Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables
An algorithm for the expansion of a given formal double power series in the associated branched continued fraction with two independent variables is constructed and the conditions for the existence of this expansion are established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2208 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508158139564032 |
|---|---|
| author | Dmytryshyn, R. I. Дмитришин, Р. І. |
| author_facet | Dmytryshyn, R. I. Дмитришин, Р. І. |
| author_sort | Dmytryshyn, R. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | An algorithm for the expansion of a given formal double power series in the associated branched continued fraction with two independent variables is constructed and the conditions for the existence of this expansion are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.524
Р. I. Дмитришин (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ)
ПРИЄДНАНI ГIЛЛЯСТI ЛАНЦЮГОВI ДРОБИ
З ДВОМА НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ
We construct an algorithm for the expansion of a given formal double power series in the associated branched continued
fraction with two independent variables and establish the conditions for the existence of this expansion.
Построен алгоритм разложения заданного формального двойного степенного ряда в присоединенную ветвящуюся
цепную дробь с двумя неравнозначными переменными и установлены условия существования такого разложения.
1. Вступ. Багатовимiрним узагальненням неперервних дробiв є гiллястi ланцюговi дроби (ГЛД)
[1] (див. також [2, с. 274 – 280]). При побудовi зображень аналiтичних функцiй гiллястими лан-
цюговими дробами використовується поняття вiдповiдностi. Загальну теорiю вiдповiдностi для
функцiй однiєї змiнної викладено в роботi [3, с. 148 – 160] (див. також [2, с. 241 – 274]), а деякi її
аспекти для функцiй багатьох змiнних — у роботах [4; 5, с. 107 – 109]. Використовуючи принцип
вiдповiдностi, побудовано алгоритми розвинення функцiй двох змiнних, заданих формальними
подвiйними степеневими рядами (ФПСР), у вiдповiднi ГЛД [5, с. 107 – 122; 6 – 14].
У цiй статтi розглянуто приєднаний ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними
1 + F0(z1) +
k01z2
1 + l01z2 + z2F1(z1)−D
∞
s=2
k0sz
2
2
1 + l0sz2 + z2Fs(z1)
, (1)
де
Fp(z1) =
k1pz1
1 + l1pz1 −D
∞
r=2
krpz
2
1
1 + lrpz1
, p ≥ 0,
krs, lrs, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, — комплекснi числа, krs 6= 0, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1,
(z1, z2) ∈ C2, який є узагальненням приєднаного неперервного дробу
1 +
k1z
1 + l1z −D
∞
n=2
knz
2
1 + lnz
= 1 +
k1z
1 + l1z −
k2z
2
1 + l2z −
k3z
2
1 + l3z−. . .
,
де kn, ln, n ≥ 1, — комплекснi числа, kn 6= 0, n ≥ 1, z ∈ C. Доведено iснування єдиного ФПСР
L(z1, z2) = 1 +
∑
r+s≥1
r≥0, s≥0
crsz
r
1z
s
2, (2)
де crs ∈ C, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, (z1, z2) ∈ C2, до якого дрiб (1) буде вiдповiдним, i
встановлено, що порядок вiдповiдностi його n-го пiдхiдного дробу дорiвнює νn = 2n + 1.
Побудовано i дослiджено алгоритм розвинення заданого ФПСР (2) у вiдповiдний приєднаний
ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1).
c© Р. I. ДМИТРИШИН, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1175
1176 Р. I. ДМИТРИШИН
2. Вiдповiднiсть приєднаних ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними. Позначимо через
L множину всiх ФПСР вигляду (2). Очевидно, що ця множина утворює кiльце з одиницею
вiдносно операцiй додавання i множення рядiв. Задамо вiдображення λ : L → N0 ∪ {∞} за
таким правилом: λ
(
L(z1, z2)
)
= ∞, якщо L(z1, z2) ≡ 0; λ
(
L(z1, z2)
)
= n, якщо L(z1, z2) 6≡ 0,
де n — найменший степiнь однорiдного многочлена, для якого crs 6= 0, тобто n = r + s.
Розглянемо послiдовнiсть рацiональних функцiй
fn(z1, z2) =
Pmn(z1, z2)
Qln(z1, z2)
, n ≥ 1,
де Pmn(z1, z2), Qln(z1, z2) — многочлени степеня mn i ln вiдповiдно, (z1, z2) ∈ C2, причому
Qln(0, 0) 6= 0.
Послiдовнiсть
{
fn(z1, z2)
}
є вiдповiдною до ФПСР (2) в точцi (0, 0), якщо
lim
n→+∞
λ
(
L(z1, z2)− L
(
fn(z1, z2)
))
= +∞,
де L
(
fn(z1, z2)
)
— розвинення функцiї fn(z1, z2) в подвiйний ряд Тейлора в точцi (0, 0). По-
рядок вiдповiдностi νn до функцiї fn(z1, z2) визначається за формулою νn = λ
(
L(z1, z2) −
− L
(
fn(z1, z2)
))
. Це означає, що розвинення функцiї fn(z1, z2) у ФПСР збiгається з L(z1, z2)
за всiма однорiдними многочленами до степеня νn − 1 включно.
Для залишкiв дробу (1) введемо позначення
Q(s−p)
p (z1, z2) = 1 + l0pz2 + z2F
(s−p)
p (z1)−
s
D
r=p+1
k0rz
2
2
1 + l0rz2 + z2F
(s−r)
r (z1)
,
F (s−n)
n (z1) =
k1nz1
1 + l1nz1 −D
s−n
r=2
krnz
2
1
1 + lrnz1
, Q
(s−p)
p+m,p(z1) = 1 + lmpz1 −
s−p
D
r=m+1
krpz
2
1
1 + lrpz1
,
де s ≥ 1, 1 ≤ p ≤ s − 1, p ≤ n ≤ s − 2, 1 ≤ m ≤ s − p − 1, причому Q(0)
s (z1, z2) = 1 + l0sz2,
F
(0)
s (z1) = 0, F
(1)
s−1(z1) = k1,s−1z1/(1 + l1,s−1z1), Q
(s−p)
s,p (z1) = 1 + ls−p,pz1. Звiдси отримаємо
такi рекурентнi спiввiдношення:
Q(s−p)
p (z1, z2) = 1 + l0pz2 + z2F
(s−p)
p (z1)−
k0,p+1z
2
2
Q
(s−p−1)
p+1 (z1, z2)
, (3)
Q
(s−p)
p+m,p(z1) = 1 + lmpz1 −
km+1,pz
2
1
Q
(s−p)
p+m+1,p(z1)
, (4)
де s ≥ 1, 1 ≤ p ≤ s− 1, 1 ≤ m ≤ s− p− 1.
Нехай
gn(z1, z2) = 1 + F
(n)
0 (z1) +
k01z2
Q
(n−1)
1 (z1, z2)
— n-й пiдхiдний дрiб приєднаного ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1), n ≥ 1.
Вiдповiднiсть дробу (1) до ФПСР (2) означає, що послiдовнiсть
{
gn(z1, z2)
}
є вiдповiдною
до L(z1, z2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ПРИЄДНАНI ГIЛЛЯСТI ЛАНЦЮГОВI ДРОБИ З ДВОМА НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ 1177
Теорема 1. Для приєднаного ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1) iснує єдиний ФПСР
вигляду (2), до якого цей дрiб буде вiдповiдним. Порядок вiдповiдностi n-го пiдхiдного дробу
gn(z1, z2) дорiвнює νn = 2n+ 1, i, отже, розвинення gn(z1, z2) у подвiйний ряд Тейлора у точцi
(0, 0) має вигляд
gn(z1, z2) = 1 +
∑
1≤r+s≤2n
r≥0, s≥0
crsz
r
1z
s
2 +
∑
p+q≥2n+1
p≥0, q≥0
γ(n)pq z
p
1z
q
2, n ≥ 1, (5)
де crs ∈ C, r ≥ 0, s ≥ 0, 1 ≤ r + s ≤ 2n, γ
(n)
pq ∈ C, p ≥ 0, q ≥ 0, p + q ≥ 2n + 1, n ≥ 1,
(z1, z2) ∈ C2.
Доведення. Оскiльки Q
(n−p)
p (0, 0) = 1 для будь-якого iндексу p, 1 ≤ p ≤ n, n ≥ 1, i
Q
(n−p)
p+m,p(0) = 1 для будь-якого iндексу m, 1 ≤ m ≤ n − p, 1 ≤ p ≤ n, n ≥ 1, то дрiб
1/Q
(n−p)
p (z1, z2) має розвинення у ФПСР вигляду (2) i 1/Q
(n−p)
p+m,p(z1) також має розвинення
у ФПСР вигляду (2), де s = 0. Тодi для кожного n, n ≥ 1, n-й пiдхiдний дрiб gn(z1, z2) є
голоморфною функцiєю в початку координат.
Нехай розвинення gn(z1, z2) у подвiйний ряд Тейлора у точцi (0, 0) має вигляд
gn(z1, z2) = 1 +
∑
r+s≥1
r≥0, s≥0
γ(n)rs z
r
1z
s
2,
де γ(n)rs ∈ C, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, (z1, z2) ∈ C2, n ≥ 1. Оскiльки Q
(n−p)
p (z1, z2) 6≡ 0
i Q(n−p)
p+m,p(z1) 6≡ 0 для всiх iндексiв, то, застосовуючи метод, запропонований в [1, c. 28], i
рекурентнi спiввiдношення (3), (4), отримуємо формулу рiзницi пiдхiдних дробiв приєднаного
ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1) при m > n ≥ 2, а саме,
gm(z1, z2)− gn(z1, z2) = F
(m)
0 (z1)− F (n)
0 (z1)−
−
n∑
r=1
z2r2
∏r
s=1
k0s
(
F (m−r)
r (z1)− F (n−r)
r (z1)
)
∏r
s=1
Q(m−s)
s (z1, z2)Q
(n−s)
s (z1, z2)
+
z2n+1
2
∏n+1
s=1
k0s∏n+1
s=1
Q(m−s)
s (z1, z2)
∏n
s=1
Q(n−s)
s (z1, z2)
,
де
F (m−p)
p (z1)− F (n−p)
p (z1) =
z
2(n−p)+1
1
∏n−p
r=1
krp∏n−p−1
r=1
Q
(n−p)
p+r,p (z1)
∏n−p
r=1
Q
(m−p)
p+r,p (z1)
, 0 ≤ p ≤ n.
Звiдси маємо
gm(z1, z2)− gn(z1, z2) =
∑
r+s≥2n+1
r≥0, s≥0
(
γ(m)
rs − γ(n)rs
)
zr1z
s
2, m > n ≥ 2,
в деякому околi (0, 0).
Таким чином, для кожного m, m > n ≥ 2, рiвностi γ(m)
rs = γ
(n)
rs справджуються для будь-
яких iндексiв r ≥ 0 i s ≥ 0 таких, що 1 ≤ r+s ≤ 2n. Приєднаний ГЛД з двома нерiвнозначними
змiнними (1) є вiдповiдним до ФПСР (2), де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1178 Р. I. ДМИТРИШИН
crs = γ(ϕ(r,s))rs , ϕ(r, s) = 1 +
[
2(r + s)− 1
4
]
(тут квадратнi дужки означають цiлу частину числа) для всiх r i s таких, що r+s ≥ 1, оскiльки
при n ≥ 1
L(z1, z2)− gn(z1, z2) =
∑
r+s≥2n+1
r≥0, s≥0
(γ(ϕ(r,s))rs − γ(n)rs )zr1z
s
2.
Звiдси порядок вiдповiдностi n-го пiдхiдного дробу gn(z1, z2) дорiвнює νn = 2n+1 i розвинення
gn(z1, z2) у подвiйний ряд Тейлора у точцi (0, 0) має вигляд (5).
Доведемо, що ФПСР L(z1, z2) вiдповiдний до ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1)
визначається однозначно. Припустимо, що дрiб (1) є також вiдповiдним до ряду
L′(z1, z2) = 1 +
∑
r+s≥1
r≥0, s≥0
α(ϕ(r,s))
rs zr1z
s
2,
де α(ϕ(r,s))
rs ∈ C, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, (z1, z2) ∈ C2. Оскiльки для будь-якого n ≥ 1
L′(z1, z2)− gn(z1, z2) =
∑
r+s≥2n+1
r≥0, s≥0
(α(ϕ(r,s))
rs − γ(n)rs )zr1z
s
2,
то безпосередньо маємо α
(ϕ(r,s))
rs = γ
(ϕ(r,s))
rs для всiх r i s таких, що 1 ≤ r + s ≤ 2n, тобто
L(z1, z2) є єдиним.
Теорему доведено.
3. Алгоритм розвинення заданого ФПСР у приєднаний ГЛД з двома нерiвнозначними
змiнними. Нехай задано ФПРС (2). Позначимо c(0)rs = crs, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1. Ряд (2) за
умови, що c(0)01 6= 0, запишемо у виглядi L(z1, z2) = P0(z1) + c
(0)
01 z2R0(z1, z2), де
P0(z1) = 1 +
∞∑
r=1
c
(0)
r0 z
r
1, R0(z1, z2) =
∑
r+s≥0
r≥0, s≥0
c
(0)
r,s+1
c
(0)
01
zr1z
s
2.
Нехай
H
(0)
10 (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c
(0)
10 c
(0)
20 . . . c
(0)
n0
c
(0)
20 c
(0)
30 . . . c
(0)
n+1,0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
(0)
n0 c
(0)
n+1,0 . . . c
(0)
2n−1,0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0, n ≥ 1 (6)
(зауважимо, що H
(0)
10 (n) — визначник Ганкеля, який позв’язаний з формальним степеневим
рядом P0(z1)). Тодi згiдно з теоремою 7.14 [3, с. 244 – 248] iснують числа kn0 i ln0, n ≥ 1, такi,
що kn0 6= 0, n ≥ 1, i
1 +
∞∑
r=1
c
(0)
r0 z
r
1 ∼ 1 +
k10z1
1 + l10z1 −D
∞
r=2
kr0z
2
1
1 + lr0z1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ПРИЄДНАНI ГIЛЛЯСТI ЛАНЦЮГОВI ДРОБИ З ДВОМА НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ 1179
де символ “∼” означає вiдповiднiсть мiж рядом i дробом. Коефiцiєнти kn0 i ln0, n ≥ 1, обчис-
люються за формулами
kn0 =
H
(0)
10 (n)H
(0)
10 (n− 2)
(H
(0)
10 (n− 1))2
, ln0 =
χ
(0)
10 (n− 1)
H
(0)
10 (n− 1)
− χ
(0)
10 (n)
H
(0)
10 (n)
, n ≥ 1, (7)
де H(0)
10 (−1) = H
(0)
10 (0) = 1, χ
(0)
10 (0) = 0, χ
(0)
10 (1) = c
(0)
20 ,
χ
(0)
10 (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c
(0)
10 c
(0)
20 . . . c
(0)
n−1,0 c
(0)
n+1,0
c
(0)
20 c
(0)
30 . . . c
(0)
n0 c
(0)
n+2,0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
(0)
n0 c
(0)
n+1,0 . . . c
(0)
2n−2,0 c
(0)
2n,0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, n ≥ 2.
Нехай
H
(0)
01 (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c
(0)
01 c
(0)
02 . . . c
(0)
0n
c
(0)
02 c
(0)
03 . . . c
(0)
0,n+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
(0)
0n c
(0)
0,n+1 . . . c
(0)
0,2n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0, n ≥ 1. (8)
Тодi згiдно з теоремою 7.14 [3, с. 244 – 248] iснують числа k′0n i l′0n, n ≥ 1, такi, що k′0n 6= 0,
n ≥ 1, i
∞∑
s=1
c
(0)
0s z
s
2 ∼
k′01z2
1 + l′01z2 −D
∞
s=2
k′0sz
2
2
1 + l′0sz2
.
Коефiцiєнти k′0n i l′0n, n ≥ 1, обчислюються за формулами
k′0n =
H
(0)
01 (n)H
(0)
01 (n− 2)(
H
(0)
01 (n− 1)
)2 , l′0n =
χ
(0)
01 (n− 1)
H
(0)
01 (n− 1)
− χ
(0)
01 (n)
H
(0)
01 (n)
, n ≥ 1, (9)
де H(0)
01 (−1) = H
(0)
01 (0) = 1, χ
(0)
01 (0) = 0, χ
(0)
01 (1) = c
(0)
02 ,
χ
(0)
01 (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c
(0)
01 c
(0)
02 . . . c
(0)
0,n−1 c
(0)
0,n+1
c
(0)
02 c
(0)
03 . . . c
(0)
0n c
(0)
0,n+2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
(0)
0n c
(0)
0,n+1 . . . c
(0)
0,2n−2 c
(0)
0,2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, n ≥ 2.
Позначимо через
R′0(z1, z2) = 1 +
∑
r+s≥1
r≥0, s≥0
c(1)rs z
r
1z
s
2 (10)
ряд, обернений до ряду R0(z1, z2). Коефiцiєнти ряду (10) однозначно визначаються за допомо-
гою рекурентних формул
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1180 Р. I. ДМИТРИШИН
c(1)rs = −
∑
1≤p+q≤r+s
p≥0, q≥0
c
(1)
r−p,s−q
c
(0)
p,q+1
c
(0)
01
, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, (11)
де c(1)00 = 1, причому c(1)kl = 0, якщо k < 0 або l < 0. Ряд (10) за умов, що c(1)02 6= 0 i
c
(h)
n0 = 0, n ≥ 1, (12)
при h = 1, запишемо у виглядi R′0(z1, z2) = 1 + c
(1)
01 z2 + z2P1(z1) + c
(1)
02 z
2
2R1(z1, z2), де
P1(z1) =
∞∑
r=1
c
(1)
r1 z
r
1, R1(z1, z2) =
∑
r+s≥0
r≥0, s≥0
c
(1)
r,s+2
c
(1)
02
zr1z
s
2.
Тодi R0(z1, z2) запишемо у виглядi
R0(z1, z2) =
1
1 + c
(1)
01 z2 + z2P1(z1) + c
(1)
02 z
2
2R1(z1, z2)
.
Оскiльки c(0)01 = k′01, c
(1)
01 = −c(0)02 /c
(0)
01 = l′01, то покладемо k01 = k′01 i l01 = l′01.
Нехай
H
(h)
11 (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c
(h)
11 c
(h)
21 . . . c
(h)
n1
c
(h)
21 c
(h)
31 . . . c
(h)
n+1,1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
(h)
n1 c
(h)
n+1,1 . . . c
(h)
2n−1,1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0, n ≥ 1, (13)
при h = 1. Тодi згiдно з теоремою 7.14 [3, с. 244 – 248] iснують числа kn1 i ln1, n ≥ 1, такi, що
kn1 6= 0, n ≥ 1, i
∞∑
r=1
c
(1)
r1 z
r
1 ∼
k11z1
1 + l11z1 −D
∞
r=2
kr1z
2
1
1 + lr1z1
.
Коефiцiєнти kn1 i ln1, n ≥ 1, обчислюються за формулами
knh =
H
(h)
11 (n)H
(h)
11 (n− 2)
(H
(h)
11 (n− 1))2
, lnh =
χ
(h)
11 (n− 1)
H
(h)
11 (n− 1)
− χ
(h)
11 (n)
H
(h)
11 (n)
, n ≥ 1, (14)
де H(h)
11 (−1) = H
(h)
11 (0) = 1, χ
(h)
11 (0) = 0, χ
(h)
11 (1) = c
(h)
11 ,
χ
(h)
11 (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c
(h)
11 c
(h)
21 . . . c
(h)
n−1,1 c
(h)
n+1,1
c
(h)
21 c
(h)
31 . . . c
(h)
n1 c
(h)
n+2,1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
(h)
n1 c
(h)
n+1,1 . . . c
(h)
2n−2,1 c
(h)
2n,1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
при h = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ПРИЄДНАНI ГIЛЛЯСТI ЛАНЦЮГОВI ДРОБИ З ДВОМА НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ 1181
Позначимо через
R′1(z1, z2) = 1 +
∑
r+s≥1
r≥0, s≥0
c(2)rs z
r
1z
s
2 (15)
ряд, обернений до ряду R1(z1, z2). Коефiцiєнти ряду (15) однозначно визначаються за допомо-
гою рекурентних формул
c(h)rs = −
∑
1≤p+q≤r+s
p≥0, q≥0
c
(h)
r−p,s−q
c
(h−1)
p,q+2
c
(h−1)
02
, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, (16)
де c(h)00 = 1, причому c(h)kl = 0, якщо k < 0 або l < 0, при h = 2. Ряд (15) за умов (12) при h = 2
i c(2)02 6= 0 запишемо у виглядi R′1(z1, z2) = 1 + c
(2)
01 z2 + z2P2(z1) + c
(2)
02 z
2
2R2(z1, z2), де
P2(z1) =
∞∑
r=1
c
(2)
r1 z
r
1, R2(z1, z2) =
∑
r+s≥0
r≥0, s≥0
c
(2)
r,s+2
c
(1)
02
zr1z
s
2.
Тодi R1(z1, z2) запишемо у виглядi
R1(z1, z2) =
1
1 + c
(2)
01 z2 + z2P2(z1) + c
(2)
02 z
2
2R2(z1, z2)
.
Оскiльки
c
(1)
02 = −c
(1)
01 c
(0)
02 + c
(0)
03
c
(0)
01
= −c
(0)
03 c
(0)
01 − (c
(0)
02 )2
(c
(0)
01 )2
= −k′02,
c
(2)
01 = −c
(1)
03
c
(1)
02
= −c
(1)
02 c
(0)
02 + c
(1)
01 c
(0)
03 + c
(0)
04
c
(1)
01 c
(0)
02 + c
(0)
03
=
c
(0)
02
c
(0)
01
− c
(0)
04 c
(0)
01 − c
(0)
03 c
(0)
02
c
(0)
03 c
(0)
01 − (c
(0)
02 )2
= l′02,
то покладемо k02 = k′02 i l02 = l′02.
Обчислюючи далi коефiцiєнти c
(h)
rs , r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, h ≥ 3, за допомогою
рекурентних формул (16) i продовжуючи процес iтерацiї, за умов (6), (8) та умов (12) i (13) при
h ≥ 1, для ряду (2) отримуємо дрiб (1), де kn0, ln0, n ≥ 1, i knh, lnh, n ≥ 1, h ≥ 1, визначаються
за формулами (7) i (14) вiдповiдно; k0n = k′0n, l0n = l′0n, n ≥ 1, де k′0n, l
′
0n, n ≥ 1, визначаються
за формулами (9).
Таким чином, побудовано рекурентний алгоритм обчислення коефiцiєнтiв приєднаного ГЛД
з двома нерiвнозначними змiнними (1), вiдповiдного до заданого ФПСР (2). Вiдповiднiсть дро-
бу (1) до ряду (2) доводиться за схемою, запропонованою в роботi [11].
Отже, справджується така теорема.
Теорема 2. Приєднаний ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1) є вiдповiдним до за-
даного ФПСР (2) тодi i лише тодi, коли виконуються умови (6), (8) i умови (12), (13) при
h ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1182 Р. I. ДМИТРИШИН
Розглянемо приклад застосування алгоритму розвинення заданого ФПСР у приєднаний ГЛД
з двома нерiвнозначними змiнними.
Функцiя
h(z1, z2) = 1 +
√
z1arctg
√
z1 +
√
z2
1 + z2
√
z1arctg
√
z1
arctg
√
z2
1 + z2
√
z1arctg
√
z1
розвивається в точцi (0, 0) у ФПСР вигляду
L(z1, z2) = 1 +
∞∑
r=1
(−1)r−1zr1
2r − 1
+
+
∞∑
s=1
(−1)s−1zs2
2s− 1
1 +
∞∑
r=1
∑
α(r)=r
(n− α′(r))!
α1!α2! . . . αr!
r∏
p=1
(
−z2
2p− 1
)αp
zr1
s
,
де αp, 1 ≤ p ≤ r, r ≥ 1,— цiлi невiд’ємнi числа, α(r) = α1+2α2+. . .+rαr, α
′(r) = α2+2α3+. . .
. . . + (r − 1)αr, r ≥ 1,
√
1 = 1. Можна показати, що коефiцiєнти цього ряду задовольняють
умови теореми 2. Застосовуючи побудований вище алгоритм, отримуємо значення коефiцiєнтiв
krs, lrs, r ≥ 0, s ≥ 0, r+ s ≥ 1, приєднаного ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними, наведенi
в табл. 1 для 1 ≤ r ≤ 5 i s ≥ 0.
Таблиця 1
r 1 2 3 4 5
krs = k0r 1 4/45 16/245 300/1573 3136/49725
lrs = l0r 1/3 11/21 39/77 83/165 143/285
Звiдси маємо такi наближення для h(z1, z2) :
h1(z1, z2) = 1 +
z1
1 +
1
3
z1
+
z2
1 +
1
3
z2
,
h2(z1, z2) = 1 +
z1
1 +
1
3
z1 −
4
45
z21
1 +
11
21
z1
+
z2
1 +
1
3
z2 +
z1z2
1 +
1
3
z1
−
4
45
z22
1 +
11
21
z2
, . . . .
Результати обчислення функцiї h(z1, z2) i її наближень hn(z1, z2), 1 ≤ n ≤ 5, для рiзних значень
z1, z2 наведено у табл. 2.
Iз аналiзу результатiв обчислень робимо висновок, що абсолютна похибка ∆n(z1, z2) =
=
∣∣hn(z1, z2) − h(z1, z2)
∣∣ наближення функцiї h(z1, z2) iз ростом iндексу n зменшується, i в
точках, близьких до нуля, якiсть наближення є найкращою:
∆5(0.03, 0.03) = 2.90878 · 10−14, ∆5(1, 0.4) = 6.57215 · 10−5,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ПРИЄДНАНI ГIЛЛЯСТI ЛАНЦЮГОВI ДРОБИ З ДВОМА НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ 1183
Таблиця 2
(z1, z2) (0.03, 0.03) (1, 0.4) (0.2, 2) (2, 3)
h(z1, z2) 1.0593843828577 2.0635398612573 2.2469308606102 2.8568705236563
h1(z1, z2) 1.0594059405940 2.1029411764705 2.3875 3.7
h2(z1, z2) 1.0593843866619 2.0656918134485 2.2587179272919 2.9067907536846
h3(z1, z2) 1.0593843828581 2.0636107315514 2.2475421732550 2.8600491449866
h4(z1, z2) 1.0593843828577 2.0636107726801 2.2475107042783 2.8590461344314
h5(z1, z2) 1.0593843828577 2.0636055827164 2.2474069299011 2.8585104446459
∆5(0.2, 2) = 4.76069 · 10−4, ∆5(2, 3) = 1.639921 · 10−3.
4. Приєднанi ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними i двовимiрнi J -дроби з нерiв-
нозначними змiнними. Якщо в приєднаному ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1)
покласти z1 = 1/ξ1, z2 = 1/ξ2, знехтувати першим членом, що дорiвнює 1, i провести перетво-
рення еквiвалентностi (див. [1, с. 29 – 33]), то отримаємо двовимiрний J-дрiб з нерiвнозначними
змiнними
Ψ0(ξ1) +
k01
l01 + ξ2 + Ψ1(ξ1)−D
∞
s=2
k0s
l0s + ξ2 + Ψs(ξ1)
, (17)
де
Ψp(ξ1) =
k1p
l1p + ξ1 −D
∞
r=2
krp
lrp + ξ1
, p ≥ 0,
krs, lrs, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1, — комплекснi числа, krs 6= 0, r ≥ 0, s ≥ 0, r + s ≥ 1,
(ξ1, ξ2) ∈ C2, який є узагальненням неперервного J-дробу
k1
l1 + ξ −D
∞
n=2
kn
ln + ξ
=
k1
l1 + ξ − k2
l2 + ξ − k3
l3 + ξ−. . .
,
в якому kn, ln, n ≥ 1, — комплекснi числа, kn 6= 0, n ≥ 1, ξ ∈ C.
Послiдовнiсть рацiональних функцiй {fn(ξ1, ξ2)}, де (ξ1, ξ2) ∈ C2, є вiдповiдною до фор-
мального подвiйного ряду Лорана (ФПРЛ)
L∗(ξ1, ξ2) =
∑
r+s≥1
r≥0, s≥0
crs
ξr1ξ
s
2
, (18)
де crs ∈ C, r ≥ 0, s ≥ 0, r+s ≥ 1, (ξ1, ξ2) ∈ C2, в (∞,∞), якщо послiдовнiсть {fn(1/z1, 1/z2)}
є вiдповiдною до ФПCР в точцi (0, 0), отриманого iз (18) замiною ξ1, ξ2 на 1/z1, 1/z2 вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1184 Р. I. ДМИТРИШИН
У наступнiй теоремi йдеться про зв’язок мiж приєднаними ГЛД з двома нерiвнозначними
змiнними i двовимiрними J-дробами з нерiвнозначними змiнними; її доведення є простим
застосуванням теореми 1.
Теорема 3. Нехай gn(z1, z2) i g∗n(ξ1, ξ2) — n-тi пiдхiднi дроби вiдповiдно приєднаного ГЛД
з двома нерiвнозначними змiнними (1) i двовимiрного J-дробу з нерiвнозначними змiнними (17),
де z1 = 1/ξ1, z2 = 1/ξ2, i нехай приєднаний ГЛД з двома нерiвнозначними змiнними (1) є
вiдповiдним до ФПСР (2) в точцi (0, 0). Тодi:
1) для будь-якого n, n ≥ 1, справджується рiвнiсть gn(z1, z2) = 1 + g∗n(ξ1, ξ2);
2) формальне розвинення Лорана n-го пiдхiдного дробу g∗n(ξ1, ξ2) в (∞,∞) має вигляд
g∗n(ξ1, ξ2) =
∑
1≤r+s≤2n
r≥0,s≥0
crs
ξr1ξ
s
2
+
∑
p+q≥2n+1
p≥0,q≥0
γ
(n)
pq
ξp1ξ
q
2
, n ≥ 1,
де crs ∈ C, r ≥ 0, s ≥ 0, 1 ≤ r + s ≤ 2n, γ
(n)
pq ∈ C, p ≥ 0, q ≥ 0, p + q ≥ 2n + 1, n ≥ 1,
(ξ1, ξ2) ∈ C2, i, отже, двовимiрний J-дрiб з нерiвнозначними змiнними (17) є вiдповiдним до
ФПРЛ (18) в (∞,∞).
1. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. – Киев: Наук. думка, 1986. – 176 с.
2. Lorentzen L., Waadeland H. Continued fractions with applications. – Amsterdam etc.: North-Holland, 1992. – 606 p.
3. Jones W. B., Thron W. J. Continued fractions: Analytic theory and applications // Encycl. Math. and its Appl. –
London etc.: Addison-Wesley, 1980. – 11. – 429 p.
4. Гоєнко Н. П. Принцип вiдповiдностi та збiжнiсть послiдовностей аналiтичних функцiй багатьох змiнних //
Мат. вiсн. НТШ. – 2007. – 4. – С. 42 – 48.
5. Кучмiнська Х. Й. Двовимiрнi неперервнi дроби. – Львiв: Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України,
2010. – 218 с.
6. Баран О. Є., Дмитришин Р. I. Деякi типи гiллястих ланцюгових дробiв, вiдповiдних до кратних степеневих
рядiв // Теорiя наближення функцiй та її застосування: Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2000. – Вип. 31. –
С. 82 – 92.
7. Боднар Д. И. Соответствующие ветвящиеся цепные дроби с линейными частными числителями для двойного
степенного ряда // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 4. – С. 474 – 482.
8. Cuyt A., Verdonk B. A review of branched continued fraction theory for the construction of multivariate rational
approximations // Appl. Numer. Math. – 1988. – 4. – P. 263 – 271.
9. Dmytryshyn R. I. On the expansion of some functions in a two-dimensional g-fraction with independent variables //
J. Math. Sci. – 2012. – 181, № 3. – P. 320 – 327.
10. Dmytryshyn R. I. The multidimensional generalization of g-fractions and their application // J. Comput. and Appl.
Math. – 2004. – 164-165. – P. 265 – 284.
11. Dmytryshyn R. I. The two-dimensional g-fraction with independent variables for double power series // J. Approxim.
Theory. – 2012. – 164, № 12. – P. 1520 – 1539.
12. Кучмiнська Х. Й. Вiдповiдний i приєднаний гiллястi ланцюговi дроби для подвiйного степеневого ряду // Доп.
АН УРСР. – 1978. – № 7. – С. 614 – 617.
13. Murphy J. F., O’Donohoe M. R. A two-variable generalization of the Stieltjes-type continued fractions // J. Comput.
and Appl. Math. – 1978. – 4, № 3. – P. 181 – 190.
14. Siemaszko W. Branched continued fractions for double power series // J. Comput. and Appl. Math. – 1980. – 6, № 2. –
P. 121 – 125.
Одержано 22.08.13,
пiсля доопрацювання — 04.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2208 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:45Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/50885510d1faeccfc66d51cb135a3723.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22082019-12-05T10:26:31Z Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables Приєднані гіллясті ланцюгові дроби з двома нерівнозначними змінними Dmytryshyn, R. I. Дмитришин, Р. І. An algorithm for the expansion of a given formal double power series in the associated branched continued fraction with two independent variables is constructed and the conditions for the existence of this expansion are established. Построен алгоритм разложения заданного формального двойного степенного ряда в присоединенную ветвящуюся цепную дробь с двумя неравнозначными переменными и установлены условия существования такого разложения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2208 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1175–1184 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1175–1184 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2208/1417 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2208/1418 Copyright (c) 2014 Dmytryshyn R. I. |
| spellingShingle | Dmytryshyn, R. I. Дмитришин, Р. І. Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables |
| title | Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables |
| title_alt | Приєднані гіллясті ланцюгові дроби з двома нерівнозначними змінними |
| title_full | Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables |
| title_fullStr | Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables |
| title_full_unstemmed | Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables |
| title_short | Associated Branched Continued Fractions with Two Independent Variables |
| title_sort | associated branched continued fractions with two independent variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2208 |
| work_keys_str_mv | AT dmytryshynri associatedbranchedcontinuedfractionswithtwoindependentvariables AT dmitrišinrí associatedbranchedcontinuedfractionswithtwoindependentvariables AT dmytryshynri priêdnanígíllâstílancûgovídrobizdvomanerívnoznačnimizmínnimi AT dmitrišinrí priêdnanígíllâstílancûgovídrobizdvomanerívnoznačnimizmínnimi |