Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information
We determine the optimal linear information and the optimal procedure of its application for the recovery of n-linear functionals on the sets of special form from a Hilbert space.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2186 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508130408923136 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Rudenko, A. A. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. |
| author_facet | Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Rudenko, A. A. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:58Z |
| description | We determine the optimal linear information and the optimal procedure of its application for the recovery of n-linear functionals on the sets of special form from a Hilbert space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, М. С. Гунько, А. А. Руденко (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ПО ЛИНЕЙНОЙ ИНФОРМАЦИИ
We find the optimal linear information and the optimal method of its application for the recovery of n-linear functionals
on the sets of special form from a Hilbert space.
Знайденo оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод iї використання для вiдновлення n-лiнiйних функ-
цiоналiв на множинах спецiального вигляду з гiльбертового простору.
Будем изучать задачу оптимизации приближенного вычисления n-линейных функционалов по
линейной информации в следующей постановке. Пусть X — линейное нормированное про-
странство над полем C комплексных чисел, M1, . . . ,Mn ⊂ X — центрально-симметричные
множества. Предположим, что на прямом произведении линейных оболочек span(Mj) мно-
жеств Mj задан n-линейный функционал
Ω :
n∏
j=1
span(Mj)→ C
и для каждого j = 1, . . . , n на множестве span(Mj) задан набор Tj = (Tj,1, . . . , Tj,mj ) линейных
непрерывных функционалов
Tj,l : span(Mj)→ C, j = 1, . . . , n, l = 1, . . . ,mj .
Векторы
Tj(xj) = (Tj,1(xj), . . . , Tj,mj (xj)), xj ∈Mj , j = 1, . . . , n,
будем называть линейной информацией об x1, x2, . . . , xn типа (m1, . . . ,mn) (или (m1, . . . ,mn)-
информацией). Произвольную комплекснозначную функцию
F = F (x1,1, . . . , x1,m1 , x2,1, . . . , x2,m2 , . . . , xn,1, . . . , xn,mn)
от m1+ . . .+mn переменных будем называть методом восстановления функционала Ω( ·, . . . , · )
по (m1, . . . ,mn)-информации. Положим
R(x1, . . . , xn;T1, . . . , Tn;F ) = Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), . . . , Tn(xn)),
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) = sup
xj∈Mj ,
j=1,...,n
|R(x1, . . . , xn;T1, . . . , Tn;F )| , (1)
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn) = inf
F
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ), (2)
Rm1,...,mn(M1, . . . ,Mn) = inf
T1,...,Tn
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn) (3)
c© В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО, 2014
884 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ . . . 885
(inf
F
берется по всевозможным функциям от m1 + . . .+mn переменных, а inf
T1,...,Tn
— по всевоз-
можным наборам функционалов, дающим (m1, . . . ,mn)-информацию об (x1, . . . , xn)),
RN (M1, . . . ,Mn) = inf
m1+...+mn=N
Rm1,...,mn(M1, . . . ,Mn). (4)
Величину (1) назовем погрешностью метода F восстановления функционала Ω на мно-
жествах M1, . . . ,Mn по информации T1, . . . , Tn, величину (2) — оптимальной погрешностью
восстановления Ω на M1, . . . ,Mn по заданной информации типа (m1, . . . ,mn), величину (3)
— оптимальной погрешностью восстановления Ω на M1, . . . ,Mn по (m1, . . . ,mn)-информации
и, наконец, величину (4) — оптимальной погрешностью восстановления Ω на M1, . . . ,Mn по
информации суммарного объема N . Если при заданных T1, . . . , Tn cуществует F , реализую-
щий inf
F
в правой части (2), то будем называть F оптимальным методом использования данной
информации. Если существуют T1, . . . , Tn и F , реализующие нижние грани в правой части
(3), то будем называть их оптимальной (m1, . . . ,mn)-информацией и оптимальным методом ее
использования для восстановления Ω на M1, . . . ,Mn. Числа m0
1, . . . ,m
0
n, реализующие инфи-
мум в (4), будем называть оптимальными объемами информации об x1, . . . , xn, а оптимальную
(m0
1, . . . ,m
0
n)-информацию — оптимальной информацией объема N об x1, . . . , xn. Требуется
для заданных Ω, M1, . . . ,Mn и N или m1, . . . ,mn найти величины (4) (или (3)), а также оп-
тимальную информацию объема N (или (m1, . . . ,mn)-информацию) и оптимальный метод ее
использования.
Задача об оптимальном восстановлении билинейных функционалов по линейной информа-
ции была поставлена в [1]. Там же приведены первые результаты по ее решению. По поводу
дальнейших результатов в этом направлении см. [2 – 8].
Определим множества Mj(Tj) так:
Mj(Tj) = {xj ∈Mj : Tj(xj) = 0} , j = 1, . . . , n,
и пусть
M(Tj) := M1 × . . .×Mj−1 ×Mj(Tj)×Mj+1 × . . .×Mn, j = 1, . . . , n,
где × обозначает декартово произведение.
Оценку снизу для погрешности метода F восстановления функционала Ω по информации
T1, . . . , Tn дает следующая лемма.
Лемма 1. Для любых T1, . . . , Tn и метода восстановления F
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥
≥ max
{
sup
(x1,...,xn)∈M(T1)
|Ω(x1, . . . , xn)|, . . . , sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)|
}
.
Для билинейных функционалов эта лемма доказана в [1].
Доказательство. Покажем, что
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
886 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО
Действительно,
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥
≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn−1(xn−1), 0)| =
= sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
max {|Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn−1(xn−1), 0)|,
| − Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn−1(xn−1), 0)|} ≥
≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)|.
Аналогично доказывается, что для произвольного j = 1, . . . , n− 1
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tj)
|Ω(x1, . . . , xn)|.
Отсюда и следует утверждение леммы.
ПустьH — сепарабельное гильбертово пространство над полем комплексных чисел, {ek}∞k=1
— ортонормированный базис в пространстве H , x̂k = (x, ek). С помощью последовательностей
gj , j = 1, . . . , n, комплексных чисел gj = {gjk}
∞
k=1 таких, что последовательности {|gjk|}
∞
k=1 не
убывают, определим классы элементов пространства H:
W gj
pj =
{
x ∈ H :
∞∑
k=1
|gjk| |x̂k|
pj ≤ 1
}
, pj ≥ 1.
Будем рассматривать n-линейные функционалы, имеющие следующее свойство:
Ω(ek1 , . . . , ekn) =
fk ∈ C, если k1 = . . . = kn = k, k ∈ N,
0 — в противном случае.
(5)
Ясно, что для подходящих классов W gj
pj элементов j = 1, . . . , n функционал Ω, имеющий
свойство (5), будет иметь вид
Ω(x1, x2, . . . , xn) =
∞∑
k=1
fk x̂1,k . . . x̂n,k.
Примером функционала Ω, имеющего свойство (5), является заданный в L2[0, 1] функ-
ционал
Ω(x1, x2, . . . , xn) =
1∫
0
x1(t) . . . xn(t)dt,
если в качестве функций ek, составляющих ортонормированный базис, выбрать базисные функ-
ции Хаара (см., например, [9, с. 14]). Напомним, что первая функция системы Хаара постоянна:
χ0,0(t) = 1, t ∈ [0, 1], а вторая имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ . . . 887
χ0,1(t) =
1 при t ∈ [0, 1/2),
0 при t = 1/2,
−1 при t ∈ (1/2, 1].
Последующие функции χm,k системы Хаара с номерами m ∈ N, k = 1, . . . , 2m−1 определяются
равенством
χm,k(t) =
2
m−1
2 при t ∈
[
k − 1
2m−1
,
k − 1/2
2m−1
)
,
−2
m−1
2 при t ∈
(
k − 1/2
2m−1
,
k
2m−1
]
,
0 — в остальных точках [0,1] .
Вместо двойной нумерации можно пользоваться простой нумерацией, полагая χm,k = χj ,
где j = 2m−1 + k.
Теорема 1. Пусть заданы n-линейный функционал Ω, имеющий свойство (5), для которого
последовательность {|fk|}∞k=1 монотонно убывает, и числа m1, . . . ,mn. Пусть также pj ≥ 1
и
∑n
j=1
1
pj
= 1. Тогда
Rm1,...,mn
(
W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn
)
=
|fM+1|
|g1M+1|
1
p1 . . . |gnM+1|
1
p1
,
где M = min {m1, . . . ,mn}. При этом информация об элементах xj ∈W gj
pj , j = 1, . . . , n, вида
Tj(xj) = ((xj , e1), . . . , (xj , emj )) = (x̂j,1, . . . , x̂j,mj )
и метод
F̃ (x1,1, . . . , x1,m1 , . . . , xn,1, . . . , xn,mn) =
M∑
k=1
fk x1,k . . . xn,k
ее использования будут оптимальными.
Доказательство. Для произвольной информации T1, . . . , Tn типа (m1, . . . ,mn) получим
оценку снизу величины R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn). Пусть y = y1e1 +y2e2 + . . .+yM+1eM+1,
y1, y2, . . . , yM+1 ∈ C. Из условия Tn(y) = 0 получаем систему уравнений
y1Tn,1(e1) + . . .+ yM+1Tn,1(eM+1) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y1Tn,M (e1) + . . .+ yM+1Tn,M (eM+1) = 0.
Поскольку в системе из M уравнений M + 1 переменная, то она имеет ненулевое решение
y′ = (y′1, . . . , y
′
M+1). Определим z1, . . . , zn следующим образом:
zs = A−1s
M+1∑
k=1
|y′k|
pn
ps ek, s = 1, . . . , n− 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
888 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО
zn−1 = A−1n−1
M+1∑
k=1
|y′k|
pn
pn−1 e−i(arg(y
′
k)+arg(fk))ek,
zn = A−1n
M+1∑
k=1
y′kek = A−1n
M+1∑
k=1
|y′k|eiarg(y
′
k)ek,
где для s = 1, . . . , n положено
As :=
M+1∑
j=1
|y′j |pn |gsj |
1
ps
.
Покажем, что элементы zk, k = 1, . . . , n, принадлежат соответственно классам W gk
pk . Имеем
∞∑
s=1
|gks | |ẑk,s|pk =
M+1∑
s=1
|gks | |ẑk,s|pk =
M+1∑
s=1
|gks |
(
A−1k |y
′
s|
pn
pk
)pk
=
=
M+1∑
s=1
|gks |A
−pk
k |y′s|pn = A−pkk
M+1∑
s=1
|gks ||y′s|pn = A−pkk Apkk = 1.
Ясно, что Tn(zn) = 0 и, следовательно, с учетом свойства (5) получaeм неравенство
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥
≥ sup
xj∈W gj
pj
, j=1,n
xn∈W gn
pn (Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)| ≥ |Ω(z1, . . . , zn)| =
=
(
n∏
s=1
As
)−1M+1∑
k=1
|fk||y′k|pn(1/p1+...+1/pn) =
=
(
n∏
s=1
As
)−1M+1∑
k=1
|fk||y′k|pn . (6)
Каждый из сомножителей As, s = 1, . . . , n, в (6) с учетом неубывания последовательностей
{|gsj |}∞j=1 можно оценить так:
As =
M+1∑
j=1
|y′j |pn |gsj |
1
ps
≤ |gsM+1|
1
ps
M+1∑
j=1
|y′j |pn
1
ps
.
C учетом последних неравенств и невозрастания {|fk|}∞k=1 неравенство (6) можно продолжить:
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥
(
n∏
s=1
As
)−1M+1∑
k=1
|fk||y′k|pn ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ . . . 889
≥
M+1∑
k=1
|fk|
|y′k|pn∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
(∑M+1
j=1
|y′j |pn
) 1
ps
≥
≥ |fM+1|
∑M+1
k=1
|y′k|pn(∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
)∏n
k=1
(∑M+1
j=1
|y′j |pn
) 1
pk
=
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
.
Для произвольного k = 1, . . . , n− 1 неравенство
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥ sup
xj∈W gj
pj
, j=1,n
xn∈W gn
pn (Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)| ≥ |fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
доказывается аналогично. Таким образом, с учетом леммы 1 получена оценка снизу:
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥ |fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
.
Установим оценку сверху:
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≤ R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
p1 ;T1, . . . , Tn; F̃ ) =
= sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
fk x̂1,k . . . x̂n,k −
M∑
k=1
fk x̂1,k . . . x̂n,k
∣∣∣∣∣ =
= sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
∣∣∣∣∣
∞∑
k=M+1
fk x̂1,k . . . x̂n,k
∣∣∣∣∣ =
= sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
∞∑
k=M+1
|fk|∏n
s=1
|gsk|
1
ps
n∏
s=1
|gsk|
1
ps |x̂s,k| ≤
≤ sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
∞∑
k=M+1
n∏
s=1
|gsk|
1
ps |x̂s,k|.
В силу известного неравенства для суммы произведений степеней (см. [10, с. 29])∑
AαBβ . . . Lλ ≤
(∑
A
)α (∑
B
)β
. . .
(∑
L
)λ
,
где α+ β + . . .+ λ = 1, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
890 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО
sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
∞∑
k=M+1
n∏
s=1
|gsk|
1
ps |x̂s,k| ≤
≤ sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
n∏
s=1
( ∞∑
k=M+1
|gsk||x̂s,k|ps
) 1
ps
≤ |fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
.
1. Бабенко В. Ф. О наилучшем использовании линейных функционалов для аппроксимации билинейных //
Исслед. по совр. пробл. суммирования и приближения функций и их прил. – Днепропетровск, 1979. – C. 3 – 5.
2. Бабенко В. Ф. О приближенном вычислении скалярных произведений // Укр. мат. журн. – 1988. – 40, № 1. –
C. 15 – 21.
3. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении сверток и скалярных произведений функций из
различных классов // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – C. 1305 – 1310.
4. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении скалярных произведений функций из различных
классов // Теория функций и приближений. – Саратов, 1991. – C. 17 – 22.
5. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении скалярных произведений функций на классах
функций, задаваемых дифференциальными операторами // Приближение функций и суммирование рядов. –
Днепропетровск, 1992. – C. 8 – 13.
6. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении билинейных функционалов в линейных норми-
рованных пространствах // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 6. – C. 828 – 831.
7. Бабенко В. Ф., Гунько M. C., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении билинейных функционалов по
линейной информации // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. Математика. – 2012. – Вип. 17. – C. 11 – 17.
8. Бабенко В. Ф., Гунько M. C., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении n-линейных функционалов по
линейной информации // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. Математика. – 2013. – Вип. 18. – C. 16 – 25.
9. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. – М., 1969.
10. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. – Cambridge, 1934.
Получено 28.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2186 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:19Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/808163d9e57c27ea73a7162c54d0c596.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21862019-12-05T10:25:58Z Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Rudenko, A. A. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. We determine the optimal linear information and the optimal procedure of its application for the recovery of n-linear functionals on the sets of special form from a Hilbert space. Знайдета оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2186 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 7 (2014); 884–890 Український математичний журнал; Том 66 № 7 (2014); 884–890 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2186/1373 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2186/1374 Copyright (c) 2014 Babenko V. F.; Gun’ko M. S.; Rudenko A. A. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Gun’ko, M. S. Rudenko, A. A. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. Бабенко, В. Ф. Гунько, М. С. Руденко, А. А. Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information |
| title | Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information |
| title_alt | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| title_full | Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information |
| title_fullStr | Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information |
| title_full_unstemmed | Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information |
| title_short | Optimal Recovery of n-Linear Functionals According to Linear Information |
| title_sort | optimal recovery of n-linear functionals according to linear information |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2186 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT gunkoms optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT rudenkoaa optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT babenkovf optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT gunʹkoms optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT rudenkoaa optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT babenkovf optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT gunʹkoms optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT rudenkoaa optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT gunkoms optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT rudenkoaa optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT gunʹkoms optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT rudenkoaa optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT gunʹkoms optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii AT rudenkoaa optimalʹnoevosstanovlenienlinejnyhfunkcionalovpolinejnojinformacii |