Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence
In 1971, Arnold constructed miniversal deformations of square complex matrices under the similarity transformation. Similar miniversal deformations were constructed for matrices under congruence and under *congruence. For matrices under similarity and under congruence, the holomorphic transformation...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2219 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508169618325504 |
|---|---|
| author | Klymenko, O. M. Клименко, О. М. |
| author_facet | Klymenko, O. M. Клименко, О. М. |
| author_sort | Klymenko, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | In 1971, Arnold constructed miniversal deformations of square complex matrices under the similarity transformation. Similar miniversal deformations were constructed for matrices under congruence and under *congruence. For matrices under similarity and under congruence, the holomorphic transformations to their miniversal deformations always exist. We prove that this is not true for matrices under *congruence. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64
О. М. Клименко (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
ГОЛОМОРФНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО МIНIВЕРСАЛЬНОЇ ДЕФОРМАЦIЇ
ВIДНОСНО *КОНГРУЕНТНОСТI IСНУЄ НЕ ЗАВЖДИ
In 1971, V. I. Arnold constructed miniversal deformations of square complex matrices under the similarity transformation.
Similar miniversal deformations were constructed for matrices under congruence and under *congruence. For matrices
under similarity and under congruence, the holomorphic transformations to their miniversal deformations always exist. We
prove that this is not true for matrices under *congruence.
В. И. Арнольд в 1971 году построил миниверсальные деформации квадратных комплексных матриц относительно
преобразований подобия. Аналогичные миниверсальные деформации были построены для матриц относительно
конгруэнтности и относительно *конгруэнтности. Для матриц относительно подобия и относительно конгруэнтнос-
ти всегда существуют голоморфные преобразования к их миниверсальным деформациям. В статье доказано, что
это неверно для матриц относительно *конгруэнтности.
Зведення матрицi до жорданової нормальної форми — нестiйка операцiя: як жорданова форма,
так i перетворення подiбностi залежать розривно вiд елементiв початкової матрицi. Тому якщо
елементи матрицi вiдомi лише приблизно, то зводити її до жорданової форми нерозумно. Також
нерозумно зводити до жорданової форми матрицi, якi гладко залежать вiд параметрiв, оскiльки
гладка залежнiсть вiд параметрiв втрачається.
З цих причин В. I. Арнольд [1] побудував мiнiверсальнi деформацiї матриць вiдносно пе-
ретворень подiбностi, тобто нормальну форму, до якої не тiльки задана квадратна матриця A,
але й всi близькi до неї матрицi B можуть бути зведенi перетвореннями подiбностi, що гладко
залежать вiд елементiв B. Цi мiнiверсальнi деформацiї також гладко залежать вiд елементiв
B. Мiнiверсальнi деформацiї також побудованi для в’язки матриць [2 – 4], матриць вiдносно
конгруентностi [5] i матриць вiдносно *конгруентностi [6] (двi комплекснi матрицi A i B *кон-
груентнi, якщо A = S∗BS для деякої невиродженої S). Для всiх матриць вiдносно подiбностi
або конгруентностi та для всiх в’язок матриць iснують голоморфнi перетворення до їх мiнiвер-
сальних деформацiй. Ми доводимо, що не iснують голоморфнi перетворення до мiнiверсальної
деформацiї вiдносно *конгруентностi навiть якщо обмежитись (1×1)-матрицями. Всi матрицi,
якi ми розглядаємо, є кoмплексними.
Нехай [a] — довiльна ненульова (1 × 1)-матриця, a = reiϕ, r > 0. Тодi [a] *конгруентна
матрицi [b] := [eiϕ], яка є канонiчною формою [a] для *конгруентностi. Всi матрицi [a+ ε], якi
є достатньо близькими до [a], можуть бути одночасно зведенi деяким перетворенням
[s(ε)]∗[a+ ε][s(ε)], s(ε) неперервне, s(0) =
√
r, (1)
до форми
[ϕ(ε)] =
[b+ α(ε)], якщо a /∈ R,
[b+ α(ε)i], якщо a ∈ R,
де α(ε) — дiйснозначна функцiя, (2)
яка є мiнiверсальною деформацiєю [a] вiдносно *конгруентностi (див [6]).
Мета статтi — довести, що комплекснi функцiї s(ε) i ϕ(ε) в (1) i (2) не можуть бути
голоморфними в нулi.
c© О. М. КЛИМЕНКО, 2014
1276 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ГОЛОМОРФНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО МIНIВЕРСАЛЬНОЇ ДЕФОРМАЦIЇ . . . 1277
Нагадаємо, що якщо комплекснозначна функцiя f(z) голоморфна в нулi, то вона голоморфна
i в деякому околi U нуля i умови Кошi – Рiмана
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0),
∂u
∂y
(x0, y0) =
∂v
∂x
(x0, y0) (3)
виконуються для всiх x0 + iy0 ∈ U , де u(x, y) i v(x, y) — дiйсна та уявна частини f(z):
f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), x, y, u(x, y), v(x, y) ∈ R.
Нехай a = b; для спрощення будемо вважати, що b = 1.
Теорема. Якщо a = b = 1, то комплекснi функцiї s(ε) i ϕ(ε) = 1 + α(ε)i в (1) i (2) не є
голоморфними в нулi.
Запишемо ε у виглядi ε = −1 + x+ iy, де (x, y) ∈ R2 в околi (1, 0). Тодi [a+ ε] = [x+ iy]
зводиться деяким перетворенням (1) вигляду
[x+ iy] 7→ [|s(ε)|2(x+ iy)]
до мiнiверсальної деформацiї [1 + α(ε)i] з α(ε) ∈ R. Отже, |s(ε)|2(x+ iy) = 1 + α(ε)i i тому
|s(ε)|2x = 1, |s(ε)|2y = α(ε). (4)
З цих рiвностей випливає, що
ϕ(ε) = 1 + α(ε)i = 1 + |s(ε)|2yi = 1 +
y
x
i.
Функцiя ϕ(ε) має дiйсну частину 1 i уявну частину y/x, вони не задовольняють (3), i тому ϕ(ε)
не є голоморфною.
Зауважимо, що голоморфнiсть [s(ε)] не гарантує голоморфностi [s(ε)]∗, i тому неголоморф-
нiсть ϕ(ε) не гарантує неголоморфностi s(ε).
Запишемо першу рiвнiсть iз (4) у виглядi
u(x, y)2 + v(x, y)2 =
1
x
, (5)
де u(x, y) i v(x, y) — дiйсна та уявна частини s(ε).
Функцiя s(ε) не може бути голоморфною в 0 за наступною лемою.
Лема. Не iснують дiйснi функцiї u(x, y) i v(x, y) в околi (1, 0) такi, що (5) виконується та
u(x, y) + iv(x, y) є голоморфною.
Доведення проведемо вiд супротивного. Нехай такi u(x, y) та v(x, y) iснують. Тодi вони
повиннi задовольняти умови Кошi – Рiмана
u′x = v′y, u′y = −v′x . (6)
За рiвнiстю (5)
uu′x + vv′x = − 1
2x2
, uu′y + vv′y = 0 . (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1278 О. М. КЛИМЕНКО
Крок 1. Пiдставляючи (6) у друге рiвняння з (7), одержуємо систему лiнiйних рiвнянь
вiдносно u′x та v′x:
uu′x + vv′x = − 1
2x2
,
−vu′x + uv′x = 0.
(8)
Її визначником є (5). За правилом Крамера
u′x =
∣∣∣∣∣−
1
2x2
v
0 u
∣∣∣∣∣
1/x
= − u
2x
, v′x =
∣∣∣∣∣ u − 1
2x2
−v 0
∣∣∣∣∣
1/x
= − v
2x
. (9)
З першого рiвняння маємо
∂u
∂x
= − u
2x
, тому
∂u
u
= −∂x
2x
,
lnu = −1
2
lnx+ lnC(y) = lnx−
1
2C(y), u = C(y)x−
1
2 .
З другого рiвняння в (9) маємо v = D(y)x−
1
2 . Таким чином, всi розв’язки системи (8) мають
вигляд
u =
C(y)√
x
, v =
D(y)√
x
(10)
(див. [7], глава IV).
Крок 2. Пiдставляючи (6) у перше рiвняння з (7), отримуємо систему лiнiйних рiвнянь
вiдносно u′y та v′y:
vu′y − uv′y =
1
2x2
,
uu′y + vv′y = 0.
Її визначником є (5). За правилом Крамера
u′y =
∣∣∣∣∣∣
1
2x2
−u
0 v
∣∣∣∣∣∣
1/x
=
v
2x
, v′y =
∣∣∣∣∣∣v
1
2x2
u 0
∣∣∣∣∣∣
1/x
= − u
2x
.
Тодi
u′′yy =
v′y
2x
= − u
4x2
, v′′yy = −
u′y
2x
= − v
4x2
.
Загальними розв’язками рiвнянь u′′yy +
1
4x2
u = 0 та v′′yy +
1
4x2
v = 0 є функцiї
u = A(x) cos
y
2x
+B(x) sin
y
2x
, v = A1(x) cos
y
2x
+B1(x) sin
y
2x
. (11)
Згiдно з (10) функцiї u
√
x та v
√
x не залежать вiд x, а згiдно з (11) вони не залежать вiд x
тiльки якщо u та v тотожно дорiвнюють 0, що суперечить (5).
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ГОЛОМОРФНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДО МIНIВЕРСАЛЬНОЇ ДЕФОРМАЦIЇ . . . 1279
1. Арнольд В. И. О матрицах, зависящих от параметров // Успехи мат. наук. – 1971. – 26, № 2 (158). – С. 101 – 114.
2. Edelman A., Elmroth E., Kågström B. A geometric approach to perturbation theory of matrices and matrix pencils.
Pt I: Versal deformations // Siam J. Matrix Anal. and Appl. – 1997. – 18. – P. 653 – 692.
3. Garcia-Planas M. I., Sergeichuk V. V. Simplest miniversal deformations of matrices, matrix pencils, and contragredient
matrix pencils // Linear Algebra and Appl. – 1999. – 302 – 303. – P. 45 – 61.
4. Klimenko L., Sergeichuk V. V. Block triangular miniversal deformations of matrices and matrix pencils // Matrix
Methods: Theory, Algorithms and Appl. / Eds V. Olshevsky, E. Tyrtyshnikov. – New York: World Sci. Publ. Co.,
2010. – P. 69 – 84.
5. Dmytryshyn A. R., Futorny V., Sergeichuk V. V. Miniversal deformations of matrices of bilinear forms // Linear
Algebra and Appl. – 2012. – 436. – P. 2670 – 2700.
6. Dmytryshyn A. R., Futorny V., Sergeichuk V. V. Miniversal deformations of matrices under *congruence and reducing
transformations // arXiv:1105.2160. – 2013. – 36 p.
7. Hartman P. Ordinary differential equations. – New York: John Wiley & Sons, Inc., 1964. – 628 p.
Одержано 07.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2219 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:56Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/fb7e9b8cf67ac9ab0a17a184e45cdd19.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22192019-12-05T10:26:31Z Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence Голоморфне перетворення до мініверсальної деформації відносно *конгруентності існує не завжди Klymenko, O. M. Клименко, О. М. In 1971, Arnold constructed miniversal deformations of square complex matrices under the similarity transformation. Similar miniversal deformations were constructed for matrices under congruence and under *congruence. For matrices under similarity and under congruence, the holomorphic transformations to their miniversal deformations always exist. We prove that this is not true for matrices under *congruence. В. И. Арнольд в 1971 году построил миниверсальные деформации квадратных комплексных матриц относительно преобразований подобия. Аналогичные миниверсальные деформации были построены для матриц относительно конгруэнтности и относительно *конгруэнтности. Для матриц относительно подобия и относительно конгруэнтности всегда существуют голоморфные преобразования к их миниверсальным деформациям. В статье доказано, что это неверно для матриц относительно *конгруэнтности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2219 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1276–1279 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1276–1279 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2219/1439 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2219/1440 Copyright (c) 2014 Klymenko O. M. |
| spellingShingle | Klymenko, O. M. Клименко, О. М. Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence |
| title | Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence |
| title_alt | Голоморфне перетворення до мініверсальної деформації відносно *конгруентності існує не завжди |
| title_full | Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence |
| title_fullStr | Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence |
| title_full_unstemmed | Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence |
| title_short | Holomorphic Transformation to a Miniversal Deformation not Always Exists Under *Congruence |
| title_sort | holomorphic transformation to a miniversal deformation not always exists under *congruence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2219 |
| work_keys_str_mv | AT klymenkoom holomorphictransformationtoaminiversaldeformationnotalwaysexistsundercongruence AT klimenkoom holomorphictransformationtoaminiversaldeformationnotalwaysexistsundercongruence AT klymenkoom golomorfneperetvorennâdomíníversalʹnoídeformacíívídnosnokongruentnostíísnuênezavždi AT klimenkoom golomorfneperetvorennâdomíníversalʹnoídeformacíívídnosnokongruentnostíísnuênezavždi |