History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine

We present a brief survey of the development of functional analysis in Ukraine and the problems of infinite-dimensional analysis posed and solved for thousands of years, which laid the foundations of this branch of mathematics.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Gorbachuk, M. L., Горбачук, М. Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2199
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860508144764977152
author	Gorbachuk, M. L. Горбачук, М. Л.
author_facet	Gorbachuk, M. L. Горбачук, М. Л.
author_sort	Gorbachuk, M. L.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-12-05T10:26:14Z
description	We present a brief survey of the development of functional analysis in Ukraine and the problems of infinite-dimensional analysis posed and solved for thousands of years, which laid the foundations of this branch of mathematics.
first_indexed	2026-03-24T02:20:33Z
format	Article
fulltext	УДК 517 М. Л. Горбачук (Iн-т математики НАН України, Київ) ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ, ТА ЙОГО РОЗВИТОК В УКРАЇНI* We present a brief survey of the development of functional analysis in Ukraine and the problems of infinite-dimensional analysis posed and solved for thousands of years, which laid the foundations for the initiation of this branch of mathematics. Приведен краткий обзор развития функционального анализа в Украине и тех задач бесконечномерного анализа, которые появлялись и решались в течение тысячелетий, а также послужили животворной силой для возникновения этого раздела математики. Вихiд у свiт (1932 р.) монографiй С. Банаха „Théorie des Operations Linéaries” i М. Стоуна „Linear Transformations in a Hilbert Space and Applications to Analysis” засвiдчив появу одного з основних роздiлiв сучасної математики — нескiнченновимiрного (функцiонального) аналiзу, метою якого стало дослiдження функцiй y = f(x), де, на вiдмiну вiд класичного аналiзу, принаймнi одна з величин x або y змiнюється у нескiнченновимiрному просторi. Проте варто зауважити, що задачi з нескiнченновимiрного аналiзу виникали набагато ранiше i розв’язувались упродовж тисячолiть багатьма математиками. Не перебiльшуючи, можна сказати, що окремi, найвiдомiшi з них, послужили життєдайною силою для розвитку всiєї математичної науки. Часто-густо для свого розв’язання вони потребували виходу за межi iснуючої математики, створюючи новi її напрями. Ми зупинимося лише на задачах, що належать до двох напрямкiв: 1) знаходження екстремалей, за якими здiйснюються реальнi закони нашого буття; 2) встановлення гармонiї мiж неперервним i дискретним у процесi розвитку науки. Крiм того, наведемо короткий огляд розвитку функцiонального аналiзу в Українi. 1. Екстремальнi задачi. Задачi, пов’язанi з вiдшуканням найбiльших i найменших значень величин, розглядались ще античними вченими. Однiєю з найвiдомiших iз них є класична iзопе- риметрична задача. Вона полягає у знаходженнi серед замкнених кривих однакової довжини на площинi тiєї, що охоплює максимальну площу. Подiбну задачу було поставлено i в тривимiрно- му просторi. Про це згадує у своїх коментарях до праць Арiстотеля (IV ст. н. е.) один iз останнiх представникiв афiнської школи Платона Симплiцiй (VI ст. н. е.): „ Доведено ще до Арiстотеля (бо вiн користується цим як вiдомим фактом), а згодом бiльш повно Архiмедом i Зенодором, що серед iзопериметричних фiгур найбiльшу вмiстимiсть має круг, а серед iзопiфанних — куля”. Але самого доведення в античнiй лiтературi не знайдено. Можливо, у такiй постановцi задачi воно й не могло з’явитись. Доведення було здiйснено лише у ХIХ ст. як аналiтичними, так i геометричними методами. Очевидно, що ця задача належить до нескiнченновимiрного аналiзу. З поеми Вергiлiя „Енеїда”, де описуються подiї VIII ст. до н. е., ми також дiзнаємося про екстремальну задачу нескiнченновимiрного аналiзу — задачу Дiдони. Нагадаємо, що античними математиками розв’язано ще багато iнших екстремальних задач, котрi виникали як безпосеред- ньо у самiй математицi, так i в прикладних питаннях, причому кожна з них розв’язувалась своїм оригiнальним методом. Загального методу не iснувало аж до ХVII ст. Найвiрогiднiше, Й. Кеплер був першим, хто у своїй книзi „Нова стереометрiя винних бочок” (1615 р.) заклав * Виконано за пiдтримки спiльного українсько-росiйського проекту НАН України i Росiйського фонду фунда- ментальних дослiджень (проект № 01/01-12). c© М. Л. ГОРБАЧУК, 2014 1058 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1059 першi паростки iнтегрального i диференцiального числення i дав, разом з тим, першi загальнi правила обчислення екстремалей, сформульованi П. Ферма (1629 р.) у виглядi точної теореми для випадку, коли f(x) — многочлен. Згодом I. Ньютон i Г. Лейбнiц розглянули загальний випадок, коли f(x) є функцiєю однiєї змiнної. Надзвичайно велику роль в iсторiї екстремальних задач вiдiграла проблема знаходження кривої найшвидшого спуску, тобто кривої, уздовж якої тiло пiд дiєю сили тяжiння спускається з однiєї точки в iншу за найкоротший промiжок часу (задача про брахiстохрону). Ця задача була запропонована у 1696 р. Й. Бернуллi як виклик тодiшнiм математикам, зокрема старшо- му братовi Я. Бернуллi, якого вiн прилюдно висмiював за некомпетентнiсть у математицi. Її розв’язок було дано самим Й. Бернуллi, а також Г. В. Лейбнiцом, Я. Бернуллi та I. Ньюто- ном. Варто зазначити, що старший Бернуллi перевершив молодшого своєю оригiнальнiстю. При цьому вiн привернув увагу до нiким не помiченого до нього факту, що задача вiдшукання серед усiх кривих, якi проходять через двi заданi точки, тої, що має властивiсть мiнiмальностi або максимальностi, є задачею нового типу i її розв’язання потребує нових методiв. Наприк- лад, множина всiх вписаних у трикутник паралелограмiв або множина всiх вписаних у кулю цилiндрiв залежить вiд одного параметра, а тому знаходження паралелограма, що обмежує най- бiльшу площу, у першому випадку (задача Евклiда) i цилiндра найбiльшого об’єму — у другому (задача Кеплера) зводиться до задачi на екстремум для функцiї однiєї змiнної. В задачi ж про брахiстохрону множина кривих, серед яких шукається екстремальна, є нескiнченновимiрною, i вона зводиться до задачi на екстремум для функцiї нескiнченної кiлькостi змiнних. Саме при розв’язаннi цiєї задачi було зроблено неочiкуваний стрибок у теорiї екстремальних задач — вiд функцiй однiєї змiнної до функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних. Пiсля роботи Й. Бернуллi щодо брахiстохрони виникло чимало iнших подiбних задач. Для кожної з них пiдбирався свiй власний секретний ключ. У зв’язку з цим Й. Бернуллi запропонував своєму учневi Л. Ейлеру знайти загальний пiдхiд до їх розв’язання. У 1744 р. вийшла праця Л. Ейлера „Метод знаходження кривих лiнiй, що мають властивостi максимуму та мiнiмуму, або розв’язок iзопериметричної задачi в найширшому її розумiннi”, в якiй було закладено теоретичнi основи нового роздiлу математики — варiацiйного числення. В цiй роботi уперше було розвинено загальний пiдхiд до розв’язання цiлої низки екстремальних задач iз рiзних роздiлiв природознавства i математики, за допомогою якого цi задачi зводились до вiдшукання максимуму або мiнiмуму функцiонала вигляду F (y) = b∫ a f(x, y(x), y′(x)) dx (1) (f — фiксована функцiя трьох змiнних), заданого на деякому (допустимому) класi функцiй y(x). Було показано, що екстремаль цього функцiонала досягається на функцiї y(x), яка задовольняє диференцiальне рiвняння ∂f ∂y − d dx ( ∂f ∂y′ ) = 0. (2) Розв’язок базувався на iдеї апроксимацiї екстремалi ламаними, уперше використанiй Г. Лейб- нiцом при розв’язаннi задачi про брахiстохрону. Ця iдея застосовувалась ще античними гео- метрами, наприклад, для знаходження площ певних геометричних фiгур. I хоча цей метод геометрично наочний, однак вiн є досить громiздким i не обґрунтований до кiнця ще й понинi. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1060 М. Л. ГОРБАЧУК На той час рiвняння (2) всiх задовольняло, i це можна зрозумiти, якщо врахувати тодiшню неви- значенiсть основних понять математичного аналiзу, в тому числi й поняття збiжностi. Розв’язки деяких екстремальних задач, одержанi ранiше своїми власними способами, пiдтвердили пра- вильнiсть рiвняння (2), адже функцiї, якi доставляли екстремум, його задовольняли. Зауважимо, що застосування методу Ейлера до знаходження екстремалей функцiонала (1) у випадку, коли y(x) залежить вiд багатьох змiнних, фактично ставало неможливим у рамках математичного аналiзу тих часiв. У 1755 р. Л. Ейлер отримав листа вiд 19-рiчного Ж. Лагранжа, в якому останнiй пропонував аналiтичний пiдхiд до отримання рiвняння (2). Вiн увiв у вираз (1) малий параметр ε, тобто розглядав функцiю F̂ (ε) = F (y(x) + εη(x)), де y(x) — екстремаль функцiонала (1), а η(x) — довiльна фiксована допустима функцiя, яка при ε = 0 досягає свого екстремального значення, а отже, dF̂ (ε) dε = b∫ a ( ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′ ) η(x) dx = 0. (3) Беручи до уваги, що η(x) перебiгає достатньо великий запас функцiй, iз (3) одержується (2). Лист Ж. Лагранжа, де так просто i генiально виведено рiвняння (2), викликав у Л. Ейлера ще бiльший потяг до дослiдження екстремальних задач. Однак вiн не поспiшав з публiкацiєю своїх нових результатiв i чекав доки той повнiстю не опублiкує свої здобутки, аби не вiдiбрати слави, на яку так заслуговував молодий Ж. Лагранж. I лише по тому, як у 1761 – 1762 рр. в „Туринських записках” був надрукований мемуар Ж. Лагранжа, Л. Ейлер опублiкував свої результати з такою передмовою: „Пiсля того, як я довго й безплiдно працював над розв’язанням цього питання, я iз задоволенням побачив, що в „Туринських записках” задачу розв’язано настiльки ж легко, як i щасливо. Це прекрасне вiдкриття викликало у мене таке велике захоплення, бо воно значно вiдрiзняється вiд розроблених мною методiв i значно перевершує їх за простотою”. У другому томi „Туринських записок” також мiститься стаття Ж. Лагранжа „Застосування методу, викладеного у попередньому мемуарi, до розв’язування рiзних задач динамiки”, в якiй iз використанням розробленої ним технiки варiацiйного числення розв’язано чимало задач динамiки, зокрема гiдродинамiки. За висловленням Ж. Фур’є, „вiн (Лагранж) зводить всi закони рiвноваги й руху до одного принципу i пiдпорядковує їх одному й тому ж методу, винахiдником якого вiн сам є”. Так фактично, за допомогою варiацiйного числення, Ж. Лагранж написав одну iз своїх основних книг „Аналiтична механiка” (1788 р.), в якiй унiфiкував механiку i, як сказав В. Гамiльтон, „створив свого роду наукову поему”. Варто зазначити, що запропонований там метод побудови механiки став унiверсальним методом, основним орiєнтиром при побудовi нових роздiлiв науки, якi вийшли далеко за межi самої механiки. Так, книга Ж. Лагранжа стала взiрцем для Д. Максвелла при створеннi ним аналiтичної теорiї електрики. Метод Лагранжа може бути застосований до обрахунку руху небесних тiл, обґрунтування руху електронiв у атомi, а також багаточисельних задач технiки. Особливо ефективним засобом експансiї iдей Ж. Лагранжа за межi механiки став принцип найменшої дiї. За висловом М. Планка, „всi зворотнi процеси, чи то механiчнi або електродинамiчнi, чи то термiчного характеру — усi пiдкоряються одному й тому ж принципу — принципу найменшої дiї”. Подальшi працi А. Лежандра, К. Якобi, К. Вейєрштрасса, Г. Дарбу та iн. поповнили варiа- цiйне числення новими результатами i розширили сферу його застосувань не лише у класичнiй ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1061 механiцi. Вагомий внесок у розвиток цiєї галузi зробив М. Остроградський своєю фундамен- тальною працею „Мемуар про обчислення варiацiї кратних iнтегралiв”, представленою Петер- бурзькiй академiї у 1834 р., яка вiдразу опинилася в центрi уваги математикiв. У 1836 р. її було перевидано вiдомим журналом Крелля „Journal für reine und аngewandte Mathematik”, а її англiйський переклад повнiстю увiйшов до „Iсторiї варiацiйного числення упродовж XIX столiття” Тотгентера (1861 р.). Саме там було викладено результати, основоположнi для iнте- грального числення функцiй багатьох змiнних. Вони вже давно стали класичними i ще й понинi є одним iз основних робочих iнструментiв в теорiї рiвнянь з частинними похiдними. Насампе- ред це стосується формули iнтегрування частинами у випадку довiльної кратностi iнтеграла, правила розмiщення меж iнтегрування по кожнiй змiннiй при переходi вiд кратного iнтеграла до повторного, способу знаходження похiдної по параметру вiд багатовимiрного об’ємного iн- теграла зi змiнною межею iнтегрування, яка разом з пiдiнтегральною функцiєю залежить вiд цього параметра. Одночасно з К. Якобi в мемуарi вперше було введено функцiональнi визнач- ники (якобiани). Розробленi М. Остроградським основи iнтегрального числення дали йому змогу остаточно розв’язати проблему обчислення варiацiї n-кратного iнтеграла зi змiнними межами iнтегрування (у випадку n = 2 розв’язана Л. Ейлером i С. Пуассоном, а при n = 3 — Ж. Лагранжем). Нагадаємо також, що основнi працi Г. Вороного з теорiї чисел пов’язанi з вiдшуканням мiнiмуму квадратичних форм, незалежнi змiннi яких перебiгають певну множину цiлих чисел. Таким чином, у другiй половинi XIX ст. варiацiйне числення — це роздiл математики, украй наповнений рiзноманiтними, але не завжди строго обґрунтованими результатами i методами. Взагалi кажучи, важко знайти якийсь iнший роздiл науки, iсторiя якого знає стiльки помилок, скiльки їх було зроблено у варiацiйному численнi. Так, достатнi умови екстремуму у А. Лежанд- ра та Ж. Лагранжа виявились помилковими. В цьому й полягають причини глибоких трiщин, яких зазнав у кiнцi XIX ст. зазначений роздiл, особливо в тих його мiсцях, котрi стосуються застосувань до питань iснування розв’язкiв основних крайових задач для рiвнянь математич- ної фiзики. Найгучнiший резонанс викликали роботи Б. Рiмана з теорiї функцiй комплексної змiнної, а якщо сказати точнiше, то вони спричинили глибоку кризу тривалiстю близько 50-ти рокiв. На нiй ми i зупинимось бiльш детально. У своїй докторськiй дисертацiї „Основи теорiї функцiй комплексної змiнної” (1851 р.) Б. Рiман показав, що в однозв’язнiй областi D є одна i тiльки одна неперервна аж до межi функцiя u iз заданим граничним значенням f, яка всерединi областi задовольняє рiвняння Лапласа (гармонiчна функцiя). В процесi доведення було використано варiацiйний принцип, а саме, розглядався iнтеграл ∫ D (( ∂u ∂x )2 + ( ∂u ∂y )2 ) dxdy, (4) де на функцiю u накладались такi умови: 1) u є неперервною в D i набуває на межi D значен- ня f ; 2) iнтеграл (4) iснує (u — допустима функцiя). Оскiльки для таких функцiй зазначений iнтеграл є невiд’ємним, то iснує нижня межа його значень. Б. Рiман вважав, що ця нижня межа досягається на деякiй допустимiй функцiї ũ(x, y), яка i є гармонiчною. У подальшому вiн активно користувався цим методом, названим ним принципом Дiрiхле: „Допустима функцiя є гармонiчною тодi i тiльки тодi, коли вона реалiзує мiнiмум iнтеграла (4)”. З цим принципом Б. Рiман ознайомився на лекцiях П. Дiрiхле, хоча вiн був вiдомий ще К. Гауссу, Д. Грiну, В. Том- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1062 М. Л. ГОРБАЧУК сону (лорду Кельвiну), котрi застосовували його при розв’язаннi конкретних фiзичних задач. Варто зауважити, що принцип Дiрiхле приховує небезпечнi пiдводнi каменi, якi не так вже й просто вiдразу помiтити. Адже на вiдмiну вiд скiнченновимiрного випадку мiнiмум функцiона- ла (неперервної функцiї), заданого на обмеженiй замкненiй множинi у нескiнченновимiрному просторi, не завжди досягається. Але Б. Рiман i далi використовував цей принцип. Особливо це стосується його мемуару „Теорiя абелевих функцiй” (1857 р.), де продовжується тема його дисертацiї. Робота ця мiстить так багато нових блискучих i непередбачуваних iдей, що була сприйнята математиками тих часiв як справжнє „одкровення”. Так, К. Вейєрштрасс — головний конкурент Б. Рiмана в теорiї абелевих функцiй — був настiльки приголомшений її результатами, що забрав свою роботу, присвячену теорiї абелевих функцiй, подану в Берлiнську академiю у 1857 р. Упродовж кiлькох рокiв мемуар Б. Рiмана котирувався як один iз найзначнiших внескiв у математику. Проте невдовзi К. Вейєрштрасс вказав на серйознi прогалини в ньому, якi по- ставили пiд загрозу основнi результати Б. Рiмана. Вiн на прикладах показав, що з варiацiйного принципу ще не можна у загальнiй ситуацiї зробити висновок про iснування екстремалi. Цей факт вимагав спецiального доведення, а Б. Рiман його не надав. Особисто ж Б. Рiман дотриму- вався iншої думки. Вiн цiлком визнавав законнiсть i справедливiсть критики К. Вейєрштрасса, проте скористався принципом Дiрiхле як зручним iнструментом, що виявився пiд руками. Вiн вважав також, що його теорема про iснування алгебраїчної функцiї на рiмановiй поверхнi все ж таки є правильною. К. Вейєрштрасс також був упевнений в цьому i тому запропонував своєму учневi Г. Шварцу знайти iнше доведення. Критика К. Вейєрштрасса пiдiрвала довiру до варiацiйного числення майже на 50 рокiв. Необхiднiсть строгого обґрунтування одержаних вже результатiв щодо розв’язностi задачi Дiрiхле спричинила потяг багатьох тогочасних ма- тематикiв до пошуку i розробки нових пiдходiв до розв’язання крайових задач математичної фiзики. Першим порiвняно строгим методом розв’язування задачi Дiрiхле був метод К. Неймана арифметичних середнiх (60-тi рр. ХIХ ст.), завдяки якому ця задача була розв’язана для опуклих областей. До того самого часу вiдноситься i розвинений Г. Шварцом „альтернувальний метод”, який дозволяє шляхом послiдовного розв’язування задачi Дiрiхле для кожної з двох областей знайти її розв’язок i для їх суми. У 1877 р. А. Пуанкаре запропонував „метод вимiтання”, за допомогою якого йому вдалося розв’язати задачу Дiрiхле для досить широкого класу областей. Працi К. Неймана, Г. Робена та А. Пуанкаре пiдготували ґрунт для створення методу граничних iнтегральних рiвнянь, засто- сованого невдовзi до крайових задач для рiвняння Лапласа. Поява теорiї iнтегральних рiвнянь Фредгольма (1900 р.) значно прискорила його розвиток (Ш. Валле Пуссен, О. Гельдер, Т. Кар- леман, А. Ляпунов, В. Стєклов) i посприяла вiдкриттю доволi ефективного, а iнколи й єдино можливого методу чисельного розв’язання задач математичної фiзики для областей складної форми. Отже, на межi ХIХ та ХХ столiть теорiя крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними досягла неабиякого успiху. Важко знайти приклад в iсторiї математики ХIХ ст., ко- ли б боротьба за строгiсть доведення приводила до таких плiдних творчих результатiв. Що ж стосується фiзикiв, то для них роботи Б. Рiмана були цiлком переконливими. Г. Гельмгольц дивувався, якi ж такi складностi могли вiдшукати у Б. Рiмана спецiалiсти-математики? Для нього виклад Б. Рiмана був винятково зрозумiлим. А як вiдбувались подiї, пов’язанi з принципом Дiрiхле? Iдея, котра так приваблювала бага- тьох учених, довго чекала на своє втiлення в життя. Нарештi, Ч. Арцела (1896 р.) i Д. Гiльберт (1897 р.) незалежно один вiд одного обґрунтували варiацiйний принцип розв’язання задачi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1063 Дiрiхле, базуючись на побудовi компактних мiнiмiзуючих послiдовностей. Щоправда, як за- уважив Ж. Адамар, iстотний недолiк їхнього обґрунтування полягав у вiдсутностi доведення iснування принаймнi однiєї допустимої функцiї. I Д. Гiльберт добре це усвiдомлював, а тому через 6 рокiв повернувся до принципу Дiрiхле i дав його нове доведення. Варто зазначити, що роботи Д. Гiльберта з варiацiйного числення належать до його найглибших i найвидатнiших результатiв. Доведення iснування допустимої функцiї було не тiльки значно спрощено, але й узагальнено зусиллями багатьох математикiв, пiсля чого набуло конструктивного характеру. Так, В. Рiтц у 1908 р. розвинув зручний для застосувань наближений метод розв’язання варi- ацiйних задач (метод Рiтца) i обґрунтував можливiсть його застосування до конкретних задач математичної фiзики, викликавши тим самим пiдвищений iнтерес представникiв прикладних наук. Як приклад наведемо висловлювання С. Тимошенка з його монографiї „Iсторiя науки опору матерiалiв”: „Найiмовiрнiше, жоден iнший математичний метод не спромiгся так ши- роко розгорнути науковi дослiдження з опору матерiалiв i теорiї пружностi, як цей метод”. Зауважимо також, що метод Рiтца вiдiграв важливу роль у розвитку прямих методiв розв’язу- вання варiацiйних задач i заклав фундамент для багатьох дослiджень у математичному аналiзi, математичнiй фiзицi, механiцi. Активну участь у цих дослiдженнях взяли українськi математи- ки М. Крилов, М. Боголюбов, М. Кравчук, Н. Польський, А. Мартинюк, В. Петришин, А. Лучка та iн. Вiдмiтимо також виникнення у зв’язку з принципом Дiрiхле нового роздiлу в теорiї кра- йових задач для диференцiальних рiвнянь. Як видно з викладеного вище, вихiдним пунктом доведення цього принципу було твердження про можливiсть продовження граничної функцiї на всю область так, щоб iнтеграл Дiрiхле (4) для продовження збiгався. Постає питання: а чи будь- яка неперервна функцiя має цю властивiсть? У 1906 р. Ж. Адамар дав негативну вiдповiдь на це питання. Вiн навiв приклад функцiї, гармонiчної всерединi одиничного круга i неперервної на його замиканнi, для якої iнтеграл (4) дорiвнює нескiнченностi. Вiдомо, що задачу Дiрiхле для неперервної на колi функцiї розв’язав ще С. Пуассон, проте не завжди можна довести iснування цього розв’язку за допомогою принципу Дiрiхле. Iнший приклад був наведений Ф. Прiмом у 1871 р., але помiчений математиками лише в 1978 р. Виявилось, що збiжнiсть iнтеграла Дiрiх- ле накладає певну умову на поведiнку функцiї на межi. Цей факт був усвiдомлений повнiстю тiльки в 50 – 60-х рр. ХХ ст., коли були введенi простори функцiй з „дробовою гладкiстю”, без яких неможливо уявити сучасну теорiю крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними. Отже, в кiнцi ХIХ ст. варiацiйне числення мiстило рiзноманiтнi результати i методи, але основний його недолiк полягав у тому, що велика будiвля не мала мiцного фундаменту. При до- веденнi багатьох тверджень використовувався (часто-густо на вiру) апарат скiнченновимiрного аналiзу, в той час як самi задачi формулювались в сенсi аналiзу функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних, якого тодi ще не було. У цьому й криється причина трiщин, яких зазнало варiацiйне числення того перiоду, особливо там, де справа торкалась застосувань до математичної фiзики. Усе це призвело до глибокої кризи в математицi кiнця ХIХ — початку ХХ ст., подолання якої спричинило необхiднiсть розробки основ нескiнченновимiрного аналiзу. 2. Спiввiдношення мiж дискретним i неперервним. Iз найдавнiших часiв розвиток при- родничих наук i математики вiдбувався пiд впливом, з одного боку, двох протилежних, а з iншого — тiсно взаємопов’язаних тенденцiй, суть яких можна коротко охарактеризувати за до- помогою двох понять — дискретне i неперервне. Дискретне намагається описати природу i математику атомiстично, в термiнах iндивiдуально рiзних елементiв i цiлих чисел. Неперерв- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1064 М. Л. ГОРБАЧУК не ж прагне осягнути такi явища, як рух, бо, як сказав Гераклiт, „все тече”. Головна задача математики — встановити гармонiю мiж цими поняттями i виключити незрозумiлостi з обох. Першою науковою школою, яка запропонувала дискретний варiант „математичного плану” побудови Всесвiту, була школа пiфагорiйцiв. Основна теза їхнього вчення мiстилась у гаслi: „Всi речi — числа, i вони присутнi в усiх дiяннях i подумках людей, в усiх ремеслах i музицi”. З’ясувавши, що висота тону, виданого струною, залежить вiд її довжини i гармонiйне звучання дають однаково натягнутi струни, довжини яких вiдносяться як цiлi числа, пiфагорiйцi звели музику до простих вiдношень цiлих чисел i розробили знамениту музичну шкалу. Рух планет був так само зведений ними до числових вiдношень. Цей дискретний пiдхiд продовжив заснов- ник атомiстичного вчення Демокрiт: замiсть цiлих чисел у нього фiгурували геометричнi атоми. Але дискретний пiдхiд пiфагорiйцiв не дав змоги розв’язати чимало важливих математичних проблем, таких як, наприклад, проблема знаходження коренiв рiвнянь або сумiрностi вiдрiзкiв, спричинивши тим самим застiй у математицi того часу. Вихiд був запропонований Евдоксом, котрий побудував теорiю сумiрних (дiйсних) чисел, надавши їй геометричну iнтерпретацiю. В результатi вся математика, за винятком теорiї чисел, перетворилась на геометрiю, яка одно- часно давала пояснення як дискретним, так i неперервним процесам. Проте, як ще й понинi, грецькi вченi подiлились на двi непримиреннi групи. Основна з них пiшла шляхом Евдокса i не визнавала праць анi Демокрiта, анi його прихильникiв — навiть вилучила їх iз бiблiотек. I тiльки Архiмед зрозумiв важливiсть обох пiдходiв для розв’язання рiзних задач математики i природознавства. Особливо великi суперечки розгорнулись у ХVII ст. мiж математиками i фiзиками щодо розповсюдження свiтла. Неперервний (хвильовий) пiдхiд був розвинутий Х. Гюйгенсом i Р. Гу- ком. Але на той час їхня теорiя ще не могла пояснити прямолiнiйнiсть розповсюдження свiтла. I тодi I. Ньютон висунув свою (корпускулярну) теорiю, не заперечуючи при цьому хвильової, i користувався нею при з’ясуваннi багатьох явищ, що виникають в теорiї свiтла. Фактично, так само, як i свого часу Архiмед, вiн визнавав дуалiзм цих пiдходiв. Пiсля I. Ньютона погляди на природу свiтла постiйно змiнювались аж до початку ХХ ст. Так, у ХVII ст. Л. Ейлер захищав хвильову теорiю, а П. Лаплас — корпускулярну. На початку ХХ ст. дуалiзм Ньютона був пiд- тверджений у певному сенсi квантовою хвильовою механiкою. Математичне ж обґрунтування йому могла дати теорiя розвинення функцiй у степеневi ряди, яку так широко застосовував I. Ньютон i на основi якої отримав цiлу низку нових важливих результатiв; за висловленням Г. Лейбнiца „цi здобутки перевищували все, що було зроблено в математицi до нього”. На преве- ликий жаль, тодiшня математика не була спроможною пiдтвердити або заперечити можливiсть такого розвинення — це стало можливим значно пiзнiше. Серйозна дискусiя щодо зображення функцiй рядами (тригонометричними) розпочалась у серединi XVIII ст. i тривала до початку ХХ. В нiй взяли участь видатнi математики того часу. Важко переоцiнити її вплив на розвиток як класичного математичного, так i функцiонального аналiзу. На нiй ми коротко й зупинимось. Iдея розвинення довiльної функцiї в тригонометричний ряд виникла у зв’язку зi спробами описати розв’язки рiвняння коливання струни ∂2u(x, t) ∂t2 = a2 ∂2u(x, t) ∂x2 , t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l <∞. (5) За це завдання взялися такi визначнi математики, як Ж. Даламбер, Л. Ейлер, Д. Бернуллi. Ж. Даламбер (1749 р.) i Л. Ейлер (1749 р.) методом характеристик показали, що загальний розв’язок рiвняння (5) можна подати у виглядi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1065 u(x, t) = ϕ(x+ at) + ψ(x− at), де ϕ i ψ — функцiї, що задовольняють деякi умови гладкостi; вони визначаються заданням крайових i початкових умов. Виходячи з дослiджень Б. Тейлора (1713 р.) та власних спостере- жень, Д. Бернуллi (1753 р.) дiйшов висновку, що закрiплена в точках 0 i l струна коливається за законом u(x, t) = ∞∑ n=0 an sin nπ l x cos nπa l (t− βn). (6) Отже, саме формула (6) дає загальний вигляд розв’язку рiвняння (5), що задовольняє умову u(0, t) = u(l, t) = 0. (7) Оскiльки початкова форма струни (t = 0) може задаватися будь-якою функцiєю f(x) : f(0) = = f(l) = 0, то зображення (6) обумовлює розклад f(x) = ∞∑ n=1 bn sin nπ l x, x ∈ [0, l], (8) для довiльної функцiї f(x) iз зазначеною властивiстю. Заперечення останнього факту Ж. Далам- бером i Л. Ейлером (хоча кожен з них розумiв функцiю по-своєму) i вiдсутнiсть у Д. Бернуллi формул для обчислення коефiцiєнтiв bn в (8) призвели до повного забуття цього генiального вiдкриття на бiльш нiж 50 рокiв. Д. Бернуллi ж був глибоко переконаний, що запропонований ним спосiб розв’язання задачi (5), (7) через розклад (6), вiдомий нинi як принцип суперпозицiї хвиль, є природнiшим i простiшим, нiж метод Ейлера i Даламбера. В одному з листiв вiн писав з цього приводу: „Не для таких абстрактних питань моя теорiя може бути корисною. Я бiльше дивуюся скарбовi, що був прихований, а саме, можливостi звести iснуючi в природi i, як нам здається, не пiдпорядкованi жодному законовi рухи до простих iзохронних, якими природа користується в бiльшостi своїх дiй.” Зауважимо, що згаданий вище метод Даламбера – Ейлера вiдшукання розв’язку (5), що задовольняє задану початкову умову, давав розв’язок задачi в замкненiй у певному розумiннi формi, проте коло задач, до яких цей метод застосовний, є досить обмеженим. Тому Д. Бернуллi мав рацiю, коли пiдкреслював широкi можливостi застосування свого пiдходу. Це пiдтвердилось значно пiзнiше, через 50 рокiв, коли в 1807 р. Ж. Фур’є перевiдкрив принцип суперпозицiї хвиль i подав до Паризької академiї наук статтю про поширення тепла всерединi твердого тiла. Стрижнем роботи Ж. Фур’є є твердження про можливiсть зображення довiльної (графiчно заданої) функцiї f(x) на [−π, π] у виглядi f(x) = ∞∑ k=0 (ak cos kx+ bk sin kx), (9) де коефiцiєнти ak i bk ряду визначаються формулами ak = 1 π π∫ −π f(x) cos kx dx, bk = 1 π π∫ −π f(x) sin kx dx. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1066 М. Л. ГОРБАЧУК Як приклад було розглянуто функцiю f(x) — ординату ламаної вiд абсциси x — i описано ряд, який для кожного x давав значення f(x). За свiдченням Б. Рiмана (див. Б. Риман, Сочинения. – Москва; Ленинград, 1948. – 230 с.), для маститого Ж. Лагранжа це було настiльки несподiва- ним, що вiн вiдразу ж виступив з рiзким запереченням цього факту. Адже вiн сам довго думав над обґрунтуванням зображення (8). I хоча йому не поталанило в цьому питаннi, в 1779 р. вiн уперше висунув iдею апроксимацiї розв’язку лiнiйного рiвняння з частинними похiдними розв’язками скiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, замiнюючи неперервний роз- подiл мас у струнi скiнченною множиною матерiальних точок (так званий метод скiнченних рiзниць). Незважаючи на критику з боку першого математика Францiї (Ж. Лагранжа), робота Ж. Фур’є справила вражаючий ефект на весь математичний свiт. Паризька академiя з цього приводу ого- лосила математичне обґрунтування теорiї поширення тепла темою, гiдною великої премiї 1812 року в галузi математики. В кiнцi 1811 р. Ж. Фур’є подав на здобуття цiєї премiї свiй „Memoire sur la propagation de la chaleur”. Пiсля обговорення роботи поважними математиками (Ж. Лаг- ранжем, П. Лапласом, А. Лежандром та iн.) його було удостоєно великої нагороди. I хоча сама робота була опублiкована лише в 1826 р., всi її результати увiйшли в його класичну монографiю „Theorie analytique de la chaleur” 1822 р. Ця книга вiдiграла надзвичайно велику роль не лише в математичнiй фiзицi. Вона поставила на порядок денний низку нових кардинальних проблем у самiй математицi, якi виходили далеко за її тодiшнi рамки, оскiльки зображення (9) означає на математичнiй мовi не що iнше, як можливiсть спiвiснування хвильової i корпускулярної теорiй свiтла, так само, як i iнших наукових теорiй в одночаснiй неперервнiй i дискретнiй їх iнтерпретацiї. Услiд за Ж. Фур’є П. Лаплас i С. Пуассон розглянули задачi поширення тепла в сферi та цилiндрi, що привело їх до розвинення довiльної функцiї в ряд за сферичними та, вiдповiдно, цилiндричними функцiями (ортогональнiсть перших встановив П. Лаплас, а других — С. Пуассон). Розвинення функцiй в тригонометричнi ряди було однiєю з центральних проблем математи- ки XIX столiття. Воно спричинило виникнення таких важливих її понять, як функцiя, множи- на, iнтеграл, мiра, функцiональний простiр, рiзноманiтнi види збiжностi функцiональних рядiв тощо. Важко назвати математика першої половини цього столiття, спецiалiста в галузi матема- тичного аналiзу або математичної фiзики, роботи якого не були б пов’язанi з цiєю проблемою. Серед великої кiлькостi таких робiт 20 – 30-х рокiв насамперед слiд вiдзначити працi П. Дiрiхле та М. Остроградського. Вони виходили в свiт майже одночасно. Якщо П. Дiрiхле для кусково- неперервних функцiй на сегментi [0, 2π] зi скiнченною кiлькiстю максимумiв i мiнiмумiв на цьому промiжку дав у них уперше строге доведення зображення (9) у розумiннi поточкової збiжностi ряду, то М. Остроградський у своїй працi „Замiтки до теорiї тепла”, виданiй Пе- тербурзькою академiєю наук (1828 р.), розглядав задачу про розклад за власними функцiями оператора L, породженого виразом Лапласа ( ∆ = ∑3 i=1 ∂2 ∂x2i ) в довiльнiй обмеженiй областi G ⊂ R3 та третьою крайовою умовою на границi ∂G, тобто задачу ∆u(x) + λu(x) = 0, x ∈ G, ∂u(x) ∂n + h(x)u(x) = 0, x ∈ ∂G. Принциповим моментом роботи є висунута в нiй гiпотеза про iснування нетривiального розв’яз- ку ui(x) цiєї задачi лише для дискретної множини {λi}∞i=1 параметра λ i можливiсть зображення ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1067 довiльної функцiї f(x) у виглядi ряду f(x) = ∞∑ i=1 ui(x) ∫ G f(x)ui(x) dx∫ G u2i (x) dx , який завжди збiгається всерединi областi. Так, вiн пише, що довести це дуже важко, але довести можна. Зазначимо, що дискретнiсть множини власних значень наведеної задачi була доведена А. Пу- анкаре лише в 1894 р. Що стосується збiжностi ряду, то її доведення було здiйснене в ХХ сто- лiттi. Сам же М. Остроградський намагався довести цей факт в одновимiрному випадку, а саме, обґрунтувати зображення перiодичної функцiї f(x) у виглядi тригонометричного ряду. I якщо результати П. Дiрiхле щодо зображення функцiй тригонометричними рядами стали класични- ми, а їх зразковий виклад мiститься у майже кожному пiдручнику з математичного аналiзу, то названа вище праця М. Остроградського була програмою розвитку цiєї науки упродовж двох столiть. Не маючи можливостi докладно розглянути подальшi дослiдження з проблем зображення функцiй тригонометричними рядами математикiв XIX ст. (С. Пуассона, О. Кошi, Е. Дiрксена, М. Лобачевського, Ф. Бесселя, Д. Стокса, Р. Лiпшиця, А. Гарнака, К. Жордана та iн.), котрi свої- ми працями внесли iстотний вклад у математичний аналiз, зупинимося коротко лише на деяких результатах Г. Рiмана, що стосуються зазначеної тематики i склали цiлу епоху в розвитку цього роздiлу. Цi результати були поданi ним у 1853 р. фiлософському факультетовi Геттiнгенського унiверситету як habilitationsсhrift на право читати лекцiї, але опублiкованi в 1866 р., вже по його смертi. Вони мiстять багато нових фактiв, що вiдносяться до чистого аналiзу, а з iншого боку, в них значно розширюється сфера застосувань тригонометричних рядiв. На вiдмiну вiд попередникiв, якi шукали умови на функцiю, достатнi для того, щоб її можна було зобразити рядом Фур’є, Г. Рiман поставив перед собою задачу вивчення властивостей функцiй, зобра- жених тригонометричним рядом з прямуючими до нуля коефiцiєнтами, а також знаходження необхiдних i достатнiх умов для того, щоб функцiю можна було розкласти в такий ряд. Цi умо- ви Г. Рiман формулює в термiнах функцiї F (x), одержаної формальним почленним двократним iнтегруванням вихiдного ряду. Iдея його доведення згодом послужила базисом при побудовi теорiї узагальнених функцiй. Варто зауважити, що в той час тiльки розпочинались серйознi дослiдження з основ аналiзу (теорiй iнтегрування i збiжностi), а такого, наприклад, поняття, як рiвномiрна збiжнiсть, взагалi не iснувало. Г. Рiман практично склав програму розвитку матема- тичного аналiзу на 50 рокiв. Як i в роботах з теорiї функцiй, вiн пропонує розглядати не кожну окремо взяту функцiю, а клас функцiй — функцiональний простiр, що виникає при розв’язаннi конкретних задач певного типу. У 1829 р. П. Дiрiхле висловив переконання, що будь-яку неперервну перiодичну функцiю можна зобразити поточково збiжним тригонометричним рядом. Над доведенням цього твер- дження працювало чимало математикiв, у тому числi й Г. Рiман. Проте в 1873 р. Дюбуа Реймон побудував приклад такої функцiї, ряд Фур’є якої розбiгається в заданiй точцi. Це був один iз найвизначнiших i найнеочiкуванiших результатiв, що призупинив у деякiй мiрi впритул до по- чатку XX ст. потяг до розвинення функцiй у тригонометричнi ряди. I лише Л. Фейєр у роботах 1900 – 1904 рр. знову привернув увагу математикiв до тригонометричних рядiв Фур’є, пока- завши, що кожна неперервна 2π-перiодична функцiя може бути представлена як рiвномiрна ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1068 М. Л. ГОРБАЧУК границя середнiх арифметичних частинних сум її ряду Фур’є. До Л. Фейєра фраза „функцiя зображується рядом” мала на увазi поточкову збiжнiсть ряду до цiєї функцiї. Л. Фейєр вiдкинув цю майже 100-рiчну традицiю i слову „зображується” надав дещо ширшого сенсу, пiсля чого вiдкрились новi перспективи розвитку теорiї збiжностi тригонометричних рядiв та її застосу- вань. I тут вирiшальну роль вiдiграла теорiя iнтеграла Лебега, завдяки якiй стало можливим ввести простори Lp(0, 2π), 1 ≤ p ≤ ∞, довести їх повноту i встановити за допомогою зо- браження (9) iзометричний iзоморфiзм мiж L2(0, 2π) та l2. Збiжнiсть ряду (9) вже розумiється в сенсi метрики простору L2(0, 2π). Усвiдомлення того факту, що формула (9) є не що iнше, як аналог розкладу вектора з простору R3 за ортонормованим базисом, в якому роль векто- ра вiдiграє функцiя з L2(0, 2π), роль ортонормованого базису вiдiграють функцiї 1√ 2π eikx, k = 0,±1,±2, . . . , а рiвнiсть Парсеваля — це теорема Пiфагора, i строга математична аргумен- тацiя його мали епохальне значення для подальшого розвитку всього природознавства. Адже пiсля цього стає зрозумiлим, що кожна фiзична теорiя може мати одночасно двi версiї — непе- рервну i дискретну. Тим самим було усунено ряд суперечностей у фiзичних теорiях, висвiтле- них лише в одному варiантi (хвильова або корпускулярна теорiя свiтла, хвильова або матрична квантова механiка i т. iн.). Що ж до самої математики, то вона отримала серйозний поштовх для з’ясування низки аналогiй мiж рiзними роздiлами класичного аналiзу, геометрiї i алгебри, таких, наприклад, як лiнiйнi диференцiальнi оператори в аналiзi i многочлени в алгебрi, теорiя iнтегральних рiвнянь (Фредгольма, Гiльберта) i теорiя лiнiйних систем алгебраїчних рiвнянь, розклад за власними функцiями диференцiальних операторiв i зведення поверхонь другого по- рядку до канонiчної форми. Враховуючи цi аналогiї, математики почали створювати загальнi концепцiї, якi дозволили б охопити з єдиної точки зору паралельнi побудови в рiзних областях науки i виявити iстотнi розбiжностi, iснуючi мiж аналiзами функцiй скiнченної i нескiнченної кiлькостi змiнних. У математичних центрах Європи у зв’язку з цим виникають математичнi семiнари, якi поставили собi за мету створити галузь математики, здатну дати загальний пiд- хiд до рiзноманiтних проблем класичної математики на основi нескiнченновимiрного аналiзу. До математикiв приєднались i фiзики з їхньою далекосяжною iнтуїцiєю, смiливiстю, передба- ченням. Коли механiки або фiзики того перiоду при вивченнi якихось явищ використовували лiнiйнi диференцiальнi рiвняння, вони були глибоко переконанi, що насправдi рiвняння мають бути нелiнiйними, а їхнi дослiдження є дослiдженнями лише в першому наближеннi. I раптом нова квантова механiка заявила про природну закономiрнiсть лiнiйностi операторiв, що дiють у нескiнченновимiрному просторi i описують явища мiкросвiту, а отже, настав час для фор- мування нового роздiлу математики, а саме, функцiонального аналiзу. Виняткова роль у його створеннi й подальшому розвитку належить математикам, котрi працювали на теренах України. 3. Розвиток нескiнченновимiрного аналiзу в Українi. У 1922 р. до Львiвського унiвер- ситету запрошують С. Банаха, неординарного вченого, лекторський талант i манера поведiнки (простота, доступнiсть) якого привернули до нього багато здiбної молодi. Завдяки С. Банаху i його учителю Г. Штейнгаузу у Львовi сформувався вiдомий всьому математичному загалу колектив — Львiвська математична школа, головною метою якої був розвиток основ теорiї функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних. С. Банах i Г. Штейнгауз заснували журнал „Studia Mathematica”, завдання якого полягало в публiкацiї дослiджень у цьому напрямi. Це дало змогу львiвським математикам пропагувати свої здобутки в галузi функцiонального аналiзу та його застосувань. Серед представникiв Львiвської школи окрiм Банаха слiд згадати Ю. Шаудера, а також учнiв Банаха В. Орлiча, С. Мазура та С. Улама. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1069 Внесок С. Банаха та його школи у створення i розвиток функцiонального аналiзу не можна назвати iнакше, як фундаментальний. Тут, насамперед, варто вiдзначити три основнi принци- пи сучасного аналiзу: продовження лiнiйного функцiонала, рiвномiрної збiжностi та вiдкритих вiдображень (теорема Банаха про обернений оператор). На них, як на фундаментi, тримається сьогоднi весь функцiональний аналiз. Вони є невiд’ємною частиною будь-якого пiдручника з цього предмета. Введенi С. Банахом в усiй їх загальностi поняття спряженого простору i спряженого оператора, а також i його теорiя двоїстостi в категорiї лiнiйних просторiв — неза- мiннi iнструменти при побудовi таких, наприклад, роздiлiв, як теорiя узагальнених функцiй або гармонiчний аналiз. Книга С. Банаха „Теорiя лiнiйних операцiй”, видана польською (1931 р.), французькою (1932 р.), українською (1948 р.), англiйською (1987 р.) та росiйською (2001 р.) мовами, в якiй функцiональний аналiз уперше постав як окрема красива дисциплiна з її рiзно- манiтними застосуваннями, увiйшла в математичну класику, ставши невичерпним джерелом нових математичних iдей. Вона дуже швидко завоювала численних прихильникiв зазначеного нового напряму в усьому свiтi i вiдiграла велику роль у створеннi знаменитих шкiл з функ- цiонального аналiзу в СРСР, США та iнших країнах. Її вплив пiдсилювався ще й тим, що термiнологiя Банаха i позначення вiдразу стали повсюдно визнаними i загальновживаними. Великих успiхiв досягла школа С. Банаха i в розвитку нелiнiйного аналiзу. Тут, насамперед, варто згадати основоположнi результати С. Банаха та Ю. Шаудера щодо принципу нерухомої точки та його застосувань до нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, а також щодо полiномiаль- них симетричних операторiв. Першi значнi результати з функцiонального аналiзу у Києвi одержали в 1935 – 1937 рр. М. Боголюбов i М. Крилов. Вони стосувались iснування iнварiантних мiр у динамiчних систем та вивчення їх сукупностi i вiдiграли важливу роль у розвитку загальної теорiї динамiчних систем, формуваннi нових геометричних пiдходiв до розв’язання рiзних типiв задач. Неабияким поштовхом до його розвитку послужили також роботи М. Кравчука з лiнiйної алгебри. У 30-тi рр. в областi функцiонального аналiзу розпочав свої дослiдження М. Крейн, котрий внiс фундаментальний вклад у його розвиток i заснував знамениту одеську школу з функцiонального аналiзу. Пiд впливом названих математикiв проблемами цiєї нової областi почали займатися у Києвi, Харковi, Одесi, Львовi, Чернiвцях. Пiд час першої фази своїх дослiджень (1935 – 1948 рр.) М. Крейн отримав результати пер- шорядного значення (деякi у спiвавторствi з А. Рутманом, С. Крейном, Д. Мiльманом, В. Шму- льяном) з геометрiї нормованих просторiв i операторiв у них (банаховi простори з конусом, опуклi множини i слабкi топологiї в банахових просторах), якi здобули свiтове визнання; сього- днi чимало з них мiстяться в усiх стандартних посiбниках з функцiонального аналiзу. Подальшi глибокi дослiдження у цьому напрямку мiстяться в роботах М. Кадеця, В. Мiльмана, В. Гу- рарiя (Харкiв) та А. Плiчка (Львiв). М. Крейн також описав усi напiвобмеженi самоспряженi розширення напiвобмеженого щiльно заданого ермiтового оператора (випадок операторiв з нещiльною областю визначення розглянуто М. Красносєльським) i дав конструктивний опис узагальнених резольвент ермiтового оператора з рiвними дефектними числами (формула Крей- на узагальнених резольвент). Серед таких операторiв було видiлено клас так званих цiлих операторiв, до якого, зокрема, входять оператори, що фiгурують у таких класичних задачах, як проблема моментiв i проблема продовження додатно визначених функцiй, проблема Неванлiн- ни – Пiка тощо. Завдяки розвинутiй М. Крейном теорiї цiлих операторiв йому вдалося знайти єдиний операторний пiдхiд до розв’язання зазначених проблем та їх операторних узагальнень. Вона також привела до постановки i успiшного розв’язання нових оригiнальних задач в теорiї ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1070 М. Л. ГОРБАЧУК аналiтичних функцiй. Теорiя цiлих операторiв з нескiнченним iндексом дефекту i узагальненим масштабом була побудована Ю. Шмульяном. Її конкретнi реалiзацiї для операторiв, породже- них диференцiальними виразами iз частинними похiдними, були здiйсненi М. Горбачуком i В. Горбачук, а ще ранiше — Ю. Березанським для виразiв iз частинними рiзницями. За допомогою розробленого ним методу напрямних функцiоналiв М. Крейн повнiстю розв’язав проблему розкладiв за власними функцiями довiльного самоспряженого звичайно- го диференцiального оператора. У 1956 р. Ю. Березанський розробив загальний пiдхiд до розкладiв за власними функ- цiями самоспряжених операторiв у функцiональних гiльбертових просторах, який дав змогу побудувати розклади за узагальненими власними функцiями диференцiальних операторiв iз частинними похiдними. Тим самим теорiя розкладiв за узагальненими власними функцiями лiнiйних самоспряжених диференцiальних операторiв довiльної кiлькостi змiнних, вивчення яких розпочалось ще у XVIII ст. i продовжувалось протягом тривалого часу (Д. Бернуллi, М. Остроградський, Г. Вейль, М. Крейн, В. Стєклов та iн.), набрала завершеного вигляду. Не- вдовзi ця теорiя була поширена Ю. Березанським i Г. Кацом (Київ) на абстрактнi самоспряженi оператори, для чого було введено простори з позитивною та негативною нормами (простори Березанського), якi знайшли своє застосування в рiзних роздiлах сучасної математики (з усiм цим можна детально ознайомитися у монографiї Ю. Березанського „Разложение по собствен- ным функциям самосопряженных операторов”, 1965 р.), а згодом i на скiнченнi та нескiнченнi сiм’ї комутуючих операторiв. Для сiмей не комутуючих, а пов’язаних певними алгебраїчними спiввiдношеннями самоспряжених операторiв, ряд результатiв вищезгаданої природи отримав Ю. С. Самойленко (Київ). Спектральна теорiя нескiнченних сiмей привела Ю. Березанського та його учнiв Ю. С. Самойленка i Ю. Кондратьєва до введення i вивчення важливих класiв основних i узагальнених функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних та їх застосувань до задач теорiї поля i статистичної механiки. Питанням спектральної теорiї (умови самоспряженостi, дефектнi числа, структура спектра, асимптотика спектральної та власних функцiй) для звичайних диференцiальних операторiв присвячено численнi роботи М. Крейна, I. Каца, Д. Арова, В. Адамяна (Одеса), О. Повзнера, I. Глазмана, Б. Левiтана, В. Марченка, Й. Островського, Ф. Рофе-Бекетова (Харкiв), Л. Нижника, В. Михайлеця (Київ). Особливу увагу було придiлено рiвнянням Штурма – Лiувiлля i канонiч- ним системам. Аналогiчнi питання для операторiв iз частинними похiдними i частинними рiзницями розглядались О. Повзнером, Ю. Березанським, Л. Нижником, Ф. Рофе-Бекетовим, М. Горбачуком та iн. Оберненi спектральнi задачi й задачi розсiяння для звичайних диференцiальних рiвнянь у рiзних постановках дослiджувались В. Марченком, Б. Левiтаном, Ф. Рофе-Бекетовим у Хар- ковi, М. Крейном, Л. Сахновичем, Д. Аровим, В. Адамяном в Одесi, З. Лейбензоном у Києвi, В. Лянце у Львовi, М. Маламудом у Донецьку та iн. Першим оберненi спектральнi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними й частинними рiзницями розглянув Ю. Березанський, а за- дачi розсiяння для рiвнянь iз частинними рiзницями дослiджувала М. Ескiна (Київ). Згодом Л. Нижник розпочав вивчення прямої та оберненої задач нестацiонарного розсiяння, зокрема для системи рiвнянь Дiрака. Цi дослiдження продовжив його учень В. Тарасов (Житомир). У багатьох задачах квантової теорiї поля виникає необхiднiсть побудови спектральної те- орiї сингулярно збурених операторiв, коли збурення не є оператором у вихiдному просторi. В. Кошманенком (Київ) було розвинуто теорiю розсiяння в термiнах напiвлiнiйних функцiо- налiв. Метод квадратичних форм дослiдження таких операторiв був поширений Л. Нижником ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1071 на випадок сильних сингулярностей. Метод, що базується на теорiї самоспряжених розши- рень симетричних операторiв, набув подальшого розвитку та застосувань у працях А. Кочубея, В. Михайлеця, Л. Нижника, С. Кужеля (Київ) i Р. Гринiва, Я. Микитюка (Львiв). В. Кошманенко, М. Працьовитий i Г. Торбiн (Київ) дослiдили також фрактальнi властивостi спектральної мiри. У 1994 р. С. Кужель розпочав поширення схеми розсiяння Лакса – Фiллiпса на еволюцiї, що описуються диференцiально-операторними рiвняннями гiперболiчного типу. Спектральною теорiєю несамоспряжених операторiв займались М. Крейн, Д. Аров, В. Ада- мян, М. Бродський, Л. Сахнович, Г. Губреєв (Одеса), В. Марченко, М. Лiвшиць, В. Мацаєв, В. Золотарьов, Ю. Любiч, Ф. Рофе-Бекетов (Харкiв), В. Лянце та його учнi (Львiв), М. Ма- ламуд, Е. Цекановський (Донецьк), Г. Кисилевський (Житомир), Ю. Арлiнський (Луганськ). У спектральнiй теорiї операторних пучкiв низку важливих результатiв отримали М. Крейн, С. Крейн (Київ), В. Мацаєв (Харкiв), Г. Радзiєвський (Київ), В. Пивоварчик (Одеса), М. Ко- пачевський (Сiмферополь). У зв’язку з теорiєю несамоспряжених операторiв варто вiдмiтити монографiї М. Крейна i I. Гохберга „Введение в теорию линейных несамосопряженных опе- раторов в гильбертовом пространстве” та „Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве”, а також оглядову доповiдь М. Крейна на Мiжнародному конгресi математикiв (Москва, 1966 р.), в яких не тiльки пiдсумовано дослiдження з цiєї теорiї, але й окреслено шляхи її подальшого розвитку. Спектральнiй теорiї операторiв у просторах з iндефiнiтною метрикою типу Понтрягiна i просторах Крейна та геометрiї цих просторiв присвячено ряд робiт М. Крейна, I. Iохвiдова, Ю. Шмульяна, Ю. Гiнзбурга (Одеса) та О. Кужеля (Сiмферополь). Однiєю iз задач, внаслiдок розв’язування якої з’явилась низка нових напрямiв у функ- цiональному аналiзi, є класична проблема моментiв. Так, з нею тiсно пов’язанi проблема продовження додатно визначених функцiй i гвинтових дуг, спектральна теорiя операторiв, iн- терполяцiя та екстраполяцiя функцiй тощо. Особливий вплив на їх виникнення i розвиток мали публiкацiї М. Крейна i Н. Ахiєзера (Харкiв). У 40 – 50-х рр. М. Крейн довiв теорему про можливiсть продовження додатно визначеної функцiї зi скiнченного iнтервалу на всю вiсь, описав у невизначеному випадку всi такi продовження i побудував теорiю iнтегральних зобра- жень додатно визначених ядер через власнi функцiї диференцiальних операторiв. Аналогiчнi питання для ермiтово-iндефiнiтних ядер зi скiнченною кiлькiстю вiд’ємних квадратiв розгля- нула В. Горбачук (Плющова). Ю. Березанський отримав зображення додатно визначених ядер вiд багатьох змiнних. Згодом вiн i його учнi поширили цей результат на випадок нескiнченної кiлькостi змiнних та на операторнозначнi ядра i дослiдили узагальнену проблему моментiв з кореляцiйними мiрами статистичної механiки. Останнiм часом зрiс iнтерес до вивчення комп- лексної проблеми моментiв, а також теорiї ортогональних многочленiв на довiльнiй множинi комплексної площини (Ю. Березанський, М. Дудкiн (Київ), Л. Голiнський (Харкiв)). У 40-х рр. М. Крейн розпочав дослiдження диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi, коефiцiєнтами яких є обмеженi оператори. Разом з Ю. Далецьким (Київ) вони перенесли основ- нi положення теорiї стiйкостi Ляпунова зi звичайних диференцiальних рiвнянь на розглядуванi ними операторно-диференцiальнi рiвняння. Умови стiйкостi нелiнiйних рiвнянь з обмеженими операторними коефiцiєнтами вивчав В. Слюсарчук (Рiвне). Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння у банаховому просторi, коефiцiєнтами яких служать необмеженi оператори, розглянули М. Гор- бачук, В. Горбачук, А. Князюк (Київ). Для таких рiвнянь елiптичного та параболiчного типiв вони описали всi розв’язки всерединi iнтервалу i побудували теорiю граничних значень цих розв’язкiв, яка мiстить у собi як частинний випадок значну частину результатiв теорiї гранич- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 1072 М. Л. ГОРБАЧУК них значень аналiтичних (гармонiчних) функцiй (теореми Фату, Ф. Рiсса, Комацу тощо) i дає змогу поширити їх на розв’язки широких класiв рiвнянь iз частинними похiдними. Важливу роль тут вiдiграв абстрактний аналог теореми Пелi – Вiнера, одержаний В. Горбачук. На основi цiєї теореми М. Горбачуком та В. Горбачук було запропоновано загальний (операторний) пiдхiд до одержання прямих i обернених теорем теорiї наближень, що дало змогу охопити, а iнколи й уточнити вiдомi результати i отримати низку нових. М. Горбачук та В. Горбачук дослiдили також поведiнку на нескiнченностi розв’язкiв задачi Кошi для диференцiально-операторних рiвнянь. Для багатьох класiв диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi А. Кочубеєм до- ведено iснування фундаментальних i знайдено умови iснування майже перiодичних розв’язкiв. У випадку самоспряжених диференцiальних рiвнянь у гiльбертовому просторi було розвинуто (Ф. Рофе-Бекетов, М. Горбачук) спектральну теорiю граничних задач, яка невдовзi привела до побудови теорiї розширень симетричних операторiв у термiнах просторiв граничних значень (А. Кочубей, В. Михайлець, Л. Вайнерман (Київ), М. Маламуд, В. Деркач (Донецьк), О. Сторож (Львiв) та iн.). М. Горбачуком розроблено конструктивний метод побудови групи та аналiтич- ної пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому просторi безпосередньо за їх генераторами без використання резольвенти генератора. У серiї робiт А. Кочубея, виконаних починаючи з 1991 р., започатковано декiлька напрямкiв аналiзу над неархiмедовими полями, зокрема над полем p-адичних чисел; закладено основи неархiмедового нескiнченновимiрного аналiзу. М. Горбачук та В. Горбачук дослiдили на ко- ректну розв’язнiсть задачу Кошi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi як над архiмедовими, так i неархiмедовими полями. Випадок вироджених рiвнянь розглянув А. Руткас (Харкiв). Алгебраїчними аспектами функцiонального аналiзу займались у Києвi М. Кравчук, М. Крейн, Г. Кац, С. Крейн, Г. Шилов, Ю. Березанський, Ю. С. Самойленко та їхнi учнi. Iстотнi результати в гармонiчному аналiзi на групах одержав М. Крейн. У 1949 р. вiн дослiдив двоїстий об’єкт до компактної некомутативної групи (в комутативному випадку цей об’єкт перетворюється на групу характерiв). Цi дослiдження М. Крейна продовжив Г. Кац, котрий детально вивчив ука- заний об’єкт (зараз вiн називається алгеброю Каца). Г. Шилов у 1953 р. довiв, що нормована алгебра з незв’язною множиною незв’язних iдеалiв розкладається в пряму суму iдеалiв. До ал- гебраїчних питань також вiдносяться дослiдження С. Крейна i Ю. Березанського з теорiї гiпер- комплексних систем з локально компактним базисом. На такi системи вони перенесли чимало положень гармонiчного аналiзу. Варто зазначити, що ця теорiя передувала теорiї гiпергруп, яка наразi активно розвивається як в Українi, так i за її межами. Ряд фактiв гармонiчного аналiзу i теорiї зображень для некомутативних гiперкомплексних систем встановили Ю. Березанський, О. Калюжний, Л. Вайнерман (Київ). Результати були застосованi ними до iнтегрування нелi- нiйних рiвнянь. Вивченню зображень рiзноманiтних видiв алгебр i нескiнченновимiрних груп присвячено численнi роботи Ю. С. Самойленка, С. Кругляка, В. Островського, О. Косяка (Київ) та їхнiх учнiв. А. Клiмик (Київ) розвинув прикладнi аспекти теорiї зображень груп Лi та кван- тових груп, знайшов алгебраїчнi пiдходи до вивчення базисних гiпергеометричних функцiй, зв’язаних з некомутативною геометрiєю i квантовими групами. У 1950 – 1952 рр. М. Красносєльський (Київ) отримав значнi результати щодо рiвнянь з нелiнiйними операторами i використав їх при розв’язуваннi нелiнiйних iнтегральних рiвнянь. I. Скрипник (Донецьк) увiв новий клас нелiнiйних операторiв, що дiють з банахового простору на двоїстий до нього, розробив для нього топологiчну теорiю, яка ґрунтується на введеному ним поняттi степеня узагальненого монотонного вiдображення, i застосував свої результати до ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8 ЗАДАЧI, ЩО IНIЦIЮВАЛИ ВИНИКНЕННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНОГО АНАЛIЗУ. . . 1073 дослiдження розв’язностi конкретних нелiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними i гладкостi їх розв’язкiв. 1. Банах С. С. Курс функцiонального аналiзу. – Київ: Рад. шк., 1948. – 216 с. 2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка, 1965. – 800 с. 3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: Изд-во иностр. лит., 1955. – 292 с. 4. Горбачук М. Л., Самойленко А. М. Михайло Васильович Остроградський i його роль у розвитку математики // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 8. – С. 1011 – 1023. 5. Gorbachuk M. L.,Gorbachuk V. I. M.G. Krein’s lectures on entire operators. – Basel etc.: Birkhäuser, 1997. – 222 p. 6. Горбачук М. Л. Вороний Георгiй Феодосiйович // Видатнi постатi України. – Київ: МАУП, 2004. – С. 186 – 190. 7. Боголюбов О. М., Митропольський Ю. О., Самойленко А. М., Горбачук М. Л. Математика // Iсторiя укр. культури. – Київ: Наук. думка, 2012. – Т. 5, книга 3. – С. 449 – 480. 8. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1934. – 272 с. 9. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1935. – 180 с. 10. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в ХIX столетии. – М.: Наука, 1989. – T. 1. – 454 с. 11. Крейн М. Г. Аналитические проблемы и результаты теории операторов в гильбертовом пространстве // Труды Междунар. конгр. математиков. – М.: Мир, 1968. – С. 189 – 216. 12. Лагранж Ж.-Л. Аналитическая механика: В 2 т. – М.; Л.: ГОНТИ, 1938. 13. Лурье С. Я. Архимед. – М.: АН СССР, 1945. – 150 с. 14. Лучка А. Ю., Лучка Т. Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. – Киев: Наук. думка, 1985. – 330 с. 15. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. – 512 с. 16. Остроградский М. В. Полное собрание трудов. – Киев: Изд-во АН УССР, 1959. – Т. 1. – 304 с.; 1961. – Т. 3. – 388 с. 17. Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. – М.: Наука, 1966. – 276 с. 18. Риман Б. Сочинения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – 543 с. 19. Рид К. Гильберт. – М.: Наука, 1977. – 386 с. 20. Рыбников К. А. История математики. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. – 454 с. 21. Рыжий В. С., Николаенко И. Г. История математики. – Харьков: Харьков. нац. ун-т им. Каразина, 2013. – Ч. 1. – 184 с. 22. Сологуб В. А. Развитие теории эллиптических уравнений в ХVIII и XIX столетиях. – Киев: Наук. думка, 1975. – 280 с. 23. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. – М.: Гостехиздат, 1957. – 535 с. 24. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979. – 430 с. Одержано 24.04.13 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
id	umjimathkievua-article-2199
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:20:33Z
publishDate	2014
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/94/c49599c1a2c9340db271eb9e481cdb94.pdf
spelling	umjimathkievua-article-21992019-12-05T10:26:14Z History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine Задачі, що ініціювали виникнення нескінченновимірного аналізу, та його розвиток в Україні Gorbachuk, M. L. Горбачук, М. Л. We present a brief survey of the development of functional analysis in Ukraine and the problems of infinite-dimensional analysis posed and solved for thousands of years, which laid the foundations of this branch of mathematics. Приведен краткий обзор развития функционального анализа в Украине и тех задач бесконечномерного анализа, которые появлялись и решались в течение тысячелетий, а также послужили животворной силой для возникновения этого раздела математики. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2199 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 8 (2014); 1058–1073 Український математичний журнал; Том 66 № 8 (2014); 1058–1073 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2199/1399 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2199/1400 Copyright (c) 2014 Gorbachuk M. L.
spellingShingle	Gorbachuk, M. L. Горбачук, М. Л. History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine
title	History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine
title_alt	Задачі, що ініціювали виникнення нескінченновимірного аналізу, та його розвиток в Україні
title_full	History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine
title_fullStr	History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine
title_full_unstemmed	History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine
title_short	History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine
title_sort	history of the appearance of infinite-dimensional analysis and its development in ukraine
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2199
work_keys_str_mv	AT gorbachukml historyoftheappearanceofinfinitedimensionalanalysisanditsdevelopmentinukraine AT gorbačukml historyoftheappearanceofinfinitedimensionalanalysisanditsdevelopmentinukraine AT gorbachukml zadačíŝoínícíûvaliviniknennâneskínčennovimírnogoanalízutajogorozvitokvukraíní AT gorbačukml zadačíŝoínícíûvaliviniknennâneskínčennovimírnogoanalízutajogorozvitokvukraíní

History of the Appearance of Infinite-Dimensional Analysis and its Development in Ukraine

Репозитарії

Схожі ресурси