Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$
The exact values of constants are obtained in the space $L_2 (ℝ)$ for the Jackson-type inequalities for special moduli of continuity of the $k$ th order defined by the Steklov operator $S_h (f)$ instead of the translation operator $T_h (f)$ in the case of approximation by entire functions of exponen...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2175 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508116762755072 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:45Z |
| description | The exact values of constants are obtained in the space $L_2 (ℝ)$ for the Jackson-type inequalities for special moduli of continuity of the $k$ th order defined by the Steklov operator $S_h (f)$ instead of the translation operator $T_h (f)$ in the case of approximation by entire functions of exponential type $σ ∈ (0,∞)$. The exact values of the mean $ν$-widths (linear, Bernstein, and Kolmogorov) are also obtained for the classes of functions defined by the indicated characteristic of smoothness. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ
НЕПРЕРЫВНОСТИ НА ВСЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ И ТОЧНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНИХ ν-ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ L2(R)
The exact values of constants for the Jackson-type inequalities are obtained in the space L2(R) for the special moduli of
continuity of the kth order defined by the Steklov operator Sh(f) instead of the translation operator Th(f) in the case
of approximation by entire functions of exponential type σ ∈ (0,∞). The exact values of the mean ν-widths (linear,
Bernshtein, and Kolmogorov) are also obtained for the classes of functions defined by the indicated characteristics of
smoothness.
У випадку апроксимацiї у просторi L2(R) цiлими функцiями експоненцiального типу σ ∈ (0,∞) знайдено точнi
значення констант у нерiвностях типу Джексона для спецiальних модулiв неперервностi k-го порядку, в яких замiсть
оператора зсуву Th(f) використано оператор Стєклова Sh(f). Для класiв функцiй, означених за допомогою вказа-
ної характеристики гладкостi, обчислено точнi значення середнiх ν-поперечникiв — лiнiйного, бернштейнiвського,
колмогоровського.
1. Начало исследованиям, связанным с аппроксимацией функций, заданных на всей ве-
щественной оси, было положено в работах С. Н. Бернштейна (см., например, [1]). Средством
приближения при этом служило пространство целых функций конечного экспоненциально-
го типа. В дальнейшем исследования в указанном направлении были продолжены в работах
Н. И. Ахиезера, А. Ф. Тимана, В. Ю. Попова, А. И. Степанца и других (см., например, [2 – 15]).
Несомненный интерес, с точки зрения автора, представляет тот факт, что многие оконча-
тельные в том или ином смысле результаты, полученные в случае полиномиальной аппрок-
симации 2π-периодических функций, нашли свое отражение и в случае приближения целыми
функциями конечного экспоненциального типа на всей вещественной оси. Сравнительный
анализ таких результатов, связанных с решением экстремальных задач теории аппроксимации
функций, можно найти, например, в работах автора [16, 17]. Данная статья продолжает указан-
ную тематику и посвящена распространению основных теорем из работ [18 – 20] на случай
аппроксимации в среднем целыми функциями конечного экспоненциального типа на прямой
R := {x : −∞ < x <∞}.
Предварительно напомним необходимые понятия и определения. Пусть L2(R) — простран-
ство всех вещественных измеримых на R функций f, квадрат модуля которых интегрируем по
Лебегу на любом конечном промежутке, а норма
‖f‖ := ‖f‖L2(R) =
∞∫
−∞
|f(x)|2dx
1/2
<∞.
Под Lr2(R), где r ∈ N, понимаем класс функций f ∈ L2(R), у которых производные (r−1)-
го порядка f (r−1) (f (0) ≡ f) локально абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f (r)
принадлежат пространству L2(R). Отметим, что Lr2(R) является банаховым пространством с
нормой ‖f‖+ ‖f (r)‖. Символом Bσ,2, где 0 < σ <∞, обозначим сужение на R множества всех
целых функций экспоненциального типа σ, принадлежащих пространству L2(R). Величину
c© С. Б. ВАКАРЧУК, 2014
740 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 741
Aσ(f) := inf {‖f − gσ‖ : gσ ∈ Bσ,2} ,
где f ∈ L2(R); 0 < σ < ∞, называют наилучшим приближением функции f элементами
подпространства Bσ,2 в метрике пространства L2(R). Для класса M ⊂ L2(R) полагаем
Aσ(M) := sup {Aσ(f) : f ∈M} .
При решении некоторых задач теории аппроксимации функций действительного перемен-
ного часто используют различные модификации классического определения модуля непрерыв-
ности, когда вместо оператора сдвига Thf(x) := f(x + h) применяются различные усредня-
ющие операторы. Один из таких подходов основан на использовании функции Стеклова Sh,
h > 0 (см., например, [18 – 23]). Для произвольной функции f ∈ L2(R) записываем функцию
Стеклова
Sh(f, x) :=
1
2h
x+h∫
x−h
f(τ)dτ,
положив при этом Sh,j(f) := Sh(Sh,j−1(f)), j ∈ N и Sh,0(f) ≡ f .
Обозначив через I единичный оператор в пространстве L2(R), определим специальные
конечные разности первого и высшего порядков в точке x с шагом h:
∆̃1
h(f, x) := Sh(f, x)− f(x) = (Sh − I)(f, x),
∆̃k
h(f, x) := ∆̃1
h(∆̃k−1
h (f), x) = (Sh − I)k(f, x) =
k∑
j=0
(−1)k−j
(
k
j
)
Sh,j(f, x), k = 2, 3, . . . .
Использовав указанные обозначения, рассмотрим специальный модуль непрерывности k-го
порядка для функции f ∈ L2(R):
Ω̃k(f, t) := sup
{∥∥∥∆̃k
h(f)
∥∥∥ : 0 < h 6 t
}
. (1)
2. Для произвольной функции f ∈ L2(R) рассмотрим последовательность функций
{FM (f)}M∈N вида
FM (f, x) :=
1√
2π
M∫
−M
f(t)e−ixtdt.
В теории интеграла Фурье используется следующая фундаментальная теорема Планшереля
(см., например, [24, c. 73]): если f ∈ L2(R), то последовательность функций {FM (f)}M∈N
сходится в среднеквадратическом к некоторой функции F(f), интегрируемой в квадрате на
всей вещественной оси R, т. е.
lim
M→∞
∞∫
−∞
|FM (f, x)−F(f, x)|2dx = 0.
Функцию F(f) называют преобразованием Фурье функции f в пространстве L2(R), где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
742 С. Б. ВАКАРЧУК
F(f, x) :=
1√
2π
∞∫
−∞
f(t)e−ixtdt. (2)
При этом функция f может быть определена через ее преобразование Фурье следующим об-
разом:
f(x) =
1√
2π
∞∫
−∞
F(f, t)eixtdt. (3)
Отметим, что в формулах (2), (3), называемых формулами обращения Фурье, интегралы пони-
маются сходящимися в среднеквадратическом. Также имеет место фундаментальная формула
Парсеваля – Планшереля [24]
∞∫
−∞
|f(x)|2dx =
∞∫
−∞
|F(f, x)|2dx.
Поскольку в случае вещественной функции f модуль ее преобразования Фурье является четной
функцией, отсюда имеем
‖f‖2 = 2
∞∫
0
|F(f, x)|2dx. (4)
Напомним (см., например, [2, c. 138]), что функцию Стеклова Sh(f), где f ∈ L2(R), можно
рассматривать как свертку функций f и g, где
g(x) :=
1
2h
, если −h 6 x 6 h,
0, если |x| > h,
т. е.
Sh(f, x) =
∞∫
−∞
g(τ)f(x− τ)dτ. (5)
Всюду далее полагаем
sinc(t) :=
{
sin t
t
, если t 6= 0; 1, если t = 0
}
.
Поскольку преобразование Фурье функции g имеет вид
F(g, x) =
1√
2π
h∫
−h
1
2h
e−ixτdτ =
sinc(hx)√
2π
, (6)
в силу теоремы о преобразовании Фурье свертки функций, для функции Стеклова (5) получаем
Sh(f, x) =
∞∫
−∞
F(g, τ)F(f, τ)eixτdτ. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 743
Из формул (3), (6) и (7) следует равенство
F(Sh(f), x) =
√
2π F(g, x) F(f, x) = F(f, x) sinc(hx). (8)
Используя формулы (3) и (8), для функции Стеклова записываем
Sh(f, x) =
1√
2π
∞∫
−∞
F(f, τ)sinc(hτ)eixτdτ. (9)
С учетом равенств (3) и (9) получаем
∆̃1
h(f, x) = Sh(f, x)− f(x) =
1√
2π
∞∫
−∞
F(f, τ)(sinc(hτ)− 1)eixτdτ. (10)
Из формул (3) и (10) следует равенство
F(∆̃1
h(f), x) = F(f, x)(sinc(hx)− 1). (11)
Для специальной конечной разности второго порядка в силу равенства (10) записываем
∆̃2
h(f, x) = ∆̃1
h(∆̃1
h(f), x) =
1√
2π
∞∫
−∞
F(∆̃1
h(f), τ)(sinc(hτ)− 1)eixτdτ.
Отсюда с учетом формулы (11) имеем
F(∆̃2
h(f), x) = F(∆̃1
h(f), x)(sinc(hx)− 1) = F(f, x)(sinc(hx)− 1)2. (12)
Используя метод математической индукции, нетрудно показать справедливость равенства
F(∆̃k
h(f), x) = F(f, x)(sinc(hx)− 1)k (13)
в общем случае k ∈ N. Из формул (4) и (13) получаем
‖∆̃k
h(f)‖2 = 2
∞∫
0
|F(∆̃k
h(f), τ)|2dτ = 2
∞∫
0
|F(f, τ)|2(1− sinc(hτ))2kdτ. (14)
Тогда определение специального модуля непрерывности k-го порядка (1), с учетом равенства
(14), примет вид
Ω̃k(f, t) = sup
2
∞∫
0
|F(f, τ)|2(1− sinc(hτ))2kdτ : 0 < h 6 t
1/2
. (15)
3. В работе автора [11] для произвольной функции f ∈ L2(R) рассматривалась характери-
стика гладкости
Ωm(f, t) :=
1
tm
t∫
0
. . .
t∫
0
‖∆m
h
(f)‖2dh1 . . . dhm
1/2
, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
744 С. Б. ВАКАРЧУК
где m ∈ N, 0 < t <∞, h := (h1, . . . , hm), ∆m
h
:= ∆1
h1
◦ . . . ◦∆1
hm
, ∆1
hj
(f, t) := f(t+ hj)− f(t),
j = 1,m, для которой справедливо представление
Ωm(f, t) = 2(m+1)/2
∞∫
0
|F(f, τ)|2(1− sinc(tτ))mdτ
1/2
. (17)
Из формул (1) и (14) – (17) при m := 2k для произвольной функции f ∈ L2(R) получаем
следующее соотношение между характеристиками гладкости (1) и (16):
Ω2k(f, t) = 2k‖∆̃k
t (f)‖ 6 2kΩ̃k(f, t). (18)
Известно (см., например, [25]), что если функция f и ее производная первого порядка f (1)
принадлежат пространству L2(R) и f является локально абсолютно непрерывной, то преобра-
зование Фурье функции f (1) выражается через преобразование Фурье функции f по формуле
F(f (1), x) = ixF(f, x).
В случае, когда функция f ∈ Lr2(R), где r ∈ N и r > 2, согласно [26] (см. теорему 3 из § 4 гл. V)
все ее промежуточные производные f (r−µ), µ ∈ N, 1 6 µ 6 r − 1, также будут функциями,
локально абсолютно непрерывными и принадлежащими пространству L2(R). При этом
F(f (r−µ), x) = (ix)(r−µ)F(f, x), µ = 0, . . . , r − 1. (19)
В связи с указанным определенный интерес, по мнению автора, представляет изучение на
классе Lr2(R), r ∈ N и r > 2, поведения не только величины Aσ(f), но и величин Aσ(f (r−µ))
— наилучших приближений подпространством Bσ,2 промежуточных производных f (r−µ), где
µ ∈ N и 1 6 µ 6 r − 1.
Теорема 1. Пусть 0 < σ < ∞, k ∈ N, r ∈ Z+, µ = 0, . . . , r. Тогда для произвольного
числа 0 < t 6 3π/4 справедливо равенство
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Ω̃k(f (r), t/σ)
: f ∈ Lr2(R)
}
= (1− sinc(t))−k, (20)
где L0
2(R) ≡ L2(R); при r = 0 верхняя грань в соотношении (20) вычисляется по всем функциям
f ∈ L2(R), которые не эквивалентны нулю.
Доказательство. Из теоремы 1, полученной автором в работе [11], следует, что для про-
извольной функции f ∈ Lr2(R) имеет место неравенство
Aσ(f) 6 {2(1− sinc(t))}−m/2 · σ−rΩm(f (r), t/σ),
где m ∈ N и 0 < t 6 3π/4. Отсюда, полагая m := 2k и используя неравенство (18), получаем
Aσ(f) 6 (1− sinc(t))−k · σ−rΩ̃k(f
(r), t/σ). (21)
В случае r = 0 из формулы (21) имеем
Aσ(f) 6 (1− sinc(t))−kΩ̃k(f, t/σ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 745
Заменяя в данном неравенстве функцию f ∈ Lr2(R), r ∈ N, ее производной r-го порядка
f (r) ∈ L2(R), записываем
Aσ(f (r)) 6 (1− sinc(t))−kΩ̃k(f
(r), t/σ). (22)
Далее воспользуемся неравенством (см, например, [14])
Aσ(f (r−µ)) 6 A1−µ/r
σ (f (r))Aµ/rσ (f). (23)
Подставляя в правую часть неравенства (23) вместо Aσ(f (r)) и Aσ(f) соответствующие оценки
сверху этих величин, полученные в неравенствах (22) и (21) соответственно, имеем
Aσ(f (r−µ)) 6 (1− sinc(t))−k · σ−µΩ̃k(f
(r), t/σ).
Отсюда следует оценка сверху
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Ω̃k(f (r), t/σ)
: f ∈ Lr2(R)
}
6 (1− sinc(t))−k. (24)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части
неравенства (24), рассмотрим, как и в работах [11, 14, 16], целую функцию qε экспоненциаль-
ного типа σ + ε, где 0 < ε < σ∗ := min(σ, 1) — произвольное число:
qε(x) :=
√
2
π
(
λσ+ε(x)− λσ(x)
)
. (25)
Здесь
λa(x) :=
{
sin(ax)
x , если x 6= 0,
a, если x = 0 (a > 0).
Поскольку преобразование Фурье функции λa имеет вид (см., например, [24])
F(λa, x) :=
√
π
2 , если |x| < a,
1
2
√
π
2 , если |x| = a,
0, если |x| > a,
для функции qε получаем
F(qε, x) =
1, если σ < |x| < σ + ε,
1
2 , если |x| = σ + ε или |x| = σ,
0, если |x| > σ + ε или |x| < σ.
(26)
Из формул (4), (19) и (26) очевидно, что qε ∈ Lr2(R).
Напомним (см., например, [6, 7]), что для произвольного элемента f ∈ L2(R) существу-
ет единственная целая функция Λσ(f) ∈ Bσ,2, которая наименее уклоняется от f в метрике
пространства L2(R) и имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
746 С. Б. ВАКАРЧУК
Λσ(f, x) :=
1√
2π
∞∫
−∞
eixτ χ̃σ(τ)F(f, τ)dτ =
1√
2π
σ∫
−σ
eixτF(f, τ)dτ,
где, как было отмечено выше, F(f) — преобразование Фурье функции f, χ̃σ — характеристи-
ческая функция множества (−σ, σ). Для квадрата наилучшего среднеквадратического прибли-
жения функции f ∈ L2(R) подпространством Bσ,2 получаем
A2
σ(f) = ‖f − Λσ(f)‖2 = 2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2dτ. (27)
Учитывая, что
F(q(r−µ)ε , x) = (ix)r−µF(qε, x), (28)
на основании формулы (27) имеем
Aσ(q(r−µ)ε ) =
2
∞∫
σ
τ2(r−µ)|F(qε, τ)|2dτ
1/2
> σr−µ
√
2ε. (29)
Отметим, что в случае µ := r в формуле (29) везде имеет место знак равенства.
Обозначим через t∗ величину аргумента функции sinc(t), при котором она достигает на
интервале (0,∞) своего наименьшего значения. Очевидно, что t∗ является наименьшим поло-
жительным корнем уравнения t = tg(t) (4, 49 < t∗ < 4, 51). При этом
inf{sinc(t) : 0 < t < t∗} = sinc(t∗)
и функция sinc(t) монотонно убывает на интервале (0, t∗) (см., например, [27, с. 129, 132]).
Пусть t ∈ (0, t∗) — произвольное число. Полагая(
t∗
t
− 1
)
[0]
:= min
{
t∗
t
− 1; 1
}
, (30)
обозначаем
σ̃(t) := σ∗
(
t∗
t
− 1
)
[0]
.
Отметим, что выбирая произвольным образом величину ε из интервала (0, σ̃(t)) и используя
определения величин σ∗ := min(σ, 1) и (30), получаем соотношение
t
(
1 +
ε
σ
)
< t
(
1 +
σ̃(t)
σ
)
= t
(
1 +
σ∗
σ
(
t∗
t
− 1
)
[0]
)
6 t∗. (31)
Используя формулы (15), (26) и (28), где µ := 0, а также учитывая поведение функции
sinc(t) на интервале (0, t∗) и соотношение (31), записываем оценку сверху для специального
модуля непрерывности k-го порядка функции q(r)ε :
Ω̃k(q
(r)
ε , t/σ) = sup
2
σ+ε∫
σ
τ2r
(
1− sinc(hτ)
)2k
dτ : 0 < h 6 t/σ
1/2
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 747
6
√
2ε(σ + ε)r
(
1− sinc(t(1 + ε/σ))
)k
. (32)
Здесь ε ∈ (0, σ̃(t)) — любое число. Полагаем
Ξr,k,t
( ε
σ
)
:=
(
1 +
ε
σ
)r (
1− sinc(t(1 + ε/σ))
)k
. (33)
Рассматривая величину (33) как функцию от ε ∈ (0, σ̃(t)) при фиксированных значениях пара-
метров r, k, t и σ, нетрудно убедиться в том, что данная функция является монотонно возрас-
тающей по ε на указанном множестве. При этом
lim
ε→0+0
Ξr,k,t
( ε
σ
)
= Ξr,k,t(0). (34)
Используя формулы (29), (32) и (33), записываем
σµAσ(q
(r−µ)
ε )
Ω̃k(q
(r)
ε , t/σ)
>
1
Ξr,k,t(ε/σ)
. (35)
Поскольку qε ∈ Lr2(R), из неравенства (35) имеем
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Ω̃k(f (r), t/σ)
: f ∈ Lr2(R)
}
>
1
Ξr,k,t(ε/σ)
. (36)
Левая часть неравенства (36) не зависит от ε ∈ (0, σ̃(t)). Вычисляя верхнюю грань по ε от его
правой части и учитывая равенство (34), записываем оценку снизу рассматриваемой экстре-
мальной характеристики
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Ω̃k(f (r), t/σ)
: f ∈ Lr2(R)
}
>
1
Ξr,k,t(0)
=
(
1− sinc(t)
)−k
.
Сопоставляя данное неравенство с оценкой сверху (24) его левой части, получаем требуемое
соотношение (20).
Теорема 1 доказана.
4. В случае аппроксимации 2π-периодических функций в метрике пространства L2([0, 2π])
подпространствами Tn−1, n ∈ N, состоящими из тригонометрических полиномов порядка, не
превышающего n− 1, Н. И. Черных отметил, что функционалn2
π/n∫
0
ω2
1(f, t) sin(nt)dt
1/2
меньше джексоновского функционала ω1(f, π/n), где ω1(f) — модуль непрерывности функ-
ции f ∈ L2([0, 2π]) и, по-видимому, он более естествен для характеристики ее наилучших
полиномиальных приближений
En−1(f)L2([0,2π]) := inf
{
‖f − Tn−1‖L2([0,2π]) : Tn−1 ∈ Tn−1
}
,
чем функционал ω1(f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
748 С. Б. ВАКАРЧУК
Аналогичная ситуация имеет место и в рассматриваемом нами случае. Пусть ϕ — неотрица-
тельная измеримая суммируемая на конечном отрезке [0, t] функция, которая не эквивалентна
нулю. Если, например,
∫ t
0
ϕ(τ)dτ 6 1, то очевидно, что функционал
t∫
0
Ω̃p
k(f, τ)ϕ(τ)dτ
1/p
,
где p ∈ (0,∞), меньше величины Ω̃k(f, t) для не эквивалентной нулю функции f ∈ L2(R).
В связи с изложенным рассмотрим экстремальную характеристику на классе Lr2(R):
χσ,k,r,µ,p,s(ϕ, t) := sup
Aσ(f (r−µ))(∫ t
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)ϕ(τ)dτ
)s : f ∈ Lr2(R)
, (37)
где µ, r ∈ Z+ и µ 6 r, k ∈ N, p, s — конечные положительные числа, 0 < t, σ < ∞. Напом-
ним, что в случае r := 0 верхняя грань в соотношении (37) вычисляется по всем функциям
f ∈ L2(R), которые не эквивалентны нулю. Всюду далее полагаем(
1− sinc(t)
)
∗
:=
{
1− sinc(t), если 0 < t 6 t∗,
1− sinc(t∗), если t > t∗,
(38)
αx,k,µ,p(ϕ, t) := xµ
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
ϕ(τ)dτ
1/p
. (39)
Теорема 2. Пусть k ∈ N, 0 < σ < ∞, 0 < t < t∗/σ, r, µ ∈ Z+ и µ 6 r, 0 < p 6 2,
s := 1/p. Тогда имеет место двойное неравенство
1
ασ,k,µ,p(ϕ, t)
6 χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) 6
1
inf{αx,k,µ,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞}
. (40)
Доказательство. Рассуждения проведем в два этапа, на первом из которых рассмотрим
случай r = µ ∈ Z+, а на втором — случай r ∈ N и µ < r, где µ ∈ Z+.
Пусть r = µ ∈ Z+ и f ∈ Lr2(R) — произвольная функция, не эквивалентная нулю в случае
r := 0. Используя формулы (13) и (19), где µ := 0, получаем
F(∆̃k
τ (f (r)), x) = F(f, x)(ix)r
(
sinc(τx)− 1
)k
. (41)
Поскольку, по теореме Парсеваля – Планшереля, ∆̃k
τ (f (r)) ∈ L2(R), то F(∆̃k
τ (f (r))) ∈ L2(R) и
эти функции имеют одинаковые нормы. Поэтому, используя равенства (4) и (41), получаем
‖∆̃k
τ (f (r))‖2 = 2
∞∫
0
|F(f, x)|2x2r
(
1− sinc(τx)
)2k
dx. (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 749
В силу определения специального модуля непрерывности Ω̃k и равенства (42) записываем
Ω̃k(f
(r), τ) > ‖∆̃k
τ (f (r))‖ >
2
∞∫
σ
|F(f, x)|2x2r
(
1− sinc(τx)
)2k
dx
1/2
. (43)
Полагая
V (f ;x, τ) := 2p/2|F(f, x)|pxrp
(
1− sinc(τx)
)kp
ϕ(τ),
а также используя соотношение (43), обозначение (39) и обобщенное неравенство Минковского
(см., например, [4], гл. 1, п. 1.3), получаем
t∫
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)ϕ(τ)dτ
1/p
>
t∫
0
2
∞∫
σ
|F(f, x)|2x2r
(
1− sinc(τx)
)2k
dx
p/2 ϕ(τ)dτ
1/p
=
=
t∫
0
∞∫
σ
V 2/p(f ;x, τ)dx
p/2 dτ
1/p
>
∞∫
σ
t∫
0
V (f ;x, τ)dτ
2/p
dx
p
2
· 1
p
=
=
2
∞∫
σ
|F(f, x)|2
xrp t∫
0
(
1− sinc(τx)
)kp
ϕ(τ)dτ
2/p
dx
1/2
=
=
2
∞∫
σ
|F(f, x)|2αx,k,r,p (ϕ, t)dx
1/2
.
Отсюда, используя равенство (27), имеем
t∫
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)ϕ(τ)dτ
1/p
> Aσ(f) inf
{
αx,k,r,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞
}
.
Из данного неравенства и формулы (37) получаем оценку сверху
χσ,k,r,r,p,1/p(ϕ, t) 6
1
inf{αx,k,r,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞}
. (44)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики (37) при µ := r и s := 1/p
рассмотрим целую функцию qε экспоненциального типа σ + ε, где ε ∈ (0, σ∗), определенную
формулой (25). Из соотношения (27) и формулы (26) следует равенство
Aσ(qε) =
√
2ε.
Из формул (15), (26), (38) и (19), где r := µ, следует неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
750 С. Б. ВАКАРЧУК
Ω̃k(q
(r)
ε , τ) = sup
2
σ+ε∫
σ
u2r
(
1− sinc(hu)
)2k
du : 0 < h 6 τ
1/2
6
6
√
2ε(σ + ε)r
(
1− sinc(τ(σ + ε))
)k
∗
. (45)
Возводя обе части неравенства (45) в степень p ∈ (0, 2], а затем умножая их на весовую
функцию ϕ и интегрируя по переменной τ в пределах от 0 до t, получаем
t∫
0
Ω̃p
k(q
(r)
ε , τ)ϕ(τ)dτ 6 (2ε)p/2(σ + ε)rp
t∫
0
(
1− sinc(τ(σ + ε))
)kp
∗
ϕ(τ)dτ. (46)
Полагая
α∗x,k,µ,p(ϕ, t) := xµ
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
∗
ϕ(τ)dτ
1/p
, (47)
записываем
Aσ(qε){∫ t
0
Ω̃p
k(q
(r)
ε , τ)ϕ(τ)dτ
}1/p
>
1
α∗σ+ε,k,r,p(ϕ, t)
.
Учитывая, что функция qε принадлежит классуLr2(R), а также используя последнее неравенство
и формулу (37), получаем
χσ,k,r,r,p,1/p(ϕ, t) >
1
α∗σ+ε,k,r,p(ϕ, t)
. (48)
Очевидно, что величина α∗σ+ε,k,r,p(ϕ, t) монотонно убывает, когда ε → 0 + 0, при постоянных
значениях остальных параметров, входящих в выражение (47). При этом
lim
ε→0+0
α∗σ+ε,k,r,p(ϕ, t) = ασ,k,r,p(ϕ, t). (49)
В силу равенства (49) очевидно, что для любого сколь угодно малого числа δ > 0 существует
такое число ε̃ := ε(δ) ∈ (0, δ), для которого
1
α∗σ+ε̃,k,r,p(ϕ, t)
>
1
ασ,k,r,p(ϕ, t)
− δ. (50)
Используя определение верхней грани числового множества, из неравенства (50) получаем
sup
{
1
α∗σ+ε,k,r,p(ϕ, t)
: ε ∈ (0, σ∗)
}
=
1
ασ,k,r,p(ϕ, t)
. (51)
Поскольку левая часть неравенства (48) не зависит от ε, вычисляя верхнюю грань по ε ∈ (0, σ∗)
от его правой части и учитывая равенство (51), имеем
χσ,k,r,r,p,1/p(ϕ, t) >
1
ασ,k,r,p(ϕ, t)
. (52)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 751
Сопоставляя оценку сверху (44) и оценку снизу (52), получаем требуемое двойное неравенство
для рассматриваемого случая r = µ ∈ Z+:
1
ασ,k,r,p(ϕ, t)
6 χσ,k,r,r,p,1/p(ϕ, t) 6
1
inf{αx,k,r,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞}
. (53)
Переходя ко второму этапу доказательства, полагаем, что r ∈ N и µ < r, µ ∈ Z+. Очевидно,
что функцию f (r−µ), где f ∈ Lr2(R), можно рассматривать как элемент класса Lµ2 (R). Используя
формулу (37) и правую часть неравенства (53), получаем оценку сверху в рассматриваемом
случае:
χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) := sup
Aσ(f (r−µ))(∫ t
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)ϕ(τ)dτ
)1/p
: f ∈ Lr2(R)
6
6 sup
Aσ(F )(∫ t
0
Ω̃p
k(F
(µ), τ)ϕ(τ)dτ
)1/p
: F ∈ Lµ2 (R)
= χσ,k,µ,µ,p,1/p(ϕ, t) 6
6
1
inf{αx,k,µ,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞}
. (54)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части
цепочки неравенств (54), также рассмотрим целую функцию qε ∈ Lr2(R), заданную форму-
лой (25). Применяя формулы (29) и (46), (47), имеем
Aσ(q
(r−µ)
ε )(∫ t
0
Ω̃p
k(q
(r)
ε , τ)ϕ(τ)dτ
)1/p
>
(
σ
σ + ε
)r 1
σµ
{∫ t
0
(
1− sinc(t(σ + ε))
)kp
∗
ϕ(τ)dτ
}1/p
>
>
1
(1 + ε/σ)r α∗σ+ε,k,µ,p(ϕ, t)
. (55)
Учитывая формулу (47), получаем, что величина
(1 + ε/σ)r α∗σ+ε,k,µ,p(ϕ, t)
монотонно убывает в случае, когда ε → 0 + 0, а все остальные параметры в данной формуле
являются некоторыми постоянными. При этом
lim
ε→0+0
(1 + ε/σ)r · α∗σ+ε,k,µ,p(ϕ, t) = ασ,k,µ,p(ϕ, t).
Поскольку
χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) >
Aσ(q
(r−µ)
ε )(∫ t
0
Ω̃p
k(q
(r)
ε , τ)ϕ(τ)dτ
)1/p
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
752 С. Б. ВАКАРЧУК
и
sup
ε∈(0,σ∗)
{
1
(1 + ε/σ)r α∗σ+ε,k,µ,p(ϕ, t)
: ε ∈ (0, σ∗)
}
=
1
ασ,k,µ,p(ϕ, t)
,
используя неравенство (55) и рассуждения, имевшие место при доказательстве первого этапа
данной теоремы (случай r = µ ∈ Z+), получаем оценку снизу
χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) >
1
ασ,k,µ,p(ϕ, t)
. (56)
Сопоставляя оценки сверху (54) и снизу (56), получаем требуемое двойное неравенство для
величины χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) в случае r ∈ N и µ < r;µ ∈ Z+:
1
ασ,k,µ,p(ϕ, t)
6 χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) 6
1
inf{αx,k,µ,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞}
. (57)
Объединяя (53) и (57), получаем необходимые соотношения (40).
Теорема 2 доказана.
5. Рассмотрим далее ряд следствий, вытекающих из теоремы 2 и касающихся вычисления
точных значений экстремальной характеристики (37).
Следствие 1. Пусть 0 < t 6 3π/(4σ) и выполнены все условия теоремы 2. Тогда справед-
ливо равенство
χσ,k,r,µ,p,1/p(ϕ, t) =
1
ασ,k,µ,p(ϕ, t)
. (58)
Доказательство. Рассмотрим функцию sinc(τ), где 0 < τ 6 t 6 3π/(4σ). Для нее при
любых фиксированных значениях σ ∈ (0,∞) и x ∈ [σ,∞) имеет место неравенство sinc(στ) >
> sinc(xτ) (см., например, [27, с. 129, 132]), т. е.
1− sinc(xτ) > 1− sinc(στ).
Учитывая данное неравенство и используя формулу (39) для определения величины αx,k,µ,p(ϕ, t),
при всех σ 6 x <∞ получаем αx,k,µ,p(ϕ, t) > ασ,k,µ,p(ϕ, t), т. е.
inf{αx,k,µ,p(ϕ, t) : σ 6 x <∞} = ασ,k,µ,p(ϕ, t). (59)
Требуемое равенство (58) следует из двойного неравенства (40) и соотношения (59), что и
завершает доказательство следствия 1.
Следствие 2. Пусть ϕ ≡ 1, µ, k, r ∈ N и µ 6 r, 1/µ 6 p 6 2, 0 < σ < ∞, 0 < t 6 t∗/σ.
Тогда имеет место равенство
χσ,k,r,µ,p,1/p(1, t) =
1
ασ,k,µ,p(1, t)
. (60)
Доказательство. Учитывая вид величины αx,k,µ,p(1, t), определенной формулой (39), для
доказательства равенства (60) достаточно показать, что функция
γ(x) := xµp
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
dτ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 753
будет неубывающей при x > σ. Очевидно, что ее производная первого порядка имеет вид
γ′(x) = µpxµp−1
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
dτ + xµp
t∫
0
∂
∂x
(
1− sinc(xτ)
)kp
dτ. (61)
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости равенства
1
τ
∂
∂x
(
1− sinc(xτ)
)kp
=
1
x
∂
∂τ
(
1− sinc(xτ)
)kp
, (62)
где величины x и τ отличны от нуля. Из формулы (61) с учетом равенства (62) получаем
γ′(x) = xµp−1
µp
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
dτ +
t∫
0
τ
∂
∂τ
(
1− sinc(xτ)
)kp
dτ
. (63)
Используя процедуру интегрирования по частям при вычислении второго интеграла в формуле
(63), записываем
γ′(x) = xµp−1
t
(
1− sinc(xτ)
)kp
+ (µp− 1)
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
dτ
. (64)
Учитывая, что sinc(xt) 6 1 для любого x ∈ R и p > 1/µ, из равенства (64) получаем γ′(x) > 0
при x > σ. Следовательно, inf{γ(x) : σ 6 x <∞} = γ(σ), т. е.
inf{αx,k,µ,p(1, t) : σ 6 x <∞} = ασ,k,µ,p(1, t). (65)
Требуемое равенство (60) получаем из соотношений (40) и (65).
Следствие 2 доказано.
Следствие 3. Пусть ϕ ≡ 1, k ∈ N, p = 1/k, 0 < σ <∞, 0 < t 6 t∗/σ, µ, r ∈ Z+ и µ 6 r.
Тогда справедливо равенство
χσ,k,r,µ,1/k,k(1, t) =
1
ασ,k,µ,1/k(1, t)
. (66)
Доказательство. Использовав формулу (39), в данном случае рассмотрим величину α как
функцию от x при фиксированных значениях остальных параметров, входящих в выражение
для α:
αx,k,µ,1/k(1, t) = xµ
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)
dτ
k
= xµ
(
t− Si(xt)
x
)k
, (67)
где Si(x) :=
∫ x
0
sinc(τ)dτ — интегральный синус, σ 6 x < ∞. Введем с помощью соотноше-
ния (67) функцию, зависящую от x:
G(x) :=
αx,k,µ,1/k(1, t)
ασ,k,µ,1/k(1, t)
=
(x
σ
)µ{1− Si(xt)/(xt)
1− Si(σt)/(σt)
}k
. (68)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
754 С. Б. ВАКАРЧУК
Поскольку функция η(x) := Si(x)/x является положительной невозрастающей на интервале
0 < x <∞ и такой, что lim{η(x) : x→ 0} = 1 и lim{η(x) : x→∞} = 0 (см., например, [29]),
из равенства (68) получаем G(x) > 1 для любого x ∈ [σ,∞). Следовательно,
inf
{
αx,k,µ,1/k(1, t) : σ 6 x <∞
}
= ασ,k,µ,1/k(1, t).
С учетом данного равенства и соотношения (40) получаем требуемое равенство (66), что и
завершает доказательство следствия 3.
Полагая, например, в формуле (66) t := π/σ и учитывая соотношение (67), имеем
sup
σµ−kAσ(f (r−µ))(∫ π/σ
0
Ω̃
1/k
k (f (r), τ)dτ
)k : f ∈ Lr2(R)
=
1
(π − Si(π))k
.
Следствие 4. Пусть ϕ̃(x) ≡ x, k ∈ N, p = 1/k, 0 < σ < ∞, 0 < t 6 t∗/σ, µ, r ∈ Z+ и
µ 6 r. Тогда имеет место равенство
χσ,k,r,µ,1/k,k(ϕ̃, t) =
1
ασ,k,µ,1/k(ϕ̃, t)
. (69)
Доказательство. Используя формулу (39), в рассматриваемом случае получаем
αx,k,µ,1/k(ϕ̃, t) = xµ
t∫
0
(
1− sinc(xτ)
)
τdτ
k
= xµ
{
t2
2
− 2
x2
sin2
(
xt
2
)}k
, σ 6 x <∞.
Рассмотрим следующую функцию от x при фиксированных значениях остальных параметров,
входящих в выражение (39) для величины α:
M(x) :=
αx,k,µ,1/k(ϕ̃, t)
ασ,k,µ,1/k(ϕ̃, t)
=
(x
σ
)µ{1− sinc2(xt/2)
1− sinc2(σt/2)
}k
. (70)
Поскольку t∗ ∈ (4, 49; 4, 51), для произвольного t ∈ (0, t∗/σ] имеем σt/2 6 t∗/2 < 3π/4.
Учитывая поведение функции sinc(·) [27], для любых 0 < y 6 3π/4 и 1 6 z < ∞ име-
ем sinc(y) > sinc(zy). Отсюда, полагая y := σt/2 и z := x/σ, где σ 6 x < ∞, получаем
sinc(σt/2) > sinc(xt/2). Тогда в силу соотношения (70) при σ 6 x < ∞ имеем M > 1.
Следовательно,
inf
{
αx,k,µ,1/k(ϕ̃, t) : σ 6 x <∞
}
= ασ,k,µ,1/k(ϕ̃, t). (71)
Требуемое равенство (69) получаем из сопоставления соотношений (40) и (71).
Следствие 4 доказано.
Полагая, например, в формуле (69) t := π/σ, получаем
sup
σµ−2kAσ(f (r−µ))(∫ π/σ
0
τ Ω̃
1/k
k (f (r), τ)dτ
)k : f ∈ Lr2(R)
=
(
2
π2 − 4
)k
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 755
Пусть t := β/σ, где 0 < β 6 t∗, и ϕ̂(x) := ψ(σx), где 0 6 x 6 t, а ψ — неотрицательная
суммируемая на отрезке [0, β] функция, не эквивалентная нулю. Тогда с учетом формулы (39)
имеем
αx,k,µ,p
(
ϕ̂,
β
σ
)
=
xµp
β/σ∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
ψ(στ)dτ
1/p
=
= σµ−1/p
(xσ)µp
β∫
0
(
1− sinc
(x
σ
τ
))kp
ψ(τ)dτ
1/p
. (72)
Из формулы (72) получаем
inf
{
αx,k,µ,p
(
ϕ̂,
β
σ
)
: σ 6 x <∞
}
>
> σµ−1/p inf
xµ
β∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
ψ(τ)dτ
1/p
: 1 6 x <∞
. (73)
Обозначим
ξk,µ,p(ψ, β;x) := xµ
β∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp
ψ(τ)dτ
1/p
.
Тогда, используя введенные обозначения и формулы (37), (39), (72) и (73), из теоремы 2 полу-
чаем такое следствие.
Следствие 5. Пусть k ∈ N, µ, r ∈ Z+ и µ 6 r, 0 < p 6 2, 0 < σ < ∞, 0 < β 6 t∗,
ψ — неотрицательная суммируемая на отрезке [0, β] функция, не эквивалентная нулю. Тогда
выполняется двойное неравенство
1
ξk,µ,p(ψ, β; 1)
6 sup
σµAσ(f (r−µ))(∫ β
0
Ω̃p
k(f
(r), τ/σ)ψ(τ)dτ
)1/p
: f ∈ Lr2(R)
6
6
1
inf {ξk,µ,p(ψ, β;x) : 1 6 x <∞}
,
в котором в случае r = 0 верхняя грань вычисляется по всем функциям f ∈ L2(R), не эквива-
лентным нулю. Если при этом функция ψ такова, что
inf {ξk,µ,p(ψ, β;x) : 1 6 x <∞} = ξk,µ,p(ψ, β; 1),
то справедливо равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
756 С. Б. ВАКАРЧУК
sup
σµAσ(f (r−µ))(∫ β
0
Ω̃p
k(f
(r), τ/σ)ψ(τ)dτ
)1/p
: f ∈ Lr2(R)
=
1
ξk,µ,p(ψ, β; 1)
.
Следствие 6. Пусть k, r, µ ∈ N и µ 6 r, 0 < σ < ∞, 0 < β 6 t∗. Если при некотором
значении p0 ∈ (0, 2] весовая функция ψ̂ имеет вид ψ̂(x) := xµp0−1ψ1(x), где ψ1 не возрастает и
является неотрицательной суммируемой на отрезке [0, β] и не эквивалентной нулю функцией,
то выполняется равенство
inf
{
ξk,µ,p0(ψ̂, β;x) : 1 6 x <∞
}
= ξk,µ,p0(ψ̂, β; 1) (74)
и имеет место соотношение
sup
σµAσ(f (r−µ))(∫ β
0
Ω̃p0
k (f (r), τ/σ)τµp0−1ψ1(τ)dτ
)1/p0
: f ∈ Lr2(R)
=
1
ξk,µ,p0(ψ̂, β; 1)
. (75)
Доказательство. Покажем справедливость равенства (74), поскольку тогда, в силу след-
ствия 5, получаем требуемое равенство (75). Рассмотрим вспомогательную функцию ψ2(x) :=
:= {ψ1(x), если 0 6 x 6 t∗; ψ1(t∗), если t∗ 6 x <∞}. Тогда для любого x ∈ [1,∞] получаем
ξk,µ,p0(ψ̂, β;x) = xµ
β∫
0
(
1− sinc(xτ)
)kp0
τµp0−1ψ1(τ)dτ
1/p0
=
=
βx∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp0
τµp0−1ψ1
(τ
x
)
dτ
1/p0
>
βx∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp0
τµp0−1ψ2(τ)dτ
1/p0
>
>
β∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp0
τµp0−1ψ1(τ)dτ
1/p0
= ξk,µ,p0(ψ̂, β; 1).
Следовательно, равенство (74) имеет место, что и завершает доказательство следствия 6.
6. Введение Г. Г. Магарил-Ильяевым определения средней размерности (см., например,
[30, 31]), которое является определенной модификацией соответствующего понятия, данно-
го ранее В. М. Тихомировым [32], позволило определить асимптотические характеристики
подпространств, подобные поперечникам, где в качестве размерности использовалась средняя
размерность. В результате этого оказалось возможным сравнивать аппроксимативные свой-
ства подпространства Bσ,2 с аналогичными характеристиками иных подпространств из L2(R)
той же средней размерности и решать в L2(R) экстремальные задачи теории аппроксимации
оптимизационного содержания.
Прежде чем ввести необходимые экстремальные характеристики, приведем ряд понятий
и определений из работ [30, 31]. Пусть BL2(R) — единичный шар в L2(R); Lin(L2(R)) —
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 757
совокупность всех линейных подпространств в L2(R),
Linn(L2(R)) := {L ∈ Lin(L2(R)) : dimL 6 n}, n ∈ Z+,
d(Q,A,L2(R)) := sup{inf{‖x− y‖ : y ∈ A} : x ∈ Q}
— наилучшее приближение множества Q ⊂ L2(R) множеством A ⊂ L2(R). Под AT , T > 0,
понимаем сужение множества A ⊂ L2(R) на отрезок [−T, T ], а через LinCL2(R) обозначим
совокупность таких подпространств L ∈ Lin(L2(R)), для которых множество (L ∩ BL2(R))T
предкомпактно в L2([−T, T ]) при любом T > 0.
Если L ∈ LinC(L2(R)) и T, ε > 0, то существуют такие n ∈ Z+ и M ∈ Linn(L2(R)), для
которых
d ((L ∩BL2(R))T ,M, L2([−T, T ])) < ε.
Пусть
Dε(T,L, L2(R)) := min{n ∈ Z+ : ∃M ∈ Linn(L2([−T, T ])),
d((L ∩BL2(R))T ,M, L2([−T, T ])) < ε}.
Данная функция не убывает по T и не возрастает по ε. Величину
dim(L, L2(R)) := lim {lim inf{Dε(T,L, L2(R))/(2T ) : T →∞} : ε→ 0} ,
где L ∈ LinC(L2(R)), называют средней размерностью подпространства L в L2(R). В [30]
было показано, что
dim(Bσ,2;L2(R)) =
σ
π
. (76)
Пусть Q — центрально-симметричное подмножество из L2(R) и ν > 0 — произвольное
число. Тогда под средним ν-поперечником по Колмогорову множества Q в L2(R) понимают
величину
dν(Q,L2(R)) := inf{sup{inf{‖f − ϕ‖ : ϕ ∈ L} : f ∈ Q} :
L ∈ LinC(L2(R)),dim(L, L2(R)) 6 ν}.
Подпространство, на котором достигается внешняя нижняя грань, называется экстремальным.
Средним линейным ν-поперечником множества Q в L2(R) называют величину
δν(Q,L2(R)) := inf{sup{‖f − V (f)‖ : f ∈ Q} : (X,V )},
где нижняя грань берется по всем парам (X,V ) таким, что X — нормированное пространство,
непосредственно вложенное в L2(R), а V : X → L2(R) — непрерывный линейный оператор,
для которого ImV ∈ LinC(L2(R)) и dim(ImV,L2(R)) 6 ν; Q ⊂ X. Здесь ImV — образ опера-
тора V. Пару, на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной.
Величину
bν(Q,L2(R)) := sup{sup{ρ > 0: L ∩ ρBL2(R) ⊂ Q} :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
758 С. Б. ВАКАРЧУК
L ∈ LinC(L2(R)), dim(L, L2(R)) > ν, dν(L ∩BL2(R), L2(R)) = 1}
называют средним ν-поперечником по Бернштейну множества Q в L2(R). Последнее условие,
налагаемое на L при вычислении внешней верхней грани, означает, что рассматриваются только
те подпространства, для которых справедлив аналог теоремы В. М. Тихомирова о поперечни-
ке шара. Этому требованию удовлетворяет, например, подпространство Bσ,2, если σ > νπ,
т. е. dν(Bσ,2 ∩BL2(R), L2(R)) = 1.
Между перечисленными экстремальными характеристиками множества Q ⊂ L2(R) имеют
место неравенства
bν(Q,L2(R)) 6 dν(Q,L2(R)) 6 δν(Q,L2(R)). (77)
Отметим, что в работе автора [17] в хронологическом порядке приведен достаточно полный
перечень результатов, связанных с вычислением точных значений колмогоровских поперечни-
ков классов функций, заданных на отрезке, и их распространения — средних ν-поперечников —
на случай решения в определенном смысле аналогичных экстремальных задач теории аппрок-
симации функций на всей вещественной оси.
7. Непрерывную неубывающую на полусегменте [0,∞) функцию Φ такую, что Φ(0) = 0,
назовем мажорантой. Символом Wr(Ω̃k,Φ), r ∈ Z+, k ∈ N, обозначим класс функций
f ∈ Lr2(R), для каждой из которых при любом t ∈ (0,∞) выполняется неравенство Ω̃k(f
(r), t) 6
6 Φ(t). Для произвольного класса M ⊂ L2(R) полагаем Aσ(M) := sup{Aσ(f) : f ∈M}.
Теорема 3. Пусть мажоранта Φ для любого σ > νπ, где ν — произвольное фиксированное
положительное число, удовлетворяет условию
Φ(t)
Φ(π/(2σ))
>
(
π
π − 2
)k (
1− sinc(σt)
)k
∗
. (78)
Тогда имеют место равенства
Πν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)) = Aνπ(Wr(Ω̃k,Φ)) =
πk−r
(π − 2)k
ν−rΦ
(
1
2ν
)
, (79)
где Π(·) — любой из средних ν-поперечников: бернштейновский bν(·), колмогоровский dν(·),
линейный δν(·). При этом пара (Lr2(R),Λνπ), где линейный оператор Λνπ определяется из
условия F(Λνπ, ·) = χνπ(·)F(f, ·)
(
здесь F — преобразование Фурье в L2(R), а χνπ(·) — харак-
теристическая функция множества (−νπ, νπ)
)
, будет экстремальной для среднего линейного
ν-поперечника δν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)), а подпространство Bνπ,2 является экстремальным для
среднего ν-поперечника по Колмогорову dν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)). При этом множество мажо-
рант, удовлетворяющих условию (78), не пусто.
Доказательство. Используя формулу (76), вычисляем среднюю размерность подпростран-
ства целых функций Bνπ,2, а именно, dim(Bνπ,2;L2(R)) = ν. Полагая в связи с этим в формуле
(21) σ := νπ, t := π/2 и используя определение средних ν-поперечников, соотношение (77) и
определение класса Wr(Ω̃k,Φ), записываем
Πν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)) 6 δν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)) 6 sup{‖f − Λνπ(f)‖ : f ∈ Wr(Ω̃k,Φ)} =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 759
= Aνπ(Wr(Ω̃k,Φ)) 6
πk−r
(π − 2)k
ν−rΦ
(
1
2ν
)
, (80)
где
Λνπ(f, x) :=
1√
2π
νπ∫
−νπ
eixτF(f, τ)dτ.
Перейдем к получению оценок снизу рассматриваемых средних ν-поперечников. Из ре-
зультатов, приведенных в пункте 6, следует, что подпространство целых функций Bσ̂,2, где
σ̂ := νπ(1 + ε), ε ∈ (0, σ∗) — произвольное бесконечно малое положительное число, удов-
летворяет всем требованиям, предъявляемым к подпространствам, входящим в определение
среднего ν-поперечника по Бернштейну. Отметим, что в соответствии с равенством (76) сред-
няя размерность dim(Bσ̂,2;L2(R)) = ν(1 + ε), и, согласно результатам работ [30, 31], имеем
dν(Bσ̂,2 ∩BL2(R), L2(R)) = 1.
Рассмотрим далее множество Bσ̂(ρ), являющееся результатом пересечения подпространства
Bσ̂,2 целых функций экспоненциального типа σ̂ с шаром ρBL2(R) радиуса
ρ :=
(
π
π − 2
)k
(σ̂)−rΦ
( π
2σ̂
)
, (81)
т. е.
Bσ̂(ρ) := Bσ̂,2 ∩ ρBL2(R) =
{
g ∈ Bσ̂,2 : ‖g‖ 6 ρ
}
,
и покажем принадлежность Bσ̂(ρ) классу Wr(Ω̃k,Φ). В силу теоремы Винера – Пэли (см., на-
пример, [3, с. 211, 212]) целую функцию g ∈ Bσ̂,2 можно записать в виде
g(x) =
1√
2π
σ̂∫
−σ̂
u(τ)eixτdτ,
где u — некоторая функция с интегрируемым по Лебегу квадратом модуля на отрезке [−σ̂, σ̂].
При этом
‖g‖ =
σ̂∫
−σ̂
|u(τ)|2dτ
1/2
. (82)
Используя формулы (9), (10) и метод математической индукции, можно показать справедли-
вость равенства
∆̃k
h(g, x) =
1√
2π
σ̂∫
−σ̂
(
1− sinc(hτ)
)k
u(τ)eixτdτ. (83)
С учетом формул (82), (83), обозначения (38) и поведения функции sinc(·) получаем
∥∥∥∆̃k
h(g)
∥∥∥ =
σ̂∫
−σ̂
(
1− sinc(hτ)
)2k
|u(τ)|2dτ
1/2
6
(
1− sinc(hσ̂)
)k
∗
‖g‖. (84)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
760 С. Б. ВАКАРЧУК
Используя неравенство С. Н. Бернштейна для целых функций g ∈ Bσ̂,2 [3]
‖g(r)‖ 6 (σ̂)r‖g‖
и соотношение (84), имеем ∥∥∥∆̃k
h(g(r))
∥∥∥ 6 (σ̂)r
(
1− sinc(hσ̂)
)k
∗
‖g‖. (85)
Из определения специального модуля непрерывности k-го порядка Ω̃k и неравенства (85) сле-
дует оценка сверху
Ω̃k(g
(r), t) 6 (σ̂)r
(
1− sinc(hσ̂)
)k
∗
‖g‖. (86)
Используя неравенство (86) и ограничение (78) на мажоранту Φ, для произвольного элемента
g ∈ Bσ̂(ρ) получаем
Ω̃k(g
(r), t) 6
(
π
π − 2
)k (
1− sinc(σ̂t)
)k
∗
Φ
( π
2σ̂
)
6 Φ(t),
где t ∈ (0,∞) — любое число. Следовательно, Bσ̂(ρ) ⊂ Wr(Ω̃k,Φ).
Обозначим
Ξ̃r,ν(Φ, ε) :=
1
(1 + ε)r
Φ
(
1
2(1 + ε)ν
)
,
где ε ∈ (0, σ∗) — произвольное бесконечно малое число. Из определения среднего бернштей-
новского ν-поперечника и формулы (81) имеем
bν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)) > bν(Bσ̂(ρ), L2(R)) >
πk−r
(π − 2)k
ν−r Ξ̃r,ν(Φ, ε). (87)
Очевидно, что величина Ξ̃r,ν(Φ, ε) является монотонно убывающей функцией от ε ∈ (0, σ∗)
при фиксированных значениях остальных параметров, входящих в выражение для Ξ̃, и
lim
ε→0+0
Ξ̃r,ν(Φ, ε) = Φ
(
1
2ν
)
.
Следовательно,
sup
{
Ξ̃r,ν(Φ, ε) : 0 < ε < σ∗
}
= Φ
(
1
2ν
)
. (88)
Из соотношений (77) и (87) получаем
Πν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)) >
πk−r
(π − 2)k
ν−rΞ̃r,ν(Φ, ε),
где Πν(·) — любой из средних ν-поперечников, рассмотренных в пункте 6. Вычисляя верх-
нюю грань по ε ∈ (0, σ∗) от правой части последнего неравенства и учитывая формулу (88),
записываем оценки снизу изучаемых средних ν-поперечников:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 761
Πν(Wr(Ω̃k,Φ);L2(R)) >
πk−r
(π − 2)k
ν−rΦ
(
1
2ν
)
.
Сопоставляя их с оценками сверху (80), получаем требуемые равенства (79).
В заключение доказательства отметим, что мажорантой, удовлетворяющей условию (78),
может служить, например, функция Φ̃(t) := t2k/(π−2) [20].
Теорема 3 доказана.
Определенный интерес, по мнению автора, представляет изучение поведения величин наи-
лучших приближений Aσ(f (r−µ)), r ∈ N, µ = 0, . . . , r− 1, на классахWr(Ω̃k,Φ). Справедливо
такое следствие.
Следствие 7. Пусть выполнены все условия теоремы 3 и r ∈ N, µ = 0, . . . , r−1, ν ∈ (0,∞)
— произвольные фиксированные числа. Тогда имеет место равенство
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈ Wr(Ω̃k,Φ)
}
=
πk−µ
(π − 2)k
ν−µΦ
(
1
2ν
)
. (89)
Доказательство. Из равенства (20), в котором полагаем t := π/2 и σ := νπ, для произволь-
ной функции f ∈ Lr2(R) записываем оценку сверху наилучшего приближения ее производной
f (r−µ) элементами подпространства Bνπ,2:
Aνπ(f (r−µ)) 6
πk−µ
(π − 2)k
ν−µ Ω̃k
(
f (r),
1
2ν
)
.
Отсюда, используя определение класса Wr(Ω̃k,Φ), получаем оценку сверху
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈ Wr(Ω̃k,Φ)
}
6
πk−µ
(π − 2)k
ν−µΦ
(
1
2ν
)
. (90)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части
неравенства (90), рассмотрим целую функцию qε̃ экспоненциального типа σ+ ε̃, где ε̃ — произ-
вольное бесконечно малое положительное число, заданную формулой (25). Полагая, например,
ε := ε̃/(νπ), имеем
σ + ε̃ = νπ(1 + ε) = σ̂. (91)
Поскольку в силу равенства (26)
‖qε̃‖ =
2
σ+ε̃∫
σ
|F(qε̃, τ)|2dτ
1/2
=
√
2ε̃, (92)
на основании формул (81), (91) и (92) целая функция
q̂ε̃(x) :=
ρ√
2ε̃
qε̃(x)
является элементом рассмотренного в ходе доказательства теоремы 3 множества Bσ̂(ρ), которое
принадлежит классу Wr(Ω̃k,Φ). Используя неравенство (29), в котором полагаем σ := νπ, а
также применяя соотношения (81) и (91), для функции q̂ε̃ записываем
Aνπ
(
(q̂ε̃)
(r−µ)
)
> (νπ)r−µ ρ =
πk−µ
(π − 2)k
ν−µ Ξ̃r,ν(Φ, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
762 С. Б. ВАКАРЧУК
где величина Ξ̃r,ν (Φ, ε) была введена при доказательства теоремы 3. Поскольку q̂ε̃ ∈W r(Ω̃k,Φ),
с учетом последнего неравенства получаем
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈ Wr(Ω̃k,Φ)
}
>
πk−µ
(π − 2)k
ν−µ Ξ̃r,ν(Φ, ε).
Вычисляя верхнюю грань по ε ∈ (0, σ∗) от правой части данного неравенства, имеем
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈ Wr(Ω̃k,Φ)
}
>
πk−µ
(π − 2)k
ν−µ Φ
(
1
2ν
)
.
Сравнивая оценку снизу рассматриваемой экстремальной характеристики с ее оценкой сверху
(90), получаем требуемое равенство (89), что и завершает доказательство следствия 7.
8. Символом W r
p (Ω̃k,Φ), где 0 < p 6 2, r ∈ Z+, k ∈ N, Φ — некоторая мажоранта, обозна-
чим класс функций f ∈ Lr2(R), для которых при любом t ∈ (0,∞) выполняется неравенство
1
t
t∫
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)dτ 6 Φp(t). (93)
Теорема 4. Пусть r, k ∈ N, p ∈ [1/r, 2] и мажоранта Φ при любом σ > νπ, где ν —
произвольное фиксированное положительное число, удовлетворяет условию
(
Φ(t)
Φ(π/σ)
)p
>
π
∫ σt
0
(
1− sinc(τ)
)kp
∗
dτ
σt
∫ π
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
. (94)
Тогда имеют место равенства
Πν(W r
p (Ω̃k,Φ);L2(R)) = Aνπ(W r
p (Ω̃k,Φ)) =
= π1/p−r
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−rΦ
(
1
ν
)
, (95)
где Π(·) — любой из средних ν-поперечников: бернштейновский bν(·), колмогоровский dν(·), ли-
нейный δν(·).При этом пара (Lr2(R),Λνπ) и подпространство Bνπ,2 являются экстремальными
для средних линейного и колмогоровского ν-поперечников класса W r
p (Ω̃k,Φ) соответственно,
а множество мажорант, удовлетворяющих условию (94), не пусто.
Доказательство. Используя соотношение (60), в котором полагаем t := π/σ и µ := r, для
произвольной функции f ∈ Lr2(R) записываем
Aσ(f) 6 σ−r
1
π
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
σπ
π/σ∫
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)dτ
1/p
.
Из данного неравенства при σ := νπ, определения класса W r
p (Ω̃k,Φ) и соотношений (76), (77)
получаем оценку сверху рассматриваемых средних ν-поперечников:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 763
Πν(W r
p (Ω̃k,Φ);L2(R)) 6 δν(W r
p (Ω̃k,Φ);L2(R)) 6 sup
{
‖f − Λνπ(f)‖ : f ∈W r
p (Ω̃k,Φ)
}
=
= Aνπ(W r
p (Ω̃k,Φ)) 6 π1/p−r
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−r Φ
(
1
ν
)
. (96)
Для получения оценок снизу средних ν-поперечников класса
W r
p (Ω̃k,Φ), в силу формулы (77), рассмотрим его средний бернштейновский ν-поперечник.
Предварительно обозначим через Bσ̂(ρ1), где величина σ̂ определяется формулой (91), а вели-
чина ρ1 — формулой
ρ1 :=
1
π
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
(σ̂)−r Φ
(π
σ̂
)
, (97)
множество целых функций, образованное пересечением подпространства Bσ̂,2 с шаром радиуса
ρ1 в пространстве L2(R), т. е.
Bσ̂(ρ1) := Bσ̂,2 ∩ ρ1BL2(R) = {g ∈ Bσ̂,2 : ‖g‖ 6 ρ1},
и покажем принадлежность Bσ̂(ρ1) классу W r
p (Ω̃k,Φ).
Из неравенства (86) для произвольной функции g ∈ Bσ̂(ρ1) имеем
Ω̃p
k(g
(r), τ) 6 (σ̂)rp
(
1− sinc(σ̂τ)
)kp
∗
‖g‖p.
Интегрируя обе части данного неравенства по переменной τ в пределах от 0 до t, где
t ∈ (0,∞), а затем умножая их на величину 1/t и используя условие (94), записываем
1
t
t∫
0
Ω̃p
k(g
(r), τ)dτ 6 (σ̂)rp‖g‖p 1
t
t∫
0
(
1− sinc(σ̂τ)
)kp
∗
dτ 6
6
1
σ̂t
σ̂t∫
0
(
1− sinc(σ̂τ)
)kp
∗
dτ
1
π
π∫
0
(
1− sinc(σ̂τ)
)kp
dτ
−1
Φp
(π
σ̂
)
6 Φp(t).
Учитывая неравенство (93), имеем Bσ̂(ρ1) ⊂W r
p (Ω̃k,Φ). Отсюда, используя определение сред-
него ν-поперечника по Бернштейну, а также формулы (91) и (97), получаем
bν(W r
p (Ω̃k,Φ);L2(R)) > bν(Bσ̂(ρ1), L2(R)) >
> π1/p−r
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−r Ξ̃r,ν/2(Φ, ε),
где величина Ξ̃r,ν/2(Φ, ε) определена в ходе доказательства теоремы 3. Из соотношения (77) и
последнего неравенства имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
764 С. Б. ВАКАРЧУК
Πν(W r
p (Ω̃k,Φ);L2(R)) > π1/p−r
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−r Ξ̃r,ν/2(Φ, ε),
где Πν(·) — любой из средних ν-поперечников, рассмотренных в пункте 6. Вычисляя верх-
нюю грань по ε ∈ (0, σ∗) от правой части последнего неравенства и используя формулу (88),
записываем оценки снизу
Πν(W r
p (Ω̃k,Φ);L2(R)) > π1/p−r
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−r Φ
(
1
ν
)
.
Сопоставляя данное неравенство с оценкой сверху (96), получаем требуемые равенства (95).
В заключение отметим, что условию (94) удовлетворяет, например, мажоранта Φ̂(t) := ta/p,
где
a :=
π∫ π
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
− 1
(см., например, [19]).
Теорема 4 доказана.
Следствие 8. Пусть выполнены все условия теоремы 4 и r ∈ N\{1}, µ ∈ N и µ = 1, . . .
. . . , r − 1, p ∈ [1/µ; 2], ν ∈ (0,∞) — произвольные фиксированные числа. Тогда справедливо
равенство
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r
p (Ω̃k,Φ)
}
= π1/p−µ
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−µΦ
(
1
ν
)
. (98)
Доказательство. Используя равенство (60), для произвольной функции f ∈ Lr2(R) за-
писываем оценку сверху величины наилучшего приближения ее промежуточной производной
f (r−µ) элементами подпространства Bσ,2:
Aσ(f (r−µ)) 6
t∫
0
(
1− sinc(στ)
)kp
dτ
−1/p
σ−µ
t∫
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)dτ
1/p
.
Полагая в данном неравенстве σ := νπ и t := π/σ = 1/ν, получаем
Aσ(f (r−µ)) 6 π1/p−µ
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−µ
ν
1/ν∫
0
Ω̃p
k(f
(r), τ)dτ
1/p
.
Отсюда, используя определение класса W r
p (Ω̃k,Φ), имеем оценку сверху рассматриваемой
экстремальной характеристики
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r
P (Ω̃k,Φ)
}
6 π1/p−µ
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−µΦ
(
1
ν
)
.
(99)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 765
Для получения оценки снизу рассмотрим, как и при доказательстве следствия 7, целую
функцию qε̃ экспоненциального типа σ + ε̃, где ε̃ — произвольное бесконечно малое число.
Также полагаем ε := ε̃/(νπ). В силу формул (91), (92) и (97) целая функция
q̃ε̃(x) :=
ρ1√
2ε̃
qε̃(x)
принадлежит рассмотренному в теореме 4 множеству Bσ̂(ρ1), а значит, и классу
W r
p (Ω̃k,Φ). Из неравенства (29), в котором полагаем σ := νπ, и из соотношений (97), (91)
для функции q̃ε̃ получаем
Aνπ(q̃
(r−µ)
ε̃ ) > π1/p−µ
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−µ Ξ̃r,ν/2(Φ, ε).
Учитывая, что q̃ε̃ ∈W r
p (Ω̃k,Φ), из данного неравенства имеем
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r
p (Ω̃k,Φ)
}
> π1/p−µ
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−µ Ξ̃r,ν/2(Φ, ε).
Вычисляя верхнюю грань по ε ∈ (0, σ∗) от правой части последнего неравенства, записы-
ваем оценку снизу
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r
p (Ω̃k,Φ)
}
> π1/p−µ
π∫
0
(
1− sinc(τ)
)kp
dτ
−1/p
ν−µΦ
(
1
ν
)
.
(100)
Требуемое равенство (98) получаем из неравенств (99), (100).
Следствие 8 доказано.
В заключение отметим, что теоремы 1, 2 являются своеобразным распространением ре-
зультатов работ [18 – 20] на случай наилучшего приближения функций, заданных на всей ве-
щественной оси, подпространствами Bσ,2 целых функций экспоненциального типа σ ∈ (0,∞).
Теоремы 3, 4 также можно рассматривать как своеобразное распространение на случай L2(R)
тех результатов из указанных работ, которые связаны с вычислением точных значений n-
поперечников классов 2π-периодических функций, определенных с помощью специальных
модулей непрерывности k-го порядка в L2([0, 2π]).
1. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи
целых функций данной степени. – 1912. – Собр. соч. Т. 2. – М.: АН СССР, 1952. – С. 371 – 375.
2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 324 с.
3. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
4. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
5. Ибрагимов И. И. Теория приближения целыми функциями. – Баку: Элм, 1979. – 486 с.
6. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной
оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. – 1970. – 194, № 5. – С. 1013 – 1016.
7. Насибов Ф. Г. О приближении в L2 целыми функциями // Докл. АН АзербССР. – 1986. – 42, № 4. – С. 3 – 6.
8. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального
типа // Изв. вузов. Математика. – 1972. – № 6. – С. 65 – 73.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
766 С. Б. ВАКАРЧУК
9. Степанец А. И. Классы функций, заданных на действительной оси, и их приближения целыми функциями. I //
Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 1. – С. 102 – 112.
10. Степанец А. И. Классы функций, заданных на действительной оси, и их приближения целыми функциями. II //
Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 2. – С. 210 – 222.
11. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2-approximation on the line and exact values
of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – P. 27 – 39.
12. Лигун А. А., Доронин В. Г. Точные константы в неравенствах типа Джексона для L2-аппроксимации на прямой //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 92 – 98.
13. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. О наилучшем среднеквадратическом приближении целыми функциями конеч-
ной степени на прямой // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. мат. – 2009. – 17, № 6/1. – С. 36 – 41.
14. Вакарчук С. Б., Доронин В. Г. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной
степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов // Укр. мат. журн. –
2010. – 62, № 8. – С. 1032 – 1043.
15. Янченко С. Я. Наближення класiв функцiй багатьох змiнних цiлими функцiями спецiального вигляду // Укр.
мат. журн. – 2000. – 62, № 8. – С. 1124 – 1138.
16. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси. I //
Укр. мат. вiсн. – 2012. – 9, № 3. – С. 401 – 429.
17. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси. II //
Укр. мат. вiсн. – 2012. – 9, № 4. – С. 578 – 602.
18. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Точное неравенство типа Джексона – Стечкина в L2 и поперечники функцио-
нальных классов // Мат. заметки. – 2009. – 86, № 3. – С. 328 – 336.
19. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Неравенства типа Джексона – Стечкина для специальных модулей непре-
рывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Мат. заметки. – 2012. – 92, № 4. –
С. 497 – 514.
20. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. О наилучшем полиномиальном приближении в пространствеL2 и поперечниках
некоторых классов функций // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 8. – С. 1025 – 1032.
21. Абилов В. А., Абилова Ф. В. Некоторые вопросы приближения 2π-периодических функций суммами Фурье в
пространстве L2(2π) // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 6. – С. 803 – 811.
22. Kokilashvili V., Yildirir Y. E. On the approximation in weighted Lebesque space // Proc. A. Razmadze Math. Inst. –
2007. – 143. – P. 103 – 113.
23. Akgün R. Sharp Jackson and converse theorem of trigonometric approximation in weighted Lebesque spaces // Proc.
A. Razmadze Math. Inst. – 2010. – 152. – P. 1 – 18.
24. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. – М.: Наука, 1971. – 408 с.
25. Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье. – М.: КомКнига, 2005. – 480 с.
26. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: Мир, 1965. – 276 с.
27. Рыбасенко В. Д., Рыбасенко И. Д. Элементарные функции. Формулы, таблицы, графики. – М.: Наука, 1987. –
416 с.
28. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 //
Мат. заметки. — 1967. – 2, № 5. – С. 513 – 522.
29. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Некоторые вопросы теории аппроксимации 2π-периодических функций в
пространствах Lp, 1 6 p 6 ∞ // Проблеми теорiї наближення функцiй i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. — 2004. – 1, № 1. – С. 25 – 41.
30. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов
функций на прямой // Мат. сб. – 1991. – 182, № 11. – С. 1635 – 1656.
31. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // Докл. АН СССР. –
1991. – 318, № 1. – С. 35 – 38.
32. Тихомиров В. М. Об аппроксимативных характеристиках гладких функций многих переменных // Теория
кубатурных формул и вычислительная математика. – Наука: Новосибирск, 1980. – С. 183 – 188.
Получено 31.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2175 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:06Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f4/3c5cdf84856d45f77332c7de1ddad5f4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21752019-12-05T10:25:45Z Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ Неравенства типа Джексона для специальных модулей непрерывности на всей вещественной оси и точные значения средних $ν$ -поперечников классов функций в пространстве $L_2 (ℝ)$ Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. The exact values of constants are obtained in the space $L_2 (ℝ)$ for the Jackson-type inequalities for special moduli of continuity of the $k$ th order defined by the Steklov operator $S_h (f)$ instead of the translation operator $T_h (f)$ in the case of approximation by entire functions of exponential type $σ ∈ (0,∞)$. The exact values of the mean $ν$-widths (linear, Bernstein, and Kolmogorov) are also obtained for the classes of functions defined by the indicated characteristic of smoothness. У випадку апроксимації у npocTopi $L_2 (ℝ)$ цілими Функціями експоненціального типу $σ ∈ (0,∞)$ знайдено точні значення констант у нерівностях типу Джексона для спеціальних модулів неперервності $k$-го порядку, в яких замість оператора зсуву $T_h (f)$ використано оператор Стєклова $S_h (f)$. Для класів функцій, означених за допомогою вказаної характеристики гладкості, обчислено точні значення середніх $ν$-поперечників — лінійного, бернштейнівського, колмогоровського. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2175 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 6 (2014); 740–766 Український математичний журнал; Том 66 № 6 (2014); 740–766 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2175/1351 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2175/1352 Copyright (c) 2014 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ |
| title | Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ |
| title_alt | Неравенства типа Джексона для специальных модулей непрерывности на всей вещественной оси и точные значения средних $ν$ -поперечников классов функций в пространстве $L_2 (ℝ)$ |
| title_full | Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ |
| title_fullStr | Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ |
| title_full_unstemmed | Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ |
| title_short | Jackson-Type Inequalities for the Special Moduli of Continuity on the Entire Real Axis and the Exact Values of Mean $ν$ - Widths for the Classes of Functions in the Space $L_2 (ℝ)$ |
| title_sort | jackson-type inequalities for the special moduli of continuity on the entire real axis and the exact values of mean $ν$ - widths for the classes of functions in the space $l_2 (ℝ)$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2175 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb jacksontypeinequalitiesforthespecialmoduliofcontinuityontheentirerealaxisandtheexactvaluesofmeannwidthsfortheclassesoffunctionsinthespacel2r AT vakarčuksb jacksontypeinequalitiesforthespecialmoduliofcontinuityontheentirerealaxisandtheexactvaluesofmeannwidthsfortheclassesoffunctionsinthespacel2r AT vakarčuksb jacksontypeinequalitiesforthespecialmoduliofcontinuityontheentirerealaxisandtheexactvaluesofmeannwidthsfortheclassesoffunctionsinthespacel2r AT vakarchuksb neravenstvatipadžeksonadlâspecialʹnyhmodulejnepreryvnostinavsejveŝestvennojosiitočnyeznačeniâsrednihnpoperečnikovklassovfunkcijvprostranstvel2r AT vakarčuksb neravenstvatipadžeksonadlâspecialʹnyhmodulejnepreryvnostinavsejveŝestvennojosiitočnyeznačeniâsrednihnpoperečnikovklassovfunkcijvprostranstvel2r AT vakarčuksb neravenstvatipadžeksonadlâspecialʹnyhmodulejnepreryvnostinavsejveŝestvennojosiitočnyeznačeniâsrednihnpoperečnikovklassovfunkcijvprostranstvel2r |