Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point
An analog of the Malmquist theorem on the growth of solutions of the differential equation $f' = P(z, f)/Q(z, f)$, where $P(z, f)$ and $Q(z, f)$ are polynomials in all variables, is proved for the case where the coefficients and solutions of this equation have a branching point in infinity...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2221 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508173936361472 |
|---|---|
| author | Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. |
| author_facet | Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. |
| author_sort | Mokhonko, A. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:31Z |
| description | An analog of the Malmquist theorem on the growth of solutions of the differential equation $f' = P(z, f)/Q(z, f)$, where $P(z, f)$ and $Q(z, f)$ are polynomials in all variables, is proved for the case where the coefficients and solutions of this equation have a branching point in infinity (e.g., a logarithmic singularity). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.7
А. А. Мохонько, А. З. Мохонько (Нац. ун-т „Львов. политехника”)
ТЕОРЕМА МАЛЬМКВИСТА ДЛЯ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ
ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ
An analog of the Malmquist theorem on the growth of solutions of the differential equation f ′ = P (z, f)/Q(z, f), where
P (z, f) and Q(z, f) are polynomials in all variables, is proved for the case where the coefficients and solutions of this
equation have a branching point in infinity (e.g., a logarithmic singularity).
Доведено аналог теореми Мальмквiста про рiст розв’язкiв диференцiального рiвняння f ′ = P (z, f)/Q(z, f), в
якому P (z, f) i Q(z, f) — многочлени за всiма змiнними, для випадку, коли коефiцiєнти рiвняння та його розв’язки
мають точку галуження (наприклад, логарифмiчну особливу точку).
Обозначим через Ab кольцо всех аналитических в G =
{
z : r0 6 |z| < +∞
}
функций, единст-
венной особой точкой которых является ∞. Для функций f ∈ Ab точка ∞ может быть либо
логарифмической особой точкой, либо алгебраической точкой ветвления порядка n− 1, если в
∞ соединяются n ветвей функции f (в частности, точкой ветвления нулевого порядка, если f
— однозначная голоморфная в G функция). Кольцо Ab целостное (без делителей нуля), поэтому
его можно погрузить в поле [1, c. 53, 59]. Через Mb обозначим наименьшее поле такое, что
Ab ⊂Mb. Для функции f ∈Mb удобно также использовать обозначение f(z), z ∈ G.
Если f ∈Mb, то кроме точки ветвления в∞ особыми точками функции f могут быть только
полюсы, изолированные на римановой поверхности аналитической функции f(z), z ∈ G.
Пусть f ∈Mb. Далее, для определенности, считаем, что функция f имеет в∞ логарифмиче-
скую особую точку, так как для конечнозначных (однозначных) и бесконечнозначных функций
определения и обозначения неванлинновских характеристик T (r, f), Sα,β(r, f) существенно
отличаются [2, с. 23, 37].
Выберем произвольные α, β, −∞ < α < β < +∞. Через f(z), z ∈ gαβ =
{
z = reiθ :
α 6 θ 6 β, r0 6 r < +∞
}
, обозначим однозначную ветвь функции f ∈Mb в угловой области
gα,β на римановой поверхности аналитической функции f(z), z ∈ G. (Более подробное опреде-
ление однозначной ветви, а также определения арифметических операций над многозначными
функциями см., например, в [3, с. 478].) Неванлинновские характеристики ветви f(z), z ∈ gαβ,
определяются следующим образом [2, с. 40] (k = π/(β − α), ln+ x = max(lnx, 0), x > 0) :
Aαβ(r, f) =
k
π
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)[
ln+ |f(teiα)|+ ln+ |f(teiβ)|
]
dt,
Bαβ(r, f) =
2k
πrk
β∫
α
ln+
∣∣f(reiθ)∣∣ sin (k(θ − α))dθ, (1)
Cαβ(r, f) = 2k
r∫
r0
cαβ(t, f)
(
1
tk+1
+
tk−1
r2k
)
dt,
c© А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО, 2014
1286 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ТЕОРЕМА МАЛЬМКВИСТА ДЛЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1287
где cαβ(t, f) = cαβ(t,∞, f) =
∑
r0<|ρn|6t
α6ψn6β
sin
(
k(ψn − α)
)
, а ρneiψn — полюсы функции f(z),
z ∈ gαβ, рассматриваемые с учетом кратности,
Sαβ(r, f) = Aαβ(r, f) +Bαβ(r, f) + Cαβ(r, f). (2)
Символы Ландау O(. . .), o(. . .) в статье используются при r → +∞.
Напомним, что функция f ∈Mb имеет конечный порядок роста ρ, если
ρ = sup
∀α,β
lim
r→+∞
ln+ Sαβ(r, f)/ ln r < +∞, −∞ < α < β < +∞. (3)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
f ′ =
P (z, f)
Q(z, f)
=
∑t
j=0
pj1(z)f
j∑s
j=0
pj2(z)f
j
, pjq ∈Mb. (4)
Пусть f(z), z ∈ gαβ, pjq(z), z ∈ gαβ, — однозначные ветви функций f, pjq ∈ Mb такие, что
при подстановке f(z), pjq(z), z ∈ gαβ, в (4) вместо соответственно f(z), piq(z) образуется
тождество в gαβ.
Основным результатом статьи является следующая теоерма.
Теорема. Пусть функция f ∈ Mb конечного порядка — решение уравнения (4). Если (4) не
является уравнением Риккати f ′ = p21f
2 + p11f + p01, pj1 ∈Mb, j = 0, 1, 2, то
Sαβ(r, f) = O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+O(1) ∀α, β. (5)
Если, кроме того, f имеет в ∞ изолированную точку ветвления, а уравнение (4) не является
линейным уравнением f ′ = p11f + p01, pj1 ∈Mb, j = 0, 1, то также выполняется (5).
Пусть, в частности, в уравнении (4) все коэффициенты имеют вид
pjq(z) = hjq(z)z
ajq(ln z)bjq , hjq(z) = cjq + o(1), cjq ∈ C, ct1, cs2 6= 0, (6)
ajq, bjq ∈ R; pjq ∈ Mb. Например, pjq(z) = sin
1√
z
ln z ∼ z−
1
2 ln z, z → ∞. Известно (см. [4]),
что в этом случае любое решение f ∈ Mb уравнения (4) имеет конечный порядок роста.
Поэтому из теоремы получаем такое следствие.
Следствие. Пусть функция f ∈ Mb является решением уравнения (4), (6). Если (4) не
является уравнением Риккати, то выполняется соотношение (5). Если f имеет в ∞ изоли-
рованную точку ветвления, а уравнение (4) не является линейным, то также выполняется
соотношение (5).
Замечание. Соотношение (5) означает, что из уравнений (4) только уравнения Риккати мо-
гут иметь решения f ∈ Mb конечного порядка, скорость роста которых превышает скорость
роста коэффициентов. Например, если все коэффициенты pjq уравнения (4) — рациональные
функции (следовательно, pjq имеют вид (6), если bjq = 0), а уравнение (4) не является урав-
нением Риккати, то любое однозначное мероморфное решение уравнения (4) также является
рациональной функцией (теорема Мальмквиста [5]). Действительно, любая трансцендентная
функция растет быстрее любой рациональной функции [2, c. 49] ((6.26), (6.27)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1288 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Неванлинновские характеристики имеют такие свойства [2, с. 41, 45]: если f, g ∈ Mb и
f(z), g(z), z ∈ gαβ, — однозначные ветви этих функций в угловой области gαβ, то
Sαβ(r, f + g) 6 Sαβ(r, f) + Sαβ(r, g) + ln 2,
Sαβ(r, f · g) 6 Sαβ(r, f) + Sαβ(r, g),
(7)
Sαβ(r, f
2) = 2Sαβ(r, f),
Sαβ(r, 1/f) = Sαβ(r, f) +O(1).
Справедлива следующая теорема [6]: Пусть
F = P (f)/Q(f) =
∑t
j=0
pj1f
j∑s
j=0
pj2f
j
, d = max(t, s), (8)
f, pjq ∈ Mb; pt1, ps2 6= 0, причем P (f), Q(f) взаимно просты как многочлены от f над полем
Mb. Тогда
Sαβ(r, F ) = d · Sαβ(r, f) +O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+O(1). (9)
Нам понадобится следующая лемма [7].
Лемма. Если функция f принадлежит Mb и имеет конечный порядок роста, то для любой
однозначной ветви f(z), z ∈ gαβ, выполняется
Aαβ
(
r,
f ′
f
)
+Bαβ
(
r,
f ′
f
)
= O(1). (10)
Доказательство теоремы. Выполним в (4) замену f = u−1 + κ, где κ — такая константа,
что P (z, κ), Q(z, κ) 6≡ 0. Получим
u′ =
R(z, u)
V (z, u)
, (11)
где R, V — многочлены относительно u с коэффициентами Pjq, являющимися линейными
комбинациями коэффициентов pjq уравнения (4). Степени R, V относительно u равны соот-
ветственно t и t − 2 (если t − 2 > s) и s + 2 и s (если t − 2 < s). Пусть, для определенности,
t− 2 > s. Тогда deguR/V = t. Применяя к (11) формулу (9), получаем
Sαβ(r, u
′) = t · Sαβ(r, u) +O
(∑
j,q
Sαβ(r, Pjq)
)
+O(1). (12)
Поскольку коэффициенты Pjq являются линейными комбинациями коэффициентов pjq урав-
нения (4), из (7) следует Sαβ(r, Pjq) = O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+ O(1). Отсюда с учетом (12)
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ТЕОРЕМА МАЛЬМКВИСТА ДЛЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1289
Sαβ(r, u
′) = t · Sαβ(r, u) +O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+O(1). (13)
Каждому полюсу порядка m функции u(z), z ∈ gαβ, соответствует полюс порядка m + 1
производной u′(z), z ∈ gαβ. Поэтому cαβ(t,∞, u′) 6 2cαβ(t,∞, u),
Cαβ(r, u
′) 6 2Cαβ(r, u). (14)
Учитывая свойства неванлинновских характеристик, имеем [2, с. 45]
Aαβ(r, u
′) +Bαβ(r, u
′) = Aαβ
(
r, u
u′
u
)
+Bαβ
(
r, u
u′
u
)
6
6 Aαβ(r, u) +Aαβ
(
r,
u′
u
)
+Bαβ(r, u) +Bαβ
(
r,
u′
u
)
. (15)
По условию, функция f ∈ Mb имеет конечный порядок роста. Согласно первой основной
теореме теории распределения значений Неванлинны [2, с. 39],
Sαβ(r, f) = Sαβ(r, u
−1 + κ) = Sαβ(r, u) +O(1). (16)
Таким образом, функция u = 1/(f−κ) также имеет конечный порядок. Для функций конечного
порядка выполняется (10). Поэтому из (15) получаем
Aαβ(r, u
′) +Bαβ(r, u
′) 6 Aαβ(r, u) +Bαβ(r, u) +O(1). (17)
Из определения характеристики Sαβ(r, u) и из (14), (17) следует, что
Sαβ(t, u
′) 6 2Sαβ(t, u) +O(1).
Отсюда, учитывая (13), имеем
2Sαβ(t, u) > t · Sαβ(r, u) +O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+O(1).
Таким образом, если t > 2, то
(t− 2)Sαβ(r, u) = O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+O(1),
Sαβ(r, u) = O
(∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
)
+O(1).
Из этого соотношения и из (16) следует (5).
Пусть t 6 2. По предположению t − 2 > s. Следовательно, 0 > t − 2 > s > 0, поэтому
s = 0, t 6 2 и (4) — уравнение Риккати.
Было доказано, что если уравнение (4) не является уравнением Риккати, то выполняется
(5). Пусть (4) является уравнением Риккати, т. е. либо имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1290 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
f ′ = p21(z)f
2 + p11(z)f + p01(z), p21(z) 6≡ 0, z ∈ G, (18)
либо является линейным уравнением f ′ = p11f + p01, pj1 ∈ Mb. Покажем, что если f ∈ Mb
с изолированной особой точкой в ∞ имеет конечный порядок роста и является решением
уравнения (18), то выполняется соотношение (5). Применяя к (18) формулу (9), получаем
Sαβ(r, f
′) = 2Sαβ(r, f) +O
(
2∑
j=0
Sαβ(r, pj1)
)
+O(1). (19)
Функция f ∈Mb с изолированной особой точкой в∞ не имеет полюсов, поэтому
Cαβ(r, u
′) = Cαβ(r, u) ≡ 0, r > r0.
Отсюда, учитывая (17) и определение характеристики Sαβ(r, f), имеем
Sαβ(r, f
′) 6 Sαβ(r, f) +O(1).
Из этого неравенства и из (19) следует
Sαβ(r, f) > 2Sαβ(r, f) +O
(
2∑
j=0
Sαβ(r, pj1)
)
+O(1),
или Sαβ(r, f) = O
(∑2
j=0
Sαβ(r, pj1)
)
+O(1).
Теорема доказана.
1. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976. – 648 с.
2. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 592 с.
3. Мохонько А. А. Теорема Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности логарифми-
ческой особой точки // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – С. 476 – 483.
4. Mokhon’ko A. Z., Mokhon’ko V. D. On order of growth of analytic solutions for algebraic differential equations
having logarithmic singularity // Math. Stud. – 2000. – 13, № 2. – P. 203 – 218.
5. Malmquist J. Sur les fonctions á un nombre fini de branches définies par les equations différentielles du premier
order // Acta Math. – 1913. – 36. – P. 297 – 343.
6. Мохонько А. З. Поле алгеброидных функций и оценки их неванлинновских характеристик // Сиб. мат. журн. –
1981. – 22, № 3. – С. 213 – 218.
7. Мохонько А. А., Мохонько А. З. Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвле-
ния // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 7. – С. 939 – 957.
8. Mokhon’ko A. A., Mokhon’ko A. Z. On the logarithmic derivative of meromorphic functions // Top. Anal. and Appl.
NATO Sci. Ser. II. – 2004. – 147. – P. 91 – 103.
Получено 20.03.12,
после доработки — 19.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2221 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:00Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2c/667884ea662364e4ad57e3ab9dd4c92c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22212019-12-05T10:26:31Z Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point Теорема Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности точки ветвления Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. An analog of the Malmquist theorem on the growth of solutions of the differential equation $f' = P(z, f)/Q(z, f)$, where $P(z, f)$ and $Q(z, f)$ are polynomials in all variables, is proved for the case where the coefficients and solutions of this equation have a branching point in infinity (e.g., a logarithmic singularity). Доведено аналог теореми Мальмквіста про picT розв'язків диференціального рівняння $f' = P(z, f)/Q(z, f)$, в якому $P(z, f)$ i $Q(z, f)$ — многочлени за всіма змінними, для випадку, коли коефіцієнти рівняння та його розв'язки мають точку галуження (наприклад, логарифмічну особливу точку). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2221 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 9 (2014); 1286–1290 Український математичний журнал; Том 66 № 9 (2014); 1286–1290 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2221/1443 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2221/1444 Copyright (c) 2014 Mokhonko A. Z.; Mokhonko A. A. |
| spellingShingle | Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point |
| title | Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point |
| title_alt | Теорема Мальмквиста для решений дифференциальных
уравнений в окрестности точки ветвления |
| title_full | Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point |
| title_fullStr | Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point |
| title_full_unstemmed | Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point |
| title_short | Malmquist Theorem for the Solutions of Differential Equations in the Vicinity of a Branching Point |
| title_sort | malmquist theorem for the solutions of differential equations in the vicinity of a branching point |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2221 |
| work_keys_str_mv | AT mokhonkoaz malmquisttheoremforthesolutionsofdifferentialequationsinthevicinityofabranchingpoint AT mokhonkoaa malmquisttheoremforthesolutionsofdifferentialequationsinthevicinityofabranchingpoint AT mohonʹkoaz malmquisttheoremforthesolutionsofdifferentialequationsinthevicinityofabranchingpoint AT mohonʹkoaa malmquisttheoremforthesolutionsofdifferentialequationsinthevicinityofabranchingpoint AT mohonʹkoaz malmquisttheoremforthesolutionsofdifferentialequationsinthevicinityofabranchingpoint AT mohonʹkoaa malmquisttheoremforthesolutionsofdifferentialequationsinthevicinityofabranchingpoint AT mokhonkoaz teoremamalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostitočkivetvleniâ AT mokhonkoaa teoremamalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostitočkivetvleniâ AT mohonʹkoaz teoremamalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostitočkivetvleniâ AT mohonʹkoaa teoremamalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostitočkivetvleniâ AT mohonʹkoaz teoremamalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostitočkivetvleniâ AT mohonʹkoaa teoremamalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostitočkivetvleniâ |