On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients
UDC 517.925.7 For systems of linear differential equations allowing dimension reduction, we obtain estimates of growth rate for meromorphic vector solutions assuming no additional constraints on the growth order of the system coefficients.  
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/220 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860506991097544704 |
|---|---|
| author | Mokhonko , A. A. Mokhonko , A. Z. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. |
| author_facet | Mokhonko , A. A. Mokhonko , A. Z. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. |
| author_sort | Mokhonko , A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-27T15:39:11Z |
| description | UDC 517.925.7
For systems of linear differential equations allowing dimension reduction, we obtain estimates of growth rate for meromorphic vector solutions assuming no additional constraints on the growth order of the system coefficients.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i1.220 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i1.220
УДК 517.925.7
А. А. Мохонько, А. З. Мохонько (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З МЕРОМОРФНИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
For systems of linear differential equations allowing dimension reduction, we obtain estimates of growth rate for meromorphic
vector solutions assuming no additional constraints on the growth order of the system coefficients.
Для системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь, що допускає зниження розмiрностi, отримано оцiнки зростання
мероморфних вектор-розв’язкiв без обмежень порядку зростання коефiцiєнтiв системи.
Позначимо через M поле мероморфних у \BbbC функцiй. У статтi отримано апрiорнi оцiнки
мероморфних вектор-розв’язкiв (м. в.-р.) системи диференцiальних рiвнянь
dwj
dz
=
n\sum
k=1
aj,kwk, aj,k \in M, j = 1, . . . , n. (1)
Якщо P — множина полюсiв усiх коефiцiєнтiв системи, то будь-який вектор-розв’язок такої
системи має компоненти, що є аналiтичними функцiями в \BbbC \setminus P. Нас цiкавлять вектор-розв’язки
W (z) = (w1(z), . . . , wn(z)), компоненти яких wj \in M, j = 1, . . . , n.
Застосування неванлiннiвської теорiї до аналiтичної теорiї диференцiальних рiвнянь добре
вiдомi [1 – 3]. Зокрема, при доведеннi теореми 1 ми будемо дотримуватися методу [1]. Новим
моментом є вiдмова вiд обмежень порядку зростання коефiцiєнтiв i розв’язкiв системи. В роботi
[1] вивчалися властивостi вектор-розв’язкiв системи (1) у випадку, коли коефiцiєнти i компо-
ненти вектор-розв’язкiв є цiлими функцiями. Основна iдея доведення [1] полягає в зниженнi
розмiрностi системи. Це перетворення приводить до системи з мероморфними коефiцiєнтами
i мероморфними компонентами вектор-розв’язкiв (див. (28), (29)). Тому в цiй статтi будемо
припускати, що коефiцiєнти i розв’язки системи належать полю M.
Ми використовуємо стандартнi позначення з теорiї мероморфних функцiй [4]. Символи
Ландау O(. . .), o(. . .) використовуються при r \rightarrow +\infty .
Зростання функцiї f \in M описується неванлiннiвськими характеристиками m(r, f), T (r, f)
[4, c. 24 – 27]. Нагадаємо, що
m(r, f) =
1
2\pi
2\pi \int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}+ | f(rei\varphi )| d\varphi , \mathrm{l}\mathrm{n}+ x = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{l}\mathrm{n}x, 0), x \geq 0,
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
\nu =1
x\nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
n\sum
\nu =1
\mathrm{l}\mathrm{n}+ | x\nu | + \mathrm{l}\mathrm{n}n.
(2)
Якщо f — цiла функцiя, то T (r, f) = m(r, f). Через D(r, f) позначимо будь-яку з характеристик
T (r, f), m(r, f). Якщо f, g \in M, то [4, c. 44, 45]
D(r, f + g) \leq D(r, f) +D(r, g) + \mathrm{l}\mathrm{n} 2, D(r, f \cdot g) \leq D(r, f) +D(r, g),
D
\biggl(
r,
f
g
\biggr)
\leq D(r, f) +D(r, g) +O(1).
(3)
c\bigcirc А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1 99
100 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Функцiя f \in M має скiнченний порядок зростання \rho [f ], якщо
\rho = \rho [f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}T (r, f)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
< +\infty .
Далi через E позначаємо деякi множини iнтервалiв на [0,+\infty ), сума довжин яких скiнченна
(\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} E < +\infty ).
Якщо f \in M, то виконуються такi спiввiдношення [4, c. 122, 125, 131]:
m
\Biggl(
r,
f (k)
f
\Biggr)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n} r), якщо \rho [f ] < +\infty , k = 1, 2, . . . ,
m
\Biggl(
r,
f (k)
f
\Biggr)
= o(\mathrm{l}\mathrm{n} r), якщо \rho [f ] \leq 1, k = 1, 2, . . . ,
(4)
m
\Biggl(
r,
f (k)
f
\Biggr)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r, f) + \mathrm{l}\mathrm{n} r), r \not \in E, якщо \rho [f ] = +\infty , k = 1, 2, . . . . (5)
Якщо F (f1, . . . , fn) — рацiональна функцiя вiд f1, . . . , fn \in M, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}fjF = kj , j = 1, . . . , n, то
[5]
T (r, F (f1, . . . , fn)) \leq
\sum
j=1,...,n
kjT (r, fj) +O(1); (6)
якщо R(f1, . . . , fn) — полiном вiд f1, . . . , fn \in M, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}fjR = kj , j = 1, . . . , n, то
m(r,R(f1, . . . , fn)) \leq
\sum
j=1,...,n
kjm(r, fj) +O(1). (7)
Якщо F (z) =
P (z, f(z))
Q(z, f(z))
=
a1tf
t + . . .+ a11f + a10
a2mfm + . . .+ a21f + a20
, де f, aij \in M, a1t, a2m \not \equiv 0, d =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(m, t), до того ж P (z, w) i Q(z, w) взаємно простi як многочлени вiд w над полем M,
то [6]
T (r, F ) = d T (r, f) +O
\left( \sum
i,j
T (r, aij)
\right) . (8)
Якщо W (z) = (w1(z), . . . , wn(z)) — м. в.-р. системи (1), то позначимо
T (r,W ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
T (r, wk). (9)
Нехай матриця коефiцiєнтiв системи (1) має вигляд
A = B0(z) =
\left(
s1 p1 0 . . . 0
a2,1 s2 p2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an - 1,1 an - 1,2 an - 1,3 . . . pn - 1
an,1 an,2 an,3 . . . sn
\right) . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 101
Позначимо (j = 1, . . . , n, t = 1, . . . , n - j + 1)
djt(A) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
st pt 0 . . . 0
at+1,t st+1 pt+1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
at+j - 2,t at+j - 2,t+1 at+j - 2,t+2 . . . pt+j - 2
at+j - 1,t at+j - 1,t+1 at+j - 1,t+2 . . . st+j - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, (11)
d0,t \equiv 1, Hj(A) =
n+1 - j\sum
t=1
dj,t(A). (12)
Основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема 1. Нехай система (1), (10) така, що (m \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , j = 1, 2, . . . , n - m - 1)
m(r, djt(A)) = o(m(r,Hn - m(A))), r \not \in E, t = 1, . . . , n - j + 1. (13)
Тодi iснує не бiльше m лiнiйно незалежних м. в.-р. Wk(z) = (w1k(z), . . . , wnk(z)), k = 1, . . . ,m,
системи (1), (10) таких, що
\mathrm{l}\mathrm{n}(r \cdot T (r,Wk)) = o(m(r,Hn - m(A))), r \not \in E (14)
(швидкiсть зростання яких обмежена швидкiстю зростання коефiцiєнтiв).
Зауваження. Застосування бiльш точних оцiнок (4) логарифмiчної похiдної для важливих
пiдкласiв мероморфних функцiй приводить до таких тверджень: 1) якщо коефiцiєнти системи
(1), (10) такi, що
m(r, djt(A)) = O(\mathrm{l}\mathrm{n} r), j = 1, 2, . . . , n - m - 1, t = 1, . . . , n - j + 1,
m(r,Hn - m(A)) \not = O(\mathrm{l}\mathrm{n} r),
(15)
то система має не бiльше m лiнiйно незалежних м. в.-р. Wk, k = 1, 2, . . . ,m, скiнченного
порядку зростання; 2) якщо
m(r, djt(A)) = o(\mathrm{l}\mathrm{n} r), j = 1, 2, . . . , n - m - 1, t = 1, . . . , n - j + 1,
m(r,Hn - m(A)) \not = o(\mathrm{l}\mathrm{n} r),
(16)
то система має не бiльше m лiнiйно незалежних м. в.-р. Wk порядку зростання \rho \leq 1.
Спiввiдношення (15) виконуються, наприклад, якщо djk(A) — рацiональнi функцiї, а
Hn - m(A) — трансцендентна функцiя. Справдi, будь-яка трансцендентна функцiя зростає швид-
ше, нiж будь-яка рацiональна функцiя [4, с. 49] ((6.26), (6.27)).
Приклад 1. Розглянемо систему y\prime 1 = y2, y\prime 2 = e2zy1 + y2. Матриця системи A =
=
\biggl(
0 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} 2z 1
\biggr)
, d11(A) = 0, d12 = 1, H2(A) = - e2z, m(r,H2(A)) = 2m(r, ez). То-
дi [7, c. 25] m(r, ez) =
r
\pi
. Маємо m(r,H2(A)) = m(r,H2 - 0(A)) = 2m(r, ez) =
2r
\pi
, 0 =
= m(r, d11(A)) = m(r, d12(A)) = o(m(r,H2 - 0(A))). У цьому прикладi n = 2,m = 0. Тому
з теореми випливає, що розглядувана система не має м. в.-р. W таких, що \mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) +
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r,H2 - 0(A))), r \not \in E. Справдi, ця система має два лiнiйно незалежних м. в.-р.:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
102 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
W1 =
\bigl(
ee
z
, ezee
z\bigr)
i W2 =
\bigl(
e - ez , - eze - ez
\bigr)
. Для цiлої функцiї \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} z виконується [7, с. 26]
T (r, ee
z
) = m(r, ee
z
) \sim er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty . Iз викладеного i (8) випливає, що T (r, eze - ez) =
= T (r, ee
z
) +O(T (r, ez)) \sim er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty . Тому, враховуючи означення W1 i W2, отри-
муємо T (r,Wj) \sim
er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty , j = 1, 2. Отже, r \sim \mathrm{l}\mathrm{n}(r \cdot T (r,Wj)) \not = o(m(r,H2(A))),
r \rightarrow +\infty , оскiльки m(r,H2(A)) \sim
2r
\pi
, r \rightarrow +\infty .
Приклад 2. Розглянемо систему y\prime 1 = y2, y\prime 2 = y2(1 + ez). Матриця системи A =
=
\biggl(
0 1
0 1 + ez
\biggr)
, H1(A) = H2 - 1(A) = 1 + ez, n = 2, m = 1, m(r,H1(A)) = m(r, ez + 1) =
= m(r, ez) + O(1) \sim r
\pi
, r \rightarrow +\infty . З огляду на висновки теореми розглядувана система
має не бiльше одного м. в.-р. W, для якого \mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) + \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r,H1(A))), r \not \in E.
Таким розв’язком є м. в.-р. W1 = (1, 0). Другим м. в.-р. системи, лiнiйно незалежним з
W1, є W2 =
\bigl(
ee
z
, ezee
z\bigr)
. Як зазначено у прикладi 1, T (r,W2) \sim er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W2) + \mathrm{l}\mathrm{n} r \sim r, r \rightarrow +\infty . Тому r \sim \mathrm{l}\mathrm{n}(r \cdot T (r,W2)) \not = o(m(r,H1(A))), r \rightarrow +\infty ,
оскiльки m(r,H1(A)) \sim r
\pi
, r \rightarrow +\infty .
Розглянемо вектор h(z) = (h1, h2, . . . , hn), де hj \in M. Позначимо
Q0(A, h) \equiv 1, Qk(A, h) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s1 - h1 p1 0 . . . 0
a2,1 s2 - h2 p2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak - 1,1 ak - 1,2 ak - 1,3 . . . pk - 1
ak,1 ak,2 ak,3 . . . sk - hk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, (17)
k = 1, 2, . . . , n.
Використовуючи (17), записуємо
Qk = - hkQk - 1 +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
[1, 5]s1 - h1 p1 0 . . . 0 0
a2,1 s2 - h2 p2 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak - 1,1 ak - 1,2 ak - 1,3 . . . sk - 1 - hk - 1 pk - 1
ak,1 ak,2 ak,3 . . . ak,k - 1 sk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= - hkQk - 1 - Qk - 2hk - 1d1,k +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s1 - h1 p1 0 . . . 0 0
a2,1 s2 - h2 p2 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak - 1,1 ak - 1,2 ak - 1,3 . . . sk - 1 pk - 1
ak,1 ak,2 ak,3 . . . ak,k - 1 sk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
= . . .
. . . = dk,1(A) -
k - 1\sum
i=0
Qi(A, h)hi+1dk - i - 1,i+2(A), d0,k+1(A) = 1. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 103
Лема 1. Визначник Qk(A, h) можна записати у виглядi
Qk(A, h) = dk1(A) - dk - 1,1(A)hk +
k - 2\sum
j=0
dj1(A)Pjk, k = 1, 2, . . . , n, (19)
де h = (h1, h2, . . . , hn), Pjk — многочлен вiд функцiй ht i d\nu s(A), j +1 \leq t \leq k, j +2 \leq s \leq k,
\nu < k, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз ht, d\nu s.
Доведення. Враховуючи означення (17), (11), маємо (d01 = 1) Q1(A, h) = s1 - h1 =
= d11 - d01h1, Q2(A, h) = d21 - d11h2 - d01(d12h1 - h1h2) = d21 - d11h2 - d01P02, Q3(A, h) =
= d31 - d22h1 - h2Q1(A, h)d13 - h3Q2(A, h) = d31 - d21h3+d11(h2h3 - h2d13)+d01(d13h1h2 -
- h1d22 + d12h1h3 - h1h2h3) = d31 - d21h3 + d11P13 + d01P03. Умови леми для многочленiв
P02, P13, P03 виконано.
Припустимо, що лему доведено для всiх Qi, i = 1, . . . , k - 1, i доведемо її для Qk, k \geq 4.
Пiдставляючи у (18) розклади Qi вигляду (19), пiсля простого перетворення отримуємо
Qk = dk1 - hk
\left( dk - 1,1 - dk - 2,1hk - 1 +
k - 3\sum
j=0
dj1Pj,k - 1
\right) - Q1h2dk - 2,3 - Q0h1dk - 2,2 -
-
k - 2\sum
i=2
\left( di1 - di - 1,1hi +
i - 2\sum
j=0
dj1Pj,i
\right) hi+1dk - i - 1,i+2 = dk1 - hkdk - 1,1 -
- Q1h2dk - 2,3 - Q0h1dk - 2,2 -
k - 2\sum
i=2
i - 2\sum
j=0
dj1Pj,ihi+1dk - i - 1,i+2 -
\sum
1
-
\sum
2
+
\sum
3
,
де \sum
1
=
k - 3\sum
j=0
dj1Pj,k - 1hk - dk - 2,1hk - 1hk
df
=
k - 2\sum
j=0
dj1P
1
j,k,
\sum
2
=
k - 2\sum
i=2
di1hi+1dk - i - 1,i+2
df
=
k - 2\sum
i=2
di1P
2
i,k,
\sum
3
=
k - 2\sum
i=2
di - 1,1hihi+1dk - i - 1,i+2
df
=
k - 2\sum
i=2
di - 1,1P
3
i - 1,k,
Q1h2dk - 2,3 = d11h2dk - 2,3 - d01h1h2dk - 2,3
df
= d11P
4
1,k + d01P
4
0,k,
Q0h1dk - 2,2 = d01h1dk - 2,2
df
= d01P
5
0,k, d01 = 1, Q0 = 1,
k - 2\sum
i=2
i - 2\sum
j=0
dj1Pj,ihi+1dk - i - 1,i+2 =
k - 4\sum
j=0
dj1
k - 2\sum
i=j+2
Pj,ihi+1dk - i - 1,i+2.
(20)
Iз припущення iндукцiї щодо властивостей многочленiв Pj,k - 1 i означень многочленiв P s
j,k,
s = 1, 2, . . . , 5, j = 0, 1, . . . , k - 2, випливає, що P s
j,k — деякi многочлени вiд ht i d\nu s, j + 1 \leq
\leq t \leq k, j+2 \leq t \leq k, \nu < k, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз ht, d\nu s. Групуючи
доданки, що мiстять dj1, j = 0, 1, . . . , k - 2, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
104 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
\sum
1
+
\sum
2
-
\sum
3
- Q1h2dk - 2,3 - Q0h1dk - 2,2
df
=
k - 2\sum
j=0
dj1P
\ast
j,k , (21)
де P \ast
j,k — деякi многочлени вiд ht i d\nu s, j + 1 \leq t \leq k, j + 2 \leq t \leq k, \nu < k, степеня не
бiльшого за одиницю по кожнiй iз ht, d\nu s. Пiдставляючи (20), (21) у вираз для Qk i групуючи
доданки, що мiстять dj1, j = 0, 1, . . . , k - 2, отримуємо (19).
Доведення теореми 1. Випадок m = n - 1 будемо розглядати в бiльш загальнiй формi.
Нехай задано систему (1) з коефiцiєнтами akj \in M (умова (10) може не виконуватися). Нехай
SpA = a11 + a22 + . . .+ ann = H1(A) — слiд матрицi A системи (1). Доведемо, що система (1)
не має m+ 1 = n лiнiйно незалежних м. в.-р. Wk, k = 1, . . . , n, таких, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,Wk) + \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r, SpA)), r \not \in E. (22)
Припустимо, що iснують n лiнiйно незалежних м. в.-р. Wk, k = 1, . . . , n, для яких ви-
конується (22). Тодi Wk, k = 1, . . . , n, — фундаментальна система розв’язкiв системи (1), i її
детермiнант D(z) задовольняє рiвнiсть
D\prime (z)
D(z)
= SpA. Tодi
m(r, SpA) = m
\biggl(
r,
D\prime (z)
D(z)
\biggr)
(5)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,D) + \mathrm{l}\mathrm{n} r), r \not \in E. (23)
Враховуючи означення D(z) i оцiнку (6), отримуємо
T (r,D) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
T (r,Wk) +O(1),
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,D) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,Wk) +O(1).
Звiдси з урахуванням (23) випливає
m(r, SpA) = O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,D) + \mathrm{l}\mathrm{n} r) = O( \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,Wk) + \mathrm{l}\mathrm{n} r), r \not \in E,
що суперечить (22).
Припустимо тепер, що в (10) всi pj \not \equiv 0, j = 1, . . . , n - 1. Якщо W = (w1, . . . , wn) —
нетривiальний м. в.-р. системи (1), (10), то зi структури матрицi (10) випливає, що w1 \not \equiv 0.
Нехай m = 0. Тодi n - m = n,
Hn - m(A) = Hn(A) = dn1(A). (24)
Припустимо, що iснує нетривiальний м. в.-р. W = (w1, . . . , wn) системи (1), (10) такий, що
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) + \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r,Hn(A)), r \not \in E. (25)
Запишемо систему (1), (10) таким чином:
w1(s1 - w\prime
1/w1) + p1w2 = 0,
w1a21 + w2(s2 - w\prime
2/w2) + w3p2 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
w1an1 + . . .+ wn - 1ann - 1 + wn(sn - w\prime
n/wn) = 0.
(26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 105
Ця система має нетривiальний розв’язок. Тому Qn(A, h0) \equiv 0, де h0 = (h01, . . . , h0n), h0j =
= w\prime
j/wj , j = 1, . . . , n. Iз леми 1 випливає, що
0 \equiv Qn(A, h0)
(19)
= dn1(A) - dn - 1,1(A)h0n +
n - 2\sum
j=0
dj1(A)Pjn, (27)
де Pjn — деякi многочлени вiд функцiй h0t = w\prime
t/wt, j + 1 \leq t \leq n, i d\nu s(A), \nu < n,
j + 2 \leq s \leq n, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз h0t, d\nu s. Тому, враховуючи (24),
маємо
Hn(A) = dn - 1,1(A)h0n -
n - 2\sum
j=0
dj1(A)Pjn.
Iз цiєї рiвностi, враховуючи властивостi многочленiв Pjn, отримуємо
m(r,Hn(A))
(7)
\leq
n\sum
j=1
\biggl(
r,
w\prime
j
wj
\biggr)
+
\sum
1\leq j\leq n - 1
1\leq t\leq n - j+1
m(r, djt) +O(1)
(5), (13)
\leq
(5), (13)
\leq O
\left( n\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r, wj) + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\right) + o(m(r,Hn(A))), r \not \in E,
тому m(r,Hn(A)) = O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) + \mathrm{l}\mathrm{n} r), r \not \in E, що суперечить (25).
Нехай тепер 0 < m < n - 1, m \in \BbbN . Припустимо, що iснують m + 1 лiнiйно не-
залежнi м. в.-р. Wk(z) = (wk1(z), . . . , wkn(z)), k = 0, 1, 2, . . . ,m, системи (1), (10) такi,
що виконується (14). Один iз таких m+1 розв’язкiв, наприклад W0, позначимо через U,
W0 = U = (u1, . . . , un) = (w01(z), . . . , w0n(z)). Будь-який з решти m розв’язкiв м. в.-р.
позначимо через W = (w1, . . . , wn). Оскiльки U — нетривiальний м. в.-р. системи (1), (10), то
u1 \not \equiv 0. Опишемо процес переходу вiд системи (1) з матрицею коефiцiєнтiв (10) розмiру n до
системи диференцiальних рiвнянь з матрицею коефiцiєнтiв вигляду (10) i розмiру n - 1.
Кожному з m м. в.-р. W = (w1, . . . , wn) системи (1), (10) поставимо у вiдповiднiсть вектор
V = (v1, v2, . . . , vn) =
\biggl(
w1
u1
, w2 -
w1u2
u1
, . . . , wn - w1un
u1
\biggr)
, v1 =
w1
u1
\not \equiv 0. (28)
Iз (1), (10) i (28) випливає, що цi m векторiв V (28) — розв’язки системи [1] (формули (3.9) –
(3.13))
v\prime 1 = v2p1/u1,
v\prime 2 = v2(s2 - p1u2/u1) + p2v3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v\prime n = v2(an2 - p1un/u1) +
n - 1\sum
k=3
ankvk + snvn,
(29)
матриця коефiцiєнтiв якої має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
106 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
B =
\left(
0 p1/u1 0 . . . 0
0
... B1
0
\right) , (30)
де
B1 =
\left(
s2 - p1u2/u1 p2 0 . . . 0
a32 - p1u3/u1 s3 p3 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an2 - p1un/u1 an3 an4 . . . sn
\right) . (31)
Встановимо зв’язок мiж dj,k - 1(B1), 1 \leq j \leq n - 1, 2 \leq k \leq n - j, i djk(A).
Лема 2. Виконуються спiввiдношення (d0,j+2(A) = 1)
dj,k - 1(B1) = djk(A), k > 2, 1 \leq j \leq n - 2,
dj1(B1) = dj2(A) +
j\sum
k=1
Qk(A, h)dj - k,k+2(A), j = 1, 2, . . . , n - 1,
(32)
де h = h0 = (u\prime 1/u1, . . . , u
\prime
n/un) = (w\prime
01/w01, . . . , w
\prime
0n/w0n).
Доведення. Якщо k >2, то перша з рiвностей (32) випливає з означень dj,k - 1(B1) i матрицi
(31). Якщо k = 2, то
dj,1(B1)
(30)
= dj2(A) - p1
u1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u2 p2 0 . . . 0
u3 s3 p3 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uj aj,3 aj,4 . . . pj
uj+1 aj+1,3 aj+1,4 . . . sj+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
= dj2(A) -
- p1u2
u1
dj - 1,3 +
p1p2
u1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u3 p3 0 . . . 0
u4 s4 p4 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uj aj,4 aj,5 . . . pj
uj+1 aj+1,4 aj+1,5 . . . sj+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
= dj2 -
p1u2
u1
dj - 1,3 +
+
p1p2
u1
u3dj - 2,4(A) - p1p2
u1
p3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u4 p4 0 . . . 0
u5 s5 p5 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uj aj,5 aj,6 . . . pj
uj+1 aj+1,5 aj+1,6 . . . sj+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= dj2(A) +
j\sum
k=1
( - 1)k
uk+1
u1
p1p2 . . . pkdj - k,k+2(A).
Вiдомо [1], що ( - 1)k
uk+1
u1
p1p2 . . . pk = Qk(A, h), h = (u\prime 1/u1, . . . , u
\prime
n/un). Тому з попереднього
випливає (32).
Матриця (31) має вигляд (10). На пiдставi (29) кожен iз m векторiв (див. (28))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 107
Y1 = (v2, v3, . . . , vn)
df
= (v12, v13, . . . , v1n) (33)
є розв’язком системи диференцiальних рiвнянь
Y \prime
1 = B1Y1 (34)
розмiрностi n - 1.
Використовуючи один розв’язок U = (u1, . . . , un) iз ранiше доступних m+1 м. в.-р. системи
(1), (10), знижуємо порядок цiєї системи на одиницю. В результатi отримуємо систему (34), (31),
що має m м. в.-р. вигляду (33). Нехай Y11, Y12, . . . , Y1m — отриманi вказаним методом м. в.-р.
системи (34), (31) (Y1 — один iз цих розв’язкiв). Iз лiнiйної незалежностi m + 1 м. в.-р. W0 =
= U = (u1, . . . , un), Wj = (wj1, . . . , wjn), u1, wj1 \not \equiv 0, j = 1, . . . ,m, системи (1), (10) випливає
лiнiйна незалежнiсть m м. в.-р. Y11, Y12, . . . , Y1m системи (34), (31) (Y1 = (v12, v13, . . . , v1n),
v12 \not \equiv 0). При цьому з (28), (33), (9) i (6) випливає, що
T (r, Y1)
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=2,3,...,n
T (r, vj)
(28),(6)
\leq
\sum
0\leq i\leq m
1\leq j\leq n
T (r, wi,j) +O(1). (35)
Маємо Wi = (wi1, . . . , win), i = 0, 1, . . . ,m, T (r,Wi)
(9)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,...,n
T (r, wij),
n\sum
j=1
T (r, wi,j) \leq n \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,...,n
T (r, wi,j) = nT (r,Wi), (36)
m\sum
i=0
n\sum
j=1
T (r, wi,j)
(36)
\leq
m\sum
i=0
nT (r,Wi) \leq n(m+ 1) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi).
З останньої нерiвностi та з (35) випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}T (r, Y1)
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=1,...,m
T (r, Y1,t) = O
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\biggr)
. (37)
При перетвореннi (28) m + 1 лiнiйно незалежних м. в.-р. Wk(z), k = 0, 1, . . . ,m, системи
(1), (10) переходять в m лiнiйно незалежних м. в.-р. Y11, Y12, . . . , Y1m вигляду (33) системи
(34), (31). При цьому виконується оцiнка (37).
Використавши розв’язки Y11, Y12, . . . , Y1m, зменшимо розмiрнiсть матрицi A ще m - 1
разiв. Отримаємо системи диференцiальних рiвнянь
Y \prime
k = BkYk, k = 1, 2, . . . ,m, (38)
розмiрностi n - k, де Yk = (vk,k+1, vk,k+2, . . . , vk,n), а матриця
Bk =
\left(
sk+1 - pkvk - 1,k+1/vk - 1,k pk+1 0 . . . 0
ak+2,k+1 - pkvk - 1,k+2/vk - 1,k sk+2 pk+2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an,k+1 - pkvk - 1,n/vk - 1,k an,k+2 an,k+3 . . . sn
\right) , (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
108 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
причому повторне застосування oцiнки (37) м. в.-р. системи (38) на кожному кроцi зниження
порядку системи дає (k = 1, . . . ,m)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}T (r, Yk)
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=1,2,...,m - k+1
T (r, Yk,t) = O
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\biggr)
. (40)
Meроморфному вектор-розв’язку Yk = (vk,k+1, vk,k+2, . . . , vk,n), системи (38), (39) поста-
вимо у вiдповiднiсть вектор hk = (hk,k+1, hk,k+2, . . . , hk,n), де hk,k+p = v\prime k,k+p/vk,k+p, p =
= 1, 2, . . . , n - k, k = 1, 2, . . . ,m. Зокрема, hm - 1 = (hm - 1,m, hm - 1,m+1, . . . , hm - 1,m+i, . . .
. . . , hm - 1,n), де (i + 1)-й елемент цього вектора має вигляд hm - 1,m+i = v\prime m - 1,m+i/vm - 1,m+i,
i = 0, 1, . . . , n - m.
Iз (5) випливає, що (r \not \in E )
m(r, hk,k+p) = m
\Biggl(
r,
v\prime k,k+p
vk,k+p
\Biggr)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r, vk,k+p) + \mathrm{l}\mathrm{n} r)
(9)
=
(9)
= O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=1,2,...,m - k+1
T (r, Yk,t)
\biggr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\biggr)
(40)
=
(40)
= O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\biggr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\biggr)
, p = 1, 2, . . . , n - k, k = 1, 2, . . . ,m. (41)
Нам знадобиться така лема.
Лема 3. Справджується рiвнiсть (j \in \BbbN , j \leq n - m)
dj1(Bm) = dj,m+1(A) + dj,m(A) + . . .+ dj,1(A) + \~Pmj , (42)
\~Pmj = \~Pmj(hk,k+p, d\nu ,s(A)) — многочлени вiд hk,k+p, k = 0, 1, . . . ,m - 1, p = 1, 2, . . . , j, i
d\nu ,s(A), s = 1, 2, . . . ,m + j, \nu \leq j - 1, степеня не бiльшого за одиницю вiд кожної з функцiй
hk,k+p, d\nu ,s(A).
Продовжимо доведення теореми. Знижуючи розмiрнiсть матрицi A, ми використали m м.
в.-р., а за припущенням їх m+ 1. Отже, система Y \prime
m = BmYm (див. (38), (39)) має один нетри-
вiальний м. в.-р. Ym = (vm,m+1, vm,m+2, . . . , vm,n), для якого виконується рiвнiсть (див. (40))
T (r, Ym) = O
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\biggr)
. (43)
Перетворимо систему Y \prime
m = BmYm до вигляду, аналогiчного (26). Отримаємо систему
лiнiйних однорiдних рiвнянь з матрицею Qn - m(Bm, hm) (див. (17)), що має нетривiальний
розв’язок Ym = (vm,m+1, vm,m+2, . . . , vm,n). Тому Qn - m(Bm, hm) \equiv 0. Звiдси, враховуючи (18),
отримуємо
\Bigl(
hm = (hm,m+1, hm,m+2, . . . , hm,m+i, . . . , hm,n), hm,m+i =
v\prime m,m+i
vm,m+i
, i = 1, 2, . . . , n -
- m, Q0(Bm, hm) = 1, d0,n - m+1(Bm) = 1
\Bigr)
dn - m,1(Bm) = hm,nQn - m - 1(Bm, hm) +
+
n - m - 2\sum
i=0
Qi(Bm, hm)hm,m+i+1dn - m - i - 1,i+2(Bm). (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 109
Застосуємо до Qi(Bm, hm), i \leq n - m - 1, лему 1 (див. (19)), а до dj1(Bm), j \leq n - m - 1,
формулу (42). Враховуючи, що dj,t(Bm) = dj,m+t(A) при t \geq 2 i j = 1, 2, . . . , n - m (див. (39)),
отримуємо
dn - m,1(Bm)
(44)
= P (d\nu ,s(A), hm,m+p), (45)
де P — многочлен степеня не бiльшого за одиницю вiд d\nu ,s(A), \nu < n - m, s = 1, 2, . . . , n, i
hm,m+p, p = 1, 2, . . . , n - m. Iз (42) при j = n - m випливає, що
dn - m,1(Bm) = dn - m,m+1(A) + dn - m,m(A) + . . .+ dn - m,1(A) + \~Pm,n - m, (46)
\~Pm,n - m = \~Pm,n - m(hk,k+p, d\nu ,s(A)) — многочлен вiд hk,k+p, k = 0, 1, . . . ,m - 1, p = 1, 2, . . . , n -
- m, i d\nu ,s(A), s = 1, 2, . . . , n, \nu \leq n - m - 1, степеня не бiльшого за одиницю вiд кожної
з функцiй hk,k+p, d\nu ,s(A). Враховуючи означення Hn - m(A) (12), а також рiвностi (45), (46) i
властивостi многочленiв P (d\nu ,s(A), hm,m+p), \~Pm,n - m, отримуємо
Hn - m(A) = dn - m,m+1(A) + dn - m,m(A) + . . .+ dn - m,1(A) = Rm,n - m, (47)
Rm,n - m = Rm,n - m(hk,k+p, d\nu ,s(A)) — многочлени вiд hk,k+p, k = 0, 1, . . . ,m, p = 1, 2, . . . , n -
- m, i d\nu ,s(A), s = 1, 2, . . . , n, \nu \leq n - m - 1, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй
змiннiй.
Iз рiвностi (47), враховуючи властивостi многочленiв Rm,n - m i спiввiдношення (7), (41),
маємо (r \not \in E )
m(r,Hn - m(A))
(7)
\leq
\sum
k=0,1,...,m
p=1,2,...,n - m
m(r, hk,k+p) +
\sum
s=1,2,...,n
\nu \leq n - m - 1
m(r, d\nu ,s(A)) +O(1)
(41), (13)
=
(41), (13)
= O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\biggr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\biggr)
+ o(m(r,Hn - m(A))).
Звiдси отримуємо m(r,Hn - m(A)) = O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\biggr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\biggr)
, r \not \in E, що супере-
чить (14). Випадок, коли в (10) деякi з pj \equiv 0, розглядається аналогiчно [1].
Доведення леми 3. Так само, як i в (32), виразимо dj1(Bm) через визначники матрицi Bm - 1.
Використовуючи (18) i (32), отримуємо (B0 = A, d0,j+2(Bm - 1) = 1 (див. (12), (10)))
dj1(Bm) = dj2(Bm - 1) +Qj(Bm - 1, hm - 1) +
j - 1\sum
i=1
Qi(Bm - 1, hm - 1)dj - i,i+2(Bm - 1). (48)
Враховуючи (17), маємо
Q0(A, h) \equiv 1, Q1(A, h) = s1 - h1 = d11(A) - h1,
Q2(A, h) = d21(A) - d11(A)h2 - d01(A)(d12(A)h1 + h1h2),
тому
Q0(Bm - 1, hm - 1) \equiv 1, Q1(Bm - 1, hm - 1) = d11(Bm - 1) - hm - 1,m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
110 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
де hm - 1 = (hm - 1,m, hm - 1,m+1, . . . , hm - 1,n), hm - 1,m+i =
v\prime m - 1,m+i
vm - 1,m+i
, i = 0, 1, . . . , n - m. Тому
(d0,j+1(Bm - 1) = 1)
Qj(Bm - 1, hm - 1)
(18)
= dj,1(Bm - 1) - hm - 1,mdj - 1,2(Bm - 1) -
- (d11(Bm - 1) - hm - 1,m)hm - 1,m+1dj - 2,3(Bm - 1) -
-
j - 1\sum
i=2
Qi(Bm - 1, hm - 1)hm - 1,m+idj - i - 1,i+2(Bm - 1)
(19)
=
(19)
= dj,1 - hm - 1,mdj - 1,2 - (d11 - hm - 1,m)hm - 1,m+1dj - 2,3 -
-
j - 1\sum
i=2
\Biggl(
di1 - di - 1,1hm - 1,m - 1+i +
i - 2\sum
t=0
dt1Pti
\Biggr)
hm - 1,m+idj - i - 1,i+2, (49)
де dt1 = dt1(Bm - 1), Pti = Pti(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)) — деякi многочлени вiд hm - 1,m - 1+p
i d\nu ,s(Bm - 1), p = t + 1, t + 2, . . . , i, s = t + 2, t + 3, . . . , i, \nu \leq i - 1, i = 2, 3, . . . , j - 1,
t = 0, 1, . . . , i - 2, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1).
Групуючи в (49) доданки, що мiстять di1 = di1(Bm - 1), i = 0, 1, . . . , j - 1, отримуємо (d0i = 1)
Qj(Bm - 1, hm - 1) = dj,1(Bm - 1) +
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)P
\ast
ij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)), (50)
де P \ast
ij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)) — деякi многочлени вiд hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1), p = i +
+ 1, i + 2, . . . , j, s = i + 2, i + 3, . . . , j, \nu \leq j - 1, i = 0, 1, . . . , j - 1, степеня не бiльшого за
одиницю по кожнiй iз hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1).
Перетворимо суму в правiй частинi (48) (Q1(Bm - 1, hm - 1) = d11 - hm - 1,m) :
j - 1\sum
i=1
Qi(Bm - 1, hm - 1)dj - i,i+2(Bm - 1)
(19)
= (d11 - hm - 1,m)dj - 1,3 +
+
j - 1\sum
i=2
\Biggl(
di1 - di - 1,1hm - 1,m - 1+i +
i - 2\sum
t=0
dt1Pti
\Biggr)
dj - i,i+2 =
=
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)P
\star
ij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)), d01(Bm - 1) = 1, (51)
Pti = Pti(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)) — рiзнi многочлени вiд hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1) степеня
не бiльшого за одиницю по кожнiй змiннiй, p = t + 1, t + 2, . . . , i, s = t + 2, t + 3, . . . , i,
\nu \leq i - 1, i = 2, 3, . . . , j - 1, t = 0, 1, . . . , i - 2; P \star
ij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)) — рiзнi многочлени
вiд hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1) степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз hm - 1,m - 1+p i
d\nu ,s(Bm - 1), p = i+ 1, i+ 2, . . . , j, s = i+ 2, i+ 3, . . . , j + 1, \nu \leq j - 1, i = 1, 2, . . . , j - 1.
Пiдставляючи (50) i (51) у (48), групуючи доданки з di1(Bm - 1), i = 1, 2, . . . , j - 1, отриму-
ємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО МЕРОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 111
dj1(Bm) = dj,1(Bm - 1) + dj2(Bm - 1) +
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)Pij ,
Pij = Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)) — многочлени вiд hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1) степеня не
бiльшого за одиницю по кожнiй iз hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(Bm - 1), p = i+1, i+2, . . . , j, s = i+2, i+
+3, . . . , j+1, \nu \leq j - 1, i = 1, 2, . . . , j - 1. Але (див. (39), (31), (11)) d\nu ,s(Bm - 1)) = d\nu ,m+s - 1(A)
при s \geq 2. Тому
dj1(Bm) = dj,1(Bm - 1) + dj,m+1(A) +
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)), (52)
Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)) — многочлени вiд hm - 1,m - 1+p i d\nu ,m+s - 1(A) степеня не бiль-
шого за одиницю по кожнiй iз hm - 1,m - 1+p i d\nu ,m+s - 1(A), p = i + 1, i + 2, . . . , j, s =
= i+ 2, i+ 3, . . . , j + 1, \nu \leq j - 1, i = 1, 2, . . . , j - 1.
Доведемо формулу (42). Якщо m = 1, то з (52) маємо (B0 = A, h0 = (w\prime
01/w01, . . .
. . . , w\prime
0n/w0n), h0,p = w\prime
0p/w0p (див. (32)))
di1(B1) = di,1(A) + di,2(A) +
i - 1\sum
t=0
dt1(A)Pti(h0,p; d\nu ,s(A)) =
= di,1(A) + di,2(A) + \~P1i, i \in \BbbN , i \leq n - 1,
\~P1i — многочлен по h0,p i d\nu ,s(A), p = 1, 2, . . . , i, s = 1, 2, . . . , i+1, \nu < i, степеня не бiльшого
за одиницю по кожнiй iз функцiй.
Нехай для всiх i \in \BbbN , i \leq j \leq n - m, 2 \leq m, справджується рiвнiсть
di1(Bm - 1) = di,1(A) + di,2(A) + . . .+ di,m(A) + \~Pm - 1,i, i \leq n - m, (53)
\~Pm - 1,i — многочлен вiд h0p, h1,p+1, . . . , hm - 2,m - 2+p i d\nu ,s(A), p = 1, 2, . . . , i, s = 1, 2, . . . , i+
+m - 1, \nu < i, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз hk,k+t i d\nu ,s(A).
Пiдставляючи (53) у (52), отримуємо
dj1(Bm) = dj,1(A) + dj,2(A) + . . .+ dj,m(A) + dj,m+1(A) + \~Pm - 1,j +
+
j - 1\sum
i=0
(di,1(A) + . . .+ di,m(A) + \~Pm - 1,i)Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)) =
= dj,1(A) + dj,2(A) + . . .+ dj,m+1(A) + \~Pm,j ,
\~Pm,j — многочлен вiд h0p, h1,p+1, . . . , hm - 1,m - 1+p i d\nu ,s(A), p = 1, 2, . . . , j, s = 1, 2, . . . , j+m,
\nu < j, степеня не бiльшого за одиницю по кожнiй iз hk,k+t i d\nu ,s(A). Тут ми врахували, що
\~Pm - 1,i мiстить d\nu ,s(A) з iндексами s = 1, 2, . . . , i+m - 1, а Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)) —
d\nu ,m+s - 1(A) з iндексами s = i+ 2, i+ 3, . . . , j + 1. Далi, \~Pm - 1,i мiстить також h0p, h1,p+1, . . .
. . . , hm - 2,m - 2+p при p = 1, 2, . . . , i, а Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)) — hm - 1,m - 1+p з iндексами
p = i+ 1, i+ 2, . . . , j.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
112 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Лiтература
1. W. Hengartner, Über die Wachstumsordnung eines linearen Systems von Differentialgleichungen mit ganzen Funkti-
onen als Koeffizienten, Comment. math. helv., 42, № 1, 60 – 80 (1967).
2. N. Steinmetz, Nevanlinna theory, normal families, and algebraic differential equations, Springer Intern. Publ. AG
(2017).
3. А. А. Мохонько, Теорема Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности логариф-
мической особой точки, Укр. мат. журн., 56, № 4, 476 – 483 (2004).
4. А. А. Гольдберг, И. В. Островский, Распределение значений мероморфных функций, Наука, Москва (1970).
5. А. З. Мохонько, В. Д. Мохонько, Оценки неванлинновских характеристик некоторых классов мероморфных
функций и их приложения к дифференциальным уравнениям, Сиб. мат. журн., 15, № 6, 1305 – 1322 (1974).
6. А. З. Мохонько, Поле алгеброидных функций и оценки их неванлинновских характеристик, Сиб. мат. журн.,
22, № 3, 213 – 218 (1981).
7. У. К. Хейман, Мероморфные функции, Мир, Москва (1966).
Одержано 24.09.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-220 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:02:12Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/26/dd7f84280a4fd209efcb3d05c0945126.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-2202022-03-27T15:39:11Z On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients Оценки роста мероморфных решений систем линейных дифференциальных уравнений Про мероморфні розв’язки систем лінійних диференціальних рівнянь з мероморфними коефіцієнтами Mokhonko , A. A. Mokhonko , A. Z. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. . . UDC 517.925.7 For systems of linear differential equations allowing dimension reduction, we obtain estimates of growth rate for meromorphic vector solutions assuming no additional constraints on the growth order of the system coefficients. &nbsp; Для систем линейных дифференциальных уравнений, допускающих понижение размерности, получены оценки роста мероморфных вектор-решений без ограничений на порядок роста коэффициентов системы. УДК 517.925.7Для системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь, що допускає зниження розмiрностi, отримано оцiнки зростання мероморфних вектор-розв’язкiв без обмежень порядку зростання коефiцiєнтiв системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-01-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/220 10.37863/umzh.v74i1.220 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 1 (2022); 99 - 112 Український математичний журнал; Том 74 № 1 (2022); 99 - 112 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/220/9182 Copyright (c) 2022 А. З. Мохонько, А. А. Мохонько |
| spellingShingle | Mokhonko , A. A. Mokhonko , A. Z. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title | On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title_alt | Оценки роста мероморфных решений систем линейных дифференциальных уравнений Про мероморфні розв’язки систем лінійних диференціальних рівнянь з мероморфними коефіцієнтами |
| title_full | On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title_fullStr | On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title_full_unstemmed | On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title_short | On meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title_sort | on meromorphic solutions to the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| topic_facet | . . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/220 |
| work_keys_str_mv | AT mokhonkoaa onmeromorphicsolutionstothesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mokhonkoaz onmeromorphicsolutionstothesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mohonʹkoaa onmeromorphicsolutionstothesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mohonʹkoaz onmeromorphicsolutionstothesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mokhonkoaa ocenkirostameromorfnyhrešenijsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT mokhonkoaz ocenkirostameromorfnyhrešenijsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT mohonʹkoaa ocenkirostameromorfnyhrešenijsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT mohonʹkoaz ocenkirostameromorfnyhrešenijsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT mokhonkoaa promeromorfnírozvâzkisistemlíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzmeromorfnimikoefícíêntami AT mokhonkoaz promeromorfnírozvâzkisistemlíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzmeromorfnimikoefícíêntami AT mohonʹkoaa promeromorfnírozvâzkisistemlíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzmeromorfnimikoefícíêntami AT mohonʹkoaz promeromorfnírozvâzkisistemlíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzmeromorfnimikoefícíêntami |