Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$
We study some problems of imbedding of the sets of $ψ$-integrals of the functions $f \in L^{p(∙)}$ and determine the orders of approximations of functions from these sets by Fourier’s sums.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2181 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508126264950784 |
|---|---|
| author | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. Чайченко, С. О. |
| author_facet | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. Чайченко, С. О. |
| author_sort | Chaichenko, S. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:45Z |
| description | We study some problems of imbedding of the sets of $ψ$-integrals of the functions $f \in L^{p(∙)}$ and determine the orders of approximations of functions from these sets by Fourier’s sums. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
C. О. Чайченко (Донбас. гос. пед. ун-т)
ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММАМИ ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВАХ LψLp(·)
We study some problems of embedding of the sets of ψ-integrals of the functions f ∈ Lp(·) and determine the orders of
approximations of functions from these sets by Fourier’s sums.
Вивчаються питання вкладення множин ψ-iнтегралiв функцiй f ∈ Lp(·), а також знайдено порядки наближення
сумами Фур’є функцiй з цих множин.
1. Определения и постановка задачи. Пусть p = p(x) — 2π-периодическая измеримая
и существенно ограниченная функция. Через Lp(·) обозначают пространства измеримых 2π-
периодических функций f таких, что
π∫
−π
∣∣f(x)
∣∣p(x)
dx <∞.
Если p := ess infx
∣∣p(x)
∣∣ > 1 и p̄ := ess supx
∣∣p(x)
∣∣ < ∞, то Lp(·) являются банаховыми
пространствами [1] (см. также [2]) с нормой, которая может быть задана формулой
‖f‖p(·) := inf
α > 0:
π∫
−π
∣∣∣∣f(x)
α
∣∣∣∣p(x)
dx ≤ 1
.
Пространства Lp(·) получили название обобщенных пространств Лебега с переменным по-
казателем. Понятно, что в случае, когда p = p(x) = const > 0, пространства Lp(·) совпадают
с классическими пространствами Лебега Lp. В свою очередь, если p̄ < ∞, пространства Lp(·)
являются частным случаем так называемых пространств Орлича – Муселяка [3]. Пространства
Лебега с переменным показателем впервые появились в статье В. Орлича [4]. В работе [5]
пространства Lp(·) рассматривались как пример более общих функциональных пространств и в
дальнейшем исследовались многими авторами в разных направлениях. С основными результа-
тами теории этих пространств можно ознакомиться, например, в работах [1, 2, 6 – 9]. Отметим
также, что обобщенные пространства Лебега с переменным показателем применяются в тео-
рии упругости, механике, теории дифференциальных операторов, вариационном исчислении
[10 – 12].
Приведем ряд определений, которые будем использовать при формулировке и доказатель-
стве результатов в этой работе.
Определение 1. Говорят, что функция p = p(x) удовлетворяет условию Дини – Липшица
порядка γ, если
ω(p; δ)
(
ln
1
δ
)γ
≤ K, 0 < δ < 1,
где
ω(p; δ) = sup
x1,x2∈[−π;π]
{∣∣p(x1)− p(x2)
∣∣ : |x1 − x2| ≤ δ
}
.
c© C. О. ЧАЙЧЕНКО, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6 835
836 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Множество 2π-периодических показателей p = p(x) > 1, которые на периоде удовлетворя-
ют условию Дини – Липшица порядка γ ≥ 1, будем обозначать через Pγ . Очевидно, что если
p ∈ Pγ , то p > 1 и p̄ <∞.
В работе [1] показано, что в случае, когда 1 < p, p̄ < ∞, пространство Lq(·), где q(x) =
=
p(x)
p(x)− 1
, является сопряженным с Lp(·) и для произвольных функций f ∈ Lp(·) и g ∈ Lq(·)
справедливым является аналог классического неравенства Гельдера
π∫
−π
∣∣f(x)g(x)
∣∣dx ≤ Kp,q‖f‖p(·)‖g‖q(·), Kp,q ≤ 1/p+ 1/q, (1)
из которого, в частности, следует включение Lp(·) ⊂ L, где L — пространство 2π-периодических
суммируемых на периоде функций.
Далее нам понадобятся определения ψ-интеграла и ψ-производной, которые принадлежат
А. И. Степанцу.
Определение 2 [13, c. 149]. Пусть f ∈ L и
S[f ] =
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
≡
∞∑
k=0
Ak(f ;x) (2)
— ряд Фурье функции f. Пусть, далее, ψ(k) = (ψ1;ψ2) — пара произвольных числовых после-
довательностей ψ1(k) и ψ2(k), k = 1, 2, . . . . Рассмотрим ряд
A0 +
∞∑
k=1
(
ψ1(k)Ak(f ;x) + ψ2(k)Ãk(f ;x)
)
, (3)
где A0 — некоторое число и
Ãk(f ;x) = ak sin kx− bk cos kx.
Если ряд (3) для данной функции f и пары ψ является рядом Фурье некоторой функции из
F ∈ L, то функцию F называют ψ-интегралом функции f и обозначают F (·) = J ψ(f ; ·).
Множество ψ-интегралов всех функций из L обозначается через Lψ.
Определение 3 [13, c. 149, 150]. Пусть f ∈ L, (2) — ее ряд Фурье и пара ψ = (ψ1;ψ2)
удовлетворяет условию
ψ2(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0, k ∈ N. (4)
Если ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ2(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ2(k)
Ãk(f ;x)
)
является рядом Фурье некоторой функции ϕ ∈ L, то ϕ назовем ψ-производной функции f и
будем писать ϕ(·) = Dψ(f ; ·) = fψ(·).
Подмножество функций f ∈ L, у которых существуют ψ-производные, обозначают через
L̄ψ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММАМИ ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВАХ LψLp(·) 837
Связь между ψ-интегралами и ψ-производными устанавливается в следующем утвержде-
нии.
Лемма A [13, c. 150]. Если f ∈ L, ряд (2) — ее ряд Фурье и выполнено условие (4), то
функция J ψ(f ;x) имеет ψ-производную и справедливо равенство
Dψ
(
J ψ(f ; ·)
)
= f(·)− a0
2
.
Если же f ∈ L̄ψ и ряд (2) — ее ряд Фурье, то функция Dψ(f ;x) имеет ψ-интеграл и при этом
J ψ
(
Dψ(f ; ·)
)
= f(·) +A0,
где A0 — некоторая постоянная.
Обозначим через LψLp(·) классы ψ-интегралов функций f ∈ Lp(·) и, как обычно,
Sn(f ;x) =
a0(f)
2
+
n∑
k=1
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
, n = 0, 1, . . . ,
— частные суммы порядка n ряда Фурье функции f. В этой работе будут исследованы вопросы
вложения множеств LψLp(·), а также найдены порядки приближения суммами Фурье функций
из этих множеств. Все утверждения, полученные здесь, являются распространением на случай
пространств Лебега с переменным показателем Lp(·) результатов, полученных А. И. Степанцом
[14, c. 29 – 46] для классических пространств Лебега Lp.
2. Вспомогательные результаты. При доказательстве основных утверждений работы бу-
дем использовать следующие результаты.
Теорема A [9]. Если p ∈ Pγ , то для произвольной функции f ∈ Lp(·) выполняются оценки∥∥Sn(f)
∥∥
p(·) ≤ cp‖f‖p(·), (5)
‖f̃‖p(·) ≤ cp‖f‖p(·), (6)
где f̃(·) — функция, тригонометрически сопряженная с f(·), а cp — величина, которая зависит
только от показателя p = p(x).
Из неравенства (5), в частности, следует, что для произвольной функции f ∈ Lp(·) при
условии p ∈ Pγ ряд Фурье этой функции сходится к ней в метрике пространств Lp(·), т. е.∥∥f − Sn(f)
∥∥
p(·) → 0, n→∞, (7)
а также выполняется соотношение
En(f)p(·) ≤
∥∥f − Sn−1(f)
∥∥
p(·) ≤ KpEn(f)p(·), (8)
в котором
En(ϕ)p(·) := inf
tn−1∈Tn−1
‖ϕ− tn−1‖p(·), ϕ ∈ Lp(·),
— наилучшее приближение функции ϕ с помощью подпространства Tn−1 тригонометрических
полиномов порядка не выше n− 1, а Kp — величина, которая зависит только от p = p(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
838 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Лемма B [15]. Пусть последовательность µ(k), k = 0, 1, 2, . . . , удовлетворяет условиям
ν0 = ν0(µ) = sup
k
∣∣µ(k)
∣∣ ≤ C, σ0 = σ0(µ) = sup
m∈N
2m+1∑
k=2m
∣∣µ(k + 1)− µ(k)
∣∣ ≤ C,
где C — величина, которая не зависит от k и m.
Тогда если p ∈ Pγ , то для данной функции f ∈ Lp(·) существует функция F ∈ Lp(·) такая,
что ряд
µ(0)a0(f)
2
+
∞∑
k=1
µ(k)
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
является рядом Фурье функции F и выполняется оценка
‖F‖p(·) ≤ Kλ‖f‖p(·), λ = max{ν0, σ0}, (9)
в которой величина K не зависит от функции f.
В случае p = p(x) ≡ const это утверждение является известной леммой Марцинкевича для
мультипликаторов [17].
Будем также использовать следующую теорему Харди – Литтлвуда.
Теорема B [16]. Пусть 1 < p < s <∞, p, s = const, α = p−1 − s−1 и
Dα(t) =
∞∑
k=1
k−α cos kt.
Тогда для произвольной функции ϕ ∈ Lp свертка
Φα(x) =
1
π
π∫
−π
ϕ(x+ t)Dα(t) dt
принадлежит Ls, причем
‖Φα‖s ≤ Cs,p‖ϕ‖p,
где Cs,p — величина, зависящая только от s и p.
Следует отметить, что если ϕ ∈ Lp и S[ϕ] =
∑∞
k=0
Ak(ϕ;x), то
S[Φα] =
∞∑
k=0
k−αAk(ϕ;x),
т. е. Φα = Mα(ϕ), где Mα — оператор-мультипликатор, который определяется последователь-
ностью µα(k) = k−α, k = 0, 1, 2, . . . , и действует из Lp в Ls, где показатели 1 < p < s < ∞,
p, s = const, связаны соотношением p−1 − s−1 = α.
3. Теоремы вложения для множеств LψLp(·). Будем говорить, что пара ψ = (ψ1;ψ2)
систем чисел ψ1(k) и ψ2(k), k = 0, 1, 2, . . . , ψ1(0) = 1, ψ2(0) = 0, принадлежит множеству Υα,
α ≥ 0, если величины
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММАМИ ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВАХ LψLp(·) 839
να(ψi) := sup
k∈N
∣∣ψi(k)
∣∣kα, i = 1, 2,
σα(ψi) := sup
m∈N
2m+1∑
2m
∣∣ψi(k + 1)(k + 1)α − ψi(k)kα
∣∣, i = 1, 2,
являются конечными.
Условимся в этом пункте и далее через K, Kp,s, Cp,s, . . . , обозначать положительные
постоянные, зависящие от указанных параметров, вообще говоря, различные в разных местах
текста, и рассмотрим сначала случай p(x) ≡ s(x).
Теорема 1. Если ψ ∈ Υ0 и p ∈ Pγ , то LψLp(·) ⊂ Lp(·).
Доказательство. Принимая во внимание связь между ψ-интегралом и ψ-производной
(см. лемму A), для произвольной функции f ∈ LψLp(·) можем записать равенство
S[f ] =
∞∑
k=0
Ak(f ;x) =
=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
ψ1(k)Ak(f
ψ;x) +
∞∑
k=1
ψ2(k)Ãk(f
ψ;x) =
=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
µ(k)Ak(f
ψ;x) +
∞∑
k=1
µ̃(k)Ãk(f
ψ;x) =
=
a0(f)
2
+M(fψ)(x) + M̃(f̃ψ)(x), (10)
где f̃ψ — функция, тригонометрически сопряженная с fψ, аM и M̃ — операторы-мультипликаторы,
задающиеся формулами
M =
{
µ(k) = ψ1(k), k = 1, 2, . . .
}
,
M̃ =
{
µ̃(k) = ψ2(k), k = 1, 2, . . .
}
.
Условие ψ ∈ Υ0 вместе с леммой B означает, что операторы-мультипликаторы M и M̃ дейст-
вуют из Lp(·) в Lp(·). Условие же f ∈ LψLp(·) дает включение fψ ∈ Lp(·). Значит, согласно
теореме A (неравенство (6)) f̃ψ ∈ Lp(·). Поэтому на основании соотношения (10) находим
‖f‖p(·) =
∥∥∥∥a0(f)
2
+M(fψ) + M̃(f̃ψ)
∥∥∥∥
p(·)
≤
≤
∥∥∥∥a0(f)
2
∥∥∥∥
p(·)
+
∥∥∥M(fψ)
∥∥∥
p(·)
+
∥∥∥M̃(f̃ψ)
∥∥∥
p(·)
≤
≤
∥∥∥∥a0(f)
2
∥∥∥∥
p(·)
+K‖fψ‖p(·) +K‖f̃ψ‖p(·) ≤ Cp,
т. е. f ∈ Lp(·).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
840 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Теорема 1 доказана.
В работе [18] показано, что если 1 ≤ s(x) ≤ p(x) ≤ p̄ <∞, то для произвольной функции
f ∈ Lp(·) выполняется оценка
‖f‖s(·) ≤ Ks,p‖f‖p(·). (11)
Учитывая этот факт, из теоремы 1 получаем такое следствие.
Следствие 1. Если ψ ∈ Υ0 и p, s ∈ Pγ , s(x) ≤ p(x), то LψLp(·) ⊂ Ls(·).
Рассмотрим теперь случай, когда p(x) ≤ s(x).
Теорема 2. Пусть p, s ∈ Pγ , p(x) ≤ s(x) и ψ ∈ Υα, где α = 1/p − 1/s. Тогда LψLp(·) ⊂
⊂ Ls(·).
Доказательство. Обозначим через Mα и M̃α мультипликаторы, порождаемые последова-
тельностями kαψ1(k) и kαψ2(k), k = 0, 1, 2, . . . , соответственно. Тогда
∞∑
k=1
ψ1(k)Ak(f
ψ;x) =
∞∑
k=1
kαψ1(k)
[
k−αAk(f
ψ;x)
]
=
= Mα
( ∞∑
k=1
k−αAk(f
ψ;x)
)
= Mα
S
1
π
π∫
−π
fψ(x+ t)Dα(t) dt
, (12)
где Dα(t) — функция, определенная в теореме B.
Поскольку f ∈ LψLp(·), то fψ ∈ Lp(·) и тем более fψ ∈ Lp. На основании теоремы B
заключаем, что свертка
gα(x) =
1
π
π∫
−π
fψ(x+ t)Dα(t)dt
находится в Ls и тем более gα ∈ Ls(·). Из условия ψ ∈ Υα на основании леммы B следует,
что оператор-мультипликатор Mα действует из Ls(·) в Ls(·) для любого s ∈ Pγ . Поэтому из
соотношения (7) и равенства (12) получаем∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
ψ1(k)Ak(f
ψ;x)
∥∥∥∥∥
s(·)
=
∥∥∥Mα
(
S[gα]
)∥∥∥
s(·)
≤ K‖gα‖s(·) ≤ Cp,s, (13)
где величина Cp,s зависит только от функций p = p(x) и s = s(x).
Аналогично находим
∞∑
k=1
ψ2(k)Ãk(f
ψ;x) =
∞∑
k=1
kαψ2(k)
[
k−αÃk(f
ψ;x)
]
=
= M̃α
( ∞∑
k=1
k−αÃk(f
ψ;x)
)
= M̃α
(
S[g̃α]
)
. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММАМИ ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВАХ LψLp(·) 841
Поскольку оператор-мультипликатор M̃α действует из Ls(·) в Ls(·) для любого s ∈ Pγ , а
функция g̃α ∈ Ls(·), на основании соотношения (7), равенства (14) и леммы B будем иметь∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
ψ2(k)Ãk(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
=
∥∥∥M̃α
(
S[g̃α]
)∥∥∥
s(·)
≤ Kp,s. (15)
Сопоставляя теперь соотношения (10), (13) и (15), убеждаемся в справедливости утвержде-
ния теоремы.
Теорема 2 доказана.
4. Приближения суммами Фурье функций из множеств LψLp(·). В этом пункте для
функций f ∈ LψLp(·), p, s ∈ Pγ , при условии, что пары ψ принадлежат Υα, α = 1/p − 1/s,
и подчинены некоторым дополнительным условиям, будут найдены порядковые оценки для
величин En(f)s(·) и
∥∥ρn(f ; ·)
∥∥
s(·), где
ρn(f ;x) = f(x)− Sn−1(f ;x).
Убедимся в справедливости следующего вспомогательного утверждения.
Лемма 1. Пусть показатели p, s ∈ Pγ на периоде x ∈ [0; 2π] связаны одним из соотноше-
ний p(x) < s(x) либо p(x) ≥ s(x). Пусть, далее,
α =
(
1
p
− 1
s
)
+
=
1
p
− 1
s
, p(x) < s(x),
0, p(x) ≥ s(x),
(16)
M
(n)
α и M̃ (n)
α — операторы-мультипликаторы, задаваемые последовательностями
µ(n)
α = µ(n)
α (k) =
0, k < n,
kαψ1(k), k ≥ n,
(17)
и
µ̃(n)
α = µ̃(n)
α (k) =
0, k < n,
kαψ2(k), k ≥ n,
(18)
и такие, что при любом n ∈ N для произвольной функции f ∈ Ls(·) имеют место включения
M (n)
α (f) ∈ Ls(·), M̃ (n)
α (f) ∈ Ls(·).
Тогда если f ∈ LψLp(·), то для произвольного n ∈ N выполняется соотношение
En(f)s(·) ≤
∥∥ρn(f ; ·)
∥∥
s(·) ≤ K
(n)
p,s
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
p(·) ≤ C
(n)
p,s En(fψ)p(·), (19)
где K(n)
p,s , C
(n)
p,s — положительные константы, зависящие от n и функций p = p(x), s = s(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
842 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Доказательство. Используя соотношение (10), находим
En(f)s(·) ≤ ‖ρn(f ; ·)‖s(·) =
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
Ak(f ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
≤
≤
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
µ(k)Ak(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
+
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
µ̃(k)Ãk(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
, (20)
где µ(k) и µ̃(k) — последовательности, определенные равенствами
µ(k) = ψ1(k), µ̃(k) = ψ2(k), k ∈ N.
Пусть сначала показатели p, s ∈ Pγ в каждой точке x ∈ [0; 2π] удовлетворяют неравенству
s(x) > p(x). В этом случае будем иметь (см. (13))
∞∑
k=n
µ(k)Ak(f
ψ;x) =
∞∑
k=n
ψ1(k)Ak(f
ψ;x) = M (n)
α
S
1
π
π∫
−π
ρn(fψ;x+ t)Dα(t) dt
,
где M (n)
α — оператор-мультипликатор, который задается последовательностью (17). Отсюда на
основании леммы B и теоремы B получаем∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
µ(k)Ak(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
=
∥∥∥∥∥∥M (n)
α
(
S
[
1
π
π∫
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
])∥∥∥∥∥∥
s(·)
≤
≤ Kn,s
∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
∥∥∥∥∥
s(·)
≤
≤ Kn,s
∥∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t)dt
∥∥∥∥∥∥
s̄
≤
≤ Kn,s
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
p
≤ Kn,s
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
p(·). (21)
Проводя аналогичные рассуждения, с учетом неравенства (6) находим∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
µ̃(k)Ãk(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
=
∥∥∥∥∥∥M̃ (n)
α U
(
S
[
1
π
π∫
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t) dt
])∥∥∥∥∥∥
s(·)
≤
≤ Kn,s
∥∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
ρn(fψ; ·+ t)Dα(t)dt
∥∥∥∥∥∥
s(·)
≤ Kn,s
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
p(·), (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММАМИ ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВАХ LψLp(·) 843
где U — оператор тригонометрического сопряжения.
Объединяя соотношения (20) – (22), получаем промежуточную оценку в соотношении (19),
и для завершения доказательства леммы в случае, когда s(x) > p(x), остается воспользоваться
неравенством (8).
Если s(x) ≤ p(x), то α = 0, и тогда при k ≥ n будем иметь µ(n)
α (k) = µ
(n)
0 (k) = ψ1(k).
Поэтому ∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψ1(k)Ak(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
=
∥∥∥M (n)
0
(
ρn(fψ; ·)
)∥∥∥
s(·)
≤ Kn,s‖ρn(fψ; ·)‖s(·). (23)
Аналогично, учитывая соотношение (6), находим∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψ2(k)Ãk(f
ψ; ·)
∥∥∥∥∥
s(·)
≤ Kn,s
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
s(·). (24)
Сопоставляя соотношения (20) и (23), (24), получаем
En(f)s(·) ≤
∥∥ρn(f ; ·)
∥∥
s(·) ≤ K
(n)
p,s
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
s(·).
Если теперь s(x) ≡ p(x), то для получения (19) достаточно применить оценку (8). Ес-
ли же в некоторой части периода [0; 2π] выполняется строгое неравенство s(x) < p(x), то
предварительно следует воспользоваться неравенством (11).
Лемма 1 доказана.
При каждом фиксированном α ≥ 0 через Υα,n обозначим подмножество пар ψ = (ψ1;ψ2)
из Υα, для которых при любом натуральном n выполняются условия
να(ψi;n) = sup
k
∣∣ψi,n(k)
∣∣kα ≤ Cνi(n)nα, i = 1, 2, (25)
σα(ψi;n) = sup
m∈N
2m+1∑
k=2m
∣∣ψi,n(k + 1)(k + 1)α − ψi,n(k)kα
∣∣ ≤ Cνi(n)nα, i = 1, 2, (26)
где
ψi,n(k) =
0, k < n,
ψi(k), k ≥ n,
i = 1, 2,
νi(n) = ν(ψi;n) = supk≥n
∣∣ψi(k)
∣∣, i = 1, 2, C — константа, равномерно ограниченная по n, и
докажем такое утверждение.
Лемма 2. Если ψ ∈ Υα,n, то мультипликаторы M
(n)
α и M̃ (n)
α , порождаемые последова-
тельностями (17) и (18), действуют из Lp(·) в Lp(·) при любом p ∈ Pγ , причем∥∥M (n)
α (f)
∥∥
p(·) ≤ Cp,αν1(n)nα‖f‖p(·) (27)
и ∥∥M̃ (n)
α (f)
∥∥
p(·) ≤ Cp,αν2(n)nα‖f‖p(·), (28)
где Cp,α — величина, зависящая от p = p(x) и α.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
844 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Доказательство следует из теоремы B. Действительно, согласно соотношениям (25), (26)
ν0(µn,α) = sup
k
∣∣µn,α(k)
∣∣ = sup
k≥n
∣∣ψ1(k)
∣∣kα ≤ Cν1(n)nα,
σ0(µn,α) = sup
m∈N
2m+1−1∑
k=2m
∣∣ψ1,n(k + 1)(k + 1)α − ψ1,n(k)(k)α
∣∣ ≤ Cν2(n)nα,
и поскольку для произвольного n ∈ N
ν1(n)nα = sup
k≥n
∣∣ψ1(k)
∣∣nα ≤ sup
k∈N
∣∣ψ1(k)
∣∣kα,
вследствие включения ψ ∈ Υα величины ν1(n)nα являются конечными. Значит, для произволь-
ного показателя p ∈ Pγ и f ∈ Lp(·) имеет место включение M (n)
α (f) ∈ Lp(·). Кроме того, в
рассматриваемом случае
λ = λ(µn,α) ≤ ν1(n)nα,
поэтому неравенство (27) следует из оценки (9). Ясно, что такие же рассуждения могут быть
использованы и для доказательства справедливости соотношения (28).
Лемма 2 доказана.
Используя в ходе доказательства леммы 1 неравенства (27), (28) и учитывая при этом
соотношение
1
2
(
ν1(n) + ν2(n)
)
≤ ν(n) ≤
(
ν1(n) + ν2(n)
)
∀n ∈ N,
где ν(n) = supk≥n ψ(k), ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), приходим к такому утверждению.
Теорема 3. Пусть показатели p, s ∈ Pγ на периоде x ∈ [0; 2π] связаны одним из соотно-
шений p(x) < s(x) либо p(x) ≥ s(x). Пусть, далее, α =
(
1
p
− 1
s
)
+
и ψ ∈ Υα,n. Тогда если
f ∈ LψLp(·), то для произвольного n ∈ N выполняется неравенство
En(f)s(·) ≤
∥∥ρn(f ; ·)
∥∥
s(·) ≤ Cp,sν(n)nα
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
p(·) ≤ Kp,sν(n)nαEn(fψ)p(·), (29)
где ν(n) = supk≥n ψ(k), ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), Cp,s, Kp,s — величины, равномерно ограни-
ченные по n и f.
Отметим один важный частный случай теоремы 3. Если числа
∣∣ψi(k)
∣∣kα, i = 1, 2, α ≥ 0,
k ∈ N, не возрастают, то пара ψ = (ψ1;ψ2) принадлежит Υα,n и при этом
να(ψi;n) = |ψi(n)|nα
и
σα(ψi;n) ≤ 2
∣∣ψi(n)
∣∣nα, i = 1, 2.
Поэтому ν1(n) = |ψ1(n)|, ν2(n) = |ψ2(n)| и ν(n) = ψ(n). Следовательно, справедлива следу-
ющая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРИБЛИЖЕНИЯ СУММАМИ ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВАХ LψLp(·) 845
Теорема 4. Пусть показатели p, s ∈ Pγ на периоде x ∈ [0; 2π] связаны одним из соотно-
шений p(x) < s(x) либо p(x) ≥ s(x). Пусть, далее, α =
(
1
p
− 1
s
)
+
и числа
∣∣ψi(k)
∣∣kα, i = 1, 2,
k ∈ N, не возрастают. Тогда если f ∈ LψLp(·), то для произвольного n ∈ N выполняется
неравенство
En(f)s(·) ≤
∥∥ρn(f ; ·)
∥∥
s(·) ≤ Cp,sψ(n)nα
∥∥ρn(fψ; ·)
∥∥
p(·) ≤ Kp,sψ(n)nαEn(fψ)p(·), (30)
где ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), Kp,s, Cp,s — величины, равномерно ограниченные по n и f.
Пусть Lψp(·) := LψUp(·), где Up(·) =
{
f ∈ Lp(·) : ‖f‖p(·) ≤ 1
}
. Тогда
En(f)p(·) ≤ ‖fψ − 0‖p(·) ≤ ‖fψ‖p(·) ≤ 1 ∀f ∈ Lp(·).
Учитывая этот факт, из теорем 3 и 4 получаем такое следствие.
Следствие 2. Пусть показатели p, s ∈ Pγ на периоде x ∈ [0; 2π] связаны одним из соот-
ношений p(x) < s(x) либо p(x) ≥ s(x). Пусть, далее, α =
(
1
p
− 1
s
)
+
и ψ ∈ Υα,n. Тогда
En(Lψp(·))s(·) ≤ En(Lψp(·))s(·) ≤ Cp,sν(n)nα. (31)
В частности, если последовательности
∣∣ψi(k)
∣∣kα, i = 1, 2, k ∈ N, не возрастают, то
En(Lψp(·))s(·) ≤ En
(
Lψp(·)
)
s(·)
≤ Cp,sψ(n)nα, (32)
где
En
(
Lψp(·)
)
s(·)
:= sup
f∈Lψ
p(·)
inf
Tn−1∈Tn−1
‖f − Tn−1‖s(·)
— наилучшее приближение класса Lψp(·) посредством подпространства Tn−1 тригонометриче-
ских полиномов порядка не выше n− 1,
En
(
Lψp(·)
)
s(·)
= sup
f∈Lψ
p(·)
∥∥f − Sn−1(f)
∥∥
s(·)
— верхняя грань отклонения сумм Фурье на классе Lψp(·) в метрике пространств Ls(·).
1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(x)([0; 1]) // Мат. заметки. – 1979. – 26, № 4. – С. 613 – 632.
2. Kováčik O., Rakósník J. On spaces Lp(x) and W k,p(x) // Chech. Math. J. – 1991. – 41(116), № 4. – P. 592 – 618.
3. Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces. – Berlin: Springer, 1983.
4. Orlicz W. Über conjugierte Exponentenfolgen // Stud. Math. – 1931. – 3. – S. 200 – 211.
5. Nakano H. Topology of linear topological spaces. – Tokyo: Maruzen Co. Ltd., 1951.
6. Samko S. G. Differentiation and integration of variable order and the spaces Lp(x) // Proc. Int. Conf. Operator Theory
and Complex and Hypercomplex Analysis (Mexico, 12 – 17 December 1994): Contemp. Math. – 1994. – 212. –
P. 203 – 219.
7. Шарапудинов И. И. О равномерной ограниченности в Lp
(
p = p(x)
)
некоторых семейств операторов свертки //
Мат. заметки. – 1996. – 59(2). – С. 291 – 302.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
846 C. О. ЧАЙЧЕНКО
8. Fan X., Zhao D. On the spaces Lp(x) and Wm,p(x) // J. Math. Anal. and Appl. – 2001. – 263, № 2. – P. 424 – 446.
9. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближения в пространствах Lp(x)(E) // Anal. Math. – 2007. –
33. – P. 135 – 153.
10. Diening L., Ruzicka M. Calderon – Zigmund operators on generelized Lebesgue spaces Lp(x) and problems releted
to fluid dynamics. – Preprint / Albert-Ludwings-Univ. Freiburg, 04.07.2002.
11. Ruzicka M. Electroreological fluids: Modeling and mathematical theory // Lect. Notes Math. – 2000. – 1748. – 176 p.
12. Samko S. G. On a progress in the theory of Lebesgue spaces whith variable exponent: maximal and singular operators //
Integral Transforms Spec. Funct. – 2005. – 16, № 5 – 6. – P. 461 – 482.
13. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
14. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 2. –
468 c.
15. Kokilashvili V., Samko S. Operators of harmonis analysis in weighted spaces with nonstandard growth // J. Math.
Anal. and Appl. – 2009. – 352. – P. 15 – 34.
16. Hardy, G., Littlewood J. Some properties of fractional integrals // IMZ. – 1928. – 27. – P. 565 – 606.
17. Marcinkievicz J. Sur les multiplicateures des séries de Fourier // Stud. Math. – 1938. – 8. – P. 78 – 91.
18. Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве Lp(x)([0; 1]) и принципе локализации в
среднем // Мат. сб. – 1986. – 130(1722), № 2(6). – С. 275 – 283.
Получено 21.06.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2181 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:15Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/61/f4c27088b552ff0c0361727cf35f0761.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21812019-12-05T10:25:45Z Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ Приближения суммами Фурье на множествах $L^{ψ} L^{P(∙)}$ Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. Чайченко, С. О. We study some problems of imbedding of the sets of $ψ$-integrals of the functions $f \in L^{p(∙)}$ and determine the orders of approximations of functions from these sets by Fourier’s sums. Вивчаються питання вкладення множин $ψ$-інтегралів Функцій $f \in L^{p(∙)}$, а також знайдено порядки наближення сумами Фур'є функцій з цих множин. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2181 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 6 (2014); 835–846 Український математичний журнал; Том 66 № 6 (2014); 835–846 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2181/1363 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2181/1364 Copyright (c) 2014 Chaichenko S. O. |
| spellingShingle | Chaichenko, S. O. Чайченко, С. О. Чайченко, С. О. Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title | Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title_alt | Приближения суммами Фурье на множествах $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title_full | Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title_fullStr | Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title_full_unstemmed | Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title_short | Approximations by Fourier Sums on the Sets $L^{ψ} L^{P(∙)}$ |
| title_sort | approximations by fourier sums on the sets $l^{ψ} l^{p(∙)}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2181 |
| work_keys_str_mv | AT chaichenkoso approximationsbyfouriersumsonthesetslpslp AT čajčenkoso approximationsbyfouriersumsonthesetslpslp AT čajčenkoso approximationsbyfouriersumsonthesetslpslp AT chaichenkoso približeniâsummamifurʹenamnožestvahlpslp AT čajčenkoso približeniâsummamifurʹenamnožestvahlpslp AT čajčenkoso približeniâsummamifurʹenamnožestvahlpslp |