Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$
We establish upper estimates for the approximation of the classes $H_p^{Ω}$ of periodic functions of many variables by polynomials constructed by using the system obtained as the tensor product of the systems of functions of one variable. These results are then used to establish the exact-order esti...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2165 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508106620928000 |
|---|---|
| author | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_facet | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_sort | Derev’yanko, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:31Z |
| description | We establish upper estimates for the approximation of the classes $H_p^{Ω}$ of periodic functions of many variables by polynomials constructed by using the system obtained as the tensor product of the systems of functions of one variable. These results are then used to establish the exact-order estimates of the orthoprojective widths for the classes $H_p^{Ω}$ in the space $L_p$ with $p ∈ \{1, ∞\}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Н. В. Дерев’янко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ HΩ
p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lp
We establish upper estimates for the approximation of the classes HΩ
p of periodic functions of many variables by polynomials
constructed by using the system obtained as the tensor product of the systems of functions of one variable. By using these
results, we obtain the exact order estimates of the orthoprojective widths for the classes HΩ
p in the space Lp for p ∈ {1,∞}.
Получены оценки сверху приближения классов HΩ
p периодических функций многих переменных полиномами,
построенными по системе, являющейся тензорным произведением систем функций от одной переменной. С по-
мощью этого результата установлены точные по порядку оценки ортопроекционных поперечников классов HΩ
p
в пространстве Lp при p ∈ {1,∞}.
1. Вступ. У роботi дослiджуються питання наближення перiодичних функцiй багатьох змiнних
iз класiв HΩ
p полiномами, побудованими по системi функцiй, яка є тензорним добутком систем
функцiй вiд однiєї змiнної. Класичним прикладом такої системи є тригонометрична система
{ei(k,x)}k∈Zd :
ei(k,x) =
d∏
j=1
eikjxj , x = (x1, . . . , xd),
де Zd — цiлочислова d-вимiрна решiтка.
Iншим важливим прикладом є система Хаара {HI(x)}:
HI(x) =
d∏
j=1
HIj (xj), I = I1 × . . .× Id, x = (x1, . . . , xd),
де через Ij позначено двiйковий iнтервал — носiй функцiї Хаара HIj (t), t ∈ R.
Для бiльш детальної постановки задачi наведемо необхiднi позначення та означення.
Нехай Rd, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd), y =
= (y1, . . . , yd), (x, y) = x1y1 + . . .+xdyd i Lp(πd), πd =
∏d
j=1
[0, 2π], — простiр 2π-перiодичних
за кожною змiнною i сумовних у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при
p =∞), на кубi πd функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd), норма в якому визначається таким чином:
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
В роботi будемо розглядати лише тi функцiї f ∈ Lp(πd), для яких виконується умова
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d.
c© Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО, 2014
634 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ HΩ
p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lp 635
Далi задля спрощення позначень замiсть Lp(πd) будемо писати Lp.
Для f ∈ Lp i h ∈ Rd означимо мiшану рiзницю порядку l за формулою
∆l
hf(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x)) . . .),
де
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Для f ∈ Lp i t = (t1, . . . , td), tj ≥ 0, j = 1, d, означимо мiшаний модуль гладкостi порядку
l ∈ N згiдно з формулою
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj ,j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p.
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — функцiя типу мiшаного модуля гладкостi порядку l, тобто
функцiя, визначена на Rd+ = {t ∈ Rd : tj ≥ 0, j = 1, d}, що задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d i Ω(t) = 0,
∏d
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при всiх iнших значеннях змiнних ti,
i 6= j;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(∏d
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl.
Для заданої функцiї Ω ∈ Ψl визначимо клас функцiй (див., наприклад, [1])
HΩ
p = {f ∈ Lp : Ωl(f, t)p ≤ Ω(t)} .
Зауважимо, що у випадку, коли r = (r1, . . . , rd), 0 < rj < l, j = 1, d, i Ω(t) =
∏d
j=1
t
rj
j ,
класи HΩ
p збiгаються з вiдомими класами Нiкольського Hr
p [2]. Також будемо вважати, що Ω
належить множинам Sα i Sl.
Будемо говорити, що функцiя однiєї змiнної ϕ належить Sα, α > 0, якщо функцiя ϕ(τ)/τα
майже зростає, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Функцiя ϕ належить Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя ϕ(τ)/τγ майже спадає,
тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C2
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Умови належностi функцiї ϕ до множин Sα i Sl називають умовами Барi – Стєчкiна [3].
Будемо вважати, що Ω належить Sα (вiдповiдно Ω належить Sl), якщо Ω(t1, . . . , td), як
функцiя змiнної tj , j = 1, d, при всiх значеннях iнших змiнних ti, i 6= j, належить множинi Sα
(вiдповiдно множинi Sl).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
636 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
Позначимо Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Далi будемо вважати, що для двох невiд’ємних величин A i B запис A � B означає, що
iснують сталi C3 , C4 > 0 такi, що C3A ≤ B ≤ C4A. Записи A� B або A� B означають, що
C5A ≤ B i B ≤ C6A, C5, C6 > 0, вiдповiдно. Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . ., якi будуть зустрiчатися
у роботi, можуть залежати лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в
якiй оцiнюється похибка наближення, та розмiрностi простору Rd.
Позначимо через Vm(x), m ∈ N, x ∈ R, ядро Валле Пуссена
Vm(x) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kx+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kx ,
i для функцiї f ∈ Lp i вектора s ∈ Zd+ розглянемо полiном вигляду
As(f) = f ∗
d∏
j=1
(V
2sj−1 − V2sj−2).
У роботi [1] доведено таку теорему про належнiсть функцiї до класу HΩ
p .
Теорема А. Нехай функцiя Ω належить Φα,l, α > 0. Тодi f належить HΩ
p , 1 ≤ p ≤ ∞, в
тому i лише в тому випадку, коли виконується порядкова нерiвнiсть
‖As(f)‖p � Ω(2−s), (1)
де 2−s = (2−s1 , . . . , 2−sd).
Введемо до розгляду множини, якi будемо використовувати для побудови наближаючих
агрегатiв. Для довiльного N ∈ N позначимо
κ(N) = κ(Ω, N) =
{
s = (s1, . . . , sd) : sj ∈ N,Ω(2−s) ≥ 1
N
}
, (2)
κ⊥(N) =
{
s = (s1, . . . , sd) : sj ∈ N,Ω(2−s) <
1
N
}
, (3)
Θ(N) = κ⊥(N) \ κ⊥(2lN). (4)
З (3) i (4) випливає, що Θ(N) ⊂ κ⊥(N) i Θ(N) ∩ κ⊥(2lN) = ∅, тобто
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
,
або
Ω(2−s) � 1
N
, s ∈ Θ(N). (5)
У статтi [4] показано, що має мiсце спiввiдношення
|Θ(N)| � (log2N)d−1, (6)
де |M| — кiлькiсть елементiв множиниM.
Для доведення основних результатiв нам знадобиться така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ HΩ
p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lp 637
Лема А [4]. Нехай функцiя Ω належить Ψl ∩ Sα, α > 0. Тодi для 0 < p <∞∑
s∈κ⊥(N)
(Ω(2−s))p �
∑
s∈Θ(N)
(Ω(2−s))p.
Означимо оператор Fρ як оператор згортки з ядром Бернуллi
Fρ(x) = 1 + 2
∞∑
k=1
k−ρ cos
(
kx− ρπ
2
)
, x ∈ R, ρ > 0.
Позначимо через Fρ(Lp) множину функцiй, якi задаються у виглядi згортки ядра Бернуллi з
деякою функцiєю ϕ ∈ Lp, тобто
Fρ(Lp) = {f ∈ Lp : f = ϕ ∗ Fρ, ϕ ∈ Lp} .
Далi доцiльно означити класи функцiй Соболєва W ρ
p , про якi нижче буде йти мова:
W ρ
p =
f : f(x) =
1
2π
∫
π1
Fρ(x− y)ϕ(y)dy, ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1
.
Розглянемо множину операторiв {Yn}∞n=0, якi визначенi на Fρ(Lp) i мають такi властивостi:
A) ‖(I − Yn)Fρ‖p→p � 2−ρn, n ∈ Z+, де I — тотожний оператор, i ‖T‖p→p = ‖T‖Lp→Lp —
норма оператора T з Lp в Lp;
Б) для довiльного тригонометричного полiнома t порядку 2µ i для деякого β ≥ 0
‖Ynt‖p � 2β(µ−n)‖t‖p, µ ≥ n.
Наведемо кiлька прикладiв множин операторiв, якi задовольняють умови А i Б.
I. Yn = S2n — оператор, який кожнiй функцiї f ∈ L1 cтавить у вiдповiднiсть частинну суму
ряду Фур’є порядку 2n. Тодi властивiсть А для 1 < p <∞ випливає з вiдомих результатiв щодо
наближення функцiй iз класiв Соболєва тригонометричними полiномами вiдповiдного порядку
(див., наприклад, [5, c. 48]). Згiдно з теоремою 1.1 [5, c. 26], можемо записати
‖S2n‖p→p ≤ C7(p), C7(p) > 0, 1 < p <∞,
i тому для довiльного p ∈ (1,∞) властивiсть Б виконується з β = 0.
II. Yn = I2n — оператор iнтерполювання тригонометричними полiномами порядку 2n у
вузлах
2πl
2n+1 + 1
, l = 0, . . . , 2n+1. Вiдомо (див., наприклад, [5, c. 86]), що для таких операторiв
спiввiдношення А виконується для 1 < p < ∞ при ρ >
1
p
, a спiввiдношення Б має мiсце для
1 < p <∞ з β =
1
p
.
Зауважимо, що у прикладах I i II розглянуто випадок 1 < p < ∞. Наведемо ще один
приклад, який стосується випадкiв p ∈ {1,∞}.
III. Yn = V2n — оператор Валле Пуссена порядку 2n. Властивiсть А для 1 ≤ p ≤ ∞
випливає з оцiнок найкращого наближення класiв Соболєва (див., наприклад, [5, c. 47]). Умова
Б виконується для 1 ≤ p ≤ ∞ при β = 0 (див., наприклад, [5, c. 28]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
638 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
Означимо оператор TN , N ∈ N, який дiє на функцiю вiд d змiнних згiдно з формулою
TN =
∑
s∈κ(N)
d∏
i=1
(Y i
si − Y
i
si−1), (7)
де Y i
n — оператор Yn, який дiє на функцiю вiд змiнної xi. Будемо вважати, що Y−1 ≡ 0.
Зазначимо, що оператори вигляду (7) уперше розглядалися в роботi [6]. Подальшi результати
щодо дослiдження i використання операторiв такого типу можна знайти, наприклад, у роботах
[7 – 10]. У випадку Yn = S2n вiдповiднi оператори TN вивчалися у роботах [5, 11, 12], де можна
ознайомитися з бiльш детальною бiблiографiєю.
2. Наближення функцiй iз класiв HΩ
p . Сформулюємо i доведемо таке твердження.
Теорема 1. Нехай оператори Yn, n ∈ Z+, задовoльняють умови А i Б. Тодi для довiльної
функцiї f ∈ HΩ
p , 1 ≤ p ≤ ∞, де функцiя Ω ∈ Φα,l, α > β i l < ρ, похибка її наближення
оператором TN , означеним за формулою (7), оцiнюється так:
‖f − TNf‖p �
1
N
(log2N)d−1.
Доведення. Для фiксованого вектора s = (s1, . . . , sd) означимо оператор ∆s, який дiє з Lp
в Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, таким чином:
∆s =
d∏
i=1
∆si , ∆n = Yn − Yn−1, n ∈ N, ∆0 = Y0.
Далi означимо ядро Бернуллi Fρ(x), x = (x1, . . . , xd), згiдно з формулою
Fρ(x) =
d∏
j=1
Fρ(xj)
i
∆sFρ =
d∏
i=1
∆siFρ. (8)
Тодi з властивостей А i Б будуть випливати такi спiввiдношення для операторiв {∆s}s≥0
[9]:
А′) ‖∆sFρ‖p→p � 2−ρ‖s‖1 ;
Б′) для довiльного тригонометричного полiнома t степеня 2vi за змiнною xi, i = 1, d, для
деякого β ≥ 0 маємо
‖∆st‖p � 2β(‖v‖1−‖s‖1)‖t‖p, v ≥ s.
Тут i далi нерiвностi a > b, де a = (a1, . . . , ad) i b = (b1, . . . , bd), означають, що ai > bi, i = 1, d.
Покажемо, що для кожної функцiї f ∈ HΩ
p , 1 ≤ p ≤ ∞, має мiсце зображення
f =
∑
s∈Zd+
∆sf, (9)
де збiжнiсть розумiється у метрицi простору Lp.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ HΩ
p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lp 639
При d = 1 з властивостi А випливає, що ‖f −
∑n
s=0 ∆sf‖p → 0, n→∞, отже,
f =
∞∑
s=0
∆sf. (10)
Покажемо тепер, що цей розклад має мiсце при d > 1. Для цього оцiнимо зверху величину
‖∆sf‖p. Оскiльки довiльну функцiю f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, можна подати у виглядi [13, c. 304]
f =
∑
v≥1
Av(f), (11)
де для f ∈ HΩ
p
‖Av(f)‖p � Ω(2−v),
то звiдси згiдно з нерiвнiстю Мiнковського отримуємо
‖∆sf‖p ≤
∑
v≥1
‖∆sAv(f)‖p. (12)
Оцiнимо ‖∆sAv(f)‖p, 1 ≤ p ≤ ∞. Нехай Dρ позначає оператор, визначений на множинi
тригонометричних полiномiв, який є оберненим до оператора Fρ. Зрозумiло, що це є узагальнен-
ням на випадок ненатуральних ρ оператора диференцiювання. Таким чином, можемо записати
‖∆sAv(f)‖p = ‖∆sFρDρAv(f)‖p ≤ ‖∆sFρ‖p→p‖DρAv(f)‖p = J1.
Використавши властивiсть A′ i нерiвнiсть Бернштейна для тригонометричних полiномiв, яка в
даних позначеннях має вигляд
‖DρAv(f)‖p ≤ 2ρ‖v‖1‖Av(f)‖p,
продовжимо оцiнку величини J1:
J1 � 2−ρ‖s‖12ρ‖v‖1‖Av(f)‖p = 2−ρ(‖s‖1−‖v‖1)‖Av(f)‖p. (13)
З iншого боку, за властивiстю Б′ для v ≥ s i деякого β ≥ 0 одержуємо
‖∆sAv(f)‖p � 2β(‖v‖1−‖s‖1)‖Av(f)‖p. (14)
Таким чином, згiдно з (13), (14) i спiввiдношенням (1) отримуємо
‖∆sAv(f)‖p ≤ min
(
2−ρ(‖s‖1−‖v‖1)Ω(2−v), 2β(‖v‖1−‖s‖1)Ω(2−v)
)
.
Повертаючись до (13), можемо записати
‖∆sf‖p ≤
∑
v≥1
‖∆sAv(f)‖p �
�
∑
v<s
2−ρ(‖s‖1−‖v‖1)Ω(2−v) +
∑
v≥s
2β(‖v‖1−‖s‖1)Ω(2−v) = J2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
640 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
Оскiльки функцiя Ω належить Sα, α > 0, то функцiя Ω(2−v)/
∏d
j=1
2−αvj майже зростає по
кожнiй змiннiй. Аналогiчно, оскiльки функцiя Ω належить Sl, то функцiя Ω(2−v)/
∏d
j=1
2−γvj ,
0 < γ < l, майже спадає по кожнiй змiннiй, тому
J2 =
∑
v<s
2−ρ(‖s‖1−‖v‖1))
Ω(2−v)∏d
j=1
2−γvj
d∏
j=1
2−γvj +
∑
v≥s
2β(‖v‖1−‖s‖1) Ω(2−v)∏d
j=1
2−αvj
d∏
j=1
2−αvj �
� Ω(2−s)∏d
j=1
2−γsj
2−ρ‖s‖1
∑
v<s
2(ρ−γ)‖v‖1 +
Ω(2−s)∏d
j=1
2−αsj
2−β‖s‖1
∑
v≥s
2(β−α)‖v‖1 .
Звiдси при умовi, що β < α i ρ > l, одержуємо
J2 �
Ω(2−s)
2−γ‖s‖1
2−ρ‖s‖12(ρ−γ)‖s‖1 +
Ω(2−s)
2−αs
2−β‖s‖12(β−α)‖s‖1 � Ω(2−s). (15)
З (12) – (15) випливає, що для довiльного вектора s ∈ Zd+ справджується порядкова нерiвнiсть
‖∆sf‖p � Ω(2−s), 1 ≤ p ≤ ∞, (16)
з якої в свою чергу випливає справедливiсть зображення (9).
Далi, використовуючи це зображення, означення TNf i нерiвнiсть Мiнковського, одержуємо
‖f − TNf‖p =
∥∥∥∥∥∥∥
∑
s∈Zd+
∆sf −
∑
s∈κ(N)
∆sf
∥∥∥∥∥∥∥
p
≤
∑
s∈κ⊥(N)
‖∆sf‖p. (17)
Пiдстaвляючи (16) в (17), згiдно з лемою A i спiввiдношеннями (5) та (6) маємо
‖f − TNf‖p �
∑
s∈κ⊥(N)
Ω(2−s)�
∑
s∈Θ(N)
Ω(2−s) � 1
N
∑
s∈Θ(N)
1 �
� 1
N
(log2N)d−1.
Таким чином, теорему доведено.
Нехай тепер
Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, (18)
де ω — задана функцiя однiєї змiнної типу модуля гладкостi порядку l, яка належить множинам
Sα та Sl. Зрозумiло, що таким чином задана функцiя Ω буде належати множинi Φα,l.
Беручи до уваги спецiальний вигляд функцiї Ω, дослiджуванi оператори (7) записуємо у
виглядi
Tm =
∑
‖s‖1≤m
d∏
i=1
(Y i
si − Y
i
si−1), (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ HΩ
p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lp 641
де m ∈ N, згiдно з (2) – (5), визначається iз спiввiдношення
ω(2−m) � 1
N
. (20)
У роботi [14] встановлено ще одне спiввiдношення, яке пов’язує m i N :
log2N � m. (21)
Використовуючи теорему 1, оцiнки (20) i (21), отримуємо наступне твердження.
Теорема 1′. Нехай виконуються умови теореми 1 i функцiя Ω визначається спiввiдношен-
ням (18). Тодi для довiльної функцiї f ∈ HΩ
p , 1 ≤ p ≤ ∞, похибка її наближення оператором
Tm, означеним за формулою (19), оцiнюється таким чином:
‖f − Tmf‖p � ω(2−m)md−1.
3. Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв HΩ
p у просторi Lp при p ∈ {1,∞}.
В якостi наслiдку з теореми 1′ i вiдомих результатiв встановимо порядок ортопроекцiйного
поперечника класiв HΩ
p .
Нагадаємо, що для функцiонального класу F ⊂ Lq ортопроекцiйний поперечник цього
класу у просторi Lq означається згiдно з формулою
d⊥m(F, Lq) = inf
{ui}mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥∥f −
m∑
i=1
(f, ui)ui
∥∥∥∥∥
q
, (22)
де iнфiмум береться за всiма ортонормованими системами функцiй {ui}∞i=1 ⊂ L∞, i = 1,m.
Поперечник d⊥m(F, Lq) увiв В. М. Темляков [15].
Паралельно з поперечниками d⊥m(F, Lq) будемо розглядати величини dBm(F, Lq), якi також
уведенi В. М. Темляковим (див., наприклад, [16]) i означаються за формулою
dBm(F, Lq) = inf
G∈Lm(B)q
sup
f∈F∩D(G)
‖f −Gf‖q. (23)
Тут через Lm(B)q позначено множину лiнiйних операторiв G, якi задовольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi тригонометричнi полiноми, а їх
область значень мiститься у пiдпросторi розмiрностi m простору Lq;
б) iснує таке число B ≥ 1, що для всiх векторiв k = (k1, . . . , kd) виконується нерiвнiсть
‖Gei(k,·)‖2 ≤ B.
Оскiльки до Lm(1)2 належать оператори ортогонального проектування на пiдпростори роз-
мiрностi m, то, згiдно з означенням величин d⊥m(F, Lq) i dBm(F, Lq), вони пов’язанi мiж собою
нерiвнiстю
dBm(F, Lq) ≤ d⊥m(F, Lq). (24)
З iнформацiєю щодо дослiдження величин (22) i (23) для тих або iнших функцiональних
класiв можна ознайомитися у роботах [12, 17, 18], а також у монографiях [5, 16].
Справджується наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
642 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
Теорема 2. Нехай Ω(t) = ω
(∏d
j=1 tj
)
, де ω — функцiя однiєї змiнної, що належить до
множини Φα,l, α > 0. Тодi при p ∈ {1, ∞} має мiсце порядкова оцiнка
d⊥m(HΩ
p , Lp) � ω(2−l)ld−1, (25)
де m � 2lld−1.
Доведення. Спочатку встановимо у (25) оцiнку зверху. Для цього вiзьмемо довiльний базис
{Pk}∞|k|=1, який має такi властивостi:
1) для довiльного |k| ≥ 1 Pk(x) є тригонометричним полiномом степеня не бiльше |k|;
2) для довiльного k 6= l ∈ Z\{0} (Pk, Pl) = 0 i (Pk, Pk) = 1;
3) LN = max
x∈[0,2π]
∫ 2π
0
∣∣∣∣∑N
|k|=1
Pk(t)Pk(x)
∣∣∣∣dt ≤ C8, C8 > 0, для довiльного N ∈ N;
4) для довiльної функцiї f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞,∥∥∥∥∥∥f −
N∑
|k|=1
(f, Pk)Pk
∥∥∥∥∥∥
p
≤ KEC9N (f)p ,
де K,C9 > 0 i El(f)p — найкраще наближення функцiї f тригонометричними полiномами
степеня не бiльше l у метрицi простору Lp.
Приклади побудови таких базисiв iз вiдповiдними сталими можна знайти в роботах [19, 20].
Покладемо
Ynf =
2n∑
|k|=1
(f, Pk)Pk, n ≥ 0, (26)
i покажемо, що така послiдовнiсть операторiв {Yn}∞n=0 буде задовольняти умови A i Б.
Покажемо спочатку, що для операторiв Yn, n ∈ Z+, виконується умова Б при β = 0.
Розглянемо випадок p = 1 (при p = ∞ доведення аналогiчне). Отже, нехай t — довiльний
тригонометричний полiном. Тодi
‖Ynt‖1 = (2π)−1
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣
2n∑
|k|=1
(t, Pk)Pk(x)
∣∣∣∣∣∣ dx =
= (2π)−1
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣
2n∑
|k|=1
(2π)−1
2π∫
0
t(y)Pk(y)dyPk(x)
∣∣∣∣∣∣ dx =
= (2π)−1
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣(2π)−1
2π∫
0
t(y)
2n∑
|k|=1
Pk(y)Pk(x)dy
∣∣∣∣∣∣ dx ≤
≤
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣ max
y∈[0,2π]
2n∑
|k|=1
Pk(y)Pk(x)
(2π)−1
2π∫
0
|t(y)|dy
∣∣∣∣∣∣ dx =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ HΩ
p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lp 643
= ‖t‖1
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣ max
y∈[0,2π]
2n∑
|k|=1
Pk(y)Pk(x)
∣∣∣∣∣∣ dx = J3.
Використовуючи властивiсть (3), завершуємо оцiнку J3:
J3 ≤ ‖t‖1 max
y∈[0,2π]
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣
2n∑
|k|=1
Pk(y)Pk(x)
∣∣∣∣∣∣ dx = L2n‖t‖1 � ‖t‖1 .
Далi покажемо, що для операторiв Yn, n ∈ Z+, виконується умова А з довiльним ρ > 0. Ви-
користовуючи оцiнки найкращого наближення функцiй iз класiв Соболєва тригонометричними
полiномами з вiдповiдним спектром (див. [5, c. 47] ) i властивiсть (4), маємо
‖(I − Yn)Fρ‖p→p = sup
‖ϕ‖p≤1
‖(I − Yn)Fρϕ‖p = sup
f∈W ρ
p
‖f − Ynf‖p =
= sup
f∈W ρ
p
‖f −
2n∑
|k|=1
(f, Pk)Pk‖p � sup
f∈W ρ
p
E2n(f)p � 2−ρn.
Вiзьмемо m ∈ N i пiдберемо l = l(m) ∈ N таке, що m � 2lld−1. Згiдно з теоремою 1′ для
довiльної f ∈ HΩ
p , p ∈ {1, ∞}, має мiсце оцiнка
‖f − Tlf‖p � ω(2−l)ld−1.
З (26) випливає, що Tlf є оператором взяття частинних сум ряду Фур’є по системi {Pk}|k|≥1,
де
Pk(x) = Pk1(x1) . . . Pkd(xd).
Звiдси згiдно з означенням ортопроекцiйного поперечника отримуємо
d⊥m(HΩ
p , Lp)� sup
f∈HΩ
p
‖f − Tlf‖p � ω(2−l)ld−1, p ∈ {1,∞},
де m � 2lld−1.
Оцiнка знизу в (25) випливає з нерiвностi (24) i результатiв роботи [21].
Теорему доведено.
Зауваження. 1. Якщо Ω(t) =
∏d
j=1
t
rj
j , rj > 0, j = 1, d, то аналогiчнi твердження до
теорем 1 i 2 встановлено у роботi [9].
2. Теорема 2 доповнює результати робiт [21, 22].
1. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным
смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. – 1994. – 20. – P. 35 – 48.
2. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию
Гeльдера // Сиб. мат. журн. – 1963. – 4, № 6. – С. 1342 – 1364.
3. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
4. Пустовойтов Н. Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непре-
рывности // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 1. – С. 107 – 117.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
644 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
5. Temlyakov V. N. Approximаtion of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ., 1993.
6. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы для тензорных произведений некоторых классов
функций // Докл. АН СССР. – 1963. – 148, № 5. – С. 1042 – 1045.
7. Темляков В. Н. Приближенное восстановление периодических функций нескольких переменных // Мат. сб. –
1985. – 128, № 2. – С. 256 – 268.
8. Dinh Dung. Optimal recovery of functions of a certain mixed smoothness // J. Math. – 1992. – 20, № 2. – P. 18 – 32.
9. Андрианов А. В., Темляков В. Н. О двух методах распространения свойств систем функций от одной переменной
на их тензорное произведение // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 32 – 43.
10. Sickel W., Ullrich T. The Smolyak algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of dominating mixed
smoothness // E. J. Approxim. – 2007. – 13, № 4. – P. 387 – 425.
11. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187, № 3. – С. 143 – 161.
12. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,θ периодических функций многих пере-
менных // Anal. Math. – 2011. – 37, № 3. – P. 181 – 213.
13. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения . – М.: Наука, 1977. – 456 с.
14. Стасюк С. А. Наилучшие приближения периодических функций многих переменных из классов BΩ
p,θ // Мат.
заметки. – 2010. – 87, № 1. – C. 108 – 121.
15. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1982. –
267, № 2. – C. 314 – 317.
16. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 3 – 113.
17. Галеев Э. М. Порядки ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и нескольких
переменных // Мат. заметки. – 1988. – 43, № 2. – С. 197 – 211.
18. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
19. Привалов Ал. А. Об одном ортогональном тригонометрическом базисе // Мат. сб. – 1991. – 182, № 3. –
С. 384 – 394.
20. Offin D., Oskolkov K. I. A note on orthonormal polinomial bases and wavelets // Constr. Approxim. – 1993. – 9,
№ 2. – P. 319 – 325.
21. Федуник О. В. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних в
просторi Lq // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2, № 2. – С. 268 – 294.
22. Стасюк C. A., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 692 – 704.
Одержано 12.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2165 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:56Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/b20b658feab1c4d99df22b80f471cc59.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21652019-12-05T10:25:31Z Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ Наближення класів $H_p^{Ω}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_p$ Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. We establish upper estimates for the approximation of the classes $H_p^{Ω}$ of periodic functions of many variables by polynomials constructed by using the system obtained as the tensor product of the systems of functions of one variable. These results are then used to establish the exact-order estimates of the orthoprojective widths for the classes $H_p^{Ω}$ in the space $L_p$ with $p ∈ \{1, ∞\}$. Получены оценки сверху приближения классов $H_p^{Ω}$ периодических функций многих переменных полиномами, построенными по системе, являющейся тензорным произведением систем функций от одной переменной. С по мощью этого результата установлены точные по порядку оценки ортопроекционных поперечников классов $H_p^{Ω}$ в пространстве $L_p$ при $p ∈ \{1, ∞\}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2165 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 5 (2014); 634–644 Український математичний журнал; Том 66 № 5 (2014); 634–644 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2165/1332 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2165/1333 Copyright (c) 2014 Derev’yanko N. V. |
| spellingShingle | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ |
| title | Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ |
| title_alt | Наближення класів $H_p^{Ω}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_p$ |
| title_full | Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ |
| title_fullStr | Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ |
| title_full_unstemmed | Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ |
| title_short | Approximation of the Classes $H_p^{Ω}$ of Periodic Functions of Many Variables in the Space $L_p$ |
| title_sort | approximation of the classes $h_p^{ω}$ of periodic functions of many variables in the space $l_p$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2165 |
| work_keys_str_mv | AT derevyankonv approximationoftheclasseshpōofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelp AT derev039ânkonv approximationoftheclasseshpōofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelp AT derevyankonv nabližennâklasívhpōperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílp AT derev039ânkonv nabližennâklasívhpōperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílp |