Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition
For the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in a Banach space, we study the nonlocal problem with integral condition. An exponentially convergent algorithm for the numerical solution of this problem is proposed and justified under the assumption that the operator co...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2197 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508144385392640 |
|---|---|
| author | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. |
| author_facet | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. |
| author_sort | Vasylyk, V. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:14Z |
| description | For the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in a Banach space, we study the nonlocal problem with integral condition. An exponentially convergent algorithm for the numerical solution of this problem is proposed and justified under the assumption that the operator coefficient A is strongly positive and certain existence and uniqueness conditions are satisfied. The algorithm is based on the representations of operator functions via the Dunford–Cauchy integral along a hyperbola covering the spectrum of A and the quadrature formula containing a small number of resolvents. The efficiency of the proposed algorithm is illustrated by several examples. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9; 519.63
В. Б. Василик, В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО
РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
З IНТЕГРАЛЬНОЮ НЕЛОКАЛЬНОЮ УМОВОЮ
For the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in a Banach space, we study the nonlocal
problem with integral condition. An exponentially convergent algorithm for the numerical solution of this problem is
proposed and justified under the assumption that the operator coefficient A is strongly positive and certain existence and
uniqueness conditions are satisfied. This algorithm is based on the representations of operator functions via the Dunford –
Cauchy integral along a hyperbola covering the spectrum of A and the quadrature formula containing a small number of
resolvents. The efficiency of the proposed algorithm is illustrated by several examples.
Для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом в банаховом
пространстве рассматривается нелокальная задача с интегральным условием. Построен и обоснован экспоненци-
ально сходящийся алгоритм для численного решения этой задачи в предположении, что операторный коэффициент
A сильно позитивный и выполнены условия существования и единственности. Этот алгоритм основан на пред-
ставлении операторных функций с помощью интеграла Данфорда – Коши по гиперболе, которая охватывает спектр
A, и на квадратурной формуле, содержащей небольшое количество резольвент. Эффективность предложенного
алгоритма продемонстрирована на нескольких примерах.
1. Вступ. Моделi багатьох фiзичних процесiв описуються за допомогою диференцiальних
рiвнянь з початковими i (або) граничними умовами. Але в деяких випадках постановка нело-
кальних умов дозволяє описати процес краще, тому що є можливiсть вимiряти деякi параметри
системи бiльш точно, нiж у випадку локальних умов. Задачi з нелокальними умовами виника-
ють в теорiї фiзики плазми [1], ядерної фiзики [2], математичної хiмiї [3], теорiї хвилеводiв [4] i
т. д. Деякi математичнi мoделi динамiки бiопопуляцiй є крайовими задачами для гiперболiчних
рiвнянь з нелокальними умовами по просторових змiнних (див., наприклад, [5, 6] i наведену там
бiблiографiю). Водночас цi проблеми можна розглядати як узагальнення класичних крайових
задач, якi породжують дуже цiкавi теоретичнi математичнi дослiдження.
У цiй статтi ми розглянемо нелокальну задачу з iнтегральною умовою:
du
dt
+Au = 0, t ∈ [0, T ],
u(0) +
T∫
0
w(s)u(s)ds = u0,
(1)
де w(s) ≥ 0 — задана функцiя, u0 ∈ X. Оператор A з областю визначення D(A) в банаховому
просторi X є щiльно визначеним сильно позитивним (секторiальним), тобто його спектр Σ(A)
розташований у правiй пiвплощинi у секторi з вершиною в початку координат. Резольвента
оператора A спадає обернено пропорцiйно до |z| на нескiнченностi (див. оцiнку (6) нижче).
Неоднорiдну задачу, що вiдповiдає задачi (1), можна звести до однорiдної задачi за допо-
могою замiни функцiї таким способом. Нехай
c© В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1029
1030 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
dv
dt
+Av = f(t), t ∈ [0, T ],
v(0) +
T∫
0
w(s)v(s)ds = u0,
(2)
де f(t) — векторнозначна функцiя в банаховому просторi X. Тодi, покладаючи v(t) = u(t) +
+ v1(t), де
v1(t) =
t∫
0
e−A(t−s)f(s)ds,
отримуємо задачу для визначення u(t):
du
dt
+Au = 0, t ∈ [0, T ],
u(0) +
T∫
0
w(s)u(s)ds = u0 −
T∫
0
w(s)v1(s)ds.
Зауважимо, що експоненцiально збiжну апроксимацiю для v1(t) було розроблено в [7, 8].
Отже, цю апроксимацiю можна використати для знаходження v1(t), а потiм вiдповiдного iнте-
грала, використовуючи вiдповiдну квадратурну формулу.
Слiд також зазначити, що нещодавно було розроблено рiзнi експоненцiально збiжнi методи
для задач з необмеженими операторними коефiцiєнтами у банаховому просторi [8 – 13]. Такi
задачi можна розглядати як метамоделi класичних задач для диференцiальних рiвнянь з частин-
ними похiдними, зокрема параболiчних, елiптичних та гiперболiчних. У [14] експоненцiально
збiжний метод було розроблено для m-точкової нелокальної задачi для диференцiального рiв-
няння першого порядку з необмеженим операторним коефiцiєнтом. Для задач iз нелокальною
iнтегральною умовою такi методи на теперiшнiй час невiдомi.
Метою даної роботи є побудова експоненцiально збiжного наближення розв’язку задачi (1).
2. Iснування i зображення розв’язку. Розв’язок задачi (1) можна зобразити формально
таким чином:
u(t) = e−Atu(0). (3)
З iнтегральної умови в задачi (1) i формули (3) отримуємоI +
T∫
0
w(s)e−Asds
u(0) = u0.
Позначимо B(A) =
(
I +
∫ T
0
w(s)e−Asds
)
. Таким чином, у випадку, коли B(A)−1 iснує (до-
статнi умови для iснування цього оператора будуть встановленi нижче), маємо
u(0) = B(A)−1u0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 1031
Отже,
u(t) = e−AtB(A)−1u0. (4)
Нехай оператор A в задачi (1) – щiльно визначений сильно позитивний (секторiальний)
оператор у банаховому просторi X з областю визначення D(A), тобто його спектр Σ(A) роз-
мiщений у секторi Σ:
Σ =
{
z = ρ0 + reiθ : r ∈ [0,∞), ρ0 > 0 |θ| < ϕ <
π
2
}
. (5)
Додатково справджується наступна оцiнка для резольвенти оператора A:
‖RA(z)‖ =
∥∥(zI −A)−1
∥∥ ≤ M
1 + |z|
(6)
за межами сектора та на його межi ΓΣ. Числа ρ0, ϕ називаються спектральними характеристи-
ками A.
Називатимемо криву Γ0 спектральною гiперболою:
Γ0 = {z(ζ) = ρ0 cosh ζ − ib0 sinh ζ : ζ ∈ (−∞,∞), b0 = ρ0 tanϕ}. (7)
Вона має вершину в (ρ0, 0) i асимптоти, що паралельнi до променiв спектрального кута Σ.
Для зображення операторних функцiй зручно використовувати iнтеграл Данфорда – Кошi
(див., наприклад, [15, 16]), де шлях iнтегрування вiдiграє важливу роль. Використовуючи зоб-
раження за допомогою iнтеграла Данфорда – Кошi i (4), розв’язок задачi (1) можна записати у
виглядi
u(t) =
1
2πi
∫
ΓI
e−zt
1 +
T∫
0
w(s)e−zsds
−1
RA(z)u0dz =
1
2πi
∫
ΓI
F (z, t)RA(z)u0dz, (8)
якщо F (z, t) є аналiтичною функцiєю в областi, обмеженiй гiперболою ΓI , яка охоплює Γ0.
Щоб отримати рiвномiрно збiжний та чисельно стiйкий алгоритм, ми модифiкуємо цей iнтеграл,
замiнивши резольвенту RA(z) на R1
A(z) (уперше це було запропоновано в [7]), що не змiнює
значення iнтеграла у випадку, коли u0 ∈ D(Aα), α > 0 (детальнiше див. [7, 8]):
R1
A(z) = (zI −A)−1 − I
z
.
Таким чином, можна отримати таке зображення для розв’язку задачi (1):
u(t) =
1
2πi
∫
ΓI
F (z, t)R1
A(z)u0dz. (9)
Виберемо гiперболу
ΓI = {z(ζ) = aI cosh ζ − ibI sinh ζ : ζ ∈ (−∞,∞)} (10)
за контур iнтегрування, що охоплює Σ, а отже, спектр оператора A. Значення параметрiв aI ,
bI визначимо пiзнiше. Використовуючи цю гiперболу, з (9) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1032 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
u(t) =
1
2πi
∞∫
−∞
F (z(ζ), t)R1
A(ζ)z′(ζ)u0dζ =
∞∫
−∞
F(t, ζ)dζ, (11)
де
z′(ζ) = aI sinh ζ − ibI cosh ζ.
Наступним кроком для побудови чисельного алгоритму є наближення (11) за допомогою
ефективної квадратурної формули. Для цього необхiдно оцiнити ширину смуги навколо дiйсної
осi, куди пiдiнтегральний вираз в (11) допускає аналiтичне продовження (по вiдношенню до
ζ). Гiпербола ΓI , по якiй проводиться iнтегрування, перетворюється в параметричну сiм’ю
гiпербол по вiдношенню до ν пiсля замiни ζ на ζ + iν:
Γ(ν) = {z(ζ, ν) = aI cosh (ζ + iν)− ibI sinh (ζ + iν) : ζ ∈ (−∞,∞)} =
= {z(ζ, ν) = a(ν) cosh ζ − ib(ν) sinh ζ : ζ ∈ (−∞,∞)},
де
a(ν) = aI cos ν + bI sin ν =
√
a2
I + b2I sin (ν + φ/2),
b(ν) = bI cos ν − aI sin ν =
√
a2
I + b2I cos (ν + φ/2),
cos
φ
2
=
bI√
a2
I + b2I
, sin
φ
2
=
aI√
a2
I + b2I
.
Аналiтичнiсть пiдiнтегрального виразу в смузi
Dd1 = {(ζ, ν) : ζ ∈ (−∞,∞), |ν| < d1/2}
з деяким d1 може бути порушена, якщо резольвента або частина, що вiдповiдає нелокальнiй
умовi, стане необмеженою. Щоб цього уникнути, нам потрiбно вибрати d1 таким чином, щоб
для ν ∈ (−d1/2, d1/2) гiпербола Γ(ν) залишалась у правiй пiвплощинi комплексної площини.
Будемо вимагати, щоб:
1) для ν = −d1/2 вiдповiдна гiпербола проходила через точку (ρ1, 0) для деякого 0 ≤ ρ1 <
< ρ0;
2) при ν = d1/2 вона збiгалась зi спектральною гiперболою.
При виконаннi таких умов для всiх ν ∈ (−d1/2, d1/2) множина Γ(ν) не перетинатиме спект-
ральний сектор i гiпербола Γ(0) = ΓI , що є шляхом iнтегрування в (9). Такi вимоги для Γ(ν)
приводять до системи рiвнянь
aI cos (d1/2) + bI sin (d1/2) = ρ0,
bI cos (d1/2)− aI sin (d1/2) = b0 = ρ0 tanϕ,
aI cos (−d1/2) + bI sin (−d1/2) = ρ1,
з якої елементарними перетвореннями знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 1033
d1 = arccos
(
ρ1√
ρ2
0 + b20
)
− ϕ (12)
з cosϕ =
ρ0√
ρ2
0 + b20
, sinϕ =
b0√
ρ2
0 + b20
,
aI = ρ0
cos
(
d1
2
+ ϕ
)
cosϕ
= ρ0
cos
(
arccos
(
ρ1√
ρ2
0 + b20
)
/2 + ϕ/2
)
cosϕ
,
bI = ρ0
cos
(
d1
2
+ ϕ
)
cosϕ
= ρ0
cos
(
arccos
(
ρ1√
ρ2
0 + b20
)
/2 + ϕ/2
)
cosϕ
.
(13)
Для aI та bI , визначених вище, резольвента оператора A є аналiтичною у смузi Dd1 по вiдно-
шенню до w = ζ + iν для будь-якого t ≥ 0. Зауважимо, що для ρ1 = 0 маємо d1 = π/2− ϕ, як
i в [7].
Беручи до уваги (13), ми можемо записати рiвняння для a(ν), b(ν) на всьому промiжку
−d1
2
≤ ν ≤ d1
2
:
a(ν) = aI cos ν + bI sin ν =
√
ρ2
0 + b20 cos
(
d1
2
+ ϕ− ν
)
,
b(ν) = bI cos ν − aI sin ν =
√
ρ2
0 + b20 sin
(
d1
2
+ ϕ− ν
)
,
ρ1 ≤ a(ν) ≤ ρ0, b0 ≤ b(ν) ≤
√
b20 + ρ2
0 − ρ2
1.
Далi визначимо умови для w(s), якi гарантують iснування оператора B(z)−1, що вiдповiдає
нелокальнiй умовi з (4). Щоб це виконувалось, потрiбно, щоб B(z) 6= 0 в областi, обмеженiй
гiперболою ΓI . Тодi ∣∣∣∣∣∣1 +
T∫
0
w(s)e−z(ζ)sds
∣∣∣∣∣∣ ≥ 1−
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
w(s)e−z(ζ)sds
∣∣∣∣∣∣ ≥
= 1−
T‖w(s)‖C[0,T ]
TaI cosh(ζ)
(
1− e−TaI cosh(ζ)
)
≥ 1−
‖w(s)‖C[0,T ]
aI
(
1− e−TaI
)
,
оскiльки функцiя
1− e−x
x
є монотонно спадною для x > 0. Таким чином,
∣∣∣∣∣∣1 +
T∫
0
w(s)e−z(ζ)sds
∣∣∣∣∣∣
−1
≤ 1
1−
‖w(s)‖C[0,T ]
aI
(1− e−TaI )
≤ C1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1034 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
у випадку, коли
‖w(s)‖C[0,T ] <
aI
1− e−TaI
. (14)
Єдинiсть розв’язку показується елементарно. Отже, справджується наступна лема.
Лема 1. НехайA— щiльно визначений сильно позитивний оператор (секторiальний). Якщо
виконується умова (14), то iснує й єдиний розв’язок задачi (1), який можна зобразити за
допомогою (9).
Бiльш грубою оцiнкою, нiж (14), є оцiнка
‖w(s)‖C[0,T ] <
1
T
, (15)
яку можна легко отримати з оцiнки∣∣∣∣∣∣
T∫
0
w(s)e−z(ζ)sds
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖w(s)‖C[0,T ]T.
3. Чисельний алгоритм. Насамперед наблизимо iнтеграл у знаменнику з (8), викори-
ставши експоненцiально збiжну квадратурну формулу. Для цього можна використати формули
Гаусса, Кленшоу – Куртiса або Sinc-квадратуру для iнтеграла по обмеженому iнтервалу. Для
аналiтичних пiдiнтегральних функцiй цi квадратури забезпечують експоненцiальний порядок
збiжностi. Квадратурна формула Гаусса має швидкiсть збiжностiO(ρ−2n), а формула Кленшоу –
Куртiса — O(ρ−n), де ρ — сума пiвосей елiпса Бернштейна [17]. Sinc-квадратурна формула має
швидкiсть збiжностi O(e−
√
n) [18] i, на вiдмiну вiд вищезгаданих формул, може бути застосо-
вана до iнтегралiв на необмежених iнтервалах. Її швидкiсть збiжностi може бути або O(e−
√
n),
або O(e−n/ lnn) в залежностi вiд областi аналiтичностi пiдiнтегральної функцiї. Зважаючи на
вищевикладене, ми будемо використовувати квадратурну формулу Гаусса для iнтеграла на об-
меженому iнтервалi i Sinc-квадратуру для iнтеграла на всiй осi:
I =
T∫
0
w(s)e−z(ζ)sds ≈
n∑
j=0
T
2
ωjw(ξj)e
−z(ζ)ξj = In, (16)
ξj =
T
2
(θj + 1),
де {θj} — набiр з (n+1)-го кореня полiнома Лежандра Pn+1(x) i {ωj} — множина ваг квадратур-
ної формули Гаусса. Зазначимо, що θj разом з ωj можна обчислити заздалегiдь, використовуючи
швидкi алгоритми (див. [17]).
Таким чином, з (11) отримуємо
u(t) ≈ un(t) =
1
2πi
∞∫
−∞
Fn(z(ζ), t)R1
A(ζ)z′(ζ)u0dζ =
∞∫
−∞
Fn(t, ζ)dζ, (17)
де
Fn(z(ζ), t) = e−z(ζ)t [1 + In]−1 .
Для оцiнки похибки маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 1035∣∣∣∣ 1
1 + I
− 1
1 + In
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ In − I
(1 + I)(1 + In)
∣∣∣∣ .
Згiдно з (14) або (15), перший член злiва обмежений сталою
1
|1 + I|
≤ C.
Для другого доданка одержуємо
1
|1 + In|
≤ 1
1−
∣∣∣∣T2 ∑n
j=0
ωjw(ξj)e
−z(ζ)ξj
∣∣∣∣ ≤
≤ 1
1−
T‖w(s)‖C[0,T ]
2
∑n
j=0
ωje
−aI cosh(ζ)ξj
≤
≤ 1
1− T‖w(s)‖C[0,T ]
≤ c = const (18)
у випадку, коли виконується оцiнка (15). Отже, маємо∣∣∣∣ 1
1 + I
− 1
1 + In
∣∣∣∣ ≤ c |In − I| .
Експоненцiальна функцiя e−zs є аналiтичною вiдносно s у всiй комплекснiй площинi. Тому
гладкiсть пiдiнтегральної функцiї в I визначається гладкiстю w(s). Використовуючи теоре-
му 19.3 з [17], приходимо до висновку, що якщо w
(
T
2
(s+ 1)
)
можна аналiтично продовжити
в елiпс Бернштейна навколо [−1, 1], де
∣∣∣∣w(T2 (s+ 1)
)
e−z
T
2
(s+1)
∣∣∣∣ ≤M, то
|I − In| ≤
144Mρ−2n
35(ρ2 − 1)
, n ≥ 2. (19)
Якщо w(s) та її похiднi до (ν− 1)-го порядку є абсолютно неперервними, а w(ν) має обмежену
варiацiю V, то
|I − In| ≤
32V
15πν(n− 2ν − 1)2ν+1
, n > 2ν + 1. (20)
За припущення, що u0 ∈ D(Aα), 0 < α < 1, у [8] було показано, що∥∥∥e−z(ζ)tz′(ζ)R1
A(ζ)u0
∥∥∥ ≤ (1 +M)K
bI
aI
(
2
aI
)α
e−aI t cosh ζ−α|ζ|‖Aαu0‖,
ζ ∈ R, t ≥ 0,
(21)
де K — стала, що залежить вiд α, M — стала з оцiнки (6).
Частина, що вiдповiдає нелокальнiй умовi в (17), оцiнюється у (18). Таким чином, ми
отримаємо наступну оцiнку для Fn(t, ζ):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1036 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
‖Fn(t, ζ)‖ ≤ C(ϕ, α)e−aI t cosh ζ−α|ζ|‖Aαu0‖,
C(ϕ, α) =
(1 +M)KcbI
2πaI
(
2
aI
)α
, ζ ∈ R, t ≥ 0.
(22)
Далi ми наблизимо iнтеграл (17) Sinc-квадратурною формулою [8, 18]
un,N (t) = h
N∑
k=−N
Fn(t, z(kh)) (23)
з похибкою
‖ηN (Fn, h)‖ = ‖un(t)− un,N (t)‖ ≤
≤
∥∥∥∥∥un(t)− h
∞∑
k=−∞
Fn(t, z(kh))
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥∥h
∑
|k|>N
Fn(t, z(kh))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1
4π
e−πd/h
sinh (πd/h)
‖Fn‖H1(Dd) + C(ϕ, α)h‖Aαu0‖
∞∑
k=N+1
e−aI t cosh kh−αkh.
Тут H1(Dd) — простiр усiх векторнозначних функцiй F , аналiтичних у смузi Dd, що введений
аналогiчно до [18] у [8]. Згiдно з [8]
‖e−z(·)tz′(·)R1
A(·)u0‖H1(Dd) ≤ ‖Aαu0‖[C−(ϕ, α, δ)+
+C+(ϕ, α, δ)]
∞∫
−∞
e−α|ξ|dξ = C(ϕ, α, δ)‖Aαu0‖, (24)
де
C(ϕ, α, δ) =
2
α
[C+(ϕ, α, δ) + C−(ϕ, α, δ)],
C±(ϕ, α, δ) = (1 +M)K tan
(
π
4
+
ϕ
2
± d
2
) 2 cosϕ
a0 cos
(
π
4
+
ϕ
2
± d
2
)
α
,
d = d1 − δ
(25)
для довiльного малого додатного δ.
Очевидно, що у випадку виконання (15) частина, що вiдповiдає нелокальнiй умовi, обме-
жена в Dd. Це дає змогу отримати оцiнку
‖Fn(t, ζ)‖H1(Dd) ≤ C(ϕ, α, δ)‖Aαu0‖.
Отже, для ηN (Fn, h) справджується оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 1037
‖ηN (Fn, h)‖ ≤ c‖Aαu0‖
α
{
e−πd/h
sinh (πd/h)
+ e−aI t cosh ((N+1)h)−α(N+1)h
}
, (26)
де стала c не залежить вiд h, N, t.
Прирiвнюючи обидвi експоненти при t = 0, маємо
πd
h
= α(N + 1)h,
h =
√
πd
α(N + 1)
,
(27)
що приводить до наступної оцiнки похибки:
‖ηN (Fn, h)‖ ≤ c
α
exp
(
−
√
πdα(N + 1)
)
‖Aαu0‖. (28)
У випадку t > 0 перший доданок в аргументi e−aI t cosh ((N+1)h)−α(N+1)h з (26) бiльше впливає
на похибку. Покладаючи для цього випадку h = c1 ln (N + 1)/(N + 1) з деякою додатною
сталою c1, отримуємо для фiксованого t оцiнку
‖ηN (Fn, h)‖ ≤ c
[
e
−πd N+1
c1 ln(N+1) + e−c2taI(N+1)c1−c1α ln (N+1)
]
‖Aαu0‖, (29)
де c2 =
1 + (N + 1)−2c1
2
. Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 1. Нехай A — щiльно визначений позитивний оператор, u0 ∈ D(Aα), α ∈ (0, 1) i
виконуються умови (15). Тодi Sinc-квадратура (23) є апроксимацiєю un(t) з експоненцiальною
швидкiстю збiжностi (28), рiвномiрною по t ≥ 0 для кроку h, визначеного в (27). Апроксимацiя
має швидкiсть збiжностi (29) для випадку t > 0 та h = c1 ln (N + 1)/(N + 1).
Зауваження 1. Крива iнтегрування ΓI є симетричною вiдносно дiйсної осi. Тому z(−kh) =
= z(kh) i z′(−kh) = −z′(kh). Наближення (23) можна записати у виглядi
un,N (t) =
h
2πi
Fn(t, z(0)) + Re
[
N∑
k=1
h
Fn(t, z(kh))
πi
]
,
що зменшує кiлькiсть обчислень резольвенти вдвiчi.
Тепер розглянемо оцiнку повної похибки наближення:
ε1 = ‖u(t)− un(t)‖ =
∥∥∥∥∥∥
∞∫
−∞
[F(t, ζ)−Fn(t, ζ)] dζ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1
2π
∞∫
−∞
∣∣∣e−z(ζ)tζ ′(ζ)
∣∣∣ ∣∣∣∣ 1
1 + I
− 1
1 + In
∣∣∣∣ ∥∥R1
A(ζ)u0
∥∥ dζ. (30)
За допомогою (21) оцiнку (30) можна перетворити до вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1038 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
ε1 =
(1 +M)KbIc
2πaI
(
2
aI
)α
‖Aαu0‖ |I − In|
∞∫
−∞
e−aI t cosh ζ−α|ζ|dζ ≤
≤ (1 +M)KbIc
πaIα
(
2
aI
)α
‖Aαu0‖ |I − In| = C ‖Aαu0‖ |I − In| .
Тодi для оцiнки повної похибки маємо
‖u(t)− un,N (t)‖ ≤ ε1 + ‖ηN (Fn, h)‖ . (31)
Це дозволяє сформулювати основну теорему.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi (23) дає зображення наближення
до u(t) з експоненцiальною швидкiстю збiжностi у випадку, коли w(t) має аналiтичне продов-
ження в елiпс Бернштейна.
4. Числовi приклади.
Приклад 1. Розглянемо задачу (1) з оператором A, визначеним як
D(A) = {v(x) ∈ H2(0, 1) : v(0) = v(1) = 0},
Av = −v′′(x) ∀v ∈ D(A),
що генерує однорiдне параболiчне рiвняння з крайовими умовами
∂u(x, t)
∂t
− ∂2u(x, t)
∂x2
= 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0.
Доповнимо цю задачу нелокальною iнтегральною умовою
u(x, 0) +
π/2∫
0
cos(s)u(x, s)ds =
π4 + π2 + e−π
3/2
π4 + 1
sin(πx).
У цьому випадку точним розв’язком цiєї задачi є u(x, t) = e−π
2t sin(πx). Ми виконували
обчислення в середовищi Maple. Похибки наведено в табл. 1, 2 для рiзної кiлькостi вузлiв
n квадратури (16) i Sinc-вузлiв N квадратури (23). Данi, наведенi в таблицях, свiдчать про
експоненцiальне спадання похибки згiдно з отриманою теоретичною оцiнкою (31).
Приклад 2. Розглянемо таку ж задачу, як i в прикладi 1, але з iншою нелокальною умовою
u(x, 0) +
π/2∫
0
cos(s2)u(x, s)ds = (1− x)x2.
Результати обчислень наведено в табл. 3 для рiзної кiлькостi числа вузлiв n квадратури (16) та
Sinc-вузлiв N квадратури (23). Розряди, що стабiлiзувались, у таблицi видiлено жирним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 1039
Таблиця 1. Похибка для x = 0.5, t = 1
n
N 4 8 16
4 0.001074121004
8 0.000004530997940 0.00000418248071
16 2.394152400 ∗ 10−7 7.3086845013760 ∗ 10−10 7.159165797001 ∗ 10−10
32 2.387505905 ∗ 10−7 8.2307398421915 ∗ 10−12 2.609087146562 ∗ 10−13
64 7.9836951021369 ∗ 10−12 2.917976861643 ∗ 10−18
128 1.622297889726 ∗ 10−24
256 1.873772451287 ∗ 10−24
Таблиця 2. Похибка для x = 0.5, t = 1
n
N 32 64
128 2.559484448336975 ∗ 10−25
256 2.398463850885652 ∗ 10−35 2.3984646885635428 ∗ 10−35
512 1.564339690250043 ∗ 10−49 1.5716982365989911 ∗ 10−49
1024 8.2307398421915 ∗ 10−69
Таблиця 3. Розв’язок задачi для x = 0.4, t = 1
n = 4, N = 32 0.5979651691 ∗ 10−4
n = 8, N = 64 0.595184687264196427200402957709 ∗ 10−4
n = 16, N = 128 0.595184553823189342113182135931 ∗ 10−4
n = 32, N = 256 0.595184553823189342143429937050 ∗ 10−4
n = 64, N = 512 0.595184553823189342143429937049 ∗ 10−4
n = 128, N = 1024 0.595184553823189342143429937049 ∗ 10−4
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1040 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
1. Самарский А. А. Некоторые задачи теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1980. –
16, № 11. – С. 1925 – 1935.
2. Leung A. W., Chen G.-S. Optimal control of multigroup neutron fission systems // Appl. Math. and Optim. – 1999. –
40, № 1. – P. 39 – 60.
3. Leung A. W., Ortega L. A. Existence and monotone scheme for time-periodic nonquasimonotone reaction-diffusion
systems: application to autocatalytic chemistry // J. Math. Anal. and Appl. – 1998. – 221, № 2. – P. 712 – 733.
4. Gordeziani D., Avalishvili G. Investigation of the nonlocal initial boundary value problems for some hyperbolic
equations // Hiroshima Math. J. – 2001. – 31, № 3. – P. 345 – 366.
5. Huyer W. Approximation of a linear age-dependent population model with spatial diffusion // Commun. Appl. Anal. –
2004. – 8, № 1. – P. 87 – 108.
6. Sinestrari E., Webb G. F. Nonlinear hyperbolic systems with nonlocal boundary conditions // J. Math. Anal. and
Appl. – 1987. – 121, № 2. – P. 449 – 464.
7. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Exponentially convergent algorithms for the operator exponential with applications to
inhomogeneous problems in Banach spaces // SIAM J. Numer. Anal. – 2005. – 43, № 5. – P. 2144 – 2171.
8. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Vasylyk V. B. Exponentially convergent algorithms for abstract differential equations
// Front. Math. – Basel: Birkhäuser, 2011. – viii+180 p.
9. López-Fernández M., Palencia C., Schädle A. A spectral order method for inverting sectorial Laplace transforms //
SIAM J. Numer. Anal. – 2006. – 44. – P. 1332 – 1350.
10. López-Fernández M., Lubich C., Palencia C., Schädle A. Fast Runge – Kutta approximation of inhomogeneous
parabolic equations // Numer. Math. – 2005. – 102, № 2. – P. 277 – 291.
11. Sheen D., Sloan I. H., Thomée V. A parallel method for time discretization of parabolic equations based on Laplace
transformation and quadrature // IMA J. Numer. Anal. – 2003. – 23, № 2. – P. 269 – 299.
12. Thomée V. A high order parallel method for time discretization of parabolic type equations based on Laplace
transformation and quadrature // Int. J. Numer. Anal. Model. – 2005. – 2. – P. 121 – 139.
13. Weideman J. A. C. Optimizing Talbot’s contours for the inversion of the Laplace transform // SIAM J. Numer. Anal. –
2006. – 44, № 6. – P. 2342 – 2362.
14. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Sytnyk D. O., Vasylyk V. B. Exponentially convergent method for the m-point nonlocal
problem for a first order differential equation in Banach space // Numer. Funct. Anal. and Optim. – 2010. – 31, № 1-3. –
P. 1 – 21.
15. Clément Ph., Heijmans H. J. A. M., Angenent S. et al. One-parameter semigroups. – Amsterdam: North-Holland Publ.
Co., 1987. – x+312 p.
16. Крейн C. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1967. – 464 с.
17. Trefethen L. N. Approximation theory and approximation practice. – Philadelphia, PA: SIAM, 2013. – viii+305 p.
18. Stenger F. Numerical methods based on Sinc and analytic functions. – New York etc.: Springer-Verlag, 1993.
Одержано 02.07.13,
пiсля доопрацювання — 19.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2197 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:32Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/91/b6d130f807f5b66024e4a355c1686491.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-21972019-12-05T10:26:14Z Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition Експоненціально збіжний метод для диференціального рівняння першого порядку в банаховому просторі з інтегральною нелокальною умовою Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. For the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in a Banach space, we study the nonlocal problem with integral condition. An exponentially convergent algorithm for the numerical solution of this problem is proposed and justified under the assumption that the operator coefficient A is strongly positive and certain existence and uniqueness conditions are satisfied. The algorithm is based on the representations of operator functions via the Dunford–Cauchy integral along a hyperbola covering the spectrum of A and the quadrature formula containing a small number of resolvents. The efficiency of the proposed algorithm is illustrated by several examples. Для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом в банаховом пространстве рассматривается нелокальная задача с интегральным условием. Построен и обоснован экспоненциально сходящийся алгоритм для численного решения этой задачи в предположении, что операторный коэффициент a сильно позитивный и выполнены условия существования и единственности. Этот алгоритм основан на представлении операторных функций с помощью интеграла Данфорда-Коши по гиперболе, которая охватывает спектр a, и на квадратурной формуле, содержащей небольшое количество резольвент. Эффективность предложенного алгоритма продемонстрирована на нескольких примерах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2197 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 8 (2014); 1029–1040 Український математичний журнал; Том 66 № 8 (2014); 1029–1040 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2197/1395 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2197/1396 Copyright (c) 2014 Vasylyk V. B.; Makarov V. L. |
| spellingShingle | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition |
| title | Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition |
| title_alt | Експоненціально збіжний метод для диференціального рівняння першого порядку в банаховому просторі з інтегральною нелокальною умовою |
| title_full | Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition |
| title_fullStr | Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition |
| title_full_unstemmed | Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition |
| title_short | Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition |
| title_sort | exponentially convergent method for the first-order differential equation in a banach space with integral nonlocal condition |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2197 |
| work_keys_str_mv | AT vasylykvb exponentiallyconvergentmethodforthefirstorderdifferentialequationinabanachspacewithintegralnonlocalcondition AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforthefirstorderdifferentialequationinabanachspacewithintegralnonlocalcondition AT vasilikvb exponentiallyconvergentmethodforthefirstorderdifferentialequationinabanachspacewithintegralnonlocalcondition AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforthefirstorderdifferentialequationinabanachspacewithintegralnonlocalcondition AT vasylykvb eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâdiferencíalʹnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorízíntegralʹnoûnelokalʹnoûumovoû AT makarovvl eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâdiferencíalʹnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorízíntegralʹnoûnelokalʹnoûumovoû AT vasilikvb eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâdiferencíalʹnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorízíntegralʹnoûnelokalʹnoûumovoû AT makarovvl eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâdiferencíalʹnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorízíntegralʹnoûnelokalʹnoûumovoû |