On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations
We study a system of nonlinear differential equations used as basic for the construction of triangular models for commutative systems of linear nonself-adjoint bounded operators.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2213 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508166113984512 |
|---|---|
| author | Oleinik, E. V. Олейник, Е. В. Олейник, Е. В. |
| author_facet | Oleinik, E. V. Олейник, Е. В. Олейник, Е. В. |
| author_sort | Oleinik, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | We study a system of nonlinear differential equations used as basic for the construction of triangular models for commutative systems of linear nonself-adjoint bounded operators. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Е. В. Олейник (Харьк. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
We study system of nonlinear differential equations used as a basis for the construction of triangular models for commutative
systems of linear nonself-adjoint bounded operators.
Вивчається система нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, на якiй ґрунтується побудова трикутних моделей для
комутативних систем лiнiйних несамоспряжених обмежених операторiв.
1. Введение. Пусть задана коммутативная система {A1, A2} линейных ограниченных опе-
раторов, действующих в гильбертовом пространстве H, и линейный ограниченный оператор
ϕ : H → E, где E — также гильбертово пространство, в котором заданы самосопряженные
операторы {σk}21 , {γ±} .
Совокупность
∆ =
(
{A1, A2};H;ϕ;E; {σ1, σ2};
{
γ−
}
;
{
γ+
})
(1)
называется коммутативным узлом, если [1, c. 35]
[A1, A2] = 0,
Ak −A∗k = iϕ∗σkϕ, σk = σ∗k, k = 1, 2,
σ1ϕA
∗
2 − σ2ϕA∗1 = γ−ϕ,
γ+ = γ− + (σ1ϕϕ
∗σ2 − σ2ϕϕ∗σ1) .
(2)
Любая коммутативная система ограниченных линейных операторов {Ak}21 может быть вклю-
чена в узел [1, c. 36]. Рассмотрим коммутативный узел (1) в случае, когда dimE = r < ∞,
причем σ1 = J (J = J∗ = J−1) — инволюция. Обозначим через S (λ) характеристическую
функцию оператора A1 узла ∆ (1):
S (λ) = I − iϕ(A1 − λI)−1ϕ∗σ1, (3)
где I — единичный оператор в H. Характеристическая функция S (λ) [2, c. 988] оператора A1
в случае вещественного спектра оператора A1 и абсолютной непрерывности матричной меры
Стильтьеса мультипликативного интеграла имеет вид
S (λ) = Sl (λ) , S(x, λ) =
x
x∫
0
exp
{
iJa(t)dt
λ− α(t)
}
, (4)
где α(x) — вещественная, ограниченная, неубывающая функция на [0, l], 0 < l <∞, а матрица-
функция a(·) является спектральной плотностью из мультипликативного представления Пота-
пова для характеристической функции и имеет следующие свойства: a(x) ≥ 0 размера [r × r]
c© Е. В. ОЛЕЙНИК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1223
1224 Е. В. ОЛЕЙНИК
такая, что tr a(x) ≡ 1. Из (2) следует, что характеристическая функция S (λ) удовлетворяет
условию сплетаемости [2, c. 989](
σ2λ+ γ−
)
JS (λ) = S (λ)
(
σ2λ+ γ+
)
J. (5)
Задача продолжения условия сплетаемости (5) вдоль цепочки инвариантных подпространств
оператора A1, которой соответствует мультипликативное представление S(x, λ) (4), приводит
к соотношению (
σ2λ+ γ−(x)
)
JS(x, λ) = S(x, λ)
(
σ2λ+ γ+
)
J (∀x ∈ [0, l]). (6)
В [3, c. 69] показано, что выполнение условия сплетаемости (6) эквивалентно системе урав-
нений
[Ja(x), (σ2α(x) + γ(x))J ] = 0, x ∈ [0, l],
γ′(x)J = i[Ja(x), σ2J ], x ∈ [0, l], (7)
γ(0) = γ+.
Решение этой системы γ(x) используется при построении треугольных моделей коммутативных
систем операторов [2, c. 989].
Целью данной работы является исследование и описание решений системы уравнений (7)
в случае dimE = 3, простого спектра матрицы Ja(x) и в предположении гладкости матрицы
a(x) и α(x) = 0. Получены уравнения (21) для собственных функций {hk(x)}r1 матрицы Ja(x)
в терминах собственных значений {µk(x)}r1 и собственных чисел оператора γ(x)J (теорема
1). В случае r = 3 основная система уравнений (21) на собственные функции имеет вид
(25), и ее решению посвящены пункты 3, 4. Найдены решения системы уравнений (25) в
случае r = 3, α(x) = 0 и простого спектра гладкой матрицы a(x) при известном операторе σ2
(теоремы 2 – 5). Установлено, что в изучаемом случае решения системы (25) выражаются через
тригонометрические функции от аргумента, зависящего от x, который строится по матрице σ2.
2. Собственные значения и собственные векторы матрицы Ja(x) в случае простого
спектра. Исследуем разрешимость системы условий сплетаемости в общем случае, когда
dimE = r < ∞ , для a(x) ≥ 0, tr a(x) ≡ 1, где J = J∗ = J−1, а α(x) — вещественная,
ограниченная, неубывающая функция на [0, l], 0 < l <∞.
Система условий сплетаемости (7) в случае α(x) = 0 примет вид
γ′(x)J = i [Ja(x), σ2J ] , γ(0) = γ0,
[Ja(x), γ(x)J ] = 0.
(8)
Проинтегрировав первое уравнение системы (8), получим
γ(x)J = i [A(x), σ2J ] + γ0J,
[A′(x), γ(x)J ] = 0,
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1225
где A(x) =
∫ x
0
Ja(t)dt. Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (8)
сводится к нахождению матрицы-функции A(x) из нелинейного уравнения
[A′(x), i [A(x), σ2J ] + γ0J ] = 0, (10)
т. е. необходимо найти матрицу A(x) как решение нелинейного уравнения (10), а затем опре-
делить γ(x) из (9).
Пусть Ja(x) — матрица-функция с простым спектром, ее описание эквивалентно характе-
ризации двух наборов: набору собственных функций и набору собственных чисел. Выберем
базис hk(x) так, чтобы
Ja(x)hk(x) = µk(x)hk(x), (11)
где µk(x) — комплекснозначные собственные значения матрицы Ja(x) и µk(x) 6= µs(x) (k 6= s)
такие, что при любом x ∈ [0, l] матрица Ja(x) в базисе {hk(x)}r1 приводится к диагональному
виду.
Лемма 1. Если µk(x) 6= µs(x), k 6= s, то векторы Jhk(x) и hs(x) ортогональны при k 6= s
и каждом x ∈ [0, l].
Доказательство. Принимая во внимание (11), имеем
a(x)hk(x) = µk(x)Jhk(x), a(x)hs(x) = µs(x)Jhs(x). (12)
Домножив скалярно первое уравнение (12) на hs(x), а второе на hk(x), получим
〈a(x)hk(x), hs(x)〉 = µk(x)〈Jhk(x), hs(x)〉, 〈a(x)hs(x), hk(x)〉 = µs(x)〈Jhs(x), hk(x)〉.
(13)
Вычитая из первого уравнения (13) комплексно-сопряженное второе, имеем
(µk(x)− µs(x))〈Jhk(x), hs(x)〉 = 0.
Поскольку Ja(x) — гладкая матрица с простым спектром и µk(x) 6= µs(x) при k 6= s, то
〈Jhk(x), hs(x)〉 = 0, значит, векторы Jhk(x) и hs(x) ортогональны.
В дальнейшем будем считать, что 〈Jhk(x), hk(x)〉 = 1. Введем обозначение
σ2Jhk(x) =
r∑
s=1
αsk(x)hs(x), 〈σ2Jhk(x), Jhs(x)〉 = αsk(x), 1 ≤ k, s ≤ r, (14)
где αsk(x) — вещественные функции. Воспользуемся первым уравнением из (8):
γ′(x)Jhk(x) = iJa(x)σ2Jhk(x)− iσ2JJa(x)hk(x) = i(Ja(x)− µk(x))σ2Jhk(x) =
= i
r∑
s=1
αsk(x) (Ja(x)− µk(x))hs(x) = i
∑
s6=k
αsk(x) (µs(x)− µk(x))hs(x). (15)
Лемма 2. Пусть при каждом x ∈ [0, l] матрица-функция Ja(x) имеет простой спектр и
{hk(x)}r1 — базис соответствующих собственных векторов.
Тогда векторы γ(x)Jhk(x) также являются ее собственными векторами, причем
γ(x)Jhk(x) = ξk(x)hk(x), где ξk(x) ∈ C.
Если ξk(x) — вещественные, то они не зависят от x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1226 Е. В. ОЛЕЙНИК
Доказательство. Учитывая второе уравнение системы (8), имеем
Ja(x)γ(x)Jhk(x) = γ(x)JJa(x)hk(x) = γ(x)Jµk(x)hk(x) = µk(x)γ(x)Jhk(x).
Таким образом, в случае простого спектра матрицы Ja(x) векторы γ(x)Jhk(x) являются соб-
ственными векторами этой матрицы
γ(x)Jhk(x) = ξk(x)hk(x). (16)
Предположим, что собственные значения ξk(x) оператора γ(x) зависят от x, и продифферен-
цируем соотношение (16):
γ′(x)Jhk(x) + γ(x)J(hk(x))′ = ξk(x)(hk(x))′ + (ξk(x))′hk(x). (17)
Умножим скалярно обе части равенства (17) на Jhk(x) и с учетом равенства 〈Jhk(x), hs(x)〉 =
= δsk и соотношения (14) получим〈
i
∑
s 6=k
αsk(x) (µs(x)− µk(x))hs(x), Jhk(x)
〉
=
=
〈
ξk(x)(hk(x))′, Jhk(x)
〉
−
〈
γ(x)J(hk(x))′, Jhk(x)
〉
+ (ξk(x))′ 〈hk(x), Jhk(x)〉 , (18)
т. е. 0 = 〈ξk(x)(hk(x))′, Jhk(x)〉 − 〈J(hk(x))′, γ(x)Jhk(x)〉+ (ξk(x))′.
В силу самосопряженности γ(x), вещественности ξk(x) и (16)〈
ξk(x)(hk(x))′, Jhk(x)
〉
−
〈
ξk(x)(hk(x))′, Jhk(x)
〉
+ (ξk(x))′ = 0,
значит, (ξk(x))′ = 0, следовательно, ξk не зависят от x.
Лемма 3. Пусть ξk(x) ∈ C — собственные значения оператора γ(x)J, тогда ξk(x) допус-
кают представления ξk(x) = vk
(
2
∫ x
0
nk(x)dt+ i
)
, где 〈J(hk(x))′, hk(x)〉 = ink(x) и nk(x),
vk ∈ R, причем vk от х не зависят.
Доказательство. В случае, когда ξk(x) ∈ C, из соотношения (18) следует
(ξk(x)− ξk(x))
〈
J(hk(x))′, hk(x)
〉
+ (ξk(x))′ = 0. (19)
Продифференцировав соотношение 〈Jhk(x), hk(x)〉 = 1, получим
〈J(hk(x))′, hk(x)〉+ 〈Jhk(x), (hk(x))′〉 = 0. (20)
Обозначим 〈J(hk(x))′, hk(x)〉 = mk(x) + ink(x), где mk(x), nk(x) ∈ R. В силу самосопря-
женности J с учетом (20) будем иметь mk(x)+ink(x)+mk(x)−ink(x) = 0, т. е. Re(〈J(hk(x))′,
hk(x)〉) = 0, или 〈J(hk(x))′, hk(x)〉 = ink(x).Обозначим ξk(x) = ck(x)+ivk(x), где ck(x), vk(x)
— вещественные функции и, подставив в (19), получим 2ivk(x)×ink(x)+(ck(x))′+i(vk(x))′ = 0.
Приравняем вещественные и мнимые части: (ck(x))′ = 2nk(x)vk(x), (vk(x))′ = 0. Отсюда
следует, что vk(x) = vk − const, а ck(x) = 2
∫ x
0
nk(x)vkdt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1227
Теорема 1. Пусть µk(x) ∈ C — собственные значения (11) матрицы Ja(x), а {hk(x)}r1
— соответствующий базис собственных векторов, причем µk(x) 6= µs(x)(k 6= s). Если ξk(x) ∈
C — собственные значения (16) оператора γ(x)J, то справедливо соотношение
h′k(x) = i
∑
s 6=k
αsk(x)
µs(x)− µk(x)
ξk(x)− ξs(x)
hs(x). (21)
Доказательство. Согласно лемме 3, ξk(x) = 2
∫ x
0
nk(x)vkdt + ivk, где 〈Jh′k(x), hk(x)〉 =
= mk(x) + ink(x), а mk(x), nk(x), vk ∈ R. Продифференцировав соотношение (16), полу-
чим (17). Применив соотношение (15), придем к равенству
i
∑
p6=k
αpk(x) (µp(x)− µk(x))hp(x) + γ(x)Jh′k(x) = ξk(x)h′k(x) + 2nk(x)vkhk(x). (22)
Домножив (22) скалярно на Jhs(x), будем иметь
iαsk(x) (µs(x)− µk(x)) + 〈Jh′k(x), γ(x)Jhs(x)〉 =
= ξk(x)〈h′k(x), Jhs(x)〉+ 〈2nk(x)vkhk(x), Jhs(x)〉.
Разложим h′k(x) по базисным векторам hk(x) с учетом леммы 1, тогда
h′k(x) =
r∑
s=1
ηks(x)hs(x), где ηks(x) = 〈h′k(x), Jhs(x)〉.
В случае s 6= k
iαsk(x) (µs(x)− µk(x)) =
(
ξk(x)− ξs(x)
)
〈h′k(x), Jhs(x)〉 =
=
(
ξk(x)− ξs(x)
)
ηks(x). (23)
В результате получим (21).
Лемма 4. Выражение (21) для h′k(x) имеет устранимую особенность при ξk(x) = ξs(x).
Доказательство. Из соотношения (23) видно, что при ξk(x) = ξs(x) получим αsk(x) = 0,
поэтому мы вправе записывать выражение для h′k(x) в виде (21).
Рассмотрим случай dimE = 3, тогда система (21) примет вид
h′1(x) = i
(
α21(x)
µ2(x)− µ1(x)
ξ1(x)− ξ2(x)
h2(x) + α31(x)
µ3(x)− µ1(x)
ξ1(x)− ξ3(x)
h3(x)
)
,
h′2(x) = i
(
α12(x)
µ1(x)− µ2(x)
ξ2(x)− ξ1(x)
h1(x) + α32(x)
µ3(x)− µ2(x)
ξ2(x)− ξ3(x)
h3(x)
)
,
h′3(x) = i
(
α13(x)
µ1(x)− µ3(x)
ξ3(x)− ξ1(x)
h1(x) + α23(x)
µ2(x)− µ3(x)
ξ3(x)− ξ2(x)
h2(x)
)
,
hi(0) = h0i , i = 1, 2, 3.
(24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1228 Е. В. ОЛЕЙНИК
Обозначим
d(x) =
µ2(x)− µ1(x)
ξ1(x)− ξ2(x)
,
g(x) =
µ3(x)− µ2(x)
ξ2(x)− ξ3(x)
,
f(x) =
µ1(x)− µ3(x)
ξ3(x)− ξ1(x)
.
В результате систему (24) запишем в следующей форме:
h′1(x) = i
(
α21(x)d(x)h2(x) + α31(x)f(x)h3(x)
)
,
h′2(x) = i
(
α12(x)d(x)h1(x) + α32(x)g(x)h3(x)
)
,
h′3(x) = i
(
α13(x)f(x)h1(x) + α23(x)g(x)h2(x)
)
,
hi(0) = h0i , i = 1, 2, 3.
(25)
3. Решение системы уравнений (25) при r = 3 (случай 1). Предположим, что опера-
тор σ2J действует на базисные векторы {hi(x)}31 так:
σ2Jh1(x) = ψ(x)h1(x),
σ2Jh2(x) = ν(x)h3(x),
σ2Jh3(x) = ν(x)h2(x),
(26)
где ψ(x) — вещественная, а ν(x) — комплекснозначная функция. В силу ортогональности
векторов Jhk(x), hs(x) и (14) имеем α12(x) = α21(x) = α13(x) = α31(x) = 0, α32(x) =
= ν(x), α23(x) = ν(x). Обозначим g(x)ν(x) = c(x). Тогда система (25) примет вид
h′1(x) = 0,
h′2(x) = ic(x)h3(x),
h′3(x) = ic(x)h2(x),
hi(0) = h0i , i = 1, 2, 3.
(27)
Отсюда следует, что h1(x) = h01.
Теорема 2. Если c(x) = a(x) + ib(x) — комплекснозначная функция, где a(x), b(x) ∈ R
линейно зависимы, т. е. найдутся такие числа λ и µ, что λa(x) + µb(x) ≡ 0, λµ 6= 0, то
система уравнений (27) имеет единственное решение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1229
h1(x) = h01,
h2(x) = h02 cosϕ(x) + h03
−b(x) + ia(x)√
a2(x) + b2(x)
sinϕ(x),
h3(x) = h03 cosϕ(x) + h02
b(x) + ia(x)√
a2(x) + b2(x)
sinϕ(x),
(28)
где ϕ(x) =
∫ x
0
√
a2(t) + b2(t)dt.
Замечание 1. Из условия λa(x) + µb(x) ≡ 0 (λµ 6= 0) следует, что выражение
h02
b(x) + ia(x)√
a2(x) + b2(x)
не зависит от x, так как может быть выражено через λ и µ в виде h02
−λ+ iµ√
λ2 + µ2
.
Кроме того,
ϕ(x) =
√
λ2 + µ2
x∫
0
a(t)
µ
dt.
Доказательство. Рассмотрим общий случай, когда c(x) = a(x) + ib(x), где a(x), b(x) ∈ R
линейно зависимы. Тогда исходная система (27) примет вид
h′1(x) = 0, h1(x) = h01,
h′2(x) = (−b(x) + ia(x))h3(x), h2(x) = h02,
h′3(x) = (b(x) + ia(x))h2(x), h3(x) = h03.
(29)
Из третьего уравнения системы (29) получим h2(x) =
1
b(x) + ia(x)
h′3(x). Продифференцируем
полученное соотношение:
h′′3(x)
1
b(x) + ia(x)
− (b(x) + ia(x))′
(b(x) + ia(x))2
h′3(x) = (−b(x) + ia(x))h3(x).
Запишем его иначе:
h′′3(x)− (b(x) + ia(x))′
b(x) + ia(x)
h′3(x) + (b2(x) + a2(x))h3(x) = 0. (30)
По условию теоремы a(x), b(x) ∈ R линейно зависимы, т. е. найдутся такие ненулевые числа
λ и µ, что λa(x) + µb(x) ≡ 0. Обозначим k = −λ
µ
, тогда b(x) = ka(x). Подставив последнее
значение в (30), получим уравнение
h′′3(x)− a′(x)
a(x)
h′3(x) + a2(x)(1 + k2)h3(x) = 0. (31)
Выполняя замену h3(x) = η(ζ), где ζ =
∫ x
0
a(t)dt, приходим к уравнению η′′(ζ) + (1 + k2) ×
× η(ζ) = 0, решением которого является η(ζ) = C1 cos
(
ζ
√
1 + k2
)
+ C2 sin
(
ζ
√
1 + k2
)
. Со-
ответственно, вернувшись к исходной переменной, получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1230 Е. В. ОЛЕЙНИК
h3(x) = C1 cosϕ(x) + C2 sinϕ(x), где ϕ(x) =
√
1 + k2
x∫
0
a(t)dt.
Тогда решение имеет вид
h3(x) = C1 cos
√λ2 + µ2
x∫
0
a(t)
µ
dt
+ C2 sin
√λ2 + µ2
x∫
0
a(t)
µ
dt
или
h3(x) = C1 cos
√λ2 + µ2
x∫
0
−b(t)
λ
dt
+ C2 sin
√λ2 + µ2
x∫
0
−b(t)
λ
dt
.
Учитывая начальные условия, получаем, что C1 = h03, т. е. h2(x) =
k − i√
1 + k2
(
−h03 sinϕ(x)+
+ C2 cosϕ(x)
)
, где ϕ(x) =
√
1 + k2
∫ x
0
a(t)dt. Из начальных условий найдем выражение для
C2 = h02
k + i√
1 + k2
= h02
−λ+ iµ√
λ2 + µ2
= h02
b(x) + ia(x)√
a2(x) + b2(x)
,
т. е.
h2(x) = h02 cos
√λ2 + µ2
x∫
0
a(t)
µ
dt
+ h03
λ+ iµ√
λ2 + µ2
sin
√λ2 + µ2
x∫
0
a(t)
µ
dt
.
Тогда решение системы уравнений (27) имеет вид (28).
Теорема 3. Если c(x) = a(x) + ib(x) — комплекснозначная функция, где a(x), b(x) ∈ R
таковы, что a′(x)b(x) − a(x)b′(x) = k
√
(a2(x) + b2(x))3 (k — постоянная), то система
уравнений (27) имеет единственное решение
h1(x) = h01;
h2(x) =
b(x)− ia(x)√
b2(x) + a2(x)
(√
λ1
(
B1 expϕ(x)−B2 exp−ϕ(x)
)
+
√
λ2
(
B3 expψ(x)−B4 exp−ψ(x)
))
,
h3(x) = B1 expϕ(x) +B2 exp−ϕ(x) +B3 expψ(x) +B4 exp−ψ(x),
(32)
где Bk ∈ C, k = 1, 4, определяются из начальных условий,
ϕ(x) =
√
λ1
x∫
0
√
a2(p) + b2(p) dp, ψ(x) =
√
λ2
x∫
0
√
a2(p) + b2(p) dp,
а λi, i = 1, 2, — корни уравнения λ2 =
−(2 + k2)±
√
k2(k2 + 4)
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1231
Доказательство. Рассмотрим случай, когда c(x) = a(x) + ib(x). Исходная система (27)
примет вид (29). Из третьего уравнения системы (29) получим (30). Пусть h3(x) представляется
в виде h3(x) = z(x) + iy(x), где z(x), y(x) ∈ R. Приравнивая вещественные и мнимые части
(30), получaeм систему уравнений
z′′ − 1
2
(a2(x) + b2(x))′
a2(x) + b2(x)
z′ +
(a′(x)b(x)− a(x)b′(x))
a2(x) + b2(x)
y′ + (a2(x) + b2(x))z = 0,
y′′ − 1
2
(a2(x) + b2(x))′
a2(x) + b2(x)
y′ − (a′(x)b(x)− a(x)b′(x))
a2(x) + b2(x)
z′ + (a2(x) + b2(x))y = 0.
(33)
В обозначениях t(x) =
√
a2(x) + b2(x), s(x) =
a(x)
b(x)
система (33) принимает вид
z′′ − t′(x)
t(x)
z′ +
s′(x)
1 + s2(x)
y′ + t2(x)z = 0,
y′′ − t′(x)
t(x)
y′ − s′(x)
1 + s2(x)
z′ + t2(x)y = 0.
Преобразуем эту систему: (
z′
t(x)
)′
+ t2(x)z = − s′(x)
1 + s2(x)
y′,
(
y′
t(x)
)′
+ t2(x)y =
s′(x)
1 + s2(x)
z′.
Выполним подстановку y = η(ξ) = η
(∫ x
0
t(p) dp
)
, z = ζ(ξ) = ζ
(∫ x
0
t(p) dp
)
, которая
приведет к системе уравнений
ζ ′′ + ζ = − s′(x)
(1 + s2(x))t(x)
η′,
η′′ + η =
s′(x)
(1 + s2(x))t(x)
ζ ′.
По условию теоремы
s′(x)
(1 + s2(x))t(x)
= k, где k — постоянная, т. е.
ζ ′′ + ζ = −kη′,
η′′ + η = kζ ′.
(34)
Преобразуем систему, тогда соответствующие дифференциальные уравнения примут вид
ζ(4) + (2 + k2)ζ ′′ + ζ = 0,
η(4) + (2 + k2)η′′ + η = 0,
(35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1232 Е. В. ОЛЕЙНИК
а решения
ζ(ξ) = C1 exp
√
λ1ξ +C2 exp−
√
λ1ξ +C3 exp
√
λ2ξ +C4 exp−
√
λ2ξ, (36)
где λ2 =
−(2 + k2)±
√
k2(k2 + 4)
2
. Выражение для η(ξ) аналогично (36). Тогда, возвращаясь
к исходным переменным, в силу представления h3(x) = z(x) + iy(x) получаем
h3(x) = B1 expϕ(x) +B2 exp−ϕ(x) +B3 expψ(x) +B4 exp−ψ(x), (37)
где Bk ∈ C, k = 1, 4, ϕ(x) =
√
λ1
∫ x
0
t(p) dp, а ψ(x) =
√
λ2
∫ x
0
t(p)dp. Соответственно
h2(x) =
(h3x)′(b(x)− ia(x))
b2(x) + a2(x)
=
b(x)− ia(x)√
b2(x) + a2(x)
(√
λ1
(
B1 expϕ(x)−B2 exp−ϕ(x)
)
+
+
√
λ2
(
B3 expψ(x)−B4 exp−ψ(x)
))
(38)
Подставив начальные условия, можно определить постоянные Bk ∈ C, k = 1, 4.
4. Решение системы уравнений (25) при n = 3 (случай 2). Пусть оператор σ2J действует
на базисные векторы {hk(x)}31 следующим образом:
σ2Jh1(x) = ψ(x)h1(x) + ρ(x)h3(x),
σ2Jh2(x) = ν(x)h3(x),
σ2Jh3(x) = ρ(x)h1(x) + ν(x)h2(x),
(39)
где ψ(x) — вещественная функция, а ν(x), ρ(x) — комплекснозначные функции. В силу ортого-
нальности векторов Jhk(x), hs(x) и (14) получим α12(x) = α21(x) = 0, α13(x) = ρ(x)‖h1(x)‖2,
α31(x) = ρ(x)‖h3(x)‖2, α23(x) = ν(x)‖h2(x)‖2, α32(x) = ν(x)‖h3(x)‖2.
Таким образом, система (39) примет вид
h′1(x) = iρ(x)f(x)h3(x),
h′2(x) = iν(x)g(x)h3(x),
h′3(x) = iρ(x)f(x)h1(x) + iν(x)g(x)h2(x),
hi(0) = h0i , i = 1, 2, 3.
(40)
Пусть ν(x)g(x) = c(x); ρ(x)f(x) = k(x), а c(x) = a(x) + ib(x), k(x) = m(x) + in(x), где
a(x), b(x),m(x), n(x) ∈ R. В случае, когда c(x) = a(x), k(x) = m(x), система (40) имеет вид
h′1(x) = im(x)h3(x),
h′2(x) = ia(x)h3(x),
h′3(x) = im(x)h1(x) + ia(x)h2(x),
hi(0) = h0i , i = 1, 2, 3.
(41)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1233
Лемма 5. Для системы уравнений (41) выполняется соотношение
‖h1(x)‖2 + ‖h2(x)‖2 + ‖h3(x)‖2 = const.
Утверждение леммы следует из системы уравнений (41).
Предположим, что a(x), m(x) линейно зависимы, причем a(x) = k ·m(x), где k ∈ R, k 6= 0,
тогда система (41) примет вид
h′1(x) = im(x)h3(x),
h′2(x) = ikm(x)h3(x),
h′3(x) = im(x)(h1(x) + kh2(x)),
hi(0) = h0i , i = 1, 2, 3.
(42)
Лемма 6. Если k ∈ R, то система уравнений (42) имеет единственное решение
h1(x) = h01 cosϕ(x) +
ih03√
1 + k2
sinϕ(x),
h2(x) = h02 cosϕ(x) +
ikh03√
1 + k2
sinϕ(x),
h3(x) = h03 cosϕ(x) + ih01
√
1 + k2 sinϕ(x),
(43)
где ϕ(x) =
√
1 + k2
∫ x
0
m(t)dt.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Теорема 4. Если a′(x) = k(x)a(x), m′(x) = k(x)m(x), k(x) 6= 0, то система уравне-
ний (41) имеет единственное решение
h1(x) = h01 cos
√
C2
x∫
0
m(t)dt+
ih03√
C2
sin
√
C2
x∫
0
m(t)dt,
h2(x) = h02 cos
√
C1
x∫
0
a(t)dt+
ih03√
C1
sin
√
C1
x∫
0
a(t)dt,
h3(x) = h03 cos
√
C1
x∫
0
a(t)dt+ ih02
√
C1 sin
√
C1
x∫
0
a(t)dt,
(44)
причем C1 =
a2(x) +m2(x)
a2(x)
, а C2 =
a2(x) +m2(x)
m2(x)
не зависят от х.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1234 Е. В. ОЛЕЙНИК
Теорема 5. Если a(x) cosϕ(x) + m(x) sinϕ(x) = 0 и ϕ(x) — дифференцируемая функция,
причем ϕ′(x) = C
√
m2(x) + a2(x), где C — постоянная, то система уравнений (41) имеет
единственное решение
h1(x) = h01 cosβ(x)− Ch02 sinβ(x)− i(1− C2)h03 sinβ(x) cosϕ(x),
h2(x) = h02 cosβ(x) + Ch01 sinβ(x) + i(1− C2)h03 sinβ(x) sinϕ(x),
h3(x) =
h01 − iCh03 sinϕ(x)
cosϕ(x)
sinβ(x) + ih03 cosβ(x),
где β(x) =
√
C2 + 1
∫ x
0
√
m2(t) + a2(t)dt.
Таким образом, в случае dimE = 3, J 6= I, α(x) = 0 и простого спектра гладкой матрицы
Ja(x) показано, что можно найти собственные векторы матрицы Ja(x) при известных соб-
ственных значениях матриц Ja(x), γ(x)J и действии σ2 в базисе этих собственных векторов.
Выражаю искреннюю благодарность В. А. Золотареву за постановку задачи.
1. Золотарев В. А. Функциональные модели коммутативных систем линейных операторов и пространства де
Бранжа на римановой поверхности // Мат. сб. – 2009. – 200, № 3. – C. 31 – 48.
2. Золотарев В. А. Временные конусы и функциональная модель на римановой поверхности // Мат. сб. – 1990. –
181, № 7. – C. 965 – 994.
3. Золотарев В. А. Спектральный анализ несамосопряженных коммутативных систем операторов и нелинейные
дифференциальные уравнения // Теория функций, функцион. анализ и их прил. – 1983. – Вып. 40. – С. 68 – 71.
4. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных
операторов. – Харьков: Изд-во Харьков. нац. ун-та, 2003. – 342 с.
5. Золотарев В. А. Треугольные модели и задачи Коши для характеристических функций коммутирующих систем
операторов. – Харьков, 1981. – 66 c. – Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 1Б916 деп.
6. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ. – М.: Наука, 1969. – 476 с.
7. Лившиц М. С., Янцевич А. А. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах. – Харьков: Изд-во
Харьков. ун-та, 1971. – 160 с.
Получено 12.05.13,
после доработки — 09.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2213 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:53Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/a34a62ec74952582d7dc249e385582cc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22132019-12-05T10:26:31Z On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations Об интегрировании нелинейной системы дифференциальных уравнений Oleinik, E. V. Олейник, Е. В. Олейник, Е. В. We study a system of nonlinear differential equations used as basic for the construction of triangular models for commutative systems of linear nonself-adjoint bounded operators. Вивчається система нєлінійних диференціальних рівнянь, на якій ґрунтується побудова трикутних моделей для комутативних систем лінійних несамоспряжених обмежених операторів Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2213 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1223–1234 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1223–1234 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2213/1427 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2213/1428 Copyright (c) 2014 Oleinik E. V. |
| spellingShingle | Oleinik, E. V. Олейник, Е. В. Олейник, Е. В. On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations |
| title | On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations |
| title_alt | Об интегрировании нелинейной системы дифференциальных уравнений |
| title_full | On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations |
| title_fullStr | On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations |
| title_full_unstemmed | On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations |
| title_short | On the Integration of a Nonlinear System of Differential Equations |
| title_sort | on the integration of a nonlinear system of differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2213 |
| work_keys_str_mv | AT oleinikev ontheintegrationofanonlinearsystemofdifferentialequations AT olejnikev ontheintegrationofanonlinearsystemofdifferentialequations AT olejnikev ontheintegrationofanonlinearsystemofdifferentialequations AT oleinikev obintegrirovaniinelinejnojsistemydifferencialʹnyhuravnenij AT olejnikev obintegrirovaniinelinejnojsistemydifferencialʹnyhuravnenij AT olejnikev obintegrirovaniinelinejnojsistemydifferencialʹnyhuravnenij |