Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays
We perform a detailed spectral analysis of countable graphs formed by joining semibounded infinite chains to vertices of a finite graph. The spectrum of a self-adjoint operator generated by the adjacency matrix of the graph is characterized, the spectral measure is constructed, the eigenvectors are...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2210 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508160770441216 |
|---|---|
| author | Lebid’, V. O. Nizhnik, L. P. Лебідь, В. О. Нижник, Л. П. |
| author_facet | Lebid’, V. O. Nizhnik, L. P. Лебідь, В. О. Нижник, Л. П. |
| author_sort | Lebid’, V. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | We perform a detailed spectral analysis of countable graphs formed by joining semibounded infinite chains to vertices of a finite graph. The spectrum of a self-adjoint operator generated by the adjacency matrix of the graph is characterized, the spectral measure is constructed, the eigenvectors are presented in the explicit form, and the spectral expansion in eigenvectors is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
В. О. Лебiдь, Л. П. Нижник (Iн-т математики НАН України, Київ)
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДЕЯКИХ ГРАФIВ
З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ*
We perform a detailed spectral analysis of countable graphs formed by joining semibounded infinite chains to the vertices
of a finite graph. The spectrum of a self-adjoint operator generated by the adjacency matrix of the graph is characterized,
the spectral measure is constructed, the eigenvectors are presented in the explicit form, and the spectral expansion in
eigenvectors is obtained.
Проведен подробный спектральный анализ счетных графов, которые созданы присоединением к вершинам конеч-
ного графа полуограниченных бесконечных цепочек. Охарактеризован спектр матрицы смежности таких графов,
построена спектральная мера, приведены в явном виде собственные векторы и спектральное разложение по соб-
ственным векторам.
1. Вступ. Спектральна теорiя графiв є одним iз актуальних напрямiв у сучаснiй математичнiй
фiзицi (див. [1 – 8] i наведену там бiблiографiю). Це пов’язано як iз внутрiшнiми стимулами
розвитку теорiї, так i з розв’язанням конкретних прикладних задач, якi виникають у теорiї
iнформацiйних, комунiкацiйних, енергетичних та транспортних мереж.
Простим неорiєнтованим графом G називають пару (V,E), у якiй V — деяка непорожня
множина (множина вершин), а E — множина ребер, що з’єднують рiзнi вершини V. З графом
G однозначно пов’язана матриця сумiжностi A(G) = (aij)
∞
i,j=1, елементи якої aij дорiвнюють
1, якщо вершини з номерами i та j з’єднуються ребром, або 0, якщо такого ребра немає.
У випадку злiченних графiв матриця A(G) породжує у гiльбертовому просторi l2(V ) са-
моспряжений оператор A, спектр якого може мати дискретну σp(A) та неперервну σc(A) ком-
поненти. Пiд спектральним аналiзом графа G розумiють спектральний аналiз самоспряженого
оператора A у гiльбертовому просторi l2(V ).
Для скiнченних графiв їх спектральний аналiз зводиться до спектрального аналiзу невiд’єм-
них симетричних скiнченних матриць, i на сьогоднi є добре розвиненим роздiлом теорiї графiв
[1, 2]. Для деяких злiченних графiв також побудовано спектральну теорiю [3 – 7, 9, 10].
Найпростiшим нескiнченним графом AN є напiвобмежений ланцюг, усi вершини якого
занумерованi натуральними числами N = {1, 2, . . .}, а ребра з’єднують лише вершини iз послi-
довними номерами. Такий граф-ланцюг називатимемо променем.
Матриця сумiжностi напiвобмеженого ланцюжка AN є якобiєвою матрицею J0, на головнiй
дiагоналi якої розташовано нулi, а на двох побiчних — одиницi. Вiдомо, що матриця J0 поро-
джує у просторi l2(N) самоспряжений оператор, спектр якого чисто абсолютно неперервний,
однократний i утворює iнтервал [−2, 2] (див. [4, 11, 12]).
Бiльше того, для оператора J0 у просторi l2(N) справедливою є спектральна теорема про
розклад за узагальненими власними функцiями (див. [12]). Для λ ∈ [−2, 2] вектор-функцiя
ϕ(λ) = (ϕ0(λ), ϕ1(λ), . . .), де ϕj(λ) = Pj(λ), j ≥ 0, є узагальненою власною функцiєю опера-
тора J0, що вiдповiдає власному значенню λ, тобто J0ϕ(λ) = λϕ(λ).
* Виконано в рамках проекту 03-01-12 „Оберненi задачi в сучаснiй математичнiй фiзицi” спiльних проектiв
НАН України та Сибiрського вiддiлення РАН.
c© В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1193
1194 В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК
Тут Pj(λ) є полiномом степеня j вiд λ, що виражається у виглядi Pj(λ) = Uj
(
λ
2
)
через
полiноми Чебишова другого роду Uj(z) =
sin((j + 1) arccos z)
sin(arccos z)
. Для полiномiв Pj(λ) справ-
джується рекурентне спiввiдношення Pj+1(λ) = λPj(λ) − Pj−1(λ) з початковими умовами
P−1(λ) = 0, P0(λ) = 1, P1(λ) = λ.
Кожному вектору x ∈ l2(N) вiдповiдає його перетворення Фур’є x̃(λ) за узагальненим
власним вектором
x̃(λ) ≡ Fx = (x, ϕ(λ))l2 =
∞∑
j=0
xjϕj(λ). (1)
Функцiя x̃(λ) належить простoру L2([−2, 2], ρ(λ)dλ) ≡ L2(ρ) квадратично iнтегровних
функцiй на iнтервалi [−2, 2] з вагою ρ(λ) =
1
2π
√
4− λ2 ≡ ρ0(λ).
Має мiсце обернене перетворення Фур’є, визначене на всьому L2(ρ):
x ≡ F−1x =
2∫
−2
x̃(λ)ϕ(λ)ρ(λ)dλ. (2)
Для довiльних x, y ∈ l2(N) справджується рiвнiсть Парсеваля
(x, y)l2 = (x̃, ỹ)L2(ρ). (3)
Як показано у роботi [10], спектральний аналiз злiченних графiв, що утворенi приєднан-
ням до скiнченного графа одного променя, зводиться до дослiдження якобiєвих матриць, у
яких лише скiнченне число елементiв вiдрiзняється вiд вiдповiдних елементiв матрицi J0. Це
дало можливiсть у роботах [9, 10] отримати явнi формули для випадкiв зiркового, повного,
циклiчного та iнших графiв з одним приєднаним променем.
Метою даної роботи є дослiдження спектральних властивостей злiченних графiв, якi мають
вигляд скiнченних графiв, до деяких вершин яких приєднано нескiнченнi променi. При цьому
доводиться, що матриця сумiжностi таких графiв унiтарно еквiвалентна ортогональнiй сумi
скiнченної симетричної матрицi та декiлькох спецiальних якобiєвих матриць, у яких не бiльше
чотирьох елементiв вiдмiннi вiд вiдповiдних елементiв найпростiшої матрицi Якобi J0, що
дозволяє провести повний i явний спектральний аналiз таких графiв.
У пунктi 2, що має допомiжний характер, проведено явний спектральний аналiз деяких
спецiальних матриць Якобi, потрiбних для спектрального аналiзу графiв, що розглядаються у
пп. 3 – 5. У пунктi 3 — це зiрковi графи з n однореберними та m нескiнченними променями.
У пунктi 4 — це повний граф iз n + m вершин, до m вершин якого приєднано нескiнченнi
променi. У пунктi 5 — це циклiчний граф, до кожної вершини якого приєднано нескiнченний
промiнь.
2. Спецiальнi матрицi Якобi. Розглянемо чотирипараметричну сiм’ю якобiєвих матриць
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДЕЯКИХ ГРАФIВ З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ 1195
Ja1,a2b1,b2
=
b1 a1 0 0 0 . . .
a1 b2 a2 0 0 . . .
0 a2 0 1 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
, a1, a2 > 0, b1, b2 ∈ R,
на головнiй дiагоналi яких розташованi числа b1, b2, 0, 0, . . . , а на двох побiчних — a1, a2, 1,
1, . . . . У випадках, коли a1 = a2 = 1, такi матрицi будемо позначати через Jb1,b2 , при b2 = 0 —
через Jb1 , а при b1 = b2 = 0 — через J0. У випадку, коли b1 = b2 = 0, матрицi Якобi позначаємо
через Ja1,a2 , а при a2 = 1 — через Ja1 .
Теорема 1. Матриця Якобi Ja1,a2b1,b2
породжує у просторi l2(N) обмежений самоспряжений
оператор, спектр якого складається з однократної абсолютно неперервної компоненти, що
збiгається з iнтервалом [−2, 2], та ще не бiльше нiж чотирьох власних значень λ, що є нулями
спектрального полiнома
p(λ) =
[
(λ− b1)(λ− b2)− a21
][
(λ− b1)((1− a22)λ− b2)− a21
]
+ a42(λ− b1)2, (4)
з умовою, що число µ =
(λ− b1)(λ− b2)− a21
a22(λ− b1)
за модулем менше, нiж 1. Числа µ є нулями
полiнома γ(µ) = 1 + γ1µ + γ2µ
2 + γ3µ
3 + γ4µ
4, де γ1 = −b1 − b2, γ2 = 2 + b1b2 − a21 − a22,
γ3 = b1a
2
2 − b1 − b2, γ4 = 1 − a22. Кожному власному значенню λ = µ + µ−1 у просторi l2(N)
вiдповiдає власний вектор вигляду
eµ =
(
a1
a2(µ+ µ−1 − b1)
, a−12 , µ, µ2, µ3, . . . , µj , . . .
)
. (5)
При цьому кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний вектор
ϕ(λ) = (a1a2, a2(λ− b1), ϕ2(λ), ϕ3(λ) . . . , ϕj(λ), . . .), (6)
де
ϕ2(λ) = (λ− b1)(λ− b2)− a21,
ϕj(λ) = ϕ2(λ)Pj−2(λ)− a22(λ− b1)Pj−3(λ), j ≥ 2,
ϕj(λ) =
4∑
k=0
γkPj−k(λ), j ≥ 4, γ0 = 1,
полiноми Pj(λ) визначено у вступi.
Справджуються розклад за наведеними власними вектор-функцiями та рiвнiсть Парсеваля
зi спектральною щiльнiстю ρ(λ) =
√
4− λ2
2πp(λ)
абсолютно неперервного спектра.
Доведення. Той факт, що спектр матрицi Якобi Ja1,a2b1,b2
складається з однократної абсолютно
неперервної компоненти i ще не бiльш нiж зi скiнченної кiлькостi власних значень, що лежать
ззовнi iнтервалу [−2, 2], випливає iз загальної спектральної теорiї якобiєвих матриць [11, 12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1196 В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК
Iз цiєї теорiї випливають i можливiсть розкладу за власними вектор-функцiями, i рiвнiсть
Парсеваля. Тому потребує перевiрки лише правильнiсть формул для eµ, ϕ(λ) i спектральної
щiльностi ρ(λ). Правильнiсть формул (5) i (6) для eµ, ϕ(λ) безпосередньо перевiряється iз
рiвностей Ja1,a2b1,b2
eµ = (µ+ µ−1)eµ i Ja1,a2b1,b2
ϕ(λ) = λϕ(λ).
Явний вигляд спектральної щiльностi ρ(λ) можна отримати так. По-перше, при фiксованому
λ ∈ [−2, 2] вектор ϕ(λ) ортогональний усiм власним векторам вигляду (5). Якщо вектор x =
= (x0, x1, . . . ) ∈ l2 ортогональний усiм власним векторам eµ, то його перетворення Фур’є за
узагальненими власними векторами дає функцiю
x̃(λ) = (x, ϕ(λ))l2 =
∞∑
j=0
xjϕj(λ). (7)
Оскiльки полiноми ϕj(λ) явно виражаються через полiноми Pj(λ), а множина полiномiв
{Pj(λ)}∞j=0 утворює ортонормовану систему у просторi L2([−2, 2], ρ0(λ)dλ), де ρ0(λ) =
=
1
2π
√
4− λ2, то iз (7) отримуємо
2∫
−2
x̃(λ)ϕ(λ)ρ0(λ)dλ = Xk, (8)
де Xk явно виражається через компоненти вектора x:
Xk =
a1a2x0 − b1a2x1 + (b1b2 − a21 + 1)x2 + γ3x3 + γ4x4, якщо k = 0,
a2x1 + γ1x2 + γ2x3 + γ3x4 + γ4x5, якщо k = 1,
xk + γ1xk+1 + γ2xk+2 + γ3xk+3 + γ4xk+4, якщо k ≥ 2.
(9)
З iншого боку, зi спектральної теореми для якобiєвих матриць випливає, що iснує така
щiльнiсть ρ(λ), що вектор x (а отже, i його компоненти ) явно виражаються через x̃(λ):
xj =
2∫
−2
x̃(λ)ϕj(λ)ρ(λ)dλ, j = 0, 1, . . . . (10)
Пiдстановка (10) у праву частину (8) з урахуванням (9) приводить до тотожностi
2∫
−2
x̃(λ)Pj(λ)p(λ)ρ(λ)dλ =
2∫
−2
x̃(λ)Pj(λ)ρ0(λ)dλ, (11)
де полiном p(λ) визначено у (4). Оскiльки тотожнiсть (11) виконується для довiльного j i
довiльної функцiї x̃(λ), то ρ(λ) =
ρ0(λ)
p(λ)
, що i потрiбно було довести.
Зауважимо, що доведення теореми можна провести i безпосередньо, не використовуючи
результатiв зi спектральної теорiї якобiєвих матриць, як це зроблено у роботах [9, 10].
Iз теореми 1 як частковий випадок при b2 = 0, b1 = b, a2 = 1, a1 = a отримуємо таку
теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДЕЯКИХ ГРАФIВ З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ 1197
Теорема 2. Матриця Якобi Jab породжує у просторi l2(N) обмежений самоспряжений
оператор, спектр якого складається з однократної абсолютно неперервної компоненти, що
збiгається з iнтервалом [−2, 2], та ще не бiльше нiж двох власних значень λ, що є нулями
спектрального полiнома
p(λ) = a4 + b2 + b(a2 − 2)λ− (a2 − 1)λ2, (12)
з умовою, що число µ =
λ− b
a2
за модулем менше, нiж 1.
Необхiдною i достатньою умовою, щоб матриця Jab мала:
1) два власних значення, є умова a2 > 2, |b| < a2 − 2;
2) одне власне значення, є умова |b| ≥ a2 − 2 i тодi signλ = sign b;
3) не мала власних значень, є умова a2 ≤ 2, |b| ≤ 2− a2.
Кожному власному значенню λ = µ + µ−1 у просторi l2(N) вiдповiдає власний вектор
вигляду
eµ = (a−1, µ, µ2, µ3, . . . , µj , . . .). (13)
При цьому кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний вектор
ϕ(λ) = (a, P1(λ)− bP0(λ), P2(λ)− bP1(λ)− (a2 − 1)P0(λ), . . . , Pj−1(λ)−
−bPj−2(λ)− (a2 − 1)Pj−3(λ), . . .). (14)
Справджуються розклад за наведеними власними вектор-функцiями та рiвнiсть Парсеваля зi
спектральною щiльнiстю ρ(λ) =
√
4− λ2
2πp(λ)
абсолютно неперервного спектра.
Наведемо ще один частковий випадок теореми 1, коли b1 = b2 = 0.
Теорема 3. Матриця Якобi Ja1,a2 породжує у просторi l2(N) обмежений самоспряжений
оператор, спектр якого складається з однократної абсолютно неперервної компоненти, що
збiгається з iнтервалом [−2, 2], та ще не бiльше нiж чотирьох власних значень λ, що є нулями
спектрального полiнома
p(λ) = a41 + [a21(a
2
2 − 2) + a42]λ
2 − (a22 − 1)λ4, (15)
з умовою, що число µ2 =
λ2 − a21 − a22
a22
менше, нiж 1.
Кожному власному значенню λ = µ + µ−1 у просторi l2(N) вiдповiдає власний вектор
вигляду
eµ =
(
a1
a2(µ+ µ−1)
, a−12 , µ, µ2, µ3, . . . , µj , . . .
)
. (16)
При цьому кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний вектор
ϕ(λ) = (a1a2, a2P1(λ), P2(λ)− (a21 − 1)P0(λ), . . . , Pj(λ)−
−(2− a21 − a22)Pj−2(λ)− (a22 − 1)Pj−4(λ), . . .). (17)
Справджуються розклад за наведеними власними вектор-функцiями та рiвнiсть Парсеваля
зi спектральною щiльнiстю ρ(λ) =
√
4− λ2
2πp(λ)
абсолютно неперервного спектра.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1198 В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК
Iз теореми 1 як частковий випадок при a2 = 1, a1 = a отримуємо таку теорему.
Теорема 4. Матриця Якобi Jab1,b2 породжує у просторi l2(N) обмежений самоспряжений
оператор, спектр якого складається з однократної абсолютно неперервної компоненти, що
збiгається з iнтервалом [−2, 2], та ще не бiльше нiж трьох власних значень λ, що є нулями
спектрального полiнома
p(λ) = (b1b2 − a)2 + b21 − [2b1 + (b1 + 2b2)(b1b2 − a)]λ+ [b2(2b1 + b2) + 1− a2]λ2 − b2λ3, (18)
з умовою, що число µ =
λ− b1
b2λ+ a2 − b1b2
за модулем менше, нiж 1.
Кожному власному значенню λ = µ + µ−1 у просторi l2(N) вiдповiдає власний вектор
вигляду
eµ =
(
a
µ+ µ−1 − b1
, 1, µ, µ2, µ3, . . . , µj , . . .
)
. (19)
При цьому кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний вектор
ϕ(λ) = (a, P1(λ)− bP0(λ), P2(λ)− (b1 + b2)P1(λ) + (1− a2 + b1b2)P0(λ), . . .
. . . , Pj(λ)− (b1 + b2)Pj−1(λ) + (1− a2 + b1b2)Pj−2(λ)− b2Pj−3(λ), . . .). (20)
Справджуються розклад за наведеними власними вектор-функцiями та рiвнiсть Парсеваля зi
спектральною щiльнiстю ρ(λ) =
√
4− λ2
2πp(λ)
абсолютно неперервного спектра.
3. Зiрковий граф. Нехай S(n, 1;m,∞) — зiрковий граф iз n однореберними та m нескiн-
ченними променями. Випадок m = 1 i n = 0 розглянуто у роботах [9, 10]. Матриця сумiжнос-
тi графа S(n, 1;m,∞) породжує обмежений самоспряжений оператор An,m у гiльбертовому
просторi l2(V ), де V — множина вершин графа S(n, 1;m,∞). Оператор An,m дiє на вектор
x ∈ l2(V ) так:
(An,mx)0 =
n∑
j=1
xj +
n+m∑
j=n+1
xj1,
(An,mx)j = x0 для кожного j = 1, n,
(An,mx)ji = xji−1 + xji+1,
xj0 ≡ x0 для кожного j = n+ 1, n+m, i ≥ 1.
(21)
Тут компоненти векторiв x та An,mx iз простору l2(V ),що вiдповiдають центру зiркового графа,
позначаємо нижнiм iндексом 0, а компоненти, що вiдповiдають i-й вершинi на j-му нескiнчен-
ному променi, — нижнiм iндексом i та верхнiм iндексом j (j = n+ 1, n+m); компоненти, що
вiдповiдають висячiй вершинi на j-му однореберному променi — верхнiм iндексом j (j = 1, n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДЕЯКИХ ГРАФIВ З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ 1199
Теорема 5. Оператор An,m вигляду (21), що вiдповiдає зiрковому графу S(n, 1;m,∞), є
обмеженим самоспряженим оператором у l2(V ). При m,n ≥ 1 iснує унiтарний оператор U у
гiльбертовому просторi l2(V ) такий, що
UAn,mU−1 = On−1 ⊕ J
√
n,
√
m ⊕ J0 ⊕ . . .⊕ J0︸ ︷︷ ︸
m−1
,
де On−1 — нульова матриця розмiру (n− 1)× (n− 1), а J
√
n,
√
m, J0 — матрицi Якобi.
Доведення. Нехай {e0, ej , eki }
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N — стандартний базис у просторi l2(V ), пов’я-
заний iз вказаною нумерацiєю вершин V зiркового графа S(n, 1;m,∞). Розглянемо двi дiйснi
унiтарнi матрицi Uk = ‖ukij‖ki,j=1, k = n,m, у яких перший рядок складається iз чисел
1√
k
,
тобто uk1j =
1√
k
, j = 1, . . . , n, k = n,m, а всi iншi елементи вибрано так, щоб матрицi Uk були
дiйсними й унiтарними. Тодi
k∑
j=1
ukαju
k
βj = δαβ, α, β = 1, k,
де δαβ — символ Кронекера. Звiдси випливає, що
k∑
j=1
ukij = 0 при i = 2, . . . , k.
Розглянемо у просторi l2(V ) новий базис {ê0, êj , êki }
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N такий, що
ê0 = e0, ê1 =
1√
n
n∑
j=1
ej , êj =
n∑
s=1
unjse
s, j = 2, 3, . . . , n,
ê1i =
1√
m
m∑
j=1
eji , êki =
m∑
s=1
umkse
s
i , k = n+ 2, . . . , n+m, i ∈ N.
Згiдно з (21) оператор An,m дiє на вихiдний базис так:
An,me0 =
n∑
j=1
ej +
n+m∑
k=n+1
ek1,
An,mej = e0 для кожного j = 1, n,
An,meki = eki−1 + eki+1,
ek0 ≡ e0 для кожного k = n+ 1, n+m, i ≥ 1.
Враховуючи зв’язок мiж новим та вихiдним базисами, маємо
An,mê1 =
√
nê0, An,mê0 =
√
nê1 +
√
mê11,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1200 В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК
An,mêj = 0 для кожного j = 2, n,
An,mên1 =
√
nê0 + ên2 , An,mêji = êji−1 + êji+1, i ≥ 2, j ≥ n,
An,mêj1 = êj2, j ≥ n+ 1.
Цi спiввiдношення показують, що у пiдпросторi розмiрностi n−1 з базисом {êj}nj=2 опера-
тор An,m дiє як нульовий, у пiдпросторах Hk з базисом {êki }i∈N при кожному k = n+ 1, n+m
— як матриця Якобi J0, а у пiдпросторiH1 з базисом {ê0, ê1, êni }i∈N — як матриця Якобi J
√
n,
√
m.
Таким чином, оператор U у просторi l2(V ), який переводить базис {e0, ej , eki }
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N
у базис {ê0, êj , êki }
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N, є унiтарним i задовольняє твердження теореми.
Теорему 5 доведено.
Iз теореми 5 випливає, що спектр зiркового зв’язного графа S(n, 1;m,∞) складається iз
m-кратної абсолютно неперервної компоненти, що збiгається з iнтервалом [−2, 2], та iз влас-
них значень: λ = 0 кратностi n − 1 та λ± = ±
√
nm+m2 − 2n+m
√
(n+m)2 − 4n
2(m− 1)
. Iн-
декс графа S(n, 1;m,∞), тобто спектральний радiус оператора An,m, визначається числом
indS(n, 1;m,∞) = λ+.
4. Повний граф. Розглянемо повний граф iз n+m вершин, кожнi двi вершини якого з’єднано
ребром, до кожної iз m фiксованих вершин якого приєднано нескiнченний промiнь. Будемо
позначати такий граф через K(n,m,∞) i вважати, що вершини занумеровано так, що першi n
є вiльними, а до наступних m приєднано променi. Матриця сумiжностi такого графа визначає
обмежений самоспряжений оператор An,m у гiльбертовому просторi l2(V ), де V — множина
вершин графа K(n,m,∞). Оператор An,m дiє на вектор x = (xj1, x
k
i )
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N ∈ l2(V ) так:
(An,mx)j1 =
n+m∑
α=1,α 6=j
xα1 для кожного j = 1, n,
(An,mx)k1 =
n+m∑
α=1,α 6=k
xα1 + xk2 для кожного k = n+ 1, n+m,
(An,mx)ki = xki−1 + xki+1 для кожного k = n+ 1, n+m, i ≥ 2.
(22)
Теорема 6. Оператор An,m вигляду (22), що вiдповiдає графу K(n,m,∞), є обмеженим
самоспряженим оператором у l2(V ). Iснує унiтарний оператор U у гiльбертовому просторi
l2(V ) такий, що
UAn,mU−1 = −In−1 ⊕ J
√
nm
n−1,m−1 ⊕ J0 ⊕ . . .⊕ J0︸ ︷︷ ︸
m−1
,
де In−1 — одинична матриця розмiру (n− 1)× (n− 1), а J
√
nm
n−1,m−1, J0 — матрицi Якобi.
Доведення aналогiчне доведенню теореми 5 з використанням унiтарних матриць Uk =
= ‖ukij‖ki,j=1, k = n,m. Дiйсно, якщо {ej1, eki }
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N — стандартний базис у просторi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДЕЯКИХ ГРАФIВ З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ 1201
l2(V ), пов’язаний iз вказаною нумерацiєю вершин V графа K(n,m,∞), то новий базис можна
визначити так:
êj1 =
n∑
α=1
unjαe
α
1 , j = 1, . . . , n,
êji =
m∑
α=1
umj−n,αe
α+n
i , j = n+ 1, . . . , n+m, i ∈ N.
Оператор An,m дiє на базиснi вектори нового базису таким чином:
An,mê11 = (n− 1)ê11 +
√
nmên+1
1 ,
An,mêj1 = −ê
j
1 для кожного j = 2, n,
An,mên+1
1 = (m− 1)ên+1
1 +
√
nmê11 + ên+1
2 ,
An,mêji = êji−1 + êji+1, êj0 = 0, i ≥ 1, j = n+ 1, . . . , n+m.
Отже, оператор U у просторi l2(V ), який переводить базис {ej1, eki }
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N у базис
{êj1, ê
j
i}
n, n+m
j=1,k=n+1,i∈N, є унiтарним i задовольняє твердження теореми.
Теорему 6 доведено.
Iз теореми 6 випливає, що спектр графа K(n,m,∞) складається iз m-кратної абсолютно
неперервної компоненти, що збiгається з iнтервалом [−2, 2], з (n − 1)-кратного власного зна-
чення λ = −1, якому вiдповiдають фiнiтнi власнi вектори, та ще iз власних значень λ, що є
нулями кубiчного многочлена
p(λ) = n2m2 + (n− 1)2 + [2nm(m− 1) + (n− 1)(nm− 2)]λ+
+[(m− 1)(n+m− 2) + 1− nm]λ2 − (m− 1)λ3,
для яких число µ =
λ− n+ 1
(m− 1)λ+ nm
за модулем менше 1. Iншими словами, власнi значення
мають вигляд λ = µ+ µ−1, де µ (|µ| < 1) є дiйсним коренем рiвняння
(m− 1)µ3 + (nm− 1)µ2 + (n+m− 2)µ− 1 = 0. (23)
При m,n ≥ 1 завжди iснує один потрiбний додатний корiнь рiвняння (23). Для того щоб
iснували два розв’язки (додатний i вiд’ємний), необхiдно i достатньо, щоб mn + 1 > 2m + n.
Ця умова завжди виконується, якщо m,n ≥ 3. У рiвняннi (23) три розв’язки з умовою |µ| < 1
неможливi.
У випадку, коли n = 1, тобто у повного графа з m+1 вершинами, лише до однiєї вершини
якого не приєднано промiнь, є лише одне власне значення, що є дiйсним нулем многочлена
m2 + 2m(m− 1)λ+ (m− 1)(m− 2)λ2 − (m− 1)λ3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1202 В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК
Наближене значення цього власного числа можна подати у виглядi λ = m + m−1 −
− 1
m2 + 3m− 2
, що добре наближає точне значення при великих m, а при всiх m ≥ 2 похибка
не перевищує 1, 5 вiдсотка.
5. Циклiчний граф. Нехай C(n,∞) — циклiчний граф iз n вершин, до кожної iз яких
приєднано нескiнченний промiнь. Будемо нумерувати послiдовно вершини, що лежать на циклi,
i променi, що виходять iз цих вершин, верхнiм iндексом j(modn), тобто числами 0, 1, . . . , n−1,
а вершини, що лежать на самих променях у послiдовному порядку, — нижнiм iндексом i ≥ 1.
Матриця сумiжностi графа C(n,∞) визначає обмежений самоспряжений оператор An у
гiльбертовому просторi l2(V ), де V — множина вершин графа C(n,∞). Оператор An дiє на
вектор x = (xj1)
n−1
j=0,i∈N ∈ l2(V ) таким чином:
(Anx)j1 = xj−11 + xj+1
1 + xj2,
(Anx)ji = xji−1 + xji+1, i ≥ 2, j = 0, . . . , n− 1.
(24)
Розглянемо детально спектральний аналiз циклiчних графiв iз приєднаними променями для
випадкiв n = 4, 6, 8, 12, для яких усi величини можна подати у простому явному виглядi.
Теорема 7. Оператор An вигляду (24), що вiдповiдає матрицi сумiжностi графа C(n,∞),
є обмеженим самоспряженим оператором у l2(V ). Iснують такi унiтарнi оператори Un у
гiльбертовому просторi l2(V ), що оператор An унiтарно еквiвалентний, а оператор UAnU−1
збiгається з ортогональною сумою якобiєвих матриць
J
√
5 ⊕ J0 ⊕ J0 ⊕ J0 при n = 4,
J
√
5 ⊕ J
√
2 ⊕ J
√
2 ⊕ J0 ⊕ J0 ⊕ J0 при n = 6,
J
√
5 ⊕ J
√
3 ⊕ J
√
3 ⊕ J0 ⊕ . . .⊕ J0︸ ︷︷ ︸
5
при n = 8,
J
√
5 ⊕ J2 ⊕ J2 ⊕ J
√
2 ⊕ J
√
2 ⊕ J0 ⊕ . . .⊕ J0︸ ︷︷ ︸
7
при n = 12.
Доведення. Розглянемо випадок n = 4. Нехай {eji}, j = 0, 1, 2, 3, i ∈ N, — стандартний
базис у просторi l2(V ), V — множина вершин графа C(4,∞) iз вказаною нумерацiєю вершин.
Тодi оператор A4, що вiдповiдає матрицi сумiжностi графа C(4,∞), дiє в стандартному базисi
таким чином:
(Anx)j1 = xj−11 + xj+1
1 + xj2,
(Anx)ji = xji−1 + xji+1, i ≥ 2, j = 0, . . . , 3.
(25)
Розглянемо новий базис {êji}, j = 0, 1, 2, 3, i ∈ N, у просторi l2(V ):
ê01 =
1√
2
(e01 + e21), i = 1,
1√
10
[e0i + e2i + 2(e1i−1 + e3i−1)], i ≥ 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛIЗ ДЕЯКИХ ГРАФIВ З НЕСКIНЧЕННИМИ ПРОМЕНЯМИ 1203
ê1i =
1√
10
[e1i + e3i − 2(e0i+1 + e2i+1)], i ∈ N,
ê2i =
1√
2
(e0i − e2i ), ê3i =
1√
2
(e1i − e3i ), i ∈ N.
(26)
Легко бачити, що у пiдпросторах Hj з базисом {êji}, j = 0, 1, 2, 3, i ∈ N, оператор A4 дiє
як матриця Якобi J
√
5 у пiдпросторi H0 i як J0 у пiдпросторах Hj , j = 1, 2, 3.
Таким чином, оператор U у просторi l2(V ), який переводить базис {eji}, j = 0, 1, 2, 3, i ∈ N,
у базис {êji}, j = 0, 1, 2, 3, i ∈ N, є унiтарним i задовольняє твердження теореми для графа
C(4,∞).
Для випадкiв n = 6, 8, 12 доведення аналогiчне. Наведемо явний вигляд нового базису лише
у випадку n = 6:
ê0i =
1√
3
(e01 + e21 + e41), i = 1,
1√
15
[e0i + e2i + e4i + 2(e1i−1 + e3i−1 + e5i−1)], i ≥ 2,
ê1i =
1
2
(e11 − e51 + e01 − e41), i = 1,
1
2
√
2
[e1i−1 − e3i−1 + e2i−1 − e4i−1 + e0i + e1i − e4i − e5i ], i ≥ 2,
ê2i =
1
2
(e11 − e21 − e31 + e41), i = 1,
1
2
√
2
[e0i−1 − e1i−1 − e4i−1 + e5i−1 + e1i − e2i − e3i + e4i ], i ≥ 2,
ê3i =
1√
15
[e1i + e3i + e5i − 2(e0i+1 + e2i+1 + e4i+1)], i ∈ N,
ê4i =
1
2
√
2
[e0i+1 + e1i+1 − e4i+1 − e5i+1 − e1i − e2i + e3i + e4i ], i ∈ N,
ê5i =
1
2
√
2
[e1i+1 − e2i+1 − e3i+1 + e4i+1 − e0i + e1i + e4i − e5i ], i ∈ N.
Легко бачити, що у пiдпросторах Hj з базисом {êji}, j = 0, 5, i ∈ N, оператор A6 дiє як
матриця Якобi J
√
5 у пiдпросторi H0, як J
√
2 у пiдпросторах H1, H2 i як J0 у пiдпросторах
Hj , j = 3, 4, 5.
Таким чином, оператор U у просторi l2(V ), який переводить базис {eji}, j = 0, 5, i ∈ N, у
базис {êji}, j = 0, 5, i ∈ N, є унiтарним i задовольняє твердження теореми для графа C(6,∞).
Теорему доведено.
На основi теореми 7 робимо висновки. Спектральний аналiз циклiчних графiв C(n,∞) iз
нескiнченними променями можна подати у явному виглядi. Зокрема, спектр графiв C(n,∞) при
n = 4, 6, 8, 12 мiстить n-кратну абсолютно неперервну компоненту, що збiгається з iнтервалом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1204 В. О. ЛЕБIДЬ, Л. П. НИЖНИК
[−2, 2], завжди два власних значення ±5
2
та ще два власних значення ±3
√
2
2
кратностi 2 при
n = 8; два власних значення ±4
√
3
3
кратностi 2 при n = 12.
1. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов, теория и применение. – Киев: Наук. думка, 1984.
2. Москалева Ю. П., Самойленко Ю. С. Введение в спектральную теорию графов. – Киев: Центр учеб. лит., 2007. –
114 с.
3. Brouwer A. E. Spectra of graphs. – New York etc.: Springer, 2012.
4. Mohar B. The spectrum of an infinite graph // Linear Algebra and Appl. – 1982. – 48. – P. 245 – 256.
5. Mohar B., Woess W. A survey on spectra of infinite graphs // Bull. London Math. Soc. – 1989. – 21. – P. 209 – 234.
6. Mantoiu M., Richard S., Tiedra de Aldecoa R. Spectral analysis for adjacency operators on graphs // arXiv:math-
ph/0603020v1 7 Mar 2006.
7. von Below J. An index theory for uniformly locally finite graphs // Linear Algebra and Appl. – 2009. – 431. –
P. 1 – 19.
8. Покорный Ю. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах . – М.: Физматлит, 2004.
9. Лебiдь В. О., Нижник Л. П. Спектральний аналiз зiркового графа з одним нескiнченним променем // Наук.
зап. НаУКМА. – 2013. – 139. – С. 18 – 22.
10. Лебiдь В. О., Нижник Л. П. Спектральний аналiз локально скiнченних графiв з одним нескiнченним променем
// Доп. НАН України. – 2014. – № 3. – С. 29 – 35.
11. Simon B. Szego’s theorem and its descendants: spectral theory for L2 perturbations of orthogonal polynomials. –
Princeton; New York: Princeton Univ. Press, 2011. – xii + 650 p.
12. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 798 с.
Одержано 29.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2210 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:48Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/058e876c07ee878bfa85b4b53f3087d7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22102019-12-05T10:26:31Z Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays Спектральний аналіз деяких графів з нескінченними променями Lebid’, V. O. Nizhnik, L. P. Лебідь, В. О. Нижник, Л. П. We perform a detailed spectral analysis of countable graphs formed by joining semibounded infinite chains to vertices of a finite graph. The spectrum of a self-adjoint operator generated by the adjacency matrix of the graph is characterized, the spectral measure is constructed, the eigenvectors are presented in the explicit form, and the spectral expansion in eigenvectors is obtained. Проведен подробный спектральный анализ счетных графов, которые созданы присоединением к вершинам конечного графа полуограниченных бесконечных цепочек. Охарактеризован спектр матрицы смежности таких графов, построена спектральная мера, приведены в явном виде собственные векторы и спектральное разложение по собственным векторам. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2210 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1193–1204 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1193–1204 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2210/1421 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2210/1422 Copyright (c) 2014 Lebid’ V. O.; Nizhnik L. P. |
| spellingShingle | Lebid’, V. O. Nizhnik, L. P. Лебідь, В. О. Нижник, Л. П. Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays |
| title | Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays |
| title_alt | Спектральний аналіз деяких графів з нескінченними променями |
| title_full | Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays |
| title_fullStr | Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays |
| title_full_unstemmed | Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays |
| title_short | Spectral Analysis of Some Graphs with Infinite Rays |
| title_sort | spectral analysis of some graphs with infinite rays |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2210 |
| work_keys_str_mv | AT lebidvo spectralanalysisofsomegraphswithinfiniterays AT nizhniklp spectralanalysisofsomegraphswithinfiniterays AT lebídʹvo spectralanalysisofsomegraphswithinfiniterays AT nižniklp spectralanalysisofsomegraphswithinfiniterays AT lebidvo spektralʹnijanalízdeâkihgrafívzneskínčennimipromenâmi AT nizhniklp spektralʹnijanalízdeâkihgrafívzneskínčennimipromenâmi AT lebídʹvo spektralʹnijanalízdeâkihgrafívzneskínčennimipromenâmi AT nižniklp spektralʹnijanalízdeâkihgrafívzneskínčennimipromenâmi |