Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time
We study the existence and uniqueness of the multiperiodic solution of the first boundary-value problem for a system of parabolic equations with multidimensional time.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2166 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508106973249536 |
|---|---|
| author | Abdikalikova, G. A. Berzhanov, A. B. Kenzhebaev, K. K. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. |
| author_facet | Abdikalikova, G. A. Berzhanov, A. B. Kenzhebaev, K. K. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. |
| author_sort | Abdikalikova, G. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:31Z |
| description | We study the existence and uniqueness of the multiperiodic solution of the first boundary-value problem for a system of parabolic equations with multidimensional time. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:19:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
К. К. Кенжебаев, Г. А. Абдикаликова, А. Б. Бержанов (Актюб. гос. ун-т им. К. Жубанова, Казахстан)
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ
We study the existence and uniqueness of the multiperiodic solution of the first boundary-value problem for a system of
parabolic equations with multidimensonal time.
Вивчаються iснування та єдинiсть багатоперiодичного розв’язку першої крайової задачi для системи рiвнянь пара-
болiчного типу з багатовимiрним часом.
Вопросу существования, единственности решения краевых задач для уравнений и систем па-
раболического типа, в которых условия связывают искомое решение и его производные в
различных точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области, посвящены
многочисленные работы (см., например, [1, 2] и приведенную в них библиографию). Среди
краевых задач, заданных во всем пространстве, значительный интерес представляют полупро-
странственные краевые задачи, к которым, в свою очередь, приводит изучение периодических
и почти периодических решений по временной и пространственным переменным систем урав-
нений параболического типа [3].
В настоящей работе изучаются существование и единственность многопериодического ре-
шения первой краевой задачи для системы уравнений параболического типа с многомерным
временем.
Будем рассматривать линейное уравнение параболического типа с многомерным временем
Lu ≡ ∂u
∂τ
+
m∑
j=1
∂u
∂tj
−∆u− ∂2u
∂y2
+ γu = f(τ, t, x, y), (1)
где (τ, t) ∈ E1+m — пространство временных переменных, y ∈ E+
1 = [0,+∞), En — n-мерное
вещественное евклидово пространство векторов x = (x1, x2, ..., xn); ∆ =
∂2
∂x21
+
∂2
∂x22
+. . .+
∂2
∂x2n
— оператор Лапласа; γ = const > 0; f(τ, t, x, y) — заданная функция.
Будем полагать, что функция f(τ, t, x, y):
1) (θ, ω, σ)-периодична по τ, t, x равномерно относительно y
f (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) = f(τ, t, x, y), k ∈ Zm, p ∈ Zn,
где θ, ω1, . . . , ωm, σ1, . . . , σn — периоды, kω = (k1ω1, k2ω2, . . . , kmωm) — m-вектор, pσ =
= (p1σ1, p2σ2, . . . , pnσn) — n-вектор;
2) удовлетворяет по временным τ, t и пространственным x, y переменным условию Гель-
дера с показателем
α
2
и α соответственно∥∥f (τ , t, x, y)− f(τ, t, x, y)
∥∥ ≤
≤ Γ1
(
‖τ − τ‖α/2 +
∥∥t− t∥∥α/2 + ‖x− x‖α + ‖y − y‖α
)
,
где Γ1 — const; α ∈ (0, 1).
c© К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5 645
646 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
Задача 1. Найти достаточные условия существования и единственности многопериодиче-
ского по τ, t и x решения уравнения параболического типа (1), удовлетворяющего граничному
условию
u (τ, t, x, 0) = Ψ (τ, t, x) . (2)
Предположим, что функция Ψ (τ, t, x) (θ, ω, σ)-периодична по τ, t, x:
Ψ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ) = Ψ (τ, t, x) , k ∈ Zm, p ∈ Zn,
и удовлетворяет по временным переменным τ, t и x условию Гельдера с показателем
α
2
и
α ∈ (0, 1) соответственно ∥∥Ψ
(
τ , t, x,
)
−Ψ (τ, t, x)
∥∥ ≤
≤ Γ2
(
‖τ − τ‖α/2 +
∥∥t− t∥∥α/2 + ‖x− x‖α
)
,
где θ, ω1, . . . , ωm, σ1, . . . , σn — периоды, kω = (k1ω1, k2ω2, . . . , kmωm) — m-вектор, pσ = (p1σ1,
p2σ2, . . . , pnσn) — n-вектор; Γ2 — const.
Развивая идеи работ [4 – 6] для нахождения достаточного условия существования и един-
ственности многопериодического по τ, t и x решения первой краевой задачи (1), (2) уравнения
параболического типа с многомерным временем, дополним задачу 1 начальным условием
u (τ0, t, x, y) = ϕ(t, x, y) ∈ CB
(
E+
m+n+1
)
, (3)
где CB
(
E+
m+n+1
)
— банахово пространство непрерывных и ограниченных наE+
m+n+1 функций
ϕ(t, x, y) с нормой
‖ϕ(t, x, y)‖CB(E+
m+n+1)
= sup
E+
m+n+1
‖ϕ(t, x, y)‖+
+ sup
x,x∈En
‖ϕ (t, x, y)− ϕ (t, x, y)‖
‖x− x‖α
, α ∈ (0, 1) .
Предположим, что выполнено условие согласования
ϕ (t, x, 0) = Ψ (τ0, t, x) .
Для решения краевой задачи (1) – (3), а также для нахождения многопериодического реше-
ния краевой задачи (1), (2) путем специального выбора начальной функции ϕ(t, x, y) вначале
ищется решение предварительной вспомогательной задачи.
Задача 2. Найти единственное (θ, ω, σ)-периодическое решение уравнения
Lu = f(τ, t, x, y), (4)
удовлетворяющего условиям
u (τ0, t, x, y) = ϕ(t, x, y), (5)
u (τ, t, x, 0) = Ψ (τ, t, x) , (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 647
где
f(τ, t, x, y) =
f(τ, t, x, y) для y ≥ 0,
−f (τ, t, x,−y) для y < 0,
ϕ(t, x, y) =
ϕ(t, x, y) для y ≥ 0,
−ϕ (t, x,−y) для y < 0.
Решение вспомогательной задачи (4) – (6) ищем в виде
u(τ, t, x, y) = e−γ(τ−τ0)
∫
En
V (τ − τ0, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ − τ0, y − η)U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0)×
×ϕ (t− eτ + eτ0, ξ, η) dηdξ+
+
τ∫
τ0
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)
+∞∫
−∞
U (τ − s, y − η)×
×U0 (τ − s, t− eτ + es) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ∫
τ0
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ) ∂U
∂η
(τ − s, y − η)×
×U0 (τ − s, t− eτ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds. (7)
Отметим, что при изучении поставленной задачи важную роль играет фундаментальное
решение оператора L. Известно, что функция V (τ − τ0, x− ξ) = [4π (τ − τ0)]−
n
2 e
− |x−ξ|
2
4(τ−τ0)
является фундаментальным решением уравнения
∂u
∂τ
− ∆u = 0 при τ > τ0, для τ ≤ τ0 фун-
даментальное решение V (τ − τ0, x− ξ) продолжено нулем. Уравнение
∂u
∂τ
− ∂2u
∂y2
= 0 имеет
фундаментальное решение
U (τ − τ0, y − η) = [4π (τ − τ0)]−
1
2 e
− |y−η|
2
4(τ−τ0)
для τ > τ0, для τ ≤ τ0 фундаментальное решение продолжено нулем. При всех t, s ∈ Em,
x, ξ ∈ En, y, η ∈ E1 функция
V (τ − τ0, x− ξ)U (τ − τ0, y − η)U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0) e
−γ(τ−τ0) (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
648 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
является фундаментальным решением оператора L при τ > τ0, при τ ≤ τ0 фундаменталь-
ное решение продолжено нулем, t− eτ + es — характеристикa дифференциального оператора
∂
∂τ
+
∑m
j=1
∂
∂tj
, e = (1, 1, . . . , 1) — m-вектор.
Полагая, что функция ϕ(t, x, y) в (7) не является фиксированной, а любая из CB (Em+n+1),
выделяем с помощью необходимого и достаточного условия периодичности относительно вре-
менной переменной τ
u (τ0, t, x, y) = u (τ0 + θ, t, x, y)
среди решений (7) многопериодическое решение
ϕ(t, x, y) = e−γ(τ0+θ−τ0)
∫
En
V (τ0 + θ − τ0, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 + θ − τ0, y − η)U0 (τ0 + θ − τ0, t− eτ0 + θ + eτ0)×
×ϕ (t− eτ0 + θ − τ0, ξ, η) dηdξ +
τ0+θ∫
τ0
e−γ(τ0+θ−s)
∫
En
V (τ0 + θ − s, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 + θ − s, y − η)U0 (τ0 + θ − s, t− eτ0 + θ + es)×
×f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξ +
τ0+θ∫
τ0
e−γ(τ0+θ−s)
∫
En
V (τ0 + θ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 + θ − s, y − η)U0 (τ0 + θ − s, t− eτ0 + θ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds.
Предполагая, что функция f(τ, t, x, y) периодична по τ с положительным периодом θ, и при
этом сохраняя периодичность по t и x равномерно относительно y, учитывая диагональную
периодичность V (τ − τ0, x− ξ), U (τ − τ0, y − η), U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0), используя формулу
типа свертки, а также применяя метод последовательных приближений, получаем ряд
ϕ(t, x, y) =
∞∑
m=0
ϕm(t, x, y), (9)
члены которого определяются из рекуррентных соотношений
ϕ0(t, x, y) =
τ0∫
τ0−θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 649
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0∫
τ0−θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds,
ϕ1(t, x, y) =
τ0−θ∫
τ0−2θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0−θ∫
τ0−2θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)
ϕm(t, x, y) = e−γθ
∫
En
V (θ, x− ξ)
+∞∫
−∞
U (θ, y − η)U0 (θ, t− eτ0 + θ + eτ0)×
×ϕm−1 (t− eτ0 + θ + eτ0, ξ, η) dηdξ =
=
τ0−mθ∫
τ0−(m+1)θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0−mθ∫
τ0−(m+1)θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
650 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds.
Можно установить, что ряд (9) сходится равномерно и абсолютно. Для доказательства
сходимости ряда (9) представим его в виде
ϕ0(t, x, y) +
∞∑
m=1
[
ϕm(t, x, y)− ϕm−1(t, x, y)
]
. (10′)
Исходя из (10), имеем ∣∣ϕm(t, x, y)− ϕm−1(t, x, y)
∣∣ ≤
≤
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η)
∣∣f (s, t− eτ + es, ξ, η)
∣∣ dηdξds+
+
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) |Ψ (s, t− eτ + es, ξ)| dξds ≤
≤
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)M0f0ds+
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)M1Ψ0ds =
= M0f0γ
−1
[
e−γ(m−1)θ − e−γmθ
]
+M1Ψ0γ
−1
[
e−γ(m−1)θ − e−γmθ
]
=
= γ−1
[
e−γ(m−1)θ − e−γmθ
]
(M0f0 +M1Ψ0) =
= γ−1e−γmθ
[
eγθ − 1
]
(M0f0 +M1Ψ0) , m = 1, 2, . . . ,
где
|U0 (τ0 − τ, t− eτ0 + es)| ≤M0,
∣∣∣∣∂U∂y (τ0 − τ, y − η)
∣∣∣∣ ≤M1,
∣∣f (τ, t− eτ + es, x, y)
∣∣ ≤ f0, |Ψ (τ, t− eτ + es, x)| ≤ Ψ0.
Отметим, что при оценивании использованы известные оценки из общей теории (см., на-
пример, [3, с. 115]):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 651
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ) dξ ≤ 1,
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) dη ≤ 1.
Поскольку e−γθ < 1, ряд (10
′
) мажорируется сходящимся числовым рядом для любых t, x,
y ∈ Em+n+1 : ϕ̃0 +
∑∞
m=0
ϕ̃0
2m−1
, ϕ̃0 — const.
Таким образом, ряд (9) сходится равномерно и абсолютно.
Тогда имеем равномерную сходимость последовательных приближений (10) к предельной
вектор-функции:
ϕ∗(t, x, y) = lim
m→∞
ϕm(t, x, y) =
τ0∫
−∞
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0∫
−∞
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds. (10′′)
Нетрудно показать, что ϕ∗(t, x, y) принадлежитCB (Em+n+1). За начальную вектор-функцию
задачи примем вектор-функцию ϕ∗(t, x, y) и подставим в (7).
С учетом нечетного продолжения f(τ, t, x, y) искомое решение задачи (1), (2) определяется
так:
u∗(τ, t, x, y) =
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)U0 (τ − s, t− eτ + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ − s, y − η)− U (τ − s, y + η)]×
×f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ − s, y − η)U0 (τ − s, t− eτ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds. (11)
Сходимость интеграла (11) обеспечивается соотношением (8) и ограниченностью функций
f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x). Из построения следует, что функция u∗(τ, t, x, y) является решением
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
652 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
задачи (1), (2), причем u∗(τ, t, x, y) принадлежит C(1,1,2,2)
τ,t,x,y
(
E+
1+m+n+1
)
. Здесь решающую роль
играют условия на функции f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x), в том числе равномерное условие Гельдера.
Непосредственно можно установить следующие свойства функции u∗(τ, t, x, y):
1) она является (θ, ω, σ)-периодической по τ, t и x равномерно относительно y.
Действительно, рассмотрим
u∗ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) =
=
τ+θ∫
−∞
e−γ(τ+θ−s)
∫
En
V (τ + θ − s, x+ pσ − ξ)U0 (τ + θ − s, t+ kω − e(τ + θ) + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ + θ − s, y − η)− U (τ + θ − s, y + η)]×
×f (s, t+ kω − e(τ + θ) + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ+θ∫
−∞
e−γ(τ+θ−s)
∫
En
V (τ + θ − s, x+ pσ − ξ) ∂U
∂η
(τ + θ − s, y − η)×
×U0 (τ + θ − s, t+ kω − e(τ + θ) + es) Ψ (s, t+ kω − e(τ + θ) + es, ξ) dξds.
В правой части выполним замену s = s1 + θ и ξ = ξ1 + pσ, затем в полученном интеграле s1 и
ξ1 снова заменим на s и ξ. В результате придем к выражению
u∗ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) =
=
τ∫
−∞
e−γ(τ+θ−(s+θ))
∫
En
V (τ + θ − (s+ θ), x+ pσ − (ξ + pσ))×
×U0 (τ + θ − (s+ θ), t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ))×
×
+∞∫
0
[U (τ + θ − (s+ θ), y − η)− U (τ + θ − (s+ θ), y + η)]×
×f (s+ θ, t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ), ξ + pσ, η) dηdξds+
+
τ∫
−∞
e−γ(τ+θ−(s+θ))
∫
En
V (τ + θ − (s+ θ), x+ pσ − (ξ + pσ))
∂U
∂η
(τ + θ − (s+ θ), y − η)×
×U0 (τ + θ − (s+ θ), t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ))×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 653
×Ψ (s+ θ, t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ), ξ + pσ) dξds.
На основании (θ, ω, σ)-периодичности функций f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x) по τ, t и x, а
также в силу (θ, σ)-, θ- и (θ, ω)-периодичности функций V (τ − τ0, x− ξ), U (τ − τ0, y − η),
U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0) соответственно имеем
u∗ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) =
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)U0 (τ − s, t− eτ + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ − s, y − η)− U (τ − s, y + η)]×
×f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ − s, y − η)U0 (τ − s, t− eτ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds = u∗(τ, t, x, y).
2) Аналогично [3, с. 130] из самого построения ясно, что функция u∗(τ, t, x, y) удовлетво-
ряет уравнению (1) с граничным условием (2).
3) Покажем, что решение (11) ограничено для всех τ, t, x, y ∈ E+
1+m+n+1. Сначала оценим
первое слагаемое в правой части (11):
‖I1‖ ≤
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)U0 (τ − s, t− eτ + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ − s, y − η)− U (τ − s, y + η)]×
×‖f (s, t− eτ + es, ξ, η)‖ dηdξds ≤M0f0
2√
π
τ∫
−∞
y/2
√
τ−s∫
0
e−z
2
dz
e−γ(τ−s)ds,
где
y − η
2
√
τ − s
= z, − dη
2
√
τ − s
= dz,
y + η
2
√
τ − s
= z,
dη
2
√
τ − s
= dz.
При этом используем замену τ − s = λ, ds = −dλ. Тогда
‖I1‖ ≤
2M0f0√
π
+∞∫
0
y/2
√
λ∫
0
e−z
2
dz
e−γλdλ.
Далее, используя формулу интегрирования по частям и полагая
u =
y/2
√
λ∫
0
e−z
2
dz, du = e−(y/2
√
λ)2 y (−dλ)
2λ · 2
√
λ
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
654 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
dv = e−γλdλ, v = −1
γ
e−γλ,
получаем
‖I1‖ ≤
2M0f0√
π
y/2
√
λ∫
0
e−z
2
dz
(
−1
γ
)
e−γλ −
+∞∫
0
1
γ
e−γλe
−
(
y
2
√
λ
)2
y
4λ3/2
dλ
≤
≤ M0f0
γ
− 2M0f0√
π
y
4γ
+∞∫
0
e−(γλ+y
2/4λ) 1
λ3/2
dλ.
Теперь, используя сначала замену
√
λ =
1
s1
, ds1 =
dλ
2λ3/2
, а затем
y
2
s1 = s2, ds1 =
2ds2
y
,
имеем
‖I1‖ ≤
M0f0
γ
− 2M0f0√
π
y
4γ
4
y
+∞∫
0
e
−
(
s22+
γy2
4s22
)
ds2 ≤
M0f0
γ
(
1− e−
√
γy
)
.
Перейдем к оценке второго слагаемого в правой части (11):
‖I2‖ ≤
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ − s, y − η)U0 (τ − s, t− eτ + es) ‖Ψ (s, t− eτ + es, ξ)‖ dξds ≤
≤M0Ψ0
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
ye
− y2
4(τ−s)
2
√
π (τ − s)3/2
ds.
В последнем неравенстве положим
y
2
√
τ − s
= r, ds =
2 (τ − s)
r
dr. Тогда
‖I2‖ ≤M0Ψ0
+∞∫
0
e−γ
y2
4r2
2e−r
2
√
π
dr =
2M0Ψ0√
π
+∞∫
0
e
−
(
r2+
γy2
4r2
)
dr = M0Ψ0e
−√γy.
Таким образом, используя полученные оценки I1, I2 для u∗(τ, t, x, y), получаем
‖u∗(τ, t, x, y)‖ ≤ M0f0
γ
(
1− e−
√
γy
)
+M0Ψ0e
−√γy = Mγ−1 +Ne−
√
γy, (12)
где M = M0f0, N = M0Ψ0 −
M0f0
γ
.
4) Решение u∗(τ, t, x, y) единственно. Допустим, что задача имеет и другое многоперио-
дическое решение. Пусть u∗∗(τ, t, x, y) — решение задачи, соответствующее произвольной на-
чальной функции ϕ∗∗(t, x, y), т. е.
u∗∗ (τ0, t, x, y) = ϕ∗∗(t, x, y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 655
Для такого решения справедлива формула (7). Определенное выше формулой (11) мно-
гопериодическое решение u∗(τ, t, x, y) при τ = τ0 обращается в начальную функцию (10
′′
).
Имеем
u∗∗(τ, t, x, y)− u∗(τ, t, x, y) = e−γ(τ−τ0)
∫
En
V (τ − τ0, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ − τ0, y − η)U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0)×
× [ϕ∗∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)− ϕ∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)] dηdξ.
Оценивая, получaeм
‖u∗∗(τ, t, x, y)− u∗(τ, t, x, y)‖ ≤ e−γ(τ−τ0)M0C1, (13)
где
‖ϕ∗∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)− ϕ∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)‖ ≤
≤ ‖ϕ∗∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)‖ − ‖ϕ∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)‖ < C1 = const.
Поскольку многопериодическое решение не зависит от выбора τ0, τ0 можно считать произ-
вольным в (13). В (13), фиксируя τ и переходя к пределу при τ0 → −∞, получаем
‖u∗∗(τ, t, x, y)− u∗(τ, t, x, y)‖ ≤ 0 ∀τ, t, x, y ∈ E1+m+n+1.
Отсюда следует u∗∗(τ, t, x, y) = u∗(τ, t, x, y).
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если функции f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x) удовлетворяют приведенным условиям, то
уравнение (1) при граничном условии (2) и γ = const > 0 имеет единственное многопериоди-
ческое решение u∗(τ, t, x, y) по τ, t, x равномерно относительно y, представимое в виде (11) и
удовлетворяющее условию (12).
1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
2. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 444 с.
3. Умбетжанов Д. У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. – Алма-Ата: Наука, 1990. –
184 с.
4. Асанова А. Т. Ограниченное решение нелинейного параболического уравнения // Изв. МН-АН РК. Сер. физ.-
мат. – 1997. – № 1. – С. 33 – 39.
5. Абдикаликова Г. А. Многопериодическое решение одной краевой задачи для уравнения параболического типа
с многомерным временем // „Ломоносов-2012”: Междунар. науч. конф. студентов, магистрантов и молодых
ученых: Тез. докл. – Астана: Казахстан. филиал МГУ им. М. В. Ломоносова, 2012. – Ч. I. – С. 7 – 9.
6. Abdikalikova Gulshat A. On boundary value problem for the system of parabolic equations // Proc. VI Int. Sci. Conf. –
Aktobe, 2012. – Pt I. – Р. 178 – 180.
Получено 25.07.13,
после доработки — 13.01.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2166 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:19:57Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/8ba553c882794425187c3a68754d12a3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21662019-12-05T10:25:31Z Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем Abdikalikova, G. A. Berzhanov, A. B. Kenzhebaev, K. K. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. We study the existence and uniqueness of the multiperiodic solution of the first boundary-value problem for a system of parabolic equations with multidimensional time. Вивчаються існування та єдиність багатоперіодичного розв'язку першої крайової задачi для системи рівнянь пара-6олічного типу з багатовимірним часом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2166 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 5 (2014); 645–655 Український математичний журнал; Том 66 № 5 (2014); 645–655 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2166/1334 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2166/1335 Copyright (c) 2014 Abdikalikova G. A.; Berzhanov A. B.; Kenzhebaev K. K. |
| spellingShingle | Abdikalikova, G. A. Berzhanov, A. B. Kenzhebaev, K. K. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. Абдикаликова, Г. А. Бержанов, А. Б Кенжебаев, К. К. Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time |
| title | Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time |
| title_alt | Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| title_full | Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time |
| title_fullStr | Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time |
| title_full_unstemmed | Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time |
| title_short | Multiperiodic Solution of a Boundary-Value Problem for one Class of Parabolic Equations with Multidimensional Time |
| title_sort | multiperiodic solution of a boundary-value problem for one class of parabolic equations with multidimensional time |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2166 |
| work_keys_str_mv | AT abdikalikovaga multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT berzhanovab multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT kenzhebaevkk multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT abdikalikovaga multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT beržanovab multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT kenžebaevkk multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT abdikalikovaga multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT beržanovab multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT kenžebaevkk multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT abdikalikovaga mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT berzhanovab mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT kenzhebaevkk mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT abdikalikovaga mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT beržanovab mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT kenžebaevkk mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT abdikalikovaga mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT beržanovab mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT kenžebaevkk mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem |