On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables
We establish order estimates for the linear widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relationships between the parameters $p, q$, and $θ$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2192 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508139700355072 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:58Z |
| description | We establish order estimates for the linear widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relationships between the parameters $p, q$, and $θ$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Br
p,θ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
We establish order estimates for the linear widths of the classes Brp,θ of periodic functions of many variables in the space
Lq for some relationships between parameters p, q, and θ.
Отримано порядковi оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв Brp,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi
Lq для деяких спiввiдношень мiж параметрами p, q, θ.
1. Введение. В настоящей работе продолжаются исследования линейных поперечников классов
Никольского – Бесова Br
p,θ периодических функций многих переменных, которые изучались в
работах [1, 2]. Более конкретно об этом будет сказано в замечаниях к полученным результатам,
а сначала приведем необходимые обозначения и определения исследуемых функциональных
классов и аппроксимативной характеристики.
Пусть Rd, d ≥ 1, обозначает d-мерное пространство с элементами x = (x1, . . . , xd) и
(x, y) = x1 y1 + . . . + xd yd — скалярное произведение элементов x, y ∈ Rd. Через Lp(πd),
πd =
∏d
j=1
[0, 2π), обозначим пространство 2π-периодических по каждой переменной функ-
ций f, для которых
‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
∣∣f(x)
∣∣p dx
1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
∣∣f(x)
∣∣ <∞.
Далее будем предполагать, что для f ∈ Lp(πd) выполнено дополнительное условие
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d.
Множество таких функций будем обозначать через L0
p(πd).
Для функции f ∈ L0
p(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, рассмотрим разность первого порядка по j-й
переменной с шагом h
4h,jf(x) = f
(
x1, . . . , xj−1, xj + h, xj+1, . . . , xd
)
− f(x)
и определим разность l-го порядка
4l
h,jf(x) = 4h,j . . .4h,j︸ ︷︷ ︸
l
f(x)
в точке xj с шагом h. Далее, если k = (k1, . . . , kd), kj ∈ N, j = 1, d, то смешанная разность
порядка k с векторным шагом h = (h1, . . . , hd) определяется следующим образом:
c© А. С. РОМАНЮК, 2014
970 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Brp,θ . . . 971
4k
hf(x) = 4k1
h1,1
· · ·4kd
hd,d
f(x).
Пусть задан вектор r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, и параметры 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞.
Будем говорить, что функция f ∈ L0
p(πd) принадлежит классу Br
p,θ, если выполнены условия∫
πd
∥∥ Mkh f
∥∥θ
p
d∏
j=1
dhj
h
1+rjθ
j
1/θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞,
sup
h
∥∥ Mkh f
∥∥
p
d∏
j=1
h
−rj
j ≤ 1, θ =∞.
При этом предполагается, что для координат векторов k = (k1, . . . , kd) и r = (r1, . . . , rd) выпол-
нены неравенства kj > rj , j = 1, d. Отметим, что классы Br
p,θ являются аналогами классов,
введенных О. В. Бесовым [3], а при θ =∞ Br
p,∞ = Hr
p , где Hr
p — аналоги классов, введенных
С. М. Никольским (см., например, [4, c. 189]). В последующих рассуждениях нам будет удобно
пользоваться эквивалентным определением классовBr
p,θ, для формулировки которого приведем
необходимые обозначения.
Для векторов
s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, и k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z, j = 1, d,
положим
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d
}
и для f ∈ L0
p(πd) обозначим
δs(f) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
где
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коэффициенты Фурье функции f.
Пусть p ∈ (1,∞), r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тогда с точностью до абсолютных
постоянных классы Br
p,θ можно определить следующим образом (см., например, [5]):
Br
p,θ =
f : ‖f‖Brp,θ =
(∑
s
2(s,r)θ
∥∥δs(f)
∥∥θ
p
)1/θ
≤ 1
при 1 ≤ θ <∞ и
Br
p,∞ =
{
f : ‖f‖Brp,∞ = sup
s
2(s,r)‖δs(f)‖p ≤ 1
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
972 А. С. РОМАНЮК
Отметим, что при соответствующем видоизменении „блоков” δs(f) приведенное определение
классов Br
p,θ можно распространить и на крайние значения p = 1 и p =∞ (см., например, [5],
замечание 2.1).
Пусть Vl(t), l ∈ N, обозначает ядро Валле Пуссена вида
Vl(t) = 1 + 2
l∑
k=1
cos kt+ 2
2l−1∑
k=l+1
(
1− k − l
l
)
cos kt.
Сопоставим каждому вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, полином
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
и для f ∈ L0
p(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, положим
As(f) = f ∗As,
где ∗ обозначает операцию свертки. Тогда при 1 ≤ p ≤ ∞, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d,
Br
p,θ =
f : ‖f‖Brp,θ =
(∑
s
2(s,r)θ
∥∥As(f)
∥∥θ
p
)1/θ
≤ 1
при 1 ≤ θ <∞ и
Br
p,∞ =
{
f : ‖f‖Brp,∞ = sup
s
2(s,r)
∥∥As(f)
∥∥
p
≤ 1
}
.
Ниже будем предполагать, что координаты векторов r = (r1, . . . , rd), которые содержатся в
определении классов, упорядочены в виде 0 < r1 = r2 = . . . = rν < rν+1 ≤ . . . ≤ rd.
Вектору r = (r1, . . . , rd) сопоставим вектор γ = (γ1, . . . , γd), γj =
rj
r1
, j = 1, d, которому, в
свою очередь, сопоставляется вектор γ′ = (γ′1, . . . , γ
′
d), где γ′j = γj при j = 1, ν и 1 < γ′j < γj
при j = ν + 1, d.
Теперь дадим определение аппроксимативной характеристики, которую будем исследовать.
Пусть W — центрально-симметричное множество в нормированном пространстве X. Тогда
линейный поперечник множества W в пространстве X определяется по формуле
λn(W,X) = inf
A
sup
x∈W
‖x−Ax‖X ,
где инфимум берется по всем действующим в X линейным операторам A, размерность области
значений которых не превышает n. Напомним, что поперечник λn(W,X) введен в 1960 г.
В. М. Тихомировым [6] и к настоящему времени его исследования имеют богатую историю, с
которой можно ознакомиться, например, в книгах [7, 8], а также в работах [1, 2, 6, 9 – 11], где
приведена обширная библиография.
Полученные результаты будем формулировать в терминах порядковых соотношений. При
этом для функций µ1(N) и µ2(N) запись µ1 � µ2 означает, что существует постоянная C >
> 0 такая, что µ1(N) ≤ Cµ2(N). Соотношение µ1 � µ2 равносильно тому, что µ1 � µ2 и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Brp,θ . . . 973
µ1 � µ2. Заметим, что все постоянные Ci, i = 1, 2, . . . , которые будут встречаться далее, могут
зависеть только от параметров, содержащихся в определении классов, метрики и размерности
пространства Rd. Если M — некоторое конечное множество, то через |M| будем обозначать
количество его элементов.
2. Вспомогательные утверждения. Здесь мы приведем ряд утверждений, которые будем
использовать при доказательстве полученных результатов.
Теорема А [4, c. 65]. Пусть p ∈ (1,∞). Тогда существуют положительные постоянные
C1(p) и C2(p) такие, что для любой функции f ∈ L0
p(πd) справедлива оценка
C1(p)‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥∥
(∑
s
∣∣δs(f)
∣∣2)1/2
∥∥∥∥∥∥
p
≤ C2(p)‖f‖p.
Эта теорема является обобщением на многомерный случай теоремы Литтлвуда – Пэли
(см. [12], гл. 15, § 2).
Теорема Б [13]. Между пространством тригонометрических полиномов вида
f(t) =
∑
k∈ρ(s)
cke
i(k,t)
и пространством R2(s,1)
существует изоморфизм, сопоставляющий функции f вектор δsf j =
=
{
fn(τj)
}
∈ R2(s,1)
,
fn(t) =
∑
sgn kl=sgnnl
cke
i(k,t), l = 1, d, n = (±1, . . . ,±1) ∈ Rd,
τj = (π22−s1j1, . . . , π22−sdjd), ji = 1, 2, . . . , 2si−1,
и при этом имеет место соотношение
‖δs(f)‖p �
(
2−(s,1)
2(s,1)∑
j=1
|δsf j |p
)1/p
, p ∈ (1,∞).
Теорема В [14]. Пусть n = (n1, . . . , nd), nl, l = 1, d, — целые неотрицательные числа и
t(x) =
∑
|kl|≤nl
cke
i(k,x).
Тогда при 1 ≤ q < p <∞ имеет место неравенство
‖t‖p ≤ 2d
d∏
l=1
n
1
q
− 1
p
l ‖t‖q.
Это неравенство установлено С. М. Никольским и названо „неравенством разных метрик”.
В одномерном случае и при p =∞ соответствующее неравенство доказал Джексон [15].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
974 А. С. РОМАНЮК
Лемма А [16, c. 25]. Пусть 1 ≤ p < q <∞ и f ∈ L0
p(πd). Тогда имеет место порядковое
неравенство
‖f‖qq �
∑
s
(∥∥δs(f)
∥∥
p
2
‖s‖1( 1
p
− 1
q
)
)q
,
где ‖s‖1 = s1 + . . .+ sd.
Лемма Б. Пусть 1 < q < ∞, q1 = max{2, q}, q2 = min{2, q}. Тогда выполняются нера-
венства (∑
s
∥∥δs(f)
∥∥q1
q
)1/q1
�
∥∥∥∥∥∑
s
δs(f)
∥∥∥∥∥
q
�
(∑
s
∥∥δs(f)
∥∥q2
q
)1/q2
.
Эти неравенства являются следствием теоремы А (см. [17, с. 17]).
Лемма В [16, c. 11]. Справедливо соотношение∑
(s,γ′)≥n
2−β(s,γ) � 2−βnnν−1, β > 0.
Лемма Г [16, c. 11]. Имеет место оценка∑
(s,γ′)≤n
2(s,γ) � 2nnν−1.
Для формулировки следующих утверждений приведем необходимые обозначения и на-
помним определение еще одной аппроксимативной характеристики — колмогоровского по-
перечника.
Пусть lmp , m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, обозначает пространство Rm, снабженное нормой
‖x‖lmp =
(
m∑
i=1
|xi|p
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
max
1≤i≤m
|xi|, p =∞.
Через Bm
p обозначим единичный шар в lmp , т. е. множество элементов x ∈ lmp , для которых
‖x‖lmp ≤ 1.
Далее, для m,n ∈ N и 1 ≤ p, q ≤ ∞ через lm,np, q будем обозначать пространство Rmn с
нормой
‖x‖lm,np, q
=
n∑
l=1
∑
k∈∆l
|xk|p
q/p
1/q
, (1)
где
∆l =
{
k ∈ N : (l − 1)m ≤ k < lm, l = 1, n
}
.
Соответственно через Bm,n
p,q обозначим единичный шар в lm,np, q . Заметим, что при q = ∞ либо
p = ∞ подразумевается естественная модификация нормы (1) и, кроме того, в случае p = q
имеет место тождество
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Brp,θ . . . 975
‖x‖lm,np, p
≡ ‖x‖lmn
p
.
ПустьW — центрально-симметричное множество банахова пространстваX. Тогда величина
dn(W,X) = inf
Ln
sup
f∈W
inf
u∈Ln
‖f − u‖X ,
где Ln — подпространства размерности n пространства X, называется колмогоровским попе-
речником множества W в пространстве X. Поперечник dn(W,X) введен в 1936 г. А. Н. Кол-
могоровым [18].
Легко видеть, что непосредственно из определений имеем
dn(W,X) ≤ λn(W,X). (2)
Пусть s ∈ Nd и J (ρ(s)) обозначает множество функций f вида
f(x) =
∑
k∈ρ(s)
cke
i(k,x).
Как следствие определения линейного поперечника и теорем А, Б легко получить следующее
утверждение (см., например, [9]).
Лемма Д. Пусть s ∈ Nd, f ∈ J
(
ρ(s)
)
, Ms ∈ Z+, Ms ≤ 2(s,1). Тогда при 1 < p, q < ∞
существует линейный оператор ΛMs : J
(
ρ(s)
)
→ J
(
ρ(s)
)
, размерность области значений
которого не превышает Ms и такой, что
‖f − ΛMsf‖q � λMs
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
q
)
2
(s,1)
(
1
p−
1
q
)
‖f‖p.
Теорема Г [19]. Пусть n < m, 1 ≤ p < 2 ≤ q <∞ и
1
p
+
1
q
≥ 1. Тогда справедлива оценка
λn(Bm
p , l
m
q ) � max
{
m
1
q−
1
p ,min
{
1, m
1
q n−
1
2
}√
1− n
m
}
.
Отметим, что в случае p = 1, q > 2 соответствующий результат следует из утверждения
о колмогоровском поперечнике октаэдра Bm
1 в пространстве lmq , установленного Б. С. Каши-
ным [20].
Теорема Д [21]. Пусть M =
[mn
2
]
. Тогда существует положительная постоянная C3
такая, что выполняются неравенства
C3m
√
log logm
logm
≤ dM
(
Bn,m
1,∞ , l
n,m
2,1
)
≤ m.
(Здесь и далее символ log обозначает логарифм по основанию 2.)
Для формулировки следующего утверждения напомним определение поляры множества.
Определение. Пусть A — некоторое множество в нормированном пространстве X. Тог-
да полярой множества A называется множество A0 в сопряженном пространстве X∗ вида
A0 =
{
x∗ ∈ X∗ :
∣∣ 〈x, x∗〉∣∣ ≤ 1 ∀x ∈ A
}
,
где 〈x, x∗〉 — значение линейного функционала x∗ на элементе x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
976 А. С. РОМАНЮК
Имеет место следующее утверждение.
Теорема Е [22]. Пусть BX и BY — единичные шары в банаховых пространствах X и
Y соответственно, (BX)0, (BY )0 — поляры этих множеств и пространство Y ∗ вложено в
пространство X. Тогда
λn
(
(BY )0, X
)
= λn
(
(BX)0, Y
)
.
3. Основные результаты. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть 1 < p ≤ 2, p′ < q <∞, r1 > 1− 1
q
. Тогда при θ ∈ (q,∞) имеют место
оценки
√
log log logM
log logM
(M−1 logν−1M)
r1−1
2 +
1
q (logν−1M)
1
q−
1
θ � λM (Br
p,θ, Lq)�
� (M−1 logν−1M)
r1−1
2 +
1
q (logν−1M)
1
q−
1
θ , (3)
где
1
p′
+
1
p
= 1.
Доказательство. При установлении оценок как сверху, так и снизу будем применять метод
дискретизации, суть которого состоит в сведении исходной задачи к задаче оценок линейных
поперечников соответствующих конечномерных множеств.
Итак, установим в (3) сначала оценку сверху. С этой целью подберем число n ∈ N из
соотношения M � 2n nν−1 и сопоставим каждому вектору s ∈ Nd число
Ms =
2(s,1), (s, γ′) ≤ n,[
2n+α(n−(s,γ))
]
, (s, γ′) > n,
(4)
где [a] — целая часть числа a и α > 0 — число, которое будет уточнено в процессе доказа-
тельства. Тогда, воспользовавшись леммами В и Г, можем записать∑
s
Ms ≤
∑
(s,γ′)≤n
2(s,1) +
∑
(s,γ′)>n
2n+α(n−(s,γ)) �
� 2n nν−1 + 2n+αn
∑
(s,γ′)>n
2−α(s,γ) � 2n nν−1 �M.
Пусть f ∈ Br
p,θ. Рассмотрим линейный оператор ΛM ранга M, действующий на функцию
f по формуле
ΛMf =
∑
s
ΛMsδs(f),
где ΛMs — операторы из леммы Д.
Оценим ‖f − ΛM f‖q. Воспользовавшись сначала леммой А (с заменой индекса p на p′) и
затем леммой Д, можем записать
‖f − ΛM f‖q �
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1
p′−
1
q
) ∥∥δs(f)− ΛMs δs(f)
∥∥
p′
)q1/q
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Brp,θ . . . 977
�
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1
p′−
1
q
)
2
‖s‖1
(
1
p−
1
p′
)
λMs(B
2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′ )
∥∥δs(f)
∥∥
p
)q1/q
=
=
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1
p−
1
q
)
λMs(B
2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′ )
∥∥δs(f)
∥∥
p
)q1/q
. (5)
Прежде чем продолжить оценку (5) заметим, что для некоторых векторов s таких, что
(s, γ′) > n, может быть Ms ≥ 2(s,1). Тогда, согласно определению линейного поперечника,
будет выполняться соотношение
λMs
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′
)
= 0.
Для всех остальных векторов s, входящих в последнюю сумму (5), воспользовавшись теоре-
мой Г, можем записать
λMs
(
B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′
)
� 2
‖s‖1
p′ M
−1
2
s .
Таким образом, с учетом сделанного замечания оценка (5) преобразуется к виду
‖f − ΛM f‖q �
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1
p−
1
q
)
2
‖s‖1
p′ M
−1
2
s ‖δs(f)‖p
)q1/q
=
=
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1−1
q
)
M
−1
2
s
∥∥δs(f)
∥∥
p
)q1/q
. (6)
Подставив в (6) вместо Ms соответствующие значения и выполнив элементарные преобра-
зования, будем иметь
‖f − ΛM f‖q �
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1−1
q
)
2−
n
2−
α
2
(
n−(s,γ)
)∥∥δs(f)
∥∥
p
)q1/q
=
= 2−
n
2−
αn
2
∑
(s,γ′)>n
(
2
‖s‖1
(
1−1
q
)
2
α
2 (s,γ)
∥∥δs(f)
∥∥
p
)q1/q
≤
≤ 2−
n
2−
αn
2
∑
(s,γ′)>n
(
2
(s,γ)
(
1−1
q+
α
2 )∥∥δs(f)
∥∥
p
)q1/q
=
= 2−
n
2−
αn
2
∑
(s,γ′)>n
(
2
−(s,γ)
(
r1−1+
1
q−
α
2
)
2(s,r)‖δs(f)‖p
)q1/q
. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
978 А. С. РОМАНЮК
Чтобы продолжить оценку (7), выберем параметр α из соотношения r1 − 1 +
1
q
− α
2
> 0.
Тогда, используя неравенство Гельдера с показателем
θ
q
и лемму В, получаем
‖f − ΛM f‖q � 2−
n
2−
αn
2
∑
(s,γ′)>n
2
−(s,γ)
(
r1−1+
1
q−
α
2
) θ q
θ−q
θ−q
θ q
×
×
∑
(s,γ′)>n
2(s,r)θ
∥∥δs(f)
∥∥θ
p
1/θ
�
� 2
−n2−
αn
2 −n
(
r1−1+
1
q−
α
2
)
n
(ν−1)
(
1
q−
1
θ
)
‖f‖Brp,θ ≤
≤ 2
−n
(
r1−1
2 +
1
q
)
n
(ν−1)
(
1
q−
1
θ
)
� (M−1 logν−1 M)
r1−1
2 +
1
q (logν−1 M)
1
q−
1
θ .
Отсюда следует искомая оценка сверху поперечника λM (Br
p,θ, Lq).
Переходя к установлению в (3) оценки снизу, заметим, что ее достаточно получить при
p = 2 и ν = d. Выберем число µ ∈ N из соотношения 2µ µd−1 � M таким образом, чтобы
количество элементов множества Qµ =
⋃
s∈Ωµ
ρ(s) было не меньше 2M
(
здесь Ωµ — набор
векторов s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, вида Ωµ = {s : (s, 1) = µ}
)
.
Пусть Jµ обозначает множество функций
Jµ =
{
f : f =
∑
s∈Ωµ
δs(f)
}
и Pµ — оператор ортогонального проектирования на Jµ. Тогда, согласно определению линей-
ного поперечника, можем записать
λM (Br
2,θ, Lq) ≥ λM (Br
2,θ ∩ Jµ, Lq). (8)
С другой стороны, для t ∈ Jµ имеем
‖f − t‖q � ‖Pµ f − t‖q. (9)
Из (8) и (9) следует соотношение
λM (Br
2,θ, Lq)� λM (Br
2,θ ∩ Jµ, Lq ∩ Jµ). (10)
Далее, для f ∈ Jµ в силу теоремы Б можем записать
‖f‖Br2,θ =
∑
s∈Ωµ
2(s,r)θ
∥∥δs(f)
∥∥θ
2
1/θ
= 2µ r1
∑
s∈Ωµ
∥∥δs(f)
∥∥θ
2
1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Brp,θ . . . 979
� 2µ r1
∑
s∈Ωµ
2−(s,1)
2(s,1)∑
j=1
∣∣δs f j∣∣2
θ/2
1/θ
=
= 2µ r1−
µ
2
∑
s∈Ωµ
2(s,1)∑
j=1
∣∣δs f j∣∣2
θ/2
1/θ
. (11)
Следовательно, согласно (11) единичному шару из Br
2,θ ∩ Jµ сопоставляется шар радиуса
C4 2µ r1−
µ
2 , C4 > 0, из пространства l2
µ, |Ωµ|
2,θ .
С другой стороны, используя по отношению к f ∈ Jµ сначала лемму Б, а затем теорему Б,
имеем
‖f‖q =
∥∥∥∥∥∥
∑
s∈Ωµ
δs(f)
∥∥∥∥∥∥
q
�
∑
s∈Ωµ
∥∥δs(f)
∥∥q
q
1/q
�
� 2
−µ
q
∑
s∈Ωµ
2µ∑
j=1
∣∣δs f j∣∣q
1/q
. (12)
Из (12) следует, что между нормами функций из Lq ∩ Jµ и нормами соответствующих
элементов из l2
µ |Ωµ|
q имеет место соотношение
‖ · ‖q � 2
−µq ‖ · ‖
l
2µ |Ωµ|
q
. (13)
Таким образом, согласно (10) – (13) получаем
λM (Br
2,θ, Lq)� λM (Br
2,θ ∩ Jµ, Lq ∩ Jµ)�
� 2
−µ
(
r1−1
2 +
1
q
)
λM
(
B
2µ, |Ωµ|
2,θ , l
2µ |Ωµ|
q
)
. (14)
Чтобы продолжить оценку (14), воспользуемся следующими соотношениями.
Сначала заметим, что непосредственно из неравенства
‖ · ‖
l
2µ, |Ωµ|
2,θ
≤ |Ωµ|
1
θ ‖ · ‖
l
2µ, |Ωµ|
2,∞
следует вложение
|Ωµ|−
1
θ B
2µ, |Ωµ|
2,∞ ⊂ B2µ, |Ωµ|
2,θ . (15)
Далее, отправляясь от неравенства
‖ · ‖l2µq ≥ ‖ · ‖l2µ∞ , 1 ≤ q ≤ ∞,
можем записать
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
980 А. С. РОМАНЮК
‖ · ‖
l
2µ|Ωµ|
q
≡ ‖ · ‖
l
2µ, |Ωµ|
q,q
≥ ‖ · ‖
l
2µ, |Ωµ|
∞,q
≥ ‖ · ‖
l
2µ, |Ωµ|
∞,1
|Ωµ|
1
q−1
. (16)
Следовательно, согласно (14) – (16) и теореме Е, находим
λM (Br
2,θ, Lq)� 2
−µ
(
r1−1
2 +
1
q
)
|Ωµ|
1
q−
1
θ−1
λM
(
B
2µ,|Ωµ|
2,∞ , l
2µ,|Ωµ|
∞,1
)
≥
≥ 2
−µ
(
r1−1
2 +
1
q
)
|Ωµ|
1
q−
1
θ−1
λM
(
B
2µ,|Ωµ|
1,∞ , l
2µ,|Ωµ|
2,1
)
. (17)
Поэтому в силу (2) оценка (17) преобразуется к виду
λM (Br
2,θ, Lq)� 2
−µ
(
r1−1
2 +
1
q
)
|Ωµ|
1
q−
1
θ−1
dM
(
B
2µ,|Ωµ|
1,∞ , l
2µ,|Ωµ|
2,1
)
. (18)
Наконец, используя теорему Д, из (18) получаем
λM (Br
p,θ, Lq)� 2
−µ
(
r1−1
2 +
1
q
)
|Ωµ|
1
q−
1
θ−1 |Ωµ|
√
log log |Ωµ|
log |Ωµ|
�
� (M−1 logd−1 M)
r1−1
2 +
1
q (logd−1 M)
1
q−
1
θ
√
log log logM
log logM
.
Оценка снизу, а вместе с ней и теорема доказаны.
Приведем комментарии к полученному результату. Во-первых, заметим, что оценки в теоре-
ме 1 не реализуются M -мерным подпространством тригонометрических полиномов с „номера-
ми” гармоник из ступенчатых гиперболических крестов (см. [23]). Во-вторых, как нижняя, так и
верхняя оценки в (3) уступают (по степени log M ) точным по порядку оценкам колмогоровских
поперечников классов Br
p,θ в пространстве Lq (см., например, [24], § 4.2).
Следующее утверждение получим, воспользовавшись теоремой 1 и известными оценками
приближения функций из классов Br
p,θ их ступенчатыми гиперболическими суммами Фурье.
Теорема 2. Пусть 2 ≤ p < q <∞, r1 >
1
p
− 1
q
. Тогда при θ ∈ (q,∞) справедливы оценки
√
log log logM
log logM
(M−1 logν−1 M)
r1−1
p+
1
q (logν−1 M)
1
q−
1
θ � λM (Br
p,θ, Lq)�
� (M−1 logν−1 M)
r1−1
p+
1
q (logν−1 M)
1
q−
1
θ . (19)
Доказательство. Оценка сверху реализуется с помощью приближения функций f ∈ Br
p,θ
их ступенчатыми гиперболическими суммами Фурье Sγn(f, x) =
∑
(s,γ)<n
δs(f, x), где число n
подобрано из условия M � 2n nν−1. Соответствующий результат содержится в [23] (см. также
[24], § 1.4).
Для доказательства в (19) оценки снизу воспользуемся теоремой 1.
Пусть f ∈ Br
p,θ, 2 ≤ p <∞. Тогда в силу теоремы В можем записать
‖f‖Brp,θ =
(∑
s
2(s,r)θ ‖δs(f)‖θp
)1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ Brp,θ . . . 981
�
(∑
s
2(s,r)θ 2
‖s‖1
(
1
2−
1
p
)
θ ∥∥δs(f)
∥∥θ
2
)1/θ
=
=
(∑
s
2
(
s,r−1
p+
1
2
) ∥∥δs(f)
∥∥θ
2
)1/θ
= ‖f‖
B
r−
1
p+
1
2
2,θ
,
где r − 1
p
+
1
2
— вектор с координатами rj −
1
p
+
1
2
, j = 1, d.
Отсюда следует вложение
B
r− 1
p
+ 1
2
2,θ ⊂ Br
p,θ
и, таким образом, используя оценку снизу в (3), получаем
λM
(
Br
p,θ, Lq
)
� λM
(
B
r−1
p+
1
2
2,θ , Lq
)
�
� (M−1 logν−1 M)
r1−1
p+
1
q (logν−1 M)
1
q−
1
θ
√
log log logM
log logM
.
Теорема доказана.
Замечание. При θ =∞, т. е. для классов Hr
p , утверждения, соответствующие теоремам 1,
2, доказаны в работе [10] (см. также [11]). В случае 2 ≤ θ ≤ q точные по порядку оценки
величин λM (Br
p,θ, Lq) для тех же значений параметров p и q, что и в теоремах 1 и 2, получены
в работе [2].
В заключение отметим, что в одномерном случае (d = 1) в работе [2] были установле-
ны точные порядки величин λM (Br1
p,θ, Lq) при 1 ≤ θ < ∞. Случай θ = ∞ изучен в [10].
Сформулируем соответствующее утверждение.
Теорема Ж. Пусть d = 1, 1 ≤ θ ≤ ∞. Тогда
λM (Br1
p,θ, Lq) �
M
−r1+
1
2−
1
q , p ≤ 2,
1
p
+
1
q
< 1, r1 > 1− 1
q
,
M
−r1+
1
p−
1
q , 2 ≤ p < q <∞, r1 >
1
p
− 1
q
.
1. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных //
Мат. сб. – 2008. – 199, № 2. – С. 93 – 114.
2. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Brp,θ периодических функций многих пере-
менных // Anal. Math. – 2011. – 37. – P. 181 – 213.
3. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл.
АН СССР. – 1959. – 126, № 6. – С. 1163 – 1165.
4. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
6. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений //
Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
982 А. С. РОМАНЮК
7. Тихомиров В. М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики. Фундам. направле-
ния / ВИНИТИ. – 1987. – 14. – С. 103 – 206.
8. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
9. Галеев Э. М. О линейных поперечниках классов периодических функций многих переменных // Вестн. Моск.
ун-та. Математика, механика. – 1987. – 4. – С. 13 – 16.
10. Галеев Э. М. Линейные поперечники классов Гельдера – Никольского периодических функций многих пере-
менных // Мат. заметки. – 1996. – 59, № 2. – С. 189 – 199.
11. Галеев Э. М. Поперечники функциональных классов и конечномерных множеств // Владикавказ. мат. журн. –
2011. – 13, № 2. – С. 3 – 14.
12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.; Т. 2. – 537 с.
13. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных W̃ r
p и H̃r
p в
пространстве L̃q // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1985. – 49, № 5. – С. 916 – 934.
14. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
15. Jackson D. Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39, № 2. – P. 889 – 906.
16. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
17. Темляков В. Н. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ., Inc., 1993. – 419 p.
18. Kolmogoroff A. ’́Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegeben Funktionenklasse // Ann. Math. – 1936. –
37. – S. 107 – 111.
19. Глускин Е. Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств // Мат. сб. – 1983. – 120,
№ 2. – С. 180 – 189.
20. Кашин Б. С. О некоторых свойствах матриц ограниченных операторов из пространства ln2 в lm2 // Изв.
АН АрмССР. Математика. – 1980. – 15, № 5. – С. 379 – 394.
21. Изаак А. Д. Поперечники по Колмогорову в конечномерных пространствах со смешанной нормой // Мат.
заметки. – 1994. – 55, № 1. – С. 43 – 52.
22. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими полиномами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
23. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве
Lq // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1398 – 1408.
24. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 c.
Получено 01.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2192 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:28Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ff/df9ba09658dde4d66484d767cda64bff.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21922019-12-05T10:25:58Z On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables К вопросу о линейных поперечниках классов $B_{p,θ}^r$ периодических функций многих переменных Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. We establish order estimates for the linear widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relationships between the parameters $p, q$, and $θ$. Отриманопорядкові оцінки лінійних поперечників класів $B_{p,θ}^r$ періодичних функцій багатьох змінних у просторi $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p, q, θ$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2192 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 7 (2014); 970–982 Український математичний журнал; Том 66 № 7 (2014); 970–982 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2192/1385 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2192/1386 Copyright (c) 2014 Romanyuk A. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables |
| title | On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables |
| title_alt | К вопросу о линейных поперечниках классов $B_{p,θ}^r$ периодических функций многих переменных |
| title_full | On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables |
| title_fullStr | On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables |
| title_full_unstemmed | On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables |
| title_short | On the Problem of Linear Widths of the Classes $B_{p,θ}^r$ of Periodic Functions of Many Variables |
| title_sort | on the problem of linear widths of the classes $b_{p,θ}^r$ of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2192 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas ontheproblemoflinearwidthsoftheclassesbpthrofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkas ontheproblemoflinearwidthsoftheclassesbpthrofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkas ontheproblemoflinearwidthsoftheclassesbpthrofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanyukas kvoprosuolinejnyhpoperečnikahklassovbpthrperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas kvoprosuolinejnyhpoperečnikahklassovbpthrperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas kvoprosuolinejnyhpoperečnikahklassovbpthrperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh |