Superfractal Approximation of Functions
The methods of superfractal approximation of sets introduced in 2005–2011 by M. Barnsley, et al. are modified for the approximation of functions. Nonlinear operators are introduced in the space of bounded functions. The limit behavior of this operator sequence is investigated in a function space (in...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2220 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508171506810880 |
|---|---|
| author | Mitin, D. Yu. Мітін, Д. Ю. |
| author_facet | Mitin, D. Yu. Мітін, Д. Ю. |
| author_sort | Mitin, D. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | The methods of superfractal approximation of sets introduced in 2005–2011 by M. Barnsley, et al. are modified for the approximation of functions. Nonlinear operators are introduced in the space of bounded functions. The limit behavior of this operator sequence is investigated in a function space (in a sense of pointwise and uniform convergence). We consider a nonhyperbolic case in which not all plane maps specifying the operator in the function space are contractive and propose sufficient conditions for the convergence of approximations and estimates of the errors for this kind of approximation (similar to the collage theorem for fractal approximation). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:20:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.843
Д. Ю. Мiтiн (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
СУПЕРФРАКТАЛЬНА АПРОКСИМАЦIЯ ФУНКЦIЙ
Methods of superfractal approximation of sets introduced in 2005 – 2011 by Michael Barnsley, et al. are modified for the
approximation of functions. Nonlinear operators are introduced in the space of bounded functions. The limit behavior of
this operator sequence is investigated in the function space (in a sense of pointwise and uniform convergence). We consider
a nonhyperbolic case in which not all plane maps specifying the operator on the function space are contractive and propose
sufficient conditions for the convergence of approximators and estimates of the errors for this kind of approximation (similar
to the collage theorem for fractal approximation).
Методы суперфрактальной аппроксимации множеств, введенные в 2005 – 2011 гг. в статьях Майкла Барнсли и др.,
адаптируются к аппроксимации функций. Вводятся нелинейные операторы в пространстве ограниченных функ-
ций. Исследуется предельное поведение последовательности этих операторов в пространстве функций в смысле
поточечной и равномерной сходимости. Рассмотрен негиперболический случай, когда не все отображения плос-
кости, задающие оператор на пространстве функций, являются сжимающими. Предложены достаточные условия
сходимости приближений и оценки величины погрешности такой аппроксимации (аналоги теоремы о коллаже из
фрактального приближения).
1. Вступ. Поняття фрактальної iнтерполяцiї функцiй, фрактальної апроксимацiї множин, мiр
та функцiй було введено наприкiнцi 80-х – початку 90-х рокiв у роботах Джона Гатчiнсо-
на, Майкла Барнслi, Арно Жакена, Петера Массопуста та iн. [1]. Iнтерес до цiєї тематики
був зумовлений, зокрема, можливiстю застосувань до стиску та обробки графiчних даних
[2]. Пiзнiше стали розглядати гiбриднi фрактально-вейвлетнi методи стиску даних. Питання
знаходження умов збiжностi алгоритмiв фрактальної апроксимацiї та оцiнок похибки такого
наближення досi залишаються у центрi уваги дослiджень з фрактального наближення [3, 4].
У циклi статей Барнслi, Гатчiнсона, Орьяна Стенфло та iн. 2005 – 2011 рр. було запропонова-
но новi методи так званої суперфрактальної апроксимацiї множин та мiр [5]. Цi суперфрак-
тальнi методи у порiвняннi з класичними фрактальними методами характеризуються бiльшою
гнучкiстю побудови наближуючого об’єкта та можливiстю досягнення кращого ступеня на-
ближення. У статтях [6, 7] були спроби адаптувати суперфрактальнi методи до iнтерполяцiї
функцiй.
Цю роботу присвячено питанням суперфрактальної апроксимацiї функцiй. Вводяться не-
лiнiйнi оператори у просторi обмежених функцiй. Дослiджується гранична поведiнка послi-
довностi цих операторiв у просторi функцiй у сенсi поточкової та рiвномiрної збiжностi. На
вiдмiну вiд звичайного фрактального наближення ця послiдовнiсть операторiв не є послiдов-
нiстю iтерацiй одного оператора, тому застосування методiв стискуючих чи зрештою стиску-
ючих вiдображень метричних просторiв, метричних теорем про нерухомi точки є обмеженим.
У статтi придiлено увагу негiперболiчному випадку, коли не всi вiдображення площини, що
задають оператор на просторi функцiй, є стискуючими. Запропоновано достатнi умови збiжнос-
тi наближень та оцiнки величини похибки такої апроксимацiї (аналоги теореми про колаж з
фрактального наближення).
2. Поточкова суперфрактальна апроксимацiя функцiй. Позначимо через B(I) банахiв
простiр обмежених на I функцiй зi стандартною нормою ‖f‖∞ = supI |f |, f ∈ B(I). Нехай
дано вiдрiзок I = [a, b] ⊂ R; Ω := {1, . . . ,m}∞, m ∈ N. Зафiксуємо:
c© Д. Ю. МIТIН, 2014
1280 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СУПЕРФРАКТАЛЬНА АПРОКСИМАЦIЯ ФУНКЦIЙ 1281
1. Набiр точок, якi утворюють розбиття вiдрiзка I : a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Позначимо
Ii := [xi−1, xi), i = 1, . . . , n − 1; In := [xn−1, xn] (так званi регiони). Очевидно, що Ii ⊂ I,
i = 1, . . . , n;
⋃n
i=1 In = I; Ii ∩ Ij = ∅ при 1 ≤ i 6= j ≤ n.
2. Набори точок αi, βi, i = 1, . . . , n, таких, що a ≤ αi < βi ≤ b. Позначимо I ′i := [αi, βi)
або (αi, βi], i = 1, . . . , n− 1; I ′n := [αn, βn] (так званi домени).
3. Набiр гомеоморфiзмiв ϕi : I ′i → Ii, i = 1, . . . , n.
4. Набiр вiдображень ψij : I ′i × R→ R, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, таких, що
|ψij(x, y)− ψij(x, y
′)| ≤ dij |y − y′|, x ∈ I ′i, y, y′ ∈ R, dij ≥ 0, (1)
sup
x∈I′i
|ψij(x, y)| < +∞, y ∈ R. (2)
Позначимо δi := max1≤j≤m dij ≥ 0, i = 1, . . . , n.
Означення 1. Фрактальнi оператори Рiда – Байрактаревича Tj : B(I)→ B(I), j = 1, . . .
. . . ,m, задаються таким чином:(
Tj(f)
)
(x) = ψij
(
ϕ−1i (x), f ◦ ϕ−1i (x)
)
, x ∈ Ii, i = 1, . . . , n,
де f ∈ B(I), x ∈ I, f ◦ g := f(g).
Означення 2. Послiдовнiсть суперфрактальних операторiв T (k) : Ω×B(I)→ B(I), k ≥
≥ 1, задамо так: (
T (k)(j, f)
)
(x) = T (k)(j, f, x) :=
(
Tj1 ◦ . . . ◦ Tjk(f)
)
(x),
де j = (j1, j2, . . .) ∈ Ω, f ∈ B(I), x ∈ I.
Має мiсце зображення
T (k)(j, f, x) = ψi1j1
(
ϕ−1
i1
(x), ψi2j2
(
ϕ−1
i2
◦ ϕ−1
i1
(x), . . .
. . . , ψikjk
(
ϕ−1
ik
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1
(x), f ◦ ϕ−1
ik
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1
(x)
)
. . .
))
,
де j ∈ Ω, f ∈ B(I), x ∈ I, а послiдовнiсть номерiв i1 = i1(x), i2 = i2(x), i3 = i3(x), . . .
визначається з умов
x ∈ Ii1 , ϕ−1
i1
(x) ∈ Ii2 , ϕ−1
i2
◦ ϕ−1
i1
(x) ∈ Ii3 , . . . .
Зауважимо, що T (k)(j, f, x) залежить лише вiд k перших компонент j. Зручно вважати, що(
T (0)(j, f)
)
(x) = T (0)(j, f, x) := f(x).
Означення 3. Суперфрактальну функцiю g∗j : I → R, j ∈ Ω, задамо таким чином:
g∗j(x) := lim
k→∞
(
T (k)(j, f)
)
(x), f ∈ B(I), x ∈ I. (3)
Твердження 1. Припустимо, що виконано умови 1 – 4 та для всiх x ∈ I числовий ряд
∞∑
k=1
δi1(x) . . . δik(x) < +∞ (4)
збiгається.
Тодi оператори T (k) : Ω×B(I)→ B(I) визначено коректно, тобто T (k)(j, B(I)) ⊂ B(I),
j ∈ Ω, а також функцiю g∗j : I → R визначено коректно, тобто поточкова границя (3) iснує
при всiх x ∈ I, j ∈ Ω та не залежить вiд f ∈ B(I).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1282 Д. Ю. МIТIН
Доведення. Має мiсце зображення
T (k+p)(j, f, x) = T (k)
(
j, T (p)(Skj, f, ·), x
)
, (5)
де S : Ω→ Ω — зсув, S(j1, j2, . . .) = (j2, j3, . . .). Крiм того,∣∣∣T (k)(j, f, x)− T (k)(j, g, x)
∣∣∣ ≤ di1(x),j1 . . . dik(x),jk |f − g| ◦ ϕ−1ik(x)
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1(x)
(x). (6)
Умови (1) та (2) гарантують, що T (k)(j, B(I)) ⊂ B(I). Дiйсно, значення |ψij(x, y)| ≤
≤ |ψij(x, y0)| + dij |y − y0| обмежене по x ∈ I ′i, |y| ≤ C, тобто Tj(B(I)) ⊂ B(I). Враховуючи
(5), отримуємо T (k)(j, B(I)) ⊂ T (k−1)(j, B(I)) ⊂ . . . ⊂ B(I).
Використовуючи (5) та (6), маємо∣∣∣T (k+p)(j, f, x)− T (k)(j, f, x)
∣∣∣ ≤ k+p−1∑
l=k
|T (l+1)(j, f, x)− T (l)(j, f, x)| = (7)
=
k+p−1∑
l=k
|T (l)(j, T (1)(Slj, f, ·), x)− T (l)(j, f, x)| ≤
≤
k+p−1∑
l=k
di1(x),j1 . . . dil(x),jl |T
(1)(Slj, f)− f | ◦ ϕ−1
il(x)
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1(x)
(x) ≤ (8)
≤ max
1≤s≤m
‖Ts(f)− f‖∞ ·
∞∑
l=k
δi1(x) . . . δil(x) → 0, k →∞, (9)
з огляду на умову (4). Отже, числова послiдовнiсть T (k)(j, f, x), k ≥ 1, фундаментальна, тому
має границю.
З (6) випливає∣∣∣T (k)(j, f, x)− T (k)(j, g, x)
∣∣∣ ≤ δi1(x) . . . δik(x) sup
I
|f − g| → 0, k →∞,
знову з огляду на умову (4). Отже, границя не залежить вiд f.
Твердження 2 (аналог теореми про колаж). У припущеннях попереднього твердження ма-
ють мiсце такi нерiвностi:
1) для всiх f ∈ B(I), x ∈ I, j ∈ Ω∣∣f − g∗j ∣∣(x) ≤ |Tj1(f)− f |(x)+
+
∞∑
k=1
di1(x),j1 . . . dik(x),jk |Tjk+1
(f)− f | ◦ ϕ−1
ik(x)
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1(x)
(x);
2) для всiх f ∈ B(I), x ∈ I, j ∈ Ω та k ≥ 1∣∣T (k)(j, f, x)− g∗j(x)
∣∣ ≤ ∞∑
l=k
di1(x),j1 . . . dil(x),jl |Tjl+1
(f)− f | ◦ ϕ−1
il(x)
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1(x)
(x). (10)
Доведення. 2. Перейдемо в (7) та (8) до границi при p→∞.
1. Залишилось покласти k = 0 у частинi 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СУПЕРФРАКТАЛЬНА АПРОКСИМАЦIЯ ФУНКЦIЙ 1283
3. Рiвномiрна суперфрактальна апроксимацiя функцiй. У цьому пунктi будемо припус-
кати виконання умов 1 – 4 та використовувати позначеннями з попереднього пункту.
Розглянемо для фiксованого j ∈ Ω граничну поведiнку T (k)(j, ·) : B(I) → B(I), k ≥
≥ 1, у просторi (B(I), ‖·‖∞), тобто дослiдимо питання про рiвномiрнiсть по x ∈ I збiжностi
T (k)(j, f, x) до поточкової границi g∗j(x) при k →∞.
Введемо позначення для множин
I ′i1...ik := ϕ−1ik
(Iik ∩ ϕ
−1
ik−1
(Iik−1
∩ . . . ϕ−1i2
(Ii2 ∩ ϕ−1i1
(Ii1)) . . .)) ⊂ I,
(i1, . . . , ik) ∈ {1, . . . , n}k,
якi є промiжками (або точками), якщо I ′i1...ik 6= ∅, а також чисел
∆(k) := max
1≤i1,...,ik≤n :
I′i1...ik
6=∅
δi1 . . . δik ≥ ∆
(k)
j1...jk
:= max
1≤i1,...,ik≤n :
I′i1...ik
6=∅
di1j1 . . . dikjk ≥ 0, k ≥ 1.
Твердження 3. 1. Оператор T (k)(j, ·) дiє у просторi (B(I), ‖·‖∞) неперервно.
2. Якщо ∆(k) < 1, то оператор T (k)(j, ·) у просторi (B(I), ‖·‖∞) є стискуючим.
Доведення. З нерiвностi (6), переходячи до супремумiв по x ∈ I, маємо∥∥∥T (k)(j, f)− T (k)(j, g))
∥∥∥
∞
≤ sup
x∈I
di1(x),j1 . . . dik(x),jk |f − g| ◦ ϕ
−1
ik(x)
◦ . . . ◦ ϕ−1
i1(x)
(x) =
= max
1≤i1,...,ik≤n :
I′i1...ik
6=∅
(
di1j1 . . . dikjk sup
I′i1...ik
|f − g|
)
≤ ∆(k) · ‖f − g‖∞.
Отже, оператор T (k)(j, ·) у просторi B(I) задовольняє умову Лiпшиця зi сталою ∆(k).
Твердження 4. Припустимо, що ряд функцiй (4) збiгається рiвномiрно по x ∈ I. Тодi
g∗j ∈ B(I) та для довiльних j ∈ Ω, f ∈ B(I) при k →∞ функцiї T (k)(j, f) збiгаються до g∗j у
просторi (B(I), ‖·‖∞).
При цьому функцiя g∗j задовольняє тотожнiсть
T (k)(j, g∗Skj) = g∗j , j ∈ Ω, k ≥ 1.
Доведення. З (7) та (9), переходячи до супремумiв по x ∈ I, маємо
‖T (k+p)(j, f)− T (k)(j, f)‖∞ ≤
≤ max
1≤s≤m
‖Ts(f)− f‖∞ sup
x∈I
∞∑
l=k
δi1(x) . . . δil(x) → 0, k →∞,
через рiвномiрну збiжнiсть ряду (4). Отже, послiдовнiсть функцiй T (k)(j, f), k ≥ 1, фундамен-
тальна у B(I), тому має границю, а саме g∗j ∈ B(I).
Для встановлення тотожностi досить перейти у рiвностi (5) до границi в сенсi простору
B(I) при p→∞, використовуючи неперервнiсть оператора T (k)(j, ·) у B(I).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1284 Д. Ю. МIТIН
Наслiдок 1. 1. Iснує скiнченна границя limk→∞
k
√
∆(k) =: D ≥ 0.
2. Для виконання припущення твердження 4 достатньо, щоб виконувалась умова∑∞
k=1
∆(k) < +∞. Тодi, крiм того, D ≤ 1.
3. Умова
∑∞
k=1
∆(k) < +∞ рiвносильна умовi, що iснує такий номер k0, що ∆(k0) < 1, а
також умовi, що iснує такий номер k1, що ∆(k) < 1 при всiх k ≥ k1.
4. За умови infk≥1 ∆(k) < 1 iснує такий номер k1, що всi оператори T (k)(j, ·), k ≥ k1, є
стискуючими у просторi (B(I), ‖·‖∞).
5. Якщо D < 1, то
∑∞
k=1
∆(k) < +∞.
Доведення. 1. Оскiльки, як легко бачити, числова послiдовнiсть ∆(k), k ≥ 1, субмульти-
плiкативна: ∆(k+l) ≤ ∆(k)∆(l), то за вiдомою властивiстю таких послiдовностей iснує границя
limk→∞
k
√
∆(k).
2. Оскiльки наведений числовий ряд мажорує ряд функцiй (4), то останнiй збiгається рiв-
номiрно, й припущення твердження 4 виконано. За стандартною ознакою збiжностi числового
ряду границя D не може бути строго бiльшою за 1.
3. Очевидно, що з першої умови випливає третя, а з третьої друга. Iмплiкацiя, що залиши-
лась, теж випливає з властивостi субмультиплiкативностi: якщо ∆(k0) < 1, то
1 +
∞∑
k=1
∆(k) =
∞∑
s=0
k0−1∑
r=0
∆(sk0+r) ≤
∞∑
s=0
(
∆(k0)
)s k0−1∑
r=0
∆(r) < +∞.
4. Наслiдок пункту 3 та твердження 3 (пункт 2).
5. Знову ознака збiжностi числового ряду.
Теорема (аналог теореми про колаж). Нехай виконано умови 1 – 4 та infk≥1 ∆(k) < 1. Ви-
беремо k0 так, щоб ∆(k0) < 1. Тодi мають мiсце такi нерiвностi:
1) для всiх f ∈ B(I) та j ∈ Ω
‖f − g∗j‖∞ ≤ ‖Tj1(f)− f‖∞ +
∞∑
k=1
∆
(k)
j1...jk
‖Tjk+1
(f)− f‖∞ ≤
≤ 1
1−∆(k0)
(
1 +
k0−1∑
k=1
∆(k)
)
max
1≤s≤m
‖Ts(f)− f‖∞;
2) для всiх f ∈ B(I), j ∈ Ω та k ≥ 1
‖T (k)(j, f)− g∗j‖∞ ≤
∞∑
l=k
∆
(l)
j1...jl
‖Tjl+1
(f)− f‖∞ ≤
≤ 1
1−∆(k0)
k+k0−1∑
l=k
∆(l) max
1≤s≤m
‖Ts(f)− f‖∞.
Доведення. 2. З (10), переходячи до супремумiв по x ∈ I, маємо
‖T (k)(j, f)− g∗j‖∞ ≤ sup
x∈I
∞∑
l=k
di1(x),j1 . . . dil(x),jl sup
I′
i1(x)...il(x)
|Tjl+1
(f)− f | ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
СУПЕРФРАКТАЛЬНА АПРОКСИМАЦIЯ ФУНКЦIЙ 1285
≤
∞∑
l=k
∆
(l)
j1...jl
‖Tjl+1
(f)− f‖∞ ≤
∞∑
l=k
∆(l)‖Tjl+1
(f)− f‖∞.
Крiм того,
∞∑
l=k
∆(l) =
∞∑
s=0
k+k0−1∑
l=k
∆(sk0+l) ≤
∞∑
s=0
(
∆(k0)
)s k+k0−1∑
l=k
∆(l).
1. Залишилось покласти k = 0 у нерiвностi з пункту 2.
Нерiвнiсть з пункту 1 можна розглядати як оцiнку похибки рiвномiрного наближення даної
обмеженої функцiї f суперфрактальними функцiями g∗j(·) = g∗j
(
· ; {I ′i, ϕi, ψij}ni=1
m
j=1
)
, якi зале-
жать вiд вибору промiжкiв I ′i та вiдображень ϕi, ψij з деякого наперед заданого класу варiантiв
такого вибору.
1. Barnsley M. F. Fractals everywhere. – 2 nd ed. – San Francisco: Morgan Kaufmann, 1993. – 547 p.
2. Fisher Y. (editor). Fractal image compression: Theory and application. – New York: Springer, 1995. – 359 p.
3. Мiтiн Д. Ю., Назаренко М. О. Фрактальна апроксимацiя в просторах C i Lp та її застосування в задачах
кодування зображень // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2, № 2. – С. 161 – 175.
4. Мiтiн Д. Ю., Назаренко М. О. Поточкова фрактальна апроксимацiя функцiй // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2007. – 4, № 1. – С. 200 – 211.
5. Barnsley M. F. Superfractals. – New York: Cambridge Univ. Press, 2006. – 463 p.
6. Kapoor G. P., Prasad S. A. Super fractal interpolation functions. – 2012. – 20 p. – (Preprint) / arXiv:1201.3491v1.
7. Kapoor G. P., Prasad S. A. Convergence of cubic spline super fractal interpolation functions. – 2012. – 15 p. –
(Preprint) / arXiv:1201.3997v1.
Одержано 02.09.13,
пiсля доопрацювання — 27.03.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2220 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:20:58Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/06/2036a4c43c4fd89a739e488580547306.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22202019-12-05T10:26:31Z Superfractal Approximation of Functions Суперфрактальна апроксимація функцій Mitin, D. Yu. Мітін, Д. Ю. The methods of superfractal approximation of sets introduced in 2005–2011 by M. Barnsley, et al. are modified for the approximation of functions. Nonlinear operators are introduced in the space of bounded functions. The limit behavior of this operator sequence is investigated in a function space (in a sense of pointwise and uniform convergence). We consider a nonhyperbolic case in which not all plane maps specifying the operator in the function space are contractive and propose sufficient conditions for the convergence of approximations and estimates of the errors for this kind of approximation (similar to the collage theorem for fractal approximation). Методы суперфрактальной аппроксимации множеств, введенные в 2005-2011 гг. в статьях Майкла Барнсли и др., адаптируются к аппроксимации функций. Вводятся нелинейные операторы в пространстве ограниченных функций. Исследуется предельное поведение последовательности этих операторов в пространстве функций в смысле поточечной и равномерной сходимости. Рассмотрен негиперболический случай, когда не все отображения плоскости, задающие оператор на пространстве функций, являются сжимающими. Предложены достаточные условия сходимости приближений и оценки величины погрешности такой аппроксимации (аналоги теоремы о коллаже из фрактального приближения). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2220 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1280–1285 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1280–1285 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2220/1441 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2220/1442 Copyright (c) 2014 Mitin D. Yu. |
| spellingShingle | Mitin, D. Yu. Мітін, Д. Ю. Superfractal Approximation of Functions |
| title | Superfractal Approximation of Functions |
| title_alt | Суперфрактальна апроксимація функцій |
| title_full | Superfractal Approximation of Functions |
| title_fullStr | Superfractal Approximation of Functions |
| title_full_unstemmed | Superfractal Approximation of Functions |
| title_short | Superfractal Approximation of Functions |
| title_sort | superfractal approximation of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2220 |
| work_keys_str_mv | AT mitindyu superfractalapproximationoffunctions AT mítíndû superfractalapproximationoffunctions AT mitindyu superfraktalʹnaaproksimacíâfunkcíj AT mítíndû superfraktalʹnaaproksimacíâfunkcíj |