Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings
The paper is devoted to the investigation of some properties of multivalued mappings in Euclidean spaces. Fixed-point theorems are proved for multivalued mappings whose restrictions to a certain subset in the closure of a domain satisfy a “coacute angle condition” or a “strict coacute angle conditio...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2194 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508141054066688 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Klishchuk, B. A. Tkachuk, M. V. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Klishchuk, B. A. Tkachuk, M. V. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:25:58Z |
| description | The paper is devoted to the investigation of some properties of multivalued mappings in Euclidean spaces. Fixed-point theorems are proved for multivalued mappings whose restrictions to a certain subset in the closure of a domain satisfy a “coacute angle condition” or a “strict coacute angle condition.” Similar results for the restrictions of multivalued mappings satisfying certain metric conditions are also obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.9
Ю. Б. Зелинский, Б. А. Клищук, М. В. Ткачук (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ТЕОРЕМЫ О ВКЛЮЧЕНИИ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ*
The paper is devoted to the investigation of some properties of multivalued mappings in Euclidean spaces. Theorems
on fixed point were proved for multivalued mappings whose restrictions to a certain subset in the closure of the domain
satisfy a “coacute angle condition” or a “strict coacute angle condition”. Similar results for the restrictions of multivalued
mappings satisfying certain metric restrictions were also obtained.
Вивчаються деякi властивостi багатозначних вiдображень в евклiдовому просторi. Доведено теореми про нерухому
точку для багатозначних вiдображень, звуження яких на деяку пiдмножину в замиканнi областi задовольняють „умо-
ву когострого кута” або „умову строгого когострого кута”. Подiбнi результати отримано i для звужень багатозначних
вiдображень, якi задовольняють деякi метричнi обмеження.
1. Введение. В настоящей работе мы продолжаем исследование многозначных включений,
начатое в [1] и основанное на использовании геометрической формы теоремы Хана – Банаха.
Мы избавляемся от условия содержания искомой областью начала координат, рассматриваем
отображения не только в то же пространство, но и в другое, а также уменьшаем размеры
множества, на котором справедливы „ограничения типа острого угла” [2 – 5].
2. Обозначения и основные определения. Пусть En — n-мерное евклидово (действитель-
ное или комплексное) пространство, x, y — некоторые точки En, A, B — подмножества En,
〈∗, ∗〉 — скалярное произведение в En, convA — выпуклая оболочка множества A, ∠xOy =
= arccos
Re〈x, y〉√
〈x, x〉
√
〈y, y〉
.
Далее будем рассматривать многозначные (в том числе однозначные и разрывные) отобра-
жения подмножеств евклидового пространства.
Пусть X и Y — топологические пространства. Если F1, F2 : X → Y — два многозначных
отображения, то будем говорить, что F2 есть сужение отображения F1, если F1(x) ⊃ F2(x) для
всех точек x ∈ X (в частности, если A ⊃ B и F1 : A → Y , F2 : B → Y — два отображения,
то отображение F2 является сужением отображения F1 на B, если F1(x) = F2(x) при x ∈ B и
F2(x) = ∅ при x /∈ B, т. е. не исключено, что для отдельных точек образы сужения — пустые
множества).
3. „Условие коострого угла”. Пусть Y ∗ — дуальное (сопряженное) пространство к про-
странству Y [6]. Будем говорить, что отображение F : A→ Y (A ⊂ X) удовлетворяет „условию
коострого угла” на A, если для каждой точки y∗ ∈ Y ∗, y∗ 6= 0, существует точка x ∈ A такая,
что выполнено условие Re 〈y, y∗〉 ≥ 0 для всех точек y ∈ F (x).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть D — область евклидова пространства En = X, K ⊂ D — подмно-
жество в замыкании этой области, существует такое сужение F1 многозначного отобра-
жения F : D → En = Y на подмножество K, которое удовлетворяет „условию коострого
угла”, и convF1(K) — компакт. Тогда если convF1(K) ⊂ F (D), то 0 ∈ F (D).
Доказательство. Предположим, что 0 /∈ F (D). Следовательно, 0 /∈ convF1(K). Тогда
согласно геометрической форме теоремы Хана – Банаха существует гиперплоскость L, которая
отделяет начало координат от компактного выпуклого множества convF1(K). Выберем луч l,
* Частично поддержана грантом Тюбитек-НАН Украины (№ 110T558).
c© Ю. Б. ЗЕЛИНСКИЙ, Б. А. КЛИЩУК, М. В. ТКАЧУК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7 1003
1004 Ю. Б. ЗЕЛИНСКИЙ, Б. А. КЛИЩУК, М. В. ТКАЧУК
выходящий из начала координат перпендикулярно к гиперплоскости L и направленный в сторо-
ну, противоположную convF1(K). Для евклидовых пространств отображение двойственности
F : Y → Y ∗ биективно. Выберем произвольную точку y∗, отличную от начала координат, на
луче l. С одной стороны, по построению y∗ /∈ convF1(K), а с другой — согласно „условию
коострого угла”, существует точка x ∈ K, образ F1(x) которой должен находиться в том же по-
лупространстве по отношению к гиперплоскости L, что и точка y∗. Полученное противоречие
доказывает теорему.
4. „Условие строгого коострого угла”. Отображение F : A → Y (A ⊂ X) удовлетворяет
„условию строгого коострого угла” на A, если для каждой точки y∗ ∈ Y ∗, y∗ 6= 0, существует
точка x ∈ A такая, что выполнено условие Re 〈y, y∗〉 > 0 для всех точек y ∈ F (x).
Используя рассуждения, примененные при доказательстве предыдущей теоремы, а также
при доказательстве теоремы 2 [1], получаем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть D — область евклидова пространства En = X, K ⊂ D — подмно-
жество в замыкании этой области и существует такое сужение F1 многозначного отобра-
жения F : D → En = Y на подмножество K, которое удовлетворяет „условию строгого
коострого угла”. Тогда если convF1(K) ⊂ F (D), то 0 ∈ F (D).
Доказательство. Предположим, что 0 /∈ F (D) и, следовательно, 0 /∈ convF1(K). Внутрен-
ность Int(convF1(K)) будет выпуклым открытым множеством, не содержащим начало коор-
динат. Если Int(convF1(K)) = ∅, то множество convF1(K) имеет размерность не выше n− 1
и поэтому полностью лежит в некоторой гиперплоскости, так как размерность выпуклого мно-
жества совпадает с размерностью его аффинной оболочки [7, c. 29]. Следовательно, существу-
ет гиперплоскость L, которая проходит через начало координат и либо полностью содержит
множество convF1(K), либо же с ним не пересекается. Если же Int(convF1(K)) 6= ∅, то су-
ществует гиперплоскость L, которая проходит через начало координат и не пересекает множе-
ство Int(convF1(K)). Для произвольного выпуклого множества A с непустой внутренностью
(IntA 6= ∅) справедливо Int A = A. Следовательно, в обоих случаях множество convF1(K)
полностью лежит в одном из замкнутых полупространств, на которые плоскость L разбивает
пространство. Теперь можно выбрать луч l, выходящий из начала координат перпендикулярно
к гиперплоскости L и направленный в сторону, противоположную полупространству, содер-
жащему множество convF1(K). Выберем произвольную точку y∗ ∈ l, отличную от начала
координат, на этом луче. С одной стороны, y∗ /∈ convF1(K), а с другой — согласно „условию
строгого коострого угла”, существует точка x ∈ K, образ F1(x) которой должен находиться
в том же полупространстве по отношению к гиперплоскости L, что и точка y∗. Полученное
противоречие доказывает теорему.
5. „ε-Условие острого угла”. Зададимся целью уменьшить размеры множества, на котором
выполнены „условия типа острого угла”, за счет более строгих неравенств.
Скажем, что множество A является радианной (угловой) ε-сетью, если для каждого луча,
выходящего из начала координат, существует луч, образующий с ним угол радианной величины
меньше ε и пересекающий A.
Будем говорить, что на множестве A отображение F удовлетворяет „ ε-условию острого
угла”, если X = Y и для произвольной точки x ∈ A существует точка y ∈ F (x) такая, что
выполняется условие ∠xOy < π/2− ε.
Теорема 3. Пусть D — область евклидова пространства En = X, K ⊂ D — подмно-
жество в замыкании этой области, являющееся радианной ε-сетью, и существует сужение F1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ТЕОРЕМЫ О ВКЛЮЧЕНИИ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1005
многозначного отображения F : D → En = X на подмножество K, которое удовлетворяет
„ε-условию острого угла”. Тогда если convF1(K) ⊂ F (D), то 0 ∈ F (D).
Доказательство. Предположим, что 0 /∈ F (D). Как и при доказательстве теоремы 2, най-
дем гиперплоскость L, которая проходит через начало координат и которая или полностью
содержит множество convF1(K), или же с ним не пересекается. Выберем луч l, выходящий из
начала координат перпендикулярно к гиперплоскости L и направленный в сторону, противопо-
ложную полупространству, содержащему множество convF1(K). По условию найдется луч l1
такой, что ∠lOl1 < ε. Согласно „ε-условию острого угла” найдется на луче l1 точка x1 ∈ l1∩K
такая, что угол ∠x1Oy < π/2 − ε для всех точек y ∈ F1(x1). С одной стороны, множество
F1(x1) ⊂ F1(K) ⊂ convF1(K), а с другой — ∠lOy = ∠x1Oy + ∠lOl1 < π/2 − ε + ε = π/2.
Полученное противоречие доказывает теорему.
6. „δ-Условие коострого угла”. Скажем, что отображение F удовлетворяет „δ-условию
коострого угла”, если для каждой точки y∗ некоторой ε-сети Σ на единичной сфере S∗ = {y∗ ∈
∈ Y ∗ : ‖y∗‖ = 1} в Y ∗ существует точка x ∈ X такая, что выполнено условие Re 〈y, y∗〉 > δ‖y‖
для всех точек y ∈ F (x).
Теорема 4. ПустьD — область евклидова пространстваEn = X,K ⊂ D — подмножест-
во в замыкании этой области и существует такое сужение F1 многозначного отображения
F : D → En = Y на подмножество K, которое удовлетворяет „ δ-условию коострого угла ”
для некоторой
ε
2
-сети Σ в S∗ такой, что δ > sin δ >
ε
2
. Тогда если convF1(K) ⊂ F (D), то
0 ∈ F (D).
Доказательство. Возьмем произвольную точку y∗1 ∈ S∗ ⊂ Y ∗. Согласно условию теоремы,
существуют точки y∗ ∈ Σ ⊂ S∗ ⊂ Y ∗, ‖y∗ − y∗1‖ <
ε
2
, и x ∈ X такие, что выполнено условие
Re 〈y, y∗〉 = ‖y‖ ‖y∗‖cos∠yOy∗ = ‖y‖cos∠yOy∗ > δ‖y‖ > ‖y‖sin δ >
ε‖y‖
2
для всех точек
y ∈ F1(x). Тогда Re
〈
y
‖y‖
, y∗1
〉
= Re
〈
y
‖y‖
, y∗
〉
+ Re
〈
y
‖y‖
, y∗1 − y∗
〉
>
ε
2
− ‖y∗1 − y∗‖ > 0.
Теперь данный результат следует из теоремы 2.
Замечания. 1. Все предыдущие результаты будут справедливы, если отображение области
имеет сужение, удовлетворяющее условиям теоремы.
2. Другие теоремы о включении, основанные на использовании степени отображения, мож-
но найти в [8].
Авторы признательны профессору К. Н. Солтанову за обсуждение результатов и ценные
замечания.
1. Зелинский Ю. Б., Клищук Б. А., Ткачук М. В. Теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений //
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 175 – 179.
2. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. – М.: Гостех-
издат, 1956. – 392 с.
3. Солтанов К. Н. О нелинейных отображениях и разрешимости нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. –
1986. – 289, № 6. – С. 1318 – 1323.
4. Soltanov K. N. Remarks on separation of convex sets, fixed-point theorem and applications in theory of linear operators
// Fixed Point Theory and Appl. – 2007. – 14 p.
5. Soltanov K. N. On semi-continuous mappings, equations and inclusions in the Banach space // Hacettepe J. Math.
Statist. – 2008. – 37. – P. 9 – 24.
6. Муратов М. А., Островский В. Л., Самойленко Ю. С. Конечномерный линейный анализ. I. Линейные операторы
в конечномерных векторных пространствах (L). – Киев: Центр учеб. лит., 2011. – 150 с.
7. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973. – 471 с.
8. Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. – Киев: Наук. думка, 1993. – 264 с.
Получено 17.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2194 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:29Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a8/9f882b4a89a8db9088c52fa9275ea1a8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21942019-12-05T10:25:58Z Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings Теоремы о включении для многозначных отображений Zelinskii, Yu. B. Klishchuk, B. A. Tkachuk, M. V. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. The paper is devoted to the investigation of some properties of multivalued mappings in Euclidean spaces. Fixed-point theorems are proved for multivalued mappings whose restrictions to a certain subset in the closure of a domain satisfy a “coacute angle condition” or a “strict coacute angle condition.” Similar results for the restrictions of multivalued mappings satisfying certain metric conditions are also obtained. Вивчаються дєякі властивості багатозначних відображень в евклідовому просторі Доведено теореми про нерухому точку для багатозначних відображень, звуження яких на деяку підмножину в замиканні області задовольняють „умо- ву когострого кута" або „умову строгого когострого кута". Подібні результати отримано i для звужень багатозначних відображень, які задовольняють деякі метричні обмеження. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2194 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 7 (2014); 1003–1005 Український математичний журнал; Том 66 № 7 (2014); 1003–1005 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2194/1389 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2194/1390 Copyright (c) 2014 Zelinskii Yu. B.; Klishchuk B. A.; Tkachuk M. V. |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Klishchuk, B. A. Tkachuk, M. V. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. Зелинский, Ю. Б. Клищук, Б. А. Ткачук, М. В. Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings |
| title | Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings |
| title_alt | Теоремы о включении для многозначных отображений |
| title_full | Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings |
| title_fullStr | Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings |
| title_full_unstemmed | Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings |
| title_short | Theorems on Inclusion for Multivalued Mappings |
| title_sort | theorems on inclusion for multivalued mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2194 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT klishchukba theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT tkachukmv theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT zelinskijûb theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT kliŝukba theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT tkačukmv theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT zelinskijûb theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT kliŝukba theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT tkačukmv theoremsoninclusionformultivaluedmappings AT zelinskiiyub teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT klishchukba teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT tkachukmv teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT zelinskijûb teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT kliŝukba teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT tkačukmv teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT zelinskijûb teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT kliŝukba teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij AT tkačukmv teoremyovklûčeniidlâmnogoznačnyhotobraženij |