On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces
We consider the description of translation invariant subspaces of a weighted Hardy space in the half plane. The obtained result includes the Beurling–Lax theorem for the Hardy space as a special case. We discuss the problem of generalization of the definition of inner function.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2183 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508127244320768 |
|---|---|
| author | Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. |
| author_facet | Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. |
| author_sort | Dilnyi, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:45Z |
| description | We consider the description of translation invariant subspaces of a weighted Hardy space in the half plane. The obtained result includes the Beurling–Lax theorem for the Hardy space as a special case. We discuss the problem of generalization of the definition of inner function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. М. Дiльний (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка, Дрогобиц. держ. пед. ун-т iм. I. Франка)
ПРО IНВАРIАНТНI ПIДПРОСТОРИ У ВАГОВИХ ПРОСТОРАХ ГАРДI
We consider the description of translation invariant subspaces of a weighted Hardy space in the half plane. The obtained
result includes the Beurling – Lax theorem for the Hardy space as a special case. We discuss the problem of generalization
of the definition of inner function.
Представлено описание трансляционно-инвариантных подпространств в одном весовом пространстве Харди в полу-
плоскости. Полученный результат содержит как частный случай теорему Берлинга – Лакса для пространства Харди.
Обсуждается вопрос об обобщении понятия внутренней функции.
1. Вступ. Нехай Hp(C+), 1 ≤ p < +∞, — простiр Гардi аналiтичних у пiвплощинi C+ =
= {z : Rez > 0} функцiй, що задовольняють умову
‖f‖Hp := sup
x>0
+∞∫
−∞
∣∣f(x+ iy)
∣∣pdy
1/p
< +∞.
Цьому простору присвячено велику кiлькiсть дослiджень. Необхiднi нам властивостi простору
Hp(C+) мiстяться, наприклад, у монографiї [1]. Зокрема, кожна функцiя f ∈ Hp(C+) має
майже скрiзь на уявнiй осi кутовi граничнi значення f(iy) i f(iy) ∈ Lp(−∞; +∞). Простори
Hp(C+), 1 ≤ p < +∞, є банаховими i
‖f‖Hp =
+∞∫
−∞
|f(iy)|pdy
1/p
.
Окрiм цього (див. [2]), простiрHp(C+) можна визначити i як простiр аналiтичних в C+ функцiй,
для яких
‖f‖∗Hp = sup
−π
2
<ϕ<π
2
+∞∫
0
∣∣f(reiϕ)∣∣pdr
1/p
< +∞,
причому 2−1/p‖f‖Hp ≤ ‖f‖∗Hp ≤ ‖f‖Hp . Для p = 2 цей результат ранiше встановив
М. М. Джрбашян [3]. Для кожної функцiї f ∈ Hp(C+), 1 ≤ p < +∞, iснує сингулярна гранична
функцiя hf , що визначена з точнiстю до адитивної сталої та значень у точках неперервностi
рiвнiстю
hf (t2)− hf (t1) = lim
x→0+
t2∫
t1
log
∣∣f(x+ iy)
∣∣dy − t2∫
t1
log
∣∣f(iy)∣∣dy. (1)
Функцiя hf є незростаючою i h′f (t) = 0 для майже всiх t ∈ R. Справджується також наступне
твердження [1].
c© В. М. ДIЛЬНИЙ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6 853
854 В. М. ДIЛЬНИЙ
Лема 1. Якщо f ∈ Hp(C+), 1 ≤ p < +∞ i f 6≡ 0, то має мiсце зображення
f(z) = eia0+a1z exp
1
π
+∞∫
−∞
tz + i
(1 + t2)(t+ iz)
log
∣∣f(it)∣∣dt
·Bf (z) · S∗f (z),
де a0 ∈ R, Bf — добуток Бляшке, побудований за послiдовнiстю нулiв функцiї f,
a1 = lim
x→+∞
log
∣∣f(x)∣∣
x
≤ 0,
S∗f (z) = exp
1
π
+∞∫
−∞
tz + i
(1 + t2)(t+ iz)
dh(t)
.
Функцiю If (z) := ea1zBf (z)S
∗
f (z) називають внутрiшнiм множником функцiї f ∈ Hp(C+).
Вiдомо, що коли f ∈ Hp(C+), то f/If ∈ Hp(C+) i Iff1 ∈ Hp(C+) для кожної функцiї f1 ∈
∈ Hp(C+). Через SP(G,H) позначатимемо замикання лiнiйної оболонки системи
{
G(z)eτz : τ ≤
≤ 0
}
в банаховому просторi H. Функцiя G ∈ H називається циклiчною в банаховому просторi
H, якщо SP(G,H) = H. П. Лакс [4], модифiкуючи результати А. Бьорлiнга [5], встановив, що
функцiя G ∈ H2(C+) є циклiчною в H2(C+) тодi i тiльки тодi, коли IG є константою. Вiн
також показав, SP
(
G,Hp(C+)
)
= IG ·H2(C+). Рiзноманiтнi застосування цих результатiв та їх
узагальнення можна знайти в [11 – 13].
Б. Винницький [6] розглянув простiр функцiй Hp
σ(C+), σ ≥ 0, 1 ≤ p < +∞, аналiтичних в
C+ , для яких
‖f‖p
Hp
σ
:= sup
−π
2
<ϕ<π
2
+∞∫
0
∣∣f(reiϕ)∣∣pe−prσ| sinϕ|dr
< +∞.
Функцiї з цього простору мають майже скрiзь на уявнiй осi кутовi граничнi значення f(iy),
f(iy)e−σ|y| ∈ Lp(R) i [14]
‖f‖p
Hp
σ
= max
ϕ∈{−π2 ;0;π2 }
+∞∫
0
∣∣f(reiϕ)∣∣pe−prσ| sinϕ|dr
.
Цей простiр є банаховим. Функцiя f ∈ Hp
σ(C+) має сингулярну граничну функцiю hf , що
визначається рiвнiстю (1). При цьому hf є незростаючою, h′(t) = 0 для майже всiх t ∈ R.
Нехай log z — така гiлка натурального логарифма в C+, що log 1 = 0. У статтях [7 – 10]
показано, що функцiя G ∈ H2
σ(C+) є циклiчною в H2
σ(C+) тодi i тiльки тодi, коли G(z) 6= 0
для кожного z ∈ C+, hG ≡ const i
G(z) exp
(
2σ
π
z log z − cz
)
6∈ H2(C+) для кожного c ∈ R. (2)
Метою цiєї статтi є дослiдження SP
(
G,H2
σ(C+)
)
у випадку, коли умова (2) не виконується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРО IНВАРIАНТНI ПIДПРОСТОРИ У ВАГОВИХ ПРОСТОРАХ ГАРДI 855
2. Основний результат.
Теорема 1. Нехай σ > 0, µ(z) = e
2σ
π z log ze−cz i функцiя G ∈ H2
σ(C+) є такою, що
χ(z) := G(z)µ(z) ∈ H2(C+) (3)
для деякого c ∈ R. Тодi SP
(
G,H2
σ(C+)
)
=
1
µ
IχH
2(C+).
Доведення. Нехай Q ∈ SP(G,H2
σ
(
C+)
)
. Тодi знайдеться послiдовнiсть ηn скiнченних лi-
нiйних комбiнацiй функцiй системи
{
eτz : τ ≤ 0
}
така, що послiдовнiсть (Gηn) збiгається
в H2
σ(C+) до Q. Тодi послiдовнiсть (Gηn) є фундаментальною в H2
σ(C+). Але
∣∣µ(z)∣∣ =
= e−
2σ
π rϕ sinϕ+
2σ
π x log x−cx, якщо z = x + iy = reiϕ ∈ C+. Тому Gηnµ ∈ H2(C+). Окрiм
цього,
∥∥Gηn −Gηm∥∥2H2
σ(C+)
≥
+∞∫
−∞
∣∣G(iy)ηn(iy)−G(iy)ηm(iy)∣∣2∣∣µ(iy)∣∣2dy ≥
≥
+∞∫
−∞
∣∣G(iy)ηn(iy)µ(iy)−G(iy)ηm(iy)µ(iy)∣∣2dy,
тому (Gηnµ) є фундаментальною у просторi H2(C+). Оскiльки Iχ(iy) = 1 майже скрiзь
i Gηnµ/Iχ ∈ H2(C+), то послiдовнiсть (Gηnµ/Iχ) також є фундаментальною у просторi
H2(C+). Нехай Gηnµ/Iχ
H2(C+)−−−−−→ ν ∈ H2(C+). Тодi Gηnµ
H2(C+)−−−−−→ νIχ. Отже,
G(z)ηn(z)e
2σ
π z log ze−cz → ν(z)Iχ(z) рiвномiрно на кожному компактi з C+. Тому G(z)ηn(z)→
→ ν(z)Iχ(z)e
−2σ
π z log zecz рiвномiрно на кожному компактi з C+. З iншого боку, G(z)ηn(z) →
→ Q(z) у просторi H2
σ(C+), тому G(z)ηn(z) → Q(z) рiвномiрно на кожному компактi з C+.
Отже, Q(z) = ν(z)Iχ(z)e
−2σ
π z log zecz = ν(z)Iχ(z)/µ(z) для деякої функцiї ν ∈ H2(C+). Тому
якщо Q ∈ SP
(
G,H2
σ(C+)
)
, то Q ∈ 1
µ
IχSP
(
G,H2(C+)
)
.
Нехай теперQ ∈ 1
µ
IχH
2(C+). ТодiQ = Iχν/µ для деякої функцiї ν ∈ H2(C+). За теоремою
Лакса – Бьорлiнга знайдеться послiдовнiсть ηn скiнченних лiнiйних комбiнацiй функцiй системи{
eτz : τ ≤ 0
}
така, що послiдовнiсть (ηnχ) збiгається в H2(C+) до νIχ. Тодi
+∞∫
−∞
∣∣G(iy)ηn(iy)−Q(iy)
∣∣2e−2σ|y|dy =
+∞∫
−∞
∣∣G(iy)ηn(iy)−Q(iy)
∣∣2∣∣µ(iy)∣∣2dy =
=
+∞∫
−∞
∣∣G(iy)ηn(iy)µ(iy)−Q(iy)µ(iy)
∣∣2dy =
+∞∫
−∞
∣∣ηn(iy)χ(iy)− ν(iy)Iχ(iy)∣∣2dy → 0, n→∞.
Окрiм цього,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
856 В. М. ДIЛЬНИЙ
+∞∫
0
∣∣G(x)ηn(x)−Q(x)
∣∣2dx =
+∞∫
0
∣∣∣∣ηn(x)χ(x)µ(x)
− ν(x)Iχ(x)
µ(x)
∣∣∣∣2 dx =
=
+∞∫
0
∣∣ηn(x)χ(x)− ν(x)Iχ(x)∣∣2 1
µ2(x)
dx =
=
+∞∫
0
∣∣ηn(x)χ(x)− ν(x)Iχ(x)∣∣2e− 4σ
π
x log x+2cxdx ≤ c1
+∞∫
0
∣∣ηn(x)χ(x)− ν(x)Iχ(x)∣∣2dx
для деякої сталої c1. Оскiльки
+∞∫
0
∣∣ηn(x)χ(x)− ν(x)Iχ(x)∣∣2dx→ 0, n→ +∞,
то
+∞∫
0
∣∣G(x)ηn(x)−Q(x)
∣∣2dx→ 0, n→ +∞.
Окрiм цього,
∥∥Gηn −Q∥∥2H2
σ(C+)
= max
+∞∫
0
∣∣G(iy)ηn(iy)−Q(iy)
∣∣2e−2σ|y|dy ;
0∫
−∞
∣∣G(iy)ηn(iy)−Q(iy)
∣∣2e−2σ|y|dy; +∞∫
0
∣∣G(x)ηn(x)−Q(x)
∣∣2dx
.
Тому Gηn
H2
σ(C+)−−−−−→ Q, якщо n→∞. Отже, Q ∈ SP
(
G,H2
σ(C+)
)
.
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай σ > 0, µ(z) = e
2σ
π z log z−cz i функцiя G ∈ H2
σ(C+) є такою, що викону-
ється умова (3) для деякого c ∈ R. Тодi
SP (G;H2
σ
(
C+)
)
=
1
µ̃
Iχ̃H
2(C+), (4)
де
c̃ = lim
x→+∞
ln |G(x)|+ 2σ
π
x log x
x
, χ̃(z) := G(z)µ̃(z), µ̃(z) = e
2σ
π z log z−c̃z.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ПРО IНВАРIАНТНI ПIДПРОСТОРИ У ВАГОВИХ ПРОСТОРАХ ГАРДI 857
Доведення. Оскiльки χ(z) = G(z)µ(z) ∈ H2(C+), то limx→+∞
ln |G(x)|+ 2σ
π x log x− cx
x
≤
≤ 0. Тому c̃ ≤ c. Окрiм цього, функцiя χ̃(z) := G(z)µ̃(z) належить до H2(C+), бо χ̃(z) :=
:= G(z)µ̃(z) = G(z)µ(z)
µ̃(z)
µ(z)
= G(z)µ(z)e(c−c̃)z = χ(z)e(c−c̃)z i c − c̃ ≤ 0, до того ж
Iχ̃(z) = Iχ(z)e
(c−c̃)z i
1
µ̃(z)
Iχ̃(z) =
1
e
2σ
π z log z−c̃z
Iχ(z)e
(c−c̃)z =
1
e
2σ
π z log z−cz
Iχ(z) =
1
µ(z)
Iχ(z).
Тому виконується (4).
Зауваження 1. Оскiльки
∣∣µ(z)∣∣ = e−
2σ
π rϕ sinϕ+ 2σ
π
x log x−cx, то з умови G(z)µ(z) ∈ H2(C+)
випливає, що G ∈ H2
σ(C+).
Зауваження 2. Якщо виконуються умови теореми 2, то функцiю I∗G =
1
µ̃
Iχ̃ природно
назвати внутрiшнiм множником функцiї G ∈ H2
σ(C+).
1. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Наука, 1984. – 368 с.
2. Седлецкий А. М. Эквивалентное определение пространств Hp в полуплоскости и некоторые приложения //
Мат. сб. – 1975. – 96, № 1. – С. 75 – 82.
3. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. – М.:
Наука, 1966. – 672 с.
4. Lax P. Translation invariant subspaces // Acta math. – 1959. – 101. – P. 163 – 178.
5. Beurling A. On two problems concerning linear transformations in Hilbert space // Acta Math. – 1949. – 81, № 1. –
P. 239 – 255.
6. Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр. мат.
журн. – 1994. – 46, № 5. – С. 484 – 500.
7. Vinnitskii B., Dil’nyi V. On extension of Beurling – Lax theorem // Math. Notes. – 2006. – 79. – P. 362 – 368.
8. Дiльний В. М. Про еквiвалентнiсть деяких умов для вагових просторiв Гардi // Укр. мат. журн. – 2006. – 58,
№ 9. – С. 1257 – 1263.
9. Дiльний В. М. Про iснування розв’язкiв одного рiвняння типу згортки // Доп. НАН України. – 2008. – 11. –
С. 7 – 10.
10. Dilnyi V. On cyclic functions in weighted hardy spaces // Журн. мат. фiзики, аналiзу, геометрiї. – 2011. – 7. –
С. 19 – 33.
11. Nikolski N. K. Operatos, functions and systems: an easy reading. – Amer. Math. Soc., 2002. – Vol. 1, 2.
12. Амосов Г. Г., Баранов А. Д., Капустин В. В. О применении модельных пространств для построения коцикли-
ческих возмущений полугруппы сдвигов на полупрямой // Уфим. мат. журн. – 2012. – 4, № 1. – С. 17 – 28.
13. Амосов Г. Г., Баранов А. Д., Капустин В. В. О возмущениях изометрической полугруппы сдвигов на полупря-
мой // Алгебра и анализ. – 2010. – 22, № 4. – С. 1 – 20.
14. Джрбашян М. М., Мартиросян В. М. Теоремы типа Винера – Пели и Мюнца – Саса // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1974. – 41. – С. 868 – 894.
Одержано 28.01.13,
пiсля доопрацювання — 11.01.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2183 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:16Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/a9199d182c01b57d6c00186949dc7fd0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21832019-12-05T10:25:45Z On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces Про інваріантні підпростори у вагових просторах Гарді Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. We consider the description of translation invariant subspaces of a weighted Hardy space in the half plane. The obtained result includes the Beurling–Lax theorem for the Hardy space as a special case. We discuss the problem of generalization of the definition of inner function. Представлено описание трансляционно-инвариантных подпространств в одном весовом пространстве Харди в полуплоскости. Полученный результат содержит как частный случай теорему Берлинга-Лакса для пространства Харди. Обсуждается вопрос об обобщении понятия внутренней функции. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2183 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 6 (2014); 853–857 Український математичний журнал; Том 66 № 6 (2014); 853–857 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2183/1367 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2183/1368 Copyright (c) 2014 Dilnyi V. M. |
| spellingShingle | Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces |
| title | On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces |
| title_alt | Про інваріантні підпростори у вагових просторах Гарді |
| title_full | On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces |
| title_fullStr | On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces |
| title_full_unstemmed | On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces |
| title_short | On Invariant Subspaces in Weighted Hardy Spaces |
| title_sort | on invariant subspaces in weighted hardy spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2183 |
| work_keys_str_mv | AT dilnyivm oninvariantsubspacesinweightedhardyspaces AT dílʹnijvm oninvariantsubspacesinweightedhardyspaces AT dilnyivm proínvaríantnípídprostoriuvagovihprostorahgardí AT dílʹnijvm proínvaríantnípídprostoriuvagovihprostorahgardí |