Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables
We propose an approach to the construction of multidimensional Pad´e-type approximants for analytic functions based on the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2207 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508157315383296 |
|---|---|
| author | Holub, A. P. Голуб, А. П. |
| author_facet | Holub, A. P. Голуб, А. П. |
| author_sort | Holub, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | We propose an approach to the construction of multidimensional Pad´e-type approximants for analytic functions based on the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
А. П. Голуб, Л. О. Чернецька (Iн-т математики НАН України, Київ)
БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ
ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ ДЛЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We propose an approach to the construction of multidimensional Padé type approximants for analytic functions based on
the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations.
Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на
распространении метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка.
У 1981 р. В. К. Дзядик [1] запропонував метод узагальнених моментних зображень, що дозволив
з єдиних позицiй будувати та дослiджувати апроксиманти Паде багатьох важливих класiв спецi-
альних функцiй. Подальший розвиток цього методу дав можливiсть застосувати його також до
вивчення рiзноманiтних узагальнень апроксимант Паде, таких як багатоточковi апроксиманти
Паде, апроксиманти Паде – Чебишова, сумiснi апроксиманти Паде та iн. (див. [2]). У роботах
[3 – 5] було запропоновано означення дво- та тривимiрних узагальнених моментних зображень
i визначено шляхи їх застосування до побудови рацiональних апроксимант типу Паде функцiй
двох та трьох змiнних.
У данiй статтi цей пiдхiд поширено на випадок довiльної розмiрностi d > 2.
Наведемо вiдповiдне означення.
Означення 1. Говоритимемо, що для d-вимiрної числової послiдовностi {sk}k∈Zd
+
справ-
джується узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних просторiв X та Y за озна-
ченою на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈., .〉, якщо у просторi X вказано d-вимiрну послi-
довнiсть елементiв {xk}k∈Zd
+
, а у просторi Y — d-вимiрну послiдовнiсть елементiв {yj}j∈Zd
+
такi, що
sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ Zd+. (1)
Розглянемо формальний степеневий ряд за d змiнними
f(z) =
∑
k∈Zd
+
skz
k, (2)
де z = (z1, z2, . . . , zd) ∈ Cd, k = (k1, k2, . . . , kd) ∈ Zd+, zk = zk1
1 zk2
2 . . . zkdd .
Введемо для зручностi ряд позначень. При p = 0, 1, . . . , d позначимо через Ωp множину
Ωp = {ω ⊆ {1, 2, . . . , d} : |ω| = p} .
Впорядкуємо елементи кожної з множин ω ∈ Ωp,
ω = {l1(ω), l2(ω), . . . , lp(ω)},
так, що
1 6 l1(ω) < l2(ω) < . . . < lp(ω) 6 d.
Те ж саме зробимо з елементами доповнення ω = {1, 2, . . . , d} \ ω,
c© А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА, 2014
1166 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1167
ω = {m1(ω),m2(ω), . . . ,md−p(ω)} ∈ Ωd−p,
так що
1 6 m1(ω) < m2(ω) < . . . < md−p(ω) 6 d.
Для кожної множини ω ∈ Ωp, p = 0, 1, . . . , d, введемо позначення
δ(ω) = (δ1(ω), δ2(ω), . . . , δd(ω)),
де
δi(ω) =
{
0 при i ∈ ω,
1 при i 6∈ ω,
ε(ω) = (ε1(ω), ε2(ω), . . . , εd(ω)),
εi(ω) =
{
−1 при i ∈ ω,
1 при i 6∈ ω,
так що
δi(ω) =
εi(ω) + 1
2
, i = 1, 2, . . . , d.
Позначимо також
0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Zd+, 1 = (1, 1, . . . , 1) ∈ Zd+,
так що
1 = δ(∅), 0 = δ({1, 2, . . . , d}).
Для кожних векторiв a,b ∈ Zd+,a = (a1, a2, . . . , ad),b = (b1, b2, . . . , bd), через a ◦ b позна-
чимо покоординатний добуток векторiв a та b
a ◦ b = (a1b1, a2b2, . . . , adbd).
Позначимо також для кожного вектора a ∈ Zd+
∆(a) =
{
j = (j1, j2, . . . , jd) ∈ Zd+ : ji ∈ {0, 1, . . . , ai}, i = 1, 2, . . . , d
}
.
З урахуванням цих позначень встановлено наступний результат, що дозволяє для рядiв
вигляду (2) з коефiцiєнтами, для яких справджуються зображення вигляду (1), будувати їх d-
вимiрнi апроксиманти типу Паде. Для розмiрностей d = 2 та d = 3 вiдповiднi результати було
встановлено у [3 – 5]. Огляд результатiв, що стосуються рiзноманiтних багатовимiрних аналогiв
апроксимацiй Паде, наведено в [6, с. 323 – 332].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1168 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Теорема 1. Нехай для коефiцiєнтiв формального степеневого ряду вигляду (2) справджу-
ється узагальнене моментне зображення вигляду (1). Тодi якщо для деякого N = (N1, N2, . . .
. . . , Nd) ∈ Nd iснує узагальнений многочлен
YN =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j yj (3)
такий, що c(N)
N 6= 0, i виконуються умови бiортогональностi
〈xk, YN〉 = 0 (4)
при k = ∆(N) \ {N}, то рацiональна функцiя
[M /N ]f (z) =
P (z)
Q(z)
, (5)
де
Q(z) =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
N−jz
j, (6)
а
P (z) =
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
k∈∆(N−δ(ω)◦1)
zk
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j, (7)
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду
(2) для всiх k ∈ ∆(2N)\
{(
2N1, 2N2, . . . , 2Nd
)}
, а отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною
апроксимантою типу Паде ряду (2) порядку [M /N ], де M = ∆(2N) \
∏d
i=1
{Ni, Ni + 1, . . .
. . . , 2Ni}, N = ∆(N).
Доведення. Зафiксуємо деякий вектор K ∈ Zd+ з досить великими координатами Ki ∈ Z+,
i = 1, 2, . . . , d. Домножимо кожну з рiвностей (1) на zk i пiдсумуємо цi рiвностi за всiма
k ∈ ∆(K). Злiва отримаємо ∑
k∈∆(K)
sk+jz
k = z−j
∑
k−j∈∆(K)
skz
k =
= z−j
f(z)−
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
∑
k∈
∏d
i=1[δi(ω)ji,ji+δi(ω)Ki−δi(ω)]
skz
k
− Ek,j(z), (8)
де
Ek,j(z) =
∑
k∈Zd
+\∆(K)
ek,jz
k.
Домножимо тепер отриманi рiвностi на c
(N)
j i пiдсумуємо по j ∈ ∆(N). На основi (8)
одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1169
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j
z−j
f(z)−
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
∑
k∈
∏d
i=1[δi(ω)ji,ji+δi(ω)Ki−δi(ω)]
skz
k
− Ek,j(z)
=
= z−N
f(z)
∑
j∈∆(N)
c
(N)
N−jz
j −
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j zN−j×
×
∑
k∈
d∏
i=1
[δi(ω)ji,ji+δi(ω)Ki−δi(ω)]
skz
k
− ẼK,N(z),
де
ẼK,N(z) =
∑
k∈Zd
+\∆(K)
ẽK,Nzk.
Для того щоб отримати остаточний вигляд чисельника (7), використаємо наступну лему.
Лема 1. Для довiльнихN, K ∈ N, довiльної послiдовностi {sk}∞k=0, довiльного набору чисел
{c(N)
j }Nj=0 та довiльного z ∈ C мають мiсце такi тотожностi:
N∑
j=1
cjz
N−j
j−1∑
k=0
skz
k =
N−1∑
k=0
zk
k∑
j=0
cN−jsk−j ,
N∑
j=0
cjz
N−j
j+K∑
k=j
skz
k = zN
K∑
k=0
zk
N∑
j=0
cjsk+j .
Для доведення леми досить використати елементарнi замiни змiнних пiдсумовування та
змiну порядку пiдсумовування.
Враховуючи лему 1 i вибираючи координати вектора K досить великими, переконуємося в
справедливостi формули (7).
Як i у випадках d = 2, 3 [3 – 5], теорему 1 можна дещо узагальнити, якщо вибирати
узагальнений многочлен YN з умов бiортогональностi вигляду (4) до елементiв xk не для
k ∈ ∆(N) \ {N}, а для k ∈ HN, де HN — деяка пiдмножина з Zd+, що мiстить рiвно∏d
i=1
(Ni + 1)− 1 елементiв. Щоб сформулювати вiдповiдне твердження, розглянемо деяку
неперервно диференцiйовну функцiю
Φ(x) : Rd+ → R,
що має такi властивостi:
1) множина DΦ =
{
x ∈ Rd+|ΦN(x) 6 0
}
є обмеженою в Rd+;
2) потужнiсть множини DΦ
⋂{
x ∈ Zd+|xi > Ni, i = 1, 2, . . . , d
}
дорiвнює
∏d
i=1
(Ni + 1)− 1;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1170 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
3) для всiх i = 1, 2, . . . , d iснують однозначно визначенi функцiї
xi = ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd)
для
(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Di :=
{
(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Rd−1
+
∣∣ ∃xi ∈ R+
такi, що Φ(x1, x2, . . . , xd) 6 0
}
;
4) при кожному i = 1, 2, . . . , d
ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) > Ni
для всiх значень (x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Di.
За схемою доведення теореми 1 в цьому випадку можна встановити такий результат.
Теорема 1′. Нехай за умов теореми 1 для деякого N ∈ Nd iснує узагальнений многочлен
вигляду (3) такий, що c
(N)
N 6= 0, i виконуються умови бiортогональностi (4) при k ∈ {k ∈
∈ Zd+ : k + N ∈ DΦ}. Тодi рацiональна функцiя вигляду (5), де Q(z) має вигляд (6), а
P (z) =
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
06kmi(ω)6Nmi(ω)−1,i=1,2,...,d−p
Φ(k)60
zk×
×
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j,
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду
(2) для всiх k ∈ DΦ ∩ Zd+, а отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу
Паде ряду (2) порядку [M /N ], де M = DΦ ∩ Zd+ \ {x ∈ Zd+ : xi > Ni, i = 1, 2, . . . , d}, а
N = ∆(N).
У випадку, коли лiнiйнi простори X та Y є нормованими, бiлiнiйна форма 〈., .〉 є роздiльно
неперервною (див., наприклад, [7, c. 63]) i у просторi X задано попарно комутуючi мiж собою
обмеженi лiнiйнi оператори Ai : X →X , i = 1, 2, . . . , d, такi, що
Aixk = xk+ei,, i = 1, 2, . . . , d,
для кожного k ∈ Zd+, де
ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = 1− δ({i}), i = 1, 2, . . . , d,
а у просторi Y iснують обмеженi лiнiйнi оператори A?i : Y → Y , i = 1, 2, . . . , d, спряженi вiд-
повiдно до операторiв Ai, i = 1, 2, . . . , d, вiдносно бiлiнiйної форми 〈., .〉 (див. [2, c. 18]), за
умов теореми 1 матиме мiсце така формула для похибки апроксимацiї:
f(z)− [M /N ]f (z) =
1
Q(z)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1171
×
d∏
i=1
zNi
i
〈
d∏
r=1
R̂zr(Ar)x0, YN
〉
+
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
k∈π(N)(ω)
zk×
×
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j
,
де
π(N)(ω) =
(
π
(N)
1 (ω), π
(N)
2 (ω), . . . , π
(N)
d (ω)
)
,
а
π
(N)
i (ω) =
{
[0, Ni − 1] при i 6∈ ω,
[Ni + 1,∞] при i ∈ ω.
За умов теореми 1′ ця формула набирає вигляду
f(z)− [M /N ]f (z) =
1
Q(z)
×
×
d∏
i=1
zNi
i
〈
d∏
r=1
R̂zr(Ar)x0, YN
〉
+
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
06kmi(ω)6Nmi(ω)−1,i=1,2,...,d−p,
Φ(k)>0
zk×
×
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j
.
Зауваження. Через R̂z(A) позначено резольвентну функцiю оператора A : R̂z(A) = (I −
− zA)−1, де I : X →X — тотожний оператор.
Розглянемо тепер випадок, коли всi оператори Ai, i = 1, 2, . . . , d, збiгаються:
A1 = A2 = . . . = Ad = A.
Тодi наближувана функцiя матиме вигляд
f(z) =
〈
d∏
i=1
R̂zi(A)x0, y0
〉
. (9)
Встановлено такий результат.
Лема 2. Для функцiй вигляду (9) є справедливим зображення
f(z) =
1∏
s<t
(zs − zt)
d∑
i=1
zd−1
i (−1)i+1
∏
s<t
s,t6=i
(zs − zt)g(zi), (10)
де
g(z) =
〈
R̂z(A)x0, y0
〉
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1172 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Лему неважко встановити методом iндукцiї.
Припустимо тепер, що при цьому операторA є оператором множення на незалежну змiнну у
просторi L2 ([0, 1], dµ): де µ — неспадна функцiя, що має нескiнченну кiлькiсть точок зростання
на [0, 1]:
(Aϕ)(t) = tϕ(t).
Нехай також N = (N,N, . . . , N) ∈ Nd. Тодi для того щоб побудувати за теоремами 1, 1′
d-вимiрнi апроксиманти типу Паде функцiї f(z) вигляду (10) з
g(z) =
1∫
0
dµ(t)
1− zt
,
необхiдно побудувати многочлени
YN(t) =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j t|j|, де |j| = j1 + j2 + . . .+ jd, (11)
для яких виконуються умови бiортогональностi
1∫
0
t|k|YN(t)dµ(t) = 0 (12)
при k ∈ ∆(N) \ {N}. Це рiвнозначно тому, що
1∫
0
tkYN(t)dµ(t) = 0 (13)
при k = 0, 1, . . . , dN − 1.
З (13) випливає, що полiном YN(t) повинен збiгатися з точнiстю до сталого множника з
ортонормованим на [0, 1] з мiрою dµ(t) алгебраїчним многочленом
PdN (t) =
dN∑
j=0
p
(dN)
j tj . (14)
При цьому умова (12) буде виконуватися не лише для k ∈ ∆(N) \ {N}, а i для k ∈ {k ∈
∈ Zd+ : |k| 6 2dN − 1}, а тому за функцiю Φ(x1, x2, . . . , xd), що фiгурує в формулюваннi
теореми 1′, потрiбно взяти функцiю
Φ(x1, x2, . . . , xd) = |x| − 2dN + 1.
При цьому функцiї ϕi : Rd−1
+ → R матимуть вигляд
ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) = 2dN − 1− x1 − x2 − . . .− xi−1 − xi+1 − . . .− xd.
Рiвнiсть (11) дозволяє за коефiцiєнтами p(dN)
j , j = 0, 1, . . . , dN , визначати коефiцiєнти c(N)
j ,
j ∈ ∆(N), але зробити це можна безлiччю способiв. Для визначеностi будемо вважати, що
c
(N)
j = c
(N)
k ,
якщо |j| = |k|.
Встановлено такий допомiжний результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1173
Лема 3. Нехай N ∈ N, 0 6 j 6 dN . Тодi кiлькiсть векторiв k ∈ Zd+ таких, що ki 6 N,
i = 1, 2, . . . , d, i |k| = j, дорiвнює
γ
(N)
j =
[ j
N+1
]∑
r=0
(
d
r
)
(−1)r
(d+ j − r(N + 1)− 1)!
(d− 1)!(j − r(N + 1))!
.
Доведення. Розглянемо многочлен
VN(z) =
∑
k∈∆(N)
zk.
Очевидно, що
VN(z) =
d∏
i=1
(
N∑
k=0
zki
)
=
d∏
i=1
1− zN+1
i
1− zi
.
Якщо покласти z1 = z2 = . . . = zd = z, то одержимо
(1− zN+1)d
(1− z)d
=
dN∑
j=0
γ
(N)
j zj .
Враховуючи розклади
(1− zN+1)d =
d∑
m=0
(
d
m
)
(−1)mzm(N+1)
та
1
(1− z)d
=
∞∑
k=0
(d+ k − 1)!
(d− 1)!k!
zk,
отримуємо твердження леми.
З леми 3 випливає, що коефiцiєнти c
(N)
j , j ∈ ∆(N), многочленiв YN повиннi вибиратися
таким чином, щоб
c
(N)
j =
p
(dN)
|j|
γ
(N)
|j|
=
p
(dN)
|j|∑[
|j|
N+1
]
r=0
(
d
r
)
(−1)r
(
d+ |j| − r(N + 1)− 1
)
!
(d− 1)!
(
|j| − r(N + 1)
)
!
. (15)
На основi наведених мiркувань з використанням теореми 1′ отримаємо такий результат.
Теорема 2. При кожному N ∈ N рацiональна функцiя
[M /N ]f (z) =
P (z)
Q(z)
,
де
Q(z) =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
N−jz
j,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1174 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
P (z) =
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
06kmi(ω)6N−1,i=1,2,...,d−p,
|k|62dN−1
zk×
×
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsd−p∑
i=1
jmi+|k|−
p∑
i=1
jli
,
N = (N,N, . . . , N), коефiцiєнти c(N)
j обчислюються за формулами (15), а sk =
∫ 1
0
tkdµ(t),
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду
Тейлора – Маклорена для функцiї f(z) вигляду (10) для всiх k ∈ {k ∈ Zd+ : |k| 6 2dN − 1}, а
отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу Паде функцiї (10) порядку
[M /N ], де M = {k ∈ Zd+ : |k| 6 2dN − 1}, а N = ∆(N).
Зазначимо, що, якщо dµ(t) = tν(1 − t)σdt, ν, σ > −1, то функцiя (10) буде частинним
випадком d-вимiрної функцiї Лаурiчелли
FD(a, b1, . . . , bd; c; z1, . . . , zd) =
∑
k∈Zd
+
(a)|k|(b1)k1 . . . (bd)kd
c|k|k1! . . . kd!
z1
k1 . . . zd
kd
при a = ν + 1, b1 = b2 = . . . = bd = 1, c = ρ+ ν + 2 (див. [8; 9, c. 33]).
При цьому многочлени (14) будуть зсуненими многочленами Якобi, ортонормованими на
[0, 1] з вагою tν(1− t)σ, i їхнi коефiцiєнти можна записати в явному виглядi (див. [10, c. 581]),
а отже, за теоремою 2 ми отримаємо явний вигляд d-вимiрних апроксимацiй типу Паде вiдпо-
вiдних функцiй.
1. Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. – 1981. – 6. – С. 8 – 12.
2. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2002. – 222 c.
3. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображення та рацiональнi апроксимацiї функцiй
двох змiнних // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 8. – С. 1035 – 1058.
4. Чернецька Л. О. Тривимiрнi узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде для функцiй трьох
змiнних // Доп. НАН України. – 2014. – № 7. – С. 36 – 42.
5. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Побудова апроксимацiй Паде для деяких гiпергеометричних рядiв Лаурiчелли за
допомогою методу узагальнених моментних зображень // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. –
11, № 3. – С. 78 – 103.
6. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Р. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 c.
7. Рудин У. Функциональный анализ. – M.: Мир, 1975. – 444 с.
8. Lauricella G. Sulle funzioni ipergeometriche a piú variabili // Rend. Circ. mat. Palermo. – 1983. – № 7. – P. 111 – 158.
9. Srivastava H. M., Karlsson P. W. Multiple Gaussian hypergeometric series. – New York: John Wiley and Sons, 1985. –
425 p.
10. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 c.
Одержано 06.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2207 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:45Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/33/4e4aa426c295436d972e0309d25c1133.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22072019-12-05T10:26:31Z Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних Holub, A. P. Голуб, А. П. We propose an approach to the construction of multidimensional Pad´e-type approximants for analytic functions based on the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations. Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на распространении метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2207 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1166–1174 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1166–1174 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2207/1415 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2207/1416 Copyright (c) 2014 Holub A. P. |
| spellingShingle | Holub, A. P. Голуб, А. П. Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables |
| title | Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables |
| title_alt | Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних |
| title_full | Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables |
| title_fullStr | Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables |
| title_full_unstemmed | Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables |
| title_short | Many-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé -Type Approximants for Functions of Many Variables |
| title_sort | many-dimensional generalized moment representations and padé -type approximants for functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2207 |
| work_keys_str_mv | AT holubap manydimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsforfunctionsofmanyvariables AT golubap manydimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsforfunctionsofmanyvariables AT holubap bagatovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíítipupadedlâfunkcíjbagatʹohzmínnih AT golubap bagatovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíítipupadedlâfunkcíjbagatʹohzmínnih |