Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm
We establish exact-order estimates for the trigonometric widths of the Nikol’skii–Besov classes of periodic functions of many variables in the Lebesgue space with mixed norm.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2173 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508116400996352 |
|---|---|
| author | Akishev, G. Акишев, Г. Акишев, Г. |
| author_facet | Akishev, G. Акишев, Г. Акишев, Г. |
| author_sort | Akishev, G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:45Z |
| description | We establish exact-order estimates for the trigonometric widths of the Nikol’skii–Besov classes of periodic functions of many variables in the Lebesgue space with mixed norm. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
Г. Акишев (Караганд. гос. ун-т, Казахстан)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ
НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛЕБЕГА
СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ
We establish exact-order estimates for the trigonometric widths of the Nikol’ski – Besov classes of periodic functions of
many variables in the Lebesgue space with mixed norm.
Встановлено точнi за порядком оцiнки тригонометричного поперечника класiв Нiкольського – Бєсова перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Лебега з мiшаною нормою.
Введение. Пусть x = (x1, . . . , xm) ∈ Tm = [0, 2π)m. Через Lp̄(Tm) обозначим пространство
измеримых по Лебегу функций f(x̄), определенных на Rm, имеющих 2π-период по каждой
переменной, для которых
‖f‖p̄ =
2π∫
0
. . .
2π∫
0
∣∣f(x̄)
∣∣p1dx1
p2/p1
. . .
pm/(pm−1)
dxm
1/pm
<∞,
где p = (p1, . . . , pm), 1 ≤ pj <∞, j = 1, . . . ,m (см. [1, с. 128]). В случае, когда p1 = p, . . . , pm =
= p, условимся вместо ‖ · ‖p̄, Lp̄(Tm) и Br
p̄,θ использовать соответственно обозначения ‖ · ‖p,
Lp(Tm) и Br
p,θ.
Функция f ∈ L1(Tm) = L(Tm) разлагается в ряд Фурье∑
n∈Zm
an(f)ei〈n,x〉,
где 〈n̄, x̄〉 =
∑m
j=1
njxj , an(f) — коэффициенты Фурье функции f ∈ L1(Tm) по кратной три-
гонометрической системе
{
ei〈n,x〉
}
n̄∈Zm и Zm — пространство точек из Rm с целочисленными
координатами.
Для функции f ∈ L(Tm) и числа s ∈ Z+ положим
σs(f, x) =
∑
n∈ρ(s)
an(f)ei〈n,x〉,
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , km) ∈ Zm :
[
2s−1
]
≤ max
j=1,...,m
|kj | < 2s
}
,
где [a] — целая часть числа a.
Рассматриваемые классы Никольского – Бесова [1, 2] определим следующим образом. Пусть
1 < pj <∞, j = 1, . . . ,m, 1 ≤ θ ≤ ∞ и r > 0, тогда
c© Г. АКИШЕВ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6 723
724 Г. АКИШЕВ
Br
p̄,θ =
f ∈ Lp (Tm) :
( ∑
s∈Z+
2srθ
∥∥σs(f)
∥∥θ
p̄
)1/θ
≤ 1
,
Hr
p =
{
f ∈ Lp (Tm) : sup
s∈Z+
2sr
∥∥σs(f)
∥∥
p̄
≤ 1
}
.
Известно, что для 1 < θ1 < θ2 <∞ справедливы вложения
Br
p̄,1 ⊂ Br
p̄,θ1 ⊂ B
r
p̄,θ2 ⊂ B
r
p̄,∞ = Hr
p̄ . (1)
Пусть дан некоторый класс F ⊂ Lp̄(Tm). Тригонометрическим n-поперечником dTn (F,Lp̄)
класса F в пространстве Lp̄(Tm) называется величина
dTn (F,Lp̄) = inf
Ωn
sup
f∈F
inf
t(Ωn)
∥∥f − t(Ωn)
∥∥
p̄
, (2)
где
t(Ωn, x̄) =
n∑
j=1
cje
i〈k̄(j),x̄〉,
Ωn =
{
k̄(1), k̄(2), . . . , k̄(n)
}
— семейство векторов k̄(j) =
(
k
(j)
1 , . . . , k
(j)
m
)
, j = 1, . . . , n, с цело-
численными координатами, cj — произвольные числа.
Понятие тригонометрического поперечника в одномерном случае впервые введено Р. С. Ис-
магиловым [3], и им установлены оценки для некоторых классов в пространстве непрерывных
функций. Для функций многих переменных тригонометрические поперечники классов Со-
болева W r̄
p и Никольского H r̄
p исследовались Я. С. Бугровым [4], Э. С. Белинским [5, 6],
В. Е. Майоровым [7], Г. Г. Магарил-Ильяевым [8], В. Н. Темляковым [9], а для класса Бесова
Br̄
p,θ — А. С. Романюком [10], для обобщенных классов Никольского – Бесова — С. А. Стасюком
[11, 12], Д. Б. Базархановым [13].
Для рассматриваемого класса Br
p,θ, где r, p, θ — числовые параметры, в работе [14] доказана
следующая теорема.
Теорема [14]. Пусть 1 ≤ p < 2 ≤ q < p
p− 1
, 1 ≤ θ ≤ ∞, r > m, тогда
dTn (Br
p,θ, Lq) � n
− r
m+
1
p−
1
2 .
Цель настоящей статьи — найти точный порядок тригонометрического поперечника опре-
деленного выше класса Br
p̄,θ в пространстве Lq̄(Tm).
В случае выполнения неравенств B ≥ C1A или B ≤ C2A часто будем писать B � A или
B � A соответственно. Запись A � B означает, что A� B и B � A.
Вспомогательные утверждения. Пусть f ∈ Lp̄(Tm) и
{
k̄(j)
}M
j=1
— система векторов k̄(j) =
=
(
k
(j)
1 , . . . , k
(j)
m
)
с целочисленными координатами. Рассмотрим величину
eM (f)p̄ = inf
k̄(j),bj
∥∥∥∥∥∥f −
M∑
j=1
bje
i〈k̄(j),x̄〉
∥∥∥∥∥∥
p̄
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 725
где bj — произвольные числа. Величина eM (f)p̄ называется наилучшим M -членным тригоно-
метрическим приближением функции f ∈ Lp̄(Tm). Для заданного класса F ⊂ Lp̄(Tm) положим
eM (F )p̄ = sup
f∈F
eM (f)p̄ . (3)
Заметим, что согласно определениям (2), (3) величины dTM (F,Lp̄) и eM (F )p̄ связаны неравен-
ством
eM (F )p̄ ≤ d
T
M (F )p̄ . (4)
Для оценки снизу тригонометрического поперечника класса Br
p̄,θ понадобится следующее
утверждение.
Теорема 1 [15]. Пусть p̄ = (p1, . . . , pm), q̄ = (q1, . . . , qm), 1 < pj ≤ 2 < qj < ∞, j =
= 1, . . . ,m, 1 ≤ θ ≤ ∞.
Если r >
∑m
j=1
1
pj
, то
eM
(
Br
p̄,θ
)
q̄
�M−
1
m
(
r−
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
.
Доказательство. Ограничимся установлением только оценки снизу, которую будем ис-
пользовать в дальнейшем. При этом нам понадобится формула (см. [16, с. 25])
eM (f)q̄ = inf
ΩM
sup
P∈L⊥,‖P‖q̄′≤1
∣∣∣∣∣∣
∫
Tm
f(x̄)P̄ (x̄)dx̄
∣∣∣∣∣∣, (5)
где q̄′ = (q′1, . . . , q
′
m),
1
qj
+
1
q′j
= 1, j = 1, . . . ,m, L⊥ — множество функций, ортогональных
подпространству тригонометрических полиномов, с номерами гармоник из множества ΩM .
Поскольку оценка величины eM
(
Br
p̄,θ
)
q̄
не зависит от θ, вследствие (1) оценку снизу до-
статочно доказать для Br
p̄,1.
Для натурального числа M выберем число n ∈ N такое, что M � 2nm и 2M ≤ ]ρ(n), где
]ρ(n) — количество элементов множества ρ(n).
Рассмотрим функцию
f1(x̄) = 2
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
)) ∑
k̄∈ρ(n)
ei〈k̄,x̄〉.
Тогда
∥∥σs(f1)
∥∥
p̄
= 0, если s 6= n, и
∥∥σn(f1)
∥∥
p̄
= 2
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
)) m∏
j=1
∥∥∥∥∥∥
2n−1∑
kj=2n−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
pj
.
В силу оценки нормы ядра Дирихле (см. [17, с. 181]) получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
726 Г. АКИШЕВ∥∥∥∥∥∥
2n−1∑
kj=2n−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
pj
� 2
n
(
1− 1
pj
)
для pj ∈ (1,∞), j = 1, . . . ,m. Следовательно,∥∥σn(f1)
∥∥
p̄
� 2−nr.
Поэтому
∞∑
s=1
2sr
∥∥σs(f1)
∥∥
p̄
≤ C1,
т. е. функция C−1
1 f1 ∈ Br
p̄,1.
Далее, рассмотрим функции
v1(x̄) =
∑
k̄∈ρ(n)
ei〈k̄,x̄〉,
u1(x̄) =
∑
k̄∈ρ(n)∩ΩM
ei〈k̄,x̄〉.
Положим w1(x̄) = v1(x̄)− u1(x̄). В силу равенства Парсеваля
‖u1‖2 = (π)m
∑
k̄∈ρ(n)∩ΩM
1
1/2
�M1/2,
‖v1‖2 = (π)m
∑
k̄∈ρ(n)
1
1/2
� 2nm/2.
Из этих соотношений согласно свойству нормы получим
‖w1‖2 ≤ ‖v1‖2 + ‖u1‖2 ≤ C22nm/2.
Значит, функция P1(x̄) = C−1
2 2−nm/2w1(x̄) удовлетворяет требованиям формулы (5) при qj = 2,
j = 1, . . . ,m. Поскольку 2 < qj , j = 1, . . . ,m, то eM (f1)2 � eM (f1)q̄ . Теперь по формуле (5)
имеем
eM (f1)q̄ � eM (f1)2 � inf
ΩM
∫
Tm
f1(x̄)P̄1(x̄)dx̄ =
= C−1
2 2−nm/22
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
))
inf
ΩM
[
]ρ(n)− ](ρ(n) ∩ ΩM )
]
�
� 2−nm/22
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
))[
]ρ(n)−M
]
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 727
� 2−nm/22
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
)) [
]ρ(n)− ]ρ(n)
2
]
� 2−nm/22
−n
(
r−
∑m
j=1
1
pj
)
.
Учитывая (1), последние соотношения и 2nm �M, получаем
eM
(
Br
p̄,θ
)
q̄
≥ eM
(
Br
p̄,1
)
q̄
� eM (f1)q̄ �M
− 1
m
(
r−
m∑
j=1
(
1
pj
−1
2
))
.
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. В случае p1 = . . . = pm = p и q1 = . . . = qm = q теорема 1 доказана
в [18]. Оценки величины eM
(
Br
p,θ
)
q
в случае
m
p
− m
q
< r <
m
p
установлены в [19]. В
одномерном случае теорема 1 доказана в [6]. Кроме того, теорема 1 приведена в [15] и для
других соотношений между параметрами pj , qj , j = 1, . . . ,m.
Теорема Б [20]. Пусть n̄ = (n1, . . . , nm), nj ∈ N, j = 1, . . . ,m, и
Tn̄(x̄) =
∑
|kj |≤nj ,j=1,...,m
ck̄e
i〈k̄,x̄〉.
Тогда для 1 ≤ pj < qj ≤ ∞, j = 1, . . . ,m, выполняется неравенство
‖Tn̄‖q̄ ≤ 2m
m∏
j=1
n
1/pj−1/qj
j ‖Tn̄‖p̄ .
Пусть ΩM — множество, содержащее не более чем M векторов k̄ = (k1, . . . , km) с целочис-
ленными координатами. Справедлива следующая лемма.
Лемма А [21]. Пусть 2 ≤ q <∞. Тогда для любого тригонометрического полинома
P (ΩM , x̄) =
M∑
j=1
ei〈k̄
(j),x̄〉
и любого натурального числа N ≤ M найдется тригонометрический полином P (ΩN , x̄), со-
держащий не более N гармоник и такой, что∥∥P (ΩM )− P (ΩN )
∥∥
q
�MN−1/2,
причем ΩN ⊂ ΩM , все коэффициенты P (ΩN , x̄) одинаковы и не превышают по модулюMN−1.
Основные результаты. Предварительно докажем вспомогательное утверждение, которое
будет существенно использоваться в процессе доказательства основных результатов. Рассмот-
рим тригонометрический полином
ts(x̄) =
∑
k̄∈ρ(s)
ei〈k̄,x̄〉.
Пусть t(Ωns ; x̄) — тригонометрический полином, приближающий полином ts(x̄) согласно лем-
ме А, т. е. ∥∥ts − t(Ωns)
∥∥
q̄
≤
∥∥ts − t(Ωns)
∥∥
q̃
� 2smn−1/2
s , (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
728 Г. АКИШЕВ
где q̃ = max{qj : j = 1, . . . ,m}, Ωns ⊂ ρ(s) и все коэффициенты полинома t(Ωns ; x̄) равны и
не превышают по модулю 2smn−1
s .
Рассмотрим оператор Ts вида
Tsf(x̄) = f(x̄) ∗
(
ts(x̄)− t(Ωns , x̄)
)
,
где значком ∗ обозначена операция свертки двух функций, т. е.
(ϕ ∗ g)(x̄) := (2π)−m
∫
Tm
ϕ(ȳ)g(x̄− ȳ)dȳ
для ϕ, g ∈ L(Tm).
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть 1 < pj < 2 < qj <
pj
pj − 1
= p′j , j = 1, . . . ,m. Тогда норма оператора
Ts, действующего из Lp̄(Tm) в Lq̄(Tm), удовлетворяет неравенству
‖Ts‖p̄→q̄ = sup
‖f‖p̄≤1
‖Tsf‖q̄ � 2smn
− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
s .
Доказательство. Согласно аналогу теоремы Рисса – Торина в пространстве Лебега со сме-
шанной нормой (см. [22]) можем записать
‖Ts‖p̄→q̄ ≤ ‖Ts‖1−λ2→2‖Ts‖
λ
1→q̄∗ , (7)
где 0 < λ < 1 и координаты q̄∗ = (q∗1, . . . , q
∗
m) удовлетворяют равенству
1
qj
=
1− λ
2
+
λ
q∗j
, j = 1, . . . ,m.
Выберем λ =
2
m
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
2
)
.
Коэффициенты полинома ts(x̄)−t(Ωns , x̄) равны и их модули не превышают 2(s+1)mn−1
s +1.
Поэтому в силу равенства Парсеваля имеем
‖Ts‖2→2 � 2smn−1
s . (8)
Далее, используя обобщенное неравенство Минковского (см. [1, с. 27]) и (6), имеем
‖Tsf‖q̄∗ ≤ ‖f‖1
∥∥ts − t(Ωns)
∥∥
q̄∗
� ‖f‖12smn−1/2
s .
Следовательно,
‖Ts‖1→q̄∗ � 2smn−1/2
s . (9)
Теперь, подставляя (8) и (9) в (7), получаем
‖Ts‖p̄→q̄ �
(
2smn−1
s
)1−λ (
2smn−1/2
s
)λ
= C2smn
λ
2−1
s = C2smn
− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
s .
Лемма 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 729
Замечание 2. В случае p1 = . . . = pm = p и q1 = . . . = qm = q лемма 1 доказана в [14].
Теперь сформулируем и докажем основной результат работы.
Теорема 2. Пусть 1 < pj < 2 ≤ qj <
pj
pj − 1
, j = 1, . . . ,m, 1 ≤ θ ≤ ∞, r > m. Тогда
dTn (Br
p̄,θ, Lq̄) � n
− r
m+
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
)
.
Доказательство. Оценка снизу, вследствие (4), доказана выше при установлении соответ-
ствующей оценки снизу в теореме 1.
Докажем оценку сверху. Для числа n ∈ N выберем натуральное число l такое, что 2(l−1)m−1 ≤
≤ n < 2lm−1. Положим
α =
r
m
− 1
m
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
2
)
r
m
− 1
m
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
) .
Для s = 0, 1, 2, . . . обозначим ns = 2sm, если 0 ≤ s < l, ns =
[
2lr2sm
(
1− r
m
)]
, если l ≤ s ≤
≤ [αl] + 1, и ns = 0, если s > [αl] + 1, где [y] — целая часть числа y.
Поскольку r > m, то
∑
s
ns ≤
l−1∑
s=0
2sm +
[αl]+1∑
s=l
2lr2sm
(
1− r
m
)
� C
{
2lm + 2lr2lm
(
1− r
m
)}
≤ 2C2lm � n. (10)
Рассмотрим множества
P =
⋃
0≤s<l
ρ(s), Q =
⋃
l≤s≤[αl]+1
Ωns .
Построим подпространство тригонометрических полиномов с гармониками из множества P∪Q
такое, что приближение класса Hr
p̄ в пространстве Lq̄(Tm) этим подпространством реализует
порядок величины dTn (Hr
p̄ , Lq̄).
Пусть f ∈ Hr
p̄ . Рассмотрим приближение функции f полиномами вида
t(x̄) =
l−1∑
s=0
σs(f, x̄) +
[αl]+1∑
s=l
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
)
.
В силу соотношения (10) количество гармоник полинома t(x̄) не превышает по порядку n,
тогда по свойству нормы имеем
‖f − t‖q̄ ≤
∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
(
σs(f, x̄)−
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
))∥∥∥∥∥∥
q̄
+
∥∥∥∥∥∥
∑
s>[αl]+1
σs(f)
∥∥∥∥∥∥
q̄
= J1 + J2. (11)
Оценим J2. Поскольку f ∈ Hr
p̄ , то∥∥σs(f)
∥∥
p̄
≤ 2−sr, s = 0, 1, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
730 Г. АКИШЕВ
Поэтому, используя свойство нормы, неравенство разных метрик (см. теорема Б) и неравенство
r > m, получаем
J2 =
∥∥∥∥∥ ∑
s>[αl]+1
σs(f)
∥∥∥∥∥
q̄
≤
∑
s>[αl]+1
∥∥σs(f)
∥∥
q̄
�
�
∑
s>[αl]+1
2
s
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
)∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
∑
s>[αl]+1
2
s
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
)
2−sr �
� 2
−αl
(
r−
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
))
.
Отсюда, учитывая выбор числа α, находим
J2 � 2
−l
(
r−
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
� n−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
. (12)
Оценим J1. Для натурального числа s, удовлетворяющего соотношениям l ≤ s ≤ [αl] + 1,
рассмотрим оператор Ts вида
Tsf(x̄) = f(x̄) ∗
(
ts(x̄)− t(Ωns , x̄)
)
.
Пусть pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m. Применяя неравенство Минковского и лемму 1, получаем
J1 =
∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
σs(f, x̄)−
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
)∥∥∥∥∥∥
q̄
≤
≤
[αl]+1∑
s=l
∥∥∥σs(f, x̄)−
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
)∥∥∥
q̄
�
[αl]+1∑
s=l
∥∥Tsσs(f)
∥∥
q̄
�
�
[αl]+1∑
s=l
‖Ts‖p̄→q̄
∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
[αl]+1∑
s=l
2smn
− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
s
∥∥σs(f)
∥∥
p̄
. (13)
Подставляя в (13) значения чисел ns, имеем
J1 �
[αl]+1∑
s=l
2sm
(
2lr2sm
(
1− r
m
))− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) ∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
� 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) [αl]+1∑
s=l
2sm2
−s
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
� 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) [αl]+1∑
s=l
22sm2
−s
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
2−sr. (14)
Простыми вычислениями можно убедиться, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 731
m−
(
1− r
m
) m∑
j=1
(
1
2
+
1
p′j
)
− r =
(
1− r
m
) m∑
j=1
(
1
pj
− 1
2
)
.
Поэтому из формулы (14) следует, что
J1 � 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) [αl]+1∑
s=l
2
s
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
)
.
Поскольку
2
pj
− 1 > 0 и 1− r
m
< 0, отсюда получаем
J1 � 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
2
l
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
)
=
= C2
−lm
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
� n−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
.
Таким образом,
J1 � n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
(15)
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m.
Из неравенств (11), (12) и (15) следует, что
‖f − t‖q̄ � n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m, для любой функции f ∈ Hr
p̄ . Следовательно,
dTn (Hr
p̄ , Lq̄)� n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m. Значит, из включения Br
p̄,θ ⊂ Hr
p̄ (см. (1)) имеем
dTn (Br
p̄,θ, Lq̄)� n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m.
Теорема доказана.
Замечание 3. Из теоремы 2 в случае p1 = . . . = pm = p и q1 = . . . = qm = q следуют
результаты А. С. Романюка и В. С. Романюка [14].
1. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
2. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 81.
3. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
4. Бугров Я. С. Приближение класса функций с доминирующей смешанной производной // Мат. сб. – 1964. –
64(106), № 3. – С. 410 – 418.
5. Белинский Э. С. Приближение периодических функций „плавающей” системой экспонент и тригонометриче-
ские поперечники // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. – Ярославль, 1984. –
C. 10 – 24.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
732 Г. АКИШЕВ
6. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций //
Мат. сб. – 1987. – 132, № 1. – С. 20 – 27.
7. Майоров В. Е. Тригонометрические поперечники соболевских классов W r
p в пространстве Lq // Мат. заметки. –
1986. – 40, № 2. – С. 161 – 173.
8. Магарил-Ильяев Г. Г. Тригонометрические поперечники соболевских классов функций в Rn // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1988. – 181. – С. 147 – 155.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 3 – 112.
10. Романюк А. С. Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Br
p,θ периодических
функций многих переменных // Мат. сб. – 2006. – 197, № 1. – С. 71 – 96.
11. Стасюк С. А. Тригонометричнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат.
журн. – 2002. – 54, № 5. – С. 700 – 705.
12. Стасюк С. А. Найкращi наближения, колмогоровськi та тригонометричнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних
функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – С. 1557 – 1568.
13. Базарханов Д. Б. Оценки некоторых аппроксимативных характеристик пространств Никольского – Бесова
обобщенной смешанной гладкости // Докл. РАН. – 2009. – 426, № 1. – С. 11 – 14.
14. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
15. Акишев Г. Об M – членных приближениях класса Бесова // Тез. докл. междунар. конф. „Теория приближения
функции и ее применения”, посвящ. 70-летию А. И. Степанца (1942 – 2007) (Каменец-Подольский, 28 мая –
3 июня 2012 г.). – С. 12.
16. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
17. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М., 1976. – 304 с.
18. De Vore R. A. , Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. and Appl. –
1995. – 2, № 1. – P. 29 – 48.
19. Стасюк С. А. Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Br
p,θ функций малой гладкос-
ти // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 104 – 111.
20. Унинский А. П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций
конечной степени // Теоремы вложения и их приложения: Тр. симп. по теоремам вложения ( Баку, 1966 г.). –
М.: Наука, 1970. – С. 112 – 118.
21. Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических
полиномов с заданным числом гармоник // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика. – 1991. – № 2. – С. 3 – 7.
22. Benedek A., Panzone R. The space Lp with mixed norm // Duke Math. J. – 1961. – 28, № 3. – P. 301 – 324.
Получено 27.10.12,
после доработки — 01.04.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2173 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:05Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cd/8b176f7ec4d36a411db5967e98fabccd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21732019-12-05T10:25:45Z Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой Akishev, G. Акишев, Г. Акишев, Г. We establish exact-order estimates for the trigonometric widths of the Nikol’skii–Besov classes of periodic functions of many variables in the Lebesgue space with mixed norm. Встановлено точні за порядком оцінки тригонометричного поперечника класів Нікольського - Бєсова періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Лебега з мішаною нормою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2173 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 6 (2014); 723–732 Український математичний журнал; Том 66 № 6 (2014); 723–732 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2173/1347 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2173/1348 Copyright (c) 2014 Akishev G. |
| spellingShingle | Akishev, G. Акишев, Г. Акишев, Г. Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm |
| title | Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm |
| title_alt | Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой |
| title_full | Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm |
| title_fullStr | Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm |
| title_full_unstemmed | Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm |
| title_short | Trigonometric Widths of the Nikol’skii–Besov Classes in the Lebesgue Space with Mixed Norm |
| title_sort | trigonometric widths of the nikol’skii–besov classes in the lebesgue space with mixed norm |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2173 |
| work_keys_str_mv | AT akishevg trigonometricwidthsofthenikolskiibesovclassesinthelebesguespacewithmixednorm AT akiševg trigonometricwidthsofthenikolskiibesovclassesinthelebesguespacewithmixednorm AT akiševg trigonometricwidthsofthenikolskiibesovclassesinthelebesguespacewithmixednorm AT akishevg trigonometričeskiepoperečnikiklassovnikolʹskogobesovavprostranstvelebegasosmešannojnormoj AT akiševg trigonometričeskiepoperečnikiklassovnikolʹskogobesovavprostranstvelebegasosmešannojnormoj AT akiševg trigonometričeskiepoperečnikiklassovnikolʹskogobesovavprostranstvelebegasosmešannojnormoj |