One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain
We prove the theorems on the existence and unique determination of a pair of functions: a(t) >0, t ∈ [0,T], and the solution u(x, t) of the first boundary-value problem for the equation $$ \begin{array}{ll}{D}_t^{\beta }u-a(t){u}_{xx}={F}_0\left(x,t\right),\hfill & \left(x,t\right)\i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2168 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508110830960640 |
|---|---|
| author | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. |
| author_facet | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. |
| author_sort | Lopushanskaya, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:31Z |
| description | We prove the theorems on the existence and unique determination of a pair of functions: a(t) >0, t ∈ [0,T], and the solution u(x, t) of the first boundary-value problem for the equation $$ \begin{array}{ll}{D}_t^{\beta }u-a(t){u}_{xx}={F}_0\left(x,t\right),\hfill & \left(x,t\right)\in \left(0,l\right)\times \left(0,T\right],\hfill \end{array} $$ with regularized derivative D t β u of the fractional order β ∈ (0, 2) under the additional condition a(t)u x (0, t) = F(t), t ∈ [0,T]. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська (Ряшiв. ун-т, Польща, Львiв. нац. ун-т)
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА
ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ
We prove the theorems on the existence and unique determination of a pair of functions: a(t) > 0, t ∈ [0, T ], and the
solution u(x, t) of the first boundary-value problem for the equation
Dβ
t u− a(t)uxx = F0(x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ],
with regularized derivative Dβ
t u of the fractional order β ∈ (0, 2) under the additional condition a(t)ux(0, t) = F (t),
t ∈ [0, T ].
Доказаны теоремы о существовании и единственности определения пары функций: a(t) > 0, t ∈ [0, T ], и решения
u(x, t) первой краевой задачи для уравнения
Dβ
t u− a(t)uxx = F0(x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ],
с регуляризованной производной Dβ
t u дробного порядка β ∈ (0, 2) при дополнительном условии a(t)ux(0, t) =
= F (t), t ∈ [0, T ].
1. Вступ. У роботах [1 – 6] доведено теореми iснування та єдиностi, а також одержано зо-
браження за допомогою вектор-функцiї Ґрiна класичних розв’язкiв задач Кошi для рiвнянь
вигляду
Dβ
t u(x, t) = A(x,D)u(x, t), (x, t) ∈ RN × [0, T ],
з елiптичним диференцiальним оператором другого порядкуA(x,D) та регуляризованою похiд-
ною [7, 8] функцiї u порядку β ∈ (m− 1,m), m = 1, 2, . . . .
Умови класичної розв’язностi першої крайової задачi для рiвнянь вигляду
Dβ
t u(x, t)− a2∆u(x, t) = F0(x, t), a2 = const > 0,
з регуляризованою похiдною функцiї u порядку β ∈ (0, 1)
Dβ
t u(x, t) =
1
Γ(1− β)
∂
∂t
t∫
0
u(x, τ)
(t− τ)β
dτ − u(x, 0)
tβ
одержано у [9, 10]. Розв’язки побудовано у виглядi рядiв Фур’є за власними функцiями вiдпо-
вiдних задач Штурма – Лiувiлля.
У данiй статтi ми доведемо теореми про iснування та єдинiсть розв’язку (u, a) оберненої
крайової задачi
Dβ
t u− a(t)uxx = F0(x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ], a(t) > 0, t ∈ [0, T ], (1)
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t ∈ [0, T ], (2)
u(x, 0) = F1(x), x ∈ [0, l], (3)
ut(x, 0) = F2(x), x ∈ [0, l], (4)
c© А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, 2014
666 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ 667
a(t)ux(0, t) = F3(t), t ∈ [0, T ], (5)
де β ∈ (0, 2), F0 − F3 — заданi функцiї, умова (4) вiдсутня у випадку β ∈ (0, 1].
Зауважимо, що при β = 1 такого типу оберненi коефiцiєнтнi крайовi задачi вивчалися в
[11] та iнших працях, де доведено теореми iснування та єдиностi. У [12] доведено єдинiсть
розв’язку оберненої крайової задачi для рiвняння вигляду (1) з невiдомими u(x, t), a = a(x),
β ∈ (0, 1) при крайових умовах Неймана та додатково заданiй u(0, t). Оберненi крайовi задачi
для рiвняння дифузiї з дробовою похiдною та iншими невiдомими функцiями чи параметрами
вивчались, наприклад, у [13 – 16].
2. Основнi позначення та формулювання задачi. Будемо використовувати такi позначен-
ня: Q0 = (0, l)× (0, T ]; D(RN ), N = 1, 2, — простiр нескiнченно диференцiйовних функцiй iз
компактними носiями в RN [17, c. 13]; D(Q0) = {v ∈ C∞(Q0) :
( ∂
∂t
)k
v|t=T = 0, k = 0, 1, . . .};
D′(RN ) та D′(Q0) — простори лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагальнених функцiй)
вiдповiдно на D(RN ) та D(Q0); (f, ϕ) — значення f ∈ D′(RN ) на основнiй функцiї ϕ ∈ D(RN ),
а також значення f ∈ D′(Q0) на ϕ ∈ D(Q0).
Позначимо через ∗̂ операцiю згортки узагальненої функцiї g та основної функцiї ϕ [17,
с. 111]: (g∗̂ϕ)(x) =
(
g(ξ), ϕ(x + ξ)
)
, через ∗ операцiю згортки узагальнених функцiй f i g,
тобто узагальнену функцiю f ∗ g : (f ∗ g, ϕ) = (f, g∗̂ϕ) для кожної основної функцiї ϕ.
Будемо використовувати функцiю fλ ∈ D′+(R) =
{
f ∈ D′(R) : f = 0 при t < 0
}
:
fλ(t) =
θ(t)tλ−1
Γ(λ)
при λ > 0 i fλ(t) = f ′1+λ(t) при λ ≤ 0,
де Γ(z) — гамма-функцiя, θ(t) — одинична функцiя Хевiсайда. Справджуються спiввiдношення
fλ ∗ fµ = fλ+µ, fλ∗̂fµ = fλ+µ.
Нагадаємо, що похiдна v(β)t (x, t) Рiмана – Лiувiлля функцiї v(x, t) порядку β > 0 визнача-
ється формулою
v
(β)
t (x, t) = f−β(t) ∗ v(x, t),
Dβ
t v(x, t) = v
(β)
t (x, t)− f1−β(t)v(x, 0), β ∈ (0, 1),
Dβ
t v(x, t) =
1
Γ(2− β)
t∫
0
vττ (x, τ)
(t− τ)β−1
dτ =
= v
(β)
t (x, t)− f1−β(t)v(x, 0)− f2−β(t)vt(x, 0), β ∈ (1, 2).
Нехай C(Q0), C(Q0), C[0, T ] — класи неперервних вiдповiдно вQ0, Q0 та на [0, T ] функцiй,
C+[0, T ] — клас неперервних на [0, T ] та обмежених знизу додатним числом функцiй,Cβ(0, T ] =
=
{
v ∈ C(0, T ]| tβv ∈ C[0, T ], inft∈(0,T ] t
β
∣∣v(t)
∣∣ > 0
}
, C2,β(Q0) =
{
v ∈ C(Q̄0) | vxx, Dβ
t v ∈
∈ C(Q0)
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
668 А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Означення 1. Розв’язком задачi (1) – (5) називається пара функцiй
(u, a) ∈Mβ := C2,β(Q0)× C+[0, T ],
що задовольняє рiвняння (1) в Q0 та умови (2) – (5).
Для доведення розв’язностi задачi (1) – (5) використаємо метод функцiї Ґрiна.
3. Вектор-функцiя Ґрiна та оператори Ґрiна. Введемо оператори
L : (Lv)(x, t) ≡ v(β)t (x, t)− a(t)vxx(x, t), (x, t) ∈ Q0, v ∈ D′(Q0),
Lreg : (Lregv)(x, t) ≡ Dβ
t v(x, t)− a(t)vxx(x, t), (x, t) ∈ Q0, v ∈ C2,β(Q0),
L̂ : (L̂v)(x, t) ≡ f−β ∗̂v(x, t)− a(t)vxx(x, t), (x, t) ∈ Q0, v ∈ D(Q0),
та функцiйний простiр
X(Q0) =
{
v ∈ D(Q0) : v(0, t) = v(l, t) = 0, t ∈ [0, T ]
}
.
Як у [18], показуємо, що для v ∈ C2,β(Q0), ψ ∈ X(Q̄0) має мiсце формула Ґрiна∫
Q0
v(y, τ)(L̂ψ)(y, τ)dydτ =
∫
Q0
(Lregv)(y, τ)ψ(y, τ)dydτ+
+
T∫
0
a(τ)[v(0, τ)ψy(0, τ)− v(l, τ)ψy(l, τ)]dτ+
+
l∫
0
v(y, 0)dy
T∫
0
f1−β(τ)ψ(y, τ)dτ +
l∫
0
vτ (y, 0)dy
T∫
0
f2−β(τ)ψ(y, τ)dτ. (6)
Означення 2. Вектор-функцiя
(
G0(x, t, y, τ), G1(x, t, y, τ), G2(x, t, y, τ)
)
така, що при дос-
татньо гладких F0, F1, F2 функцiя
v(x, t) =
t∫
0
dτ
l∫
0
G0(x, t, y, τ)F0(y, τ)dy+
+
l∫
0
G1(x, t, y, 0)F1(y)dy +
l∫
0
G2(x, t, y, 0)F2(y)dy, (x, t) ∈ Q0, (7)
є класичним
(
класу C2,β(Q0)
)
розв’язком першої крайової задачi (1) – (4) (з вiдомою функцiєю
a(t) та нульовими крайовими умовами), називається вектор-функцiєю Ґрiна цiєї задачi.
Останнiй доданок у формулi (7) та третя компонента в означеннi 2 вiдсутнi, якщо β ∈ (0, 1].
З означення випливає, що
(LG0)(x, t, y, τ) = δ(x− y, t− τ), (x, t), (y, τ) ∈ Q0, де δ − дельта-функцiя Дiрака,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ 669
Gi(0, t, y, 0) = Gi(l, t, y, 0) = 0, y ∈ (0, l), t ∈ [0, T ], i = 0, 1, 2,
G1(x, 0, y, 0) = δ(x− y), G2(x, 0, y, 0) = 0, G2t(x, 0, y, 0) = δ(x− y), x, y ∈ [0, l].
Лема 1. Gi(x, t, y, τ) = fi−β(t) ∗G0(x, t, y, τ), (x, t), (y, τ) ∈ Q0, i = 1, 2.
Лема доводиться за схемою [18].
Iз принципу максимуму випливає додатнiсть функцiй G0(x, t, y, τ), G1(x, t, y, 0),
G2(x, t, y, 0), (x, t), (y, τ) ∈ Q0, а звiдси, в свою чергу, додатнiсть
∂G0(0, t, y, τ)
∂x
,
∂G1(0, t, y, 0)
∂x
,
∂G2(0, t, y, 0)
∂x
, y ∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T.
Лема 2. При a ∈ C+[0, T ] вектор-функцiя Ґрiна першої крайової задачi (1) – (4) iснує.
Доведення. З огляду на лему 1 достатньо довести iснування головної функцiї Ґрiна
G0(x, t, y, τ). Як у [1 – 3] для задачi Кошi та у [19] для загальних параболiчних крайових
задач, її iснування можна довести методом Левi.
Iснування функцiї G0(x, t, y, τ) можна також довести методом рядiв Фур’є. Справдi, виби-
раючи у формулi (6) за функцiї ψk ∈ X(Q0) розв’язки рiвнянь (L̂ψk)(y, t) = ϕk(x, t, y, τ), де
послiдовнiсть ϕk(x, t, y, τ), k → ∞, є дельтавидною, iз формули (6) пiсля граничного перехо-
ду при k → ∞ одержуємо зображення (7) розв’язку задачi (1) – (4), де G0(x, t, y, τ)
(
границя
послiдовностi ψk у D′(R2)
)
, як функцiя (y, τ), є розв’язком задачi
(L̂y,τG0)(x, t, y, τ) = δ(x− y, t− τ), (x, t), (y, τ) ∈ Q0,
(8)
G0(x, t, 0, τ) = G0(x, t, l, τ) = 0, G0(x, t, y, T ) = G0τ (x, t, y, T ) = 0.
G0 шукаємо у виглядi
G0(x, t, y, τ) =
∞∑
m=1
Sm(x, t, τ)ωm(y), (9)
де ωm(y) — ортонормованi власнi функцiї стацiонарної крайової задачi
ω
′′
m + λmωm = 0, y ∈ (0, l), ωm(0) = ωm(l) = 0.
Пiдставляючи (9) у рiвняння задачi (8), маємо
∞∑
m=1
[
f−β(τ)∗̂Sm(x, t, τ) + λma(τ)Sm(x, t, τ)
]
ωm(y) =
∞∑
m=1
(
δ(x− y), ωm(y)
)
ωm(y)δ(t− τ).
Звiдси, враховуючи, що
(
δ(x− y), ωm(y)
)
= ωm(x), одержуємо задачi для функцiй Sm(x, t, τ):
f−β(τ)∗̂Sm(x, t, τ) + λma(τ)Sm(x, t, τ) = ωm(x)δ(t− τ),
Sm(x, t, T ) = Smτ (x, t, T ) = 0, m = 1, 2, . . . .
(10)
Кожна iз задач (10) зводиться до лiнiйного iнтегрального рiвняння
Sm(x, t, τ) + λmfβ(τ)∗̂
(
a(τ)Sm(x, t, τ)
)
= fβ(t− τ)ωm(x). (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
670 А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Методом послiдовних наближень знаходимо його розв’язок у виглядi рiвномiрно збiжного при
x ∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T ряду
Sm(x, t, τ) =
[
fβ(t− τ)+
+
∞∑
p=0
(−λm)pfβ(τ)∗̂
(
a(τ)
(
fβ(τ)∗̂
(
. . . a(τ)
(
fβ(τ)∗̂
(
a(τ)︸ ︷︷ ︸
p
fβ(t− τ)
)))))]
ωm(x).
Зокрема, у випадку a(τ) = a = const > 0 маємо
Sm(x, t, τ) =
∞∑
p=0
(−aλm)pf(p+1)β(t− τ)ωm(x) =
= (t− τ)β−1
∞∑
p=0
[
−aλm(t− τ)β
]p
Γ(pβ + β)
ωm(x) = (t− τ)β−1Eβ
(
−aλm(t− τ)β
)
ωm(x),
де Eβ(z) = Eβ−1(z, β) =
∑∞
p=0
zp
Γ(pβ + β)
— функцiя Мiттаг-Лефлера [8], яка при великих |z|
має оцiнку Eβ(z) ≤ C
|z|
, C = C(β) — певна додатна стала. Тодi збiжнiсть ряду (9) випливає з
рiвномiрної збiжностi ряду
C
a(t− τ)
∞∑
m=0
∣∣ωm(x)ωm(y)
∣∣
λm
, x, y ∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T.
У загальному випадку оцiнюємо рiзницю двох сусiднiх доданкiв у виразi для Sm(x, t, τ):
λ2km fβ(τ)∗̂
(
a(τ)
(
fβ(τ)∗̂
(
. . . a(τ)fβ(τ)∗̂
(
a(τ)︸ ︷︷ ︸
2k
fβ(t− τ)
))))
−
−λ2k+1
m fβ(τ)∗̂
(
a(τ)
(
fβ(τ)∗̂
(
. . . a(τ)fβ(τ)∗̂
(
a(τ)︸ ︷︷ ︸
2k+1
fβ(t− τ)
))))
≤
≤ λ2km
[
A2k
0 f(2k+1)β(t− τ)− λma2k+1
0 f(2k+2)β(t− τ)
]
≤
≤ λ2km
[
c2kf(2k+1)β(t− τ)− λmc2k+1f(2k+2)β(t− τ)
]
при деякому c < a0 = mint∈[0,T ] a(t) ≤ maxt∈[0,T ] a(t) = A0 та всiх
λm ≥
A2k
0 − c2k
a2k+1
0 − c2k+1
f(2k+1)β(t− τ)
f(2k+2)β(t− τ)
=
A2k
0 − c2k
a2k+1
0 − c2k+1
Γ(2kβ + 2β)
Γ(2kβ + β)(t− τ)β
.
Зауважимо, що, згiдно з [20, c. 67],
Γ(2kβ + 2β)
Γ(2kβ + β)
= O
(
(2kβ)β
)
для великих k. Тодi при великих
λm(t− τ)β виконується
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ 671∣∣Sm(x, t, τ)
∣∣ ≤ (t− τ)β−1Eβ(−cλm(t− τ)β)
∣∣ωm(x)
∣∣, x ∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T.
Отже, при a ∈ C+[0, T ] матимемо аналогiчну до випадку сталої функцiї a оцiнку розв’язку
рiвняння (11) при великих λm(t − τ)β, а звiдси рiвномiрну при x, y ∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T
збiжнiсть ряду (9). Головна функцiя Ґрiна задачi (1) – (4) iснує.
Знайдемо оцiнки компонент вектор-функцiї Ґрiна та їх похiдних. Далi будемо використову-
вати позначення Gi(x, t, y, τ, a) замiсть Gi(x, t, y, τ), i = 0, 1, 2.
Iз результатiв [6] випливає, що фундаментальна функцiя G(x, t, a) оператора L зi сталим
коефiцiєнтом a > 0 має вигляд
G(x, t, a) =
π−1/2tβ−1
|x|
H2,0
1,2
(
|x|2
4atβ
∣∣∣∣ (β, β)
(1, 1) (1/2, 1)
)
, (12)
де Hm,n
p,q
(
z
∣∣∣∣ (a1, α1) . . . (ap, αp)
(b1, β1) . . . (bq, βq)
)
— H-функцiя Фокса [21].
Використовуючи формулу диференцiювання H-функцiй (властивiсть 2.8 iз [21]), маємо(
∂
∂|x|
)k
G(x, t, a) =
π−1/2tβ−1
|x|1+k
H2,1
2,3
(
x2
4atβ
∣∣∣∣ (1, 2) (β, β)
(1, 1) (1/2, 1) (k + 1, 2)
)
=
= (−1)k
π−1/2tβ−1
|x|1+k
H3,0
2,3
(
x2
4atβ
∣∣∣∣ (β, β) (1, 2)
(k + 1, 2) (1, 1) (1/2, 1)
)
, k = 0, 1, . . . . (13)
За формулою дробового диференцiювання (теорема 2.7 iз [21])
fj−β(t) ∗G(x, t, a) =
π−1/2tj−1
|x|
H2,1
2,3
(
x2
4atβ
∣∣∣∣ (1, 1) (j, β)
(1, 1) (1/2, 1) (1, 1)
)
=
=
π−1/2tj−1
|x|
H2,0
1,2
(
x2
4atβ
∣∣∣∣ (j, β)
(1, 1) (1/2, 1)
)
, j = 1, 2, (14)
а звiдси знову за властивiстю 2.8 iз [21](
∂
∂|x|
)k (
fj−β(t) ∗G(x, t, a)
)
=
=
π−1/2tj−1
|x|
H2,1
2,3
(
x2
4atβ
∣∣∣∣ (1, 2) (j, β)
(1, 1) (1/2, 1) (1 + k, 2)
)
, j = 1, 2.
Зауважимо, що вигляд функцiї (14) при j = 1 збiгається з одержаним у [5] для випадку
β ∈ (0, 1), в обох випадках — iз вiдповiдними функцiями у [4].
Згiдно з методом Левi, для функцiйG0(x, t, y, τ, a), Gj(x, t, y, 0, a) та їх похiдних за змiнною
x мають мiсце такi ж оцiнки, як для G
(
x− y, t− τ, a(τ)
)
, fj−β(t) ∗G
(
x− y, t, a(0)
)
, j = 1, 2,
та їх похiдних по x вiдповiдно [1 – 3].
Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
672 А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА[
a(t)
]−1 ≤ R для всiх t ∈ [0, T ].
Використовуючи властивостi H-функцiй Фокса (як у [18]), метод Левi та враховуючи ре-
зультати [4], знаходимо оцiнки∣∣∣∣( ∂∂x)kG0(x, t, y, τ, a)
∣∣∣∣ ≤ C∗kRk+1
2 (t− τ)
β(1−k)
2 −1, |x− y|2 < 4(t− τ)β/R,
∣∣∣∣( ∂∂x)kG0(x, t, y, τ, a)
∣∣∣∣ ≤ Ck(t− τ)β−1
|x− y|k+1
, |x− y|2 > 4(t− τ)β/R, k = 0, 1, 2, . . . ,
∣∣∣∣( ∂∂x)kGj(x, t, y, 0, a)
∣∣∣∣ ≤ C∗jkRk+1
2 tj−1−(k+1)
β
2 , |x− y|2 < 4tβ/R,
∣∣∣∣( ∂∂x)kGj(x, t, y, 0, a)
∣∣∣∣ ≤ Ĉjkt
j−1
|x− y|
(
R|x− y|2
4tβ
)1−j+k+ 1
2
2−β
e
−c
(R|x−y|2
4tβ
) 1
2−β
≤
≤ CjkR
− 1
2−β |x− y|−1−
2
2−β t
j−1+ β
2−β , |x− y|2 > 4tβ/R, j = 1, 2, c = (2− β)ββ(2−β),
Ck, C
∗
k , Cjk, C
∗
jk, Ĉjk та далi ck, c∗k, ĉk, cjk, c
∗
jk, j = 1, 2, k = 0, 1, 2, . . . , — певнi додатнi сталi.
Лема 3. Справджуються оцiнки∣∣Gj(x, t+ ∆t, y, τ, a)−Gj(x, t, y, τ, a)
∣∣ ≤ Aj(x, t, y, τ, a)|∆t|γ ,
(15)∣∣∣∣∂Gj(0, t+ ∆t, y, τ, a)
∂x
− ∂Gj(0, t, y, τ, a)
∂x
∣∣∣∣ ≤ Bj(t, y, τ, a)|∆t|γ , x, y ∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T,
де 0 < γ < 1, невiд’ємнi функцiї Aj(x, t, y, τ, a) та Bj(t, y, τ, a) мають такi ж оцiнки, як
Gj(x, t, y, τ, a) та
∂Gj(0, t, y, τ, a)
∂x
, j = 0, 1, 2, вiдповiдно iз замiною β на β − γ.
Доведення. Використовуючи зображення (9), отримуємо
G0(x, t+ ∆t, y, τ, a)−G0(x, t, y, τ, a) =
∞∑
m=1
[
Sm(x, t+ ∆t, τ, a)− Sm(x, t, τ, a)
]
ωm(y). (16)
Для функцiй
Zm(x, t, τ,∆t, a) = Sm(x, t+ ∆t, τ, a)− Sm(x, t, τ, a)
одержуємо iнтегральнi рiвняння
Zm(x, t, τ,∆t, a) +λmfβ(τ)∗̂
(
a(τ)Zm(x, t, τ,∆t, a)
)
=
[
fβ(t+ ∆t− τ)− fβ(t− τ)
]
ωm(x) (17)
вигляду (11). Оскiльки
fβ(t+ ∆t− τ)− fβ(t− τ) = f−λ(t) ∗
[
fβ+λ(t+ ∆t− τ)− fβ+λ(t− τ)
]
,
при 1−β < λ < 1, якщо β ∈ (0, 1), та при λ < 2−β, якщо β ∈ (1, 2), маємо β+λ−1 = γ ∈ (0, 1)
та β − γ = 1− λ > 0. Тодi, враховуючи нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ 673
∣∣(t+ ∆t− τ)γ − (t− τ)γ
∣∣ = (t− τ)γ
∣∣∣(1 +
∆t
t− τ
)γ
− 1
∣∣∣ ≤ |∆t|γ ,
одержуємо ∣∣fβ(t+ ∆t− τ)− fβ(t− τ)
∣∣ ≤ f1−λ(t− τ)|∆t|γ = fβ−γ(t− τ)|∆t|γ .
Як i при доведеннi леми 2, знаходимо функцiї Zm(x, t, y, τ,∆t, a), що матимуть такi ж
оцiнки, як розв’язки рiвнянь (11) iз замiною β на β − γ та множником |∆t|γ . Враховуючи
зображення (16), одержуємо оцiнку (15) при j = 0. Iншi оцiнки в лемi встановлюємо з таких
самих мiркувань та з огляду на лему 1.
Введемо оператори Ґрiна
(G0ϕ)(x, t) =
t∫
0
dτ
l∫
0
G0(x, t, y, τ, a)ϕ(y, τ)dy, ϕ ∈ C2,β(Q0),
(Giϕ)(x, t) =
l∫
0
Gi(x, t, y, 0, a)ϕ(y)dy, ϕ ∈ C[0, l], i = 1, 2.
У [1 – 5] дослiджено властивостi таких операторiв у випадку RN замiсть (0, l).
Використовуючи наведенi оцiнки похiдних компонент вектор-функцiї Ґрiна, при ϕ ∈ C(Q0)
та
[
a(t)
]−1 ≤ R, t ∈ [0, T ], знаходимо∣∣∣∣∣∣
t∫
0
dτ
l∫
0
(
∂
∂x
)k
G0(x, t, y, τ, a)ϕ(y, τ)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
t∫
0
∫
y∈(0,l) : |y−x|<2(t−τ)β/2/
√
R
∣∣∣( ∂
∂x
)k
G0(x, t, y, τ, a)
∣∣∣dy+
+
∫
y∈(0,l) : |y−x|>2(t−τ)β/2/
√
R
∣∣∣( ∂
∂x
)k
G0(x, t, y, τ, a)
∣∣∣dy
dτ‖ϕ‖C(Q0)
≤
≤
t∫
0
∫
y∈(0,l) : |y−x|<2(t−τ)β/2/
√
R
C∗kR
k+1
2 (t− τ)
β(1−k)
2 −1dy+
+
∫
y∈(0,l):|y−x|>2(t−τ)β/2/
√
R
Ck(t− τ)β−1
|y − x|k+1
dy
dτ‖ϕ‖C(Q0)
,
звiдки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
674 А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА∣∣∣∣∣∣
t∫
0
dτ
l∫
0
G0(x, t, y, τ, a)ϕ(y, τ)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ c0√Rtβ/2‖ϕ‖C(Q0)
,
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
dτ
l∫
0
( ∂
∂x
)k
G0(x, t, y, τ, a)ϕ(y, τ)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ ĉk
t∫
0
R
k
2 (t− τ)
β(2−k)
2 −1dτ‖ϕ‖C(Q0)
≤
≤ ck
√
R
k
t(2−k)
β
2 ‖ϕ‖C(Q0)
, k = 1, 2, . . . ,
i при k ≤ 2, ϕ ∈ C(Q0), (x, t) ∈ Q0 функцiї
(
∂
∂x
)k
(G0ϕ)(x, t) є неперервними, зокрема
∣∣∣ ∂
∂x
(G0ϕ)(x, t)
∣∣∣ ≤ c1√Rtβ2 ‖ϕ‖C(Q0)
. (18)
При ϕ ∈ C[0, l], j = 1, 2, оцiнимо∣∣∣∣∣∣
l∫
0
(
∂
∂x
)k
Gj(x, t, y, 0)ϕ(y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
x+ 2tβ/2√
R∫
x− 2tβ/2√
R
C∗jkR
k+1
2 tj−1−(k+1)
β
2 dy +
∫
y∈(0,l) : |y−x|> 2tβ/2√
R
Cjkt
j−1+ β
2−β
R
1
2−β |y − x|1+
2
2−β
dy
‖ϕ‖C[0,l] ≤
≤ cjk
[√
R
k
tj−1−
kβ
2 + tj−1
]
‖ϕ‖C[0,l],
а отже, при ϕ ∈ C[0, l] матимемо Gjϕ ∈ C(Q0), j = 1, 2,
∂
∂x
G2ϕ ∈ C(Q0) та оцiнки∣∣∣∣ ∂∂x(G1ϕ)(x, t)
∣∣∣∣ ≤ c11 [√Rt−β2 + 1
]
‖ϕ‖C[0,l], (x, t) ∈ Q0, ϕ ∈ C[0, l], (19)
∣∣∣∣ ∂∂x(G2ϕ)(x, t)
∣∣∣∣ ≤ c21 [√Rt1−β2 + t
]
‖ϕ‖C[0,l], (x, t) ∈ Q0, ϕ ∈ C[0, l]. (20)
Iншi властивостi оператора G0 встановлено у [2], а операторiв Gj , j = 1, 2, — у [4], зокрема,
що при ϕ ∈ C(Q0) функцiї Gjϕ належать класу C2,β(Q0), j = 1, 2, при ϕ ∈ C(Q0) та для
кожного t ∈ (0, T ] локально гельдеровiй за змiнною x функцiї G0ϕ ∈ C2,β(Q0).
Нехай виконується умова
(F0) функцiя F0 належить C(Q0) та для кожного t ∈ (0, T ] є локально гельдеровою за
змiнною x,
Fi ∈ C[0, l], i = 1, 2, F1(0) = F1(l) = 0.
Iз наведеного вище та принципу максимуму випливає наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ 675
Теорема 1. За умови (F0) при вiдомiй a ∈ C+[0, T ] iснує єдиний розв’язок u ∈ C2,β(Q0)
задачi (1) – (4) i визначається формулою
u(x, t) =
(
G0F0
)
(x, t) +
(
G1F1)(x, t) +
(
G2F2)(x, t), (x, t) ∈ Q0. (21)
4. Зведення оберненої крайової задачi до операторного рiвняння. Перейдемо до дове-
дення iснування розв’язку оберненої крайової задачi. Нехай виконується умова
(F) F3 ∈ Cβ/2(0, T ] та inft∈(0,T ] t
β/2
∣∣F3(t)
∣∣ = b0 (> 0),
F0(x, t) > 0, (x, t) ∈ Q0, Fi(x) ≥ 0, x ∈ [0, l], i = 1, 2, tβ/2F3(t) > 0, t ∈ [0, T ],
або
F0(x, t) < 0, (x, t) ∈ Q0, Fi(x) ≤ 0, x ∈ [0, l], i = 1, 2, tβ/2F3(t) < 0, t ∈ [0, T ],
також ‖F1‖C[0,l] := maxx∈[0,l]
∣∣F1(x)| > 0.
За припущень (F0), (F) пiдставимо функцiю (21) в умову (5). Тодi одержимо
a(t)
∂
∂x
[(
G0F0
)
(0, t) +
(
G1F1
)
(0, t) +
(
G2F2
)
(0, t)
]
= F3(t), t ∈ [0, T ],
або
h(t) = tβ/2
∂
∂x
[(
G0F0
)
(0, t) +
(
G1F1
)
(0, t) +
(
G2F2
)
(0, t)
][
tβ/2F3(t)
]−1
, t ∈ [0, T ], (22)
де h(t) =
[
a(t)
]−1
.
З теореми 1, додатностi функцiй
∂G0(0, t, y, τ, a)
∂x
,
∂G1(0, t, y, 0, a)
∂x
,
∂G2(0, t, y, 0, a)
∂x
, y ∈
∈ [0, l], 0 ≤ τ < t ≤ T, та наведених мiркувань випливає така теорема.
Теорема 2. За припущень (F0), (F) пара функцiй (u, a) ∈Mβ є розв’язком задачi (1) – (5)
тодi i тiльки тодi, коли додатна неперервна функцiя h(t) = 1/a(t), t ∈ [0, T ], є розв’язком
рiвняння (22), функцiя u(x, t) визначена формулою (21).
5. Теореми iснування та єдиностi.
Теорема 3. За припущень (F0), (F) розв’язок (u, a) ∈ Mβ задачi (1) – (5) iснує: функцiя
u(x, t) визначена формулою (21), a(t) =
[
h(t)
]−1
, де h(t) — розв’язок операторного рiвнян-
ня (22).
Доведення. З огляду на теорему 2 залишилося довести розв’язнiсть рiвняння (22) у класi
додатних неперервних функцiй на [0, T ]. Доведемо спочатку розв’язнiсть рiвняння (22) у класi
MR =
{
h ∈ C[0, T ] | ‖h‖C[0,T ] = max
t∈[0,T ]
|h(t)| ≤ R
}
при деякому R > 0. Для цього використаємо принцип Шаудера. На MR розглянемо оператор
(Ph)(t) := tβ/2
[
∂
∂x
(
G0F0
)
(0, t) +
∂
∂x
(
G1F1
)
(0, t) +
∂
∂x
(
G2F2
)
(0, t)
]
×
×
[
tβ/2F3(t)
]−1
, t ∈ [0, T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
676 А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Покажемо спочатку, що P : MR →MR.
Використовуючи знайденi оцiнки операторiв Ґрiна та їх похiдних, при h ∈ MR, t ∈ [0, T ]
маємо
∣∣(Ph)(t)
∣∣ ≤ b−10 tβ/2
t∫
0
dτ
l∫
0
∂G0(0, t, y, τ, 1/h)
∂x
∣∣F0(y, τ)
∣∣dy+
+
l∫
0
∂G1(0, t, y, 0, 1/h)
∂x
∣∣F1(y)
∣∣dy +
l∫
0
∂G2(0, t, y, 0, 1/h)
∂x
∣∣F2(y)
∣∣dy
≤
≤ b−10
[
c0
√
Rtβ‖F0‖C(Q0)
+ c11
(√
R+ tβ/2
)
‖F1‖C[0,l] + c21t
(√
R+ tβ/2
)
‖F2‖C[0,l]
]
≤
≤ c1
√
R+ c2,
де c1, c2 — певнi додатнi числа
(
c1 = b−10
[
c0T
β‖F0‖C(Q0)
+ c11‖F1‖C[0,l] + c21T‖F2‖C[0,l]
]
,
c2 = T β/2
[
c11‖F1‖C[0,l] + c21T‖F2‖C[0,l]
])
.
За властивiстю функцiї c1
√
R + c2 при довiльних додатних числах c1, c2 iснує таке R0 =
= R0(c1, c2) > 0, що для всiх R > R0 виконується c1
√
R + c2 < R. Тодi при h ∈ MR маємо
‖Ph‖C[0,T ] < R, а отже, P : MR →MR.
Оператор P є неперервним на MR. Справдi, при h1, h2 ∈MR, t ∈ [0, T ] отримуємо
(Ph1)(t)− (Ph2)(t) =
= tβ/2
[
tβ/2F3(t)
]−1 t∫
0
dτ
l∫
0
[
∂G0(0, t, y, τ, 1/h1)
∂x
− ∂G0(0, t, y, τ, 1/h2)
∂x
]
F0(y, τ)dy+
+
[
tβ/2F3(t)
]−1 l∫
0
tβ/2
[
∂G1(0, t, y, 0, 1/h1)
∂x
− ∂G1(0, t, y, 0, 1/h2)
∂x
]
F1(y)dy+
+
[
tβ/2F3(t)
]−1 l∫
0
tβ/2
[
∂G2(0, t, y, 0, 1/h1)
∂x
− ∂G2(0, t, y, 0, 1/h2)
∂x
]
F2(y)dy.
Усi iнтеграли рiвномiрно збiгаються та дорiвнюють нулю при h1(t) = h2(t). Тому значення∣∣(Ph1)(t)− (Ph2)(t)
∣∣ є малими для всiх t ∈ [0, T ] при малих значеннях h1(t)−h2(t), t ∈ [0, T ].
Аналогiчно переконуємося, що оператор P є компактним на MR. Вище було встановлено
рiвномiрну обмеженiсть множини {(Ph)(t), t ∈ [0, T ]} при h ∈MR, крiм того, iз властивостей
операторiв Ґрiна та леми 3 випливає, що для довiльного ε > 0 iснує δ = δ(ε) таке, що при
|∆t| < δ для довiльних h ∈MR, t ∈ [0, T ]∣∣(Ph)(t+ ∆t)− (Ph)(t)
∣∣ < ε,
а отже, множина
{
(Ph)(t), t ∈ [0, T ]
}
при h ∈MR одностайно неперервна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
ОДНА ОБЕРНЕНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФУЗIЙНО-ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ 677
Згiдно з принципом Шаудера, iснує розв’язок h ∈MR рiвняння (22).
Було показано неперервнiсть правої частини (22) на [0, T ]. Також за умов на заданi функцiї
tβ/2
∂
∂x
(
G1F1
)
(0, t) > 0, tβ/2
∂
∂x
(
GiFi
)
(0, t) ≥ 0, i = 0, 2, t ∈ [0, T ],
або
tβ/2
∂
∂x
(
G1F1
)
(0, t) < 0, tβ/2
∂
∂x
(
GiFi
)
(0, t) ≤ 0, i = 0, 2, t ∈ [0, T ].
Звiдси, враховуючи також умови щодо функцiї F3, одержуємо, що (Ph)(t) > 0 для всiх t ∈
∈ [0, T ], h ∈ MR. Отже, враховуючи рiвняння (22), за умов (F0), (F) одержуємо додатнiсть
розв’язку h(t) на [0, T ].
Теорема 4. При F3 ∈ Cβ/2(0, T ] розв’язок (u, a) ∈Mβ задачi (1) – (5) єдиний.
Доведення. Якщо (u1, a1), (u2, a2) ∈Mβ — два розв’язки задачi, v = u1 − u2, a = a1 − a2,
то
Dβ
t v − a1(t)vxx = a(t)u2xx , (x, t) ∈ Q0, (23)
v(0, t) = v(l, t) = 0, v|t=0 = 0, (24)
a1(t)
∂v(0, t)
∂x
= − a(t)
a2(t)
F3(t), t ∈ (0, T ], (25)
та для функцiї v, як розв’язку задачi (23), (24), має мiсце зображення
v(x, t) =
t∫
0
dτ
l∫
0
G0(x, t, y, τ, a1)a(τ)u2yy(y, τ)dy, (x, t) ∈ Q0. (26)
Пiдставляючи функцiю (26) в умову (25), маємо
a1(t)
t∫
0
dτ
l∫
0
∂G0(0, t, y, τ, a1)
∂x
a(τ)u2yy(y, τ)dy = − a(t)
a2(t)
F3(t),
тобто
a(t) +
t∫
0
dτ
l∫
0
a1(t)a2(t)
F3(t)
∂G0(0, t, y, τ, a1)
∂x
a(τ)u2yy(y, τ)dy = 0, t ∈ [0, T ].
Отже, функцiя a(t) задовольняє лiнiйне однорiдне iнтегральне рiвняння Вольтерра другого
роду з iнтегровним ядром (за припущення теореми) i a(t) = 0 на [0, T ]. Тодi з (26) одержуємо
v(x, t) = 0, (x, t) ∈ Q0.
Зауваження. 1. З доведення теореми 3 випливає iснування розв’язку задачi (1) – (5) i тодi,
коли неперервнiсть функцiї F0(x, t) на Q0 замiнити слабшою умовою — неперервнiстю функцiї
tβ/2F0(x, t) на Q0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
678 А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
2. Якщо у припущеннi (F0) додати умову F1 ∈ C1[0, l], а в умовi (F) вважати F3 ∈
∈ C0(0, T ], то за такою ж схемою доводимо iснування розв’язку задачi (1) – (5)
(
у цьому
випадку використовуємо, що∣∣∣∣∣∣
l∫
0
∂G1(x, t, y, 0)
∂x
F1(y)dy
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
l∫
0
G1(x, t, y, 0)F ′1(y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ d‖F ′1‖C[0,l],
d = const > 0
)
. За припущення F3 ∈ C0(0, T ] також одержуємо єдинiсть розв’язку цiєї задачi.
1. Kochubei A. N. Fractional-order diffusion // Different. Equat. – 1990. – 26. – P. 485 – 492.
2. Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии // Доп. НАН України. – 2002. –
№ 12. – С. 11 – 16.
3. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
4. Ворошилов A. А., Килбас А. А. Условия существования классического решения задачи Коши для диффузионно-
волнового уравнения с частной производной Капуто // Докл. АН. – 2007. – 414, № 4. – С. 1 – 4.
5. Anh V. V., Leonenko N. N. Spectral analysis of fractional kinetic equations with random datas // J. Statist. Phys. –
2001. – 104, № 5/6. – P. 1349 – 1387.
6. Jun Sheng Duan. Time- and space-fractional partial differential equations // J. Math. Phys. – 2005. – 46.
7. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost friequency independent / II. Geofis. J. R. Astr. Soc. –
1967. – 13. – P. 529 – 539.
8. Джрбашян M. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. – М.:
Наука, 1999. – 671 c.
9. Luchko Yu. Boundary value problem for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order //
Fract. Calculus and Appl. Anal. – 2009. – 12, № 4. – P. 409 – 422.
10. Meerschaert M. M., Nane Erkan, Vallaisamy P. Fractional Cauchy problems on bounded domains // Ann. Probab. –
2009. – 37. – P. 979 – 1007.
11. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Stud.: Monogr. Ser. – Lviv: VNTL Publ.,
2003. – 10. – 238 p.
12. Cheng J., Nakagawa J., Yamamoto M., Yamazaki T. Uniqueness in an inverse problem for a one-dimentional fractional
diffusion equation // Inverse Problems. – 2009. – 25, № 11. – P. 1 – 16.
13. Nakagawa J., Sakamoto K., Yamamoto M. Overview to mathematical analysis for fractional diffusion equation – new
mathematical aspects motivated by industrial collaboration // J. Math. for Industry. – 2010. – 2A. – P. 99 – 108.
14. Zhang Y., Xu X. Inverse source problem for a fractional diffusion equation // Inverse Problems. – 2011. – 27, № 3. –
P. 1 – 12.
15. Rundell W., Xu X., Zuo L. The determination of an unknown boundary condition in fractional diffusion equation //
Appl. Anal. – 2012. – P. 1 – 16.
16. Hatano Y., Nakagawa J., Wang Sh., Yamamoto M. Determination of order in fractional diffusion equation // J. Math.
for Industry. – 2013. – 5A. – P. 51 – 57.
17. Шилов Г. Е. Математический анализ: Второй спец. курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
18. Лопушанська Г. П., Лопушанський А. О. Задача Кошi для рiвнянь з дробовими похiдними за часовою та
просторовими змiнними у просторах узагальнених функцiй // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 8. – С. 1067 –
1080.
19. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
20. Титчмарш Е. Теория функций. – М.: Наука, 1980. – 464 с.
21. Kilbas A. A., Sajgo M. H-transforms. – Boca-Raton: Chapman and Hall/CRC, 2004. – 401 p.
Одержано 12.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2168 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:00Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/18/cc4b66ef7755a30cbca6656213ee3718.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21682019-12-05T10:25:31Z One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain Одна обернена крайова задача для дифузійно-хвильового рівняння Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. We prove the theorems on the existence and unique determination of a pair of functions: a(t) >0, t ∈ [0,T], and the solution u(x, t) of the first boundary-value problem for the equation $$ \begin{array}{ll}{D}_t^{\beta }u-a(t){u}_{xx}={F}_0\left(x,t\right),\hfill & \left(x,t\right)\in \left(0,l\right)\times \left(0,T\right],\hfill \end{array} $$ with regularized derivative D t β u of the fractional order β ∈ (0, 2) under the additional condition a(t)u x (0, t) = F(t), t ∈ [0,T]. Доказаны теоремы о существовании и единственности определения пары функций: $a(t) >0, t ∈ [0,T]$, и решения $u(x,t)$ первой краевой задачи для уравнения $$\begin{array}{ll}{D}_t^{\beta }u-a(t){u}_{xx}={F}_0\left(x,t\right),\hfill & \left(x,t\right)\in \left(0,l\right)\times \left(0,T\right],\hfill \end{array}$$ с регуляризованной производной $D_t^{β}$ u дробного порядка $β ∈ (0, 2)$ при дополнительном условии $a(t)u_x (0, t) = F(t),\; t ∈ [0,T]$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2168 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 5 (2014); 666–678 Український математичний журнал; Том 66 № 5 (2014); 666–678 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2168/1338 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2168/1339 Copyright (c) 2014 Lopushanskaya G. P.; Lopushanskyi A. O. |
| spellingShingle | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain |
| title | One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain |
| title_alt | Одна обернена крайова задача для дифузійно-хвильового рівняння |
| title_full | One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain |
| title_fullStr | One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain |
| title_full_unstemmed | One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain |
| title_short | One Inverse Problem for the Diffusion-Wave Equation in Bounded Domain |
| title_sort | one inverse problem for the diffusion-wave equation in bounded domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2168 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskayagp oneinverseproblemforthediffusionwaveequationinboundeddomain AT lopushanskyiao oneinverseproblemforthediffusionwaveequationinboundeddomain AT lopušansʹkagp oneinverseproblemforthediffusionwaveequationinboundeddomain AT lopušansʹkijao oneinverseproblemforthediffusionwaveequationinboundeddomain AT lopushanskayagp odnaobernenakrajovazadačadlâdifuzíjnohvilʹovogorívnânnâ AT lopushanskyiao odnaobernenakrajovazadačadlâdifuzíjnohvilʹovogorívnânnâ AT lopušansʹkagp odnaobernenakrajovazadačadlâdifuzíjnohvilʹovogorívnânnâ AT lopušansʹkijao odnaobernenakrajovazadačadlâdifuzíjnohvilʹovogorívnânnâ |