Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees
The paper is devoted to the investigation of representations of Temperley–Lieb-type algebras generated by orthogonal projections connected with countable Coxeter trees. The theorem on the structure of these systems of orthogonal projections is proved. Some examples are presented.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2209 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508157103570944 |
|---|---|
| author | Kirichenko, A. A. Samoilenko, Yu. S. Tymoshkevych, L. M. Кириченко, А. А. Самойленко, Ю. С. Тимошкевич, Л. М. |
| author_facet | Kirichenko, A. A. Samoilenko, Yu. S. Tymoshkevych, L. M. Кириченко, А. А. Самойленко, Ю. С. Тимошкевич, Л. М. |
| author_sort | Kirichenko, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | The paper is devoted to the investigation of representations of Temperley–Lieb-type algebras generated by orthogonal projections connected with countable Coxeter trees. The theorem on the structure of these systems of orthogonal projections is proved. Some examples are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.552.4
А. А. Кириченко, Ю. С. Самойленко, Л. М. Тимошкевич (Iн-т математики НАН України, Київ)
СТРУКТУРА СИСТЕМ ОРТОПРОЕКТОРIВ,
ПОВ’ЯЗАНИХ ЗI ЗЛIЧЕННИМИ ДЕРЕВАМИ КОКСТЕРА
The paper is devoted to the investigation of representations of Temperley – Lieb-type algebras generated by orthogonal
projections connected with countable Coxeter trees. The theorem on the structure of these systems orthogonal projections
is proved. Some examples are presented.
Исследуются представления алгебр типа Темперли – Либа, которые порождены ортопроекторами, связанными со
счетными деревьями Кокстера. Доказана теорема, описывающая структуру таких систем ортопроекторов, и приве-
дены примеры.
1. Вступ. Вивчення систем пiдпросторiв S = (H;H1, . . . ,Hn) гiльбертового простору H є
важливою задачею функцiонального аналiзу та математичної фiзики, якiй присвячено багато
публiкацiй (див., наприклад, [1 – 3].) Зокрема, у [2] вивчалися системи пiдпросторiв (системи
ортопроекторiв), що пов’язувалися зi зв’язними неорiєнтованими скiнченними графами (в тому
числi з графами Кокстера).
У данiй статтi вивчається структура незвiдних злiченних систем пiдпросторiв {Hk} гiльбер-
тового комплексного простору H , якi пов’язанi зi злiченними деревами Кокстера Γ i парамет-
ром τ ∈ (0, 1), кожна пара пiдпросторiв є ортогональною або з фiксованим кутом 0 < φij <
π
2
мiж ними, який визначається параметром τ та графом Γ (п. 2). За допомогою ортопроекто-
рiв Pi = PHi та Pj = PHj умова ортогональностi пiдпросторiв Hi та Hj записується як
PiPj = PjPi = 0, а умова щодо кута мiж ними φij (τij = cosφij) — як PiPjPi = τ2
ijPi,
PjPiPj = τ2
ijPj .
Ми описуємо множину параметрiв τ , для яких iснують такi ненульовi незвiднi системи
ортопроекторiв, та структуру таких систем (п. 3), а також наводимо приклади систем ортопро-
екторiв, пов’язаних зi злiченними деревами Кокстера (п. 4).
2. Постановка задачi. 2.1. Злiченнi дерева Кокстера. При дослiдженнi скiнченних систем
ортопроекторiв (див. [2] та наведену там бiблiографiю) використовується спектральна теорiя
скiнченних графiв (див., наприклад, [4, 5]) та скiнченних графiв Кокстера (див. [6, 7]).
При дослiдженнi злiченних систем ортопроекторiв будемо використовувати спектральну
теорiю злiченних графiв (див. [8 – 11]).
Нагадаємо необхiднi означення. Пiд термiном „граф” ми розумiємо впорядковану пару
(V,R), в якiй V — деяка непорожня множина (множина вершин) i R — множина, що скла-
дається з невпорядкованих пар рiзних елементiв V (множина ребер), тобто ми розглядаємо
неорiєнтованi графи без кратних ребер та петель.
Графом Кокстера Γ називаємо пару (Γ, f), в якiй Γ — граф i f — вiдображення множини
ребер цього графа Γ в множину, що складається з символу ∞ i натуральних чисел, строго
бiльших за 2. Будемо казати, що граф Γ пiдпорядкований графу Кокстера Γ = (Γ, f). Для
простоти сприймання граф Кокстера почасти представляють схемою, що зображує пiдпорядко-
ваний граф, приписуючи ще над кожним ребром e число f(e), яке називатимемо „позначкою”
на ребрi. Прийнято пропускати приписування на ребрах числа 3, i такi ребра будемо називати
непозначеними, а ребра з позначкою, що бiльша або дорiвнює 4, — позначеними.
c© А. А. КИРИЧЕНКО, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Л. М. ТИМОШКЕВИЧ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1185
1186 А. А. КИРИЧЕНКО, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Л. М. ТИМОШКЕВИЧ
Зауваження 1. Звичайнi графи є пiдмножиною графiв Кокстера, для них функцiя f — це
вiдображення в число 3. Ми називаємо граф Кокстера просто графом, якщо з контексту зрозумi-
ло, що йдеться про графи Кокстера. Для позначення графiв Кокстера будемо використовувати
напiвжирний шрифт.
Зауваження 2. Будемо називати граф Кокстера зв’язним, деревом, циклом i т. п., якщо
пiдпорядкований граф задовольняє цi властивостi.
Злiченним графом Кокстера називають граф Кокстера зi злiченною множиною вершин, а
злiченним деревом Кокстера — зв’язний злiченний граф Кокстера без циклiв.
Зафiксуємо порядок, в якому будемо розглядати вершини графа Кокстера. З кожним графом
Γ = (Γ, f) та порядком вершин пов’язують матрицю сумiжностi AΓ = (aij)
n
i,j=1, де n = |Γ|
— потужнiсть множини вершин графа Γ, а елементи матрицi aij = 2 cos
π
k
, якщо f((i, j)) = k,
aij = 2, якщо f((i, j)) =∞, i aij = 0, якщо вершини i та j не сполученi ребром.
Таким чином, AΓ — це симетрична дiйсна матриця з нулями на головнiй дiагоналi. Якщо
граф Γ скiнченний, тобто |V | <∞, то AΓ є квадратною матрицею порядку |V |. Для злiченних
графiв Γ матриця AΓ є нескiнченною вправо i вниз. Вигляд матрицi сумiжностi залежить вiд
порядку, в якому розглядаються вершини. Однак матрицi сумiжностi одного i того ж графа при
рiзних нумерацiях вершин унiтарно еквiвалентнi.
Оскiльки матриця сумiжностi AΓ скiнченного графа Γ симетрична (aij = aji), то її власнi
значення є дiйсними. Позначимо власнi значення матрицi AΓ через λi, i = 1, . . . , n, та розта-
шуємо їх у незростаючому порядку λΓ = λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λn. Найбiльше власне значення λΓ
називають iндексом графа Γ.
Нехай Γ = (Γ, f) — граф Кокстера. Граф Γ1 = (Γ1, f1) називається пiдграфом графа Γ =
= (Γ, f), якщо Γ1 — пiдграф Γ i для довiльного ребра e графа Γ1 має мiсце нерiвнiсть f1(e) 6
6 f(e) (вважаємо, що ∞ ≥ n, де n — довiльне натуральне число або символ ∞).
Через Fin(Γ) позначимо множину всiх скiнченних пiдграфiв графа Γ.
Поняття iндексу поширюється на злiченнi графи Кокстера таким чином.
Означення 1. Iндексом злiченного графа Кокстера називається додатне число або символ
∞, визначенi рiвнiстю
ind Γ = sup
G∈Fin(Γ)
ind G.
Далi будемо розглядати лише такi зв’язнi графи Γ = (VΓ, RΓ), що степенi всiх вершин
рiвномiрно обмеженi: deg v ≤ c <∞ ∀v ∈ VΓ для деякого натурального числа c.
Зауважимо, що в цьому випадку indΓ < ∞ та indΓ = ‖AΓ‖, де AΓ : l2(C) → l2(C)
розглядається як обмежений самоспряжений оператор, заданий матрицею сумiжностi графа Γ.
2.2. Системи ортопроекторiв. Пов’яжемо зi злiченним графом Кокстера Γ = (Γ, f)
та параметром τ ∈ (0, 1) набiр ортопроекторiв {Pk} гiльбертового комплексного простору H
таким чином: кожнiй вершинi графа vk ∈ VΓ поставимо у вiдповiднiсть ортопроектор Pk так,
щоб виконувались умови
PiPjPi = τ2
ijPi, PjPiPj = τ2
ijPj , якщо (i, j) ∈ RΓ,
PiPj = PjPi = 0, якщо (i, j) /∈ RΓ.
(1)
Параметри τij задаються спiввiдношеннями τij = τcos
π
kij
, де kij = f((i, j)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СТРУКТУРА СИСТЕМ ОРТОПРОЕКТОРIВ, ПОВ’ЯЗАНИХ ЗI ЗЛIЧЕННИМИ ДЕРЕВАМИ КОКСТЕРА 1187
Такий набiр ортопроекторiв є зображенням у гiльбертовому просторi H ∗-алгебри
TLΓ,τ,⊥ = C
〈
pi, i ∈ VΓ|p2
i = p∗i = pi, i ∈ VΓ;
pipjpi = τ2
ijpi, (i, j) ∈ RΓ, pipj = pjpi = 0, (i, j) /∈ RΓ
〉
.
У позначеннi алгебри TLΓ,τ,⊥ лiтери TL використано в честь фiзикiв H. N. V. Temperley та
E. H. Lieb’а, якi у роботi [1] у зв’язку з вивченням моделей статистичної фiзики ввели алгебри
(спiввiдношення в таких алгебрах задаються ланцюжком An)
TLAn,τ = C
〈
p1, . . . , pn|p2
i = p∗i = pi, i = 1, . . . , n;
pipjpi = τ2pi, |i− j| = 1, pipj = pjpi, |i− j| ≥ 1
〉
.
Узагальненi алгебри Темперлi – Лiба, пов’язанi зi скiнченними графами Γ, вивчались у робо-
тi [12]. Символ ⊥ у позначеннi алгебри TLΓ,τ,⊥ вказує на те, що проектори, якi вiдповiдають
не сумiжним вершинам графа, на вiдмiну вiд узагальнених алгебр Темперлi – Лiба є ортого-
нальними, але не комутують.
У багатьох роботах (див. бiблiографiю у [2]) вивчалися зображення ∗-алгебр, пов’язаних iз
скiнченними графами G:
TLG,τ,⊥ = C
〈
pi, i ∈ VG|p2
i = p∗i = pi, i ∈ VG;
pipjpi = τ2pi, (i, j) ∈ RG, pipj = pjpi = 0, (i, j) /∈ RG
〉
.
Метою даної роботи є опис з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi ненульових незвiдних
систем ортопроекторiв, якi задовольняють умови (1).
Нагадаємо, що система ортопроекторiв {Pk} в H називається незвiдною, якщо з умови
комутацiї деякого обмеженого оператораC з кожним iз ортопроекторiв Pk випливає, щоC = λI,
λ ∈ C.
Двi системи ортопроекторiв {Pk} та {P ′k} в H та H ′ називаються унiтарно еквiвалентними,
якщо iснує унiтарний оператор U ∈ B(H,H ′) такий, що U(Hk) = H ′k для всiх k. Ця умова
виконується тодi i лише тодi, коли виконано рiвностi UPk = P ′kU для всiх k.
Зауважимо, що якщо всi ортопроектори Pi = 0, то умови (1) виконуються, тому алгебра
TLΓ,τ,⊥ завжди має нульове зображення π0 : π0(pi) = 0 для всiх i.
3. Дослiдження структури систем ортопроекторiв.
Теорема. Нехай граф Γ = (Γ, f) — злiченне зв’язне дерево Кокстера, тодi:
1) для всiх 0 < τ ≤ 2
indΓ
iснує єдина з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi незвiдна
ненульова система ортопроекторiв {Pk}, яка задовольняє умови (1), при цьому dimImPk = 1
для кожного ортопроектора Pk;
2) для всiх τ >
2
indΓ
ненульових незвiдних систем ортопроекторiв, якi задовольняють
умови (1), не iснує.
Доведення теореми розiб’ємо на три частини, що представленi у вiдповiдних лемах.
Позначимо через AΓ : l2(C) → l2(C) обмежений самоспряжений оператор, заданий матри-
цею AΓ = (aij); матриця AΓ є матрицею сумiжностi графа Γ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1188 А. А. КИРИЧЕНКО, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Л. М. ТИМОШКЕВИЧ
Лема 1. Оператор BΓ,τ = I − τ AΓ
2
у просторi l2(C) є невiд’ємним тодi i тiльки тодi,
коли 0 < τ ≤ 2
indΓ
.
Доведення. Оскiльки indΓ = ‖AΓ‖, то спектр σ(AΓ) ⊂ [−indΓ, indΓ] та indΓ ∈ σ(AΓ).
Тому
σ
(
τ
AΓ
2
)
⊂
[
−τ indΓ
2
, τ
indΓ
2
]
i σ
(
I − τ AΓ
2
)
≥ 0
тодi й тiльки тодi, коли 0 < τ ≤ 2
indΓ
.
Лема 2. Iснує єдине, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, незвiдне ненульове зобра-
ження алгебри TLΓ,τ,⊥ при 0 < τ ≤ 2
indΓ
.
Доведення. 1. Побудуємо спочатку одне ненульове незвiдне зображення алгебри TLΓ,τ,⊥
при 0 < τ ≤ 2
indΓ
. Розглянемо гiльбертовий простiр l2(C) та введемо на ньому пiвторалiнiйну
форму 〈x, y〉 = (BΓ,τx, y)l2 . Тодi 〈ei, ej〉 = bij , де bij — елементи матрицi BΓ,τ = I − τ AΓ
2
=
= (bij)i,j∈VΓ
. За попередньою лемою ∀x ∈ l2(C) 〈x, x〉 ≥ 0 при 0 < τ ≤ 2
indΓ
. Якщо форма
〈·, ·〉 додатно визначена, то введемо на просторi l2(C) скалярний добуток 〈x, y〉 = (BΓ,τx, y)l2 ,
поповнимо простiр l2(C), отриманий гiльбертiв простiр позначимо Hτ .
В iншому випадку через Hτ позначимо фактор-простiр поповненого простору l2(C) по ядру
форми 〈·, ·〉.
Зауважимо, що гiльбертiв простiр Hτ є замкненою лiнiйною оболонкою системи векторiв
{ei : i ∈ VΓ} (можливо, лiнiйно залежних), кожен з них має одиничну норму, i матриця BΓ,τ є
матрицею Грама цiєї системи векторiв.
Визначимо для кожного i ∈ VΓ ортопроектор Pi : x → (x, ei)ei, x ∈ Hτ , на одновимiрний
простiр, породжений вектором ei. Перевiримо, що таким чином визначенi ортопроектори Pi
задовольняють умови (1).
Якщо (i, j) ∈ RΓ, то (ei, ej) = −τij , тодi ∀x ∈ Hτ : PiPjPix = PiPj(x, ei)ei =
= (x, ei)PiPjei = (x, ei)Pi(ei, ej)ej = −(x, ei)Piτijej = −τij(x, ei)(ej , ei)ei = τ2
ij(x, ei)ei =
= τ2
ijPix, тобто PiPjPi = τ2
ijPi.
Якщо (i, j) /∈ RΓ, то (ei, ej) = 0, тодi ∀x ∈ Hτ : PiPjx = Pi(x, ej)ej = (x, ej)Piej =
= (x, ei)(ei, ej)ei = 0, тобто PjPi = 0.
Позначимо побудоване зображення ∗-алгебри TLΓ,τ,⊥ через π : π(pi) = Pi, i ∈ VΓ.
Доведемо, що зображення π є незвiдним. Нехай обмежений оператор C комутує з усiма
ортопроекторами Pk, тодi Cek = CPkek = PkCek = λkek, k ∈ VΓ для деякого λk ∈ C.
Нехай l = (k = jm, jm−1, . . . , j2, j1 = 1) — найкоротший шлях з вершини 1 у вершину k. Тодi
знайдеться µk ∈ C\{0} таке, що ek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1e1. Таким чином, λkek = Cek =
= µkPkPjm−1 . . . Pj2P1Ce1 = λ1ek i ми одержали, що всi λk рiвнi мiж собою, а отже, C —
скалярний оператор.
2. Доведемо, що довiльне незвiдне ненульове зображення π1 у гiльбертовому просторi H
унiтарно еквiваленте означеному вище зображенню π.
Спочатку покажемо, що для будь-якого незвiдного ненульового зображення π1 у гiльберто-
вому просторi H образи всiх ортопроекторiв Pi = π1(pi), i ∈ VΓ є одновимiрними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СТРУКТУРА СИСТЕМ ОРТОПРОЕКТОРIВ, ПОВ’ЯЗАНИХ ЗI ЗЛIЧЕННИМИ ДЕРЕВАМИ КОКСТЕРА 1189
Оскiльки {Pi : i ∈ VΓ} — незвiдна ненульова система ортопроекторiв, то в цiй системi iснує
ненульовий ортопроектор, позначимо його Pi0 . Нехай xi0 ∈ H такий, що Pi0(xi0) = xi0 i
||xi0 || = 1. Для кожної вершини j ∈ VΓ iснує єдиний найкоротший шлях з j в i0 : l(j, i0) =
= (j = i1, i2, . . . , im = i0). Покладемо
xj = (−1)m+1 1
τi1i2τi2i3 ...τim−1im
Pi1Pi2 . . . Pimxi0 .
Тодi ||xj || = 1, j ∈ VΓ.
Перевiримо, що замкнена лiнiйна оболонка системи векторiв {xj : j ∈ V } є iнварiантною
вiдносно дiї ортопроекторiв {Pi : i ∈ V }. Розглянемо дiю Pi на векторi
xj = (−1)m+1 1
τi1i2τi2i3 ...τim−1im
PjPi2 . . . Pimxi0 .
Якщо (i, j) /∈ RΓ та i 6= j, то PiPj = 0, тому Pixj = 0; якщо (i, j) /∈ RΓ та i = j, то
Pixj = Pixi = xi. Якщо (i, j) ∈ RΓ, то або i = i2, або i 6= i2.
У першому випадку
Pixj = Pi2xj = (−1)m+1 1
τi1i2τi2i3 . . . τim−1im
Pi2PjPi2Pi3 . . . Pimxi0 =
= (−1)m+1 1
τi1i2τi2i3 . . . τim−1im
τ2
ji2Pi2Pi3 . . . Pimxi0 = τ̃xi2 = τ̃xi
для деякого τ̃ .
У другому випадку i 6= i2 iснує ланцюг l(i, i0) = (i, i1 = j, i2, . . . , im = i0), а тодi аналогiчно
Pixj = υ̃xi для деякого υ̃.
Отже, замкнена лiнiйна оболонка системи векторiв {xj : j ∈ VΓ} є iнварiантним пiдпрос-
тором, а оскiльки система ортопроекторiв {Pi : i ∈ VΓ} є незвiдною, то вона збiгається з H i
образи ортопроекторiв Pi породжуються векторами xi вiдповiдно.
Тепер перейдемо до доведення унiтарної еквiвалентностi зображень π1 та π.
Якщо (i, j) /∈ RΓ, то 〈xi, xj〉H = 0. Якщо (i, j) ∈ RΓ, то або l(i, i0) = (i = i1, i2 =
= j, . . . , im = i0), або l(j, i0) = (j = i1,i2 = i, . . . , im = i0).
Нехай для визначеностi виконується перша рiвнiсть, тодi xi = − 1
τij
Pixj i маємо
〈xi, xj〉H = − 1
τij
〈Pixj , xj〉H = − 1
τij
〈PiPjxj , Pjxj〉H = − 1
τij
〈PjPiPjxj , xj〉H = −τij .
Таким чином, матриця BΓ,τ є матрицею Грама системи векторiв {xi : i ∈ VΓ}, а тому зображен-
ня π1 унiтарно еквiвалентне зображенню π.
Лему доведено.
Лема 3. При τ >
2
indΓ
ненульових ∗-зображень алгебра TLΓ,τ,⊥ не має.
Доведення. Припустимо вiд супротивного, що алгебра TLΓ,⊥,τ має ненульове ∗-зображення
π у гiльбертовому просторi H при τ >
2
indΓ
. Тодi можна побудувати, як i у попередньому до-
веденнi, iнварiантний гiльбертiв пiдпростiр, що дорiвнює замкненiй лiнiйнiй оболонцi системи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1190 А. А. КИРИЧЕНКО, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Л. М. ТИМОШКЕВИЧ
векторiв {xj , j ∈ V }. Але тодi матриця Грама цiєї системи векторiв BΓ,τ = I − τAΓ при
τ >
2
indΓ
не є невiд’ємною. Одержали суперечнiсть.
Лему доведено.
4. Приклади. Наведемо приклади застосування теореми до систем ортопроекторiв, пов’я-
заних з рiзними злiченними деревами Кокстера.
Позначимо через ΣΓ множину тих τ , для яких iснує незвiдний ненульовий набiр ортопро-
екторiв {Pk}.
1. Iндекси злiченних графiв A∞, AZ , D∞, B∞ дорiвнюють 2 (див. [11]), тодi згiдно з
теоремою маємо
ΣA∞ = ΣAZ
= ΣD∞ = ΣB∞ = (0; 1] .
A∞
s s s s s q q q
AZ
q q q s s s s q q q
D∞
s
s
b
b
b
bb
"
"
"
""
s s s s q q q
B∞
4s s s s s q q q
2. Iндекси серiї графiв T1,k,∞, k ≥ 2, належать промiжку
(
2;
√√
5 + 2
)
(див. [11]), тодi
згiдно з теоремою маємо ΣT1,k,∞ ⊃
(
0;
2√√
5 + 2
]
.
T1,k,∞
s s s s s sq q q q q q
s
k ≥ 2
3. Iндекси графiв T1,∞,∞, T2,2,∞, H∞ та F∞ дорiвнюють
√√
5 + 2 (див. [11]), тодi згiдно
з теоремою маємо ΣT1,∞,∞ = ΣT2,2,∞ = ΣH∞ = ΣF∞ =
(
0;
2√√
5 + 2
]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СТРУКТУРА СИСТЕМ ОРТОПРОЕКТОРIВ, ПОВ’ЯЗАНИХ ЗI ЗЛIЧЕННИМИ ДЕРЕВАМИ КОКСТЕРА 1191
T1,∞,∞
q q q s s s s s q q q
s
T2,2,∞
s s s s s q q q
s
s
H∞
5s s s s s q q q
F∞
4s s s s s q q q
4. Iндекс графа-зiрочки з n нескiнченними променями K1,∞,...,∞ дорiвнює
√
n− 1+
1√
n− 1
(див. [9]), тодi згiдно з теоремою маємо ΣK1,∞,...,∞ =
(
0;
2
√
n− 1
n
]
.
5. Iндекс графа Um+1 (степiнь кожної вершини дорiвнює m+ 1) дорiвнює 2
√
m (див. [9]),
тодi згiдно з теоремою маємо ΣUm+1 =
(
0;
1√
m
]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1192 А. А. КИРИЧЕНКО, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Л. М. ТИМОШКЕВИЧ
4. Висновки. У статтi описано зображення, їх структуру та множину параметрiв, за яких
ненульовi зображення iснують, для певних класiв алгебр типу Темперлi – Лiба, пов’язаних зi
злiченними деревами Кокстера. Одержанi результати можуть бути застосованi при подальших
дослiдженнях зображень алгебр, породжених проекторами, та для опису наборiв пiдпросторiв
гiльбертового простору.
Автори висловлюють щиру подяку I. С. Фещенко за кориснi поради.
1. Temperley H. N. V., Lieb E.H. Relations between ’percolations’ and ’colouring’ problems and other graph theoretical
problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem // Proc. Roy. Soc.
London. A. – 1971. – 322. – P. 251 – 280.
2. Самойленко Ю. С., Стрелец А. В. О простых n-ках подпространств в гильбертовом пространстве // Укр. мат.
журн. – 2009. – 61, № 12. – C. 1668 – 1703.
3. Casazza P.G., Kutyniok G. Finite frames: theory and applications. – New York etc.: Springer, 2013. – 485 p.
4. Cvetkovı̌ć D., Doob M., Sachs H. Spectra of graphs. Theory and applications. – Berlin: VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, 1980. – 368 p.
5. Brouwer A. E., Haemers W. H. Spectra of graphs. – New York etc.: Springer, 2012. – 245 p.
6. Goodman F. M., de la Harpe P., Jones V. F. R. Coxeter graphs and towers of algebras. – New York etc.: Springer,
1989. – 288 p.
7. Самойленко Ю. С., Тимошкевич Л. М. Про спектральну теорiю графiв Кокстера // У свiтi математики. – 2009. –
15, № 3. – C. 14 – 24.
8. Mohar B.,Woess W. A survey on spectra of infinite graphs // Bull. London Math. Soc. – 1989. – 21. – P. 209 – 234.
9. Mohar B. The spectrum of an infinite graph // Linear Algebra and Appl. – 1982. – 48. – P. 245 – 256.
10. von Below J. An index theory for uniformly locally finite graphs // Linear Algebra and Appl. – 2009. – 431. –
P. 1 – 19.
11. Коротков А. С., Тимошкевич Л. М. Аналог теореми Смiта для злiченних графiв Кокстера // Доп. НАН України. –
2013. – № 12. – C. 19 – 24.
12. Graham J. Modular representations of Hecke algebras and related algebras: Ph.D. Thesis. – Sydney, 1995.
Одержано 17.01.14,
пiсля доопрацювання — 28.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2209 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:44Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/53/fd08d79d13b84761bd5a49097aae5753.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22092019-12-05T10:26:31Z Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees Структура систем ортопроекторів, пов’язаних зі зліченними деревами Кокстера Kirichenko, A. A. Samoilenko, Yu. S. Tymoshkevych, L. M. Кириченко, А. А. Самойленко, Ю. С. Тимошкевич, Л. М. The paper is devoted to the investigation of representations of Temperley–Lieb-type algebras generated by orthogonal projections connected with countable Coxeter trees. The theorem on the structure of these systems of orthogonal projections is proved. Some examples are presented. Исследуются представления алгебр типа Темперли-Либа, которые порождены ортопроекторами, связанными со счетными деревьями Кокстера. Доказана теорема, описывающая структуру таких систем ортопроекторов, и приведены примеры. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2209 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1185–1192 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1185–1192 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2209/1419 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2209/1420 Copyright (c) 2014 Kirichenko A. A.; Samoilenko Yu. S.; Tymoshkevych L. M. |
| spellingShingle | Kirichenko, A. A. Samoilenko, Yu. S. Tymoshkevych, L. M. Кириченко, А. А. Самойленко, Ю. С. Тимошкевич, Л. М. Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees |
| title | Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees |
| title_alt | Структура систем ортопроекторів, пов’язаних зі зліченними деревами Кокстера |
| title_full | Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees |
| title_fullStr | Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees |
| title_full_unstemmed | Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees |
| title_short | Structure of the Systems of Orthogonal Projections Connected with Countable Coxeter Trees |
| title_sort | structure of the systems of orthogonal projections connected with countable coxeter trees |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2209 |
| work_keys_str_mv | AT kirichenkoaa structureofthesystemsoforthogonalprojectionsconnectedwithcountablecoxetertrees AT samoilenkoyus structureofthesystemsoforthogonalprojectionsconnectedwithcountablecoxetertrees AT tymoshkevychlm structureofthesystemsoforthogonalprojectionsconnectedwithcountablecoxetertrees AT kiričenkoaa structureofthesystemsoforthogonalprojectionsconnectedwithcountablecoxetertrees AT samojlenkoûs structureofthesystemsoforthogonalprojectionsconnectedwithcountablecoxetertrees AT timoškevičlm structureofthesystemsoforthogonalprojectionsconnectedwithcountablecoxetertrees AT kirichenkoaa strukturasistemortoproektorívpovâzanihzízlíčennimiderevamikokstera AT samoilenkoyus strukturasistemortoproektorívpovâzanihzízlíčennimiderevamikokstera AT tymoshkevychlm strukturasistemortoproektorívpovâzanihzízlíčennimiderevamikokstera AT kiričenkoaa strukturasistemortoproektorívpovâzanihzízlíčennimiderevamikokstera AT samojlenkoûs strukturasistemortoproektorívpovâzanihzízlíčennimiderevamikokstera AT timoškevičlm strukturasistemortoproektorívpovâzanihzízlíčennimiderevamikokstera |