Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations
We propose a method for the investigation and solution of linear boundary-value problems for the Fredholm integrodifferential equations based on the partition of the interval and introduction of additional parameters. Every partition of the interval is associated with a homogeneous Fredholm integral...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2200 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508149238202368 |
|---|---|
| author | Dzhumabaev, D. S. Джумабаєв, Д. С. |
| author_facet | Dzhumabaev, D. S. Джумабаєв, Д. С. |
| author_sort | Dzhumabaev, D. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:14Z |
| description | We propose a method for the investigation and solution of linear boundary-value problems for the Fredholm integrodifferential equations based on the partition of the interval and introduction of additional parameters. Every partition of the interval is associated with a homogeneous Fredholm integral equation of the second kind. The definition of regular partitions is presented. It is shown that the set of regular partitions is nonempty. A criterion for the solvability of the analyzed problem is established and an algorithm for finding its solutions is constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.624.3
Д. С. Джумабаев
(Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан, Алматы)
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА
We propose a method for the investigation and solution of boundary-value problems for the Fredholm integrodifferential
equations based on the partition of the interval and introduction of additional parameters. Every partition of the interval
is associated with a homogeneous Fredholm integral equation of the second kind. The definition of regular partitions is
given. It is shown that the set of regular partitions is nonempty. A criterion for the solvability of the analyzed problem is
established and an algorithm for finding its solutions is constructed.
Запропоновано метод дослiдження i розв’язання лiнiйної крайової задачi для iнтегро-диференцiального рiвняння
Фредгольма, що ґрунтується на розбиттi iнтервалу i введеннi додаткових параметрiв. Кожному розбиттю iнтервалу
поставлено у вiдповiднiсть деяке однорiдне iнтегральне рiвняння Фредгольма другого роду. Наведено означен-
ня регулярного розбиття i показано, що множина регулярних розбиттiв не є порожньою. Встановлено критерiй
розв’язностi розглядуваної задачi i побудовано алгоритм знаходження її розв’язкiв.
1. Введение. Интегро-дифференциальные уравнения часто возникают в приложениях как мате-
матическая модель различных процессов естествознания. В монографии [1] отмечена их роль
при изучении процессов с последействиями и приведен обзор работ, посвященных краевым
задачам для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и Фредгольма. Разрешимость
краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и приближенные мето-
ды нахождения их решений изучены в работах многих авторов [2 – 11]. В монографии [12]
рассмотрены линейные краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений Фредголь-
ма с вырожденными ядрами. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости
краевых задач и построены алгоритмы нахождения их решений.
В настоящей статье рассматривается линейная двухточечная краевая задача
dx
dt
= A(t)x+
T∫
0
K(t, s)x(s) ds+ f(t), x ∈ Rn, t ∈ (0, T ), (1)
Bx(0) + Cx(T ) = d, d ∈ Rn, (2)
где матрицы A(t), K(t, s) непрерывны на [0, T ] и [0, T ]×[0, T ] соответственно, f(t) непрерывна
на [0, T ], ‖x‖ = maxi=1,n |xi|.
Через C([0, T ], Rn) обозначим пространство непрерывных функций x : [0, T ] → Rn с нор-
мой ‖x‖1 = maxt∈[0,T ] ‖x(t)‖.
Решением задачи (1), (2) является непрерывно дифференцируемая на (0, T ) функция x(t) ∈
∈ C([0, T ], Rn), удовлетворяющая интегро-дифференциальному уравнению (1) и краевому
условию (2).
Основными методами исследования и решения краевой задачи (1), (2) являются метод
А. И. Некрасова [13] и метод функций Грина. Использование этих методов требует однозначной
разрешимости некоторых промежуточных задач.
c© Д. С. ДЖУМАБАЕВ, 2014
1074 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1075
В методе А. И. Некрасова предполагается однозначная разрешимость интегрального урав-
нения Фредгольма второго рода
y(t) =
T∫
0
M(t, s)y(s) ds+ f̃(t),
с ядром M(t, s) =
∫ T
s
K(t, τ)X(τ) dτX−1(s), где X(t) — фундаментальная матрица диффе-
ренциальной части (1), f̃(t) ∈ C([0, T ], Rn).
Метод функций Грина применим к задаче (1), (2) при предположении однозначной разре-
шимости краевой задачи для дифференциальной части интегро-дифференциального уравне-
ния (1), т. е. этот метод предполагает однозначную разрешимость краевой задачи (1), (2), когда
K(t, s) = 0.
Поскольку однозначная разрешимость промежуточных задач не является необходимым
условием существования решения исходной краевой задачи, методы А. И. Некрасова и фун-
кций Грина не позволяют установить необходимые и достаточные условия разрешимости за-
дачи (1), (2).
В [14] предложен метод исследования и решения линейной краевой задачи для интегро-
дифференциального уравнения Фредгольма. Метод основан на разбиении интервала [0, T ] с
шагом h > 0 : Nh = T и введении дополнительных параметров. Здесь также требуется однозна-
чная разрешимость некоторой промежуточной задачи — специальной задачи Коши для систем
интегро-дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от вышеуказанных промежуточных
задач, эта промежуточная задача однозначно разрешима для всех h > 0, удовлетворяющих
неравенству
βTheαh < 1, (3)
где β = max(t,s)∈[0,T ]×[0,T ] ‖K(t, s)‖, α = maxt∈[0,T ] ‖A(t)‖.
Это свойство специальной задачи Коши позволило получить необходимые и достаточные
условия разрешимости задачи (1), (2). Отметим, что ограничение на шаг разбиения требуется
также и в [15, 16].
Целью работы является обобщение метода и результатов статьи [14] на случай, когда шаг
h > 0, вообще говоря, не удовлетворяет неравенству (3).
С этой целью для каждого разбиения интервала [0, T ] по исходным данным интегро-
дифференциального уравнения (1) составляется однородное интегральное уравнение Фредголь-
ма второго рода и вводится определение регулярного разбиения.
2. Специальная задача Коши и множество регулярных разбиений. Разобьем интервал
[0, T ] равномерно на N частей и обозначим через ∆N это разбиение:
∆N = {t0 = 0 < t1 < . . . < tN = T},
где ts =
sT
N
.
Через xr(t) обозначим сужение функции x(t) на r-й интервал [tr−1, tr), т. е. xr(t) = x(t),
t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1076 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Вводя параметры λr=̂xr(tr−1) и выполняя замену функции ur(t) = xr(t) − λr на каждом
r-м интервале, получаем краевую задачу с параметрами
dur
dt
= A(t)(ur + λr) +
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(t, s)(uj(s) + λj) ds+ f(t), t ∈ [tr−1, tr), (4)
ur(tr−1) = 0, r = 1, N, (5)
Bλ1 + CλN + C lim
t→T−0
uN (t) = d, (6)
λp + lim
t→tp−0
up(t)− λp+1 = 0, p = 1, N − 1, (7)
где (7) являются условиями непрерывности решения во внутренних точках разбиения ∆N .
Через C([0, T ],∆N , R
nN ) обозначим пространство систем функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . .
. . . , xN (t)), где xr : [tr−1, tr) → Rn непрерывны и имеют конечные левосторонние пределы
limt→tr−0 xr(t), r = 1, N, с нормой ‖x[·]‖2 = maxr=1,N supt∈[tr−1,tr) ‖xr(t)‖. Очевидно, что
пространство C([0, T ],∆N , R
nN ) является полным.
Если x∗(t) — решение задачи (1), (2), то составим вектор λ∗ = (x∗(t0), x
∗(t1), . . .
. . . , x∗(tN−1)) ∈ RnN и систему функций u∗[t] = (u∗1(t), u
∗
2(t), . . . , u
∗
N (t)), где u∗r(t) — су-
жение функций x∗(t) − x∗(tr−1) на r-й интервал. Очевидно, что u∗[t] ∈ C([0, T ],∆N , R
nN )
и пара (λ∗, u∗[t]) является решением задачи (4) – (7). Если пара (λ̃, ũ[t]) с элементами λ̃ =
= (λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N ) ∈ RnN , ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)) ∈ C([0, T ],∆N , R
nN ) — решение
задачи (4) – (7), то функция x̃(t), определяемая равенствами
x̃(t) = λ̃r + ũr(t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, x̃(T ) = λ̃N + lim
t→T−0
ũN (t),
является решением исходной краевой задачи (1), (2).
Отметим, что условия непрерывности решения (7) и интегро-дифференциальные урав-
нения (4) обеспечивают также и непрерывность производных во внутренних точках разбие-
ния ∆N .
Введение дополнительных параметров [17] позволяет получить начальные данные (5). Те-
перь при фиксированных значениях параметров λ ∈ RnN систему функций u[t] можно опре-
делить из специальной задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений (4),
(5). Используя фундаментальную матрицу X(t) дифференциального уравнения
dx
dt
= A(t)x,
сводим задачу (4), (5) к эквивалентной системе интегральных уравнений
ur(t) = X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)A(τ1)dτ1λr+
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(τ1, s)(uj(s) + λj) dsdτ1+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1077
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)f(τ1) dτ1, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. (8)
В системе (8) предположим t = τ. Умножая обе части наK(t, τ), интегрируя по τ на отрезке
[tr−1, tr] и суммируя по r, получаем
N∑
r=1
tr∫
tr−1
K(t, τ)ur(τ) dτ =
N∑
r=1
tr∫
tr−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(τ1)×
×
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(τ1, s)uj(s) dsdτ1dτ +
N∑
r=1
tr∫
tr−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(τ1)A(τ1) dτ1dτλr+
+
N∑
r=1
tr∫
tr−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(τ1)
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(τ1, s) dsλj + f(τ1)
dτ1dτ, t ∈ [0, T ]. (9)
Изменим порядок суммирования в последней сумме (9) и введем обозначения
Φ(∆N , t) =
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(t, s)uj(s) ds,
Dr(∆N , t) =
tr∫
tr−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(τ1)A(τ1) dτ1dτ+
+
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ1)
tr∫
tr−1
K(τ1, s) dsdτ1dτ,
F (∆N , t) =
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ1)f(τ1) dτ1dτ.
Тогда уравнение (9) примет вид
Φ(∆N , t) =
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ1)Φ(∆N , τ1) dτ1dτ+
+
N∑
r=1
Dr(∆N , t)λr + F (∆N , t), t ∈ [0, T ]. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1078 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Меняя порядок интегрирования в повторном интеграле, имеем
tj∫
tj−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ1)Φ(∆N , τ1) dτ1dτ =
=
tj∫
tj−1
tj∫
τ1
K(t, τ)X(τ) dτ
X−1(τ1)Φ(∆N , τ1) dτ1.
Равенствами
M(∆N , t, τ) =
tj∫
τ
K(t, τ1)X(τ1) dτ1X
−1(τ), t ∈ [0, T ], τ ∈ [tj−1, tj), j = 1, N,
M(∆N , t, T ) = 0
определим квадратную матрицу размерности n на [0, T ]× [0, T ]. Для каждого фиксированного
разбиения ∆N матрицаM(∆N , t, τ) является непрерывной по t ∈ [0, T ] и кусочно-непрерывной
по τ ∈ [0, T ].
Теперь, уравнение (10) записывается в виде интегрального уравнения Фредгольма второго
рода
Φ(∆N , t) =
T∫
0
M(∆N , t, τ)Φ(∆N , τ) dτ +D(∆N , t)λ+ F (∆N , t), t ∈ [0, T ], (11)
где D(∆N , t) = (Dr(∆N , t)), r = 1, N, — непрерывная на [0, T ] матрица размерности n× nN,
λ = (λ1, λ2, . . . , λN ) ∈ RnN , F (∆N , t) ∈ C([0, T ], Rn). Решением уравнения (11) является
непрерывная на [0, T ] вектор-функция Φ(∆N , t) размерности n.
Очевидно, что если u[t] = (u1(t), u2(t), . . . , uN (t)) — решение специальной задачи Коши
(4), (5) при заданных λ, f(t), то вектор-функция Φ(∆N , t) =
∑N
j=1
∫ tj
tj−1
K(t, s)uj(s) ds будет
решением уравнения (11). Верно и обратное утверждение.
Лемма 1. Пусть Φ̃(∆N , t) — решение интегрального уравнения Фредгольма второго ро-
да (11). Тогда система функций ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)) с элементами
ũr(t) = X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)A(τ1) dτ1λr+
+
N∑
j=1
X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)
tj∫
tj−1
K(τ1, s) dsdτ1λj +X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)f(τ1) dτ1+
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)Φ̃(∆N , τ1) dτ1, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1079
будет решением специальной задачи Коши (4), (5).
Доказательство. Покажем, что правая часть (12) будет решением системы интеграль-
ных уравнений (8). Поскольку уравнение (11) эквивалентно (10), можно подставить вместо
Φ̃(∆N , τ1) в (12) правую часть (10):
ũr(t) = X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)A(τ1) dτ1λr+
+
N∑
j=1
X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)
tj∫
tj−1
K(τ1, s) dsdτ1λj+
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ)f(τ) dτ+
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ1)
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(τ1, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(s)Φ̃(∆N , s) dsdτ +
+
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(τ1, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(s)A(s) dsdτλj+
+
N∑
j=1
N∑
k=1
tk∫
tk−1
K(τ1, τ)X(τ)
τ∫
tk−1
X−1(τ2)
tj∫
tj−1
K(τ2, s) dsdτ2dτλj+
+
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(τ1, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(s)f(s) dsdτ
dτ1.
Используя равенство
N∑
j=1
N∑
k=1
tk∫
tk−1
K(τ1, τ)X(τ)
τ∫
tk−1
X−1(τ2)
tj∫
tj−1
K(τ2, s) dsdτ2dτλj =
=
N∑
j=1
N∑
k=1
tj∫
tj−1
K(τ1, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ2)
tk∫
tk−1
K(τ2, s) dsdτ2dτλk
и представление (12) функции ũr(t), убеждаемся, что выражение в фигурной скобке равно∑N
j=1
∫ tj
tj−1
K(τ1, τ)ũj(τ) dτ, т. е. система функций ũ[t] =
(
ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)
)
удовлетво-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1080 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
ряет системе интегральных уравнений (8). Отсюда и из эквивалентности специальной задачи
Коши (4), (5) и систем интегральных уравнений (8) следует утверждение леммы.
Лемма 1 доказана.
Возьмем произвольное разбиение ∆N интервала [0, T ] и рассмотрим соответствующее одно-
родное интегральное уравнение Фредгольма
Φ(∆N , t) =
T∫
0
M(∆N , t, τ)Φ(∆N , τ) dτ. (13)
Определение 1. Разбиение ∆N называется регулярным, если интегральное уравнение (13)
имеет только тривиальное решение.
Поскольку любая фундаментальная матрица дифференциального уравнения имеет вид
X(t) = X0(t) · C, где нормальная фундаментальная матрица X0(t) удовлетворяет условию
X0(0) = I, C — произвольная обратимая матрица и
M(∆N , t, τ) =
tr∫
τ
K(t, τ1)X(τ1) dτ1X
−1(τ) =
tr∫
τ
K(t, τ1)X
0(τ1) dτ1(X
0(τ))−1,
то (n×n)-матрица M(∆N , t, τ) не зависит от выбора фундаментальной матрицы дифференци-
альной части уравнения (1). Поэтому регулярность разбиения ∆N также не зависит от выбора
фундаментальной матрицы.
Множество регулярных разбиений ∆N обозначим через σ([0, T ]). Как следует из общей
теории интегральных уравнений, если ∆N ∈ σ([0, T ]), то уравнение (11) имеет единственное
решение при любых λ ∈ RnN , F (∆N , t) ∈ C([0, T ], Rn), и это решение представимо в виде
Φ(∆N , t) = D(∆N , t)λ+ F (∆N , t) +
T∫
0
Γ(∆N , t, s, 1)(D(∆N , s)λ+
+F (∆N , s)) ds, t ∈ [0, T ], (14)
где Γ(∆N , t, s, 1) — резольвента интегрального уравнения Фредгольма (11).
Отметим, что при N = 1 уравнение (13) принимает вид
Φ(∆1, t) =
T∫
0
T∫
τ
K(t, τ1)X(τ1) dτ1
X−1(τ)Φ(∆1, τ) dτ. (15)
Если (15) имеет только нулевое решение Φ = 0, то соответствующее неоднородное инте-
гральное уравнение однозначно разрешимо и, следовательно, метод А. И. Некрасова применим
к задаче (1), (2). Таким образом, условие ∆1 ∈ σ([0, T ]) совпадает с предположением метода
А. И. Некрасова.
Лемма 2. Множество σ([0, T ]) не пусто.
Доказательство. Пусть числоN0 ∈ N удовлетворяет неравенству δ(N0) = βT
T
N0
eαT/N0 <
< 1. Докажем, что для любого N ≥ N0 разбиение ∆N принадлежит σ([0, T ]). Используя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1081
равенство
X(t)
t∫
a
X−1(τ1)F̃ (τ1) dτ1 =
t∫
a
F̃ (τ1) dτ1 +
t∫
a
A(τ1)
τ1∫
a
F̃ (τ2) dτ2dτ1+
+
t∫
a
A(τ1)
τ1∫
a
A(τ2)
τ2∫
a
F̃ (τ3) dτ3 + . . . , a, t ∈ [0, T ],
справедливое для любой непрерывной на [0, T ] вектор-функции F̃ (t), получаем оценку
max
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥∥
T∫
0
K̃(∆N , t, τ)Φ(∆N , τ) dτ
∥∥∥∥∥∥ =
= max
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥∥∥
N∑
j=1
tj∫
tj−1
K(t, τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ1)Φ(∆N , τ1) dτ1dτ
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ βT T
N
eαT/N max
t∈[0,T ]
‖Φ(∆N , t)‖ ≤ δ(N0) max
t∈[0,T ]
‖Φ(∆N , t)‖.
Поскольку δ(N0) < 1, для любого N ≥ N0 однородное интегральное уравнение (13) имеет
только нулевое решение, т. е. ∆N ∈ σ([0, T ]).
Лемма 2 доказана.
3. Разрешимость краевой задачи. Предположим, что ∆N ∈ σ([0, T ]). Подставим вместо
N∑
j=1
∫ tj
tj−1
K(t, s)uj(s) ds в (8) правую часть (14). Получим представление функции ur(t) через
λ ∈ RnN , f(t) ∈ C([0, T ], Rn) :
ur(t) = X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ)A(τ) dτλr +
N∑
j=1
X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ)D̂j(∆N , τ) dτλj+
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ)F̂ (∆N , τ) dτ, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, (16)
где
D̂j(∆N , t) =
tj∫
tj−1
K(t, s) ds+Dj(∆N , t) +
T∫
0
Γ(∆N , τ1, s, 1) dj(∆N , s) ds,
F̂ (∆N , t) = f(t) + F (∆N , t) +
T∫
0
Γ(∆N , τ1, s, 1)F (∆N , s) ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1082 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Из (16) определим limt→T−0 uN (t), limt→tp−0 up(t), p = 1, N − 1. Подставляя их в (6), (7)
и умножая обе части (6) на h =
T
N
, получаем линейную систему уравнений относительно
введенных параметров λr, r = 1, N :
h
B + CX(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)D̂1(∆N , τ) dτ
λ1+
+hC
N−1∑
k=2
X(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)D̂k(∆N , τ)dτλk+
+hC
I +X(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)
(
A(τ) + D̂N (∆N , τ)
)
dτ
λN =
= hd− hCX(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)F̂ (∆N , τ) dτ, (17)
I +X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)
(
A(τ) + D̂p(∆N , τ)
)
dτ
λp−
−
I −X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)D̂p+1(∆N , τ)dτ
λp+1+
+
N∑
j=1
j 6=p
j 6=p+1
X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)D̂k(∆N , τ) dτλj =
= −X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)F̂ (∆N , τ) dτ, p = 1, N − 1, (18)
где I — единичная матрица размерности n.
Соответствующую левой части систем (17), (18) матрицу размерности nN ×nN обозначим
через Q∗(∆N ), и эту систему запишем в виде
Q∗(∆N )λ = −F ∗(∆N ), λ ∈ RnN , (19)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1083
F ∗(∆N ) =
−hd+ hCX(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)F̂ (∆N , τ) dτ,X(t1) ×
×
t1∫
0
X−1(τ)F̂ (∆N , τ)) dτ, . . . , X(tN−1)
tN−1∫
tN−2
X−1(τ)F̂ (∆N , τ)) dτ
∈ RnN .
Лемма 3. Пусть ∆N ∈ σ([0, T ]). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) вектор λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N ) ∈ RnN , составленный из значений решения x∗(t) зада-
чи (1), (2) в точках разбиения λ∗r = x∗(tr−1), r = 1, N, удовлетворяет системе (19);
2) если λ̃ = (λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N ) ∈ RnN является решением системы уравнений (19), а система
функций ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)) — решением специальной задачи Коши (4), (5) при
λr = λ̃r, r = 1, N, то функция x̃(t), определяемая равенствами x̃(t) = λ̃r + ũr(t), t ∈ [tr−1, tr),
r = 1, N, x̃(T ) = λ̃N + limt→T−0 ũN (t), является решением задачи (1), (2).
Доказательство. 1. Пусть x∗(t) — решение задачи (1), (2). Тогда пара ((λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N ),
(u∗1(t), u
∗
2(t), . . . , u
∗
N (t)) с элементами λ∗r = x∗(tr−1), u
∗
r(t) = x∗(t) − x∗(tr−1), t ∈ [tr−1, tr),
r = 1, N, будет решением эквивалентной краевой задачи с параметрами (4) – (7). Учитывая, что
∆N ∈ σ([0, T ]), и повторяя вышеприведенные рассуждения, убеждаемся, что λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . .
. . . , λ∗N ) ∈ RnN удовлетворяет системе уравнений (19).
2. Пусть λ̃ = (λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N ) ∈ RnN — решение системы уравнений (19). Поскольку ∆N ∈
∈ σ([0, T ]), согласно лемме 1 специальная задача Коши (4), (5) имеет единственное решение при
любых λ ∈ RnN и f(t) ∈ C([0, T ], Rn). Ее решение при λ = λ̃ = (λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N ) обозначим
через ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)).Покажем, что пара (λ̃, ũ[t]) является решением задачи (4) –
(7). В силу выбора ũ[t] по λ̃ выполняются (4), (5). Если λ̃ ∈ RnN удовлетворяет (19), то
справедливо уравнение
Bλ̃1 + Cλ̃N + C
X(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)A(τ) dτλ̃N+
+
N∑
j=1
X(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)D̂j(∆N , τ) dτλ̃j +X(T )
T∫
tN−1
X−1(τ)F̂ (∆N , τ)) dτ
= d.
Теперь, учитывая представление (16), справедливое для пары (λ̃, ũ[t]), убеждаемся, что выраже-
ние в фигурной скобке равно limt→T−0 ũN (t) и выполняется краевое условие (6). Для λ̃ ∈ RnN
справедливы также следующие равенства:
λ̃p +
X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)A(τ) dτλ̃p +
N∑
j=1
X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)D̂j(∆N , τ) dτλ̃j +
+ X(tp)
tp∫
tp−1
X−1(τ)F̂ (∆N , τ) dτ
− λ̃p+1 = 0, p = 1, N − 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1084 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Отсюда на основе (16) следует выполнение условий непрерывности (7). В силу эквивалентности
задач (1), (2) и (4) – (7) функция x̃(t), построенная с помощью пары (λ̃, ũ[t]), будет решением
задачи (1), (2).
Лемма 3 доказана.
Теорема 1. Если при разбиении ∆N ∈ σ([0, T ]) матрица Q∗(∆N ) : RnN → RnN обрати-
ма, то задача (1), (2) имеет единственное решение.
Доказательство. Возьмем ∆N ∈ σ([0, T ]) и для заданных f(t) ∈ C([0, T ], Rn), d ∈ Rn
построим систему (19). Использовав обратимость (nN × nN)-матрицы Q∗(∆N ), найдем ее
единственное решение λ∗ = −(Q∗(∆N ))−1F ∗(∆N ), λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N )) ∈ RnN . Решая
специальную задачу Коши (4), (5) при λr = λ∗r , r = 1, N, получаем систему функций u∗[t] =
= (u∗1(t), u
∗
2(t), . . . , u
∗
N (t)). Согласно лемме 3 функция x∗(t), определяемая равенствами x∗(t) =
= λ∗r + u∗r(t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, x∗(T ) = λ∗N + limt→T−0 u
∗
N (t), будет решением зада-
чи (1), (2).
Установим единственность решения. Пусть задача (1), (2) кроме x∗(t) имеет некоторое дру-
гое решение x̃(t). Тогда пара (λ̃, ũ[t]), составленная по функции x̃(t), также является решением
краевой задачи с параметром (4) – (7). По лемме 3 как λ∗, так и λ̃ удовлетворяют системе
уравнений (19):
Q∗(∆N )λ∗ = −F ∗(∆N ), Q∗(∆N )λ̃ = −F ∗(∆N ).
Отсюда вследствие обратимости матрицы Q∗(∆N ) следует равенство λ∗ = λ̃. Единственность
решения специальной задачи Коши (4), (5) при ∆N ∈ σ([0, T ]) обеспечивает выполнение
равенств u∗r(t) = ũr(t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, limt→T−0 u
∗
N (t) = limt→T−0 ũN (t). Поэтому
x∗(t) = x̃(t) для всех t ∈ [0, T ].
Теорема 1 доказана.
Определение 2. Задача (1), (2) называется однозначно разрешимой, если для любой пары
(f(t), d), где f(t) ∈ C([0, T ], Rn), d ∈ Rn, она имеет единственное решение.
Теорема 2. Для однозначной разрешимости задачи (1), (2) необходимо и достаточно,
чтобы матрица Q∗(∆N ) : RnN → RnN была обратимой для любого ∆N ∈ σ([0, T ]).
Доказательство. Необходимость. Возьмем ∆N ∈ σ([0, T ]) и построим (nN × nN)-
матрицу Q∗(∆N ). Предположим, что существует такое ∆
Ñ
, принадлежащее σ([0, T ]), при
котором матрица Q∗(∆
Ñ
) не имеет обратную. Тогда однородная система уравнений
Q∗(∆
Ñ
)λ = 0 (20)
имеет ненулевое решение λ̃ =
(
λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N
)
∈ RnÑ .
Как видно из (17), (18), для однородной краевой задачи
dx
dt
= A(t)x+
T∫
0
K(t, s)x(s) ds, Bx(0) + Cx(T ) = 0 (21)
правая часть (19) — вектор F ∗(∆N ) = 0 и система (19) имеет вид (20). Поэтому согласно
лемме 3 функция x̃(t), определяемая равенствами
x̃(t) = λ̃r + ũr(t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, Ñ , x̃(T ) = λ̃
Ñ
+ lim
t→T−0
ũ
Ñ
(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1085
где система функций ũ[t] =
(
ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũÑ (t)
)
— решение специальной задачи Коши (4),
(5) при λr = λ̃r, r = 1, Ñ , f(t) = 0, будет ненулевым решением краевой задачи (21). Это про-
тиворечит однозначной разрешимости задачи (1), (2), так как задача (21) кроме построенного
ненулевого решения x̃(t) имеет и решение x(t) = 0.
Достаточность условий теоремы для однозначной разрешимости задачи (1), (2) следует
из теоремы 1.
Теорема 2 доказана.
Матрица Q∗(∆N ) существует при любом ∆N ∈ σ([0, T ]), и справедлива следующая теоре-
ма.
Теорема 3. Возможны лишь два случая:
1) det Q∗(∆N ) 6= 0 для всех ∆N ∈ σ([0, T ]);
2) det Q∗(∆N ) = 0 для всех ∆N ∈ σ([0, T ]).
В первом случае задача (1), (2) однозначно разрешима. Во втором случае задача (1), (2) раз-
решима тогда и только тогда, когда вектор F ∗(∆N ) ∈ RnN , составленный из заданной
пары (f(t), d), f(t) ∈ C([0, T ], Rn), d ∈ Rn, ортогонален ядру транспонированной матрицы
(Q∗(∆N ))′, т. е. для любого Θ ∈ Ker (Q∗(∆N ))′ справедливо равенство (F ∗(∆N ),Θ) = 0, где
(·, ·) — скалярное произведение в RnN .
Доказательство. Если при некотором ∆
N̂
∈ σ([0, T ]) имеет место неравенство
detQ∗(∆
N̂
) 6= 0, то матрица Q∗(∆
N̂
) обратима и по теореме 1 задача (1), (2) имеет един-
ственное решение для любой пары (f(t), d), f(t) ∈ C([0, T ], Rn), d ∈ Rn. Тогда согласно
теореме 2 матрица Q∗(∆N ) обратима, тем самым выполнено неравенство detQ∗(∆N ) 6= 0 при
всех ∆N ∈ σ([0, T ]).
Предположим, что detQ∗(∆
Ñ
) = 0 при некотором ∆
Ñ
∈ σ([0, T ]) и существует ∆N∗ ∈
∈ σ([0, T ]), при котором detQ∗(∆N∗) 6= 0. Тогда по доказанному выше неравенству
detQ∗(∆
Ñ
) 6= 0. Это противоречит введенному предположению. Поэтому в этом случае
detQ∗(∆N ) = 0 для всех ∆N ∈ σ([0, T ]).
Теорема 1 обеспечивает однозначную разрешимость задачи (1), (2) в первом случае.
Рассмотрим второй случай. Предположим, что задача (1), (2) имеет решение. Тогда по
лемме 3 система линейных уравнений (19) имеет решение. Это возможно если только вектор
F ∗(∆N ), составленный по f(t), d, ортогонален ядру транспонированной матрицы (Q∗(∆N ))′.
Пусть F ∗(∆N )⊥Ker(Q∗(∆N ))′. Тогда система линейных уравнений относительно параметров
(19) разрешима и согласно лемме 3 задача (1), (2) имеет решение.
Теорема 3 доказана.
Нахождение решения задачи (1), (2) осуществляется следующим образом.
Из множества σ([0, T ]) выбирается разбиение интервала ∆N и по исходным данным за-
дачи (1), (2) составляются (nN × nN)-матрица Q∗(∆N ) и nN -вектор F ∗(∆N ). Если ма-
трица Q∗(∆N ) обратима, то из системы (19) определяется единственное ее решение λ∗ =
= −(Q∗(∆N ))−1F ∗(∆N ).
Решая специальную задачу Коши (4), (5) при λ = λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N ) ∈ RnN , находим
систему функций u∗[t] = (u∗1(t), u
∗
2(t), . . . , u
∗
N (t)).
Равенствами x∗(t) = λ∗r + u∗r(t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, x∗(T ) = λ∗N + limt→T−0 u
∗
N (t)
определяем решение задачи (1), (2).
Если матрица Q∗(∆N ) не имеет обратную, то находятся все решения однородной системы
(Q∗(∆N ))′ · µ = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1086 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
и составляется Ker(Q∗(∆N ))′. Проверяется ортогональность вектора F ∗(∆N ) ядру (Q∗(∆N ))′.
Если это условие выполняется, то система (20) имеет решение. Для каждого решения этой
системы находится соответствующее решение специальной задачи Коши (4), (5) и по ним
определяется решение исходной задачи (1), (2).
Если условие ортогональности F ∗(∆N ) к Ker(Q∗(∆N ))′ не выполняется, то решение зада-
чи (1), (2) не существует.
4. Интегро-дифференциальное уравнение с вырожденным ядром. Рассмотрим случай,
когда ядро интегрального члена уравнения (1) вырождено, т. е.
K(t, s) =
m∑
k=1
ϕk(t) · ψk(s), (22)
где (n × n)-матрицы ϕk(t), ψk(s) непрерывны на [0, T ]. Здесь при разбиении ∆N с шагом
h =
T
N
> 0 решение функционального уравнения (11) имеет вид
Φ(∆N , t) =
m∑
k=1
ϕk(t)
N∑
j=1
tj∫
tj−1
ψk(s)uj(s) ds.
Введем обозначение µk =
∑N
j=1
∫ tj
tj−1
ψk(s)uj(s) ds и систему интегральных уравнений (8)
запишем в виде
ur(t) =
m∑
k=1
X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ)ϕk(τ) dτµk+
+X(t)
t∫
tr−1
X−1(τ)
A(τ)λr +
m∑
k=1
ϕk(τ)
N∑
j=1
tj∫
tj−1
ψk(s) dsλj + f(τ)
dτ, (23)
t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N.
Умножая обе части (4) на ψp(t), интегрируя на интервале [tr−1, tr] и суммируя по r, получаем
систему линейных уравнений относительно µ = (µ1, µ2, . . . , µm) ∈ Rnm
µp =
m∑
k=1
Gp,k(∆N ) · µk +
N∑
r=1
Vp,r(∆N )λr + Ψp(f,∆N ), p = 1,m, (24)
с (n× n)-матрицами
Gp,k(∆N ) =
N∑
r=1
tr∫
tr−1
ψp(τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(s)ϕk(s) dsdτ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1087
Vp,r(∆N ) =
tr∫
tr−1
ψp(τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(s)A(s) dsdτ+
+
N∑
j=1
m∑
k=1
tj∫
tj−1
ψp(τ)X(τ)
τ∫
tj−1
X−1(τ1)ϕk(τ1) dτ1dτ
tr∫
tr−1
ψk(s) ds
и векторами размерности n
Ψp(f,∆N ) =
N∑
r=1
tr∫
tr−1
ψp(τ)X(τ)
τ∫
tr−1
X−1(s)f(s) dsdτ.
По матрицам Gp,k(∆N ), Vp,r(∆N ) составим матрицы G(∆N ) = (Gp,k(∆N )), p, k = 1,m,
V (∆N ) = (Vp,r(∆N )), p = 1,m, r = 1, N, размерности nm× nm, nm× nN соответственно, и
систему (24) запишем в виде
(I −G(∆N ))µ = V (∆N )λ+ Ψ(f,∆N ), (25)
где I — единичная матрица размерности nm,
Ψ(f,∆N ) =
(
Ψ1(f,∆N ),Ψ2(f,∆N ), . . . ,Ψm(f,∆N )
)
∈ Rnm.
Итак, если ядро интегрального члена интегро-дифференциального уравнения имеет вид
(22), нахождение вектор-функции Φ(∆N , t) сводится к нахождению решения системы (25)
относительно вектора µ ∈ Rnm.
Если через g(m, [0, T ]) обозначить множество разбиений ∆N , при котором матрица (I −
− G(∆N )) обратима, то нетрудно установить, что для интегро-дифференциального уравне-
ния (1) с ядром (22) справедливо равенство g(m, [0, T ]) = σ([0, T ]).
Таким образом, если ядро интегрального члена в (1) вырождено, то существование только
тривиального решения интегрального уравнения (13) эквивалентно обратимости (nm × nm)-
матрицы (I −G(∆N )) при выбранном ∆N .
5. Пример. Рассмотрим на [0, 1] двухточечную краевую задачу
dx
dt
= −ax+ α
1∫
0
x(s) ds+ at2 + 2t− α
3
, (26)
x(0)− bx(1) = −b, (27)
где a, α, b — произвольные числа.
Пусть имеют место неравенства
a 6= 0,
α
a
[
1 +
1
a
(
e−a − 1
)]
6= 1, (28)
обеспечивающие регулярность ∆1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1088 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Обозначив x(0) через λ и выполнив замену u(t) = x(t)−λ, получим эквивалентную краевую
задачу с параметром
du
dt
= −a(u+ λ) + α
1∫
0
[u(s) + λ]ds+ at2 + 2t− α
3
, (29)
u(0) = 0, (30)
λ− bλ− bu(1) = −b. (31)
Задача Коши (29), (30) эквивалентна интегральному уравнению
u(t) = e−at
t∫
0
eaτdτα
1∫
0
u(s) ds+
+e−at
t∫
0
eaτdτ(α− a)λ+ e−at
t∫
0
eaτ
(
aτ2 + 2τ − α
3
)
dτ. (32)
Введем обозначение µ =
∫ 1
0
u(s) ds. Проинтегрировав обе части (32), получим
µ =
α
a
[
1 +
1
a
(
e−a − 1
)]
µ+
α− a
a
[
1 +
1
a
(
e−a − 1
)]
λ+
1
3
− α
3a
[
1 +
1
a
(
e−a − 1
)]
. (33)
В силу (28) µ из (33) определяется единственным образом. Заменив в (32) интеграл от функции
u(s) соответствующим выражением из (33), после некоторых вычислений установим, что
u(t) =
a(α− a)
a2 − α(a+ e−a − 1)
(
1− e−at
)
λ+ t2. (34)
Подставив в краевое условие (31) правую часть (34) при t = 1, будем иметь
Q(∆1) · λ = 0, (35)
где Q(∆1) = 1− b
[
1 +
a(α− a)(1− e−a)
a2 − α(a+ e−a − 1)
]
.
При Q(∆1) 6= 0 уравнение (35) имеет единственное решение λ = 0, а функция x(t) = t2
является единственным решением краевой задачи (26), (27). При Q(∆1) = 0 краевая задача
(26), (27) имеет семейство решений
x(t) =
a(α− a)
a2 − α(a+ e−a − 1)
(
1− e−at
)
C + C + t2,
где C — произвольное число.
Теперь рассмотрим случай, когда a 6= 0 и имеет место равенство
α
a
[
1 +
1
a
(
e−a − 1
)]
= 1. (36)
При выполнении этого равенства ∆1 не является регулярным.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1089
Интервал [0, 1] разобьем на две части с шагом h = 0,5 и исследуем эквивалентную краевую
задачу с параметрами
du1
dt
= −a(u1 + λ1) + α
0,5∫
0
u1(s) ds+
1
2
λ1 +
1∫
0,5
u2(s) ds+
1
2
λ2
+
+at2 + 2t− α
3
, t ∈ [0; 0,5), (37)
du2
dt
= −a(u2 + λ2) + α
0,5∫
0
u1(s) ds+
1
2
λ1 +
1∫
0,5
u2(s) ds+
1
2
λ2
+
+at2 + 2t− α
3
, t ∈ [0,5; 1), (38)
u1(0) = 0, u2(0,5) = 0, (39)
λ1 − bλ2 − b lim
t→1−0
u2(t) = −b, (40)
λ1 + lim
t→0,5−0
u1(t)− λ2 = 0. (41)
Введем обозначение µ =
∫ 0,5
0
u1(s) ds+
∫ 1
0,5
u2(s) ds и из (37) – (39) получим
u1(t) = e−at
t∫
0
eaτdταµ+ e−at
t∫
0
eaτdτ
[
−aλ1 +
α
2
(λ1 + λ2)
]
+
+e−at
t∫
0
eaτ
(
aτ2 + 2τ − α
3
)
dτ, t ∈ [0; 0,5), (42)
u2(t) = e−at
t∫
0,5
eaτdταµ+ e−at
t∫
0,5
eaτdτ
[
−aλ2 +
α
2
(λ1 + λ2)
]
+
+e−at
t∫
0,5
eaτ
(
aτ2 + 2τ − α
3
)
dτ, t ∈ [0,5; 1). (43)
Из (42), (43) вытекает уравнение
µ =
α
a
[
1 +
2
a
(
e−a/2 − 1
)]
µ+
1
a
[
1
2
+
1
a
(
e−a/2 − 1
)]
(α− a)(λ1 + λ2)+
+
1
3
{
1− α
a
[
1 +
2
a
(
e−a/2 − 1
)]}
+
1
4a
(
e−a/2 − 1
)
. (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1090 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Нетрудно установить, что из (36) следует неравенство
α
a
[
1 +
2
a
(
e−a/2 − 1
)]
6= 1. (45)
Поскольку (45) обеспечивает однозначную разрешимость уравнения (44), то ∆2 — регулярное
разбиение интервала [0, 1].
Из (44) найдем µ и, подставив соответствующее ему выражение в (42), (43), получим
представление u1(t), u2(t) через λ1, λ2. Используя (40), (41), имеем систему уравнений
Q(∆2) · λ = −F, λ ∈ R2. (46)
Элементы матрицы Q(∆2) = (qij), i, j = 1, 2, и вектора F = (Fi), i = 1, 2, определяются
равенствами
q11 = 1− b · β, q12 = −b · e−a/2 − b · β,
q21 = e−a/2 + β, q22 = −1 + β,
F1 =
b
4
(
e−a/2 + β
)
F2 =
1
4
(
1− β
)
,
где β =
α(1− e−a/2)2
a2 − α(a+ 2e−a/2 − 2)
.
Если detQ(∆2) 6= 0, то система (46) имеет единственное решение λ1 = 0, λ2 =
1
4
, а
решением задачи (26), (27) является только x(t) = t2.
Если detQ(∆2) = 0, то несложные вычисления показывают, что F ортогонален к
Ker(Q(∆2))
′ и краевая задача (26), (27) имеет семейство решений. Вследствие громоздкости
выражения, приведем его для случая a = 0. В этом случае регулярность разбиения зависит
только от α.
Если α 6= 2, то ∆1 будет регулярным и уравнение относительно λ имеет вид(
1− b2 + α
2− α
)
λ = 0.
При 1− b2 + α
2− α
6= 0 задача (26), (27) имеет единственное решение x(t) = t2.
При 1− b2 + α
2− α
= 0 задача (26), (27) имеет семейство решений
x(t) =
(
1 +
2αt
2− α
)
C + t2,
где C — произвольное число.
При a = 0, α = 2 регулярным будет разбиение ∆2.
Система уравнений относительно вводимых параметров имеет вид
(1− b)λ1 − 2bλ2 = −1
2
b,
2λ1 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 1091
Если b 6= 0, то эта система имеет единственное решение λ1 = 0, λ2 =
1
4
, а задача (26), (27)
— единственное решение x(t) = t2.
Если b = 0, то задача (26), (27) имеет семейство решений
x(t) = 2t · C + t2 − 1
2
t,
где C — произвольное число.
Автор выражает искреннюю признательность академику А. М. Самойленко за предложен-
ный пример.
1. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. – Фрунзе: Киргиз. гос. ун-т,
1957. – 328 с.
2. Виграненко Т. И. Об одной граничной задаче для линейных интегро-дифференциальных уравнений // Зап.
Ленингр. горн. ин-та. – 1956. – 33, вып. 3. – C. 177 – 187.
3. Кривошеин Л. Е. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро-дифференциальных урав-
нений. – Фрунзе: Изд-во АН КиргССР, 1962. – 184 с.
4. Шароглазов В. С., Васильев В. В. Об одном методе приближенного решения краевой задачи для линейных
интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. и интегр. уравнения. – 1975. – Вып. 3. – С. 212 – 217.
5. Артыков А. Ж. Условия разрешимости краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений // Исслед.
по интегро-дифференц. уравнениям. – 1994. – Вып. 25. – С. 110 – 113.
6. Liz E., Nieto J. J. Boundary value problems for second order integro-differential equations of Fredholm type // J.
Comput. and Appl. Math. – 1996. – 72. – P. 215 – 225.
7. Лучка А. Ю., Нестеренко О. Б. Проекцiйний метод розв’язування iнтегро-диференцiальних рiвнянь з обмежен-
нями та керуванням // Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11, № 2. – C. 208 – 216.
8. Лучка А. Ю., Нестеренко О. Б. Побудова розв’язкiв iнтегро-диференцiальних рiвнянь з обмеженнями i керу-
ванням проекцiйно-iтеративним методом // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 1. – C. 83 – 91.
9. Yulan W., Chaolu T., Jing P. New algorithm for second order boundary value problems of integro-differential
equation // J. Comput. and Appl. Math. – 2009. – 229. – P. 1 – 6.
10. Джумабаев Д. С., Бакирова Э. А. Признаки корректной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи
для систем интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2010. – 46, № 4. – С. 550 – 564.
11. Pedas A., Tamme E. A discrete collocation method for Fredholm integro-differential equations with weakly singular
kernels // Appl. Numer. Math. – 2011. – 61. – P. 738 – 751.
12. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: WSP, 2004. – 317 p.
13. Некрасов А. И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // Тр. ЦАГИ. – 1934. –
Вып. 190. – С. 1 – 25.
14. Джумабаев Д. С. Об одном методе решения линейной краевой задачи для интегро-дифференциального урав-
нения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2010. – 50, № 7. – С. 1209 – 1221.
15. Джумабаев Д. С. Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи для
интегро-дифференциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2013. – 53, № 6. –
С. 914 – 937.
16. Джумабаев Д. С., Бакирова Э. А. О признаках однозначной разрешимости линейной двухточечной краевой
задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2013. – 49, № 9. –
С. 1125 – 1140.
17. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. – С. 50 – 66.
Получено 23.09.13,
после доработки — 03.12.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2200 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:37Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b2/c455891f0b9e08906bb84a60c0bef8b2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22002019-12-05T10:26:14Z Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations Необходимые и достаточные условия разрешимости линейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма Dzhumabaev, D. S. Джумабаєв, Д. С. We propose a method for the investigation and solution of linear boundary-value problems for the Fredholm integrodifferential equations based on the partition of the interval and introduction of additional parameters. Every partition of the interval is associated with a homogeneous Fredholm integral equation of the second kind. The definition of regular partitions is presented. It is shown that the set of regular partitions is nonempty. A criterion for the solvability of the analyzed problem is established and an algorithm for finding its solutions is constructed. Запропоновано метод дослідження i розв'язання лінійної крайової задачi для інтегро-диференціального рівняння Фредгольма, що ґрунтується на розбитті інтервалу i введенні додаткових параметрів. Кожному розбиттю інтервалу поставлено у відповідність деяке однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду. Наведено означення регулярного розбиття і показано, що множина регулярних розбиттів не є порожньою. Встановлено критерій розв'язності розглядуваної задачі i побудовано алгоритм знаходження її розв'язків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2200 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 8 (2014); 1074–1091 Український математичний журнал; Том 66 № 8 (2014); 1074–1091 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2200/1401 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2200/1402 Copyright (c) 2014 Dzhumabaev D. S. |
| spellingShingle | Dzhumabaev, D. S. Джумабаєв, Д. С. Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations |
| title | Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations |
| title_alt | Необходимые и достаточные условия разрешимости линейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма |
| title_full | Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations |
| title_fullStr | Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations |
| title_full_unstemmed | Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations |
| title_short | Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of Linear Boundary-Value Problems for the Fredholm Integrodifferential Equations |
| title_sort | necessary and sufficient conditions for the solvability of linear boundary-value problems for the fredholm integrodifferential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2200 |
| work_keys_str_mv | AT dzhumabaevds necessaryandsufficientconditionsforthesolvabilityoflinearboundaryvalueproblemsforthefredholmintegrodifferentialequations AT džumabaêvds necessaryandsufficientconditionsforthesolvabilityoflinearboundaryvalueproblemsforthefredholmintegrodifferentialequations AT dzhumabaevds neobhodimyeidostatočnyeusloviârazrešimostilinejnyhkraevyhzadačdlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijfredgolʹma AT džumabaêvds neobhodimyeidostatočnyeusloviârazrešimostilinejnyhkraevyhzadačdlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijfredgolʹma |