On the Third Moduli of Continuity
An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2233 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508188435021824 |
|---|---|
| author | Bezkryla, S. I. Nesterenko, A. N. Chaikovs'kyi, A. V. Безкрила, С. І. Нестеренко, О. Н. Чайковський, А. В. |
| author_facet | Bezkryla, S. I. Nesterenko, A. N. Chaikovs'kyi, A. V. Безкрила, С. І. Нестеренко, О. Н. Чайковський, А. В. |
| author_sort | Bezkryla, S. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:26:46Z |
| description | An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. І. БЕЗКРИЛА, О. Н. НЕСТЕРЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2014
1420 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
УДК 517.518.2
С. І. Безкрила (Нац. пед. ун-т, Київ),
О. Н. Нестеренко, А. В. Чайковський (Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка)
ПРО ТРЕТІ МОДУЛІ НЕПЕРЕРВНОСТІ
An inequality for the third uniform modulus of continuity is proved. It follows from this inequality that every 3-majorant
is not necessarily a modulus of continuity of order 3.
Получено неравенство для третьих равномерных модулей непрерывности, с помощью которого доказано, что не
каждая 3-мажоранта является модулем непрерывности третьего порядка.
Для функції f : !! ! розглядатимемо першу, другу та третю скінченні різниці в точці
x !! з кроком h > 0 :
!h1 f , x( ) = f x + h( )" f x( ) ,
!h2 f , x( ) = f x + 2h( )" 2 f x + h( ) + f x( ) ,
!h3 f , x( ) = f x + 3h( )" 3 f x + 2h( ) + 3 f x + h( )" f x( ) .
Через UC !( ) позначимо простір рівномірно неперервних функцій f : !! ! . Для
функції f !UC !( ) розглядатимемо її (рівномірний) k -й модуль неперервності при k = 1,
2, 3:
! k ( f , ") = sup #hk f , x( ) : x $!, 0 < h % "{ } , ! > 0.
Аналогічно до випадку модулів неперервності функцій, заданих на відрізку, властивості
яких викладено, наприклад, у монографії І. О. Шевчука [1, c. 19 – 34], легко можна довести, що
для функцій із простору UC !( ) розглядувані нами модулі неперервності ! = ! k f , "( ) при
k = 1, 2, 3 задовольняють такі умови:
1) !(0) = 0 ;
2) функція ! є неперервною на [0, +!) ;
3) функція ! є неспадною на [0, +!) ;
4) для довільних ! " 0 і n !! справджується нерівність ! n"( ) # nk! "( ) .
Легко бачити, що умова 4 для невід’ємних функцій випливає з умови:
5) функція 0, + !( ) " #! $ #( )/#k монотонно не зростає на 0, +!( ) .
Зауважимо, що в [1, с. 24] функції, що задовольняють умови 1 – 3 і 5, називаються k -мажо-
рантами.
І. О. Шевчук звернув увагу авторів на таке питання. Чи правильно, що при k = 3 кожна
k -мажоранта є модулем неперервності k -го порядку якоїсь функції з простору UC !( ) на
ПРО ТРЕТІ МОДУЛІ НЕПЕРЕРВНОСТІ 1421
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
деякому відрізку 0, !0[ ] , !0 > 0 ? При k = 1 позитивна відповідь на подібне питання помі-
чена ще С. М. Нікольським [2]. Для k = 2 негативну відповідь на таке ж питання дав
С. В. Конягін [3]. Для доведення він встановив допоміжну нерівність
2!2 f ,T( ) " !2 f ,T + t( ) + !2 f ,T # t( ) + 2!2 f , t( ) , 0 ! t ! T , f !UC !( ) .
У цій статті ми даємо також негативну відповідь на поставлене питання при k = 3 . Для
отримання цього результату ми в цілому повторюємо міркування С. В. Конягіна з роботи [3],
але при цьому досить істотно модифікуємо його метод отримання допоміжної нерівності
(теорема 1).
Теорема 1. Нехай f !UC !( ) , t > 0 , N !! . Тоді
2!3 f , Nt( ) " !3 f , N +1( ) t( ) + !3 f , N #1( ) t( ) + 6N!3 f , t( ) . (1)
Доведення. Для N = 1 нерівність (1) є тривіальною, тому вважаємо, що N ! 2 . Нехай
h !(0, t] — довільне фіксоване число, H = Nh . Враховуючи означення третьої скінченної
різниці та вираз для другої скінченної різниці з кроком 2h через таку ж різницю з кроком h
(див. формулу (1.31) з [1] при n = m = 2 ), для всіх x !! маємо
!H+h
3 f , x " h( ) + !H"h
3 f , x + h( )" 2!H
3 f , x( ) =
= f x + 3H + 2h( )! 3 f x + 2H + h( ) + 3 f x + H( )! f x ! h( ) +
+ f x + 3H ! 2h( )! 3 f x + 2H ! h( ) + 3 f x + H( )! f x + h( ) –
– 2 f x + 3H( ) + 6 f x + 2H( )! 6 f x + H( ) + 2 f x( ) =
= !2h2 f , x + 3H " 2h( )" 3!h2 f , x + 2H " h( )" !h2 f , x " h( ) =
= !h2 f , x + 3H( ) + 2!h2 f , x + 3H " h( )+
+ !h2 f , x + 3H " 2h( )" 3!h2 f , x + 2H " h( )" !h2 f , x " h( ) =
= !h2 f , x + 3Nh( )" !h2 f , x + 2N "1( )h( ) + 2!h2 f , x + 3N "1( )h( ) –
– 2!h2 f , x + 2N "1( )h( ) + !h2 f , x + 3N " 2( )h( ) " !h2 f , x " h( ) = : E .
Розглядаючи третю скінченну різницю як різницю других скінченних різниць, для довіль-
них l !! і m !! отримуємо
!h2 f , x + l + m( )h( ) " !h2 f , x + lh( ) =
= !h2 f , x + l + k +1( )h( ) " !h2 f , x + l + k( )h( )( )
k=0
m"1
# =
1422 С. І. БЕЗКРИЛА, О. Н. НЕСТЕРЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
=
!h3 f , x + l + k( )h( )
k=0
m"1
# $ !h3 f , x + l + k( )h( )
k=0
m"1
# $ %3 f , t( )m
.
Враховуючи отриману оцінку, переконуємося, що
E ! "3 f , t( ) N +1+ 2N + 3N #1( ) = 6N"3 f , t( ) .
Отже,
!H+h
3 f , x " h( ) + !H"h
3 f , x + h( )" 2!H
3 f , x( ) # 6N$3 f , t( ) .
Звідси випливає, що
2 !H
3 f , x( ) " !H+h
3 f , x # h( ) + !H#h
3 f , x + h( ) + 6N$3 f , t( ) ≤
≤ !3 f , N +1( ) t( ) + !3 f , N "1( ) t( ) + 6N!3 f , t( ) .
Якщо h пробігає весь проміжок (0, t] , то H пробігає весь проміжок (0, Nt] , тому з
останньої нерівності та означення точної верхньої межі й одержуємо нерівність (1).
Наслідок. Функція ! t( ) = t 3 , t ! 0, 1 / 2[ ] , ! t( ) = 1/8 , t > 1/2 , задовольняє умови
1 – 3 і 5 при k = 3 , але не є модулем неперервності третього порядку ні для якої функції з
простору UC !( ) .
Доведення випливає з теореми 1, оскільки при досить великих n !!
! 1
2
+ 1
2n
"
#$
%
&' ( 2!
1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n
"
#$
%
&' + 6n!
1
2n
"
#$
%
&' < 0 .
Отже, якщо покласти t = 1
2n
і N = n , то нерівність (1) стає хибною, що для третього
модуля неперервності неможливо. Умови 1 – 3 і 5 для функції ! очевидно виконуються.
Цей наслідок значно посилює наступна теорема.
Теорема 2. Для кожного числа ! > 2 існує ненульова функція ! : [0, +")# ! , що
задовольняє умови 1 – 3, така, що функція 0, +!( ) " #! $ #( )/#% є незростаючою на
0, +!( ) і при цьому ні для якої функції f !UC !( ) не виконується рівність
lim
!" 0
#3 f , !( )/# !( ) = 1 .
Доведення. Розглянемо функцію ! t( ) = t" , t ! 0, 1 / 2[ ] , ! t( ) = 1 / 2( )" , t !(1 / 2, 1] .
Оскільки
! 1
2
+ 1
2n
"
#$
%
&' ( 2!
1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n
"
#$
%
&' + 6n!
1
2n
"
#$
%
&' = ( )
2)n
+ o 1
n
"
#$
%
&' , n* + ,
ПРО ТРЕТІ МОДУЛІ НЕПЕРЕРВНОСТІ 1423
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
то існують такі числа n0 !! , n0 ! 2 і ! > 0 , що
! 1
2
+ 1
2n0
"
#$
%
&'
( 2! 1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n0
"
#$
%
&'
+ 6n0!
1
2n0
"
#$
%
&'
= ( ) .
Позначимо S = 1
2n0
, T = 2S( )! . Визначимо тепер функцію ! . Нехай ! 0( ) = 0 , а
якщо ! "[S j+1, S j ) при деякому j !! , то покладемо
! "( ) = T j# "/S j( ) . Отримаємо
функцію ! , коректно визначену на [0, +!) , яка задовольняє умови 1 – 3 і 5. Дійсно, ці
умови виконуються для функції ! , а також
! S j +( ) = ! S j( ) = T j"1# S j /S j"1( ) = 1
2$n0
$j ,
! S j "( ) = lim
# $ S j"
T j% #/S j( ) = 1
2&n0
&j .
Отже, ! неперервна на 0, +!( ) ; ! "( ) # T j # 1/2( ) j , ! "[0, S j ) , тому ! 0 +( ) = 0 =
= ! 0( ) . Оскільки ! неспадна, то ! неспадна на кожному проміжку [S j+1, S j ) , тому, з
огляду на її неперервність на [0, +!) , вона є неспадною на [0, +!) . Аналогічно легко бачи-
ти, що ! задовольняє умову 5.
Оскільки 0 < S ! 1/4 , то при всіх j > 0
S j S +1 / 2( ) , S j /2, S j !S +1/2( ) , S j+1{ } " [S j +1, S j ) ,
тому
! S j S +1/2( )( ) " 2! S j /2( ) + ! S j "S +1/2( )( ) + 6n0! S j +1( ) =
= T j ! 1
2
+ 1
2n0
"
#$
%
&'
( 2! 1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n0
"
#$
%
&'
+ 6n0!
1
2n0
"
#$
%
&'
"
#$
%
&'
=
=
!T j" < ! T j# S +1/2( )" = ! $ S j S +1/2( )( )" . (2)
Якщо функція !! : [0, +")# [0, +") така, що
lim!" 0+ !# !( )/# !( ) = 1 , то існує таке
j !! , що для всіх ! "(0, S j ) виконується нерівність
!! "( )# ! "( ) $ %! "( )
6n0 + 4
.
Звідси, враховуючи (2) і те, що функція ! є неспадною, отримуємо оцінку
1424 С. І. БЕЗКРИЛА, О. Н. НЕСТЕРЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
!! S j S +1/2( )( ) " 2 !! S j /2( ) + !! S j "S +1/2( )( ) + 6n0 !! S j +1( ) <
<
! " S j S +1 / 2( )( )#+ 6n0 + 4( )
#" S j S +1/2( )( )
6n0 + 4
= 0 ,
що суперечить нерівності (1), якщо в ній покласти t = S j +1 і N = n0 . Таким чином,
функція !! не може бути модулем неперервності третього порядку ні для якої функції з
простору UC !( ) .
Теорему доведено.
Автори висловлюють щиру подяку професору І. О. Шевчуку за постановку задачі й під-
тримку в роботі.
1. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук. думка,
1992. – 224 с.
2. Никольский С. М. Ряд Фурье с данным модулем непрерывности // Докл. АН СССР. – 1946. – 52, № 3. – С. 191 –
194.
3. Конягин С. В. О вторых модулях непрерывности // Труды Мат. ин-та РАН. – 2010. – 269. – С. 1 – 3.
Одержано 10.07.13
|
| id | umjimathkievua-article-2233 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:14Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/12/08d6ea93c6338d7915af44bba174e112.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22332019-12-05T10:26:46Z On the Third Moduli of Continuity Про треті модулі неперервності Bezkryla, S. I. Nesterenko, A. N. Chaikovs'kyi, A. V. Безкрила, С. І. Нестеренко, О. Н. Чайковський, А. В. An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3. Получено неравенство для третьих равномерных модулей непрерывности, с помощью которого доказано, что не каждая 3-мажоранта является модулем непрерывности третьего порядка. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2233 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 10 (2014); 1420-1424 Український математичний журнал; Том 66 № 10 (2014); 1420-1424 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2233/1467 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2233/1468 Copyright (c) 2014 Bezkryla S. I.; Nesterenko A. N.; Chaikovs'kyi A. V. |
| spellingShingle | Bezkryla, S. I. Nesterenko, A. N. Chaikovs'kyi, A. V. Безкрила, С. І. Нестеренко, О. Н. Чайковський, А. В. On the Third Moduli of Continuity |
| title | On the Third Moduli of Continuity |
| title_alt | Про треті модулі неперервності |
| title_full | On the Third Moduli of Continuity |
| title_fullStr | On the Third Moduli of Continuity |
| title_full_unstemmed | On the Third Moduli of Continuity |
| title_short | On the Third Moduli of Continuity |
| title_sort | on the third moduli of continuity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2233 |
| work_keys_str_mv | AT bezkrylasi onthethirdmoduliofcontinuity AT nesterenkoan onthethirdmoduliofcontinuity AT chaikovs039kyiav onthethirdmoduliofcontinuity AT bezkrilasí onthethirdmoduliofcontinuity AT nesterenkoon onthethirdmoduliofcontinuity AT čajkovsʹkijav onthethirdmoduliofcontinuity AT bezkrylasi protretímodulíneperervností AT nesterenkoan protretímodulíneperervností AT chaikovs039kyiav protretímodulíneperervností AT bezkrilasí protretímodulíneperervností AT nesterenkoon protretímodulíneperervností AT čajkovsʹkijav protretímodulíneperervností |