t, σ)Q2(σ), Q1(t, σ) = exp
{
− tf
(
a(σ)
)}
,
Q2(σ) =
(
µ−
∑m
k=1
µk exp
{
− tkf
(
a(σ)
)})−1
. Тодi, мiркуючи формально, отримуємо
u(t, x) =
∫
R
G(t, x− ξ)g(ξ)dξ = G(t, x) ∗ g(x), (t, x) ∈ Ω.
Справдi,
u(t, x) =
1
2π
∫
R
Q(t, σ)
∫
R
g(ξ)e−iσξdξ
eiσxdσ =
∫
R
1
2π
∫
R
Q(t, σ)eiσ(x−ξ)dσ
×
×g(ξ)dξ =
∫
R
G(t, x− ξ)g(ξ)dξ = G(t, x) ∗ g(x), (t, x) ∈ Ω. (6)
Коректнiсть проведених тут перетворень та збiжнiсть вiдповiдних iнтегралiв, а отже пра-
вильнiсть формул (6), випливають iз властивостей функцiї G, якi ми наведемо нижче. Власти-
востi функцiї G пов’язанi з властивостями функцiї Q, оскiльки G = F−1[Q]. Отже, насамперед
дослiдимо властивостi функцiї Q як функцiї аргументу x.
Лема 1. Для похiдних функцiї Q(t, ξ) при ξ 6= 0 правильними є оцiнки∣∣Ds
ξQ(t, ξ)
∣∣ ≤ βstsα|ξ|ωs−se−d′0t|ξ|γ , s ∈ N, (7)
де сталi βs, d′0 > 0 не залежать вiд t, α = 1, ωs = γ при |ξ| < 1, ξ 6= 0, i α = 1−h/γ, ωs = sγ
при |ξ| ≥ 1.
Доведення. Для доведення скористаємося формулою Фаа де Бруно диференцiювання складе-
ної функцiї
Ds
ξF (θ(ξ))=
s∑
m=1
dm
dgm
F (θ)
∑
m1+...+ml=m
m1+2m2+...+lml=s
s!
m1! . . .ml!
( 1
1!
d
dξ
θ(ξ)
)m1
. . .
( 1
l!
dl
dξl
θ(ξ)
)ml
, (8)
де покладемо F = eθ, θ = −tf
(
a(ξ)
)
. Тодi
Ds
ξe
−tf(a(ξ)) = e−tf(a(ξ))
s∑
m=1
∑ s!
m1! . . .ml!
(−t)m1+2m2+...+lmlΛ, ξ 6= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 623
Тут символом Λ позначено вираз
Λ :=
(
d
dξ
f
(
a(ξ)
))m1
(
1
2!
d2
dξ2
f
(
a(ξ)
))m2
. . .
(
1
l!
dl
dξl
f
(
a(ξ)
))ml
.
Для оцiнки Λ скористаємося оцiнками похiдних функцiї f(a(ξ)) при ξ 6= 0, наведеними у
працi [11] (при встановленнi цих оцiнок також було використано формулу Фаа де Бруно): якщо
|ξ| < 1, ξ 6= 0, то ∣∣∣Ds
ξf
(
a(ξ)
)∣∣∣ ≤ b0cs0s!|ξ|γ−s(1 + |ξ|
)h
, s ∈ N; (9)
якщо |ξ| ≥ 1, то ∣∣∣Ds
ξf
(
a(ξ)
)∣∣∣ ≤ b0cs0s!|ξ|s(γ−1)
(
1 + |ξ|
)h
, s ∈ N. (10)
1. Нехай |ξ| < 1, ξ 6= 0. Тодi з урахуванням (9) прийдемо до оцiнок
|Λ| ≤ bm0 cs0|ξ|γ(m)|ξ|−s
(
1 + |ξ|
)hm ≤
≤ b̃s0cs0|ξ|γm−s
(
1 + |ξ|
)hs ≤ b̃s0cs0|ξ|γ−s(1 + |ξ|
)hs
, b0 = max{1, b0}.
2. Якщо |ξ| ≥ 1, то з урахуванням (10)
|Λ| ≤ bm0 cs0|ξ|m(γ−1)
(
1 + |ξ|
)hm ≤ b̃s0cs0|ξ|s(γ−1)
(
1 + |ξ|
)hs
.
Об’єднавши цi нерiвностi в одну, переконаємося, що для похiдних функцiї Q1(t, ξ) за змiн-
ною ξ правильними є нерiвностi∣∣Ds
ξQ1(t, ξ)
∣∣ ≤ βs0ts|ξ|ωs−se−d0t|ξ|γ(1 + |ξ|
)hs
, s ∈ N,
де ωs = γ при |ξ| < 1, ξ 6= 0, i ωs = sγ при |ξ| ≥ 1.
Взявши до уваги нерiвностi
(
1 + |ξ|
)hs ≤ 2hs, якщо |ξ| < 1, ξ 6= 0, та (1 + |ξ|)hs ≤ 2hs|ξ|hs,
якщо |ξ| ≥ 1, а також нерiвнiсть (див. [12, с. 204])
e−d
′
0t|ξ|γ = e−((d′0t)
h/γ |ξ|h)γ/h ≤ Ast−sh/γssh/γ |ξ|−hs, s ∈ N, d′0 = d0/2,
знайдемо, що при |ξ| ≥ 1 правильною є оцiнка e−d
′
0t|ξ|γ
(
1 + |ξ|
)hs ≤ As1t
−sh/γssh/γ , s ∈ N.
Отже, ∣∣Ds
ξQ1(t, ξ)
∣∣ ≤ βs1tsαssh/γs!e−d′0t|ξ|γ |ξ|ωs−s, ξ 6= 0, s ∈ N,
де α = 1, якщо |ξ| < 1, ξ 6= 0, i α = 1− h/γ, якщо |ξ| ≥ 1.
Якщо ввести позначення βs = βs1s!s
sh/γ , то прийдемо до нерiвностей (7).
Лему доведено.
Зауваження 1. Iз доведеного твердження випливає, що функцiя Q1(t, ξ), як функцiя ξ, при
кожному t > 0 є елементом простору Ψ.
Лема 2. Функцiя Q2 є мультиплiкатором простору Ψ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
624 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
Доведення. Зафiксуємо s ∈ N. Для оцiнки похiдних функцiї Q2(ξ) скористаємося форму-
лою Фаа де Бруно (8), в якiй покладемо F = g−1, g = R, де R(ξ) = µ −
∑m
k=1
µkQ1(tk, ξ).
Тодi Q2(ξ) = F
(
R(ξ)
)
i dmF (R)/dgm = (−1)mm!R−(m+1). Iз урахуванням нерiвностей (7)
знайдемо ∣∣∣ 1
l!
dl
dξl
R(ξ)
∣∣∣ ≤ 1
l!
m∑
k=1
µk
∣∣∣∣ dldξlQ1(t, ξ)
∣∣∣∣ ≤ 1
l!
m∑
k=1
µkβlt
lα
k |ξ|
ωl−le−d
′
0tk|ξ|γ ≤
≤ β̃lT lα
m∑
k=1
µk · |ξ|ωk−le−d
′
0t1|ξ|γ ≤ ˜̃
βl|ξ|ωl−le−d̃0|ξ|
γ
, d̃0 = d′0t1, ξ ∈ R.
Тодi для |ξ| ≥ 1 матимемо
Λ̃ :=
∣∣∣∣( d
dξ
R(ξ)
)m1
∣∣∣∣ . . . ∣∣∣∣( 1
l!
dl
dξl
R(ξ)
)ml∣∣∣∣ ≤ β′s|ξ|ωs−se−d̃0|ξ|γ .
Якщо |ξ| < 1, ξ 6= 0, то Λ̃ ≤ β′s|ξ|γ−se−d̃0|ξ|
γ
.
Оскiльки Q1(tk, ξ) ≤ 1, k ∈ {1, . . . ,m}, ξ ∈ R, то R(ξ) ≥ µ−
∑m
k=1
µk ≡ µ0. Отже, µ0 > 0
i R−(m+1)(ξ) ≤ µ−(m+1)
0 , ξ ∈ R. Звiдси випливає також, що
Q2(ξ) = R−1(ξ) ≤ µ−1
0 .
Пiдсумовуючи, одержуємо∣∣Ds
ξQ2(ξ)
∣∣ ≤ δs|ξ|ωs−se−d̃0|ξ|γ , ξ ∈ R, s ∈ N.
З останнiх нерiвностей та обмеженостi на R функцiї Q2 випливає, що вона є мультиплiкатором
у просторi Ψ.
Лему доведено.
Наслiдок 1. При фiксованому t ∈ (0, T ] функцiя Q(t, ξ) = Q1(t, ξ)Q2(ξ), ξ ∈ R, є елемен-
том простору Ψ, при цьому справджуються оцiнки∣∣Ds
ξQ(t, ξ)
∣∣ ≤ β̃s|ξ|ωs−se−d′0t|ξ|γ , s ∈ Z+, ξ 6= 0, (11)
сталi β̃s > 0 залежать вiд T, d′0 > 0 не залежить вiд t та s, ωs = γ при |ξ| < 1, ξ 6= 0, i
ωs = sγ при |ξ| ≥ 1.
Врахувавши властивостi перетворення Фур’є (прямого та оберненого) та спiввiдношення
F−1[Ψ] = Φ, знайдемо, що G(t, ·) = F−1
[
Q(t, ·)
]
∈ Φ при кожному t ∈ (0, T ]. Видiлимо в
оцiнках функцiї G та її похiдних (за змiнною x) залежнiсть вiд параметра t, якщо t ∈ (0, T ∗],
де T ∗ = T при T ≤ 1 i T ∗ = 1 при T > 1.
Лема 3. Для функцiї G(t, x), t ∈ (0, T ∗], x ∈ R, та її похiдних (за змiнною x) правильними
є оцiнки:∣∣Dk
xG(t, x)
∣∣ ≤ ckt−δk((1 + |x|)1+[γ]+k
)−1
, t ∈ (0, T ∗], x ∈ R, k ∈ Z+, (12)
де δk = [γ] + {γ}/γ + k при x 6= 0 i δk = (1 + k)/γ при x = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 625
Доведення. Нехай k = 0. Якщо x 6= 0, то, iнтегруючи частинами s = 1+[γ] разiв, записуємо
G(t, x) у виглядi
G(t, x) = (2π)−1 lim
ε→+0
∫
|ξ|≥ε
Q(t, ξ)e−ixξdξ =
= (2π)−1 c̃
xs
lim
ε→+0
∫
|ξ|≥ε
Ds
ξQ(t, ξ)e−ixξdξ + Φ(ε, x)
≡ lim
ε→+0
I(x, ε).
Символом Φ(ε, x) позначено позаiнтегральний вираз, який складається iз доданкiв вигляду
Dl
ξQ(t, ξ)e−ixξ, 0 ≤ l ≤ s − 1, iз значеннями у точках ξ 6= ±ε. Iз оцiнок похiдних функцiї
Q(t, ξ) випливає, що для |ξ| < 1, ξ 6= 0,
∣∣Dl
ξQ(t, ξ)
∣∣ ≤ c|ξ|γ−l, при цьому 0 < {γ} ≤ γ − l ≤ γ,
якщо 0 ≤ l ≤ s−1, s−1 = [γ]. Звiдси отримуємо, що limε→+0 Φ(ε, x) = 0 у кожнiй точцi x ∈ R.
На нескiнченностi вказанi позаiнтегральнi доданки дорiвнюють нулю за рахунок спадання на
нескiнченностi функцiї Q(t, ξ) та її похiдних.
Врахувавши (11), знайдемо, що при s = 1 + [γ], x 6= 0
∣∣I(x, ε)
∣∣ ≤ β̃s
|x|s
∫
|ξ|≥ε
|ξ|ωs−se−d′0t|ξ|γdξ ≤ 2β̃s
|x|s
∞∫
0
ξωs−se−d
′
0tξ
γ
dξ.
Iнтеграл в останнiй нерiвностi має iнтегровну особливiсть у точцi ξ = 0. Справдi, оскiльки
ωs = γ при |ξ| < 1, ξ 6= 0, то при вказаному виборi s маємо s − ωs = 1 + [γ] − γ, тобто
0 < s− ω < 1.
Введемо позначення
I(t) :=
∞∫
0
ξωs−se−d
′
0tξ
γ
dξ ≡ I1(t) + I2(t), s = 1 + [γ],
де
I1(t) =
1∫
0
ξωs−se−d
′
0tξ
γ
dξ, I2(t) =
+∞∫
1
ξωs−se−d
′
0tξ
γ
dξ.
Iнтеграл I1(t) є збiжним:
I1(t) ≤
1∫
0
dξ
ξs−ωs
=
1∫
0
dξ
ξ1−{γ} < +∞.
Оцiнимо I2(t), видiливши залежнiсть вiд параметра t; при цьому врахуємо, що |ξ| ≥ 1, ωs = sγ,
s = 1 + [γ]. Отже,
I2(t) ≤
∞∫
0
ξ{γ}+γ[γ]−1e−d
′
0tξ
γ
dξ = d̃0t
−([γ]+{γ}/γ)
+∞∫
0
y{γ}+γ[γ]−1e−ydy ≤ ˜̃
d0t
−([γ]+{γ}/γ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
626 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
Отже, для I(x, ξ) при x 6= 0 виконується нерiвнiсть
|I(x, ε)| ≤ β̃s
|x|1+[γ]
t−([γ]+{γ}/γ), t ∈ (0, T ∗]. (13)
Виконавши у (13) граничний перехiд при ε→ +0, знайдемо, що
∣∣G(t, x)
∣∣ при x 6= 0 оцiнюється
так:
∣∣G(t, x)
∣∣ ≤ β(|x|1+[γ]
)−1
t−([γ]+{γ}/γ), t ∈ (0, T ∗].
Крiм того, з умов, якi задовольняють функцiї f та a, випливає
∣∣G(t, x)
∣∣ =
1
2π
∣∣∣∣∣∣
∫
R
Q(t, ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
2π
∫
R
e−tf(a(ξ))dξ ≤ 1
2π
∫
R
e−d0t|ξ|
γ
dξ = c0t
−1/γ ,
∣∣G(t, x)
∣∣ ≤ c0t
−1/γ ∀x ∈ R.
Крiм того, G(t, ·) належить Φ при кожному t ∈ (0, T ], при цьому∣∣G(t, x)
∣∣ ≤ c(
1 + |x|
)1+[γ]
, t ∈ (0, T ], x ∈ R, c = c(t) > 0.
З урахуванням отриманих ранiше оцiнок прийдемо до нерiвностi∣∣G(t, x)
∣∣ ≤ βt−δ0
(1 + |x|)1+[γ]
, t ∈ (0, T ∗], x ∈ R,
де δ0 = [γ] + {γ}/γ при x 6= 0 i δ0 = 1/γ при x = 0.
Нехай k ∈ N. Застосуємо оператор Dk
x пiд знаком iнтеграла
(2π)−1
∫
R
Q(t, ξ)e−ixξdξ = G(t, x),
тодi
Dk
xG(t, x) = (2π)−1(−i)k
∫
R
Q(t, ξ)ξke−ixξdξ.
Мiркуючи, як i у випадку k = 0, iнтегруючи частинами s = 1 + [γ] + k разiв, знаходимо
Dk
xG(t, x) =
Cs
xs
∫
R
Ds
ξ(Q(t, ξ)ξk)e−ixξdξ, x 6= 0.
Враховуючи формулу диференцiювання добутку двох функцiй, одержуємо, що оцiнка похiдних
функцiї G зводиться до оцiнки суми iнтегралiв вигляду
Cs
|x|s
∫
R
|ξ|k
∣∣Ds
ξQ(t, ξ)
∣∣dξ + ks
∫
R
|ξ|k−1
∣∣Ds−1
ξ Q(t, ξ)
∣∣dξ+
+k(k − 1)
s(s− 1)
2!
∫
R
|ξ|k−2
∣∣Ds−2
ξ Q(t, ξ)
∣∣dξ + . . .
, (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 627
причому кожен iз iнтегралiв у (14) має особливiсть у точцi ξ = 0. При вказаному виборi s сума
(14) мiстить k доданкiв, де останнiй доданок має вигляд Ck1+[γ]+kk!
∫
R
∣∣D1+[γ]
ξ Q(t, ξ)
∣∣dξ, при
цьому всi iнтеграли збiгаються.
Справдi, розглянемо один iз доданкiв у сумi (14), що вiдповiдає iндексу k − p, 0 ≤ p ≤ k :
2k(k − 1) . . . (k − p)Ck−p1+[γ]+kJ, J =
+∞∫
0
ξk−p
∣∣Ds−p
ξ Q(t, ξ)
∣∣dξ, s = 1 + [γ] + k.
З оцiнок (11) випливає, що для t ∈ (0, T ∗]
J ≤ β
∞∫
0
ξkpξωs−p−(s−p)e−d
′
0tξ
γ
dξ = β̃t−1/γt
− k−p
γ t
−
ωs−p−(s−p)
γ
∞∫
0
yk−pyωs−p−(s−p)e−ydy. (15)
В околi точки ξ = 0 (ξ < 1, ξ 6= 0) пiдiнтегральна функцiя допускає оцiнку
yk−pyωs−p−(s−p)e−y ≤ yk−p+γ−(s−p) = yk+γ−s = y{γ}−1, s = 1 + [γ] + k,
звiдки i випливає збiжнiсть вiдповiдного невласного iнтеграла, оскiльки 0 < 1−{γ} < 1. Далi,
як i у випадку k = 0, враховуючи (15), отримуємо оцiнку (12).
Зауваження 2. Оскiльки t ∈ (0, T ∗], то з (12) випливає, що для функцiї G та її похiдних
правильними є також оцiнки∣∣Dk
xG(t, x)
∣∣ ≤ c̃kt
−([γ]+{γ}/γ+k)
(1 + |x|)1+[γ]+k
, k ∈ Z+, t ∈ (0, T ∗], x ∈ R,
де δ̃k = [γ] + {γ}/γ + k, а функцiя
G(t, x) = (2π)−1
∫
R
Q(t, ξ)e−iξxdξ (16)
є неперервно диференцiйовною функцiєю аргументу t ∈ (0, T ].
Лема 4. Функцiя G(t, x) (16), як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у прос-
торi Φ, є диференцiйовною по t.
Доведення. Необхiдно показати, що граничне спiввiдношення
Φ∆t(x) :=
G(t+ ∆t, x)−G(t, x)
∆t
−→ ∂
∂t
G(t, x), ∆t→ 0,
виконується в розумiннi збiжностi у просторi Φ [10], тобто: 1) ∀m ∈ Z+ : Dm
x Φ∆t ⇒
⇒ Dm
x
(
∂
∂t
G(t, ·)
)
, ∆t → 0, на кожному вiдрiзку [a, b] ⊂ R; 2) ∀p ∈ Z+ ∃c(p) > 0: ‖Φ∆t‖p ≤
≤ cp, де стала cp не залежить вiд ∆t.
Функцiя G є диференцiйовною по t у звичайному розумiннi, тому Φ∆t(x) = G′(t+ θ∆t, x),
0 < θ < 1. Отже,
Dm
x Φ∆t(x) = −(2π)−1
∫
R
(−iξ)mf
(
a(ξ)
)
Q(t+ θ∆t, ξ)e−ixξdξ, m ∈ Z+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
628 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
Dm
x
(
∂
∂t
G(t, x)
)
= −(2π)−1
∫
R
(−iξ)mf
(
a(ξ)
)
Q(t, ξ)e−ixξdξ, m ∈ Z+.
Вважаємо, що ∆t — настiльки мала за модулем величина, що t/2 < t + θ∆t < T для
довiльного фiксованого t ∈ (0, T ). Тодi∣∣∣∣Dm
x
(
Φ∆t(x)− ∂
∂t
G(t, x)
)∣∣∣∣ ≤
≤ (2π)−1
∫
R
|ξ|m
∣∣∣f(a(ξ)
)∣∣∣e−t̃f(a(ξ))
∣∣Q2(ξ)
∣∣dξθ|∆t| ≤ ct,m · |∆t|, t̃ > 0
(збiжнiсть останнього iнтеграла випливає з умов, якi задовольняють функцiї f та a). Якщо
t = T, то розглядаються вiдповiднi одностороннi похiднi у цiй точцi. Звiдси отримуємо, що
Dm
x Φ∆t → Dm
x
(
∂
∂t
G(t, ·)
)
, ∆t→ 0, m ∈ Z+,
рiвномiрно вiдносно x ∈ [a, b] ⊂ R, що й потрiбно було довести.
Доведемо, що умова 2 також виконується. Для цього насамперед проведемо оцiнювання
похiдних (по x) функцiї Φ∆t(x). Якщо x 6= 0, ξ 6= 0, то, iнтегруючи частинами s = 1 + [γ] +m
разiв, маємо
|Dm
x Φ∆t(x)| ≤ c
|x|s
∣∣∣ ∫
R
Dm
ξ (ξmf(a(x))Q(t+ θ∆t, ξ))e−ixξdξ
∣∣∣
(те, що позаiнтегральнi доданки дорiвнюють нулевi, обґрунтується, як i при доведеннi леми 3).
Отже, ∣∣Dm
x Φ∆t(x)
∣∣ ≤ c
|x|s
∫
R
∣∣∣Ds
ξ
(
ξmf
(
a(x)
))
Q(t+ θ∆t, ξ)
∣∣∣ dξ ≤
≤ c
|x|s
s∑
k=0
Cks
∫
R
∣∣∣Dk
ξ
(
ξmf
(
a(ξ)
))∣∣∣ ∣∣∣Ds−k
ξ Q(t+ θ∆t, ξ)
∣∣∣dξ ≤
≤ c
|x|s
s∑
k=0
Cks β̃s−k
∫
R
|ξ|ωs−k−(s−k)e−d
′
0t|ξ|γ
∣∣∣Dk
ξ
(
ξmf
(
a(ξ)
))∣∣∣ dξ
(тут ми використали оцiнки похiдних функцiї Q(t, ξ), наведенi у наслiдку 1). Крiм того,∣∣∣Dk
ξ
(
ξmf
(
a(ξ)
))∣∣∣ ≤ ∣∣∣ξmDk
ξ f
(
a(ξ)
)∣∣∣+mk
∣∣∣ξm−1Dk−1
ξ f
(
a(ξ)
)∣∣∣+
+
1
2!
m(m− 1)k(k − 1)
∣∣∣ξm−2Dk−2
ξ f
(
a(ξ)
)∣∣∣+ . . .
. . .+m(m− 1) . . .
(
m− (k − 1)
)∣∣∣ξm−kf(a(ξ)
)∣∣∣, k ≤ m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 629
Якщо |ξ| < 1, ξ 6= 0, то з оцiнок функцiї f
(
a(ξ)
)
та її похiдних, наведених в [11], випливає,
що ∣∣Dk−j
ξ f
(
a(ξ)
)∣∣ ≤ ck−j |ξ|γ−(k−j), 0 ≤ j ≤ k;
якщо |ξ| ≥ 1, то (див. [11])∣∣Dk−j
ξ f
(
a(ξ)
)∣∣ ≤ c̃k−j |ξ|ωk−j−(k−j)+1 ≡ c̃k−j |ξ|(k−j)(γ−1)+1.
Якщо s = 1 + [γ] + m, то в околi точки ξ = 0 пiдiнтегральна функцiя у кожному доданку
вигляду ∫
R
e−d
′
0t|ξ|γ |ξ|ωs−k−(s−k)|ξ|m−j
∣∣Dk−j
ξ f
(
a(ξ)
)∣∣dξ, 0 ≤ j ≤ k, 0 ≤ k ≤ s,
еквiвалентна функцiї |ξ|−(1+[γ]−γ) = |ξ|−(1−{γ}), де 0 < 1 − {γ} < 1, тобто всi такi невласнi
iнтеграли з особливою точкою ξ = 0 є збiжними. Збiжнiсть цих iнтегралiв на нескiнченностi
забезпечується тим, що функцiя f(a) разом з усiма своїми похiдними на нескiнченностi зростає
не швидше за степеневу функцiю.
Отже, при |x| ≥ 1 з наведених вище оцiнок випливає нерiвнiсть∣∣Dm
x Φ∆t(x)
∣∣ ≤ cm|x|−(1+[γ]+m), m ∈ Z+,
де сталi cm > 0 не залежать вiд ∆t та x. Тодi
p∑
m=0
M(x)ω0+m
∣∣Dm
x Φ∆t(x)
∣∣ ≤ cp, cp =
p∑
m=0
2γ0+mcm,
де p ∈ Z+ — фiксоване число. Якщо ж |x| ≤ 1, то
∣∣Dm
x Φ∆t(x)
∣∣ ≤ c̃m, де сталi c̃m > 0 також не
залежать вiд ∆t та x. Отже, для x, |x| < 1, правильною є оцiнка
p∑
m=0
M(x)ω0+m
∣∣Dm
x Φ∆t(x)
∣∣ ≤ c̃p, c̃p =
p∑
m=0
2γ0+mc̃m.
Пiдсумовуючи, можемо стверджувати, що для довiльного фiксованого p ∈ Z+ справджується
нерiвнiсть
sup
x∈R
{
p∑
m=0
M(x)ω0+m
∣∣Dm
x Φ∆t(x)
∣∣} ≤ c′p,
де c′p > 0 не залежить вiд ∆t, тобто ∀p ∈ Z+ ∃c′p > 0: ‖Φ∆t‖p ≤ c′p.
Лему доведено.
Наслiдок 2. Правильною є формула
∂
∂t
(
g ∗G(t, ·)
)
= g ∗ ∂
∂t
G(t, ·) ∀g ∈ Φ′, t ∈ (0, T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
630 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
Доведення. За означенням згортки узагальненої функцiї з основною маємо
g ∗G(t, ·) = 〈gξ, T−xǦ(t, ξ)〉, Ǧ(t, ξ) = G(t,−ξ).
Тодi
∂
∂t
(
g ∗G(t, x)
)
= lim
∆t→0
1
∆t
[(
f ∗G(t+ ∆t, x)
)
−
(
f ∗G(t, x)
)]
=
= lim
∆t→0
〈
fξ,
1
∆t
[
T−xǦ(t+ ∆t, ξ)− T−xǦ(t, ξ)
]〉
.
Згiдно з лемою 4 граничне спiввiдношення
1
∆t
[
T−xǦ(t+ ∆t, ·)− T−xǦ(t, ·)
]
−→
∆t→0
∂
∂t
T−xǦ(t, ·)
виконується в сенсi збiжностi за топологiєю простору Φ, тому, з урахуванням неперервностi
функцiонала f, маємо
∂
∂t
(
g ∗G(t, ·)
)
=
〈
gξ, lim
∆t→0
1
∆t
[
T−xǦ(t+ ∆t, ξ)− T−xǦ(t, ξ)
]〉
=
= 〈gξ,
∂
∂t
T−xǦ(t, ξ)]
〉
=
〈
gξ, T−x
∂
∂t
Ǧ(t, ξ)]
〉
= g ∗ ∂G(t, x)
∂t
.
Твердження доведено.
Лема 5. У просторi Φ′ справджується граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
G(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
G(t, ·) = δ (17)
(δ — дельта-функцiя Дiрака).
Доведення. Використавши властивiсть неперервностi перетворення Фур’є та функцiїG(t, ·),
як абстрактної функцiї параметра t iз значеннями у просторi Φ, спiввiдношення (17) замiнимо
еквiвалентним граничним спiввiдношенням
µ lim
t→+0
F
[
G(t, ·)
]
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
F
[
G(t, ·)
]
= F [δ] (18)
у просторi Ψ′. Урахувавши зображення (16) функцiї G, запишемо (18) у виглядi
µ lim
t→+0
Q(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
Q(t, ·) = 1. (19)
Для доведення (19) виберемо довiльну функцiю ϕ ∈ Ψ i, використавши теорему про гранич-
ний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега, знайдемо
µ lim
t→+0
〈
Q(t, ·), ϕ〉 −
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈Q(t, ·), ϕ
〉
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 631
= µ lim
t→+0
∫
R
Q(t, σ)ϕ(σ)dσ −
m∑
k=1
µk lim
t→tk
∫
R
Q(t, σ)ϕ(σ)dσ =
=
∫
R
[
µQ(0, σ)−
m∑
k=1
µkQ(tk, σ)
]
ϕ(σ)dσ =
=
∫
R
µ
µ−
∑m
k=1
Q1(tk, σ)
−
m∑
k=1
µk
Q1(tk, σ)
µ−
∑m
l=1
µlQ1(tl, σ)
ϕ(σ)dσ =
=
∫
R
µ−
∑m
k=1
µkQ1(tk, σ)
µ−
∑m
k=1
µkQ1(tk, σ)
ϕ(σ)dσ =
∫
R
ϕ(σ)dσ = 〈1, ϕ〉.
Звiдси випливає, що спiввiдношення (19) виконується у просторi Ψ′, а отже, правильним є
спiввiдношення (17).
Лему доведено.
Наслiдок 3. Нехай ω(t, x) = g ∗G(t, x), g ∈ Φ′∗, (t, x) ∈ Ω. Тодi у просторi Φ′ справджу-
ється граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
ω(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
ω(t, ·) = g. (20)
Функцiя G є розв’язком рiвняння (1). Справдi,
∂
∂t
G(t, x) =
∂
∂t
F−1
[
Q(t, σ)
]
= F−1
[
∂
∂t
Q(t, σ)
]
.
З iншого боку,
AfG(t, x) = F−1
σ→x
[
f(σ)Fx→σ
[
G(t, x)
]]
= F−1
[
f(σ)Q(t, σ)
]
= −F−1
[
∂
∂t
Q(t, σ)
]
,
звiдки й випливає, що функцiя G задовольняє рiвняння (1).
З наслiдку 3 випливає, що для рiвняння (1)m-точкову за часом задачу можна сформулювати
так: знайти розв’язок u ∈ C1
(
(0, T ],Φ
)
рiвняння (1), який задовольняє умову
µ lim
t→+0
u(t, ·)−
∑
k=1
µk lim
t→tk
u(t, ·) = g, g ∈ Φ′∗, (21)
де граничне спiввiдношення (20) розглядається у просторi Φ′ (обмеження на параметри µ,
µ1, . . . , µm, t1, . . . , tm такi ж, як i у випадку задачi (1), (2)).
Далi функцiю G(t, x), яка задовольняє рiвняння (1) та умову (17), називатимемо фундамен-
тальним розв’язком нелокальної багатоточкової задачi (1), (21).
Теорема. Задача (1), (21) є коректно розв’язною, тобто розв’язок u(t, x) рiвняння (1) iснує,
u(t, ·) ∈ C1
(
(0, T ],Φ
)
, задовольняє граничну умову (21) у просторi Φ′ i неперервно залежить
вiд граничної функцiї g ∈ Φ′∗.
Розв’язок дається формулою u(t, x) = g ∗ G(t, x), (t, x) ∈ Ω, де G — фундаментальний
розв’язок нелокальної багатоточкової за часом задачi для рiвняння (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
632 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, Я. М. ДРIНЬ
Доведення. Насамперед переконаємося в тому, що функцiя u(t, x) є розв’язком рiвняння (1).
Справдi (див. наслiдок 2),
∂u(t, x)
∂t
=
∂
∂t
(
g ∗G(t, x)
)
= g ∗ ∂G(t, x)
∂t
,
Afu(t, x) = F−1
[
f(σ)F
[
g ∗G(t, x)
]
(σ)
]
(x).
Оскiльки g — згортувач у просторi Φ, то
F
[
g ∗G(t, x)
]
(σ) = F [g](σ)F
[
G(t, x)
]
(σ) = F [g](σ) ·Q(t, σ).
Отже,
Afu(t, x) = F−1
[
f(σ)Q(t, σ)F [g](σ)
]
(x) = −F−1
[
∂
∂t
Q(t, σ)F [g](σ)
]
=
= −F−1
[
F
[
∂
∂t
G
]
· F [g]
]
= −F−1
[
F
[
g ∗ ∂G
∂t
]]
= −g ∗ ∂G(t, x)
∂t
.
Звiдси дiстаємо, що функцiя u(t, x), (t, x) ∈ Ω, задовольняє рiвняння (1). З наслiдку 3
випливає, що u задовольняє умову (21) у вказаному сенсi.
Зазначимо також, що u неперервно залежить вiд функцiї g ∈ Φ′∗, оскiльки операцiя згортки
має властивiсть неперервностi.
Залишилося переконатися в тому, що задача (1), (21) має єдиний розв’язок. Для цього
розглянемо задачу Кошi
∂v
∂t
−A∗fv = 0, (t, x) ∈ [0, t0)× R ≡ Ω′, 0 ≤ t < t0 ≤ T, (22)
v(t, ·)|t=t0 = ψ, ψ ∈ Φ′∗, (23)
де A∗f — звуження спряженого оператора до оператора Af на простiр Φ ⊂ Φ′. Умову (23)
розумiємо у слабкому сенсi. В цьому випадку A∗f = Af , задача Кошi (22), (23) є розв’язною,
при цьому v(t, ·) ∈ Φ при кожному t ∈ [0, t0).
Нехай Qtt0 : Φ′∗ → Φ — оператор, який зiставляє функцiоналу ψ ∈ Φ′∗ розв’язок задачi (22),
(23). Оператор Qtt0 є лiнiйним i неперервним, вiн визначений для довiльних t i t0 таких, що
0 ≤ t < t0 ≤ T ; при цьому
dQtt0ψ
dt
−A∗fQtt0ψ = 0, lim
t→t0
Qtt0ψ = ψ
(границя розглядається у просторi Φ′).
Далi розв’язок u(t, x) задачi (1), (23) розумiтимемо як регулярний функцiонал з простору
Φ′∗ ⊃ Φ. Доведемо, що задача (1), (23) має єдиний розв’язок у просторi Φ′∗. Для цього досить
довести, що єдиним розв’язком рiвняння (1) при нульовiй граничнiй функцiї може бути лише
функцiонал u(t, x) ≡ 0. Застосуємо функцiонал u(t, x) до функцiї Qtt0ψ ∈ Φ ⊂ Φ′∗, де ψ —
довiльно фiксований елемент простору Φ ⊂ Φ′∗, 0 < t < t0 ≤ T. Диференцiюючи по t i
використовуючи рiвняння (1), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 633
∂
∂t
〈u(t, ·), Qtt0ψ〉 =
〈
∂u
∂t
,Qtt0ψ
〉
+
〈
u,
∂
∂t
Qtt0ψ
〉
=
= −
〈
Afu,Q
t
t0ψ
〉
+
〈
u,A∗fQ
t
t0ψ
〉
= −
〈
Afu,Q
t
t0ψ
〉
+
〈
Afu,Q
t
t0ψ
〉
= 0.
Отже,
〈
u(t, ·), Qtt0ψ
〉
є сталою величиною. Iз властивостей абстрактних функцiй (див. [12, с. 94 –
96]) випливає спiввiдношення
lim
t→t0
〈
u(t, ·), Qtt0ψ
〉
=
〈
u(t0, ·), ψ
〉
= const = c
у довiльнiй точцi t0 ∈ (0, T ]. Якщо в (21) g = 0, то
µ lim
t→+0
〈
u(t, ·), ψ
〉
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈u(t, ·), ψ〉 = c
(
µ−
m∑
k=1
µk
)
= 0,
тобто c = 0. Отже, 〈u(t0, ·), ψ〉 = 0 для довiльного елемента ψ ∈ Φ ⊂ Φ′∗, тобто u(t0, ·) —
нульовий функцiонал у просторi Φ′∗. Оскiльки t0 ∈ (0, T ] i t0 вибрано довiльним чином, то
u(t, ·) ≡ 0 для всiх t ∈ (0, T ].
Теорему доведено.
Зазначимо, що наведенi результати є правильними i у випадку кiлькох просторових змiнних.
1. Эйдельман С. Д., Дринь Я. М. Необходимые и достаточные условия стабилизации решений задачи Коши для
параболических псевдодифференциальных уравнений // Приближенные методы математического анализа. –
Киев, 1974. – С. 60 – 69.
2. Дринь Я. М. Фундаментальное решение задачи Коши для одного класса параболических псевдодиффе-
ренциальных уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1977. – № 3. – С. 198 – 203.
3. Ейдельман С. Д., Дрiнь Я. М. До теорiї систем параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь // Доп. АН УРСР.
Сер. А. – 1989. – № 4. – С. 10 – 12.
4. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type. – Berlin etc.: Birkhäuser, 2004. – 387 p.
5. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
6. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравне-
ний // Мат. сб. – 1977. – 102, № 1. – С. 124 – 150.
7. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht etc.:
Klüwer, 1991. – 347 p.
8. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. On behavior of weak solutions of operator differential equations on (0,∞) // Oper.
Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 191. – P. 116 – 126.
9. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. On extensions and restrictions of semigroups of linear operators in a Banach space
and their applications // Math. Nachr. – 2012. – 285, № 14-15. – S. 1860 – 1879.
10. Городецький В. В. Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу. – Чернiвцi:
Рута, 1998. – 225 с.
11. Городецький В. В., Дрiнь Я. М. Псевдодиференцiальнi оператори нескiнченного порядку в злiченно нормованих
просторах гладких функцiй // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 55 – 69.
12. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
Одержано 15.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2164 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:54Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/b5ce6f6565587c1843bd644fba5c1d59.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21642019-12-05T10:25:31Z Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations Багатоточкова за часом задача для одного класу еволюційних псевдодиференціальних рівнянь Horodets’kyi, V. V. Drin, Ya. M. Городецький, В. В. Дрінь, Я. М. We establish the well-posed solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with pseudodifferential operators of infinite order. Доказана корректная разрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с псевдодифференциальными операторами бесконечного порядка. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2164 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 5 (2014); 619–633 Український математичний журнал; Том 66 № 5 (2014); 619–633 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2164/1330 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2164/1331 Copyright (c) 2014 Horodets’kyi V. V.; Drin Ya. M. |
| spellingShingle | Horodets’kyi, V. V. Drin, Ya. M. Городецький, В. В. Дрінь, Я. М. Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations |
| title | Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations |
| title_alt | Багатоточкова за часом задача для одного класу еволюційних псевдодиференціальних рівнянь |
| title_full | Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations |
| title_fullStr | Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations |
| title_full_unstemmed | Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations |
| title_short | Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Pseudodifferential Equations |
| title_sort | multipoint (in time) problem for one class of evolutionary pseudodifferential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2164 |
| work_keys_str_mv | AT horodetskyivv multipointintimeproblemforoneclassofevolutionarypseudodifferentialequations AT drinyam multipointintimeproblemforoneclassofevolutionarypseudodifferentialequations AT gorodecʹkijvv multipointintimeproblemforoneclassofevolutionarypseudodifferentialequations AT drínʹâm multipointintimeproblemforoneclassofevolutionarypseudodifferentialequations AT horodetskyivv bagatotočkovazačasomzadačadlâodnogoklasuevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT drinyam bagatotočkovazačasomzadačadlâodnogoklasuevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT gorodecʹkijvv bagatotočkovazačasomzadačadlâodnogoklasuevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT drínʹâm bagatotočkovazačasomzadačadlâodnogoklasuevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ |